Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física
Termodinámica y Teoría Cinética: Fiz 0211
Ayudantía 6 - Soluciones
2da Ley de la Termodinámica y Condiciones de EquilibrioProfesor: Miguel Kiwi ([email protected]) Ayudante: Daniel Narrias ([email protected]) Problema 1
Dos sistemas particulares poseen las siguientes ecuaciones de estado
1 T1 = 3 2R N1 U1 1 T2 = 5 2R N2 U2
en donde R es la constante de los gases. El número de moles del primer sistema valeN1 = 2, mientras el del segundo vale N2 = 3. Si dichos subsistemas se encuentran separados por una pared diatérmica y la energía total del sistema vale2,5·103J, se pide
determinar la energía de cada subsistema en equilibrio. Solución:
Tenemos que dNi = 0, dVi = 0, por lo que podemos considerar la entropía de cada
sistema como función sólo de la energía interna, esto es Si = Si(Ui). Como ∂U∂S = T1,
tenemos que dS1 dU1 = 3 2R N1 U1 dS2 dU2 = 5 2R N2 U2 =⇒ 4S1 = 3 2RN1ln(U1) 4S2 = 5 2RN2ln(U2)
Tenemos además que
U1+U2 = 2,5·103J =⇒dU1+dU2 = 0 Además, sabemos que dS = 0 en el equilibrio, por lo que
S = S1 +S2 =⇒dS = dS1+dS2 = 3 2R N1 U1 dU1+ 5 2R N2 U2 dU2 = 3 2R N1 U1 −5 2R N2 U2 dU1 = 0 =⇒0 = 3 2R N1 U1 − 5 2R N2 U2 =⇒3N1U2 = 5N2U1 6U2 = 15U1
Así, junto con la ecuaciónU1+U2 = 2,5·103J, encontramos que en equilibrio U1 = 714,28J U2 = 1785,71
Problema 2
Tres cilindros de áreas de secciones rectas idénticas y con pistones, poseen en su interior gases de composiciones químicas cualesquiera. Se conectan los pistones utilizando una barra rígida que puede rotar alrededor del punto P indicado. Las distancias entre cada pistón y el punto P, a lo largo de la barra, están en la proporción 1:2:3. Los cilindros se encuentran sobre una supercie conductora de calor de masa despreciable, cuyo único rol es asegurar que los tres cilindros estén en contacto térmico entre sí. El sistema completo se encuentra aislado y no existen presiones externas sobre las paredes externas de los pistones. Se pide encontrar una relación para las presión y otra para las temperaturas.
Solución:
Viendo la gura, tenemos que
sen(α) = h3 3d =− h2 2d =− h1 d
por lo que dh3 =−3dh1, dh2 = 2dh1. Por tanto,
dV1 =Adh1 dV2 = 2Adh1 dV3 =−3Adh1 Ahora, tenemos además que
U1+U2+U3 =cte=⇒dU1 =−dU2−dU3 En el equilibrio, sabemos que dS = 0, por lo que
S = 3 X i=1 Si =⇒dS = X i=1 3 1 Ti dUi+ Pi Ti dVi = 1 T1 dU1+ P1 T1 dV1+ 1 T2 dU2+ P2 T2 dV2 + 1 T3 dU3+ P3 T3 dV3 = 1 T2 − 1 T1 dU2+ 1 T3 − 1 T1 dU3+A P1 T1 + 2P2 T2 −3P3 T3 dh1 = 0
donde usamos además quedNi = 0. Es necesario que los paréntesis se anulen pues las
diferenciales son arbitrarias, por lo que obtenemos en el equilibrio
1 T2 − 1 T1 = 0 1 T3 − 1 T1 = 0 P1 T1 +2P2 T2 −3P3 T3 = 0 =⇒T1 =T2 =T3 P1+2P2 = 3P3 Problema 3
Tres cilindros están conectados por medio de cuatro pistones de la forma que se mues-tra en la gura. La relación entre las áreas de los pistones esA1 :A2 :A3 = 1 : 2 : 3. Los cilindros se encuentra sobre una supercie conductora de calor de masa despreciable, cuyo único rol es permitir que los cilindros entren en contacto térmico. El sistema com-pleta se encuentra aislado y no existen presiones externas sobre las pistones. Encuentre
la razón entre las presiones y las temperaturas de los tres cilindros en el equilibrio. Solución:
De la relación A1 :A2 :A3 = 1 : 2 : 3 tenemos que A1 =k, A2/2 =k =⇒A2 = 2A1 y A3/3 =k =⇒A3 = 3A1.
Dados que las barras de los pistones son rígidas, vemos que si por ejemplo el volumen de 2 aumenta, el volumen de 3 disminuye en la misma cantidad. Así, denamos el cambio dx como el desplazamiento longitudinal innitesimal en el sentido de aumento de V2 y dy como el desplazamiento longitudinal innitesimal en el sentido de aumento de V1. Así, tenemos que
dV1 =A1dy dV3 = 3A1(−dy) + 3A1(−dx) dV2 = 2A1dx
Además, por conservación de energía, U1+U2+U3 =cte=⇒dU1 =−dU2−dU3. En el equilibrio, tenemos quedS = 0, por lo que
dS = 1 T1 dU1+ P1 T1 dV1+ 1 T2 dU2+ P2 T2 dV2+ 1 T3 dU3+ P3 T3 dV3 = 1 T2 − 1 T1 dU2+ 1 T3 − 1 T1 dU3+A1 P1 T1 −3P3 T3 dy+A1 2P2 T3 −3P3 T3 dx = 0
donde usamos además que dNi = 0. Es necesario que los paréntesis se anulen pues
las diferenciales son arbitrarias, por lo que obtenemos en el equilibrio
1 T2 − 1 T1 = 0 1 T3 − 1 T1 = 0 2P2 T2 −3P3 T3 = 0 P1 T1 −3P3 T3 = 0 =⇒T1 =T2 =T3 P1 = 3P3 2P2 = 3P3 Por tanto, la razón entre las temperaturas es T1 :T2 :T3 = 1 : 1 : 1y la razón entre
las presiones es P3 :P2 :P1 = 1 : 3/2 : 3. Problema 4
Considere una pompa de jabón esférica hecha de una supercie de jabón de tensión supercial σ constante y llena de aire (asuma que se comporta como un gas ideal). SeanP0 la presión ambiental externa y T0 la temperatura.
a) Encuentre una relación entre el radio de equilibrio r de la pompa de jabón y la masa de aire m dentro de ella.
b) Transforme la relación encontrada en a) para el radio r en el límite en que la pompa es muy grande. Precise matemáticamente qué signica grande.
Hint: En la diferencial de la energía interna dU, la contribución de la tensión su-percial es +σdS, donde dS es la diferencial de supercie.
Solución:
a) Sean P, P0 las presiones dentro y fuera de la pompa y µ, µ0 sus potenciales químicos correspondientes (potenciales químicos del aire). Tenemos que
dU =T0dS−P0dV0−P dV +µdN+µ0dN0+σdS
Por conservación, tenemos que d(V +V0) = 0 =⇒dV0 =−dV,d(N+N0) = 0. En el equilibrio además dU = dS = 0 y µ = µ0. Notése que no imponemos P = P0 pues la diferencia de presión interna-externa permite la existencia de la pompa de jabón. Por tanto, tenemos que
dU = T0dS−P0dV0−P dV +µdN +µ0dN0+σdS 0 = dV(P0−P) +σdS =⇒P −P0 = σ dS dV Además, V = 4π 3 r 3 =⇒dV = 4πr2dr S = 4πr2 =⇒dS = 8πrdr =⇒ dS dV = 2 r
donde r es el radio de la pompa de jabón en el equilibrio. Por tanto,
P −P0 =
2σ r
También tenemos que, gracias a que el aire se comporta como un gas ideal, P V = m MRT =⇒P = m M RT V
donde m es la masa de aire dentro de la pompa y M es la masa por unidad de mol del aire.
Por tanto, P = P0+ 2σ r m M RT V = P0+ 2σ r =⇒m = V M RT P0 + 2σ r m(r) = 4π 3 M RT P0+ 2σ r r3 b) Tenemos que m= 4π 3 M RT P0+ 2σ r r3 = 4π 3 M P0 RT r 3 1 + 2σ rP0 ≈ 4π 3 M P0 RT r3 donde 2σ rP0 << 1 =⇒ 2σ P0 << r
