ELEMENTOS DE MÁQUINAS Cálculo de engranajes cónicos ENGRANAJES CÓNICOS

Texto completo

(1)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

ENGRANAJES CÓNICOS

Siendo C1 y C2 las circunferencias primitivas

i =

ω1 / ω2

ω1 / ω2

ω1 / ω2

ω1 / ω2

= R2 /R1 = Z2 / Z1

Como por la figura: R1 = L x sen

β1

β1

β1

β1

R2 = L x sen

β2

β2

β2

β2

sen

β2

β2

β2

β2

i = R2 /R1 =

---sen

β1

β1

β1

β1

β = β1 + β2

β = β1 + β2

β = β1 + β2

β = β1 + β2

sen

ββββ

tg

ββββ

1 =

---i + cos

ββββ

para

ββββ

= 90

°

1

tg

ββββ

2

= --- y tg

ββββ

1

= i

i

L = R1 / sen

ββββ

1 = R2 / sen

ββββ

2

De la misma manera como se considera el movimiento en los ejes paralelos, se lo hace con los ejes que forman un ángulo b = b1 + b2 que con dos ruedas cónicas que transmiten el movimiento sin resbalamiento y con una relación de transmisión constante

(2)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

Para estudiar el movimiento en los engranajes de ejes paralelos, cortábamos con un plano normal a

ambos ejes de giro de las ruedas, y sobre las circunferencias primitivas analizábamos los tipos de

curvas de los dientes (Curvas conjugadas, en especial la evolvente) luego proyectando

paralelamente a los ejes obteníamos cada diente.

En el caso de los engranajes cónicos LA SECCIÓN NORMAL A AMBOS EJES ES UNA ESFERA CON

CENTRO EN EL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE LOS MISMOS y la intersección con esta esfera nos

dará las circunferencias primitivas C1 y C2 en contacto en I siendo OI la generatriz de la esfera, los

ejes cortan a la esfera en O1 y O2

Si ahora analizamos los tipos de curvas, nos encontramos que debemos trabajar sobre una

superficie esférica visto desde el centro O, esto no es posible por no ser la superficie de la espera

desarrollable, (No está generada por una recta)

Debido a este inconveniente, es que con mucha inteligencia, se utiliza el método de los cono

complementarios ó método de Tredhold

(3)
(4)
(5)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

Nomenclatura y normalización

La longitud b del diente debe ser igual o menor que

1

/

(6)

Fuerzas y tensiones en los dientes

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

TANGENCIAL

Fx = Fn cos

α =

α =

α =

α =

F

t

= 71.620 N / n1 Rpe1

NORMAL

Fn = Ft / cos

αααα

RADIAL-AXIAL

Fy = Ft tang

αααα

sen

β1

β1

β1

β1

AXIAL -RADIAL

Fz = Ft tang

αααα

cos

β1

β1

β1

β1

(7)

Métodos de cálculo: Wilfred Lewis

(1892)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

L

l

R

r

L

R

l

r

=

=

L

l

p

p

L

p

l

p

c l c l

=

=

dF =

σσσσ

t

p

l

y dl

Momento torsor respecto eje engranaje:

dF . r =

σσσσ

t

p

l

y dl r

Variables proporcionales a la distancia desde el

vértice del cono primitivo:

y

dl

L

l

y

p

R

dl

y

L

l

p

L

l

R

dF

t

c

t

c

2

=

=

σ

σ

(8)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

Integrando r variando de 0 a R y l variando entre L y L – b:





+

=

=

=

− 2 2 2 2

3

1

.

L

b

L

b

y

b

p

R

dl

l

L

y

p

R

R

F

M

L t c b L c t t t

σ

σ

dl

L

l

y

p

R

dl

y

L

l

p

L

l

R

dF

t c t c 2

=

=

σ

σ





+

=

22

3

1

L

b

L

b

y

p

b

F

t

σ

r c

b máximo

1

/

3

L, b

2

/3L

2

= 1/27 se desprecia sin error apreciable y teniendo en cuenta la tensión admisible:

=

L

b

L

y

p

b

F

b

σ

adm

c

pc paso circunferencial en extremidad mayor y factor de forma con número virtual zvde dientes Ft fuerza tangencial en extremidad mayor

(9)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

Número virtual de dientes (Zi)

2

ππππ

R

1-2

= Z

1-2

p

2

ππππ ρρρρ

1-2

= Z

i

(1-2)

p

ρρρρ

1-2

= R

1-2

/ cos

ββββ

1111−−−−2222

Z

1

Z

2

Z

i1

= ---

Z

i2

=

---cos

ββββ

1111

cos

ββββ

2222

(10)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

ecuación de Lewis para cálculos preliminares de diseño

F

b

≥ F

t

Partimos de la igualdad:

F

b

= b

[cm]

y p

e[cm]

σ

adm

[Kg/cm

2

]

(L – b)/L)= F

t

[Kg]

= 71620 N[HP]

/ (n[rpm]

R

e[cm]

)

se considera como buena la siguiente proporción:

2 p

e

< b < 3 p

e

ó 6 M < b < 10 M

Es decir,

b =

ρρρρ

p

e

F

b

=

ρρρρ

y p

e

2

σ

adm

(L – b)/L)

como

D

p

= ( p

e

/

π

) Z

Ft = 71620 N / [ n ( p

e

Z / 2

π

) ]

Ft = 450.000 N / ( n p

e

Z )

(11)

[ ]

[ ]

[

]

[ ]

3

2

/

6

,

76

b

L

L

n

Z

y

N

p

rpm

cm

Kg

adm

HP

cm

e

=

ρ

σ

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

F

b

= F

t

F

b

=

ρρρρ

y p

e

2

σ

adm

(L – b)/L)

(12)

Esfuerzos en los apoyos

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes cónicos

R

med

= R- (b/2) sen

ββββ

TANGENCIAL Fx = Fn cosα = α = α = α = Ft = 71.620 N / n1 Rmed1 NORMAL Fn = Ft / cosαααα RADIAL-AXIAL Fy = Ft tangαααα senβ1β1β1β1 AXIAL -RADIAL Fz = Ft tangαααα cosβ1β1β1β1

(13)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes: AGMA

Buckingham

Métodos de cálculo: Flexión en la base

Lewis

Lewis-Barth

Métodos de cálculo: fatiga superficial

Buckingham

Norma AGMA

(14)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

NORMAS P/CALCULO RESISTENCIA

-orientar

-coordinar

-simplificar

-unificar

-reducir costos en tiempo y trabajo

-AGMA (EEUU-1916) 218.01, 2001C95

-DIN (Alemania-1917) 3990

-JGMA (Japón)

402 a 405

-GOST (Rusia)

21354-86

-ISO (Internacional-1947: institutos estandarización

de países: ANSI, IRAM, etc.)

6336

OBJETIVOS

(15)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

hs 30 o F ls’

Geometría y Fuerzas para normas ISO; DIN & JGMA

hs

ls’

Geometría y Fuerzas para normas AGMA

hsn 30 o F1 F2 lsn’ hs1 F1 F2 hs2 ls1’ ls2’

(16)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

“Este estándar de AGMA y publicaciones relativas están basados en datos, condiciones o

aplicaciones típicos o promedio. Los estándares están sujetos a mejoramiento, revisión o

anulación continuos, según lo dicte la experiencia acrecentada. Cualquier persona que consulte

publicaciones técnicas de AGMA deberá cerciorarse de que obtenga la información más reciente

disponible de la asociación acerca del tema en cuestión.”

“El conocimiento y el juicio que se requieren para evaluar los diversos factores nominales vienen

de años de experiencia que se ha ido acumulando en el diseño, fabricación y operación de

unidades de engranaje. Los factores empíricos dados en este estándar son de naturaleza

general. Las normas de aplicación de AGMA pueden utilizar otros factores empíricos que se

adecuen más estrechamente al uso particular. Esta norma está orientada al diseñador

experimentado de engranes, capaz de seleccionar valores razonables para estos factores. No

está dirigido hacia el uso masivo de la ingeniería pública en general.”

Métodos de cálculo: norma AGMA

(17)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Dos ecuaciones fundamentales válidas para engranajes

rectos, helicoidales, doble helicoidales y cónicos:

Para el esfuerzo flexionante

Para la resistencia a la picadura (contacto)

I

C

C

F

D

C

C

C

W

C

s

m

f

v

a

t

p

c

=

σ

J

K

K

K

F

K

P

K

K

W

d

s

m

B

I

v

a

t

t

=

σ

(18)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Para el esfuerzo flexionante

Las suposiciones para las cuales la ecuación fue derivada son:

- La relación de contacto está entre 1 y 2

- No hay interferencia ni rebaje del diente por encima del inicio teórico del flanco activo.

- Hay juego circunferencial.

- Los radios de acuerdo del diente son estándar.

-Se desprecian las fuerzas de rozamiento.

