Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de todo con su solución

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Repaso de todo con su solución

Problema 1:

Un estudio revela que el 10 % de los oyentes de radio sintoniza a diario las

cadenas Music y Rhythm, que un 35 % sintoniza a diario Music y que el 55 % de los oyentes no escucha ninguna de las dos emisoras. Obtén:

a) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm. b) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm pero no la Music.

c) La probabilidad de que un oyente, del que sabemos que escucha Rhythm, escuche Music.

Problema 2:

En el Juzgado de cierta ciudad se presentaron en un determinado año, un total de 5500 denuncias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 5% de ellas. Entre las denuncias seleccionadas se determinó que 55 habían sido producidas por violencia doméstica. Determinar, justificando la respuesta:

a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de denuncias por violencia doméstica en esa ciudad en ese año.

b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 99%

Problema 3:

Se considera la curva de ecuación . Calcula sus asíntotas.

Problema 4:

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e2–x en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas.

Problema 5:

Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36

estudiantes, obtuvo una media de 10,4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10,39 con una desviación típica de 2 euros.

a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%? b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%?

Problema 6:

Sea

a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005

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Problema 7:

Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por g(x) = x3 – 3x2 + 7. Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica.

Problema 8:

Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

a) ¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo.

b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?

Problema 9:

Un fabricante comercializa 2 modelos de pantalón vaquero, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 12 euros por unidad y otro para hombre con un beneficio unitario de 20 euros. El próximo mes desea fabricar entre 50 y 750 pantalones para mujer y siempre un número no inferior al que fabrica para hombre. Además no tiene posibilidades de fabricar mensualmente más de 1000 unidades en total. Plantea un programa lineal que permita calcular el número de unidades de cada modelo que ha de fabricar para maximizar el beneficio total. Resolviendo el programa anterior diga el máximo beneficio y cuántas unidades de cada modelo se han de comercializar. Diga la solución del apartado anterior si el beneficio unitario es de 15 euros para cada uno de los modelos.

NOTA: No es necesario considerar que las cantidades fabricadas sean números enteros.

Problema 10:

Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide:

a) Describe el espacio muestral de este experimento.

b) Determina la probabilidad del suceso: “obtener una cara en la moneda y un número par en el dado”.

Problema 11:

Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco. Estima, mediante un intervalo de confianza al 95 %, el valor de la probabilidad de obtener un cinco.

Problema 12:

Dada la función

a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad.

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Problema 13:

La función f(t), 0 ≤ t ≤ 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los

beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 (t = 0) y 2000 (t = 10)

¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Problema 14:

En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas. Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?

Problema 15:

Sea la matriz

Problema 16:

Se considera la función real de variable real definida por:

a) Halla sus asíntotas.

b) Calcula sus máximos y mínimos relativos, si existen. c) Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica.

Problema 17:

Dentro del triángulo limitado por los ejes X, Y y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un área máxima.

Problema 18:

En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto de A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir.

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Problema 19:

Un estudio hecho en un cierto IES, en el que se imparte ESO y Bachillerato se recogieron los siguientes datos:

• El 60 % de los alumnos son mujeres.

• El 15 % de los hombres estudian en Bachillerato. • El 20 % de las mujeres estudian Bachillerato.

• El 30 % de las mujeres que estudian Bachillerato eligen una opción de letras.

a) Calcula la probabilidad de que un alumno del IES, elegido al azar, sea mujer, estudie Bachillerato y curse una opción de letras.

b) ¿Qué porcentaje del alumnado estudia Bachillerato?

c) ¿Qué porcentaje de estudiantes de Bachillerato son hombres?

Problema 20:

Supongamos que un grupo de 144 alumnos de Secundaria seleccionados al azar en nuestra Comunidad realizan una prueba de conocimientos sobre geografía, obteniendo una nota media de 6,7 puntos. Las puntuaciones obtenidas se distribuyen conforme a una ley normal de desviación típica 3.

a) Calcula, con una confianza del 95%, el intervalo donde se encuentran las notas medias de los alumnos de la comunidad.

b) Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicha media con un error menor que ±0,5 minutos y un nivel de confianza del 99%

Problema 21:

La temperatura (en °C) de un objeto viene dada por la función

donde t es el tiempo en horas. Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas más tarde y la temperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo.

Problema 22:

Dada la parábola f(x) = x2 – 5x + 8

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P(1, 4)

c) Dibuja en unos mismo ejes, la parábola, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, la tangente paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y la recta tangente en el punto P(1, 4)

Problema 23:

El consumo de carne de pollo parece haberse disparado desde que hace unos meses cundió la alarma sobre otros tipos de carne. En cierta carnicería, las ventas diarias de carne de pollo seguían hasta entonces una Normal de media 19 kilos y desviación típica 3 kilos. En una muestra de 35 días posteriores a la citada alarma, se obtuvo una media de 21 kilos de carne de pollo vendidos al día. Suponiendo que las ventas siguen siendo una Normal con la misma desviación típica,

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a) Plantear un test para contrastar que la venta de pollo no ha aumentado, frente a que sí lo ha hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 5%?

