Matem´
aticas Empresariales I
Lecci´
on 9
Extensiones de la Integral
Manuel Le´on Navarro
Integrales impropias - Definici´
on
Definici´on Integral (Riemann) =⇒ funciones acotadas en intervalos cerrados
Integrales impropias =⇒ Generalizci´on del concepto cuando alg´un supuesto no se da
Las integrales impropias de primera especie =⇒ No es intervalo cerrado
Las integrales impropias de segunda especie =⇒ No es funci´on acotada
Integrales impropias de primera especie
Definici´on
Sea f : [a, +∞) → R una funci´on integrable en cualquier intervalo cerrado [a, u] con u ≥ a. Denominamos integral generalizada o impropia de f en el intervalo [a, +∞) al l´ımite, si existe:
l´ım u→+∞ Z u a f y se representa por Z +∞ a f Si existe =⇒ R+∞ a f = l
Integrales impropias de primera especie - (Cont.)
De forma an´aloga:
Integrales impropias de primera especie - Criterios de
convergencia
Si f posee primitiva (F ) =⇒ la integral se reduce a:
Z +∞
a
f = l´ım
u→+∞(F (u) − F (a))
y por lo tanto, la convergencia de R+∞
a f se dar´a cuando sea finito el
l´ımite:
l´ım
u→+∞F (u)
Integrales impropias de primera especie - Criterios de
convergencia - Ejemplo
Sea la funci´on f (x ) = e−x. Si queremos calcular laR0+∞e−xdx , en primer lugar calculamos una primitiva. Es claro que F (x ) = −e−x es una primitiva de la funci´on f (x ) = e−x (s´olo hay que calcular la derivada) y por lo tanto:
Z +∞ 0 e−x = l´ım u→+∞−e x u 0 = l´ım u→+∞ −e −u+ e0 = 1 ya que l´ım u→+∞−e −u = l´ım u→+∞ −1 eu = 1 ∞ = 0 Se puede asegurar que la integral impropiaR+∞
0 e
−xdx es convergente y
Integrales impropias de primera especie - Criterios de
convergencia - Ejercicio
Razone de que tipo de integral es la siguiente y calcule:
Z ∞
−∞
dx 1 + x2
Integrales impropias de segunda especie
Definici´on
Sea f : [a, b) → R una funci´on integrable en cualquier intervalo cerrado [a, u] con u ∈ [a, b). Denominamos integral generalizada o impropia de f en el intervalo [a, b) al l´ımite, si existe:
l´ım u→b− Z u a f Z b− a f Si existe =⇒ Rb− a f = l
Integrales impropias de segunda especie
Integrales impropias de segunda especie - Criterios de
convergencia
Si la funci´on f posee primitiva (F ) =⇒ la integral se reduce a
Z b−
a
f = l´ım
u→b−(F (u) − F (a))
y por lo tanto, la convergencia deRb−
a f se dar´a cuando sea finito el l´ımite:
l´ım
u→b−F (u)
Integrales impropias de segunda especie - Criterios de
convergencia - Ejemplo
Sea la funci´on f (x ) = 2−x1 . Estudie si la integral int04f (x ) es convergente y calcule el valor en su caso.
Como la funci´on no esta acotada en x = 2 entonces debemos ver si son convergentes las integrales impropias R2−
0 1 2−x y
R4
2+ 2−x1 .
En primer lugar calculamos:
Z u 0 1 2 − xdx = −Ln(2 − x ) u 0 = −Ln(2 − u) + Ln2
Para ver si es convergente debemos calcular el l´ımite cuando u tienda a 2
l´ım u→2− Z u 0 1 2 − xdx = l´ımu→b−(−Ln(2 − u) + Ln2) =
Integrales impropias de segunda especie - Criterios de
convergencia - Ejercicio
Razone que tipo de integral impropia es la siguiente y calcule:
Z 6
0
2xdx
3
p(x2− 4)2
Integrales Eurelianas - la funci´
on Gamma
Dado un n´umero p > 0, llamaremos Γ(p) (y se dir´a gamma de p) al valor de la siguiente integral:
Γ(p) = Z +∞
0
e−xxp−1dx
El dominio de la funci´on va de 0 a ∞, por lo tanto
Γ(p) : (0, ∞) → R
La integral gamma es impropia y por lo tanto, para que est´e bien definida la funci´on gamma, dicha integral debe ser convergente.
Integrales Eurelianas - la funci´
on Gamma - Proposici´
on
Para todo p > 0 la integral R0+∞e−xxp−1dx es convergente.
Propiedades de la funci´on Gamma
1 (ley de recurrencia de la gamma) Para todo p > 1 se cumple
Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1)
2 Para p = 1 se cumple Γ(1) = 1
3 Para cada n entero no negativo se cumple Γ(n) = (n − 1)! 4 Para p = 1 2 se cumple Γ( 1 2) = √ π
Integrales Eurelianas - la funci´
on Beta
Dado un n´umero p > 0 y otro q > 0, llamaremos β(p, q) (y se dir´a beta de p,q) al valor de la siguiente integral:
β(p, q) = Z 1
0
Integrales Eurelianas - la funci´
on Beta - Proposici´
on
Para todo p > 0 y q > 0 la integral β(p, q) est´a perfectamente definida.
Propiedades de la funci´on Beta
1 Es sim´etrica respecto a la bisectriz, es decir,
β(p, q) = β(q, p)∀p, q > 0
2 β(p, 1) = 1
p∀p > 0 y β(1, q) = 1
Integrales Eurelianas - Relaci´
on entre las funciones Gamma
y Beta
Las funciones de Euler est´an relacionadas de la siguiente forma:
β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q)
Integrales Eurelianas - Ejemplos
Calcular los valores de Γ(3), β(√2, 1) y de β(2, 4).
En primer lugar, para calcular Γ(3) utilizamos la tercera propiedad de la funci´on Gamma que dice
Γ(p) = (p − 1)! =⇒ Γ(3) = (3 − 1)! = 2! = 2 · 1 = 2
En segundo lugar, para calcular β(√2, 1) utilizamos la segunda propiedad de la funci´on beta que dice
β(p, 1) = 1
p =⇒ β( √
2, 1) = √1 2
Integrales Eurelianas - Ejemplos (Cont.)
Por ´ultimo, para calcular β(2, 4) utilizamos la relaci´on que hay entre la funci´on beta y la Gamma seg´un la expresi´on β(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q) y por lo tanto
β(2, 4) = Γ(2)Γ(4) Γ(2 + 4)
y ahora, utilizando las propiedades de la funci´on Gamma se obtiene que
β(2, 4) = 1! · 3! 5! = 3 · 2 · 1 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 5 · 4 = 1 20
