Funciones trigonom´etricas
Lic. Ernesto Mario Aljinovic
1.
Teorema de semejanza
Dos figuras son semejantes si se ven iguales, esto es, si puede obtenerse una como una ampliaci´on o reducci´on de la otra. Por ejemplo, dos mapas de la Rep´ublica Argentina de distinto tama˜no son semejantes. Cuando hacemos un zoom en alguna imagen en la PC, obtenemos figuras semejantes. En particular, los dos objetos de la figura 1 son semejantes. Si en la figura m´as peque˜na tomamos una longitud caracter´ıstica, por
Figura 1: Dos figuras semejantes.
ejemplo a, b ´o c, al ampliarla, estas longitudes aumentan a A, B ´o C respectivamente. Los cocientes
A a =
B b =
C c = 2
necesariamente son iguales ya que representan el cambio de escala, en este caso al doble. Manipulando algebraicamente la expresi´on anterior, obtenemos las siguientes igualdades:
A B =
a b
A C =
a c
B C =
b c
Observemos que cada cociente representa un valor caracter´ıstico del objeto, por ejemplo, A
B, es el cociente
de dos longitudes de la figura m´as grande mientras que a
b corresponde al mismo cociente pero en la figura
m´as chica. Vemos entonces que ese cociente no se modifica al hacer un cambio de escala, es caracter´ıstico de la forma. Este resultado se conoce como teorema de semejanza. Un caso particular de este teorema es el conocido teorema de Thales.
2.
Angulos en radianes
´
mejor elecci´on es utilizar los radianes, que se basan en un concepto geom´etrico.
Consideremos la figura 2, claramente los dos sectores circulares son semejantes y podemos aplicar el teorema de semejanza con lo cual
a r =
A R
El resultado de estos cocientes no var´ıa con la escala del sector circular, solo depende deα, ya que este ´ultimo
Figura 2:
es el que define la forma del sector circular. Antes de continuar con la lectura, se recomienda reflexionar sobre esta ´ultima afirmaci´on hasta comprenderla.
Si pensamos en un radio fijo, digamos R, al aumentar el ´angulo en cierta proporci´on, el arco se incrementa en la misma proporci´on, por ejemplo, al doble de ´angulo le corresponde el doble de arco. Adem´as, si el ´
angulo es cero, el arco correspondiente tambi´en sera cero. De esta manera, nos convencemos que el cociente
A
R, es proporcional al ´angulo, o sea podemos medir a α mediante dicho cociente. Justamente este cociente
es lo que llamamos radianes. Reflexione sobre esta ´ultima afirmaci´on.
α(rad) = a
r = A R
Observaci´on importante
SiR= 1, el arcoA tiene una longitud exactamente igual a α(rad) (ver figura 3).
A esta altura, ya sabemos que son los radianes pero ¿como convertimos sexagesimales y radianes entre si? Sabemos que son proporcionales con lo cual podr´ıamos utilizar una regla de tres simple, aunque para eso necesitamos conocer al menos un ´angulo no nulo en ambos sistemas. Veamos como podemos hacer esto ´ultimo. Todas las circunferencias son semejantes y por lo tanto el cociente entre su per´ımetro y su di´ametro vale siempre lo mismo independientemente del tama˜no de la circunferencia, a ese n´umero se lo llamaπ. De esta forma, el per´ımetro de una semicircunferencia de radio 1 ser´aπ, pero media circunferencia corresponde a un ´angulo de 180o, o sea,πradianes son 180o sexagesimales (ver figura 4). Dado que radianes
Figura 4:
y sexagesimales son proporcionales, a la mitad de 180o, le corresponder´a la mitad de π, a la tercera parte
de 180o, le corresponder´a la tercera parte deπ, etc.