Problema 24:

Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. ¿Es cierta la igualdad (A + B)(A – B) = A2 _{– B}2 ? Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo si es falso.

Problema 25:

Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = –0,01x2

+ 5x + 2500, siendo x la cantidad que se invierta. a) ¿Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros?

b) ¿Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima? c) Calcula esa rentabilidad máxima.

Problema 26:

El beneficio en euros por kilogramo de un alimento perecedero se estima que viene dado por la función B(x) = 4x – 2x2_{– 0,68 donde x es el precio en euros de cada kilogramo del alimento.} a) ¿Entre qué precios por kilogramo se obtienen beneficios?

b) ¿A qué precio se obtiene el máximo beneficio?

c) Si en un comercio se tienen 1000 kilogramos de ese alimento ¿Qué beneficio máximo puede obtener?

Problema 27:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≥ 3(y – 3); 2x + 3y ≤ 36; x ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0

b) Calcula los vértices del recinto.

c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza.

Problema 28:

De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcular: a) La probabilidad de que los dos acierten.

b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. c) La probabilidad de que ninguno de los dos acierte. d) La probabilidad de que alguno acierte.

Problema 29:

Se tiene una población N(μ, 2) y una muestra formada por 16 datos de media 2,5. a) Obtenga el intervalo de confianza del 90 % para la media μ de la población.

b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra que permita estimar con un nivel de confianza del 95% la media, μ, con un 10% de aproximación? (Nota: para este apartado tome μ = σ)

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Problema 30:

Se considera la función . Calcula sus asíntotas.

Problema 31:

Si f’ es la derivada de la función dada por calcula

f’(–0,5)

Problema 32:

Hace diez años la proporción poblacional de personas que leían el periódico LA CIUDAD era del 35%. Para comprobar si dicha proporción se mantiene tomamos una muestra de 225 personas de las cuales sólo 65 leen LA CIUDAD.

a) Si α = 0,05, ¿podemos aceptar que la proporción de personas que leen dicho periódico sigue siendo del 35% frente a que ha disminuido?

b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación es del 1%?

Problema 33:

Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. Los precios de costo de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:

T1 T2 T3

Precio de costo 4 euros 6 euros 9 euros

Ingresos 10 euros16 euros24 euros

Los números de ventas anuales son de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3. Sabiendo que la matriz de costos (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila.

a) Determina las matrices C, I y V

b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costos anuales, la matriz de ingresos anuales y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes.

Problema 34:

Representa gráficamente la función f(x) = x3 – 3x2 + 4 estudiando: intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Problema 35:

Se tiene un segmento recto de 2 m de longitud. Se divide en dos partes; cada una de las partes es la base de un triángulo isósceles cuya altura es el doble que la base.

¿Cuánto ha de medir cada parte para que la suma de las áreas de los triángulos construidos sea mínima? Justifica la respuesta.

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Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste.

Problema 37:

Una fábrica tiene tres cadenas de producción, A, B y C. La cadena A fabrica el 50 % del total de los coches producidos; la B, el 30 %, y la C, el resto.

La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: en la cadena A, 1/2, en la B, 1/4, y en la C, 1/6. Calcule razonadamente:

a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A. b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso.

c) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la cadena C?

Problema 38:

Una fábrica de muebles se encargaba también del transporte y montaje de los pedidos a sus clientes. Sin embargo, recibía aproximadamente un 16% de reclamaciones por dicho servicio. En los últimos meses, ha contratado una empresa especializada. De 250 servicios realizados por la empresa contratada, 30 han tenido reclamación. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de servicios reclamados con la empresa contratada.

Problema 39:

Se considera la función f (x) = x3 + ln x. Calcula:

Problema 40:

Se considera la función , obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x = 3

Problema 41:

Una fábrica de muebles se encargaba también del transporte y montaje de los pedidos a sus clientes. Sin embargo, recibía aproximadamente un 16% de reclamaciones por dicho servicio. En los últimos meses, ha contratado una empresa especializada. De 250 servicios realizados por la empresa contratada, 30 han tenido reclamación.

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con la empresa contratada la situación sigue igual, frente a que, como parece, ha mejorado. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación del 5%?

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Problema 42:

Sean las matrices

Encuentra el valor o valores de x de forma que B2 = A

Problema 43:

Sea la función Determina:

a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen.

c) El o los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máximos y mínimos.

Problema 44:

La suma de tres números positivos es 60. El primero; el doble del segundo y el triple del tercero suman 120. Halla los números que cumplen estas condiciones de manera que su producto sea máximo.

Problema 45:

Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiera 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si sólo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide justificando la respuesta. ¿Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos?

Problema 46:

De un estudio sobre accidentes de tráfico de dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30 % de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad.

a) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas.

b) Razona si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y “respetar los límites de velocidad”.

Problema 47:

La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de

rodamiento fabricadas por cierta máquina fue de 0,824 cm. La desviación típica fue 0,042 cm. Halla los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina.

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Problema 48:

Dada la función

a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad.

Problema 49:

Calcula y simplifica la derivada de la función

Problema 50:

Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

Problema 51:

¿Es posible que una matriz de tamaño 3 x 2 coincida con su traspuesta? ¿Y con su inversa?

