2
2
R
R
AZONES Y
AZONES Y
P
P
ROPORCIONES
ROPORCIONES
RAZÓN RAZÓN
Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras:
Razón Aritmética (r) Razón Aritmética (r)::
Es la
Es la comparación entre dos cantidades por comparación entre dos cantidades por medio medio de una diferencia.de una diferencia.
.
. aa – – bb .. a : Antecedenteb: Consecuentea : Antecedenteb: Consecuente
Razón Geométrica (k): Razón Geométrica (k):
Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.
. . b b aa .. a : Antecedentea : Antecedente b: Consecuente b: Consecuente PROPORCIÓN PROPORCIÓN
Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico
primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico
Proporció
Proporción Aritmética n Aritmética o Equidiferenciao Equidiferencia
Si a
Si a – – b = r y cb = r y c – – d = r, entonces:d = r, entonces: .
. aa – – b = cb = c – – dd .. .. a + b = c + da + b = c + d ..
Clases Clases DiscretaDiscreta
Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:
.
. aa – – b = cb = c – – dd .. .. d: d: 4ta 4ta diferencialdiferencial ..
ContinuaContinua
Cuando los términos medios son iguales: Cuando los términos medios son iguales:
. . aa – – b = bb = b – – cc .. .. 2 2 cc aa b b .. . .
encial
encial
era. difer
era. difer
33
c:
c:
ritmética
ritmética
o media a
o media a
iferencial
iferencial
b: media d
b: media d
.. ProporcióProporción Geométrica n Geométrica o Equicociente:o Equicociente:
Si: Si: b b aa = k y= k y d d cc = k entonces= k entonces NOTA: NOTA: . . a . d = b . c .a . d = b . c .
3 3 . .
dd
cc
bb
aa
..Extremos
Extremos
::
dd
,,
aa
Medios
Medios
::
cc
,,
bb
Clases Clases DiscretaDiscretaCuando los términos son diferentes sí donde: Cuando los términos son diferentes sí donde:
.
.
dd
cc
bb
aa
.. .. d: 4ta proporcionald: 4ta proporcional .. ContinuaContinua
Cuando los términos medios son iguales Cuando los términos medios son iguales
. . cc b b b b aa .. NOTA: NOTA: . . a . c = ba . c = b22 .. .. cc .. aa bb .. . .
rcional
rcional
era. propo
era. propo
33
c:
c:
geométrica
geométrica
l o
l o m
media
edia
roporciona
roporciona
b: media p
b: media p
. . SERIE DE RAZONESSERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTESGEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor
1) 1) ..
kk
b
b
...
...
b
b
b
b
b
b
aa
...
...
aa
aa
aa
nn 3 3 2 2 11 nn 3 3 2 2 11
. . 2) 2) .. nn nn 33 22 11 nn 33 22 11kk
bb
....
...
...
bb
bb
bb
aa
...
...
...
...
aa
aa
aa
. . Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie:En general definimos la serie:
. .
kk
bb
aa
...
...
...
...
bb
aa
bb
aa
aa
aa
nn nn 33 33 22 22 22 11 .. donde: donde: aa11, a, a22, a, a33, ... a, ... ann: Antecedentes: Antecedentes bb11, b, b22, b, b33, ... b, ... bnn: Consecuentes: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad k : Constantes de proporcionalidad4
11 12
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes? Rpta. 40 2. Dada la proporción:
d
c
b
a
; a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16Hallar el valor de “a” Rpta. 9
3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica
4. Rpta. 10 El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la
misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta. $ 220
5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre?
Rpta. 11
6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor
Rpta. 185
7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado? Rpta. S/. 702 8. Si:
2
1
p
n
n
b
m
a
, además. b + p = 15 m + n = 14, calcular: a . b . n Rpta. 729. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.
10. Rpta. 40 En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900?
Rpta. 135
11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números
Rpta. 65
12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es:
Rpta. 6
2
13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes
Rpta. 60
14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. hallar uno de los números
15. Rpta. 140 En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601
5
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números
A)80B) 160 C) 90
D)45 E)40
2. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?
A)66 B)55 C)132
D)121E)156
3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:
10
c
7
b
5
a
Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76
A)88 B)78 C) 72
D)66 E)64
4. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción
A)9 B)8 C)12
D)15E)16
5. Una ciudad esta dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad?
A)80B)70 C)100
D)150E)más de 150
6. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números?
A)30/8B)15/2 C)20/3
D)8 E)15
7. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios.
A)1 B)2 C) 3
D) 4 E) 5
8. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números.
A)12 B)24 C)36 D) 48 E)60 9. Si:
7
c
8
b
2
a
y a + b = 20. Hallar: a . c + b A)22B)64 C)71 D) 60E)72 10. Si se cumple:2
f
e
d
24
c
b
3
a
Además: (*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + d calcular: b + d + f A)12B)24 C)36 D) 48E)60CLAVES
1.C 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D 9.E 10.D6
¿SABÍAS QUÉ...
LUIGI GALVANI (1737
–98)
El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana c ontenían electricidad, lo que denominó electricidad animal.
Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745 –1827), cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos teorías era completamente correcta.
Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro en su honor.
7
P
ROMEDIOS
Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:
a
1 a
2 a
3 ……...
a
n
MENOR VALOR PROMEDIO MAYOR VALOR TIPOS DE PROMEDIO
Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA)
O simplemente promedio .
datos
de
Número
datos
de
Suma
MA
. Dar laMA
de: 7; 13 y 4 Resolución3
4
13
7
= 8 O J O :SEA“n” NÚMEROS Y “ s” SUMA DE LOS NÚMEROS
. S = n . MA(“n” números) .
Promedios Geométricos o Media Geométrica (MG)
.
