INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

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(1)INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO. DOCTORADO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA. EXTENDIBILIDAD DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y ESPINORIALES Y APLICACIONES. T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA PRESENTA. RAÚL CASTILLO PÉREZ. DIRECTOR DE TESIS: DR. VLADISLAV KRAVCHENKO. MÉXICO, D. F., DICIEMBRE DE 2004..

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(4) Resumen Iniciamos introduciendo los elementos básicos del análisis cuaterniónico cuyas técnicas y herramientas usamos para estudiar los operadores que incluye esta tesis. El primero de ellos, el operador de Moisil-Theodoresco, nos ayuda a definir un par de operadores –denotados aquí como D±ν– que nos permiten factorizar la ecuación de Helmholtz. Usando. unas. versiones. modificadas. de. estos. operadores,. reformulamos. cuaterniónicamente las ecuaciones de Maxwell armónicas en tiempo y el operador de Dirac. Para éste último, mostramos a detalle el proceso que parte de la representación matricial de los cuaterniones y que pasa a través de un par de transformaciones para llevarnos a su representación cuaterniónica. Una vez reformuladas, se muestra de forma sencilla la relación entre las ecuaciones de Maxwell y de Dirac. Después llevamos a cabo la descomposición del kernel del operador de Klein-Gordon (éste y el de Dirac son los dos operadores más importantes de la física de partículas) lo cual nos permite mostrar que cualquier solución de la ecuación de Klein-Gordon puede ser representada a través de dos soluciones de la ecuación de Dirac con la misma masa. De igual manera descomponemos el kernel del operador de onda – después de establecer su relación con las ecuaciones de Maxwell– lo cual hace evidente la relación entre su teoría y la de un par de operadores cuaterniónicos con muchas aplicaciones en electrodinámica y mecánica cuántica. A continuación mostramos un problema de extendibilidad para un campo electromagnético en un dominio acotado, mismo que es reformulado cuaterniónicamente y resuelto. Después, como para el estudio de problemas con valores de frontera en los dominios no acotados es necesario contar con una condición de radiación en el infinito, presentamos al operador de Helmholtz y el procedimiento que lleva a la obtención de su condición de radiación: la condición de radiación de Sommerfeld. Basándonos en esta condición y en la relación del operador de Helmholtz con los operadores D±ν, encontramos para éstos sus condiciones de. i.

(5) radiación en el infinito. Entonces procedemos al estudio del problema de extendibilidad para el dominio no acotado. Determinando la equivalencia de las condiciones de radiación para los operadores D±ν con las condiciones de radiación de Silver-Müller –condiciones para las ecuaciones de Maxwell en su forma tradicional– cuando se está considerando la reformulación cuaterniónica de las ecuaciones de Maxwell, podemos reformular completamente el problema y determinar el criterio para la existencia de sus soluciones. Por último obtenemos la condición de radiación en el infinito para el operador de Dirac tanto en su forma cuaterniónica como en la clásica, lo cual aprovechamos para obtener sus representaciones integrales. Dichas representaciones nos permiten estudiar una gran cantidad de problemas con valores de frontera, como es el caso del modelo de bolsa MIT, cuya representación cuaterniónica mostramos aquí. De esta manera aprovechamos que el modelo del efecto Casimir fermiónico se reduce a un problema con valores de frontera para la ecuación de Dirac como el mostrado en el modelo de bolsa MIT para encontrar su solución general y las condiciones de compatibilidad que garantizarán la existencia de soluciones no triviales para dicho efecto. Los resultados nuevos son la descomposición de los kérneles de los operadores de Klein-Gordon (Sección 4.1) y de onda (Sección 4.3), la obtención de la condición de radiación para los operadores D±ν basados en el operador de Moisil-Theodoresco (Sección 5.3), la determinación del criterio para la existencia de una solución para problemas de extendibilidad del campo electromagnético en los dominios no acotados (Sección 5.5), la determinación de la condición de radiación en el infinito y las representaciones integrales en los dominios no acotados para el operador de Dirac, y tanto la solución general como la condición de compatibilidad que permiten obtener el conjunto completo de eigenvalores para el efecto Casimir fermiónico (resultados que prácticamente abarcan la totalidad del Capítulo 6).. ii.

(6) Abstract We start introducing the basic elements of quaternionic analysis whose technics and tools we will use in order to study the operators included in this thesis. The first of them, –the Moisil-Theodoresco operator– let us define a pair of operators –denoted here as D±ν– which let us factorize the Helmholtz operator. Using some modified versions of these operators the quaternionic reformulations of the time harmonic Maxwell equations as well as the Dirac operator are obtained. For the latter, the detailed process starting in the matrix representation of quaternions and passing through a pair of transforms leading to its quaternionic reformulation is showed. Once reformulated the Maxwell and the Dirac equations the relation between these two equations is very easily showed. Then we decompose the kernel of the Klein-Gordon operator (the Klein-Gordon and the Dirac operators are the two most important operators of particle physics) and we show that any solution of the Klein-Gordon equation can be represented via two solutions of the Dirac equation with the same mass. In a similar way, we decompose the kernel of the wave operator –after exposing its relation to Maxwell equations– and this makes evident the connection between its theory and the theory of a pair of quaternionic operators with a lot of applications in electrodynamics and quantum mechanics. After that we show an extendibility problem for the electromagnetic field in an unbounded domain, we reformulate it to quaternionic terms and solve it. Then, as the study of boundary value problems in unbounded domains requires the use of a radiation condition at infinity, we present the Helmholtz operator and the procedure which let us obtain its radiation condition: Sommerfeld’s radiation condition. On the basis of this condition and the relation between the Helmholtz and the D±ν operators, the radiation conditions at infinity are found for the latter. We continue with the study of the extendibility problem for the unbounded domain. Determining the equivalence of the radiation conditions for the operators D±ν to the Silver-Müller radiation conditions –the conditions for the Maxwell equations in their traditional form– when. iii.

(7) the quaternionic reformulation of Maxwell’s equations is being considered, allows us to completely reformulate the problem and to determine the criterion for the existence of solutions. Finally we obtain the radiation condition at infinity for the Dirac operator both in its classical form an in its quaternionic form. With the aid of such radiation conditions we obtain the respective integral representations. These representations allow us to study a big amount of boundary value problems, as the MIT bag model, for example, whose quaternionic representation we show here. This way, we take advantage of the Casimir effect model reducing to a boundary value problem for the Dirac equation –as the one shown in the MIT bag model– in order to find its general solution and the compatibility conditions which grant the existence of nontrivial solutions for such effect.. The new results are the decomposition of the kernel of the Klein-Gordon (Section 4.1) and wave (Section 4.3) operators, the radiation condition at infinity obtained for the operators D±ν based on the Moisil-Theodoresco operator (Section 5.3), the determination of the criterion. for. the. existence. of. solutions. for. extendibility. problems. for. the. electromagnetic field in unbounded domains (Section 5.5), the determination of the radiation condition at infinity and the integral representations in unbounded domains for the Dirac operator, and both the general solution and the compatibility condition which allow us to obtain the complete set of eigenvalues for the fermionic Casimir effect (these results cover almost all of Chapter 6).. iv.

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