Meca nica Cua ntica en espacios de Hilbert. Renato A lvarez-nodarse

(1)

Renato ´Alvarez-Nodarse

(2)

Contenidos

1 _{Espacios de Hilbert y operadores}

2 _Introducci´_{on a la Mec´}_{anica Cu´}_{antica en espacios de Hilbert}

(3)

Definici´on

Se dice que un espacio vectorial E es un espacio eucl´ıdeo si dados dos elementos cualesquiera x , y ∈ E existe un n´umero denominado

producto escalar y que denotaremos por hx , y i tal que 1 _{Para todo x , y ∈ E, hx, y i = hy , xi.}

2 _{Para todo x , y , z ∈ E, hx, y + zi = hx, y i + hx, zi.} 3 _{Para todo x , y ∈ E y λ ∈ C, hx, λy i = λhx, y i}

4 _{Para todo x ∈ E, x 6= 0, hx, xi > 0 y si hx, xi = 0, entonces} x = 0.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

(4)

Definiciones y propiedades b´asicas

Definici´on

Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´umero real denominado norma, que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones

1 _{Para todo x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.} 2 _{Para todo x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.}

3 _{Para todo x , y ∈ X se tiene la desigualdad triangular} kx + y k ≤ kxk + ky k.

Teorema

Todo espacio eucl´ıdeo E es normado si en él definimos la norma mediante la fórmula kf k =phf , f i. Además, kf k · kgk ≥ |hf , gi|.

(5)

Definici´on

Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´umero real denominado norma, que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones

1 _{Para todo x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.} 2 _{Para todo x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.}

3 _{Para todo x , y ∈ X se tiene la desigualdad triangular} kx + y k ≤ kxk + ky k.

Teorema

Todo espacio eucl´ıdeo E es normado si en él definimos la norma mediante la fórmula kf k =phf , f i. Además, kf k · kgk ≥ |hf , gi|.

(6)

Definici´on

Un espacio eucl´ıdeo E completo respecto a la norma inducida por un producto escalar se denomina espacio de Hilbert y lo denotaremos por H.

Definici´on

Sea el sistema de vectores {φn}∞n=1 de H linealmente independiente

–es decir, que cualquier subsistema finito es linealmente

independiente–. Diremos que {φn}∞n=1 es un sistema ortogonal dos a

dos si

hφn, φmi = δn,mkφnk2, ∀n, m ∈ N.

(7)

Teorema

En un espacio de Hilbert H de cualquier conjunto de vectores

linealmente independiente se puede construir un conjunto de vectores ortogonales.

Sea el sistema de funciones l.i. (φn)∞n=1 de H. Definamos el sistema de

funciones (ψn)∞n=1 de forma que

ψ1 = φ1, ψ2 = φ2+ α2,1ψ1, ψn= φn+ n−1

X

k=1

αn,kψk,

donde las constantes αn,k, n ∈ N, k = 1, . . . , n − 1 son tales que ψk

es ortogonal a todos los vectores φj, j = 1, 2, . . . , k − 1, anteriores.

El proceso anterior se denomina proceso de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt.

(8)

Aqu´ı nos interesar´an los espacios de Hilbert Hseparables, es decir, aquellos que contienen un subconjunto numerable denso (Ejemplo R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R).

Teorema

Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal. Teorema

Si un espacio eucl´ıdeo E es separable, entonces cualquier sistema ortogonal (ortonormal) de E es numerable.

Luego, si H es separable, H tiene una base ortonormal numerable.

(9)

Aqu´ı nos interesar´an los espacios de Hilbert Hseparables, es decir, aquellos que contienen un subconjunto numerable denso (Ejemplo R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R).

Teorema

Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal. Teorema

Si un espacio eucl´ıdeo E es separable, entonces cualquier sistema ortogonal (ortonormal) de E es numerable.

(10)

Operadores en H

Definici´on

Un operador bL es una aplicaci´_{on de H en H}1, dos espacios de Hilbert,

b

L : H 7→ H1.

En adelante asumiremos que H1 ⊂ H o bien H1 = H.

Definici´on

Un operador bL es lineal si ∀α1, α2 ∈ C, y Ψ1, Ψ2 ∈ H,

b

L(α₁Ψ1+ α2Ψ2) = α1LΨb ₁+ α₂LΨb ₂.

(11)

Definici´on

El operador b0 : H 7→ H se denomina operador nulo si ∀Ψ ∈ H, b0Ψ = 0. Definici´on

El operador bI : H 7→ H se denomina operador identidad si ∀Ψ ∈ H, IΨ = Ψ.b

Definici´on

El operador bL−1 _{: H 7→ H se denomina operador inverso de b}L si b

(12)

Operadores en H Definici´on

Definiremos el producto bL = bA bB de dos operadores bA y bB al

operador bL que obtiene al actuar consecutivamente los operadores bA y luego bB, i.e.,

Φ = bBΨ, LΨ = bb AΦ =⇒ LΨ = bb A( bBΨ). En general bA bB 6= bB bA, i.e., la multiplicaci´on de operadores no es conmutativa.

Definici´on

Llamaremos conmutador de dos operadores bA y bB al operador [ bA, bB] := bA bB − bB bA.

As´ı pues, dos operadores conmutan si y s´olo si su conmutador es el operador nulo.

(13)

En adelante vamos a usar la notaci´on de Dirac para los vectores, los operadores y los productos escalares.

As´ı, un vector de H lo denotaremos por |Ψi (ket vector) y su correspondiente conjugado hΨ| (brac vector).

As´ı, denotaremos el producto escalar hΨ, Φi por hΨ|Φi y adem´as hΨ| bL|Φi := hΨ| bLΦi.

A los productos anteriores les denominaremos elementos matriciales del operador bL.

