Frases para meditar: Frases para meditar:
La
La cosa cosa más más importante importante de de la la vida vida no no eses capitalizar las ventajas. Cualquier tonto capitalizar las ventajas. Cualquier tonto puede
puede hacer hacer esto; esto; lo lo que que verdaderamenverdaderamentete importa es beneficiarse con las pérdidas; importa es beneficiarse con las pérdidas; esto exige inteligencia y señala la esto exige inteligencia y señala la diferencia entre un hombre de juicio y un diferencia entre un hombre de juicio y un necio.
necio. La
La ingratitud ingratitud es es tan tan natural natural como como lala cizaña. La gratitud es como la rosa, tiene cizaña. La gratitud es como la rosa, tiene que ser cultivada, regada, amada y que ser cultivada, regada, amada y protegida.
protegida. Los
Los hombres hombres que que luchan luchan un un día día sonson buenos; los hombres que luchan un año buenos; los hombres que luchan un año son
son mejores; mejores; pero pero aquellos aquellos que que luchanluchan toda una vida, aquellos son los toda una vida, aquellos son los imprescindibles
imprescindibles. . (Bertol Brecht)(Bertol Brecht)
Probabilidad
Probabilidad
Experimento estadístico
Experimento estadístico: Es un ensayo que se desarrolla con una: Es un ensayo que se desarrolla con una muestra s
muestra seleccionada eleccionada al azal azar, con ar, con la finalla finalidad idad de de buscar buscar un coun conocimientonocimiento o confirmar lo existente; debido a que los resultados del experimento no o confirmar lo existente; debido a que los resultados del experimento no pueden
pueden conocerse conocerse de de antemanoantemano, , éstos éstos estarán estarán sujetos sujetos al al azar. azar. PorPor ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda, asumiendo que no tendrá ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda, asumiendo que no tendrá ninguna t
ninguna tendencia dendencia de ladee ladearse hacia arse hacia un lado, un lado, entonces entonces al caeal caer, pueder, puede mostrar
mostrar cara o cara o sello, o sello, o cuando arrojamos un cuando arrojamos un dado, los dado, los resultados posiblesresultados posibles que podrán formarse estarán constituidos por los números 1, 2,3, 4, 5, y 6; que podrán formarse estarán constituidos por los números 1, 2,3, 4, 5, y 6; como no sabemos exactamente cuál de ellos saldrán, se dice que estos como no sabemos exactamente cuál de ellos saldrán, se dice que estos resultados estarán sujetos al azar.
Espacio muestral:
Espacio muestral: Constituyen Constituyen todos todos los los resultados resultados posibles posibles queque pueden
pueden obtenerse obtenerse al al desarrollar desarrollar en en experimento; experimento; así así al al lanzar lanzar trestres monedas,
monedas, los los resultados resultados posibles posibles que que podrán podrán obtenerse obtenerse estaránestarán constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituyendo
constituyendo en total ocho en total ocho elementos; elementos; si lanzamsi lanzamos dos dados su os dos dados su espacioespacio muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de
números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6). números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6).
Al número total de elementos del espacio muestral se le denota Al número total de elementos del espacio muestral se le denota por n(S), sien
por n(S), siendo S el edo S el espacio mspacio muestral.uestral.
Ejemplo 4.1.
Ejemplo 4.1. La soci La sociedad medad minera inera cuenta con cuenta con dos salas dos salas de entrenamde entrenamientoiento para
para sus sus futuros futuros profesionales; profesionales; las las nuevas nuevas ingresantingresanteses AAna,na, BBeatriz yeatriz y
C
Carmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir suarmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir su entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas personas a l
personas a las as salas, constsalas, construya su esparuya su espacio muestracio muestral.l.
Solución
Solución :: Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles casos:
casos:
#
# Sala Sala 1 1 Sala Sala 22 1 1 ABC ABC --2 2 AB- AB- CC 3 3 -BC -BC AA 4 4 A-C A-C BB 5 5 A-- A-- BCBC 6 6 -B- -B- ACAC 7 7 --C --C ABAB 8 8 --- --- ABCABC Evento o suceso:
Evento o suceso: Es un resultado específico del espacio muestral; así,Es un resultado específico del espacio muestral; así, cuando lanzam
cuando lanzamos una os una moneda, podemmoneda, podemos estar interesaos estar interesados en obtener sdos en obtener soloolo los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, observamos
observamos que el evque el evento # 4ento # 4, , sólo ocusólo ocurrirá una vrrirá una vez, o los ez, o los eventos #eventos # pares,
pares, ocurrirán ocurrirán en en conjunto tres conjunto tres veces veces (2, (2, 4 4 y y 6). 6). Cuando Cuando el el evento evento nono suceda o
suceda o será imserá imposible dposible de que sue que suceda ceda se le se le denota podenota por cero; comr cero; comoo ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca sucederá, por lo que su valor estará asociado a cero.
Espacio muestral:
Espacio muestral: Constituyen Constituyen todos todos los los resultados resultados posibles posibles queque pueden
pueden obtenerse obtenerse al al desarrollar desarrollar en en experimento; experimento; así así al al lanzar lanzar trestres monedas,
monedas, los los resultados resultados posibles posibles que que podrán podrán obtenerse obtenerse estaránestarán constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituyendo
constituyendo en total ocho en total ocho elementos; elementos; si lanzamsi lanzamos dos dados su os dos dados su espacioespacio muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de
números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6). números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6).
Al número total de elementos del espacio muestral se le denota Al número total de elementos del espacio muestral se le denota por n(S), sien
por n(S), siendo S el edo S el espacio mspacio muestral.uestral.
Ejemplo 4.1.
Ejemplo 4.1. La soci La sociedad medad minera inera cuenta con cuenta con dos salas dos salas de entrenamde entrenamientoiento para
para sus sus futuros futuros profesionales; profesionales; las las nuevas nuevas ingresantingresanteses AAna,na, BBeatriz yeatriz y
C
Carmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir suarmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir su entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas personas a l
personas a las as salas, constsalas, construya su esparuya su espacio muestracio muestral.l.
Solución
Solución :: Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles casos:
casos:
#
# Sala Sala 1 1 Sala Sala 22 1 1 ABC ABC --2 2 AB- AB- CC 3 3 -BC -BC AA 4 4 A-C A-C BB 5 5 A-- A-- BCBC 6 6 -B- -B- ACAC 7 7 --C --C ABAB 8 8 --- --- ABCABC Evento o suceso:
Evento o suceso: Es un resultado específico del espacio muestral; así,Es un resultado específico del espacio muestral; así, cuando lanzam
cuando lanzamos una os una moneda, podemmoneda, podemos estar interesaos estar interesados en obtener sdos en obtener soloolo los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, observamos
observamos que el evque el evento # 4ento # 4, , sólo ocusólo ocurrirá una vrrirá una vez, o los ez, o los eventos #eventos # pares,
pares, ocurrirán ocurrirán en en conjunto tres conjunto tres veces veces (2, (2, 4 4 y y 6). 6). Cuando Cuando el el evento evento nono suceda o
suceda o será imserá imposible dposible de que sue que suceda ceda se le se le denota podenota por cero; comr cero; comoo ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca sucederá, por lo que su valor estará asociado a cero.
Permutación
Permutación: Es un grupo ordenado de elementos; lo cual quiere decir: Es un grupo ordenado de elementos; lo cual quiere decir que
que la la posición posición de de cada cada uno uno de de ellos ellos es es respetada; respetada; así así si si tenemos tenemos trestres letras como la
letras como la M, A, M, A, E y E y nos interesara formar nos interesara formar una palabra con una palabra con estas tresestas tres letras, tendremos
letras, tendremos las las siguientes palabras: siguientes palabras: MAE, MAE, MEA, MEA, AME, AME, AEM,AEM, EMA, EAM.
