Vol. 21, núm. 1 (2006)

Ingeniería hidráulica en México, vol. XXI, núm. 1, pp. 129-136, enero-marzo de 2006

Dispersión física y numérica en la modelación

bidimensional del transporte de sustancias

mediante volúmenes finitos

Universidad de Concepción, Chile

En la modelación del transporte de sustancias es importante simular los procesos de mezcla debidos a la dispersión. Dada la complejidad de la ecuación que rige el problema, la solución a casos bi y tridimensionales no estacionarios debe ser obtenida en forma numérica, con lo que se genera una difusión falsa o dispersión numérica. En este trabajo se presentan los resultados de un experimento para evaluar la dispersión numérica que producen diferentes esquemas de discretización espacial y temporal usados en el método de los volúmenes finitos. El experimento consistió en resolver la ecuación de transporte advectivo bidimensional para una campana de concentración de una sustan-cia conservativa. El problema se resolvió sobre dos mallas, una estructurada con volúmenes finitos rectangulares y otra no estructurada con volúmenes finitos triangulares. Se compararon las solu-ciones obtenidas para diferentes campos de velocidad, que representan situasolu-ciones comúnmente encontradas en corrientes naturales. Los resultados muestran que el esquema de discretización espacial Quickgenera una dispersión despreciable. Otros esquemas, como el Upwindo el Híbrido, generan una dispersión que puede alcanzar el orden de magnitud de la dispersión física. Los esque-mas de discretización temporal implementados no presentaron una influencia relevante en la generación de dispersión numérica.

Palabras clave:modelación, calidad de aguas, dispersión, métodos numéricos, esquemas de

discretización.

Introducción

En la modelación del transporte de sustancias, es im-portante simular los procesos de mezcla debidos a la dispersión. Dada la complejidad de la ecuación que rige el problema, la solución a casos bi y tridimensionales no estacionarios debe ser obtenida en forma numérica, con lo que se genera una difusión falsa o dispersión numérica.

En forma análoga a los modelos de turbulencia, para un gran número de situaciones prácticas es posible mo-delar la dispersión de una sustancia a través de un coefi-ciente de dispersión similar al concepto de Boussinesq de una viscosidad aparente o eddy viscosity (Rodi, 1980). Cuando se tiene información acerca de la visco-sidad aparente, el coeficiente de dispersión puede ser calculado a través del número de Prandtl/Schmidt. Alternativamente, puede estimarse mediante fórmulas empíricas como las propuestas por Taylor (1954), Elder (1959), Liu (1977), Fischer et al. (1979), Seo y Cheong

(1998) y Vargas y Ayala (2001), entre otros. Cuando la turbulencia se genera principalmente por la rugosidad del lecho, el coeficiente de dispersión en el plano hori-zontal se correlaciona en forma lineal con la velocidad de corte, la profundidad media y una constante empíri-ca. Schröder y Zanke (2003) presentan algunos valores de dicha constante a partir de una recopilación de datos experimentales obtenidos por diferentes autores para casos sencillos de laboratorio. Puede apreciarse que normalmente el coeficiente de dispersión es en la direc-ción longitudinal aproximadamente 17 veces mayor que en la dirección perpendicular y 170 mayor que en la verti-cal. Aun suponiendo una certera estimación de los coefi-cientes de dispersión, al modelar los procesos de trans-porte, el ingeniero se encuentra en la práctica con el problema de la difusión falsa. Para obtener resultados consistentes, es pertinente adoptar un coeficiente de dispersión “efectivo” como un parámetro a calibrar en el modelo que no sólo refleje la dispersión física, sino tam-bién la numérica.

donde, de acuerdo con el teorema de Green-Gauss, ñ= (n1,n2) es un vector normal a la superficie diferencial

∂_{S. Los términos del lado derecho de la ecuación (4)}

corresponden a los flujos de concentración uCy vCque entran y salen del volumen de control a través de las caras perpendiculares a la dirección de la velocidad,

∆_y∆_zy ∆_x∆_{z. La ilustración 1 muestra los flujos de}

con-centración y las caras para volúmenes de control trian-gulares. Se supone que la velocidad es constante en cada cara del volumen ∂∀_.