MG
nPr
oducto
de
los
datos
.n: número de datos Dar la
MG
de: 5; 15 y 45 Resolución15
45
.
15
.
5
3 Promedio Armónico o Media Armónica (MH)
.
datos
los
de
Inversa
de
Suma
datos
de
Número
MH
. Dar laMH
de: 6; 2 y 3 Resolución 3 3 1 2 1 6 1 3 8
19 Consideraciones importantes
Para 2 cantidades “a” y “b”
.
2
b
a
MA
. .MG
ab
. .b
a
ab
2
b
1
a
1
2
MH
. Dado: 0 < a1a2 a3……….…. an Se verifica que: .PROMEDIO
O
PROMEDI
MENOR
MAYOR
0
MH
MG
MA
a
n . Si todos los valores son iguales
MH
MG
MA
Para cantidades “a” y “b”
.
MG
2 MA
.
MH
. .)
MG
MA
(
4
)
b
a
(
MG
MA
2 . LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Sean los números: 3, 5 y 10
6
3
10
5
3
MA
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
omedio
Pr
Nuevo
= VARIACIÓN INICIAL PROMEDIO3
4
7
3
10
5
3
= 7 IMPORTANTE promedio del iación var inical promedio promedio nuevo Donde: promedio del iación var = datos de Número uye min dis se que total aumenta se que total 9
20
Promedio ponderado (PP) (Promedio de Promedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio?
Resolución:
NOTAS PESOS TOTAL
11 2 11 x 2
17 1 17 x 1
13 3 13 x 3
6 78
La nota promedio será:
13
6
78
3
1
2
3
.
13
1
.
17
2
.
11
En general: . n 3 2 1 n n 3 3 2 2 1 1P
...
P
P
P
P
a
...
P
a
P
a
P
a
PP
. Donde:an: enésimo de las notas, precios, … etc
Pn: enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ... etc
10
21 22
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Se tienen los siguientes números – 18, -16, -14, -11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. luego, de las siguientes proposiciones cuáles son correctas
I. La media de los valores absolutos de los números negativos es mayor que el promedio total.
II. La media de los valores positivos es 10,333...
III. La media de los números positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los números negativos
IV. La media de los números positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los números negativos
V. Los dos ceros no afectan a la media de los números
2. Rpta . I, II y III La nota promedio de un examen es “P” el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio?
Rpta. P +
3 2
3. Se tiene 4 números. A la añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtiene los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 números es igual a:
Rpta. 45
4. Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula?
Rpta. 40%
5. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. Y se agrega
una cuarta al promedio, disminuye en 2. se puede afirmar que:
I. La edad del cuarto es mayor que el promedio
II. La edad del cuarto es menor que el promedio
III. Por lo menos una persona es mayor que el cuarto
6. Rpta . II y III El promedio de 50 números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio?
Rpta. 4,9
7. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? Rpta. 64
8. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números?
Rpta. 14
9. El mayor de dos números enteros es 40 y el menor promedio es 30. hallar la diferencia de los números
Rpta. 40
10. El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2
2
. ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números? Rpta. 3.7511. Hallar dos números enteros cuyo producto es 600 sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor.
Rpta. 20
12. La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias?
11 13. Rpta. 12 El promedio de las edades de “n”
alumnos es “m” años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno y a la otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en:
Rpta. 0.75
14. El promedio de un conjunto de valores es “P” si se eliminan 31 números cuya suma es 527 el promedio de los restantes sigue siendo “P” ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P?
Rpta. 119EPUBLICACIONES
15. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699, la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideramos?
12
PROBLEMAS
1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón
A)15B) 16,2 C)15,2
D)15,1E)16,1
2. El promedio de las edades de cinco personas res 48. si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas?
A)16 añosB)18 añosC)19 años
D) 21 añosE)24 años
3. Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.?
A)168 kgB)169 kgC)170 kg
D)171 kgE)172 kg
4. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. el número de dichos números puede ser:
A)2 B)3 C)4
D)5 E)6
5. Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene.
A)23B) 22,5 C)20,5
D)22E)21
6. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años.
A)10 B)11 C)20
D) 25 E)15
7. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares también de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la media aritmética de los impares de 2 cifras no considerados?
A)75 B)60 C)65
D) 55 E)35
8. Hallar la media aritmética de 2, 4, 6, 8, 10
A)3 B)5 C) 6
D) 8 E)10
9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4 P. A = (8, b, 12) = 10 Hallar la media aritmética de: a y b
A)6 B)8 C)10
D) 12E)14
10. Dados los números 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico.
A)0,5B)1 C)1,5 D) 0,3E)1,3
CLAVES
1.C 2.E 3.A 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10. B13
28
“DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS”
1. ¿Cuál es el número que excede a la medida armónica de su mitad y su quinta parte es 50?
Rpta.
2. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es 6. hallar la diferencia de dichos números. Rpta.
3. ¿Cuál es la medida aritmética de 2 números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4?
Rpta.
4. La media armónica de 2 números es 5, mientras que la media aritmética es 20. hallar la media geométrica
5. Rpta. Hallar n, si el promedio armónico de: 1, 1/2, 1/3, ....1/n, es 1/9
Rpta.
6. Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se encuentra la MG y la MH?
Rpta.
7. La MH de 20 números es 18 y de otros 30 números diferentes entre si y de los anteriores es 54. hallar la MH de los 50 números.
Rpta.
16. El mayor promedio de 2 números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números.
Rpta.
8. La MA de 4 enteros impares positivos diferentes entre si, es 6. ¿Cuánto puede ser como máximo el mayor de los números?
Rpta.
9. La MA de los cuadrados de los “n” primeros números naturales es 231/6. Hallar “n”
Rpta.