EMA, EAM. Como Como podemos apreciar, cada podemos apreciar, cada palabra es palabra es diferente pese diferente pese aa contar con las
contar con las mismas letras, por ello mismas letras, por ello la posición de la posición de cada elemento definecada elemento define una palabra diferente a la otra.
una palabra diferente a la otra. En el
En el caso dcaso de cone contar con tar con un númun número mero mayor de ayor de tres tres letras,letras, digamos cinco, seis, o más, podría surgir una interrogante; ¿cuántas digamos cinco, seis, o más, podría surgir una interrogante; ¿cuántas palabras podremos formar con ellas, considerándolas a todas
palabras podremos formar con ellas, considerándolas a todas a la a la vez?; esvez?; es obvio que ya no serán solo seis, habrán más; para saber exactamente este obvio que ya no serán solo seis, habrán más; para saber exactamente este número, partamos razonando del ejemplo de las tres letras: el número número, partamos razonando del ejemplo de las tres letras: el número total
total de de palabras palabras que que pueden pueden obtenerse obtenerse al al permutapermutar r las las tres tres letras, letras, sese obtiene prim
obtiene primero teniendo ero teniendo tres posibiltres posibilidades para formidades para formar ar la primla primera letra;era letra; una vez escogida cualquiera de
una vez escogida cualquiera de estas tres posibilidades, quedarán solo dosestas tres posibilidades, quedarán solo dos posibilidades
posibilidades para para tomar tomar la la segunda segunda letra, letra, y y formada formada estas estas dosdos posibilidades,
posibilidades, solo solo quedará quedará una una posibilidad posibilidad para para escoger escoger la la tercera tercera letra;letra; contando todas las palabras formadas al hacer estas conjeturas contando todas las palabras formadas al hacer estas conjeturas observamos
observamos que hay seis pque hay seis posibles osibles palabras que palabras que podrían formpodrían formarse.arse. La
La Fig. Fig. 4.1 4.1 presenta presenta todas todas las las posibilidadeposibilidades s de de formar formar unun número de palabras cuando se tiene tres elementos, tomándolas todas al número de palabras cuando se tiene tres elementos, tomándolas todas al azar; esta forma de representarlo se llama
azar; esta forma de representarlo se llama di agrdiagr amama de áa de árrbol bol por tener por tener semejanza con un árbol, partiendo de un tronco y con sus respectivas semejanza con un árbol, partiendo de un tronco y con sus respectivas ramificaciones
ramificaciones; en la ; en la medida que el número de medida que el número de elementos sea más grande,elementos sea más grande, el árbol será
el árbol será más grande y con mayores ramificaciones.más grande y con mayores ramificaciones.
Consideremos ahora el caso de que contamos con
Consideremos ahora el caso de que contamos con nn elementos,elementos, todos
todos diferentes diferentes y y queremos queremos obtener obtener los los posibles posibles nuevos nuevos elementos elementos queque podrían
podrían formarse formarse tomándoletomándoles s todos todos a a la la vez; vez; una una forma forma de de determinarlodeterminarlo sería construyendo su diagrama de árbol, semejante al de la fig. 4.1; otra sería construyendo su diagrama de árbol, semejante al de la fig. 4.1; otra forma también podría ser, razonando analíticamente como el hecho para forma también podría ser, razonando analíticamente como el hecho para las tres letras; así si hay n elementos, entonces para la primera vez las tres letras; así si hay n elementos, entonces para la primera vez existirán n posibilidades, para la siguiente n-1 posibilidades, para el existirán n posibilidades, para la siguiente n-1 posibilidades, para el subsiguiente n-2 posibilidades, así hasta llegar al último elemento, donde subsiguiente n-2 posibilidades, así hasta llegar al último elemento, donde solo habrá 1 posibilidad; ahora uniendo todos estas posibilidades, solo habrá 1 posibilidad; ahora uniendo todos estas posibilidades, tendremos que se habrán formado
n*(n-1)*(n-2)*(n-tendremos que se habrán formado n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*2*1=3)*…*2*1= n!n!
elementos. elementos.
Fig.
Fig. 4.1 4.1 Diagrama Diagrama de de árbol árbol para para construir construir todas todas las las palabras palabras posiblesposibles con las letras M, A, E
con las letras M, A, E
M
M
A
A
E
E
A
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E
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M
E
EM
MA
A
E
EA
AM
M
De este modo podemos deducir que si tenemos n elementos, y De este modo podemos deducir que si tenemos n elementos, y queremos formar un conjunto de
queremos formar un conjunto de nuevos elementos diferentes, tomándolesnuevos elementos diferentes, tomándoles todas a la vez, el número total de elementos permutados será
todas a la vez, el número total de elementos permutados será n!n!. Ahora, si. Ahora, si de un total de
de un total de nn elementos tomáramos elementos tomáramos rr elementos elementos de de modo modo que que r r n n yy deseáramos
deseáramos permutarlos, permutarlos, tomándolos tomándolos dede rr formas, el número total de formas, el número total de elementos diferentes o permutados será:
elementos diferentes o permutados será:
)!
)!
((
!!
r
r
n
n
n
n
.. De mDe manera general, la anera general, la fórmula para determinar fórmula para determinar el númel número total deero total de elementos permutados tomándol
elementos permutados tomándolas de r as de r formas es:formas es: nnPPrr = =
)!
)!
((
!!
r
r
n
n
n
n
.. Ejemplo 4.2.Ejemplo 4.2. Se presentan cuatro postulantes para ocupar un puesto deSe presentan cuatro postulantes para ocupar un puesto de trabajo; el jefe de personal hará la respectiva entrevista a dichos trabajo; el jefe de personal hará la respectiva entrevista a dichos postulantes:
postulantes: a) a) ¿De cuántas ¿De cuántas maneras podrá maneras podrá hacerse la hacerse la entrevista si entrevista si se losse los llama a todos de uno en uno?, b) ¿De cuántas maneras podrá hacerse la llama a todos de uno en uno?, b) ¿De cuántas maneras podrá hacerse la entrevista, llamándol
Solución:
Solución: a) a) Si Si los los postulantes postulantes están están designados designados por por las las letras letras A,A, B, C
B, C y D, y D, entonces una primentonces una primera podría ser llamándoles en era podría ser llamándoles en ese orden: ese orden: A,A, B, C, y D; una segunda forma podría ser llamándoles en el orden B, A, C, B, C, y D; una segunda forma podría ser llamándoles en el orden B, A, C, D; otra
D; otra forma podría ser forma podría ser D, C, D, C, B, A B, A y así y así sucesivamente se podría irsucesivamente se podría ir ensayando todas las opciones posibles; cualquier selección de una de ensayando todas las opciones posibles; cualquier selección de una de estas formas da opción a escoger cuatro posibilidades a la primera vez; estas formas da opción a escoger cuatro posibilidades a la primera vez; habiendo escogido cualquiera de estas cuatro formas, en el siguiente caso habiendo escogido cualquiera de estas cuatro formas, en el siguiente caso existen tres posibilidades para cada una de estas formas; escogiendo estas existen tres posibilidades para cada una de estas formas; escogiendo estas tres formas, quedan dos posibilidades, y por último queda solo una tres formas, quedan dos posibilidades, y por último queda solo una posibilidad
posibilidad para para la la última última opción; opción; finalmenfinalmente, te, el el número número total total dede posibilidades
posibilidades que que podrán podrán formarse, formarse, para para llamar llamar en en ese ese orden orden a a loslos postulantes
postulantes será: será: 4*3*2*1 4*3*2*1 = = 4! 4! = = 24. 24. El El posible posible orden orden en en que que podránpodrán presentarse, de
presentarse, de estas estas 24 24 posibilidades, puede posibilidades, puede obtenerse, obtenerse, construyendconstruyendo o elel diagrama de árbol.
diagrama de árbol. b)
b) Si Si a a los postulantes los postulantes se se los llos llama de lama de dos dos en dos, en dos, entonces el entonces el número denúmero de casos posibles será:
casos posibles será: 44PP22 = =
)!
)!
2
2
4
4
((
!!
4
4
= = 12 maneras.12 maneras. Ejemplo 4.3.Ejemplo 4.3. En una carrera de cien metros planos compiten diez atletas En una carrera de cien metros planos compiten diez atletas para
para ocupar ocupar los los tres tres primeros primeros puestos, puestos, ¿de ¿de cuántas cuántas maneras maneras podránpodrán ganarse estos puestos?
ganarse estos puestos?