180◦ 90◦= 180
◦
2 60
◦ = 180◦
3 45
◦= 180◦
4 36
◦ = 180◦
5 30
◦ = 180◦
6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ π π 2 π 3 π 4 π 5 π 6
Tambi´en es posible obtener m´ultiplos de la tabla anterior:
120◦= 2·60◦ 270◦ = 3·90◦ 225◦ = 5·45◦ 210◦ = 5·30◦ 300◦ = 10·30◦ 72◦ = 2·36◦
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2π 3 3π 2 5π 4 5π 6 10π 6 = 5π 3 2π 5
En general, si el ´angulo en radianes est´a expresado como una fracci´on de π, no se aclara que son radianes como en los ejemplos anteriores, pero en caso contrario si, por ejemplo 3 rad. Pasar ´angulos de radianes a sexagesimal es muy sencillo, basta cambiarπ por 180 y listo:
5π
4 →
5·180◦ 4 = 225
◦
En caso que el c´alculo no sea tan trivial y utilizando la regla de tres simple se obtiene:
α(rad) = π
180·α(grad) ´o α(grad) = 180
3.
Dos teoremas importantes
3.1. La suma de los ´angulos internos de un tri´angulo da 180◦
3.1.1. Corolario
Los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo suman 90◦.
4.
Trigonometr´ıa en tri´
angulos
Si entre dos semirrectas con un origen en com´un trazamos perpendiculares a una de ellas, los tri´angulos obtenidos son semejantes (ver figura 5), con lo cual:
AE AD =
AC AB
DE AD =
BC AB
DE AE =
BC AC
AD AE =
AB AC
AD DE =
BC AB
DE AE =
BC AC
Figura 5:
Cada uno de los cocientes obtenidos, depende de la forma de la figura, en este caso del ´angulo y reciben el nombre de cos(α), sen(α), tg(α), sec(α), cosec(α) y cotg(α) respectivamente. Nos centraremos en este apunte en las dos primeras. Para facilitar la interpretaci´on, utilizaremos la cl´asica figura 6.
Observaci´on 1:α+β= 180◦, adem´assen(α) =cos(β) y cos(α) =sen(β).
Observaci´on 2:
tg(α) = sen(α)
cos(α) cotg(α) =
cos(α)
sen(α) = 1
tg(α) sec(α) = 1
cos(α) cosec(α) = 1
sen(α)
Observaci´on 3 (identidad pitag´orica):
cos2(α) +sen2(α) =
a c 2 + b c 2 = a
2+b2 c2 =
c2 c2 = 1
En limpio:
cos2(α) +sen2(α) = 1 ∀α∈0;π 2
Si bien para la mayor´ıa de los ´angulos es imposible obtener de forma exacta sus valores de seno y coseno, existe una reducida colecci´on de ´angulos para los cuales si es posible y de forma muy sencilla.
Para el ´angulo de 30◦, consideremos la figura 7:
Figura 7:
Aqu´ı hemos construido un tri´angulo equil´atero de lado 1. Todos sus ´angulos internos son de 60◦. Al partirlo al medio, por un lado se forman dos ´angulos de 30◦ y por el otro dos segmentos de longitudb= 1
2.
De esta forma sen(30◦) = b
c = 1 2 1 = 1 2. Utilizando la identidad pitag´orica se obtiene:
cos2(30◦) +sen2(30◦) = 1 ⇒ cos2(30◦) +
1 2
2
= 1 ⇒ cos(30◦) =
√
3 2
Adem´ascos(60◦) =sen(30◦) = 1
2 y sen(60
◦) =cos(30◦) =
√
Para 45◦, por un lado como 45◦+ 45◦ = 90◦, se cumple quecos(45◦) =sen(45◦) y aplicando la identidad pitag´orica obtenemos:
cos2(45◦) +sen2(45◦) = 1 ⇒ cos2(45◦) +cos2(45◦) = 1 ⇒ cos(45◦) =
√
2 2
y por lo tantosen(45◦) =
√
2 2
5.