Discretización espacial

Para calcular los flujos que entran y salen de un volumen p, es necesario conocer el valor de la concentración en sus caras, Ccara, el cual se interpola a partir de las

con-centraciones en el centro del volumen py sus vecinos, Cp, Cvecinoy Cvecino’. El subíndice vecino’significa “vecino

del vecino de p”. Utilizando la técnica de los polinomios de Lagrange, resultan las ecuaciones (5) y (6) para dos y tres puntos, respectivamente (ver ilustración 1).

donde es un vector posición y el subíndice caraindica el punto de intersección de la línea que une los centros de los volúmenes py vecinocon la línea que define la cara común a estos volúmenes; , y co-rresponden a la posición del centro de los volúmenes p, vecinoy vecino’, respectivamente.

Link, O., Dispersión física y numérica en la modelación bidimensional del transporte de sustancias mediante volúmenes finitos

A fin de evaluar la dispersión numérica de diferentes esquemas de discretización usados en el método de los volúmenes finitos, en este trabajo se resolvió la ecuación de transporte puramente advectivo de una sustancia conservativa. El dominio se discretizó con dos mallas suficientemente finas, tal que la solución numérica resul-tase independiente del tamaño de la malla. Se utilizó una malla estructurada con volúmenes finitos rectangulares y una malla no estructurada con volúmenes finitos triangu-lares. En una malla estructurada, los puntos presentan un ordenamiento regular en el dominio, habiendo al menos una dirección a lo largo de la cual la cantidad de puntos es constante. En una malla no estructurada, en cambio, los puntos no presentan un ordenamiento regu-lar en el dominio. Dado que en la situación modelada no existe dispersión física, ni tampoco fuentes o sumideros de la propiedad transportada, la solución exacta es co-nocida y las diferencias con la solución numérica pue-den ser caracterizadas como dispersión numérica. Los esquemas utilizados en la discretización temporal fueron los esquemas explícitos de Euler O(∆_t1_{) y Leap-Frog} O(∆_t2_{) (ver Fetcher, 1991). Para la discretización espacial} se utilizaron los esquemas Upwind O(∆_x1_{) (ver Versteeg} y Malalasekera, 1995), Híbrido O(∆_x1_{) (Spalding, 1972) y} Quick O(∆_x2_{) (Leonard, 1979). Variaciones a estos} esquemas han sido propuestas, por ejemplo, en Leo-nard (1991) y Tamamidis (1995). Un análisis similar para algunos esquemas usados en el método de los elemen-tos finielemen-tos fue publicado por Donea (1984), Gärtner (1987) y Mewis (1999).

Discretización de la ecuación de transporte advectivo mediante volúmenes finitos

Matemáticamente, el transporte advectivo de una sus-tancia conservativa con concentración Cen un plano ho-rizontal con un campo de velocidad (u,v)queda definido por la ecuación (1):

donde x e yson las coordenadas cartesianas y t es la variable tiempo. Siguiendo el método de los volúmenes finitos, la ecuación (1) se integra en un volumen de con-trol diferencial ∂∀_{para obtener una forma discreta de las}

variables espaciales (ecuaciones 2 a 4):

(1) ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = C

t u Cx v Cy 0

(2) ∂ ∂ ∂∀ + ∂ ∂ ∂∀ + ∂ ∂ ∂∀ = ∀ ∀ ∀

∫

∫

∫

x v Cy 0

(3) ∆∀∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ =

∫

∫

t _Su Cxn S1 _Sv Cyn S2 0

(5)

C x x

x x C

x x

x x C

cara cara P

cara vecino P

cara vecino

P vecino vecino

=

(

)

(

)

(

)

(

)

C C x x x x

x x x x

cara vecino cara vecino cara P

vecino vecino vecino P

=

(

)

(

)

−

(

)

(

)

’

v v v v

v v v v

' ' +

(

)

(

)

(

)

(

)

C x x x x

x x x x

vecino cara vecino cara P

vecino vecino vecino P

v v v v

v v v v

+

(

)

(

)

−

(

)

(

)

'

'

C x x x x

x x x x

P cara vecino cara vecino

P vecino P vecino

v v v v

v v v v

v xvecino v xp v xvecino' (4) ∂ ∂ = C t 1

A partir de la ecuación (5), para el caso de una malla rectangular uniforme, se da la formulación de Diferencias Centradas, típicamente utilizada en el método de las diferencias finitas.