Problema 52:

El precio “p” de compra de un artículo está en función del nº de unidades “x” que se

compran . El número de unidades que se compran depende del nº del día

del año “d” (“d” va desde1 a 365) x(d) = d2_{– 300d + 25000} a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año? b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es? c) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es?

Problema 53:

En una factoría la función de costes es C(x) = x3 – 3ln x, donde x > 0 es el número de toneladas que se producen.

a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste.

b) Si la función de ingresos es I (x) = x3 + 12x, escribe la función de beneficios.

c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y di si existe beneficio máximo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.

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En la remodelación de un centro de enseñanza se quiera habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capacidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos 1 aula grande, y no más de 15 pequeñas. ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se pueden habilitar? Si se quiera que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea lo mayor posible ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total?

Problema 55:

Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 4?

Problema 56:

En cierta población humana, la media muestral de una característica se distribuye mediante una distribución normal. La probabilidad de que muestral sea menor o igual que 75 es 0,58

y la de que muestral sea mayor que 80 es 0,04. Halla la media y la desviación típica de

muestral . (Tamaño muestral n = 100)

Problema 57:

Sea la función

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) sea continua en x = 0? b) Para a = 2 comprueba si x = 1/2 es asíntota vertical de f(x)

Problema 58:

Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en miles de euros) vienen dados por:

¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Problema 59:

El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia. Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?

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Sean las matrices

Calcula la matriz C = B • A – At_{• B}t

Problema 61:

Se considera la función

Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la función f(x)

Problema 62:

Se considera la función . Determina los intervalos de concavidad y

convexidad y los puntos de inflexión.

Problema 63:

En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente:

• Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros • Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros

¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta?

Problema 64:

En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de Bachillerato, 110 de ellos son alumnos de segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar una

determinada actividad cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos de primer curso le contestaron que están de acuerdo y un 40 % de alumnos de segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar, justificando la respuesta:

a) La probabilidad de que sea un alumno de segundo curso de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural

b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad cultural

c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertenece al primer curso, la probabilidad de que sea de los que están a favor de realizar la actividad cultural

Problema 65:

Contesta a las siguientes cuestiones:

a) El sueldo, en euros, de los empleados de una fábrica sigue una distribución normal de media μ = 1500 euros y desviación típica σ = 400 euros. Se elige aleatoriamente una muestra de 25 empleados de esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de sus sueldos esté comprendida entre 1420 y 1600 euros?

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b) Si sólo conocemos la desviación típica σ = 400 euros y desconocemos el promedio μ de los sueldos de los empleados de esa fábrica, ¿qué tamaño de muestra deberíamos tomar para estimar μ con un nivel de confianza del 95% si se admite un error máximo de 100 euros?

Problema 66:

Sea la función . Determina las asíntotas si existen.

Problema 67:

Sea la función f definida por

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1

Problema 68:

Un estudio realizado en el ámbito de la Unión Europea concluye que la edad de los propietarios de un automóvil “Mercedes” en el momento de su adquisición tiene un comportamiento Normal con media 38 años y varianza 16. Un concesionario de dicha marca, instalado recientemente en España, ha vendido sólo 150 vehículos y ha comprobado que la edad media de sus clientes es de 38,3 años. Aceptando para los clientes españoles la varianza obtenida para los clientes europeos, ¿se puede aceptar que la edad media al adquirir un vehículo de esa marca es la misma en España que en Europa, para un nivel de significación del 5%?

Problema 69:

Sean las matrices

Determina x para que A • B = I2

Problema 70:

¿Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f’(1) = 0, f’’(1) < 0, f’(3) = 0 y f’’(3) > 0?

Problema 71:

La función f definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto

(–1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando a, b y c).

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Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación:

• La caja A tiene 6 kg de avellanas y 3 kg de almendras y las vende a 80 euros • La caja B tiene 10 kg de avellanas y 1 kg de almendras y las vende a 90 euros

Representar la región factible. ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?

Problema 73:

Entre los alumnos de una clase, el 70% practica algún deporte. Además, se sabe que el fútbol le gusta al 40% de los que practica algún deporte y al 80% de los que no practica ningún deporte.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno elegido al azar no le guste el fútbol? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno practique algún deporte y le guste el fútbol? c) Si a un alumno le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que haga deporte?

Problema 74:

Las ausencias en días de un empleado de una empresa para un determinado año se aproxima por una distribución normal de media μ días y desviación típica σ = 2 días. Se pretende estimar μ usando la media de las ausencias en ese año de n trabajadores seleccionados de forma aleatoria en la empresa.

a) Si suponemos μ = 6,3 y que n = 25, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 6,1 y 6,5 días?

b) ¿Qué tamaño n debería tener la muestra aleatoria para poder estimar μ usando la media muestral con un error máximo (diferencia entre μ y ) de ± 0,2 días con una confianza del 95%?

Problema 75:

Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):

¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido?