Solución:
Solución: Si los atletas están identificados con las letras A, B, C, …, J,Si los atletas están identificados con las letras A, B, C, …, J,
entonces los tres primeros puestos los pueden ocupar ABC, ó BAC, ó entonces los tres primeros puestos los pueden ocupar ABC, ó BAC, ó JAH, etc., por lo tanto habrán :
JAH, etc., por lo tanto habrán : 1010PP33 == 720 maneras de ocuparlos; en este720 maneras de ocuparlos; en este
caso, como es una competición atlética, se entiende que es importante el caso, como es una competición atlética, se entiende que es importante el orden de llegada para estar dentro de los tres primeros lugares y ganar los orden de llegada para estar dentro de los tres primeros lugares y ganar los premios respe
premios respectivos.ctivos.
Permutaciones con objetos repetidos:
Permutaciones con objetos repetidos: Si de un total de n elementos,Si de un total de n elementos, existen n
existen n11, , nn22, , nn33,… sub elementos que se repiten, el número total de,… sub elementos que se repiten, el número total de
elementos que podrán formarse al permutarlos será: elementos que podrán formarse al permutarlos será:
nPn nPn11,n,n22,n,n33,….=,….=
!*...
!*...
!*
!*
!*
!*
!!
3 3 2 2 1 1n
n
n
n
n
n
n
n
CombinaciónCombinación: En un caso como éste, no interesa el orden cómo: En un caso como éste, no interesa el orden cómo aparezcan los elementos, basta con que aparezcan todas ellas; a ello se le aparezcan los elementos, basta con que aparezcan todas ellas; a ello se le llama una combinación, y se lo define como un grupo no ordenado de llama una combinación, y se lo define como un grupo no ordenado de
elementos; así si tenemos las tres letras A, M, E, y no nos interesara cómo aparecerán estas tres letras al querer combinarlas, nos dará igual que las palabras formadas como, AME, EMA, EAM,..., sean las mismas, o tengan el mismo valor.
La fórmula que permite obtener el número de combinaciones de n
elementos tomadas de r maneras es: nCr =
)!
!*(
!
r
n
r
n
Ejemplo 4.4. Considere el ejemplo 4.3, donde solo nos interesa saber quienes fueron los tres primeros en llegar a la meta, más no el orden cómo llegaron, ¿de cuántas maneras podrán hacerse esta selección?
Solución : En este caso, no interesa en qué orden llegarán los tres primeros ganadores, o sea da igual que sea ABC, o BAC, o CAB, etc., por
lo que el problema se reduce a una combinación de diez elementos tomados de tres en tres 10C3 =
)! 3 10 !*( 3 ! 10 = 120 formas.
Ejemplo 4.5. De siete alumnos que pertenecen al tercio superior del curso de estadística se escogerán al azar a tres para integrarse al consejo de facultad, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección?
Solución : El orden en que sean elegidos estos tres alumnos no importa, dado que solo interesa que sean elegidos tres, por lo tanto es una combinación de 7 elementos tomados de 3 maneras de modo que habrán
7C3 = 35 formas de hacer la elección.
Ejemplo 4.6. Se recibe una caja que contiene diez disquetes, de los cuales hay cuatro que presentan problemas en su sector de arranque; se escogerá indistintamente tres disquetes al azar:
a) ¿De cuántas maneras podrá hacerse esta selección?
b) Si solo se desea escoger los disquetes que están en buen estado de ¿cuántas maneras podrá hacerse esta selección?
c) Si se desea escoger dos disquetes buenos y dos malos, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección?
a) En este caso, solo se escogerán tres disquetes del lote de los diez, sin importar si presentan problemas o no en su sector de arranque; además no interesa el orden en que salgan; por lo tanto es un problema de combinación de diez elementos tomados de tres maneras, esto es, habrán 10C3 = 120 formas de seleccionarlos.
b) Para este caso, de los diez disquetes hay seis que están en buen estado, y de ellos se desea sacar tres que reúnan estas condiciones; el número de posibilidades de seleccionarlos será una combinación de seis elementos tomados de tres maneras: 6C3 = 20 formas.
c) De las seis buenas se seleccionará de dos maneras, y de las cuatro malas, se seleccionará también de dos maneras; por cada caso habrán: : 6C2 = 15 maneras de escoger las buenas y : 4C2 = 6
maneras de escoger las malas; para ver las posibilidades de escoger las buenas y malas, tendremos 15*6 = 90 posibilidades.
Ejemplo 4.7. Una caja contiene ocho bolas blancas, seis bolas negras y cinco bolas rojas; se hará el experimento de extraer sucesivamente cuatro bolas al azar, sin reponerlas:
a) ¿De cuántas maneras podrá hacerse esta selección?
b) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas blancas? c) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas negras? d) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas rojas?
e) ¿De cuántas maneras se podrá sacar dos bolas blancas, una bola negra y una bola roja?
Solución :
a) En total tenemos 19 bolas; sin importar el color se extraerán cuatro bolas al azar, por lo tanto todas las posibilidades que podrían
suceder son 19C4 = … maneras.
b) Considerando que solo tenemos ocho bolas blancas, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 8C4 = .. maneras.
c) Considerando que solo tenemos seis bolas negras, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 6C4 = .. maneras.
d) Considerando que solo tenemos cinco bolas rojas, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 5C4 = ... maneras.
e) Considerando que tenemos ocho bolas blancas, seis bolas negras y cinco bolas rojas, de los cuales se extraerán dos blancas, una negra y
una roja, el número total de posibilidades será el producto de estas tres posibilidades: 8C2 *6C1 * 5C1 = … maneras
Probabilidad: Se define como la relación entre el número de eventos y su espacio muestral: Probabilidad =
muestral
Espacio
eventos
de
Número
_
_
_
; de esta expresión podemos deducir que cuando Número_de_eventos es igual a cero, la probabilidad será cero, y cuando el Número_de_eventos es igual a su espacio muestral, la probabilidad será uno; de este modo, la probabilidad en el peor de los casos será cero, y en el mejor de los casos uno. Una probabilidad igual a cero, significará que el evento será imposible de que suceda, en cambio una probabilidad igual a uno, significará que el evento será exitoso en todo el sentido de la palabra; y si continuamos analizando esta expresión, podemos concluir que una probabilidad igual a 0,50 indicará que el
evento podría suceder o como no podría suceder; una probabilidad cercana a cero, indicará que es menos seguro que el evento tienda a suceder, y en el caso contrario, cuanto más cerca esté la probabilidad a uno, significará que el evento es más seguro de que suceda. La probabilidad también puede ser expresada en términos porcentuales.
Ejemplo 4.8. Considerando el caso de la caja de los diez disquetes, ¿cuál será la probabilidad de escoger tres buenos si estas se extraen al azar?
Solución: Deberá tenerse en cuenta el evento seleccionar tres disquetes en buen estado, de solamente los buenos, y el espacio muestral de seleccionar tres disquetes del total de los disquetes, luego desarrollar el cociente de acuerdo a la definición de probabilidad; esto es:
Probabilidad de escoger tres disquetes en buen estado =
total
del
disquetes
r
Selecciona
estado
buen
en
disquetes
r
Selecciona
_
_
_
3
_
_
_
_
_
3
_
= 3 10 3 6 C C = 1/6 = 16,7%Fuentes de probabilidad: En razón de que la probabilidad está definida como la relación entre el número de eventos y su espacio muestral, su determinación es factible en el caso de que los eventos pueden conocerse de antemano o basarse en experimentos reales; esta referencia es conocido como hechos empíricos o históricos; de otra manera pueden predecirse ciertos acontecimientos basados en modelos de comportamientos teóricos
que siguen determinadas leyes matemáticas, lo cual también posibilita el cálculo de la probabilidad; sin embargo hay situaciones en los que no se cuenta con ninguna información empírica, ni existe información de un modelo que permita describir un comportamiento matemático teórico; esto hace que el cálculo de probabilidades no podrá determinarse con facilidad; cuando estas situaciones se presenta, se acude al criterio de la persona que hace el estudio; considerando estos tres planteamientos, decimos que existen tres formas para hacer cálculos de probabilidades: 1. A posteriori ; basado en antecedentes históricos o experimentos reales,
llamado también fuentes empíricas; la frecuencia relativa es el caso típico de esta forma, dado que se lo define como la relación de la frecuencia observada sobre el total observado, equivalente a la relación evento sobre el espacio muestral.