(14)

El operador bL+ _{se denomina conjugado o adjunto de b}_{L si,}

hΨ| bL|Φi = hΦ| bL+_|Ψi, _{∀Φ, Ψ,}

o, equivalentemente,

hΨ| bLΦi = h bL+Ψ|Φi = hΦ| bL+_Ψi

De la definici´on anterior se deduce f´acilmente que 1 ( bL+₎+_{= b}_L, 2 (α bL)+_{= α b}_L+_{, ∀α ∈ C,} 3 _{( b}L bN )+_{= b}_N+ b L+ _y 4 hΨ| bL bN |Φi = h bL+_{Ψ| b}_{N Φi, ∀Ψ, Φ ∈ H.}

(15)

De la definici´on anterior se deduce f´acilmente que 1 ( bL+₎+_{= b}_L,

(16)

(17)

De la definici´on anterior se deduce f´acilmente que 1 ( bL+₎+_{= b}_L,

2 (α bL)+_{= α b}_L+_{, ∀α ∈ C,}

3 _{( b}L bN )+_{= b}_N+

b L+ _y

(18)

(19)

Un ejemplo especialmente importante es el caso cuando H es de dimensi´on finita. En este caso si (φn)N_n=1 es una base (en particular,

una base ortogonal) de H, entonces

b Lφn= N X k=1 Ln,kφk,

y por tanto a bL se le puede hacer corresponder una matriz (L_{i ,j})N_{i ,j =1}. Si denotamos por L+_{i ,j} la matriz asociada al operador bL+_{, entonces}

(20)

Definiciones

Definici´on

Si bL = bL+_{, se dice que el operador es herm´ıtico o autoadjunto.}

Por ejemplo, si H es de dimensi´on finita, bL es herm´ıtico si su correspondiente matriz satisface Li ,j = Lj ,i.

Si H = L2(R), los operadores definidos por b

x Ψ(x ) = x Ψ(x ), pΨ(x ) = −i ~b d Ψ(x )

dx , PΨ(x) = Ψ(−x),b son herm´ıticos.

(21)

Definici´on

Si bL = bL+_{, se dice que el operador es herm´ıtico o autoadjunto.}

Por ejemplo, si H es de dimensi´on finita, bL es herm´ıtico si su correspondiente matriz satisface Li ,j = Lj ,i.

Si H = L2(R), los operadores definidos por b

x Ψ(x ) = x Ψ(x ), pΨ(x ) = −i ~b d Ψ(x )

dx , PΨ(x) = Ψ(−x),b son herm´ıticos.

(22)

Propiedades Proposici´on

El producto bL = bA bB de dos operadores bA y bB herm´ıticos es herm´ıtico si y s´olo si bA y bB conmutan, i.e., [ bA, bB] = 0.

Proposici´on

El conmutador [ bA, bB] de dos operadores herm´ıticos bA y bB es tal que [ bA, bB] = i bL,

con bL herm´ıtico.

Demostraci´on: Supongamos que [ bA, bB] = bN . Entonces b

N+= ([ bA, bB])+= −[ bA, bB] = − bN =⇒ N = i bb L,

con bL herm´ıtico ((i bL)+ _{= −i b}_L+ _{= −i b}_L). ₂

(23)

Proposici´on

b

N = ([ bA, bB]) = −[ bA, bB] = − bN =⇒ N = i bb L,

(24)

Proposici´on

Demostraci´on: Supongamos que [ bA, bB] = bN . Entonces b

N+= ([ bA, bB])+= −[ bA, bB] = − bN =⇒ N = i bb L,

con bL herm´ıtico ((i bL)+ _{= −i b}_L+ _{= −i b}_L). ₂

(25)

Definici´on

Sea |Ψi ∈ H con k|Ψik 6= 0. Si existe λ ∈ C tal que b

L|Ψi = λ|Ψi,

entonces se dice que |Ψi es un autovector de bL y λ es su correspondiente autovalor.

Nota: En ocasiones es c´omodo denotar a un autovector asociado a λ por |Ψλi (suponiendo que λ es un autovalor simple). Si adem´as el

conjunto de autovalores es numerable entonces se suele simplificar aún más la notación: |ni := |Ψλni.

(26)

Propiedades

Proposici´on

Si bL es herm´ıtico, entonces sus autovalores son reales.

Demostraci´on: b

L|Ψi = λ|Ψi =⇒ hΨ| bL|Ψi = λhΨ|Ψi = λ. Por otro lado de la definici´on de operador herm´ıtico

hΨ| bL+|Ψi = hΨ| bL|Ψi = λhΨ|Ψi = λ,

luego, como bL es herm´ıtico bL = bL+ _{por tanto λ = λ.} ₂

(27)

Proposici´on

Si bL es herm´ıtico, entonces sus autovalores son reales. Demostraci´on:

b

L|Ψi = λ|Ψi =⇒ hΨ| bL|Ψi = λhΨ|Ψi = λ. Por otro lado de la definici´on de operador herm´ıtico

hΨ| bL+|Ψi = hΨ| bL|Ψi = λhΨ|Ψi = λ,

(28)

Propiedades

Proposici´on

Si bL es herm´ıtico, entonces los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

Demostraci´on: Sea bL|Ψ₁i = λ₁|Ψ₁i, L|Ψb ₂i = λ₂|Ψ₂i, entonces hΨ₂| bL|Ψ₁i =λ₁hΨ₂|Ψ₁i =

hΨ₂| bL+_|Ψ

1i =hΨ1| bL|Ψ2i = λ2hΨ1|Ψ2i = λ2hΨ2|Ψ1i,

i.e. (λ1− λ2)hΨ2|Ψ1i = 0, luego como λ1 6= λ2, hΨ2|Ψ1i = 0. 2

(29)

Proposici´on

Si bL es herm´ıtico, entonces los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

Demostraci´on: Sea bL|Ψ₁i = λ₁|Ψ₁i, L|Ψb ₂i = λ₂|Ψ₂i, entonces hΨ₂| bL|Ψ₁i =λ₁hΨ₂|Ψ₁i =

hΨ2| bL+|Ψ1i =hΨ1| bL|Ψ2i = λ2hΨ1|Ψ2i = λ2hΨ2|Ψ1i,

(30)

Operadores unitarios

Definici´on

Un operador bU se denomina unitario si b

U bU+= bU+U = bb I.

Proposici´on

Si bU es unitario, entonces todos sus autovalores son tales que |λ| = 1. Demostraci´on: Sea bU |Ψi = λ|Ψi, entonces

1 = hΨ| bU+

b

U |Ψi = λhΨ| bU+_{|Ψi = λhΨ| b}_{U |Ψi = λλhΨ|Ψi = |λ|}2

2

(31)

Definici´on

Un operador bU se denomina unitario si b

U bU+= bU+U = bb I. Proposici´on

Si bU es unitario, entonces todos sus autovalores son tales que |λ| = 1. Demostraci´on: Sea bU |Ψi = λ|Ψi, entonces

1 = hΨ| bU+

b

U |Ψi = λhΨ| bU+_{|Ψi = λhΨ| b}_{U |Ψi = λλhΨ|Ψi = |λ|}2

(32)

Transformaciones unitarias

Definici´on

Sea bU un operador unitario. La transformaci´on

|Ψi 7→ |ψi = bU+|Ψi, L 7→ bb ` = bU+L bbU , la denominaremos transformaci´on unitaria de |Ψi y bL y la denotaremos por {U}.

