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MULTIPLICACIÓN:
LA DIVISIÓN su inversa
CONTENIDO1. Visualizar la “unión” de cantidades iguales y su “separación” como
procesos inversos
2. Introducir la noción de la división como inversa de la multiplicación
3. Cálculo oral de divisiones a partir de la multiplicación
4. Representar con simbología matemática ilustraciones de
multiplicaciones y sus inversas: las divisiones
5. Ejercicios para reforzar las actividades
1. VISUALIZAR LA “UNIÓN” DE CANTIDADES IGUALES Y SU “SEPARACIÓN” COMO PROCESOS INVERSOS
A. OBJETIVO: Introducir visualmente la división como el proceso inverso de la multiplicación
B. MATERIALES
30 botones (ó 30 frijoles)
C. ACTIVIDADES
La siguiente actividad permite retomar la visualización que sumar y
multiplicar es “unir cantidades”. La diferencia está que la multiplicación “une cantidades iguales”. Así como la resta es la inversa de la suma, y es
“separar cantidades”, la división es la inversa de la multiplicación porque “separa cantidades iguales”. Esta propuesta de ver la división como “separar cantidades iguales”, introduce al aprendiz de manera sencilla y directa a la división, siempre y cuando el aprendiz domine las
representaciones de la multiplicación (noción, representaciones gráficas y verbales) y las tablas.
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Se puede iniciar la actividad representando sumas y sus restas asociadas, con diferentes cantidades. Luego se extrapola a cantidades iguales para hacer una primera aproximación a la división como “separar cantidades iguales”: la inversa de la multiplicación.
Se organizan los aprendices en grupos de 4 integrantes y se entregan 30 botones (ó 30 frijoles) a cada grupo. El facilitador propone las situaciones y los aprendices las ejecutan y responden.
Representa con los botones 15 + 4:
o ¿Qué hiciste: “uniste o separaste cantidades”?, ¿qué cantidades uniste?, ¿cuánto es el total? (uní 15 y 4, y el total es 29).
o “Separa” uno de los sumandos, el 15, ¿qué queda? (4), ¿cómo expresas la operación de separar? (29-15=4).
o Vuelve a “unir” 15 y 4, y “separa” el otro sumando, el 4, ¿qué queda? (15), ¿cómo expresas la operación de separar? (29-4=15).
Representa con los botones 13 + 14:
o ¿qué hiciste: “uniste o separaste cantidades”?, ¿qué cantidades uniste?, ¿cuánto es el total? (uní 13 y 14, y el total es 27).
o “Separa” uno de los sumandos, el 13, ¿qué queda? (14), ¿cómo expresas la operación de “separar”? (27-14=13).
o Vuelve a “unir” 13 y 14, y “separa” el otro sumando, el 13, ¿qué queda? (14), ¿cómo expresas la operación de separar? (27-13=14).
Representa con los botones 3 + 3 + 3 + 3:
o ¿Qué hiciste: “uniste o separaste cantidades”?, ¿qué cantidades uniste?, ¿cuánto es el total? (uní el 3 cuatro veces y el total es 12).
o ¿Cómo son las cantidades que uniste? (iguales)
o ¿De qué otra manera se puede expresar 3 + 3 + 3 + 3 y por qué? (como multiplicación 3 x 4, porque el 3 se repite 4 veces).
o Ahora realicemos la operación inversa, ”separar” grupos de 3 botones cuantas veces puedas, ¿cuántos grupos de 3 botones pudiste separar? (4).
o ¿Cómo escribiríamos matemáticamente la “separación” de los cuatro grupos cada uno con tres botones? ( 12-3-3-3-3=0)
Representa 4 + 4 + 4 + 4 + 4, ¿qué hiciste: “uniste o separaste cantidades”?:
3 o ¿Qué cantidades uniste?, ¿cuánto es el total? (uní el 4
cinco veces y el total es 20), ¿cómo son las cantidades que uniste? (iguales).
o ¿De qué otra manera se puede expresar 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y por qué? (como multiplicación 4 x 5, porque el 4 se repite 5 veces).
o Ahora realicemos la operación inversa, ”separar” grupos de 4 botones (o frijoles) cuantas veces puedas, ¿cuántos grupos de 4 botones pudiste separar? (5).
o ¿cómo escribiríamos matemáticamente la “separación” de los cinco grupos cada uno con cuatro botones? ( 20-4-4-4-4-4=0)
Finalmente, el facilitador plantea la incógnita: ¿habrá una manera matemática de representar “la separación” de cantidades iguales?
