Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1

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Algebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1

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Algebra y Matem´atica Discreta

Sesi´on de Pr´acticas 1

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Algebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1 Aritmética

Estructuras Algebraicas

La Estructura como Variable

Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicas definidas dentro de sageque podemos utilizar.

Una de las m´as sencillas es el conjunto de los n´umeros enteros

Z. En sageeste conjunto se denota por ZZ. Si escribimos

ZZ

el programa nos responder´aInteger Ring, es decir anillo de los n´umeros enteros.

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Operaciones con Enteros

Vamos a hacer algunas operaciones básicas en los números enteros. La suma, resta y multiplicación se realizan con los s´ımbolos habituales +,-y*.

Si escribimos

a = 6*7*8*9

print a

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Divisi´on

La división requiere un poco más de explicación, porque podemos hacer la siguiente operación:

print a/16

y obtenemos 189 porque la divisi´on es exacta, pero si hacemos print a/10

obtenemos 1512₅ . En este caso la divisi´on no es exacta y nos ha dejado la operaci´on en forma fraccionaria.

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Cociente y Resto

El realidad este operador en los n´umeros enteros no es como en otros lenguajes, el cociente de la divisi´on.

Para obtener el cociente de la divisi´on tenemos que poner print a//10

con lo que obtenemos 302.

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El conjunto de los n´umeros racionales se denotaQQ y el de los n´umeros reales RR.

El conjunto de los n´umeros realesRR utiliza representaciones decimales finitas del n´umero.

Cuando tenemos un elemento en un conjunto y queremos llevarlo a otro, lo que hacemos es utilizar el nombre de la estructura, as´ı por ejemplo

a = 1/3 b = RR ( a )

print a

print b

nos dar´a los resultados 1

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En realidad si escribimos

RR

nos dice Real Field with 53 bits of precision, es decir, cuerpo de los números reales con 53 bits de precisión. Es una precisión suficientemente buena para la mayor´ıa de nuestras necesidades.

Si en alguna ocasi´on necesitamos ampliarla (o reducirla) es posible.

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Si intentamos forzar a que un elemento est´e dentro de una estructura en la que no puede estar, obtenemos un error, por ejemplo, si ponemosZZ(2/3) lo que obtenemos es un error

---TypeError Traceback (most recent call last)

/home/leandro/docencia/AMD12/quickref/<ipython console> in <module>()

/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/structure/parent.so /in sage.structure.parent.Parent.__call__ (sage/structure/parent.c:7886)()

/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/rings/rational.so /in sage.rings.rational.Q_to_Z._call_ (sage/rings/rational.c:23746)()

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Listas

Los objetos ensage se pueden agrupar en listas.

Una lista no es mas que una estructura en la que tenemos unos objetos en posiciones concretas. Por ejemplo

m i l i s t a = [1 ,2 , 3]

asigna a la variable milista la lista formada por los n´umeros 1, 2 y 3.

Los elementos est´an numerados desde 0, as´ımilista[0]

tendr´a el valor 1, milista[1] tendr´a el valor 2 y

milista[2] tendr´a el valor 3.

Los valores milista[n] se pueden usar como variables ordinarias y hacer cualquier operaci´on sobre ellas.

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Listas

Recorriendo Listas

La gran ventaja de tener los n´umeros en una lista, es que podemos recorrer los elementos de la lista.

Si ponemos

m i n u e v a l i s t a = [1 ,4 ,7 ,-1] for x in m i n u e v a l i s t a:

print x*x

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Listas

for,in,:,etc.

Hay varios puntos importantes en el c´odigo:

m i n u e v a l i s t a = [1 ,4 ,7 ,-1] for x in m i n u e v a l i s t a:

print x*x

Utilizamos forpara recorrer la lista y decimos c´omo queremos llamar a los elementos: los llamaremos x.

Por tanto xir´a recorriendo cada uno de los valores de la lista. Despu´es ponemos : y la siguiente l´ınea tiene que estar

desplazada a la derecha un n´umero de espacios. Ese

desplazamiento hace asage reconocer que esas intrucciones est´an en el bucle.

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Listas

El comando

range

Las listas de n´umeros [0,1,2,3,...,n-1] se pueden generar con el comandorange(n)

Si escribimosrange(10) nos devolver´a la lista

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Podemos usarlo directamente for j in range( 10 ):

print j

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Listas

El comando

range

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Si escribimosrange(3,6) nos devolverá [3,4,5]. Notemos que el número 6 no se alcanza, enrange(a,b)el primer valor de la lista seráa y el último b−1.

