Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
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Semana 7
Razones trigonométricas
Continuamos en el estudio de la trigonometría. Esta sema-na nos dedicaremos a conocer y hallar las razones trigonomé-tricas: seno, coseno y tangen-te, así como sus inversas.
Entre las aplicaciones de la trigonometría a los triángulos se tiene que pueden ser útiles en la navegación, agrimensura, astronomía, arquitectura (sobre todo cuando se deben medir alturas o hacer dise-ños en planos), entre otras. Ponle mucha atención a esta sesión para que puedas avanzar satisfactoriamente.
La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los lados y ángulos de un triángulo.
Revisa lo trabajado en la semana anterior (ángulos en posición estándar y ángulos cuadrangulares), además del teorema de Pitágoras, para que puedas establecer conexiones entre los conceptos matemáticos.
A los obreros de mi edificio les encantan las matemáticas, de hecho, cuando
trabajan las aplican. Esta mañana el señor Jorge le propuso a su compañero de trabajo, Neptilio, lo siguiente: se necesita para reparar la lámpara que está en la pared, una escalera de 6m de longitud y que su extremo inferior esté a 1,5m de la pared. Determina a qué altura está la lámpara de la pared y cuál es el ángulo de inclinación de la escalera en relación con el piso. ¡No vayas a utilizar instrumentos de medidas! Ayuda a Neptilio a encontrar la solución.
¡Empecemos!
¿Qué sabes de...?
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Es muy probable que le des respuesta a una de las preguntas planteadas porque ya has tenido la oportunidad de realizar problemas similares; a la otra le darás respuesta a medida que avances con la lectura del material.
Razones trigonométricas de un ángulo
Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo, primero se coloca
éste en posición estándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el lado terminal de α, denotamos la distancia OP como r (ver figura 18). Observa
además que si se traza una perpendicular al punto P, se forma un triángulo. ¿Qué tipo de triángulo es?
Figura 18 Figura 19
Observa en la figura 19, que el ángulo agudo α está formado por un cateto y
la hipotenusa. El cateto que forma al ángulo α, junto a la hipotenusa se llama
cateto adyacente y el cateto restante es el cateto opuesto a dicho ángulo α.
Como ya sabes, una función es una relación directa entre cantidades, en
este caso, entre los lados del triángulo. Si tomamos como referencia el trián -gulo rectán-gulo obtenemos:
El coseno de α se define como la razón del cateto adyacente sobre la
hipotenusa.
cos α =
El seno de α se define como la razón del cateto opuesto sobre la
hipotenusa.
sen α =
La tangente de α es la razón del cateto opuesto sobre el adyacente.
tan α = r x y Catetoopuesto Cateto adyacente 90º Hipot enusa α α 0 r P(x,y) Lado inicial Lado terminal Vértice x r y r y x
Vamos al grano
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Funciones trigonométricas inversas
Pueden obtenerse otras razones trigonométricas, con sólo invertirse las compo-nentes de las razones mostradas; éstas funciones son recíprocas a las anteriores.
La secante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto adyacente.
sec α =
La cosecante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto opuesto.
csc α =
La cotangente de α es la división entre el cateto adyacente y el opuesto.
cot α =
Las razones trigonométricas coseno y secante del mismo ángulo son inver-sas entre sí, al igual que el seno y la cosecante, la tangente y la cotangente.
Veamos algunos ejemplos que nos aclaren como utilizar las razones trigonométricas:
1. Determina las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y la tan β = - (ver
figura 19).
Por lo anterior sabes que tan β =
Entonces, el opuesto es 3 y el adyacente es 4. Como está en el segundo cua-drante el signo de cualquier par ordenado será (-,+), podemos asociar el co-seno con la componente x y el seno con la componente y. Así que el cateto opuesto 3 lo ubicamos en el eje y positivo y el adyacente 4 en el eje x negativo.
Observa la gráfica que ilustra este ángulo (ver figura 20).
r x r y x y 3 4
cateto opuesto al ánguloβ cateto adyacente al ánguloβ
6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 -4 (-4, 3) θ 3
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Para hallar todas las razones trigonométricas, necesitas las tres medidas de los lados del triángulo rectángulo y sólo tenemos dos. ¿Cuál nos falta?, ¿qué se te ocurre para hallar el tercer valor? ¡Exacto!