Problema 76:

Se considera la función f(x) = ax3 + b • ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1

Problema 77:

Un 10% de quienes utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor poder analgésico, pero sin embargo parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, 21 personas afirmaron haberlos sufrido, de una muestra de 140 que habían utilizado el nuevo medicamento.

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a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se pueden cometer al obtener las conclusiones y cómo se llaman.

b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 2%.

Problema 78:

Sean las matrices:

Halla el producto de A por B

Problema 79:

Dada la función , se pide:

a) Dominio y puntos de corte son los ejes de coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. d) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.

Problema 80:

Durante los 60 minutos de duración de cierto programa de radio su índice de audiencia viene dado por la función:

Sabiendo que cuando se inicia el programa el índice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia de 36. Determina a, b y c. Justifica la respuesta.

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Soluciones

Problema 1:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada. M = “Sintoniza Music”; R = “Sintoniza Rhythm”

Diagrama de Venn

Problema 2:

a) El tamaño muestral fue del 5% de 5500 denuncias; es decir, 5500 • 0,05 = 275 denuncias. La proporción de denuncias por violencia doméstica fue:

b) El error admitido viene dado por:

Al nivel de confianza 1 – α = 0,99 zα/2 = 2,58

El porcentaje por denuncias por violencia doméstica estará entre el 14% y el 26% con una confianza del 99%

Problema 3:

Asíntotas verticales: no tiene Asíntotas horizontales: no tiene.

Asíntotas oblicuas: se realiza la división

y se obtiene la asíntota oblicua: y = x

Problema 4:

El punto en que corta al eje de ordenadas es para x = 0, f(0) = e2 P(0, e2) La derivada es f’(x) = – e2–x m = f’(0) = – e2

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a) y – e2_{= – e}2_{(x – 0)} _{y = – e}2

x + e2

Problema 5:

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MediaD. típicaTamaño

Población 10 2

Muestra 10,4 36

• Se definen las hipótesis nula y alternativa

• Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 90% = 0,90 zα = 1,28

La región de aceptación es (– ∞; 1,28) • Se define el estadístico para el contraste

• Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 1,2 (– ∞, 1,28) se acepta la hipótesis nula con una probabilidad del 90%. Se puede aceptar que el consumo medio en teléfono móvil es como máximo 10 euros con un error del 10%

b)

Población 10 2

Muestra 10,39 49

• Se definen las hipótesis nula y alternativa

• Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 90% = 0,90 zα = 1,28

La región de aceptación es (– ∞; 1,28) •Se define el estadístico para el contraste

• Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 1,37 (– ∞, 1,28) se rechaza la hipótesis nula con una probabilidad del 90%. Se rechaza que el consumo medio en teléfono móvil es como máximo 10 euros

Problema 6: a) b) Si A2 = – I2, entonces A 3_{= A • (–I} 2) = – A; A 4_{= – I}

2 • (–I2) = I2 la matriz A es cíclica de orden 4. Dividiendo 2005 entre 4 queda de resto 1 A2005 = A1 = A

Problema 7:

Máximos y mínimos f’(x) = 3x2_{– 6x}

3x2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 7, A(0, 7)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 7) Máximo relativo. f(2) = 3, B(2, 3)

(17)

Monotonía o crecimiento f’(1) = – 3 < 0 (–)

Problema 8:

a)

B’(x) = 0 – 25x2

+ 400 = 0 x = 4, x = – 4 (la solución negativa no tiene sentido)

En el cuarto año se alcanza el máximo que es 3125 euros b) Como

Luego la empresa no puede tener pérdidas ningún año.

Problema 9:

a) Tabla con los datos del problema.

PV mujerPV hombre Restricciones

Nº de pantalones x y 50 ≤ x ≤ 750; y ≥ 0

Limitación PV mujer-hombre x y x ≥ y

Total pantalones x y x + y ≤ 1000

Beneficios 12x 20y f(x, y) = 12x + 20yMáximo

(18)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(50, 0); B(750, 0); C(750, 250); D(500, 500): E(50, 50). El máximo es f(500, 500) = 16000 euros

d) La solución óptima es D(500, 500), es decir, x = 500 pantalones vaqueros de mujer e y = 500 pantalones vaqueros de hombre. Beneficio = 16000 euros

e) El máximo es f(750, 250) = f(500, 500) = 15000 euros. La solución óptima se alcanza en C(750, 250) y D(500, 500); por tanto en todos los puntos del segmento CD. Beneficios = 15000 euros

Problema 10:

C = “obtener cara en la moneda”, P = “obtener par en el dado” Se hace el diagrama cartesiano:

1 2 3 4 5 6 C (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6) X (X, 1) (X, 2) (X, 3) (X, 4) (X, 5) (X, 6) a) E = {(C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (X, 1); (X, 2); (X, 3); (X, 4); (X, 5); (X, 6)} b) Problema 11:

El intervalo de confianza para la proporción p, con un nivel de confianza 1 – α, es:

a) Como 1 – α = 0,95 zα/2 = 1,96

b) Se tiene: El intervalo es:

La probabilidad de obtener un 5 con el dado usado estará entre el 16% y el 24% con una confianza del 95%

Problema 12:

(19)

b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = – 3, x = 2

Para que sea continua en Se estudian los límites laterales:

Problema 13:

Los únicos puntos problemáticos son t = 2 y t = 6 Continuidad para t = 2

Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función.