2. A priori ; se sustentan en que los resultados posibles se basan en comportamientos teóricos que pueden expresarse mediante ciertas fórmulas matemáticas; éstos son conocidos como modelos teóricos de distribuciones de probabilidad, teniendo dentro de ellas a la distribución normal, la distribución de Poisson, etc.
3. Subjetivas ; la probabilidad se estima en base al criterio particular de la persona que desarrolla el estudio; ello estará basado en el conocimiento del tema, su experiencia personal, su criterio, etc.; en estos casos no existe una forma matemática que puede definir la opinión personal, ni antecedentes cuantitativos para estimarlo. Así una persona podría estimar que la probabilidad de que una persona con cáncer pueda tener la posibilidad de curarse, mientras que otro podría ser pesimista de su recuperación, ambos con criterios
diferentes para una sola realidad, debido a sus concepciones o experiencias particulares.
Ejemplo 4.9. En una carrera de cien metros planos, compiten cinco norteamericanos (N), seis europeos (E), y cuatro asiáticos (A) para disputarse las medallas de oro, plata y bronce; determine la probabilidad de que estas medallas sean ganadas por: a) Los norteamericanos b) Los europeos c) Los asiáticos d) Dos europeos y un asiático e) Dos asiáticos y un norteamericano.
Solución: El orden de llegada a los tres primeros puestos nos interesa, puesto que cada medalla significa una determinada posición, y porque los premios son distintos. Tenemos 15 atletas, de los cuales 5 son N, 6 son E,
y 4 son A; todos los resultados posibles de llegada a estos tres primeros puestos será: n(s) = 15P3 = 2730 maneras.
a) Probabilidad de que ganen los N:
3 15 3 5 P P = 2,20% b) Probabilidad de que ganen los E:
3 15 3 6 P P 6= 4,40%
c) Probabilidad de que ganen los A:
3 15 3 4 P P = 0,88% d) Probabilidad de que ganen 2 E y 1 A:
3 15 1 4 2 6 * P P P = 4,40% e) Probabilidad de que ganen 2 A y 1 N:
3 15 1 5 2 4 * P P P = 2,20%
Eventos excluyentes: Si el éxito de un evento no está condicionado por otro, se dice que son eventos excluyentes; así una persona puede estar vivo o estar muerto, pero no puede decirse que está vivo y muerto a la vez; estar vivo significa excluir el de estar muerto; una persona puede ganarse la Tinka, como no ganársela. Una persona puede ser de talla alta o talla baja, pero no se puede decir que es alto y también bajo al mismo tiempo.
Eventos dependientes: Se dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno está condicionado por el otro; así, si una persona va viajar de Lima a Huacho, dependerá de un vehículo para llegar a este destino, porque sería imposible pensar que podría irse a pié, salvo situaciones muy particulares; los dos eventos son la persona que viaja y el vehículo que lo transporta; de igual manera otro evento dependiente es el caso de que el incremento en la venta de envases de botellas de plástico está asociado al consumo de bebidas; otro caso puede suceder al momento de lanzar un par de dados, nos podría interesar obtener la suma de los números menores de cinco, si éstos solo hubieran sucedido con números pares.
Ejemplo 4.10. En una caja existen cinco bolas negras y tres bolas rojas; se extraerán sucesivamente dos bolas al azar y sin reposición; determine la probabilidad de que la segunda sea roja si la primera fue negra.
Solución : Este es un caso de eventos dependientes; solo nos interesa que la segunda bola sea roja si en la primera extracción, la primera haya sido negra; esto se puede representar del siguiente modo:
P(RN) = 7 5 * 8 3 = 26,78%.
Eventos independientes. Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no tiene nada que ver nada con el otro; así, la fuente de una PC puede fallar en cualquier momento en tanto que el televisor puede seguir funcionando, sin que la falla de la fuente afecte al televisor.
Ejemplo 4.11. A fin de mes, al cobrar mi sueldo, estoy en condiciones de comprarme un televisor de pantalla plana o una nueva computadora; la probabilidad de comprarme el televisor es de 35% y la probabilidad de comprarme una nueva computadora es de 24%, ¿cuál será la probabilidad de que me compre los dos aparatos?
Solución: Estos dos eventos son independientes, el que me compre el televisor o la computadora nada tienen que ver entre sí, solo dependerá de mi capacidad de gasto, por lo tanto la probabilidad de comprarme ambos aparatos será: P(Tv o PC) = P(Tv)*P(PC) = 0,35*0,24 = 8,4%.
Probabilidad expresada en términos de conjunto: Considere el gráfico de los conjuntos A y B, como el mostrado en la Fig. 4.2; A y B constan de 5 elementos y 8 elementos respectivamente, denotados n(A) = 5 y
n(B) = 8; la intersección de los dos conjuntos proporciona dos elementos y se denota por n(A B) que es equivalente a n(A,B) = 2; el espacio muestral de estos conjuntos está constituido por n(S) = 11 elementos. Estos dos conjuntos no son independientes, porque ambos están asociados unos a otros, por lo que se dice que ambos conjuntos son dependientes.
La probabilidad de que ocurra el evento A se denota por P(A) y es igual a ) ( ) ( S n A n
= 5/11, y la probabilidad de que ocurra el evento B:
P(B) = ) ( ) ( S n B n = 8/11.
La probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B, se interpreta como la probabilidad de que ambos se interceptan y se denota por: P(A B) = P(A,B) =
)
(
)
,
(
S
n
B
A
n
= 2/11.Fig. 4.2 Representación gráfica de dos conjuntos A y B
Suma de probabilidades: La probabilidad de que dos conjuntos dependientes puedan ocurrir, para cualquiera de los dos casos se denota por P(A B) = P(A) + P(B) – P(A,B), esto es, puede ocurrir A o B, pero
no simultáneamente ambos, por ello se le resta su intersección; si los eventos son excluyentes, es decir lo que sucede con A nada tiene que ver con B, se denota por P(A B) = P(A) + P(B). A estas expresiones se le conoce como la ley de la suma de probabilidades y la fórmula puede extenderse para más de dos conjuntos.
Considerando la figura mostrada, podemos afirmar que la probabilidad de que sucedan cualquiera de estos dos eventos A ó B es:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A,B) = 11/13 = 84,62%
Ejemplo 4.12. Se lanza simultáneamente dos dados; estime: a) La probabilidad de obtener una suma par o una suma múltiplo de tres, con
los números obtenidos b) La suma ocho o la suma diez, con los números obtenidos.
Solución:
a) El espacio muestral está formado por 36 elementos, {(1,1), (1,2)
…(6,6)}, entonces n(S) = 36; si A es el evento suma de números pares, entonces habrán 18 elementos: {(1,1), (1,3), … (6,4),(6,6)} y n(A) = 18;
si B es el evento suma múltiplo 3, habrán 9 elementos: {(1,2), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (4,5), (5,1), (5,4), (6,6)} y n(B) = 9. Hay elementos comunes que se repiten tanto en A como en B, por lo que n(A,B) = 9, entonces:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A,B) = 21/36 = 58,33%
b) Si A es el evento suma de sus números igual a ocho, entonces se producen 5 casos {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}y si B es el evento suma de sus números igual a diez, entonces hay 3 casos: {(4,6), (5,5), (6,4)}, luego: P(A B) = P(A) + P(B) = 5/36 + 3/36 = 2/9 = 22,22%; en este caso los dos eventos son independientes, dado que lo que sucede a A no lo afecta a B.
Ejemplo 4.13. En el tercer año de ingeniería industrial hay 86 alumnos matriculados, de los cuales 35 de ellos dijeron haber llevado el curso de Estadística, 43 dijeron haber llevado el curso de Matemática III, en tanto 18 alumnos dijeron haber llevado ambos cursos a la vez; se seleccionará al azar a un alumno; determine la probabilidad de que: a) No haya llevado ninguno de estos cursos b) Haya llevado solo el curso de Estadística c) Haya llevado solo el curso de Matemática III d) Haya llevado ambos cursos.