19. Si la MH de dos números naturales es a MG de los mismos como 12 es a 13. hallar la diferencia de los números, si la suma es 117.
Rpta.
12. La MH de 3 cantidades es 1/5 y la MH de otras 5 cantidades es 1/3. ¿Cuál es la MH de las 8 cantidades juntas?
13. Rpta. La MH y MA de dos enteros, están en la relación de 48 es a 49, hallar los números, comprendiendo entre 41 y 47.
Rpta.
14. La MA de 3 números es 14, la MG es par e igual a uno de ellos y la MH 72/7. hallar el menor de los números.
Rpta.
15. La diferencia de cuadrados de 2 números es 144, además sus promedios, armónico y aritmético son entre si como 15 es a 16. hallar su MG
Rpta.
17. La MG de 2 números es 6
2
, sabiendo que su MH y MA son dos enteros consecutivos, hallar dichos números pero sumadosRpta.
18. En un aula del “Manuel Scorza” de 60 alumnos, el promedio de notas en aritmética es 12, si 20 de ellos tienen un promedio de 18. ¿Cuál es el promedio de notas de los 40 restantes?
Rpta.
19. El promedio de 5 números es 85. Se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. hallar el sexto número. Rpta.
14 20. En un salón de clase, “a” alumnos tienen 14
años, “b” alumnos tienen 11 años y “c” alumnos tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12 años. Hallar “a”
Rpta.
21. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 números consecutivos es 380,5. hallar el menor de ellos.
22. Rpta. Un estudiante de ha obtenido 13, 14, 16, 12 y “a” en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Determine el valor de “a” si el promedio ponderado es 13,5
Rpta.
23. El promedio de 50 números es 30. si se retiren 4 números cuyo promedio es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio?
Rpta.
24. El promedio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?
Rpta.
25. La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritmético y armónico son consecutivos hallar la diferencia de dichos números.
Rpta.
26. El doble del promedio aritmético de 2 números es igual al cuadrado de su promedio geométrico, más 1. si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro? Rpta.
27. El promedio armónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el promedio armónico de los 70 números. Rpta.
28. El promedio armónico de 3 números es 180/27, uno de los números es 5 y el promedio geométrico de los otros 2 números es 6. dar como respuesta el menor de estos 3 números. Rpta.
29. El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armónico es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
15
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA
El químico realiza experimentos y análisis químicos para determinar la composición, propiedades y posibles transformaciones de la materia, mediante el uso de modernas técnicas experimentales. El químico realiza labores de control de calidad, aseguramiento de calidad, gerencia laboratorios de calidad e investigación en industrias tales como: farmacéutica, metalúrgica, de alimentos, petroquímica, cerámica, del cemento, plásticos, colorantes y otros.
Ámbito de trabajo:
Laboratorios de control de calidad e investigación en las diferentes industrias químicas y en centros de educación.
16
33
M
AGNITUDES
P
ROPORCIONALES
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, ...etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 2km
Tiempo 7 días
# de obreros 12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Ejemplo Ilustrativo:
Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
(Costo total) DP (# de libros) Se observo:
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.
O J O :
D EBEMOS CONSIDERAR QUE A L RELACIONAR 2 MAGNITUDES ,LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR , EL PRECIO DE CADA LIBRO , NO VA RÍA( PERMANECE CONSTANTE )
S I :
. “A” DP “B”
valordeB
k constanteA de
17
35
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
I) L A GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS
II) E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA ( EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS ) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE .
III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A a1 a2 a3 ... an MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn SE VERIFICA: k b a .. . b a b a b a n n 3 3 2 2 1 1
IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx . m: pendiente (constante)
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
(# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante
En general:
Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante.
18 Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
I) L A GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA.
II) E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE .
III) L A FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: . x m x F . M :CONSTANTE curva la bajo gulo tan rec del área
IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “ B”
VALORES CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ... an
MAGNITUD B b1 B2 …… bn
SE VERIFICA:
a1. b1= a2 . b2 = a3. b3= . . . = an . bn = k
Propiedades de las Magnitudes
A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:
1. A . P . I B B . P . I A * A . P . D B B . P . D A * 2. n n n n
B
.
P
.
I
A
B
.
P
.
I
A
*
B
.
P
.
D
A
B
.
P
.
D
A
*
3. B
1
.
P
.
D
A
B
.
P
.
I
A
*
B
1
.
P
.
I
A
.
B
.
P
.
D
A
*
B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) A D. P. (B . C)
C
.
B
A
= cte19 37 E . P . D A D . P . A A C . P . I A B . P . D A .
Cte
E
.
D
.
B
C
.
A
. O J O :C UANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES,ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.
Aplicaciones comunes:
(N° de obreros) DP (obra)
(N° de obreros) IP (eficiencia)
(N° de obreros) IP (N° de días)
(N° de obreros) IP (horas diarias)
(velocidades) IP (Tiempo) (N° de obreros) D P (Dificultad) (N° de dientes) I P (N° de vueltas) . cosntan te ) dificultad )( obra ( ) iento dim ren ( días de # día por Horas obreros de #
.20
39 40
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inveramente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta S/. 45000. ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? Rpta. 45 000
2. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min.
Rpta. 20
3. En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que:
Rpta. Se perdió 160 000 dólares
4. Se sabe que:
A.D.P. B2 (cuando “C” no varía) A.I.P C (cuando “B” no varía)
Si el valor de B disminuye en sus 2/5 y su correspondiente valor de “C” disminuye en sus 9/25. ¿En cuánto varía el valor de A, respecto a su valor anterior?
Rpta.