Derivabilidad para t = 2

Para que sea derivable en t = 2, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(2–) = f’(2+

) La función es derivable en t = 2 Continuidad para t = 6

(20)

Derivabilidad para t = 6

Para que sea derivable en t = 6, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(6–) ≠ f’(6+

) La función no es derivable en t = 6

Problema 14:

ProporciónD. típica Tamaño

Población 0,15

Muestra 0,18 121

a) Se definen las hipótesis nula y alternativa

b) Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado α = 0,05 1 – α = 0,95 zα = 1,65

La región de aceptación es (– ∞; 1,65)

c) Se define el estadístico para el contraste

d) Se acepta o se rechaza la hipótesis nula Como 0,92 (– ∞, 1,65), se acepta la hipótesis nula

Problema 15:

Problema 16:

a) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador, x = –3, x = 3 • Horizontales:

(21)

• Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador.

b) Máximos y mínimos relativos

c) Gráfica de la función

Problema 17:

a) Datos, incógnitas y dibujo.

b) Función que hay que maximizar f(a, b) = a • b

sujeta a la restricción: 2a + b = 8 b = 8 – 2a c) Se escribe la función con una sola variable f(a) = a • (8 – 2a) = 8a – 2a2

d) Se calculan los máximos y los mínimos f’(a) = 8 – 4a; 8 – 4a = 0 a = 2

e) Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(a) = – 4 f’’(2) = – 4 < 0 (–) Para a = 2 se alcanza el máximo. f) Solución

El área máxima se alcanza para a = 2, b = 4. El punto es (2, 4)

Problema 18:

Producto AProducto B Restricciones

Nº de unidades x y x ≥ 0; y ≥ 4

Limitación de espacio x y x + y ≤ 20

Nº de horas de trabajo de Juan 4x y 4x + y ≥ 32

Nº de horas de trabajo de Pedro 2x 3y 2x + 3y ≥ 36

(22)

b) Región factible.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(12, 4); B(16, 4); C(4, 16); D(6, 8). El máximo es f(16, 4) = 480 euros

d) La solución óptima es B(16, 4), es decir, x = 16 unidades del producto A e y = 4 unidades del producto B. Beneficios = 480 euros

Problema 19:

M = “ser mujer”, H = “ser hombre”, L = “elegir opción de letras” Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total

P(B) = P(M) • P(B/M) + P(H) • P(B/H) = 0,6 • 0,2 + 0,4 • 0,15 = 0,18 = 18% c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 20:

a) El intervalo de confianza para la media de la población μ con un nivel de confianza 1 – α, es:

Como 1 – α = 0,95 se tiene que zα/2 = 1,96 El intervalo es:

La media del alumnado se encuentra entre 6,21 puntos y 7,19 puntos con una confianza del 95%

(23)

Se debe tomar una muestra mayor o igual de 240 alumnos.

Problema 21:

f(0) = 8 °C f(5) = 17,25 °C

Problema 22:

a) La pendiente de la bisectriz del primer y tercer cuadrante es 1

Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de f(x):

y’ = 2x – 5 2x – 5 = 1 2x = 6 x = 3 y = 32 – 5 • 3 + 8 = 9 – 15 + 8 = 17 – 15 = 2 El punto es Q(3, 2)

b) Ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 4) Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a) f’(x) = 2x – 5 f’(1) = 2 • 1 – 5= – 3

y – 4 = – 3(x – 1) y – 4 = – 3x + 3 y = – 3x + 7 c) Representación gráfica:

Problema 23:

Población 19 3

Muestra 21 35

b) Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 95% = 0,95 zα = 1,65

(24)

d) Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 3,94 (– ∞; 1,65) se rechaza la hipótesis nula con una probabilidad del 95%. Se puede aceptar que el consumo de carne de pollo ha aumentado con un nivel de significación del 5%

Problema 24:

Es falso, contraejemplo

Problema 25:

a) R(1000) = – 0,01 • 10002_{+ 5 • 1000 + 2500 = – 2500 euros, pierde dinero.} b) R’(x) = – 0,02x + 5 – 0,02x + 5 = 0 x = 250

R(250) = 3125, A(250, 3125)

R”(x) = – 0,02; R”(250) = – 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros

Problema 26:

a) La función beneficio viene dada por una parábola que tiene un máximo. Produce beneficios cuando B(x) > 0. B(x) = 0 4x – 2x2_{– 0,68 = 0}

x = 0,19, x = 1,81. En el intervalo (0,19; 1,81) es donde se obtienen beneficios.

b) El beneficio máximo se obtiene en el vértice

Para x = 1 euro/kg se obtiene el máximo beneficio de 1,32 euros (El resultado también se puede obtener resolviendo B’(x) = 0) c) 1000 • 1,32 = 1320 euros

Problema 27:

(25)

b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC

Problema 28:

D = “hacer diana”, 1º D = “el primero hace diana”, 2º D = “el segundo hace diana” Árbol de probabilidades

c) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta d) Se aplica la probabilidad del contrario.