Tambi´en podemos hacer listas que en cada paso sumen una cantidad distinta de 1, por ejemplo

range(7 , 12 , 2 )

Nos escribir´a [7,9,11].

Tambi´en podemos is hacia abajo, por ejemplo

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Listas

Comandos para Listas

Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamos a ver algunos:

Si milistaes una variable que contiene una lista, entonces su longitud eslen(milista)

Si queremos saber el número de veces que un valor aparece en una lista,milista.count(x) nos dice el número de veces que xaparece en milista(que también puede ser 0) El comandosum(milista) nos dice cuanto suman todos los elementos de la lista y prod(milista)su producto.

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Listas

Una Programaci´on Elegante

Podemos crear listas como sigue:

c = [x ^ 2 for x in range( 5 )]

Esto nos proporciona la lista [0, 1, 4, 9, 16]y la asigna a la variable c.

Podemos incluso a˜nadir condiciones:

c = [sqrt( x ^ 2-7 ) for x in range( 5 ) if x ^ 2-7 > 0] asignar´a a cla lista [sqrt(2), 3].

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Los N´umeros Enteros

N´umeros en una Base

Dado un n´umero entero, podemos representarlo en diferentes bases. Habitualmente lo representamos en base 10, pero con

sage podemos transformarlo en cualquier otra base. Si ponemos

a = ZZ ( 100 ) bin ( a ) hex ( a )

Obtenemos respectivamente las representaciones binarias y hexadecimal del n´umero, 0b1100100y64.

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Listas de Cifras

Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con

lascifras = a.digits(2)

Las cifras van desde la menos significativa hasta la m´as significativa.

El n´umero de cifras podemos saberlo conlen(lascifras)o directamente a.ndigits(2).

Lo que se ha hecho para la base 2, se puede hacer para cualquier base.

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Divisibilidad

Una de las propiedades m´as interesantes de los n´umeros enteros es la divisibilidad.

Para ver si dos n´umeros son divisibles entre s´ı, podemos calcular el resto y ver que es cero o utilizar un comando especial que nos lo dice:

a = ZZ ( 10 ) b = ZZ ( 5 ) b . d i v i d e s ( a )

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Divisores de un N´umero

También podemos calcular la lista de divisores de un número. Nos dará los divisores positivos.

El comando es

150 . d i v i s o r s ()

Nos devolver´a la lista

[1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 25 , 30 , 50 , 75 , 150] Esta lista se puede asignar a una variable, recorrerla, o cualquier otra operaci´on que queramos hacerle.

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N´umeros Primos

Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son él mismo y la unidad.

Podemos preguntarnos si un n´umero es primo de diferentes formas, por ejemplo

1 . i s _ p r i m e () 2 . i s _ p r i m e ()

nos devolver´an respectivamenteFalse _yTrue_.

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Factorizaci´on

Podemos descomponer un n´umero en producto de sus factores primos, lo que se conce como factorizaci´on.

Si ponemos por ejemplo

factor ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 )

Nos devolver´a 2_·32

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Polinomios

El Anillo de Polinomios

Se pueden definir tambi´en estructuras m´as complejas, por ejemplo los polinomios.

Podemos asignar a una variable toda una estructura algebraica, por ejemplo:

var (’x ’)

R = P o l y n o m i a l R i n g ( QQ ,’x ’) S = P o l y n o m i a l R i n g ( RR ,’x ’)

nos asignará aRel conjunto de los polinomios con coeficientes en los números racionales y variablex. En el caso de Sserán los polinomios con coeficientes reales.

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Polinomios

Con las anteriores definiciones, podemos poner

p = R ( x ^ 2-2 ) q = S ( x ^ 2-2 )

Podemos preguntar a sage si p yq son iguales,

p = = q

Nos devolver´a True_{, es decir, son el mismo polinomio, pero su}

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Algebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1 Aritmética Polinomios

Polinomios (II)

Si escribimos factor ( p ) factor ( q ) Obtenemos respectivamente (x2₋2) (x−1.41421356237310)·(x+ 1.41421356237310)

Eso es porque como polinomio con coeficientes enQel polinomio es irreducible, pero como polinomio con coeficientes reales no lo es.