Angulo orientado
´
En la siguiente secci´on utilizaremos el concepto de ´angulo orientado que presentaremos aqu´ı. Se trata de definir ´angulos en un sistema de ejes coordenados. La idea es utilizar el semieje x positivo como referencia y medir ´angulos en sentido antihorario. En caso que uno desee medirlos en sentido horario, dicho ´angulo se considerar´a negativo como se muestra en la figura 8.
Figura 8:
Si bien la elecci´on del semieje x positivo y el sentido antihorario es una elecci´on arbitraria, es de uso habitual en matem´atica. El plano coordenado queda dividido en cuatro partes llamadas cuadrantes, que se numeran como en la figura 8, de esta forma, hablaremos de ´angulos del 1o, 2o, 3o y 4o cuadrante seg´un corresponda.
Tambi´en permitiremos ´angulos de m´as de una vuelta como se muestra en la figura 9, tanto en sentido horario como en sentido antihorario.
Tenemos entonces, una forma de medir ´angulos que pueden ir de−∞a +∞. Tomemos un ejemplo:
α= 256π
3 ⇒ α= 84π+ 4π
3 = 42·2π+ 4π
3 = 42 vueltas + 4π
3
O sea queα es un ´angulo de 4π 3 (240
◦) m´as 42 vueltas en sentido antihorario.
Otro ejemplo:
β =−256π
3 ⇒ β=−86π+ 2π
3 =−43·2π+ 2π
3 =−43 vueltas + 2π
3
O sea queβ es un ´angulo de 2π 3 (120
Figura 9:
6.
Circunferencia trigonom´
etrica
Existen situaciones (matem´aticas, f´ısicas, etc.) donde ser´a necesario trabajar con funciones trigonom´ etri-cas de ´angulos mayores a 90◦, incluso con ´angulos mayores a 360◦ o negativos. El problema es que la cons-trucci´on cl´asica con tri´angulos rect´angulos no es posible en esas situaciones. La idea, es extender lo que sabemos de funciones trigonom´etricas, respetando lo que ya construimos sobre tri´angulos rect´angulos. Para eso, se propone trabajar sobre la circunferencia trigonom´etrica, que es simplemente una circunferencia de radio 1 centrada en el origen y utilizar ´angulos orientados (figura 10).
Observemos en primer lugar, que como el radio de la circunferencia es 1, la longitud del arco sobre la misma correspondiente a un ´angulo α tiene una longitud exactamente igual al ´angulo α si se lo mide en radianes, es por eso que se lo indica sobre la circunferencia.
En segundo lugar, si consideramos paraα el tri´angulo formado por el ejex, la linea punteada vertical y el segmento que va del origen a P, obtenemos que
cos(α) =x1 sen(α) =y1
O sea que las coordenadas del punto P (que queda definido por α) son el valor del seno y coseno de α.
Para un ´angulo cualquiera, no importa su valor o si es negativo, existe un ´unico punto que le corresponde sobre la circunferencia trigonom´etrica (piense en esto ´ultimo). Ese punto tendr´a dos coordenadas, una de
x y otra de y. Dado la ´ultima observaci´on, es razonable redefinir las funciones seno y coseno de cualquier ´
angulo como las coordenadasxe ydel punto que le corresponde sobre la circunferencia trigonom´etrica. Por ejemplo, para el ´anguloβ de la figura, ser´a:
cos(β) =x2 sen(β) =y2
¡Ustedes deben reflexionar sobre este ´ultimo p´arrafo hasta convencerse! ¡Entender funciones trigonom´etricas es fundamentalmente entenderlas sobre la
circunferencia trigonom´etrica!
¡La calculadora es el peor enemigo para entender funciones trigonom´etricas, no est´a mal utilizarla pero una vez comprendido el tema!