Solución : En la Fig. 4.3 se presenta el comportamiento de estos dos conjuntos; para ello de acuerdo a las condiciones del problema se han hecho las respectivas deducciones.
Fig. 4.3 Representación gráfica de los cursos que llevaron los alumnos
Determinando la solución de acuerdo a los requerimientos del problema: a) La probabilidad de que un alumno no haya llevado ninguno de estos
cursos:
86 26
*100 = 30,23%
b) La probabilidad de que el alumno haya llevado solo Estadística:
86 17
*100 = 19,77%
c) La probabilidad de que el alumno haya llevado solo Matemática:
86 25
*100 = 29,07%
d) La probabilidad de que el alumno haya llevado Estadística o Matemática: P(EUM) = P (E) + P(M) – P(E,M) =
86 60
*100 = 69,77%
Probabilidad condicional: Cuando la probabilidad de que suceda un evento está condicionado a que suceda el otro, se dice que es una probabilidad condicional y se denota por P(A/B); se define como la probabilidad de que suceda A dado que sucedió B, se expresa mediante la
E=35
18
25
17
26
S=86
relación: P(A/B) = ) ( ) , ( B P B A P
; para calcular esta expresión, primero deberá suceder B, y P(B) deberá ser diferente de cero, luego suceder A.
La probabilidad condicional de que suceda B dado que sucedió A se define: P(B/A) = ) ( ) , ( A P B A P
; con P(A) ≠ 0, para el caso del ejemplo anterior la probabilidad: P(A/B) = n(A,B)/n(B) = 2/8, y P(B/A) = n(A,B)/n(A) = 2/5
Producto de probabilidades: Si de la intersección de los eventos A y B de la probabilidad condiciona despejamos P(A,B), obtenemos la relación:
P(A,B)= P(A/B)*P(B); esta expresión define el producto de probabilidades para dos eventos, y se interpreta como una probabilidad conjunta, en el sentido de que los eventos A y B ocurren simultáneamente; en el caso de que ambos eventos no ocurren de esta manera, entonces P(A/B) = P(A), por lo que P(A,B) = P(A)*P(B).
Eventos independientes. Si los eventos A y B son independientes tal que P(A) 0 y P(B) 0 con P(B/A) = P(B), entonces P(A,B) = P(A)*P(B).
Ejemplo 4.14. En un salón de clases hay quince alumnos de los cuales ocho son varones; el director de la escuela se presenta de improviso y llama al azar sucesivamente a tres alumnos para que les apoye en un programa de proyección social; determine la probabilidad de que el tercer
alumno sea un varón si los dos anteriores también los fueron.
Solución: Sea A el evento el primer alumno seleccionado es varón, B el segundo es varón y C el tercer alumno también es varón. La probabilidad de que el primer alumno seleccionado sea varón es P(A) = 8/15; la probabilidad de que el segundo alumno sea varón si el primero también lo fue es P(B/A) = 7/14, y la probabilidad de que el tercer alumno también sea varón si los dos anteriores los fueron es P(C/A,B) = 6/13 = 46,15%
Ejemplo 4.15. Una caja contiene cuatro bolas blancas y tres bolas negras, se extraen dos bolas sucesivamente sin reponerla, determine la probabilidad de que: a) Las dos sean blancas b) Las dos sean negras
c) Ambas sean de diferente color d) La segunda sea negra siempre que la primera haya sido blanca e) La segunda sea blanca si la primera también fue blanca.
Solución:
a) La probabilidad de extraer las dos bolas blancas, está condicionado a que la segunda sea blanca, dado que la primera también fue blanca; esto es P(B1, B2) = P(B1)*P(B2/ B1), donde P(B1) = 4/7, y P(B2/ B1) = 3/6, luego P(B1, B2) = 7 4 * 6 3 = 28,57%
b) Siguiendo el mismo criterio: P(N1,N2) = P(N1)*P(N2/N1) = 14,28% c) Que ambas sean de diferente color implica que pueden salir B y N ó N
y B, entonces la probabilidad será: P(B,N) + P(N,B) = 54,14% d) P(N/B) = P(N)*P(B/N) = 14,28%
e) P(B2/ B1) = P(B1)*P(B2/ B1) = 14,28%
Ejemplo 4.16. Un paquete contiene 100 discos duros, HD, de los cuales 10 están en mal estado; es extraerán dos de estos al azar; determine la probabilidad de que el segundo esté en mal estado.
Solución : El que el segundo disco sea malo no está condicionado a que el primero sea bueno o malo; por lo tanto puede ser que en la primera
extracción el disco sea bueno o sea malo, de modo que habrán dos casos: Caso 1: Probabilidad de que el HD sea malo en la segunda extracción si el primero fue bueno:
100 90 * 99 10 = 9,09%
Caso 2: Probabilidad de que el HD sea malo en la segunda extracción si el primero fue malo:
100 10 * 99 9 = 0,91%
La probabilidad de que el segundo HD sea malo es la probabilidad conjunta: 100 90 * 99 10 + 100 10 * 99 9 = 10%
Ejemplo 4.17. La probabilidad de que una fuente de PC funcione sin fallar antes de las 3 000 horas es de 98%, en tanto que la probabilidad de que el cooler del HD dure el mismo tiempo es de 90%; determine la probabilidad de que ambos componentes fallen al mismo tiempo.
Solución: Sea A la probabilidad de que funcione sin fallar la fuente = 0,98 y sea B la probabilidad de que el cooler funcione sin fallar = 0,90; entonces ~A = 0,02 y ~B = 0,10 constituyen la probabilidades de falla de cada uno de los componentes; la probabilidad de que ambos fallen al mismo tiempo es P(~A,~B) = P(~A)*P(~B) = 0,02 * 0,10 = 0,002 = 0,2%
Diferentes interpretaciones de la probabilidad conjunta:
Matemáticamente esta probabilidad se interpreta como la intersección de dos conjuntos; sin embargo en la vida real no se habla de esta manera, por ello es necesario colocarse en su verdadero contexto; para facilitarlo se presentan diferentes maneras de enfocarlos, que finalmente se refleja en la intersección de dos o más conjuntos; así P(A,B), puede interpretarse de las siguientes maneras:
Probabilidad de que ocurra A mientras ocurra B.
Probabilidad de que se produzca A mientras se haya elegido B.
Si probablemente se elige al azar A, entonces también se habrá elegido probablemente al azar a B.
Si ocurre A entonces también ocurre B. Los dos eventos ocurren al mismo tiempo.
Los eventos A y B ocurren simultáneamente, por lo tanto sus probabilidades también ocurren simultáneamente, etc.
Diferentes interpretaciones de la probabilidad condicional: De igual manera, esta probabilidad puede interpretarse de las siguientes maneras, si la expresión es P(A/B):
Probabilidad de que suceda A dado que sucedió B. Probabilidad de que si ocurre A, entonces ocurrió B.
Si se elige B entonces habrá una probabilidad de que pertenezca a A. Eligiendo B entonces habrá una probabilidad de que ocurra A.
Si ocurrió B, entonces también ocurrirá A. Si ocurrió A, entonces también ocurrió B.
Hay una probabilidad de que eligiendo B, ocurra A.