20 11
5. Dos veteranos de una guerra tienen concebidos sendas de pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo? Rpta. 25
6. El nivel de polución del aire en una cierta ciudad, varía D.P con el cuadrado de la población, son el número de e I.P fábricas y con la raíz cuadrada del área de parques y jardines. Si los incrementos de población, número de fábricas y áreas verdes son 20%, 30% y 44% respectivamente. ¿En qué porcentaje se incrementará la polución?
7. Rpta. 17% Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones
Con C = constante A 1 8 27 64 B 1 0,5 0,3... 0.25 Con B = constante A 1 2 3 4 C 0,25 1 2,25 4 Si cuando: A = 4 y B = 9, C es 16 Hallar A cuando B = 3 y C = 4 Rpta. 54
8. En la siguiente gráfica A y B son magnitudes que se relacionan en forma proporcional
Hallar el área de la región sombreada Rpta. 3
9. Por defectos del fenómeno del niño, la temperatura promedio en el actual verano es media vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es I.P al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la producción del presente año, si el año anterior fue de 3600 toneladas?
Rpta. 1600
11. De un estudio efectuando en el departamento de logístico de una guarnición militar, se encontro que la cantidad de víveres (en kg.) para un batallón es IP al número de soldados y DP al cuadrado del números de bajas de una guerra. Si se sabe que en una guerra, 1000 kg de víveres sirven para
21
41 42
500 soldados con un número de bajas de 10. ¿Qué cantidad de víveres serán necesarios para 1000 soldados, si se proyectan 50 bajas?
10. Rpta. 1250 En una agencia de turismo se ha notado que el número de turistas que viajan a un determinado lugar varía DP a la capacidad de cada ómnibus, al número de horas de trabajo de éstos, a la velocidad que utilizan y el número de ómnibus que se utilizan e IP a la distancia que debe recorrer. Se sabe que 1 ómnibus de 20 pasajeros puede llevar 180 pasajeros en 80 horas de trabajo recorriendo 60km/h cuando van hacia un lugar ubicado a 200km, de la agencia. Se ha edificado un hotel a 360km de la agencia, con una capacidad de 5000 huéspedes. ¿Cuántos ómnibus con capacidad para 30 pasajeros serán necesarios para que en 60 horas de trabajo usando una velocidad de 20 km/h pueda cubrir el 90% de la capacidad de dicho hotel?
Rpta. 45
12. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales; la producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experimentado y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar. ¿Cuál sería su producción de 60 obreros experimentados; en segundo lugar, cuántos obreros nuevos fueron necesarios para producir con ellos 1760 artículos?
13. Rpta. 1560;80 Según la ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional ala volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%?
Rpta. 3
14. Si dos cantidades P y Q son inversamente proporcionales con constante de proporcionales a k. ¿cuánto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de P y 1/Q vale 6?
Rpta. 7/5
15. Se sabe que un cuerpo que cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9.80 m en 1 . 4 seg. Determinar la profundidad del pozo. Si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en dos segundos
22
PROBLEMAS
1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B,
cuando A = 34
A)19 B)2 C)5
D)13 E)17
2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon?
A)12 B)9 C)21
D)13 E)18
3. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b
A)10 B)43 C)64
D)46 E)34
4. Si se cumple que F (12) = 18 Calcular: S = F (5) + F (1)
Sabiendo que F(x) es una función de
proporcionalidad directa
A)7 B)8 C)71
D)2 E)9
5. La magnitud A es I.P a
B
además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b cuando A es igual a 4A)16B) 36 C)24
D)12E)18
6. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene?
A)8 B)10 C)6
D)12E)15
7. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b
A)48B)112 C)56
D) 94 E)80
8. Se ha comprobado experimentar que una magnitud “A” es directamente proporcional a otra “B”. por ejemplo cuando “B” vale 4, “A” toma el valor de 2,4. hallar el valor de “B” que hace que “A” valga 48.
A)10B)100 C)20
D) 40 E)80
9. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo?
A)14B)12 C)15
D) 21E)18
10. Se tienen dos poleas unidades mediante una faja de trasmisión tal como indica la figura. ¿Cuántas vueltas dará la segunda cuando la primera de 30 vueltas? A)22½ vueltasB) 40 vueltas C) 60 vueltasD)20 vueltas E) 30 vueltas
CLAVES
1.B 2.C 3.D 4.E 5.B 6.A 7.B 8.E 9.E 10. A23
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS BIOLÓGICAS
El biólogo, con mención en Zoología, Botánica e Hidrobiología y Pesquería estudia los organismos vivos y sus interrelaciones considerando los aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, ecológicos, taxonómicos, etc. Investiga en laboratorios y en condiciones naturales la estructura genética, fisiología, ecología y otros aspectos fundamentales de las plantas, animales, y los recursos pesqueros. Participa en la evaluación, conservación, mejoramiento, control biológico y aprovechamiento racional de los recursos naturales renovables.
Ámbito de Trabajo:
Centros de investigación y producción, centros superiores de enseñanza, laboratorios y servicios biológicos especializados, asesoramiento en materia de recursos naturales, ecología y conservación.
24
48
R
EPARTO
P
ROPORCIONAL
S
IMPLE
oporcional
Pr
parto
Re
Compuesto
*
inverso
Directo
Simple
*
Como una aplicación de proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directas o inversamente proporcionales a ciertas cantidades llamados “Índice”
Problema General:
Repartir “N” en partes P1 P2 P3 ... Pn que
sean D.P
a a1 a2 a3 a4 ... an. Determinar cada
una de las partes
Partes P1P2P3... Pn Indices a1a2 a3a4... an Condición P1 P2 P3... Pn D. P a1a2 a3 a4... an .
k
a
P
.
...
a
P
a
P
a
P
n n 3 3 2 2 1 1 . k (constante de proporcionalidad) Propiedad: k = n 3 2 1 n 3 2 1a
...
a
a
a
P
.
...