Una vez comprendida la idea de esta definici´on, es f´acil entender porque cos(0) = 1 y sen(0) = 0, ya que a un ´angulo de 0 (grados o radianes) le corresponde el punto (1; 0), tambi´en tenemos que cos(90◦) = 0 y
sen(90◦) = 1 ya que a 90◦
π
2 rad
Figura 10:
coseno, no son nada m´as que una tabla de valores (x;y) de la circunferencia trigonom´etrica. Con los c´alculos que ya hemos hecho, es posible construir la siguiente tabla:
arco x y
α(grad) α(rad) cos(α) sen(α)
0◦ 0 1 0
30◦ π 6
√
3 2
1 2
45◦ π 4
√
2 2
√
2 2
60◦ π 3
1 2
√
2 2
90◦ π
Ejercicio En p´arrafos anteriores, nombramos la frase funciones trigonom´etricas. ¿Son funciones? Explique porque.
Ejercicio En la figura 11, est´an marcados sobre la circunferencia trigonom´etrica algunos puntos, sus coordenadas y el ´angulo correspondiente. Justamente los de la tabla anterior.
1. Complete las coordenadas y el ´angulo correspondiente en radianes para los 11 puntos restantes.
2. Obtenga los ´angulos calculados en el punto anterior en grados.
3. Para los ´angulos obtenidos, diga cual es su valor de seno y coseno.
Figura 11:
Ejercicio Hallarcos
2156π
3
ysen
2156π
3
sin utilizar la calculadora.
Ejercicio Si cos(α) = −1
2 y sen(α) =
√
3
2 ¿Quien es α si est´a en [0; 2π]? ¿y si est´a en [2π; 4π]?¿y en [−2π; 0]? (No utilizar la calculadora, ustedes deben entender la situaci´on.)
7.
Funciones trigonom´
etricas
se mueve con una velocidad angular constante de 1rad
seg. El tiempot, necesariamente tiene un valor num´erico
igual al ´angulo α (ver figura12).
Figura 12:
Si paralelamente, vamos dibujando la coordenada y en funci´on del tiempo, al dar una vuelta completa se forma la gr´afica que se ve a la derecha de la figura 12. Si permitimos que el punto contin´ue m´as all´a de la 1o vuelta o retroceda hacia ´angulos negativos, volver´a a repetirse exactamente lo mismo y se ver´a como la figura 13.
Figura 13: y=sen(x)
Observemos primero que la imagen de y = sen(x) es el intervalo [−1; 1] ya que la coordenada y de la circunferencia trigonom´etrica est´a comprendida en ese intervalo. Tambi´en se observa que basta con copiar la gr´afica de la funci´on parax∈[0; 2π] y pegarla hacia la derecha y hacia la izquierda para reconstruir toda la funci´on. Esto ´ultimo es lo que caracteriza a las funciones peri´odicas, siendo el per´ıodo T la longitud m´ınima que necesitamos disponer para la reconstrucci´on total de la gr´afica, en este caso T = 2π.
Si hici´eramos lo mismo con y=cos(t), obtendr´ıamos la gr´afica de la figura 14.
Observemos que y = cos(t), tambi´en tiene por imagen el intervalo [−1; 1] y es peri´odica con per´ıodo
T = 2π. Comparando los gr´aficos de y =sen(x) e y=cos(x), vemos que uno es un corrimiento horizontal en π
2 del otro, de hecho:
cos(t) =sen
t+π 2
sen(t) =cos
t−π
2
Debido a quey=cos(t) es una funci´on par e y=sen(t) es impar, se verifica que:
cos(−t) =cos(t) sen(−t) =−sen(t)
8.
Per´ıodo y amplitud
Al cambiar y =sen(t) por y =sen(at), se produce una contracci´on horizontal del gr´afico. En la figura 15 se muestran dos ejemplos.