Ejemplo 4.18. Un determinado día, en una casa comercial, se observó y cuantificó que existían clientes de ambos sexos que compraban shampoos de marca Olorum y de otras marcas; el resumen de este comportamiento se muestra en la siguiente tabla:
Shampoos comprados en la casa comercial Compran Shampoo Olorum (O) Shampoo de otras marcas (X) Total de consumidores Hombres (H) 40 100 140 Mujeres (M) 70 150 220 110 250 360
Las celdas de esta tabla pueden representarse en términos de conjuntos:
Shampoos comprados en la casa comercial Compran Shampoo Olorum
(O)
Shampoo otras marcas (X)
Total de Consumidores
Hombres (H) H,O H, X H = (H,O) (H,X)
Mujeres (M) M,O M,X M= (M,O) (M,X)
O =(H,O) (M,S) X=(H,X) (M,X) Espacio muestral: 360
En términos de probabilidades, la tabla puede expresarse como:
Shampoos comprados en la casa comercial Compran Shampoo Olorum (O) Shampoo de otras marcas (X) Total de consumidores Hombres (H) P( H,O) P(H,X) P(H) Mujeres (M) P(M,O) P(M,X) P(M)
P(O) P(X) (Espacio muestral)
Expresando en forma específica de acuerdo a los cálculos de probabilidades:
Shampoos comprados en la casa comercial Compran Shampoo Olorum (O) Shampoo de otras marcas (X) Total de consumidores Hombres (H) 0,111 0,278 0,389 Mujeres (M) 0,194 0,417 0,611 0,305 0,695 1.000 De este se obtiene:
a) Probabilidad de que el cliente compre shampoo Olorum = 0,305 b) Probabilidad de que el cliente sea un hombre = 0,389
c) Probabilidad de que el cliente no compre shampoo Olorum = 0,695
d) Probabilidad de que el cliente sea una mujer = 0,611
e) Probabilidad de que el cliente que compra shampoo Olorum sea un hombre = 0,111 (Probabilidad conjunta)
f) Probabilidad de que el cliente que no compra shampoo Olorum sea una mujer = 0,417 (Probabilidad conjunta)
g) Probabilidad de que si el cliente compra shampoo Olorum haya sido un hombre - Probabilidad condicional: P(O/H) = 0,111/0,389 = 28,53%
h) Probabilidad de que si el cliente es un hombre haya comprado shampoo Olorum: P(H/O) = 0,111/0,305 = 0,3639
i) Probabilidad de que el shampoo de otra marca haya sido comprado por una mujer: P(X/M) = 0,417/0,695 = 0,600
Ejemplo 4.19. En una encuesta sobre preferencias alimenticias hecha a 150 personas, se encontró que 90 de ellas decían que consumían pollo, mientras que 70 personas decían que consumían pescado, en tanto que 30 decían consumir ambos alimentos; se va escoger al azar a una de estas personas, determine la probabilidad:
Consumen
Consumen PESCADO = B
POLLO = A B
20
a) De que solamente consuma pescado
Sea A el conjunto de las personas que consumen Pollo, donde n(A) = 90, y B el conjunto de personas que consumen Pescado donde n(B) = 70, el número de personas que consumen Pollo y Pescado está representado por la intersección de estos dos conjuntos: n(A,B) = 30. El espacio muestral representa a las 150 personas consultadas, de los cuales 20 no consumían ninguno de estos alimentos; observando el gráfico se determina que los que consumen solamente Pescado son 40 personas, así que la probabilidad de que el grupo de personas que consumen solamente pescado será: 40/150 = 26,70%
b) De que consuma solamente pollo: 60/150 = 40,00% c) De que consuma ambos alimentos:
30
40
Esto está formado por la unión de los dos conjuntos P(A B) = P(A) + P(B) – P(A,B) = (90 +70 – 30)/150 = 86,70%
d) De que consuma pollo, dado que consumió pescado
Esto es una probabilidad condicional, para que consuma pollo primero deberá haber consumido pescado:
P(A/B) = P(A,B)/P(B) = 30/70 = 42,86%
e) De que consuma pescado, dado que consumió pollo P(B/A) = P(A,B)/P(A) = 30/90 = 33,33%
f) De que no consuma ninguno de estos alimentos: 20/150 = 13,33%
Ejemplo 4.20. Para constituir la directiva de la Mesa de Concertación se requiere tres personas, integrados por hombres o mujeres, para ello se cuenta con diez potenciales candidatos, dentro de los cuales hay cuatro mujeres; si todos están calificados para presidir esta mesa y la selección se hará al azar; determine la probabilidad de que:
a) La directiva esté conformado sólo por hombres El problema puede resolverse de dos maneras:
a.1 Aplicando el concepto de probabilidad condicional P(H1,H2,H3) = P(H1)*P(H2/H1)*P(H3/(H1,H2))
= (6/10)*(5/9)*(4/8) = 16,67%
a.2 Utilizando combinatorias: Los números de eventos se calculan considerando que del total de seis hombres se elegirán tres sin importar el orden en que aparezcan; de igual manera, su espacio muestral será la combinación de diez personas tomados de tres: P(H1,H2,H3) = 6
C
3/10C
3 = 16,67%b) El Comité esté conformado sólo por mujeres
P(M1,M2,M3) = P(M1)*P(M2/M1)*P(M3/(M1,M2)) = (4/10)*(3/9)*(2/8) = 3,33%
Que también es igual a P(M1,M2,M3) = 4
C
3/10C
3c) El comité esté conformado por dos hombres y una mujer
Existen tres casos posibles en que pueden formase este comité: P(H1,H2,M) = P(M,H1,H2) = P(H1,M,H2)
P(H1,H2,M) = (6/10)*(5/9)*(4/8) = 16,77%
Luego, la probabilidad de que este grupo esté conformado por dos hombres y una mujer será: P(2H,M) = (1/6)*3 = 50%; de igual manera el problema puede determinarse utilizando combinatorias: P(2H,M) = 6
C
2*4C
1/10C
3 = 50%d) El comité esté formado por dos mujeres y un hombre P(2M,H) = 6
C
1*4C
2/10C
3 = 30%e) El comité esté formado por una mujer
Que exista una sola mujer en el comité significa que hay dos hombres, por lo tanto es el mismo caso que la pregunta c)
f) En el comité haya por lo menos una mujer
Quiere decir que puede haber una mujer o dos mujeres: P(M,2H) + P(H,2M) = 0,50 + 0,30 = 80%
Ejemplo 4.21. En una universidad, una muestra de profesores es clasificado de acuerdo a su grado académico y su estado civil, según se muestra en la tabla:
Tabla de clasificación de profesores, según grado académico y estado civil: Sin grado académico Maestro Doctor Soltero 13 8 4 Casado 12 11 5 Viudo 8 2 6 Divorciado 4 7 2
Se seleccionará al azar a un profesor; determine la probabilidad de que: a) Sea un Maestro Divorciado.
b) Si es Divorciado que sea Doctor.
c) Si es Doctor que sea Casado o Viudo.
d) Si es Sin Grado o Maestro, que sea Soltero o Viudo.
Solución: Totalizando por filas y columnas:
Sin grado académico (Sg) Maestro (M) Doctor (Doc) Total Soltero (S) 13 8 4 25 Casado (C) 12 11 5 28 Viudo (V) 8 2 6 16 Divorciado (D) 4 7 2 13 Total 37 28 17 82
a) Probabilidad de que sea una Maestro Divorciado: P(M,D) = 7/82.
b) Probabilidad si es Divorciado que sea Doctor: P(D/Doc) = P(D,Doc)/P(Doc) = 2/17.
c) Probabilidad si es Doctor que sea Casado o Viudo): P(Doc/(C+V) = P(Doc,(C+V))/(P(C+V) = 11/44.
d) Probabilidad si es Sin Grado o Maestro, que sea Soltero o Viudo: P((Sg+M)/(S+V)) = P((Sg+M),(S+V))/P(S+V) = 31/41.
Ejemplo 4.22. En una asamblea de estudiantes de la facultad de ingeniería, estaban reunidos 265 alumnos, quienes comentaban acerca de sus experiencias en los cursos de Estadística, Matemática y Lenguaje de Programación. De este grupo 89 alumnos dijeron haber llevado Estadística, 130 dijeron haber llevado Matemática y 110 dijeron haber llevado Lenguaje de Programación; por otro lado, 22 dijeron haber llevado solo Estadística y Matemática, en tanto que 54 dijeron haber llevado solo Matemática y Lenguaje de Programación, y 21 dijeron haber llevado solo Estadística y Lenguaje de Programación. En relación a aquellos que solamente tenían experiencia con un solo curso, 28 manifestaron haber llevado Estadística, 36 dijeron haber llevado Matemática y 17 dijeron haber llevado Lenguaje de Programación, en tanto que 69 alumnos dijeron no tener ninguna experiencia con estos cursos. Se tomará un alumno al azar; determine la probabilidad de que: a) Haya llevado los tres cursos. b) Haya llevado Estadística o Matemática c) Haya llevado cualquiera de los tres cursos
Solución: En el siguiente gráfico se muestra la relación entre estos tres conjuntos
Alumnos que llevaron Estadística: a + b + c + d = 89 Alumnos que llevaron Matemática: b + c + e + g = 130
Alumnos que llevaron Lenguaje de Programación: c + d + e + f = 110
E = 89
M = 130
L = 110
a
b
g
f
d
e
69
c
Alumnos que solo llevaron Estadística y Matemática: b
Alumnos que solo llevaron Matemática y Lenguaje de Programación: e Alumnos que solo llevaron Estadística y Lenguaje de Programación: d Alumnos que solamente llevaron Estadística: a
Alumnos que solamente llevaron Matemática: g
Alumnos que solamente llevaron Lenguaje de Programación: f Alumnos que llevaron simultáneamente los tres cursos: c
Alumnos que no llevaron ningún curso: 69
Total de alumnos computados: a + b + c + d + e + f + g + 69 = 265.