P
P
P
o . S N k .Donde S1= Suma de índices
N = Cantidad a repartir Luego: P1= a1k P2= a2k P3= a3k Pn= ank Ejemplos:
1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12 D.P 25 12 7 6 750 .
30
25
750
k
. Luego: 6(30) = 180 7(30) = 210 12(30) = 3602. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6 y 8 .
15
450
k
Luego: 8(30) = 240 4(30) = 120 3(30) = 903. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en forma I.P a los números 3 y 9 . 6 648 k Luego: 4(108) = 432 2(108) = 296
25
25
PROBLEMAS PARA LA CLASE
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.
1. Repartir 1491 en 3 partes de manera queRepartir 1491 en 3 partes de manera que la primera tenga 2/3 más que la segunda la primera tenga 2/3 más que la segunda y la segunda 2/5 más que la tercera. Una y la segunda 2/5 más que la tercera. Una de dichas partes es:
de dichas partes es: Rpta. 735
Rpta. 735
2.
2. Se Se reparte reparte una una cantidadcantidad proporcionalmente 1; 2; 3 y 4 pero luego proporcionalmente 1; 2; 3 y 4 pero luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de la 3; 4 y 6 motivo por el cual una de la partes disminuye 170 unidades. ¿Cuánto partes disminuye 170 unidades. ¿Cuánto le corresponde al cuarto?
le corresponde al cuarto? Rpta. 2040
Rpta. 2040
3.
3. El número 7200 se reparte directamenteEl número 7200 se reparte directamente proporcional a
proporcional a
63
63
,,
112
112
y
y
175
175
. ¿Cuál. ¿Cuál es el producto de las cifras que es el producto de las cifras que conforman la mayor parte obtenida? conforman la mayor parte obtenida? Rpta. 0Rpta. 0
4.
4. Dividir 18500 D.P a los números 3Dividir 18500 D.P a los números 34747; ; 334949 y 3y 35050.. Dar como respuesta la suma de las cifras de la Dar como respuesta la suma de las cifras de la mayor parte
mayor parte Rpta. 9 Rpta. 9
5.
5. La suma de 3 números es 2832 y susLa suma de 3 números es 2832 y sus cuadrados son proporcionales a los números cuadrados son proporcionales a los números
98
98
11
y
y
50
50
11
;;
88
11
. ¿cuál es la suma de cifras del. ¿cuál es la suma de cifras delmayor número? mayor número? Rpta. 15 Rpta. 15
6.
6. A A y y B B tiene tiene 80 80 y y 55 55 bizcochuelosbizcochuelos respectivamente. Llega C hambriento y se respectivamente. Llega C hambriento y se reparten los 135 bizcochuelos en partes reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales,
iguales, luego de comérselos; “C” le entregaluego de comérselos; “C” le entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto de más S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto de más recibe A
recibe A con respecto con respecto a B?a B? Rpta. 20
Rpta. 20
7.
7. Se reparte 180 kilogramos, de un productoSe reparte 180 kilogramos, de un producto entre 5 personas, según una progresión entre 5 personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta primeros términos resulta ser la quinta parteparte de la
de la suma suma de los de los tres términtres términos. ¿Cuáos. ¿Cuántonto kilogramos reciben la primera y la quinta kilogramos reciben la primera y la quinta persona juntas?
persona juntas? Rpta. 72
Rpta. 72
8.
8. Tres ciclistas deben correr una mismaTres ciclistas deben correr una misma distancia y se ponen de acuerdo para distancia y se ponen de acuerdo para repartirse
repartirse
$ 94 500 en forma D.P a sus velocidades. $ 94 500 en forma D.P a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulta que el Efectuando el recorrido resulta que el primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas, primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas, y el tercero 6
y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el máshoras. ¿Cuánto recibió el más veloz?
veloz? Rpta.
Rpta. 45 45 000000
9.
9. Se hizo un reparto I.P a ciertos númerosSe hizo un reparto I.P a ciertos números obteniéndose 18 000; 14 400 y 12 000. Si obteniéndose 18 000; 14 400 y 12 000. Si el reparto hubiera a los mismos números el reparto hubiera a los mismos números una de las partes sería:
una de las partes sería: Rpta.
Rpta. 17 17 760760
10.
10. Se desea repartir una cierta cantidad (NSe desea repartir una cierta cantidad (N33 - - N)N) en razón directa a los números: 2; 4; 6; 8; 10 en razón directa a los números: 2; 4; 6; 8; 10 ... (2N). Si la menor de las partes obtenidas ... (2N). Si la menor de las partes obtenidas es es (N + 7). Hallar N. (N + 7). Hallar N. Rpta. 9 Rpta. 9 11.
11. Repartir 9900 en tres parte A, B y C de maneraRepartir 9900 en tres parte A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 2 Y B es a C como 5 que A es a B como 3 es a 2 Y B es a C como 5 es a 4. Dar como respuesta la suma de cifras es a 4. Dar como respuesta la suma de cifras de la mayor parte obtenida
de la mayor parte obtenida Rpta. 9
Rpta. 9
12.
12. Se reparten “N” en partes D.P a los números:Se reparten “N” en partes D.P a los números: 24; 15 y 20 e I.P a los números 40; 24; 25. se 24; 15 y 20 e I.P a los números 40; 24; 25. se obtiene que entre las 2 primeras exceden a la obtiene que entre las 2 primeras exceden a la tercera en 765. indicar la suma de cifras de “N” tercera en 765. indicar la suma de cifras de “N”
Rpta. 18 Rpta. 18
13.
13. Repartir 25038 en partes I.P alas inversasRepartir 25038 en partes I.P alas inversas de 15
de 1544; ; 454522 y y 757533. dar como respuesta la. dar como respuesta la parte menor
parte menor Rpta. 108 Rpta. 108
14.