Aplicando Pitágoras, tenemos r = x2 + y2 = 32 + (-4)2 = 25 = 5 Ahora podemos calcular las razones trigonométricas:
cos β = = - 0,8 sec β = = - 1,25
sen β = = 0,6 csc β = = - 1,666...
tan β = = - 0,75 cot β = = - 1,33...
Para saber más…
Retomando el problema inicial, ilustramos la situación a través de un
gráfico (ver figura 21).
Figura 21
Como podrás observar en la figura 21 se forma un triángulo rectángulo.
En este problema se nos pide la altura y el ángulo de inclinación. Es muy probable que hayas calculado la altura aplicando el teorema de Pitágo-ras; qué longitud vas a calcular ¿la de una hipotenusa o un cateto?
Sin embargo, la altura de la pared puede hallarse sin necesidad de apli -car Pitágoras, solamente usando razones trigonométricas. ¿Qué razón trigonométrica usarías para hallar la altura? Puedes usar senβ o tanβ pero necesitarás el valor del ángulo β .
-4 5 -4 3 3 5 3 -4 5 -4 5 3 x = 1,5 m r = 6 m y = ? β
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5
Necesariamente tienes que usar cos β = 0,25 para despejar el valor de
β, debemos eliminar el coseno; para ello podemos usar la función inver-sa llamada arcoCoseno la cual podemos escribir como: arcCos (β); en la calculadora esta función aparece como cos-1. Al aplicar el arcoCoseno, tenemos =
cos-1 (cosβ) = cos-1 (0,25) β = cos-1 (0,25) β = 75,5°
Para obtener el valor de β hacemos uso de la calculadora. Sigue estos
pasos:
COS-1
SHIFT COS 0,25 = 75,522...
Aparece en la pantalla este valor Finalmente, para hallar la altura usaremos tan 75,5º =
(¡hazlo usando la otra razón trigonométrica!). Despejando y, tenemos
y = tan 75,5º · 1,5m = 3,87 · 1,5m = 5,8m aprox.
La inversa del seno β, el arcsen (β ) lo puedes hallar al presionar en la calculadora la tecla sen-1, y la inversa de la tangente, es el arcotangente (β) la obtienes al presionar tan-1.
De acuerdo a los datos del problema descubre cuál razón trigonométri-ca aplitrigonométri-car y si es necesario usar el teorema de Pitágoras.
1. En los ejercicios del 1 al 6, usa la figura 22 ABC para hallar las razones
trigonométricas.
a) sen β b) tan β c) cos β
d) cos α e) sen α f) tan α Figura 22
2. Calcula las funciones trigonométricas de α si cos α = α , está en el II cuadrante.
y
1,5
Aplica tus saberes
β A 13 12 5 B C α
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3. Pedro está con un grupo de amigos jugando con el volantín. Si la cuer
-da de éste forma un ángulo de 70° con el piso y tiene un largo de 20m (ver figura 23) ¿qué tan alto puede volar su volantín? ¿es posible que el
volantín de otro compañero, con la misma cantidad de cuerda que el
anterior vuele más alto o más bajo?, ¿de qué depende? Suponemos que
los volantines tienen la misma forma y que la influencia del viento es igual para ambos.
Figura 23
4. Un cable de tensión se adhiere a un poste de 25m de largo, formando un ángulo de 60º con el suelo. Encuentra la distancia x y la longitud del
cable tensor (Ver figura 24).
Figura 24
5. En la rampa de la figura 25, la tangente del ángulo de inclinación A es 2/3 y la altura 2m.
Halla la distancia horizontal y la longitud de la rampa (ver Figura 25).
Figura 25 25 m 60º x 20 m A A
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Razones trigonométricas
209 1. Realiza los problemas propuestos en la sección anterior y forma un
pequeño grupo para poner en común los resultados. Tu facilitador te orientará en caso de dudas. Entreguen un trabajo por grupo.
2. Tu facilitador los organizará para que cada uno evalué el desempeño (con la guía de coevaluación) de algún compañero del grupo. Posterior-mente deben socializar sus opiniones.
Guía de coevaluación
Nombre del evaluado:_____________________________
Indicador Regular Bueno Excelente
Realizó los ejercicios propuestos. Disposición al trabajo en equipo. Respetó las decisiones del equipo. Domina las razones trigonométricas.