2. INTRODUCIR LA NOCIÓN DE LA DIVISIÓN COMO INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN
A. OBJETIVO: Introducir la noción de la división y practicar su representación con material concreto
B. MATERIALES
30 botones (ó 30 frijoles)
C. ACTIVIDADES
El facilitador introduce la división:
En la multiplicación se unen grupos con igual número de elementos para saber el total
En la división, dado un total, se separan en grupos con igual
número de elementos, para conocer el número de grupos que se pueden formar con un determinado número de elementos o cuántos elementos hay si se forman un número dado de grupos
La introducción se ejemplifica conjuntamente con los aprendices varias veces, usando los botones (ó los frijoles).
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El modelo de las instrucciones con las preguntas para ejemplificar la división con los botones, podría ser:
representa 2 x 3 (tres grupos de dos botones cada uno)
¿qué significa 2 x 3? (el 2 repetido 3 vecesque se une para hallar un total)
¿cuánto es 2 x 3? (6)
¿cuántos grupos se unieron? (tres)
¿cuántos elementos hay en cada grupo? (dos)
¿cuánto es la unión de tres grupos cada uno con tres botones? (seis)
desorganiza los 6 botones pero mantenlos unidos
separa los 6 botones en 3 grupos, con igual número de botones en cada grupo
¿cuántos botones hay en cada grupo? (dos)
cuando separamos en grupos con igual número de elementos, ¿multiplicamos o dividimos? (dividimos)
entonces, 6 entre 3 grupos, ¿cuánto es? (2, es decir, dos elementos en cada grupo)
desorganiza de nuevo los 6 botones pero mantenlos unidos separa los 6 botones pero que en cada grupo haya dos botones ¿cuántos grupos con dos botones cada uno formaste? (tres) cuando separamos en grupos con igual número de elementos,
¿multiplicamos o dividimos? (dividimos)
entonces, 6 entre 2 elementos, ¿cuánto es? (3, es decir, tres grupos con dos elementos cada uno)
se cierra:
si 2 x 3 es igual a 6, ¿cuánto es 6 entre 2? y ¿cuánto es 6 entre 3?
la división se expresa como “6 entre 2” y matemáticamente se escribe: 6
:
2 = 3la división se expresa como “6 entre 3” y matemáticamente se escribe: 6
:
3 = 2Este modelo se repite partiendo de otras multiplicaciones como 5 x 2, 6 x 4; hasta que los aprendices respondan con soltura las preguntas de lo que se representa.
3. CÁLCULO ORAL DE DIVISIONES A PARTIR DE LA MULTIPLICACIÓN
A. OBJETIVOS:
a. Calcular y expresar el resultado de divisiones partiendo de multiplicaciones
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b. Asociar la división a la noción de determinar grupos con cantidades iguales
B. ACTIVIDADES
El cálculo oral es una estrategia que permite asegurar la verbalización y la consolidación de las representaciones internas, en este caso de la noción de la división que se visualizó en los en la actividad anterior.
El objetivo de esta propuesta es hacer sentir al aprendiz que si sabe multiplicar, también sabe dividir, simplemente haciendo la operación inversa.
Se inicia con preguntas a partir de productos de las tablas de multiplicar y se cierra con problemas sencillos de división.