Relacionado estas expresiones se obtiene c = 18, y con ello los valores de a = 28, b = 22, d = 21, e = 54, f = 17, y g = 36.
a) Probabilidad de que un alumno haya llevado los tres cursos: P(c) = 18/265, que es equivalente a P(E,M,L) = 18/265 = 6,79%
b) Probabilidad de que un alumno haya llevado Estadística o Matemática: P(EUM) = a + b + g = 86/265 = 32,45%
c) La probabilidad de que haya llevado cualquiera de los tres cursos se entiende como la unión de estos tres conjuntos: P(EUMUL) = a + b + c + d + e + f + g = 196/265 = 73,96%
E
E j
je
errcciicciio
oss:: C
Cá
állccu
ullo
o d
de
e p
prro
ob
ba
ab
biilliid
da
ad
de
ess
4.1. Defina el concepto de espacio muestral así como el de evento.
4.2. Dos lapiceros de color azul y rojo serán asignados indistintamente a Carlos, Miguel y Rosa; si no interesa si uno de ellos puede o no recibir algún lapicero, determine el espacio muestral de este ensayo.
4.3. Juan, Pedro y María, ingresarán a dos habitaciones distintas, sin interesar cómo aparecerán en cada una de ellas; describa el espacio muestral de este experimento.
4.4. Se arroja cuatro monedas al aire; construya su espacio muestral y diga el número de eventos con dos y tres caras.
4.5. ¿En qué se diferencia una permutación de una combinación?
4.6. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra FRANCIS?, tomándolas: a) Todas a la vez b) De tres en tres.
4.7. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra VERANON?, tomándolas: a) Todas a la vez b) De dos en dos, c) De tres en tres.
4.8. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra UNIVERSITARIA, tomándolas todas a la vez?
4.9. ¿Cuántas palabras pueden formarse con cinco letras diferentes del alfabeto?
4.10. Hay seis caminos que van de A a B y tres de B a C, ¿de cuántas maneras se puede ir de A a C, pasando por B?
4.11. En una competencia por el campeonato de fútbol de una zonal, hay ocho equipos participantes, ¿cuántos encuentros serán necesarios, si cada equipo ha de jugar dos veces en su campo con cada uno de los demás?
4.12. Una empresa recibe a tres nuevos ingenieros que pasaron una rigurosa prueba de selección; estos serán asignados indistintamente a las secciones de Mantenimiento, Producción y Logística, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta designación? R: 3P3
4.13. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse a tres postulantes de un total de quince, para ocupar cargos de asistentes de gerencia en una empresa? R: 15C3
4.14. ¿Cuántos números pueden formarse con los dígitos numéricos?, tomándoles: a) Todos a la vez b) De tres en tres.
4.15. ¿De cuántas formas pueden escogerse a tres ingenieros y cuatro administradores para ser enviados a un curso de planeamiento estratégico, considerando que existen 20 profesionales, de los cuales 9 son ingenieros? R: 9C3*11C4
4.16. Se recibe un paquete de veinte cajetillas de cigarros, de los cuales ocho son de la marca Winston, y el resto de la marca Hamilton Light; se escoge al azar tres cajetillas, de cuántas maneras podrán obtenerse, que las tres cajetillas sean: a) De la marca Winston b) Dos Hamilton Light y una de Winston. R: a) 56 b) 336
4.17. Se cuenta con cinco chips de memoria que serán incorporados a la placa madre de una PC, ¿de cuántas maneras podrán colocarse estos chips, considerando que cada uno tiene su propio número de serie, y el orden en que serán colocados es valedero? R: 5P5
4.18. Una PC requiere que se coloquen seis slots con las mismas características, donde serán incorporadas seis tarjetas controladoras (video, HD, sonido, etc.); de ¿cuántas maneras diferentes podrán colocase estas tarjetas en los slots si se cuenta con un lote de 20 tarjetas? R. 924
4.19. En un hipódromo compiten quince caballos de carrera para ocupar los tres primeros puestos, ¿cuántas posibilidades existen de ocupar estos tres primeros puestos? R: 455
4.20. Un examen consta de diez preguntas, cada una con cinco alternativas, siendo la respuesta correcta, una sola; si un alumno responde al azar de ¿cuántas maneras diferentes pueden contestarse las respuestas? R. ( 5C 1 )10 = 9765 625
4.21. Un empresa multinacional está aperturando nuevas gerencias en diferentes lugares del país, ello implicará reasignar a sus profesionales a dichas secciones para ocupar los cargos creados; de este modo reasignará a tres ingenieros de sistemas, cuatro ingenieros informáticos y dos ingenieros industriales; para ello cuenta en su planilla con siete ingenieros de sistemas, seis informáticos y cinco industriales. La gerencia considera que todos estos profesionales tienen la misma posibilidad de ser designados en esas gerencias; ¿de cuántas maneras podrán hacerse designaciones. R: 5 250 maneras
4.22. Cinco alumnos de un grupo de doce, serán seleccionados para ocupar la lista de representantes estudiantiles ante el Consejo de Facultad de la Universidad, considerando que el primero será el Presidente, el segundo el Secretario y el resto de Vocales; a) ¿De cuántas maneras podrá conformarse la lista? b) Si solo interesa que sean elegidos los cinco, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección? R: a) 12 P 5 b) 12C 5
4.23. En un nido escolar, un niño recibe doce piezas de un rompe cabezas, de los cuales formará una figura geométrica con sólo siete piezas, ¿Cuántas figuras geométricas podrá formar? R: 12 P 7
4.24. Considerando que en el campeonato mundial de fútbol
participarán 32 equipos, ¿cuántas posibilidades habrán para ocupar los ocho primeros puestos, considerando que es importante el sitial ocupado? R: 32 P 8
4.25. Defina el concepto de probabilidad y ¿porqué se dice que está comprendido entre cero y uno?
4.26. ¿De qué manera pueden obtenerse datos para estimar la probabilidad? Con ejemplos explique la naturaleza de cada una de
ellas.
4.27. Proporcione casos en los que se presenten probabilidades condicionales.
4.28. En una fila de soldados están alineados 20 personas, de los cuales quince tienen cabello negro; el sargento seleccionará al azar a cinco soldados de la fila, determine la probabilidad de que el
cuarto y el quinto sean de cabello negro, sin interesar cómo salieron los tres primeros.
4.29. En los juegos olímpicos, participan en una carrera de cien metros planos, siete atletas americanos, nueve europeos, y cinco asiáticos para disputarse las medallas de oro, plata y bronce; ¿cuál será la probabilidad de que estas medallas sean ganadas? por: a) Ningún americano b) Ningún europeo c) Ningún asiático d) Dos europeos y un americano e) Dos asiáticos y un europeo.
4.30. Una caja contiene cinco bolas Blancas y ocho Negras; se extrae tres bolas sucesivamente sin reponerlas; determine la probabilidad de que estas tres bolas sean: a) Blancas b) Negras c) Dos Blancas y una Negra? R: a) 3,5% b) 19,58% c) 27,97%
4.31. Una caja contiene tres bolas blancas y cuatro negras; tres personas A, B y C, en ese orden, efectúan extracciones de una bola sin reponerla; el primero que obtenga la bola blanca gana el juego. Determine: a) La probabilidad de que gane la persona A b) La probabilidad de que gane la persona B c) La probabilidad de
que gane la persona C.