Proposici´on

Las transformaciones unitarias conservan

1 Las relaciones de conmutaci´on de los operadores. 2 _{La propiedad de hermiticidad de un operador.} 3 _{Los autovalores de un operador.}

4 Los productos escalares y elementos matriciales de bL.

(33)

Definici´on

Sea bU un operador unitario. La transformaci´on

|Ψi 7→ |ψi = bU+|Ψi, L 7→ bb ` = bU+L bbU , la denominaremos transformaci´on unitaria de |Ψi y bL y la denotaremos por {U}.

Proposici´on

Las transformaciones unitarias conservan

1 Las relaciones de conmutaci´on de los operadores. 2 _{La propiedad de hermiticidad de un operador.} 3 _{Los autovalores de un operador.}

(34)

Demostración: 1. Sean bA, bB y bL tres operadores tales que [ bA, bB] = bL y sea {U} una transformación unitaria. Denotemos por ba, bb y b` los operadores correspondientes a bA, bB y bL después de la transformación. Entonces como [ bA, bB] = bL =⇒ b A bB − bB bA = bL =⇒ Ub+A bbB bU − bU+B bbA bU = bU+L bbU = b`, pero ( bU+A bbU )( bU+B bbU ) − ( bU+B bbU )( bU+A bbU ) =_babb − bb_ba =⇒ [_ba, bb] = b`. 2. Sea bL = bL+_{. Sea b}_{` = b}_U+ b L bU , entonces b `+= ( bU+L bbU )+= bU+Lb+U = bb U+L bbU = b`.

(35)

Demostración: 1. Sean bA, bB y bL tres operadores tales que [ bA, bB] = bL y sea {U} una transformación unitaria. Denotemos por ba, bb y b` los operadores correspondientes a bA, bB y bL después de la transformación. Entonces como [ bA, bB] = bL =⇒ b A bB − bB bA = bL =⇒ Ub+A bbB bU − bU+B bbA bU = bU+L bbU = b`, pero ( bU+A bbU )( bU+B bbU ) − ( bU+B bbU )( bU+A bbU ) =_babb − bb_ba =⇒ [_ba, bb] = b`. 2. Sea bL = bL+_{. Sea b}_{` = b}_U+ b L bU , entonces b `+= ( bU+L bbU )+= bU+Lb+U = bb U+L bbU = b`.

(36)

3. Sea bL|Ψi = λ|Ψi, entonces ( bU+ b L bU )( bU+_{)|Ψi = λ( b}_U+_|Ψi) _=⇒ b `|ψi = λ|ψi. 4. hΨ₁| bL|Ψ₂i =hΨ₁| bU bU+L bbU bU+|Ψ₂i = h bU+Ψ₁| bU+L bbU | bU+Ψ₂i =hψ1|b`|ψ2i. 2

(37)

3. Sea bL|Ψi = λ|Ψi, entonces ( bU+ b L bU )( bU+_{)|Ψi = λ( b}_U+_|Ψi) _=⇒ b `|ψi = λ|ψi. 4. hΨ₁| bL|Ψ₂i =hΨ₁| bU bU+L bbU bU+|Ψ₂i = h bU+Ψ₁| bU+L bbU | bU+Ψ₂i =hψ1|b`|ψ2i. 2

(38)

Los operadores unitarios cercanos a la unidad

Sea > 0 tan peque˜no como se quiera, y supongamos que bU admite

el desarrollo

b

U = bI + i bA + O(2_).

Entonces su conjugado es, a primer orden, b

U+ = bI − i bA++ O(2). De aqu´ı, con un peque˜no c´alculo

b

I = bU+U = bb I + i ( bA − bA+) + O(2) =⇒ bA = bA+

Adem´as si elegimos = α/N, con N ∈ N entonces que

b UN = I +b i α bA N !N −→ U (α) = eb i α bA

(39)

Sea > 0 tan peque˜no como se quiera, y supongamos que bU admite

el desarrollo

b

U = bI + i bA + O(2_).

Entonces su conjugado es, a primer orden, b

U+ = bI − i bA++ O(2). De aqu´ı, con un peque˜no c´alculo

b

I = bU+U = bb I + i ( bA − bA+) + O(2) =⇒ bA = bA+

Adem´as si elegimos = α/N, con N ∈ N entonces que

b UN = I +b i α bA N !N −→ U (α) = eb i α bA

(40)

Los operadores en Mec´anica Cu´antica

Supongamos que bL es un operador que tiene asociados un conjunto numerable de autovectores y que adem´as dicho conjunto es un sistema completo y sea (|Ψni)n su dicho conjunto.

Si todos los autovalores son simples entonces, como ya hemos visto, los correspondientes autovectores son ortogonales. En el caso de que tengamos autovalores m´ultiples sus correspondientes autovectores se pueden ortogonalizar usando el m´etodo de Gram-Schmidt que describimos antes.As´ı pues asumiremos que (|Ψni)n es un sistema

ortonormal (ortogonal con k|Ψnik = 1).

Sea |Φi un vector cualquiera de H, entonces |Φi se puede desarrollar en serie de Fourier respecto (|Ψni)n

|Φi =X

n

fn|Ψni, fn= hΨn|Φi.

En otras palabras, (|Ψni)n es una base ortonormal completa de H.

(41)

|Φi =X

n

(42)

Sea |Φi un vector cualquiera de H, entonces |Φi se puede desarrollar en serie de Fourier respecto (|Ψni)n

|Φi =X

n

En otras palabras, (|Ψni)n es una base ortonormal completa de H.

(43)

Las bases juegan un papel fundamental. En particular el de aquellas bases asociadas a operadores herm´ıticos.

b

A|Ψ_n_{i ∈ H =⇒ b}A|Ψ_ni =X

m

Am,n|Ψmi =⇒ Am,n = hΨm| bA|Ψni.

A la cantidad hΨm| bA|Ψni la denominaremos elemento matricial del

(44)

Las bases juegan un papel fundamental. En particular el de aquellas bases asociadas a operadores herm´ıticos.

Sea (|Ψni)n una base ortonormal completa de H y sea bA un operador

lineal, entonces b

A|Ψ_n_{i ∈ H =⇒ b}A|Ψ_ni =X

m

Am,n|Ψmi =⇒ Am,n = hΨm| bA|Ψni.

A la cantidad hΨm| bA|Ψni la denominaremos elemento matricial del

operador bA en la base (|Ψni)n.