EJEMPLOS DE PREGUNTAS PARTIENDO DE LA TABLA DE MULTIPLICAR
¿Cuánto es 7 x 9 (63), ¿cuánto es 63 entre 7?(9), ¿por qué? (porque 7 x 9 es igual a 63 y 63 entre 7 es la operación inversa)
¿Cuánto es 7 x 9 (63), ¿cuánto es 63 entre 9?(7), ¿por qué? (porque 7 x 9 es igual a 63 y 63 entre 9 es la operación inversa)
¿Cuánto es 6 x 8 (48), ¿cuánto es 48 entre 6?(8), ¿por qué? (porque 6 x 8 es igual a 48 y 48 entre 6 es la operación inversa)
¿Cuánto es 6 x 8 (48), ¿cuánto es 48 entre 8?(6), ¿por qué? (porque 6 x 8 es igual a 48 y 48 entre 8 es la operación inversa)
EJEMPLOS DE PREGUNTAS PARTIENDO DE PROBLEMAS SENCILLOS
Si tengo 63 botones, y los divido en 9 grupos cada uno con igual número de botones, ¿cuántos botones hay en cada grupo? (7 botones), ¿por qué? (porque 7 x 9 es 63, es decir, 7 botones por grupo, repetido 9 veces)
Si tengo 63 botones, y los divido en grupos con 7 botones cada uno, ¿cuántos grupos formo? (9 grupos), ¿por qué? (porque 7 x 9 es 63, es decir, 7 botones repetidos en 9 grupos) Si tengo 48 botones, y los divido en 8 grupos cada uno con
igual número de botones, ¿cuántos botones hay en cada grupo? (6 botones), ¿por qué? (porque 6 x 8 es 48, es decir, 6 botones por grupo, repetido 8 veces)
Si tengo 48 botones, y los divido en grupos con 6 botones cada uno, ¿cuántos grupos formo? (8 grupos), ¿por qué? (porque 6 x 8 es 48, es decir, 6 botones repetidos en 8 grupos)
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Si tengo 36 chupetas, y las divido en 9 grupos cada uno con igual número de chupetas, ¿cuántas chupetas hay en cada grupo? (4 chupetas), ¿por qué? (porque 4 x 9 es 36, es decir, 4 chupetas por grupo, repetido 9 veces)
Si tengo 36 chupetas, y las divido en grupos con 4 chupetas cada uno, ¿cuántos grupos formo? (9 grupos), ¿por qué? (porque 4 x 9 es 36, es decir, 4 chupetas repetidas en 9 grupos)
4. REPRESENTAR CON SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA ILUSTRACIONES DE MULTIPLICACIONES Y SUS INVERSAS: LAS DIVISIONES
A. OBJETIVO: Practicar la escritura matemática de multiplicaciones y divisiones, a partir de representaciones gráficas
B. MATERIALES
Instrucciones del juego
“¿Cuántas multiplicaciones y divisiones observas?”
Hoja para escribir
las operaciones observadas
6 tarjetas que representan multiplicaciones y divisiones
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C. ACTIVIDADES
Se organizan los aprendices en grupos de cuatro integrantes cada uno. Luego se entrega a cada grupo las instrucciones, la hoja para escribir las operaciones y las 6 tarjetas con las representaciones.
Se invita a los aprendices que lean las instrucciones y realicen el juego El facilitador orientara en caso de dudas o dificultades en el
desenvolvimiento del juego.
Se cierra la actividad invitando a escribir las operaciones de situaciones sencillas expuestas por el facilitador, como por ejemplo:
Escribe la operación y el total de unir 4 grupos con 5 pelotas cada uno (5 x 4 = 20)
Escribe la operación de separar 10 bates en 5 grupos, cada uno con el mismo número de bates. ¿Cuántos bates hay en cada grupo? (10
:
5 = 2, hay dos bates en cada grupo)Escribe la operación de separar 20 chocolates en grupos, cada uno con 4 chocolates. ¿Cuántos grupos se forman? (20
:
4 = 5, se forman 5 grupos)5. EJERCICIOS PARA REFORZAR LAS ACTIVIDADES
A. OBJETIVO: Practicar por escrito la noción de la división como “separar” en partes iguales
B. MATERIALES
Ejercicios
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
C. ACTIVIDADES
Se proponen ejercicios para que cada aprendiz los resuelva
individualmente, de manera que tenga tiempo de organizar “la noción de la división como separar en partes iguales” introducida con las
actividades anteriores.
Estos ejercicios le permiten al facilitador percatarse cuánto ha construido cada aprendiz respecto a la noción de la división.