Figura 15: Modificaci´on del per´ıodo
Lo mismo ocurrir´ıa con y=cos(t). Esto produce un cambio en el per´ıodo de la siguiente manera:
y=cos(at) ´o y=sen(at) ⇒ T = 2π
a
Si cambiamosy =sen(t) pory =A·sen(t), se produce una expansi´on vertical del gr´afico y una simetr´ıa respecto al eje x si A <0. En la figura 16 se muestran tres ejemplos.
Al valor de |A| lo llamamos amplitud, y modifica la imagen de la funci´on. Lo mismo ocurrir´ıa con
y=cos(t).
Ejercicio: Dar la imagen de las funciones de la figura 16.
Figura 16: Modificaci´on de la amplitud.
9.
Desplazamientos horizontales y verticales
Si cambiamos y=A sen(at) por y =A sen(at) +B, se produce un desplazamiento vertical como en el ejemplo de la figura 17. Se observa que este tipo de operaci´on, modifica la imagen de la funci´on.
Si en cambio, cambiamos y = A sen(at) pory =A sen[a(t−b)], se produce un desplazamiento horizontal como en el ejemplo de la figura 18. Para facilitar la interpretaci´on solo se puso un per´ıodo de cada una.
Figura 17: Desplazamiento vertical.
Ejercicio: Dar la imagen de las funciones de la figura 17.
Ejercicio: Hallar la gr´afica y la imagen de f(t) = 4 sen[2(t−π)]−4 y g(t) =−3cos
1
4(t+ 4π)
+ 2.
Figura 18: Desplazamiento horizontal.
Figura 19:
10.
Funciones trigonom´
etricas inversas
Si observamos los gr´aficos dey=sen(x) ey=cos(x) en las figuras 13 y 14, es claro que no son funciones inversibles en todo su dominio. Tambi´en se observa que si el dominio es restringido de forma adecuada, hay zonas donde si son inversibles, por ejemplo si consideramos
f(x) =sen(x)
f :h−π
2;
π
2
i
→[−1; 1] (1)
ese tramo de la funci´on, tendr´a inversa, pero tambi´en los tendr´an si se restringe el dominio a alguno de los siguientes intervalos.
−3π
2 ;−
π
2
π
2; 3π
2
3π
2 ; 5π
2
5π
2 ; 7π
2
etc.
verticalmente la gr´afica de y = arcsen(x) o de y = −arcsen(x). Cuando uno utiliza la calculadora para calcular el arcsen(x), que usualmente figura como sin−1, recuerde que no necesariamente le devolver´a el ´
angulo buscado, sino solo el que est´a en el intervalo
h −π
2;
π
2
i
, corre por cuenta de uno mismo saber interpretar el resultado y a partir de el obtener la respuesta correcta.
Figura 20: A la izquierda, la gr´afica inversa dey =sen(x), a la derecha la dey =cos(x)
Ejercicio: Realizar el mismo an´alisis para la funci´on arco del coseno (arccos) que es la inversa de:
f(x) =cos(x)
f : [0;π]→[−1; 1]
Para ello, guiarse con el gr´afico de la derecha de la figura 20.
11.
Advertencia sobre el uso de la calculadora
Nota: Solo si usted comprendi´o todo lo visto en el apunte es que ser´a ´util la calculadora.
En general, las calculadoras cient´ıficas trabajan con tres modos de ´angulos que puede verse en el display: modo ´angulos en:
Deg o D grados sexagesimales Rad o R radianes Gra o G grados centesimales
Los grados centesimales habitualmente no se utilizan. Corresponde a una medida en el cual un ´angulo recto son 100 grados centesimales.
Si ustedes calculan el seno o coseno de por ejemplo π
2 ≈1,57 con la calculadora en modo Deg, todo lo que har´an es calcular el seno o coseno de 1,57◦, pero no el de π
2rad.
Si ustedes calculan el arco del seno o del coseno de por ejemplo 0,6, para saber si el resultado est´a en radianes o sexagesimales hay que fijarse en que modo est´a la calculadora.