P(alguno acierte) =1 – P(ninguno acierte) = 1 – 1/12 = 11/12

Problema 29:

a) El intervalo de confianza para la media de la población μ con un nivel de confianza 1 – α, es:

(26)

b) El tamaño de la muestra es:

Se debe tomar una muestra mayor o igual de 385

Problema 30:

Es la hipérbola trasladada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Luego:

Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 1 Asíntota oblicua: no tiene

Problema 31:

Problema 32:

a)

Población 0,35

Muestra 0,29 225

Se definen las hipótesis nula y alternativa

Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado α = 0,05 1 – α = 0,95 zα = 1, 65

La región de aceptación es (– 1,65, + ∞) Se define el estadístico para el contraste

Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como – 1,89 (– 1,65, + ∞), se rechaza la hipótesis nula. b) Si α = 0,01 1 – α = 0,99 zα = 2,33

La región de aceptación es (– 2,33; + ∞) El valor del estadístico es el mismo: z = – 1, 89

(27)

Como – 1,89 (– 2,33; + ∞), se acepta la hipótesis nula.

Problema 33:

a) Matrices C, I y V

b) Matriz de costos anuales

Matriz de ingresos anuales

Matriz de beneficios anuales

V • I – V • C = (45000 56000 36000) – (18000 21000 13500) = (27000 35000 22500)

Problema 34:

Máximos y mínimos f’(x) = 3x2_{– 6x}

3x2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 4, A(0, 4)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0) f”(2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento f’(1) = – 3 < 0 (–) Punto de inflexión f”(x) = 6x – 6 6x – 6 = 0 x = 1 f(1) = 2, C(1, 2) f’”(x) = 6 f”’(1) = 6 ≠ 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f”(0) = – 6 < 0 (–)

(28)

Problema 35:

a) Datos, incógnitas y dibujo.

b) Función que hay que maximizar

sujeta a la restricción: x + y = 2 y = 2 – x c) Se escribe la función con una sola variable f(x) = x2 + (2 – x) 2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4 d) Se calculan los máximos y los mínimos

f’(x) = 4x – 4; 4x – 4 = 0 x = 1 e) Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(x) = 4 f’’(1) = 4 > 0 (+) Para x = 1 se alcanza el mínimo. f) Solución

El área mínima se alcanza para dos triángulos de base 1 m y altura 2 m

Problema 36:

Crudo ligeroCrudo pesado Restricciones

Nº de barriles x y x ≥ 0; y ≥ 0

Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y ≥ 26300

Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y ≥ 40600

Gasoil 0,2x 0,5y 0,2x + 0,5y ≥ 29500

Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimo

(29)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, 263000). El mínimo es f(90000, 23000) = 7795000 euros d) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = 90000 barriles de crudo ligero e y = 23000 euros barriles de crudo pesado. Coste = 7795000 euros

Problema 37:

D = “coche defectuoso” Árbol de probabilidades

P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) = = 0,5 • 1/2 + 0,3 • 1/4 + 0,2 • 1/6 = 0,36

c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 38:

El intervalo de confianza para la proporción p, con un nivel de confianza 1 – α, es:

a) Como 1 – α = 0,95 zα/2 = 1,96

b) Se tiene: El intervalo es:

(30)

La proporción de reclamaciones estará entre el 8% y el 16% con una confianza del 95%

Problema 39:

Problema 40:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

y – 3 = – 2(x – 3) y – 3 = – 2x + 6 y = – 2x + 9

Problema 41:

Población 0,16

Muestra 0,12 250

La región de aceptación es (– 1,65, + ∞) c) Se define el estadístico para el contraste

Como – 1,73 (– 1,65, + ∞), se rechaza la hipótesis nula. Se puede aceptar que las reclamaciones han descendido con un nivel de significación del 5%

Problema 42:

(31)

Problema 43:

a) Dominio: b) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador que no hacen cero el numerador, x = –3. Se observa que en x = 3 hay una discontinuidad evitable:

• Horizontales: no tiene • Asíntotas oblicuas:

La asíntota oblicua es y = x c) Máximos y mínimos relativos

Si x = 0 f(0) = 3 A(0, 3) Si x = – 6 f(0) = – 9 B(– 6, – 9)

f”(0) = 2/3 > 0 A(0, 3) mínimo relativo.

f”(– 6) = – 2/3 < 0 B(– 6, – 9) máximo relativo. Monotonía o crecimiento f’(1) = 7/16 > 0 (+) Gráfica de la función Problema 44: a) Datos e incógnitas. 1er número: x

(32)

2º número: y 3er número: z

b) Función que hay que maximizar f(x, y, z) = x • y • z

sujeta a las restricciones:

Se tiene que: x = 60 – (60 – 2z) – z = z c) Se escribe la función con una sola variable f(z) = z • (60 – 2z) • z = – 2z3