(45)

Si (|Ψni)n es la base asociada al operador herm´ıtico bL se dice que la

matriz A = (Am,n) es la matriz de bA en la bL-representaci´on. N´otese

que la matriz del operador bL en su propia representaci´on (la b

L-representaci´on) es diagonal con los autovalores en la diagonal.

base correspondiente se sobrentiende). Luego, el operador bA

ser´a herm´ıtico si su matriz A es autoconjugada, i.e., Am,n = An,m, bA

ser´a unitario si su matriz A es unitaria, i.e.,P

kAm,kAn,k = δm,n, etc.

N´otese que si dim H = N, las correspondientes matrices son matrices cuadradas N × N, pero si dim H = ∞, entonces las correspondientes matrices son infinitas.

(46)

L-representación) es diagonal con los autovalores en la diagonal. Más aún, as´ı como el conjunto de números (fn)n define

biun´ıvocamente a |Φi, la matriz A define biun´ıvocamente a bA (en la base correspondiente se sobrentiende). Luego, el operador bA

(47)

L-representación) es diagonal con los autovalores en la diagonal. Más aún, as´ı como el conjunto de números (fn)n define

biun´ıvocamente a |Φi, la matriz A define biun´ıvocamente a bA (en la base correspondiente se sobrentiende). Luego, el operador bA

(48)

Proposici´on

Si dos operadores bL y bN tienen un sistema completo de autovectores (|Ψni)n com´un, entonces [ bL, bN ] = 0.

El rec´ıproco tambi´en es cierto: Proposici´on

Si dos operadores bL y bN con sistemas completos de autovectores conmutan ([ bL, bN ] = 0), entonces tienen un sistema completo de autovectores (|Ψni)n com´un.

(49)

Proposici´on

Si dos operadores bL y bN tienen un sistema completo de autovectores (|Ψni)n com´un, entonces [ bL, bN ] = 0.

El rec´ıproco tambi´en es cierto: Proposici´on

Si dos operadores bL y bN con sistemas completos de autovectores conmutan ([ bL, bN ] = 0), entonces tienen un sistema completo de autovectores (|Ψni)n com´un.

(50)

Definici´on

Sea F (z) una funci´on anal´ıtica en un entorno de z = 0 y sea F (z) =P

n≥0fnzn su desarrollo en serie de potencias. Definiremos al

operador F ( bL) mediante la serie F ( bL) =X

n≥0

fnLbn.

Definici´on

La derivada operacional ∂F ( bL)/∂ bL es el operador que se obtiene mediante la formula

∂F ( bL) ∂ bL = l´ımε→0

F ( bL + εbI) − F ( bL)

ε .

(51)

Definici´on

Sea F (z) una funci´on anal´ıtica en un entorno de z = 0 y sea F (z) =P

n≥0fnzn su desarrollo en serie de potencias. Definiremos al

operador F ( bL) mediante la serie F ( bL) =X

n≥0

fnLbn.

Definici´on

La derivada operacional ∂F ( bL)/∂ bL es el operador que se obtiene mediante la formula

∂F ( bL) ∂ bL = l´ımε→0

F ( bL + εbI) − F ( bL)

(52)

Los operadores en Mec´anica Cu´antica Por ejemplo

∂ bLn

∂ bL = n bL

n−1_.

Sean bA y bA+ _{tales que [ b}_{A, b}_A+_{] = b}_{I. Entonces tenemos}

[ bA, ( bA+)k] = k( bA+)k−1, k ≥ 1. Proposici´on

Si F (z) es una funci´on anal´ıtica en un entorno de z = 0 y sean bA y b

A+ _{tales que [ b}_{A, b}_A+_{] = b}_{I. Entonces}

[ bA, F ( bA+)] = dF ( bA

+₎

d bA+ .

Demostraci´on: Basta escribir la serie de potencias de F y la eq.

anterior. 2

(53)

∂ bLn

∂ bL = n bL

n−1_.

[ bA, ( bA+)k] = k( bA+)k−1, k ≥ 1.

b

[ bA, F ( bA+)] = dF ( bA

+₎

d bA+ .

(54)

∂ bLn

∂ bL = n bL

n−1_.

[ bA, F ( bA+)] = dF ( bA

+₎

d bA+ .

anterior. 2

(55)

Por ejemplo

∂ bLn

∂ bL = n bL

n−1_.

[ bA, F ( bA+)] = dF ( bA

+₎

d bA+ .

(56)

Postulados de la Mec´

anica cu´

antica

(57)

Postulados I

Postulado

A cada sistema f´ısico se le hace corresponder un espacio de Hilbert H apropiado. Adem´as, para cada t ∈ R (par´ametro correspondiente al tiempo) el estado queda completamente caracterizado por un vector |Ψi normalizado a la unidad de H.

2 Dados los estados |Ψ1i, . . . , |Ψki, la combinaci´on lineal

|Φi =Pn

k=1αk|Ψki tambi´en es un (posible) estado.

3 _{∀t ∈ R el vector |Ψi siempre se puede normalizar a la unidad (a} no ser |Ψi = 0).

(58)

Postulados I

Postulado

1 ∀t el estado est´_{a determinado por un vector de H tal que} kΨk = 1.

|Φi =Pn

(59)

Postulados I

Postulado

|Φi =Pn

(60)

Postulados I

Postulado

|Φi =Pn

(61)

Postulado

A cada magnitud f´ısica medible (observable) L se le hace corresponder un operador linear herm´ıtico bL que act´_{ua en H.}

(62)

Postulado III Postulado

Sea |Ψi el estado del sistema en el momento t justo antes de la medición de la magnitud (observable) L (asociada al operador bL). Independientemente de cuál sea el estado original |Ψi, el resultado de la medición sólo puede ser un autovalor de bL.

Este postulado requiere una aclaraci´on. Al hacer una medici´on de bL el sistema cambia (las mediciones interfieren en el sistema).

Antes de medir L el sistema puede estar, formalmente, encualquier estado Ψ, pero al realizar la medici´on, ´esta cambia al sistema y lo deja en el estado determinado por el vector |Ψλi que es un autovector

de bL correspondiente a al autovalor λ.

O sea, la medición produce el colapso de la función de onda a una de las |Ψλi. Este axioma introduce formalmente la interpretación de

Copenhagen en la teor´ıa.

(63)

Este postulado requiere una aclaraci´on.

(64)

Copenhagen en la teor´ıa.

(65)

(66)

O sea, la medici´on produce el colapso de la funci´on de onda a una de las |Ψλi.

Este axioma introduce formalmente la interpretaci´on de Copenhagen en la teor´ıa.

(67)

Postulado

(68)

Postulado IV

Postulado

El valor esperado hLi de una cantidad f´ısica L cuando el sistema se encuentra en el estado |Ψi viene dado por el elemento matricial

hLi = hΨ| bL|Ψi.