El método Upwind consiste en asignar a la cara, se-gún el sentido del flujo, sólo el valor proveniente del cen-tro situado directamente aguas arriba, de acuerdo con la ilustración 1:

Si la concentración en la cara se calcula a partir de una combinación de los esquemas de Diferencias Cen-tradasy Upwind, resulta el esquema Híbrido, donde α_es

un factor de ponderación entre 0 y 1. Matemáticamente:

Esquemas de orden superior se generan al usar con-centraciones conocidas en volúmenes no inmediata-mente adyacentes a la cara. Un esquema de segundo orden es el Cuadratic Upstream Interpolation for Convec-tive Kinetics, Quick O(∆_x2_{), que consiste en ajustar una} parábola a tres puntos con concentración conocida, de acuerdo con la ecuación (6). Para una malla rectangular uniforme resulta:

Discretización temporal

La ecuación (4) será escrita en forma simplificada me-diante el operador L:

Se habla de esquemas explícitos cuando L(C)= L(Ct_),

implícitos cuando L(C)= L(Ct+∆t) y semi-implícitos

cuan-do L(C)= β_L(Ct+∆t) + (1 – _β)L(Ct), donde _βes un factor

de ponderación entre 0 y 1. La discretización del término

∂_C/∂_{tpuede realizarse utilizando, entre otros, los}

esque-mas en diferencias finitas conocidos como Backward-Differenceo Euler:

y Leap-Frog:

Experimento numérico

Los esquemas de discretización presentados en la sec-ción anterior se aplicaron a dos casos: una campana de concentración que 1) rota en un campo con velocidad angular constante y 2) se traslada con velocidad longi-tudinal constante. Estas situaciones representan, por ejemplo, la circulación que se da entre dos espigones transversales o entre muelles de un puerto y la corriente de un flujo con componentes secundarias desprecia-bles. En ambos casos, el dominio espacial tiene dimen-siones de 100 x 100 metros, discretizado en aproxima-damente 1,500 volúmenes finitos con una superficie promedio de 6.67 m2_{. Se utilizaron dos mallas, una} es-tructurada con volúmenes rectangulares de dimensiones

∆_x= ∆_{y= 2.5 m y otra no estructurada con volúmenes}

triangulares generada mediante una triangulación Delau-ney. Para hacerlas comparables, se cuidó que el área de los volúmenes en ambos casos fuera similar. En todas las simulaciones, el intervalo de tiempo fue de ∆_{t= 0.1s.}

A fin de visualizar la malla triangular de mejor manera, los resultados obtenidos en los volúmenes triangulares se interpolaron en los vértices. La concentración inicial fue calculada a partir de la solución exacta dada en las ecuaciones (12) a (14), considerando t = 0:

donde Cref es una concentración de referencia, dos

ve-ces amp es el ancho de la base de la campana de Ilustración 1. Esquema para cálculo de flujos en un volumen

finito.

Volumen vecino’

Volumen vecino

Cvecino’

U

Volumen p

uC

Volumen p

vC DX DY

DZ _

Xvecino’_Cvecino

_ Xvecino

V CpX_p

C_{_}cara

Xcara

Ccara= C CP+₂vecino

Ccara=Cvecino

(7)

Ccara =αCP+ −

(

)

(8)

Ccara= −₈1Cvecino'+6₈Cvecino+3₈CP

(9) ∂

∂ = C

t L C( )

(10)

(11) ∂

∂ = −

+ −

C

t C Ct

t t∆ t t∆

∆

2

∂ ∂ =

− + C

t C t C

t t∆ t

∆

(12)

C

C x x y y

x x x

x x x

ref k c k c

c c

c c

=

−  

 _ _ − _

− ≤ ≤ +

− > > +



  