14. A; A; B B y y C C poseen poseen un un campo campo siendo siendo sussus partes proporcionales
partes proporcionales a a los números los números 4; 2;4; 2; 5 y 1,5. “A” vende la mitad de su parte a 5 y 1,5. “A” vende la mitad de su parte a “C” y este vende 100 m
“C” y este vende 100 m22 a “B” así lasa “B” así las partes de “B” y “C” son iguales. ¿Cuántos partes de “B” y “C” son iguales. ¿Cuántos m
m22poseía “A” al principio?poseía “A” al principio? Rpta. 800
Rpta. 800
15.
15. La repartir $ 5700 entre 3 personas; B y C seLa repartir $ 5700 entre 3 personas; B y C se hace el reparto proporcionales a 3 números hace el reparto proporcionales a 3 números consecutivos crecientes. ¿Luego del reparto se consecutivos crecientes. ¿Luego del reparto se tiene
tiene que 1/5 de lo quque 1/5 de lo que le tocó a B e le tocó a B más lo quemás lo que le tocó
le tocó a “A” y a “A” y hacen lo que hacen lo que le tocó le tocó a “C”.a “C”. ¿Cuánto le toco a esta última persona?
¿Cuánto le toco a esta última persona? Rpta. 2090
26
26
PROBLEMAS
PROBLEMAS
1.
1. Un profesor decidió premiar a sus 3Un profesor decidió premiar a sus 3 mejores alumnos regalándoles S/. 9200 mejores alumnos regalándoles S/. 9200 en forma directamente proporcional al en forma directamente proporcional al números de problemas que resuelven de números de problemas que resuelven de la guía. El primero resolvió 17 problemas, la guía. El primero resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indicar el segundo 15 y el tercero 14. Indicar cuánto le tocó al segundo.
cuánto le tocó al segundo.
A)
A)30003000B)B)34003400C)C)28002800
D)
D)35003500E)E)40004000
2.
2. Repartir 750 en forma D.P a los númerosRepartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12; y dar como respuesta la menor 6; 7 y 12; y dar como respuesta la menor parte. parte. A) A)360360B)B)270270 C)C)210210 D) D)180180E)E)150150 3.
3. Repartir 594 en forma I.P a los númerosRepartir 594 en forma I.P a los números 2; 3; 6 y 10; y dar como respuesta la 2; 3; 6 y 10; y dar como respuesta la mayor parte. mayor parte. A) A)6464 B)B)9090 C)C)180180 D) D)360360E)E)270270 4.
4. Repartir 940 en 3 partes que seanRepartir 940 en 3 partes que sean proporcionales a los números
proporcionales a los números
44
33
y
y
88
33
;;
66
55
eeindicar el valor de la parte intermedia indicar el valor de la parte intermedia
A)
A)400400B)B)360360 C)C)210210
D)
D)180180E)E)240240
5.
5. Repartir 648 en forma D.P a 4 y 6 a la vez enRepartir 648 en forma D.P a 4 y 6 a la vez en forma I.P a 3 y 9. dar como respuesta la parte forma I.P a 3 y 9. dar como respuesta la parte menor menor A) A)432432B)B)360360 C)C)240240 D) D)216216E)E)200200 6.
6. Tres obreros A, B trabajan 10; 12 y 15 díasTres obreros A, B trabajan 10; 12 y 15 días respectivamente en una obra. Si en total respectivamente en una obra. Si en total ganaron 1330
ganaron 1330 dólares. ¿Cuánto dólares. ¿Cuánto ganó B ganó B si elsi el jornal de
jornal de los obreros los obreros están en están en la relación la relación de de 4;4; 5 y 6? 5 y 6? A) A)420420B)B)280280 C)C)360360 D) D)430430E)E)450450 7.
7. Dividir el número 3024 D.P a tresDividir el número 3024 D.P a tres números de manera que el primero y el números de manera que el primero y el segundo están
segundo están en la en la relación de 3 relación de 3 a 4 a 4 yy el segundo con el tercero en la relación el segundo con el tercero en la relación de 5 a 7. Indicar la mayor cifra del mayor de 5 a 7. Indicar la mayor cifra del mayor de los números. de los números. A) A)44 B)B)66 C)C) 77 D) D) 55 E)E) 99 8.
8. Repartir 3430 D.P a los números 2Repartir 3430 D.P a los números 22828, , 222929 y
y 223030. Indicar como respuesta la parte. Indicar como respuesta la parte intermedia intermedia A) A)960960B)B)940940 C)C)850850 D) D)980980E)E)290290 9.
9. Descomponer 529 en tres partes que seanDescomponer 529 en tres partes que sean D.P a los números D.P a los números
22
11
y
y
55
22
;;
44
11
. Dar como. Dar comorespuesta la mayor de dichas partes respuesta la mayor de dichas partes
A)
A)115115B)B)184184 C)C)230230
D)
D)460460E)E)320320
10.
10. RepartiRepartir r 2040 2040 proporcioproporcionalmente nalmente a los núma los númererosos 5/8; 0,6 y 0,05. indicar la mayor parte.
5/8; 0,6 y 0,05. indicar la mayor parte.
A) A)10001000B)B) 10201020C)C)920920 D) D)720720E)E)960960
CLAVES
CLAVES
1. 1.AA 2. 2.DD 3. 3.EE 4. 4.DD 5. 5.DD 6. 6.AA 7. 7.AA 8. 8.DD 9. 9.CC 10. 10. A A27 27
¿SABÍAS QUÉ...
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS FÍSICAS
CIENCIAS FÍSICAS
El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, materia. Diseña experimentos, construye prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales de la aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales de la tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacita formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacita para dedicarse a una carrera en investigación científica y actividad profesional en física del medio ambiente, para dedicarse a una carrera en investigación científica y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas.