N´otese que, como bL es herm´ıtico, entonces

hΨ| bL|Ψi = hΨ| bL+_{|Ψi = hΨ| b}_L|Ψi _=⇒ _{hLi ∈ R.}

(69)

Postulado

El valor esperado hLi de una cantidad f´ısica L cuando el sistema se encuentra en el estado |Ψi viene dado por el elemento matricial

hLi = hΨ| bL|Ψi. N´otese que, como bL es herm´ıtico, entonces

(70)

Postulado V Postulado

Los elementos matriciales de los operadoresxbi de la posici´on (coordenadas) xi ypbi de los momentos pi, i = 1, 2, 3, donde los ´ındices i = 1, 2, 3 corresponden a las proyecciones en los ejes x , y y z,

respectivamente, definidos por hΦ|x_bi|Ψi y hΦ|pbi|Ψi, cualquiera sean |Φi y |Ψi de H satisfacen las ecuaciones de evoluci´on

d dthΦ|xbi|Ψi = * Φ ∂ bH ∂pbi Ψ + , d dthΦ|pbi|Ψi = − * Φ ∂ bH ∂bxi Ψ + ,

donde bH es el operador asociado a la funci´on de Hamilton del correspondiente sistema cl´asico (si es que lo hay).

Este postulado es equivalente a la ecuaci´on de Schr¨odinger i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi.

(71)

Postulado V

Este postulado tiene un significado f´ısico evidente pues nos indica que el promedio de las cantidades medibles posición, impulso y energ´ıa (hamiltoniano) satisfacen las ecuaciones dinámicas de la mecánica hamiltoniana, i.e, en el l´ımite apropiado (~ → 0) la mecánica cuántica se transforma en la clásica (principio de correspondencia de Bohr).

i = 1, 2, 3, por lo que el operador bH se obtiene cambiando las x_i por los correspondientes operadoresxbi y pi por pbi. Esto, aunque en apariencia es trivial, en general no lo es pues bH debe ser herm´ıtico (ya que corresponde a la magnitud f´ısica energ´ıa).

(72)

Postulado V

Este postulado tiene un significado f´ısico evidente pues nos indica que el promedio de las cantidades medibles posición, impulso y energ´ıa (hamiltoniano) satisfacen las ecuaciones dinámicas de la mecánica hamiltoniana, i.e, en el l´ımite apropiado (~ → 0) la mecánica cuántica se transforma en la clásica (principio de correspondencia de Bohr). Proceden unas aclaraciones. En general el Hamiltoniano H de un sistema clásico depende de las coordenadas xi y los impulsos pi,

i = 1, 2, 3, por lo que el operador bH se obtiene cambiando las xi por

los correspondientes operadoresxbi y pi por pbi. Esto, aunque en apariencia es trivial, en general no lo es pues bH debe ser herm´ıtico (ya que corresponde a la magnitud f´ısica energ´ıa).

(73)

Postulado VI

Postulado

Los operadores posici´onxbi e impulso pbi, i = 1, 2, 3, satisfacen las relaciones de conmutaci´on

[xbk,bxj] = 0 = [pbk,pbj], [xbk,pbj] = i ~δk,jI,b donde ~ es una constante e i =√−1.

(74)

Postulado VI

Postulado

Los operadores posici´onxbi e impulso pbi, i = 1, 2, 3, satisfacen las relaciones de conmutaci´on

[xbk,bxj] = 0 = [pbk,pbj], [xbk,pbj] = i ~δk,jI,b donde ~ es una constante e i =√−1.

En particular, de lo anterior se sigue que los operadoresxbk ypbk no pueden tener un conjunto completo de autovectores comunes. Este postulado es el an´alogo de las llaves de Poisson.

(75)

Construyendo los operadores cu´anticos

1. Supongamos que tenemos una magnitud clásica L que depende de xi y pi. Para construir el operador mecano-cuántico sólo tenemos que

cambiar los xi por los bxi y pi porpbi.

T = 1 2 3

2m =⇒ T =b 2m ,

y V (x1, x2, x3) por bV = V (bx1,bx2,bx3), siendo ambos operadores herm´ıticos.

Esto no siempre ocurre. Imaginemos que el hamiltoniano contiene el t´ermino Wi = xipi. Entonces, el operador cWi =xbipbi no puede representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (xbi ypbi no conmutan.) En este caso hay que definir cWi por

c Wi =

1

(76)

Por ejemplo, la energ´ıa cin´etica viene dada por T = p 2 1+ p22+ p32 2m =⇒ T =b b p12+pb2 2₊ b p32 2m ,

c Wi =

1

2(bxipbi+pbixbi).

(77)

Esto no siempre ocurre. Imaginemos que el hamiltoniano contiene el t´ermino Wi = xipi. Entonces, el operador cWi =xbipbi no puede representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (xbi ypbi no conmutan.)

c Wi =

(78)

c Wi =

1

2(bxipbi+pbixbi).

(79)

2. Supongamos el sistema f´ısico se encuentra en el estado definido por |Ψ_ni, autovector correspondiente al autovalor λ_n de cierto operador bL asociado a la magnitud f´ısica L. Entonces

hΨ_n| bL|Ψ_ni = λ_n, hΨ_n| bLk|Ψ_ni = λk_n,

Supongamos ahora que el sistema se encuentra en el estado |Φi que es en una superposici´on de los estados |Ψki, k = 1, 2, . . . , N, entonces

como |Φi =P

kfk|Ψki tenemos

hΦ| bL|Φi =X

k

|fk|2λk.

Lo anterior indica, en virtud de postulado IV que la cantidad |fk|2 es

(80)

Interpretaci´on probabil´ıstica

Consideremos por sencillez el caso cuando el autovalor λk es simple.

En ese caso la probabilidad de que el sistema estando en un estado original |Φi termine en el estado definido por |Ψki es

Prob(|Φi 7→ |Ψki) = |fk|2= |hΨk|Φi|2.

N´otese que esta probabilidad esinvariante ante transformaciones unitarias:

|Ψ_ki 7→ bU |Ψ_ki = | ˜Ψki, |Φi 7→ bU |Φi = ˜|Φi

pues

Prob(|Φi 7→ |Ψki) = Prob( ˜|Φi 7→ | ˜Ψki)

Luego el sistema f´ısico es invariante frente a cualquier transformaci´on unitaria.

(81)

pues

(82)

pues

Prob(|Φi 7→ |Ψki) = Prob( ˜|Φi 7→ | ˜Ψki)

Luego el sistema f´ısico es invariante frente a cualquier transformaci´on unitaria.

(83)

Lo anterior se puede ver muy bien usando los operadores de proyecci´on o proyectores.