   

cos

amp cos amp

para amp amp

Link, O., Dispersión física y numérica en la modelación bidimensional del transporte de sustancias mediante volúmenes finitos

concentración, kun factor de forma y xce ycson las

coor-denadas del pico de concentración en un determinado instante de tiempo t. Para el caso de una campana de concentración que rota en un campo con velocidad angular constante, las coordenadas del pico de concen-tración en el tiempo quedan dadas por:

donde xoe yoson las coordenadas del punto en torno al

cual rota la campana, Res la distancia entre el pico de concentración y el centro del campo de velocidades, y ω

es la velocidad angular con que rota la campana. Para el caso de una campana de concentración que viaja a lo largo de un canal rectangular con velocidad longitudinal constante, las coordenadas del pico de concentración en el tiempo quedan dadas por:

donde xoe yoson las coordenadas de la posición inicial

de la campana de concentración y ues la velocidad lon-gitudinal. La ilustración 2 muestra la condición inicial y la solución exacta después de que la campana rota 3/4 de vuelta, de acuerdo con las ecuaciones (12) y (13).

La ilustración 3 muestra los resultados del modelo numérico desarrollado, utilizando los esquemas a) Upwind, b) Híbridoy c) Quickpara el caso de una veloci-dad angular constante resuelta sobre una malla no es-tructurada con volúmenes triangulares y sobre una malla estructurada con volúmenes rectangulares. La discreti-zación temporal se realizó mediante el esquema explíci-to de Euler. La ilustración 4 muestra los resultados

obte-nidos mediante el esquema Quick combinado con un Leap-Frog. Resultados similares se obtuvieron con el es-quema Runge-Kuttacuarto orden. La ilustración 5 mues-tra dos ejemplos con un campo de velocidad longitudi-nal constante, calculados mediante los esquemas Quick y Eulerpara la malla triangular y rectangular, respectiva-mente. En todos los casos simulados, la conservación de la concentración transportada se cumple en cada uno de los volúmenes y en la totalidad del dominio de acuerdo con las ecuaciones (2) a (4). En el cuadro 1 se muestra el valor del pico de concentración calculado con los diferentes esquemas de discretización estudiados con respecto a la solución exacta para la condición final mostrada en las ilustraciones 3, 4 y 5.

Discusión y conclusiones

Los resultados obtenidos a través del modelo desarrolla-do en volúmenes finitos muestran que la malla triangular no estructurada es menos dispersiva que la malla rec-tangular estructurada. Esto se suma a la obvia ventaja de las mallas triangulares de poder adaptarse con gran exactitud a geometrías complejas. Los esquemas Quick y Leap-Frogproducen una discretización de segundo or-den con una dispersión numérica aceptable. Dos des-ventajas comparativas importantes del Quick frente al Upwindy al Híbridoson: el costo computacional –apro-ximadamente 7.5 veces mayor–, que dificulta su apli-cación en dominios grandes –especialmente en mode-laciones tridimensionales– y la interpolación de la concentración en la cara del volumen, ajustando un poli-nomio a tres puntos conocidos, lo que puede generar concentraciones negativas, que son físicamente imposi-bles y dar origen a inestabilidades conocidas como “wiggles”. Los esquemas de discretización temporal

Ilustración 2. Condición inicial de la campana de concentración y solución exacta después de rotar 3/4 de vuelta en sentido horario con velocidad angular constante de 0.04 rad/s sobre una malla triangular no estructurada (izquierda) y sobre una malla rectangular uniforme (derecha).

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

C

/

Cref

100 80

60 40

20

0 0 20

40 60

80 100 Condición inicial Solución exacta, después

de rotar 3/4 de vuelta

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100 Condición inicial Solución exacta, después

de rotar 3/4 de vuelta

C

/

Cref

(13)

x x R t

ycc y R t

= + = +

0 0

cos cos

( ) ( )

ω ω

(14)

x x ut

ycc y = + =

Link, O., Dispersión física y numérica en la modelación bidimensional del transporte de sustancias mediante volúmenes finitos

Ilustración 3. Campana de concentración después de rotar 3/4 de vuelta, calculada con una malla triangular no estructurada

(izquierda) y con una malla rectangular uniforme (derecha). Los resultados corresponden a los esquemas Euler-Upwind(arriba);

Euler-Híbrido, ββ= 0.5 (centro); y Euler-Quick (abajo).