28
57
R
EGLA DE
T
RES
Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad.
REGLA DE TRES SIMPLE
Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos:
Regla de Tres Simple Directamente proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B. . 1 2 1
a
a
.
b
x
. Ejemplo:1. Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros?
Resolución:
15
30
.
20
x
x = 40 díasRegla de Tres Simple Inversamente Proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido de la magnitud B. . 2 1 1
.
a
a
b
x
. Ejemplo:1. Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Que sucede con la cuadrilla?
Resolución:
1
4
.
h
x
x = 4 h29
58
Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que tiene el valor desconocido se compara con las demás. Así podemos tener:
. 2 1 1 2 2 1 1 2 1
.
a
a
.
b
b
.
c
c
.
e
e
d
x
. Ejemplo:1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m2 en 20 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros se aumentarán, si se hace una obra de 600m2en 15 días trabajando 4h/d?
x + 30 = 30 .
200
600
.
4
6
.
15
20
x + 30 = 180x = 150 PROBLEMAS RESUELTOSProblema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorre un trayecto yendo a 90km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60km/h?
Resolución
I
Yendo a: 90km/h tarda 8 horas
Yendo a: 60km/h tarda x horas
La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por I colocada encima de la columna de lavelocidades.
Por tanto: 8 60 90 x ; de donde: x =
60
8
.
90
= 12 Rpta. . x = 12 horas .30
59
Problema 2:
Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable?
Resolución
D
12m cuestan S/. 42.
Si:
16m cuestan S/. x
El costo es directamente proporcional al número de metros lo que se indica por la letra D encima de la columnametros. Por tanto: x
42
16
12
; donde: x =12
16
.
42
= 56 soles Rpta. . x = 56 soles . Problema 3:Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obre se termine en 8 días?
Resolución
Sea: x = # de obreros que hay que añadir para que la obra se termine en 8 días. I
Luego: Si: 20 obreros 14 días
(20 + x) obreros 8 días
El número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a másobreros menos
días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días.
Por tanto:
20
20
8
14
x ; donde: 20 + x = 8 14 . 20 20 + x = 35 Rpta . x = 15 obreros .31
60
Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?
Resolución:
Sea: x = # de corderos que debe vender
I
Luego: Si: 640 corderos 65 días
(640 - x) corderos (65 + 15) = días = 80 días
El número de corderos es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir que a menos
corderos tendrán para más días), lo que se indica por la letraI encima de la columnadías. Por tanto:
340
640
80
65
x ; de donde: 640 - x =85
65
.
640
640 – x = 520 Rpta. . x = 120 corderos .Problema 5:Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón 21 15 . La velocidad de Manuel es de 56km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara?
Resolución: I Tiempos velocidades Manuel : 15 56km/h Sara : 21 x km/h Por tanto:
56
21
15
x ; de donde: x = 21 56 . 15 = 40 El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad (Quiere decir a mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la columna32
62
Rpta. . x = 40 km/h .
Problema 6
Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5cm y 2,4m están movidas por una correa, cuando la menor dá 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones dá la ma yor?
Resolución:
I
1,5 m 220 Rev. 2,4 m x Rev
Los diámetros son inversamente proporcionales al número de revoluciones. (Quiere decir que a menor
diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra I encima de la columna
metros. Por tanto:
220
4
,
2
5
,1
x ; de donde: x = 4 , 2 220 . 5 , 1 Rpta . x = 137,5 rev .Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12cm de arista habrá construido?
Resolución:
La relación que debemos tener presente, es entre el volumen y el tiempo; puesto que Nataly construye un cubo; veamos:
Para construir este cubo de 4 cm de arista demora 6 horas, o sea:
En 6 horas(4cm)3 . . . . (1)
33
O sea: en x horas (12 cm)3... (2)
D De las expresiones (1) y (2); obtenemos: En 6 horas (4cm)3
En x horas (12 cm)3
Tiempos Volúmenes
Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos (Quiere decir que a más volumen, más
tiempo). Lo que se indica por la letra Dencima de la columnavolúmenes.
Por tanto: 33
)
12
(
)
4
(
6
cm cm x ; de donde: x = x = 6 . (27) . x = 162 horas .Entonces: En 54 horas habrá hecho:
Rpta. Después de 54 horas de trabajo, del cubo de 12cm de arita habrá construido un 1/3.
Problema 8:12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra?
Resolución:
Analizando el problema llegamos a la conclusión que luego del octavo día los 12 obreros tendrían 21 días para completar la obra. Pero como son sólo 7 obreros ahora en cuántos días más terminarán la obra.
Luego:
I
Si: 12 obreros 21 días
7 obreros x días
El número de obreros es inversamente proporcional al tiempo (Quiere decir a
menos obreros más
tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la
34 64 Por tanto: 21 7 12 x de donde : x =
7
21
.
12
= 36 . x = 36 días .Los 7 obreros que quedan demorarán 36 días en terminar la obra (Tiempo total empleado por
los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 = . 44 días .
El retraso será: 44 días - 29 días = 15 días
Rpta. . La obra se entregará con un retraso de 15 días .
Problema 9: Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Rozamiento Matemático en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea?
Resolución:
Del enunciado del problema , planteamos:
rapidez
10
Total
1
rapidez
:
Franklin
3
rapidez
:
Miguel
6
rapidez
:
Percy
Si: IEntre los tres: 10 rapidez 16 días
Entre Miguel 4 rapidez x días
y Franklin
La rapidez es inversamente proporcional al tiempo (quiere decir que a menos rapidez más tiempo). Lo que se indica por la letra Ide la columna rapidez.
Por tanto: 16 4 10 x ; de donde: x =
4
16
.