Imaginemos que tenemos la magnitud L y que el resultado de la medici´on es en valor λk que asumiremos simple. Tras la medici´on el

sistema estar´a en el estado |Ψki, donde |Ψki es el autovector

asociado a λk.

Definamos eloperador de proyecci´onPk sobre el subestacio

generado por |Ψki de la siguiente forma

b

(84)

Los operadores de proyecci´on De la definici´on se tene que

1 Pb_k2 := bP_k◦ bP_k = bP_k 2 Pb_k es herm´ıtico: bP_k+= bP_k

3 Los autovalores de bP_k son o 0 ´o 1.

¿Y si λk es degenerado, i.e., tiene asociado un subespacio de

dimensi´on K > 1?

En ese caso bP_k es la suma de los proyectores asociados a cada uno de los vectores de la base ortonormal (Ψk,j)Kj =1 del autoespacio asociado

a λk: b P_k = K X j =1 |Ψ_k,jihΨ_k,j|

Es f´acil comprobar que en este caso se tiene las mismas propiedades que en el caso cuando K = 1.

(85)

dimensi´on K > 1? a λk: b P_k = K X j =1 |Ψ_k,jihΨ_k,j|

(86)

dimensi´on K > 1?

En ese caso bP_k es la suma de los proyectores asociados a cada uno de los vectores de la base ortonormal (Ψk,j)Kj =1 del autoespacio asociado

a λk: b P_k = K X j =1 |Ψ_k,jihΨ_k,j|

(87)

Todo lo anterior nos lleva a afirmar que tr´as la medici´on de la

magnitud L del sistema, cuyo estado inicial (previo a la medici´on) era |Ψi, obtendremos el resultado λk con probabilidad

Prob(|Φi 7→ |Ψki) = k bPk|Ψik2

siendo el estado final del sistema el definido por el vector bP_k|Ψi. Esto es cierto aunque resultado de la medici´on sea m´as de un valor λk

(88)

Las reglas de conmutaci´on

3. Dada cualquier cantidad f´ısica cl´asica L le podemos adicionar la cantidad xipj − pjxi sin cambiarla. Si transformamos L en su operador

b

L ya no le podemos adicionar el correspondiente operador_bxipbj −pbjbxi pues ´este no es nulo (postulado VI).

Tomando las derivadas funcionales ∂ ∂bxi (x_bipbj −pbjxbi) = ∂ ∂pbi (x_bipbj −pbjbxi) = 0, i.e.,bxipbj −pbjbxi es proporcional a bI =⇒ xbipbj −pbjxbi = αbI.

Si ademásxbi ypbj son herm´ıticos entonces, necesariamente, α = i ~ donde ~ ∈ R. Se recupera la relación de conmutación del postulado VI.

(89)

b

Tomando las derivadas funcionales ∂ ∂bxi (x_bipbj −pbjxbi) = ∂ ∂pbi (x_bipbj −pbjbxi) = 0, i.e.,bxipbj −pbjbxi es proporcional a bI =⇒ xbipbj −pbjxbi = αbI. Si adem´asxbi ypbj son herm´ıticos entonces, necesariamente, α = i ~ donde ~ ∈ R.

(90)

b

Tomando las derivadas funcionales ∂ ∂bxi (x_bipbj −pbjxbi) = ∂ ∂pbi (x_bipbj −pbjbxi) = 0, i.e.,bxipbj −pbjbxi es proporcional a bI =⇒ xbipbj −pbjxbi = αbI. Si ademásxbi ypbj son herm´ıticos entonces, necesariamente, α = i ~ donde ~ ∈ R. Se recupera la relación de conmutación del postulado VI.

(91)

Los operadores posici´on y momento en L2_(Ω)

El espacio de Hilbert m´as habitual en MC es L2(Ω). En L2(Ω) se puede probar que

b xi := xiIb =⇒ x_bkΨ(x ) = xkΨ(x ) b pk = −i ~ ∂ ∂xk =⇒ pbkΨ(x ) = −i ~ ∂Ψ(x ) ∂xk

Es f´acil comprobar que: [p,b bx ] =pbbx −bxp = −i ~bb I.

[p, F (b x )] = −i ~b ∂F (bx ) ∂xb , [bx , F (p)] = i ~b ∂F (p)b ∂pb .

(92)

Los operadores posici´on y momento en L2_(Ω)

El espacio de Hilbert m´as habitual en MC es L2(Ω). En L2(Ω) se puede probar que

b xi := xiIb =⇒ x_bkΨ(x ) = xkΨ(x ) b pk = −i ~ ∂ ∂xk =⇒ pbkΨ(x ) = −i ~ ∂Ψ(x ) ∂xk

Es f´acil comprobar que: [p,b bx ] =pbbx −bxp = −i ~bb I.

Ejercicio: A partir de loanterior prueba que para cualquier funci´on anal´ıtica F (z) [p, F (b x )] = −i ~b ∂F (bx ) ∂x_b , [bx , F (p)] = i ~b ∂F (p)b ∂p_b .

(93)

Las ecuaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger Supongamos que el Hamiltoniano del sistema es

b H = bT + bV , T =b 3 X i =1 b p2_k 2m,

donde bV = V (xb1,xb2,xb3) = V (x1, x2, x3)bI s´olo depende de las coordenadas. Como [p, bb T ] = 0 y [p, F (b x )] = −i ~b ∂F (_bx ) ∂xb =⇒ [p, bb H] = [p, V (b x )] = −i ~b ∂V (bx ) ∂bx = −i ~∂ bH ∂bx

(94)

Las ecuaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger Supongamos que el Hamiltoniano del sistema es

b H = bT + bV , T =b 3 X i =1 b p2_k 2m,

donde bV = V (xb1,xb2,xb3) = V (x1, x2, x3)bI s´olo depende de las coordenadas.

Por simplicidad trabajaremos s´olo con la proyecci´on en el eje OX . Como [p, bb T ] = 0 y [p, F (b x )] = −i ~b ∂F (_bx ) ∂xb =⇒ [p, bb H] = [p, V (b x )] = −i ~b ∂V (bx ) ∂bx = −i ~∂ bH ∂bx

(95)

Las ecuaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger

Supongamos ahora que los vectores de estado no dependen del tiempo (los operadores s´ı que pueden, en principio, depender del tiempo). Entonces del postulado V

d dthΦ|pbi|Ψi = − * Φ ∂ bH ∂x_bi Ψ + =⇒ dpb dt = − ∂ bH ∂_bx, de donde se sigue que

dpb dt = −

i ~[p, bb

H].

la segunda ecuaci´on de Heisenberg dbx dt = −

i ~[x , bb

(96)

Supongamos ahora que los vectores de estado no dependen del tiempo (los operadores s´ı que pueden, en principio, depender del tiempo). Entonces del postulado V

d dthΦ|pbi|Ψi = − * Φ ∂ bH ∂x_bi Ψ + =⇒ dpb dt = − ∂ bH ∂_bx, de donde se sigue que

dpb dt = −

i ~[p, bb

H].