(El método analizado a continuación es válido para engranajes externos)

Modifica la ecuación de Lewis teniendo en cuenta, entre otra cosas:

- Efecto de la fuerza radial

- Concentración de tensiones en la base del diente

- Los efectos de tener varios dientes en contacto

- Carga aplicada en forma dinámica

(19)

Lewis-Barth:

F

t

F

b

= b y p

σ

adm

v

σ

t

= F

t

/ b y p K´

v

σ

adm

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

y

p

b

K

F

v

t

t

1

1

´

=

σ

Para adecuar nomenclatura y comparar:

- F

t

lo llamo Wt

- b lo llamo F

- p

utilizo en su lugar P

d

= π / p

- π y lo llamo J´

´

1

´

F

J

P

K

W

d

v

t

t

=

σ

(20)

´

1

´

F

J

P

K

W

d

v

t

t

=

σ

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Lewis-Barth

AGMA

Hay tres grupos de términos:

- el primero está relacionado con la carga

- el segundo con el tamaño de los dientes

- el tercero con la distribución de esfuerzos

J

K

K

K

F

K

P

K

K

W

d

s

m

B

I

v

a

t

t

=

σ

(21)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

lg] [ ] [ ] [ min] / [ ] [ ] [

126000

33000

pu rpm HP pie HP lb t

D

n

N

V

N

W

=

=

Carga tangencial transmitida:

J

K

K

K

K

K

K

F

P

W

v

I

B

m

s

a

d

t

pu

lb

t

]

2

lg

/

[

=

σ

Cuidado con las unidades!!

J

K

K

K

K

K

K

m

F

W

v

I

B

m

s

a

t

cm

Kg

t

]

2

/

[

=

σ

] [ ] [ ] [ ] [

71620

cm rpm HP Kg t

R

n

N

W

=

US SI

Diametral Pitch:

lg]

/

1

[

pu

d

P

Módulo:

]

[cm

m

Ancho:

lg]

[ pu

F

]

[cm

F

(22)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

J

K

K

K

K

K

K

s

m

B

I

v

a

t

t

FFFF

PPPP

WWWW

dddd

=

σ

Los factores empíricos K, reflejan cada uno el daño extra causado por un efecto particular no uniforme identificable separadamente:

Sistema motriz Sistema impulsado Uniforme Choques moderados Choques intensos Uniforme 1,00 1,25 ≥ 1,75 Choques ligeros 1,25 1,50 ≥ 2,00 Choques medianos 1,50 1,75 ≥ 2,25

Factor

dinámico

(K

v

):

fuerzas

internas

generadas por imprecisiones en fabricación

y engrane de los dientes

(exactitud perfil

diente, elasticidad material y velocidad). Es

función

del

grado

de

calidad

Qv

del

engranaje (tolerancia de fabricación).

Factor de sobrecarga (K

a

): W

t

es el valor promedio

de la carga transmitida, la carga máxima real puede

ser varias veces mayor debido a choques.

(23)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

(

)

1 2 1 2

in ft/min

in m/s

200

B v v B

A

V

A V

K

C

A

V

A

V

 

 

 

+

=

=



+

(

)

2 3 50 56(1 ) 12 for 6 11 4 v v A B Q B Q = + − − = ≤ ≤

(

)

(

)

2 max 2 3 ft/min 3 m/s 200 v v V A Q A Q = + −  + −     = 50 in ft/min, 2500 ft/min 50 50 = in m/s, 13 m/s 50 200 v K V V V V V V = < + < +

5

v

Q

Para V mayor que los valores máximos dados, utilice engranajes de mayor calidad

(24)

J

K

K

K

K

s

m

B

I

t

FFFF

PPPP

KKKK

KKKK

WWWW

dddd

vvvv

aaaa

tttt

=

σ

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Factor de tamaño (Ks): considera falta de uniformidad de las propiedades del material.

(p, d, b, relación del tamaño entre los dientes y el diámetro de la rueda, esfuerzos, profundidad del temple superficial )

La recomendación de la AGMA es que se utilice un factor igual a la unidad “para la mayoría de los engranajes siempre que se haga una elección adecuada del acero para el tamaño de la pieza y el tratamiento térmico y el proceso de templado o endurecimiento.”

Pd M Ks ≥5 ≤5 1.00 4 6 1.05 3 8 1.15 3 12 1.25 1.25 20 1.40

Factor de distribución de carga (Km): toma en cuenta desalineamientos (de

los ejes, inexactitudes de los dientes, deflexiones elásticas causadas por la carga en ejes o árboles, cojinetes o en el alojamiento). Los errores pueden combinarse de tal manera que el contacto con el engranaje oponente sea menor que el ancho íntegro de la cara, o que el contacto sea completo, pero carente de uniformidad.

(25)

J

K

K

B

I

t

mmmm

ssss

dddd

vvvv

aaaa

tttt

KKKK

FFFF

KKKK

PPPP

KKKK

KKKK

WWWW

=

σ

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Factor de geometría (J): evalúa la forma (o perfil) del diente, la posición

en la cual se le aplica la carga más peligrosa, concentración de tensiones y repartición de la carga entre uno o más pares de dientes

J = Y / ( K

f

m

N

)

Y : factor de forma

Kf : factor de concentración de tensiones

mN: relación de repartición de carga en los dientes

(26)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

R B t

t

m

h

=

2

3.4 for 0.5

1.2

1 for

1.2

1 for solid gears

B B B B

k

m

m

m

= −

+

=

>

=

tR= espesor aro desde raíz del diente ht= altura completa del diente

relación de respaldo

JJJJ

KKKK

FFFF

KKKK

PPPP

KKKK

KKKK

WWWW

dddd

ssss

mmmm

vvvv

aaaa

tttt

I

B

t

K

K

=

σ

El factor de flexión del aro KB considera los casos de engranes de gran

diámetro, hechos con un aro y radios en lugar de un disco sólido; dicho aro posee un espesor delgado en comparación con la altura de los dientes. La AGMA define una relación entre el espesor del aro y la altura de los dientes:

Para la relación mBno se recomienda valores menores de 0.5

(27)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

JJJJ

KKKK

KKKK

FFFF

KKKK

PPPP

KKKK

KKKK

WWWW

dddd

ssss

mmmm

BBBB

vvvv

aaaa

tttt

I

t

K

=

σ

El factor de engranaje intermedio KI considera que un engranaje de este tipo está sujeto a la vez a más ciclos de esfuerzo por unidad de tiempo, y a cargas alternantes más elevadas:

s

intermedio

engranajes

para

42

.

1

=

I

K

(28)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

R

T

L

at

pu

lb

adm

K

K

K

]

lg

/

[

2

σ

σ

=

adm

t

σ

σ

Esfuerzo admisible según el material (en tablas)

Cuando está sujeto a sobrecargas intensas, momentáneas y poco frecuentes, se determina por sus propiedades de resistencia al límite de fluencia

Es un esfuerzo de diseño con 10 millones de ciclos (107) de

operación con carga y 99% de confiabilidad (1 falla c/100 muestras).

Factor de confiabilidad (KR): asegurar alta confiabilidad, o

en algunos casos permitie diseñar con ciertos riesgos calculados Confiabilidad KR 0,9 0,85 0,99 1,00 0,999 1,25 0,9999 1,50 Confiabilidad KR Alta >=3,00 Diseño normal 1,33

Factor de Confiabilidad KR(fatiga)

(29)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

RRRR

a

t

a

t

a

t

a

t

KKKK

σσσσ

]

lg

/

[

2

T

L

pu

lb

adm

K

K

=

σ

Factor de duración (KL): las resistencias están basadas en 107 ciclos de carga en los dientes. El objetivo del factor de

duración consiste en modificar dichas resistencias para obtener duraciones distintas. Cuando el criterio sea el de la resistencia a la fluencia el factor de duración vale 1.

(30)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

RRRR

LLLL

a

t

a

t

a

t

a

t

KKKK

KKKK

σσσσ

]

lg

/

[

2

T

pu

lb

adm

K

=

σ

Factor de temperatura (KT): ajusta valor del esfuerzo admisible tomando en consideración la

temperatura. En los engranajes en los que el aceite o los cuerpos de los engranes trabajan con temperaturas que no exceden de 250°F (120°C), al factor de temperatura se le puede asignar el valor de 1. Para acero, con temperaturas de trabajo entre 70 y 150°C:

donde TF es la temperatura

máxima de trabajo del aceite en °F

6

2

0

6

2

0

6

2

0

6

2

0

TTTT

4

6

0

4

6

0

4

6

0

4

6

0

FFFF

+

=

T

K

Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo real flexionante y comparar este esfuerzo con el máximo admisible.

adm

t

σ

σ

Se deberá utilizar las ecuaciones de resistencia a la flexión separadamente para el piñón y la rueda si son fabricados de materiales diferentes o tienen un tratamiento térmico diferente. De otro modo, solo se tiene que diseñar el piñón ya que el engranaje más grande tiene mayor factor de geometría J.

(31)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

AGMA

I

D

b

F

C

p

t

c

1

=

σ

Buckingham

Para el esfuerzo de contacto

I

C

C

F

D

C

C

C

W

C

s

m

f

v

a

t

p

c

=

σ

Para adecuar nomenclatura y comparar:

- Ft lo llamo Wt - b lo llamo F

F

D

I

W

C

p

t

c

=

σ

1-Ley de distribución de presiones según Hertz

2-Distribución de la presión hidrodinámica (cuerpos indeformables)

3-Distribución real de presiones (cuerpos deformados, en movimiento y actuando una capa de lubricante)

(32)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

I

C

C

F

D

C

C

C

W

C

s

m

f

v

a

t

p

c

=

σ

lg] [ ] [ ] [ min] / [ ] [ ] [

126000

33000

pu rpm HP pie HP lb t

D

n

N

V

N

W

=

=

Carga tangencial transmitida:

Ancho:

lg]

[ pu

F

Diámetro:

lg]

[ pu

D

Coeficiente elástico:

+

=

2 2 2 1 2 1 ] 2 lg / [

1

1

1

E

E

C

p lb pu

ν

ν

π

Factor de geometría:

1

2

cos

+

=

G G

m

m

sena

a

I

1 2/ D D m siendo G =

(33)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

IIII

FFFF

DDDD

WWWW

CCCC

t

t

t

t

pppp

s

m

f

v

a

c

C

C

C

C

C

=

σ

Factor de tamaño (Cs) = Ks

Factor de distribución de carga (Cm) = Km Factor dinámico (Cv) = Kv

Factor de aplicación (Ca) = Ka

Factor de condición superficial (Cf) : depende del acabado superficial

(según sea afectado por el cortado, acepillado, pulimentado, rectificado, etc.), de los esfuerzos residuales y de los efectos plásticos (endurecimiento por el trabajo). Puede tomarse como la unidad, a menos que las pruebas o experiencias en el sitio de trabajo indiquen otra cosa.

(34)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

R

T

H

L

ac

pu

lb

ad

C

C

C

C

]

lg

/

[

2

σ

σ

=

ad

c

σ

σ

Esfuerzo admisible según el material (en tablas)

Factor de temperatura (CT) = KT

Factor de confiabilidad (CR) = KR

Factor de duración (CL): las resistencias están

basadas en 107 ciclos de carga en los dientes.

El objetivo del factor de duración consiste en modificar dichas resistencias para obtener duraciones distintas.

(35)

1

(

1)

H G

C

= +

A m

3 3 3 0 if 1.2 8.98(10 ) 8.29(10 ) if 1.2 1.7 6.98(10 ) if 1.7 Bp Bg Bp Bp Bg Bg Bp Bg H H H H A H H H H − − −  <     = − ≤ ≤    > 

Para piñones endurecidos superficialmente con dureza > 48 RC y para una dureza del engrane entre 180 y 400 HB:

1 (450 ) H g C = +BHB 0.0112 4 0.052 4 7.5(10 ) (US units) 7.5(10 ) (SI units) q q R R e B e − −  = 

Rq= RMS rugosidad superficial del diente del piñón en µin rms

RRRR

TTTT

LLLL

a

c

a

c

a

c

a

c

CCCC

CCCC

CCCC

σσσσ

H

pu

lb

ad

C

]

lg

/

[

2

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σ

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

Factor de relación de dureza (CH) : tiene en cuenta la diferencia de durezas entre piñón y engrane y se utiliza sólo para el

engrane. Es función de la dureza de los dos engranes y de la relación de velocidades.

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Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo de contacto y comparar este esfuerzo con el máximo admisible. Los coeficientes de seguridad previstos para esfuerzos de flexión y recomendados en las normas AGMA son iguales que los orientados para los esfuerzos de contacto.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes : AGMA

ad

c

σ

σ

Las mismas expresiones son válidas para engranajes helicoidales; fundamentalmente varían los coeficientes de forma (J), de montaje (Km) y dinámico (Kv), debido a la nueva geometría y sus ventajas (menor efecto dinámico) y desventajas (fuerza axial). Al coeficiente de geometría (I) del cálculo al desgaste hay que calcularlo debido a que el ángulo de la hélice no está normalizado.

También son válidas para engranajes cónicos; fundamentalmente varían los coeficientes de forma (J), de montaje (Km) y de tamaño (Ks), debido a la nueva geometría y al montaje. El coeficiente elástico (Cp) y de geometría (I) ya que se utilizan las ecuaciones de Hertz para dos esferas en contacto. La fuerza de trabajo se calcula actuando en el diámetro primitivo exterior.

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