+ 60z2 d) Se calculan los máximos y los mínimos f’(z) = – 6z2_{+ 120z; – 6z}2 + 120z = 0 z = 0, z = 20 e) Se comprueba en la 2ª derivada f’’(z) = – 12z + 120 f’’(0) = 120 > 0 (+) se alcanza un mínimo. f’’(20) = – 120 < 0 (–) se alcanza un máximo. f) Solución

El producto máximo se alcanza para x = 20, y = 20, z = 20

Problema 45:

Microp. AMicrop. B Restricciones

Nº microprocesadores x y x ≥ 0; y ≥ 0

Fabricación 3x 2y 3x + 2y ≤ 240

Montaje 2x 4y 2x + 4y ≤ 240

Beneficios 160x 190y f(x, y) = 160x + 190yMáximo

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(80, 0); B(60, 30); C(0, 60). El máximo es f(60, 30) = 15300 euros

d) La solución óptima es B(60, 30), es decir, x = 60 microprocesadores del tipo A e y = 30 microprocesadores del tipo B. Beneficios = 15300 euros

Problema 46:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada. Diagrama de Venn

(33)

Problema 47:

El intervalo de confianza para la media de la población μ con un nivel de confianza 1 – α, es:

La media de los diámetros se encuentra entre 0,818 cm y 0,830 cm con una confianza del 95%

Problema 48:

a)

b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = – 1, x = 2

(34)

Problema 49:

Es la derivada de un cociente:

Problema 50:

Población 0,06

Muestra 0,07 300

d) Se acepta o se rechaza la hipótesis nula Como 0,73 (– ∞; 2,33), se acepta la hipótesis nula.

Problema 51:

No es posible porque si la matriz es de tamaño 3 x 2, su traspuesta es de tamaño 2 x 3

Una matriz de tamaño 3 x 2 no es cuadrada y no tiene inversa. Por tanto, no puede coincidir con su inversa.

Problema 52:

(35)

b) Obtenemos el mayor precio derivando y probando en los extremos del intervalo [0, 365]

p(0) = 287,5 euros; p(365) = 168,88

Se paga el mayor precio el día 150 y es de 400 euros c) Se paga el menor precio el día 365 y es de 168,88 euros

Problema 53:

a)

C’(x) = 0 3x3 – 3 = 0 x = 1 C(1) = 1; A(1, 1) C’’(1) = 9 > 0 A(1, 1) es un mínimo relativo.

Para x = 1 tonelada, se alcanza el coste mínimo que es 1 b) La función beneficios es B(x) = I(x) – C(x) = 12 x + 3ln x c)

B’(x) = 0 12x + 3 = 0 x = – 1/4

No tiene sentido porque x debe ser mayor que cero.

B’(x) > 0 para todo x > 0. Luego la función beneficio es creciente

Problema 54:

A. pequeñasA. grandes Restricciones

Nº de aulas x y 0 ≤ x ≤ 15; y ≥ 1

Limitación ambas x y x + y ≥ 8

Limitación grandes-pequeñas x y 0,25(x + y) ≥ y

Nº de alumnos 60x 120y f(x, y) = 60x + 120yMáximo

(36)

c) Se pueden habilitar todas las aulas correspondientes a las coordenadas enteras del interior y de la frontera de la región factible, cuyos vértice son: A(7, 1); B(15, 1); C(15, 5); D(6, 2)

d) El número mínimo de aulas pequeñas es de 6

e) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es f(15, 5) = 1500 alumnos

f) La solución óptima es C(15, 5), es decir, x = 15 aulas pequeñas e y = 5 aulas grandes. Número de alumnos = 1500

Problema 55:

Se dibuja el diagrama cartesiano:

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Problema 56:

Las medias muestrales

Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) se tiene:

La media de muestral es 74,35 y la desviación típica, 32,3/10 = 3,23

Problema 57:

a) La función f(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su subdominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador depende del parámetro a, se estudia el caso en x = 0

(37)

Para a = 1/2, la función es continua en x = 0

b)

Problema 58:

Continuidad

El único punto problemático es x = 3

Derivabilidad

Para que sea derivable en x = 3, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(3–_{) ≠ f’(3}+

) La función no es derivable en x = 3

Problema 59:

Población 0,25

Muestra 0,36 169

Como 3,3 (– ∞, 1,65), se rechaza la hipótesis nula. No hay evidencia de que carezcan de permiso de residencia a lo sumo el 25%

(38)

Problema 60:

Se hacen las traspuestas, los productos parciales y luego la diferencia

Problema 61:

La gráfica es una hipérbola, porque el grado del denominador es uno y el del denominador es uno o cero, en este caso uno.

a) Asíntotas: x = 2, y = 1,

b) Intervalos de crecimiento, como k = 2 > 0 es siempre decreciente. c) Representa gráficamente:

Problema 62:

f(1/2) = – 0,53 A(1/2, – 0,53)

f’’’ (1/2) = 24 ≠ 0 A(1/2, – 0,53) es punto de inflexión. x = 1 f’’(1) = 7 > 0

(39)

Problema 63:

Caja tipo 1Caja tipo 2 Restricciones

Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y ≤ 24

Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y ≤ 15

Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6yMáximo

d) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingresos = 510euros

Problema 64:

Se resuelve mediante una tabla de contingencia: A = “están de acuerdo”;

NA = “no están de acuerdo”

A = Están de acuerdoNo están de acuerdoTotal

1º Curso 0,3 • 140 = 42 98 140 2º Curso 66 0,4 • 110 = 44 110 Total 108 142 250 a) b) c) Problema 65: a)

(40)

Se debe tomar una muestra mayor o igual de 62 trabajadores.