De forma an´aloga, pero usando que [x , F (_b p)] = i ~_b ∂F (p)b ∂pb

, se deduce la segunda ecuaci´on de Heisenberg

dbx dt = −

i ~[x , bb

H].

(97)

Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones dinámicas de la mecánica cuántica en la representación de Heisenberg : es decir, cuando las funciones de onda son vectores independientes del tiempo pero los operadores no lo son.

postulado V y que ∂ bH ∂x_b = i /~[bp, bH] =⇒ d dthΦ|p|Ψi = −b * Φ ∂ bH ∂_bx Ψ + = −i ~ hΦ|[p, b_b H]|Ψi.

(98)

Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones dinámicas de la mecánica cuántica en la representación de Heisenberg : es decir, cuando las funciones de onda son vectores independientes del tiempo pero los operadores no lo son.

Obviamente hay otra posibilidad y es que los operadores no dependan del tiempo y las funciones de onda s´ı. En este caso usando el

postulado V y que ∂ bH ∂x_b = i /~[bp, bH] =⇒ d dthΦ|p|Ψi = −b * Φ ∂ bH ∂_bx Ψ + = −i ~ hΦ|[p, b_b H]|Ψi.

(99)

Luego, por un lado, ∂Φ ∂t b p Ψ + Φ b p ∂Ψ ∂t = ∂Φ ∂t b pΨ + b pΦ ∂Ψ ∂t = i ~ hΦ|p b_bH|Ψi − hΦ| bHp|Ψi_b = b pΦ i ~ b HΨ + i ~ b HΦ b pΨ , de donde se sigue que

b pΦ ∂Ψ ∂t + i ~ b HΨ + ∂Φ ∂t + i ~ b HΦ b pΨ = 0, cualquiera sean los vectores Φ y Ψ.

(100)

de donde se sigue que b pΦ ∂Ψ ∂t + i ~ b HΨ + ∂Φ ∂t + i ~ b HΦ b pΨ = 0, cualquiera sean los vectores Φ y Ψ.

(101)

b pΦ ∂Ψ ∂t + i ~ b HΨ + ∂Φ ∂t + i ~ b HΦ b pΨ = 0, cualquiera sean los vectores Φ y Ψ.

(102)

Por tanto, necesariamente tenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger

i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi.

La ecuación anterior es la ecuación de evolución de la mecánica cuántica cuando los operadores no dependen del tiempo.

Las ecuaciones din´amicas del postulado V han de cumplirse independientemente de que escojamos la representaci´on de

Schr¨odinger (S) o la de Heisenberg (H). Adem´as, los observables que medimos deben tener los mismos valores medios en ambas

representaciones. Eso implica que ha de existir una transformaci´on unitaria {U} que pase de S a H y viceversa.

(103)

Por tanto, necesariamente tenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger

i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi.

La ecuación anterior es la ecuación de evolución de la mecánica cuántica cuando los operadores no dependen del tiempo. Las ecuaciones dinámicas del postulado V han de cumplirse independientemente de que escojamos la representación de

Schr¨odinger (S) o la de Heisenberg (H). Adem´as, los observables que medimos deben tener los mismos valores medios en ambas

representaciones. Eso implica que ha de existir una transformaci´on unitaria {U} que pase de S a H y viceversa.

(104)

Equivalencia de las representaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger Probemos que ambas representaciones son equivalentes.

Para ello sean |ψi y b` la función de estado y el observable en la representación de Heisenberg y sean |Ψi y bL en la de Schrödinger. Entonces entre ambas existe la relación:

|Ψi = bU+|ψi, L = bb U+` bbU , U = eb i bHt/~. donde bH es el operador hamiltoniano del sistema que se asume independiente del tiempo.

i.e., la ecuaci´on de Schr¨odinger i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi.

(105)

Recordemos que |ψi y b` son la función de estado y el observable en la representación de Heisenberg y |Ψi y bL en la de Schrödinger.

|Ψi = bU+_|ψi, b ` = bU b` bU+_, b U = ei bHt/~_, b U+_{= e}−i bHt/~

Supongamos que bL (representaci´on de Schr¨odinger) no depende de t. Entonces, ∂ b` ∂t = ∂ bU ∂t` bbU +_{+ b}_U ∂ bL ∂t |{z} =0 b U++ bU bL∂ bU + ∂t = i ~( b Hb` − b` bH) = i ~[ b H, b`].

Si escogemos b` como el operador p yb x recuperamos las ecuaciones deb Heisenberg para el momento y la posici´on, respectivamente.

(106)

Integrales de movimiento

De lo anterior se sigue que en la representación de Heisenberg una cantidad f´ısica es independiente del tiempo si el operador asociado a dicha magnitud conmuta con el Hamiltoniano. Esta propiedad es además muy significativa desde el punto de vista f´ısico como veremos a continuación.

Definici´on

Se dice que una cantidad observable b` es una integral de movimiento si d

dthai = d

dthΨ| bA|Ψi = 0.

Es decir, una magnitud es una integral de movimiento si dicha magnitud se conserva en media.

(107)

De lo anterior se sigue que en la representación de Heisenberg una cantidad f´ısica es independiente del tiempo si el operador asociado a dicha magnitud conmuta con el Hamiltoniano. Esta propiedad es además muy significativa desde el punto de vista f´ısico como veremos a continuación.

Definici´on

Se dice que una cantidad observable b` es una integral de movimiento si d

dthai = d

dthΨ| bA|Ψi = 0.

Es decir, una magnitud es una integral de movimiento si dicha magnitud se conserva en media.

(108)

Sea un observabe bA y un estado definido por Ψ. Calculamos la derivada del elemento matricial

d dthΨ| bA|Ψi = ∂Ψ ∂t b A Ψ + Ψ ∂ bA ∂t Ψ + Ψ b A ∂Ψ ∂t .

Supongamos ahora que estamos en la representaci´on de Schr¨odinger, i.e., A no depende de t y |Ψi satisface la Ec. Sch. i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi d dthΨ| bA|Ψi = Ψ i ~[ b H, bA] Ψ . Entonces, _dtdhΨ| bA|Ψi = 0 ⇐⇒ [ bA, bH] = 0.