4.32. Se lanzan simultáneamente dos dados; determine la probabilidad de que la suma de los números sea: a) Mayor de ocho b) Menor o igual a siete c) Más de cinco y menos de diez d) Mayor de siete, siendo esta suma impar. a) 10/36 b) 21/36 c) 20/36
4.33. Se tiene dos cajas con características similares; la primera contiene seis bolas Blancas y cinco bolas Negras, mientras que la segunda contiene nueve bolas Blancas y seis bolas Negras; se escoge una caja al azar y se extraen tres bolas en forma consecutiva: ¿Cuál será la probabilidad de que estas bolas sean: a) Dos Blancas y una Negra b) Dos Negras y una Blanca c) Dos negras y una Blanca. Si se extrajeran en forma consecutiva cinco bolas, ¿cuál será la probabilidad de que estas sean? d) Blancas e) Negras f) Dos Negras y tres Blancas g) Tres Negras y dos Blancas.
4.34. Hay ocho postulantes aptos para ocupar tres vacantes de médicos residentes en un hospital; la probabilidad de seleccionar a un médico varón siempre es de 0,65; si se seleccionó a un varón y una mujer, ¿cuál será la probabilidad que el tercer médico sea: a) Un varón b) Una mujer?
4.35. Se recibe una caja conteniendo 20 CD, de los cuales se sabe que ocho contienen alguna grabación; a fin de proceder a grabar nuevos documentos se selecciona una muestra de cuatro CD;
estime la probabilidad de que: a) La muestra contenga a lo más dos CD grabados b) Contenga no menos de tres CD grabados. R: a) 84,69% b) 15,31%
4.36. En un congreso de ingenieros están reunidos 178 personas, quienes, entre otros puntos, conversan acerca del uso de desodorantes en su aseo diario; de estos 80 dicen usar desodorante tipo aerosol, 100 dicen usar desodorante tipo barra, en tanto que 24 dicen usar ambos tipos. Se escoge al azar a uno de estos asistentes; determine la probabilidad de que: a) No use ningún tipo de desodorante b) Use solo desodorante en aerosol c) Si usa desodorante en aerosol, también use desodorante en barra d) Si usa desodorante en barra, también use desodorante en aerosol. R: a) 12,36% b) 31,15% c) 24% d) 30%
4.37. Se tiene una urna que contiene 25 bolas, de los cuales siete son de color blanco, nueve de color rojo y el resto de color negro; se extraerán sucesivamente cinco bolas al azar, sin reponerlas; determine la probabilidad de que: a) Todos sean blancos b) Todos sean negros c) Todos sean rojos d) Tres sean rojos, uno blanco y otro azul e) Dos sean azules y los restos negros.
4.38. Se tienen dos cajas con las mismas características; la primera contiene cuatro bolas blancas y cinco negras, en tanto que la segunda contiene seis bolas blancas y ocho negras. Se seleccionará al azar una caja, de donde se extraerán dos bolas sucesivamente sin reponerlas; determine la probabilidad de que:
a) Las dos sean blancas.
b) La segunda sea negra, si la primera fue blanca. R; 16,57%, 27,08%
4.39. Una casa especializada en el negocio de ensamble de equipos de cómputo recibe un pedido de 15 nuevas PC; los pedidos son atendidos y enviados a las unidades solicitantes, sin embargo el ingeniero de planta manifiesta que en este pedido cuatro presentan problemas de configuración; por lo tanto, la empresa envía al técnico para hacer las respectivas correcciones. Este toma tres PC al azar; determine la probabilidad de que: a) Los tres no tengan ningún problema de configuración b) Los tres tengan problemas de configuración c) Dos estén bien y uno esté con problemas d) Dos estén con problemas de configuración.
4.40. En el salón de clases de Matemática hay 23 alumnos, de los cuales diez son varones; se designará al azar a un alumno para delegado:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que sea designado una alumna? Si se seleccionan al azar a tres para delegados; ¿Cuál será la probabilidad de que estos sean? b) Mujeres c) Varones d) Dos mujeres y un varón e) Dos varones y una mujer f) El tercer delegado sea una mujer. 4.41. Susana recibe como regalo dos cajas conteniendo cada uno de
ellos jabones de las marcas Camay y Lux; una caja tiene diez jabones Camay y la otra doce jabones Lux; ella elige una caja al azar y extrae dos jabones en forma sucesiva. a) ¿Cuál será la probabilidad de que los dos jabones sean de la marca Camay? b) ¿Cuál será la probabilidad de que los dos jabones sea de la
marca Lux?
4.42. La Srta. Lina es más afortunada que Susana y en su cumpleaños recibe como regalo tres cajas conteniendo diferentes tipos de jabones. La primera caja contiene tres jabones Eno de Pravia, cuatro jabones Lux y cinco jabones Camay; la segunda caja contiene seis jabones Lux, cuatro jabones Eno de Pravia y tres jabones Camay, mientras que la tercera contiene seis jabones Eno de Pravia y solo tres jabones Lux. En momentos de emoción invita a una de sus amigas a extraer de cualquier caja tres jabones, para averiguar si estos tres son de la misma marca, ¿Cuál será la probabilidad de que estos jabones sean? a) De la marca Lux b)
De la marca Camay c) De la marca Eno de Pravia d) Dos sean Lux y uno Camay e) Dos sean Camay y uno Lux
4.43. La siguiente tabla muestra las características preferenciales de un grupo de clientes provincianos y capitalinos que acuden a una casa comercial a informarse respecto a unos modelos de PC con multimedia, recientemente incorporados al mercado:
Clientes Les gustan No les gustan Indecisos
Capitalinos 40 24 30
Provincianos 35 41 24
A fin de conocer el estado anímico del cliente, la empresa escogerá al azar a un cliente, determine la probabilidad de que: a) Al cliente no le guste la PC b) El cliente sea capitalino c) El cliente no sea provinciano e indeciso d) El cliente sea de la capital y le gusta la PC e) El cliente sea un provinciano y le guste la PC f) Al cliente le guste la PC y sea a la vez provinciano g) El cliente sea capitalino y no le guste la PC o esté indeciso h) El cliente sea provinciano y le guste la PC i)
Si el cliente es indeciso sea provinciano j) Si el cliente es provinciano o capitalino sea indeciso k) Si no le gusta la PC que sea provinciano l) Si es un indeciso es porque es provinciano
4.44. Una empresa industrial cuenta con una plana de profesionales formados por ingenieros químicos, ingenieros industriales e ingeniero de sistemas, según se indica en el siguiente cuadro:
Número de profesionales en la Empresa Ingenieros Varones Mujeres
Químicos 11 16
Industriales 9 10
Sistemas 3 2
Se selecciona un profesional al azar; determine la probabilidad de que este sea: a) Un ingeniero varón b) Sea un ingeniero industrial c) Sea un ingeniero industrial mujer d) Un ingeniero varón y al mismo tiempo químico e) Sea ingeniero industrial y varón f) Un ingeniero industrial o ingeniero de sistemas pero varón g) Sea una mujer y que sea al mismo tiempo ingeniero químico o ingeniero de sistemas h) Sea un ingeniero de sistemas i) Sea un profesional cualquiera j) Si es ingeniero químico, que sea una mujer k) Si es mujer que sea ingeniero industrial l) Si es varón que sea ingeniero químico o ingeniero de sistemas.
4.45. La probabilidad de que tres personas acierten en el blanco con un dardo son iguales 0,80, 0,75 y 0,67. Se produce un lanzamiento simultáneo de las tres personas, y dos de ellos aciertan en el blanco; determine la probabilidad de que la tercera persona haya
fallado.
4.46. Un agricultor cuenta con tres parcelas de tierras agrícolas de iguales dimensiones en Humaya, Supe y Barranca, en los cuales siembra y cosecha papaya; para ello utilizó como fertilizante Humus, Urea y NPK, obteniendo en promedio por cada plantón los siguientes resultados:
Cantidad de papaya obtenida en promedio por plantón Lugares
Con abono: Humaya Barranca Supe
Humus 44 46 44
Urea 46 45 47