Problema 66:

Asíntota vertical: x = 3

Asíntotas horizontales: no tiene.

Asíntotas oblicuas: se realiza la división

y se obtiene la asíntota oblicua: y = x – 3

Problema 67:

a) Continuidad

La función está definida por una función racional y una polinómica que no tienen puntos de discontinuidad en sus dominios de definición. El único punto problemático es x = 0

Derivabilidad

Para que sea derivable en x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(0–_{) ≠ f’(0}+

) La función no es derivable en x = 0 b) Ecuación de la recta tangente:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a) x = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 P(1, 2)

f’(x) = 2x + 1 f’(1) = 2 • 1 + 1 = 3

y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x – 1

Problema 68:

Población 38 4

(41)

b) Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 95% = 0,95 zα/2 = 1,96

La región de aceptación es (– 1,96, 1,96) c) Se define el estadístico para el contraste

Como 0,92 (– 1,96,1,96) se acepta la hipótesis nula con una probabilidad del 95%.

Problema 69:

Se calcula A • B y se igualan los términos con los de I2

Problema 70:

Podemos afirmar:

a) En x = 1 tiene un máximo relativo porque se anula la primera derivada y es cóncava porque f”(1) < 0

b) En x = 3 tiene un mínimo relativo porque se anula la primera derivada y es convexa porque f”(3) > 0 Problema 71: Como f(– 1) = 0 – 1 + a – b + c = 0 (1) f’(0) = 0 f’(x) = 3x2 + 2ax + b b = 0 (2) f(0) = 4 c = 4 (3)

Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene:

Problema 72:

Caja ACaja B Restricciones

Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Avellanas 6x 10y 6x + 10y ≤ 1800

(42)

Beneficios 80x 90y f(x, y) = 80x + 90yMáximo b) Región factible.

d) La solución óptima es B(100, 120), es decir, x = 100 cajas A e y = 120 cajas B. Beneficio = 18800euros

Problema 73:

D = “Practica algún deporte”; ND = “No practica algún deporte” F = “Le gusta el fútbol”; NF = “No le gusta el fútbol”

a) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total

P(NF) = P(D) • P(NF/D) + P(ND) • P(NF/ND) = 0,7 • 0,6 + 0,3 • 0,2 = 0,48 b) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 74:

(43)

Se debe tomar una muestra de 16 trabajadores.

Problema 75:

La función R(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su dominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador es distinto de cero para todo x ≥ 600, se estudia el caso en x = 600 Para que sea continua en

Se estudian los límites laterales:

no es continua en x = 600 Problema 76: f(1) = 2 a • 13_{+ b • ln 1 = 2} _{a • 1 + b • 0 = 2} a = 2 f’(x) = 3ax2_{+ b/x, como f’(1) = 0} _{3a • 1}2 + b/1 = 0 3a + b = 0 b = – 3a b = – 6 Problema 77: a)

Población 0,10

Muestra 0,15 140

Se definen las hipótesis nula y alternativa

Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado Para un nivel de significación α se obtiene un valor crítico zα

La región de aceptación es (– ∞; zα)

Se define el estadístico para el contraste

Si el valor de z (– ∞; zα), se acepta la hipótesis nula. Se pueden cometer dos errores:

Error de tipo I es el que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera. La probabilidad de cometer este error es el nivel de significación α

Error de tipo II es el que se comete cuando se acepta la hipótesis nula siendo falsa. b)

(44)

Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado α = 0,02 1 – α = 0,98 zα = 2,05

La región de aceptación es (– ∞; 2,05) Se define el estadístico para el contraste

Como 1,97 (– ∞; 2,05), se acepta la hipótesis nula. Es decir, se puede aceptar que el nuevo analgésico no produce más efectos secundarios que el antiguo con un nivel de confianza del 98%

Problema 78:

Problema 79:

a) Dominio: nunca se anula el denominador, Dom(f) = R = (– ∞, + ∞). Corta a los ejes en O(0, 0)

b) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador, no tiene. • Horizontales:

Tiene una asíntota horizontal en y = 0

• Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador.

c) Máximos y mínimos relativos

raíces reales simples. f(–1) = –1, A(–1, –1)

f”(–1) = 1 > 0 A(–1, –1) mínimo relativo. f(1) = 1, B(1, 1)

f”(1) = –1 < 0 B(1, 1) Máximo relativo. Monotonía o crecimiento

(45)

Problema 80:

Cuando se inicia el programa, t = 0 I(0) = 20 c = 20 (1) Para t = 40, I(40) = 36 1600a + 40b + c = 36 (2) Para t = 40, I’(40) = 0; I(t) = 2at + b 80a + b = 0 (3) Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene: