Dibujos, gráficas, y diagramas

Dibujos, gráficas, y diagramas

En esta lección

● Usarás dibujos, diagramas, y gráficas de coordenadas para ayudarte a resolver problemas

Crear un dibujo o un diagrama puede ayudarte a visualizar un problema y a encontrar una solución. En el Ejemplo A de tu libro, se usa un diagrama para resolver un problema, y el diagrama sirve como una manera concisa de presentar los pasos de la solución. Trabaja ese ejemplo y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO Allyndreth necesita medir 4 litros de agua usando solamente una cubeta de 3 litros y otra de 8 litros. Describe o ilustra un procedimiento que dé exactamente 4 litros de agua en la cubeta de 8 litros.

_Solución

_{En la siguiente secuencia de dibujos se muestra una posible solución:}

Investigación: Camello que cruza el desierto

En la investigación de tu libro se presenta un problema sobre un camello que debe transportar una carga de bananas a través del desierto. Lee el problema con cuidado y asegúrate de que lo entiendes. Invierte algo de tiempo trabajando en el problema por tu propia cuenta, antes de leer el texto siguiente.

Si el camello intenta llevar 1000 bananas a través de todo el desierto, no tendrá ninguna banana cuando llegue, y no podrá regresar a recoger más. Así, el camello debe llevar las bananas al menos a un punto de entrega por el camino.

Cubeta de 8 litros 8 Cubeta de 3 litros 1 3 3 0 0 6 0 3 0 1 6 0 3 0 3 0 1 1 3 4 0 L E C C I Ó N

0.1

CONDENSADA

He aquí algunas de las suposiciones que haremos:

● Para reducir el número de viajes innecesarios, el camello empieza cada viaje con exactamente 1000 bananas.

● El camello transporta tantas bananas como le es posible a sucesivos puntos de entrega en el desierto.

Supón que el primer punto de entrega se ubica a x millas de donde el camello empezó. El camello necesitará hacer tres viajes hasta este punto, iniciando con 1000 bananas cada vez. En el primer viaje, necesita comer x bananas en el camino y dejar xbananas para el camino de regreso. Entonces, puede dejar 1000 2x

bananas. También puede dejar 1000 2xbananas en el segundo viaje. En el tercero, no necesita regresar, de modo que puede dejar 1000 xbananas. El número total de bananas en el primer punto de entrega es 3000 5x.

Ahora, el camello debe transportar las bananas desde el primer punto de entrega. Estamos suponiendo que el camello inicia cada viaje con 1000 bananas y que no deja ninguna. Para que esto suceda, 3000 5xdebe ser 1000 ó 2000. Consideremos cada caso de manera separada y veamos cuál da el número más grande de bananas al final.

Primero, supón que 3000 5x1000. Entonces x400, de modo que el primer punto de entrega está a 400 millas. El camello transportaría entonces las 1000 bananas desde el primer punto de entrega hasta su destino final, viajando 600 millas y terminando con 400 bananas.

Ahora, supón que 3000 5x2000. Entonces x200, de modo que el primer punto de entrega está a 200 millas del punto inicial. Supón que el siguiente punto de entrega está a ymillas del primero. El camello debe hacer dos viajes desde el primer punto de entrega hasta el segundo. En el primero, puede dejar 1000 2y

bananas y, en el segundo, puede dejar 1000 y. Entonces, habrá 2000 3y

bananas en el segundo punto de entrega. Usando las suposiciones anteriores, 20003ydebe ser 1000, así pues,y 3331₃.

El camello tiene ahora 1000

2003331₃

, ó 4662₃millas que recorrer. Necesita hacer solamente un viaje y terminará con 1000 467, ó 533 bananas. (Necesita comer un número entero de bananas.) Esto es mayor que la respuesta que obtuvimos al suponer 3000 5x1000, de manera que es una mejor solución.

El Ejemplo B de tu libro presenta un problema que se puede resolver fácilmente si se hace una gráfica en un sistema de coordenadas. Lee ese ejemplo con cuidado y asegúrate de que lo entiendes.

Representación simbólica

En esta lección

● Escribirás problemas en una forma simbólica y los resolverás con álgebra En ocasiones, la manera más fácil de resolver un problema es traducirlo a expresiones y ecuaciones simbólicas y después aplicar métodos algebraicos de solución. En el Ejemplo A de tu libro, traducir el problema a símbolos muestra que no existe una solución matemática. En el Ejemplo B se presenta un problema que parece complejo y que puedes resolver con bastante facilidad usando el álgebra. Lee esos ejemplos con cuidado y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO En la tienda de recuerdos del estadio de béisbol de los Summerville Sox, se venden pelotas, gorras, y camisetas con el logotipo del equipo. Samantha compró una gorra y cinco pelotas por $51. Las cuatro gorras que Carlos compró le costaron $12 más que la camiseta que compró su hermano. El señor Kurowski gastó $177 en tres pelotas y tres camisetas para sus nietos. ¿Cuánto cuesta cada producto? (Supón que los impuestos están incluidos en el precio.)

_Solución

_{Haz una lista de las cantidades desconocidas y asígnale una variable a cada una.} Sea bel costo de una pelota.

Sea c el costo de una gorra. Sea j el costo de una camiseta.

Segundo, usa la información del problema para escribir ecuaciones.

c5b51 Ecuación 1: Las adquisiciones de Samantha traducidas a una ecuación algebraica.

4cj12 Ecuación 2: La información sobre las adquisiciones de Carlos y su hermano.

3b3j177 Ecuación 3: Las compras del señor Kurowski.

Tercero, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar los valores de las variables.

12c3j36 Multiplica ambos lados de la Ecuación 2 por 3.

3b3j177 Ecuación 3.

12c3b213 Suma las ecuaciones.

4cb71 Divide ambos lados de la suma anterior entre 3.

4c20b204 Multiplica ambos lados de la Ecuación 1 por 4. 19b 133 Resta las ecuaciones.

b7 Divide ambos lados entre 19. c5(7)51 Sustituye bpor 7 en la Ecuación 1.

c16 Resuelve para c.

4(16)j12 Sustituye cpor 16 en la Ecuación 2.

52j Resuelve para j. L E C C I Ó N

0.2

Investigación: Problemas, Problemas, Problemas

La investigación en tu libro te pide que resuelvas uno de tres problemas dados. A continuación se presentan la solución al Problema 1 y unas sugerencias para resolver los Problemas 2 y 3.

Solución del Problema 1

Paso 1 Sea Ael número de adultos. Sea Bel número original de muchachos. SeaG el número original de muchachas.

Paso 2

_BA_G 1₄ Ecuación 1: Cuando llegan Adam y Megan.

B_G302₁ Ecuación 2: Cuando llegan 30 muchachos más. G_B33₀04₃ Ecuación 3: Cuando llegan 30 muchachas más.

Paso 3

B302G Reescribe la Ecuación 2 de modo que B30 quede sola en un lado. B30 3₄(G30) Reescribe la Ecuación 3 de modo que B30 quede sola en un lado.

2G3₄(G30) Los lados derechos de las ecuaciones anteriores deben ser iguales. G18 Resuelve para G.

B₁₈30 2 Sustituye Gpor 18 en la Ecuación 2. B6 Resuelve para B.

₁₈A ₆ 1₄ Sustituye Gpor 18 y Bpor 6 en la Ecuación 1. A6 Resuelve para A.

Paso 4 La razón final entre adultos y niños es _B30A_G3086₄₁1₄. Esto significa que había un adulto por cada 14 niños.

Sugerencia para el Problema 2

Cada persona llevó a casa el equivalente a 8₃0, ó 262₃libras de tomates. Calcula cuántas libras de sus tomates le dio cada muchacho a Celia. El dinero debe dividirse de modo que la razón entre el dinero de Abdul y el dinero de Billy es igual a la razón entre la cantidad de tomates que Abdul le dio a Celia y la cantidad de tomates que Billy le dio a Celia.

Sugerencia para el Problema 3

Sea a la cantidad promedio de pastel por adulto. Sea bla cantidad promedia de pastel por niño. De acuerdo con el proveedor de la comida, 12c7a 1 pastel completo. Escribe una expresión para la cantidad de pasteles que se necesita para la fiesta de Tina. Reescribe la expresión en términos de una variable. La expresión debe ser menor que 12co menor que 7a.

Organización de la información

En esta lección

● Organizarás la información de los problemas en categorías

Cuando te enfrentas un problema difícil, a menudo es mejor empezar por organizar la información dada. Esto te puede ayudar a ver lo que sabes y a determinar lo que necesitas averiguar. En los Ejemplos A y B, las unidades de medición se usan para vincular los pedazos de información. Resolver el problema del Ejemplo C te preparará para la investigación. Trabaja los tres ejemplos, y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO ¿Cuántos litros de una solución salina, con una concentración de 20 gramos de sal por litro, deben agregarse a 80 litros de una solución con una concentración de 35 gramos de sal por litro para crear una solución con una concentración de 30 gramos de sal por litro?

_Solución

_{Hay tres soluciones salinas implicadas: la solución de 35 g/L, la solución de} 20 g/L, y la solución combinada. Llámalas Solución 1, Solución 2, y Mezcla, respectivamente. Haz que xrepresente la cantidad de Solución 2 necesaria. Organiza la información creando una tabla con las filas y las columnas rotuladas como se muestra a continuación. Empieza por poner los valores que conoces. (Estos valores están subrayados en la tabla.)

Las unidades indican que la concentración de una solución es igual a la masa de sal dividida entre el volumen. Usa esta relación para poner en la tabla la masa de sal de las dos soluciones. Para hallar la masa y el volumen de la mezcla, suma las masas y los volúmenes de las Soluciones 1 y 2.

La concentración de la mezcla es igual a 30 g/L, pero también es igual a

. Escribe una ecuación y resuélvela para x. 30 280₈0₀2_x0x Ecuación de concentración.

240030x280020x Multiplica ambos lados por 80x.

10x400 Resta 2400 de ambos lados. x40 Divide ambos lados entre 10.

Así, deben agregarse 40 gramos de la Solución 2 para crear la mezcla. 28002x

_80x

masa de sal en la mezcla

_{volumen de sal}

Solución 1 Solución 2 Mezcla

Concentración de solución (en g/L) 35 20 30

Volumen de solución (en L) 80 x 80x

Masa de sal (en g) 2800 20x 280020x

L E C C I Ó N

0.3

CONDENSADA

Investigación: ¿Quién es el dueño de la cebra?

Lee la investigación en tu libro. Existen muchas formas de abordar este problema. Un método implica el hacer una tabla en la que se muestren todos los colores de casa, tipos de autos, mascotas, periódicos, y plantas posibles para cada casa.

Usa las pistas para tachar las posibilidades que sabes están mal y encerrar en un círculo aquellas que sabes correctas. Tendrás que repasar las pistas varias veces; algunas de ellas no serán útiles de inmediato. He aquí algunos pasos para que empieces:

● La primera pista que es útil de inmediato es la octava, que indica que la familia de la casa de en medio lee el Times. Así pues, en la posición 3, encierra en un círculo “Times”. Tacha los otros periódicos de la posición 3 y “Times” en las demás posiciones.

● Si usas la novena pista, puedes encerrar “Compacto” en la posición 1, tachar los demás vehículos de esa misma posición y tachar también “Compacto” en todas las otras posiciones.

● Si usas la duodécima pista, puedes tachar “Remolachas” (Beet) de la posición 3. ● Si usas la decimotercera pista, puedes tachar “Quimgombó” (Okra) de la

posición 1.

● Si usas la decimocuarta pista, puedes encerrar “Azul” en la posición 2, tachar los otros colores de casa de la posición 2 y tachar “Azul” en las otras posiciones. ● Si usas la primera pista, puedes tachar “Station wagon” de la posición 2 y tachar

“Rojo” de la posición 1.

● Si usas la segunda pista, puedes tachar “Perro” en la posición 1.

Continúa leyendo las pistas y marcando la información que conoces. De vez en cuando detente y observa tu tabla atentamente. Puedes encontrar que tachaste todas las posibilidades, menos una en una sección o fila particular. Entonces, puedes encerrar en un círculo la posibilidad restante. Cuando termines, debes tener que la familia de la cuarta casa es dueña de la cebra.

Posición 1 (izquierda) 2 3 4 5 (derecha)

Color de casa Rojo Rojo Rojo Rojo Rojo

Verde Verde Verde Verde Verde

Blanco Blanco Blanco Blanco Blanco

Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo Amarillo

Azul Azul Azul Azul Azul

Vehículo Station wagon Station wagon Station wagon Station wagon Station wagon

SUV SUV SUV SUV SUV

Van Van Van Van Van

Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo Auto deportivo