10
= 40 . x = 40 días .35 Problema 10: Sabiendo que un venado atado a una cuerda de 3m de largo, tarda 5 días en comerse todo el
pasto a su alcance. ¿Cuánto tardaría si la cuerda fuera 6m?
Resolución:
Analizando el problema, llegamos a la conclusión que el buey al comer el pasto que está a su alcance determina un circulo (área del circulo (r 2) Luego: D Áreas Tiempos (3m)2 5 días (6m)2 x días
Las áreas son directamente proporcionales a los tiempos. (quiere decir que a más área más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna áreas
Por tanto: x m m
5
)
6
(
)
3
(
2 2 ; de donde: x = 5 . x = 20 días .Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en comerse todo el pasto que esta a su alcance
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Veinte obreros tienen provisiones para 40 días. Si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzarán las provisiones? Rpta. 80
2. ¿Cuantos pares de medias podré comprar con S/. 800 si cada media cuesta S/. 4?
Rpta. 100
3. El conejo salta 3 veces en 2s. ¿Cuánto tardará en saltar 126 veces?
Rpta. 84
4. La tercera parte de un trabajo realizo en 5 días, lo que me falta lo termino en:
Rpta. 10
5. Si: A = obras, B = días, C = eficiencia, D = obreros, ¿cuál es la alternativa correcta?
a) D y C son DP
b) A y B son IP
c) C y B son DP
d) A y D son IP
e) C y D son IP
6. El kilogramo de yuca cuesta S/. 2 ¿Cuánto costará 7kg de yuca de igual calidad?
Rpta. S/. 14
7. Un móvil a velocidad constante recorre unos 400m en 8s. ¿cuántos metros recorrerá 20s? Rpta. 1000m
8. En 1/3 día se consume 2/7 de la carga de una pila. ¿Cuánto de carga se consumirá en 7/12 de día?
Rpta. 1/2
9. Los 2/7 de una obra los realizó en 18 días. ¿En cuántos días podré terminar los que falta?
Rpta. 45 días
10. 4 polos en un cordel se secan en 4min. ¿Cuánto demorarán en secarse 8 polos? Rpta. 4 min
11. 40 obreros tienen provisiones para 60 días, si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzaran las provisiones? Rpta. 80
12. 5 obreros hacen una obra en 8 días, 32 obreros. ¿En cuantos días harán la misma obra?
11. Rpta. 5/4 días Un par de zapatillas cuesta S/. 160. ¿Cuánto costarán 12 zapatillas?
Rpta. S/. 960
12. En un cubo de aristas 2m se puede almacenar 200kg de arroz ¿Cuántos kilogramos más de arroz se almacenan en un cubo de arista 3m? Rpta. 475
13. Sabiendo que 10 campesinos siembran terreno cuadrado de 15m de lado en 12 días ¿en que tiempo 20 campesinos sembrarán un terreno de 30m de lado?
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PROBLEMAS
1. Dos panes cuestan S/. 0,20 ¿cuánto costarán 4 panes?
A)S/. 0, 10 B)S/. 0,20
C)S/. 0, 30 D)S/. 0,40
E)S/. 0,40
2. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 5 horas recorre 600km. ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 horas?
A)840km B)960km C)690km
D)900km E)720km
3. Catorce obreros hacen una misma obra en 9 días ¿Cuántos obreros harán la misma obra en 7 días?
A)15 B)18 C)17
D)16 E)14
4. Un obrero limpia 5 tubos en 20 minutos. ¿En cuántos minutos limpiará 20 tubos?
A)40 B)60 C)80
D)90 E)30
5. En 16 días se consume 1/8 de la carga de una batería. ¿Cuántos se consumirá en 48 días?
A)3/5 B)2/7 C) 3/8
D)1/8 E)1/5
6. Sabiendo que 5 soldados fuman 5 cigarrillos en 5 min. ¿En que tiempo 6 soldados fumarán 6 cigarrillo?
A)1minB)2minC) 3min
D)4minE)5min
7. Para terminar la reparación de un pozo en 8 días se necesitan 15 obreros ¿Cuántos obreros más se necesitan si se quiere terminar en 5 días?
A)8 B)7 C) 9
D) 5 E)10
8. Un hombre puede leer un libro de “p” páginas en “d” días. ¿Cuántos días se demorará en leer “L” libros de “S” páginas cada uno? A)d, L. SB) S . L . d P C) L.S D)
P
S
.
L
.
d
E) p. L. S9. Veinte trabajadores pueden hacer una zanja de 40m de profundidad en 24 días, 36 trabajadores en 18 días, ¿Qué profundidad cavarán?
A)50 B)52 C)53
D) 54 E)51
10. Trabajando 10h/d, durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9h/d durante 25 días a 3 hornos más? A)100B)120 C)153 D) 160E)140
CLAVES
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.E 7.C 8.D 9.D 10. B38
R
EGLA DE
I
NTERÉS
INTERÉS
Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta.
Interés (I) : Crédito, renta (anual)
Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc. Tiempo (T) : Año, meses, días
OBSERVACIONES:
E L AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL,AQUEL QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO
Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés. OBSERVACIONES: P OR EJEMPLO,TENEMOS: 3 %MENSUAL 36%ANUAL 12% BIMENSUAL 72%ANUAL 10%QUINCENAL 240%ANUAL
Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi:
. M = C + 1 .
Fórmulas para calcular el interés simple:
. 1 =
100
t
.
r
.
C
, “t” en años . . 1 =1200
t
.
r
.
C
, “t” meses . . 1 =1200
t
.
r
.
C
, “t” en días. . Ejemplo:Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene? Resolución: C = S/. 4000 r = 12% semestral24 % anual t = 15 meses I = 1200 t . r . . C =