(109)

Sea un observabe bA y un estado definido por Ψ. Calculamos la derivada del elemento matricial

d dthΨ| bA|Ψi = ∂Ψ ∂t b A Ψ + Ψ ∂ bA ∂t Ψ + Ψ b A ∂Ψ ∂t .

Supongamos ahora que estamos en la representaci´on de Schr¨odinger, i.e., A no depende de t y |Ψi satisface la Ec. Sch. i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi d dthΨ| bA|Ψi = Ψ i ~[ b H, bA] Ψ . Entonces, _dtdhΨ| bA|Ψi = 0 ⇐⇒ [ bA, bH] = 0.

(110)

Si ahora escogemos la representaci´on de Heisenberg entonces (|Ψi no depende del tiempo, pero bA si puede)

d dthΨ| bA|Ψi = Ψ ∂ bA ∂t Ψ = i ~ hΨ|[ bH, bA]|Ψi, donde hemos usado la Ec.de Heisenberg

∂ bA ∂t =

i ~[ b

H, bA].

Es decir, tambi´en en la representaci´on de Heisenberg d

dthΨ| bA|Ψi = 0 ⇐⇒ [ bA, bH] = 0.

(111)

Si ahora escogemos la representaci´on de Heisenberg entonces (|Ψi no depende del tiempo, pero bA si puede)

d dthΨ| bA|Ψi = Ψ ∂ bA ∂t Ψ = i ~ hΨ|[ bH, bA]|Ψi, donde hemos usado la Ec.de Heisenberg

∂ bA ∂t =

i ~[ b

H, bA].

Es decir, tambi´en en la representaci´on de Heisenberg d

(112)

Test de consistencia

Probemos que tenemos d /dt(k|Ψik2) = 0, lo que implica que la probabilidad total no cambia en el tiempo.

Sea la ecuaci´on de Schr¨odinger y su conjugada i ~∂|Ψi

∂t = bH|Ψi, −i ~ ∂hΨ|

∂t = hΨ| bH

+_.

Tomando el producto escalar de la 2a por |Ψi (por la derecha) y de la 1a por hΨ| (por la izquierda) obtenemos, respectivamente

hΨ| bH+_{|Ψi = −i ~} ∂Ψ ∂t Ψ , hΨ| b_{H|Ψi = i ~} Ψ ∂Ψ ∂t ,

de donde, restando ambas y usando la hermiticidad de bH tenemos 0 = ∂Ψ ∂t Ψ + Ψ ∂Ψ ∂t = ∂ ∂thΨ|Ψi = ∂k|Ψik2 ∂t .

(113)

Sea la ecuaci´on de Schr¨odinger y su conjugada i ~∂|Ψi ∂t = bH|Ψi, −i ~ ∂hΨ| ∂t = hΨ| bH +_. hΨ| bH+_{|Ψi = −i ~} ∂Ψ ∂t Ψ , hΨ| b_{H|Ψi = i ~} Ψ ∂Ψ ∂t ,

(114)

∂t = bH|Ψi, −i ~ ∂hΨ|

∂t = hΨ| bH

+_.

(115)

Probemos que tenemos d /dt(k|Ψik ) = 0, lo que implica que la probabilidad total no cambia en el tiempo.

∂t = bH|Ψi, −i ~ ∂hΨ|

∂t = hΨ| bH

+_.

(116)

Una transformaci´on unitaria muy especial

Sea el operador unitario U(t) = e−i bHt/~, donde H es el Hamiltoniano del sistema.

Como los sistemas son invariantes frente a las transformaciones unitarias ello implica que si definimos el estado

|Ψ(t)i = U(t)|Ψ(0)i ambos han de describir el mismo estado.

De lo anterior se deduce que para todo t0,

|Ψ(t + t₀)i = U(t)|Ψ(t0)i

es decir, que los estados f´ısicos son invariantes frente a las traslaciones temporales y que k|Ψ(t + t0)ik2 = k|Ψ(t0)ik2, i.e., el test de

consistenciade antes.

Nótese que tomado derivadas respecto a t en |Ψ(t)i = U(t)|Ψ(0)i obtenemos laecuación de Schrödinger.

(117)

|Ψ(t)i = U(t)|Ψ(0)i

ambos han de describir el mismo estado. De lo anterior se deduce que para todo t0,

|Ψ(t + t0)i = U(t)|Ψ(t0)i

(118)

|Ψ(t)i = U(t)|Ψ(0)i

ambos han de describir el mismo estado. De lo anterior se deduce que para todo t0,

|Ψ(t + t0)i = U(t)|Ψ(t0)i

consistenciade antes.

Nótese que tomado derivadas respecto a t en |Ψ(t)i = U(t)|Ψ(0)i obtenemos laecuación de Schrödinger.

(119)

Sean dos operadores herm´ıticos bA y bB. Definamos los operadores 4 bA = bA − hAibI, 4 bB = bB − hBibI,

donde hAi y hBi son los valores medios de bA y bB en el estado |Ψi. Entonces, como [ bA, bB] = i bL, con bL herm´ıtico, se sigue que

(120)

El principio de incertidumbre

Las dispersiones de las cantidades A y B en el estado |Ψi vendr´an dadas por 4A := q hΨ|(4 bA)2_{|Ψi = k4 b}_AΨk, 4B := q hΨ|(4 bB)2_{|Ψi = k4 b}_BΨk.

(121)

Calculemos la parte imaginaria de

h4 bAΨ|4 bBΨi = hΨ|4 bA4 bB|Ψi

(122)

El principio de incertidumbre

Como bL es herm´ıtico, hΨ| bL|Ψi es un n´umero real que denotaremos por l ; as´ı,

4A4B ≥ |l | 2 .

Lo anterior aplicado a los operadoresp yb x (ver postulado V) nosb conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg

4x4p ≥ ~ 2.

(123)

Supongamos que tenemos una base (|Ψni)n completa de vectores de

H. Entonces, todo vector |Ψi de H lo podemos escribir, como ya hemos visto, de la forma

|Ψi =X

n

fn|Ψni, fn= hΨn|Ψi.

Es decir, a cada vector de H le podemos hacer corresponder su vector f = (f1, f2, . . . )T. An´alogamente, a cada operador bL le podemos hacer

corresponder una matriz L con entradas Lm,n = hΨm| bL|Ψni. Luego la

ecuaci´on ∂ b` ∂t =

i ~[ b

H, b`] se puede escribir en la forma ∂L

∂t = i ~[H, L].

donde H es la matriz correspondiente al hamiltoniano del sistema, i.e., recuperamos la tambi´en antes mencionada mec´anica matricial de