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

C

/

Cref

100 80

60 40

20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100

80 60

40 20

0 0 20

40 60

80 100

C

/

Cref

C

/

Cref

C

/

Cref

C

/

Cref

C

/

Cref

Cuadro 1. Pico de concentración calculado en la condición final.

Campo de Discretización Pico de concentración calculado / exacto

velocidad Temporal Espacial Malla triangular Malla rectangular

Rotatorio Euler Upwind 0.16 0.18

Rotatorio Euler Híbrido 0.29 0.31

Rotatorio Euler Quick 0.94 0.56

Rotatorio Leap-Frog Quick 0.89 0.52

Link, O., Dispersión física y numérica en la modelación bidimensional del transporte de sustancias mediante volúmenes finitos

presentados influyen particularmente en la estabilidad del sistema, pero no afectan considerablemente la dis-persión numérica. En particular, el esquema Leap-Frog se formuló de manera que al final de cada paso de tiem-po en el algoritmo Ct-∆t= 0.25 (Ct+∆t+ 2Ct+ Ct-∆t) con

lo cual se mejora notablemente la estabilidad de la solu-ción numérica. Siguiendo la idea del esquema Lax-Wen-droff, Donea (1984) propuso un esquema de discretiza-ción que posee una dispersión numérica muy baja al incorporar en la solución la derivada de tercer orden de la concentración respecto al tiempo. Dada la dificultad en el método de los volúmenes finitos para evaluar deri-vadas de tercer orden O(∆_t3_{) y superiores, y su elevado} costo computacional, el esquema conocido como Euler-Taylor-Galerkin(ETG) sólo es aplicable con éxito en el mé-todo de los elementos finitos que, frente al mémé-todo de los volúmenes finitos, presenta la desventaja de no garantizar por sí mismo la conservación de los flujos en el tiempo.

Agradecimientos

El autor agradece el financiamiento del servicio alemán de intercambio académico, DAAD, y el apoyo del Ministerio de Educación de Chile a través del programa MECE Educación Superior para realizar estudios de doctorado en la Universidad Técnica de Darmstadt.

Recibido: 25/05/2004 Aprobado: 18/01/2005

Referencias

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y con una malla rectangular uniforme (derecha) usando los esquemas Leap Frogy Quick.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

C

/

Cref

100 80

60 40

20

0 0 20

40 60

80 100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

C

/

Cref

100 80

60 40

20

0 0 20

40 60

80 100

Ilustración 5. Campana de concentración después de avanzar durante 50s en dirección longitudinal con 1 m/s, calculada con una malla triangular no estructurada (izquierda) y con una malla rectangular uniforme (derecha). Los resultados corresponden a los

esquemas Leap Frogy Quick.

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

C

/

C ref

100 80

60 40 ₂₀

0 0 20 40

60 80 100

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

C

/

Cref

100 80

60 40 ₂₀

0 0 20 40

60 80 100

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Link, O., Dispersión física y numérica en la modelación bidimensional del transporte de sustancias mediante volúmenes finitos

Abstract

LINK, O. Physical and numerical dispersion in bidimensional modeling of transport of substances with finite volumes. Hydraulic engineering in Mexico(in Spanish). Vol. XXI, no. 1, January-March, 2006, pp. 129-136.

A keypoint in modeling the transport of substances in water is the simulation of mixing processes due to disper-sion. Solution of the transport equation must be achieved numerically in 2 and 3 dimensional cases, causing a false diffusion or numerical dispersion. In this technical note, results of a numerical experiment are presented to evaluate the numerical dispersion produced by different discretization schemes used in the finite volumes method. The experiment consisted in solving the pure advective bidimensional transport for a concentration bell of a conservative substance. The problem was solved on two different grids, namely a structured rectangular grid and an unstructured triangular one. Solutions obtained for different velocity fields representing natural situations are compared on the base of the numerical dispersion. The results show that the false diffusion associated with the Quick discretization scheme is practically negligible. Other schemes like Upwind or Hybrid produce a numerical dispersion of the order of magnitud of the physical dispersion, introducing much error in the calculations. The implemented spatial discretization schemes did not affect the numerical dispersion significantly.

Keywords:water quality modeling, dispersion, numerical methods, discretization schemes.

Dirección institucional del autor:

Ing. Oscar Link

Profesor Asistente.

Universidad de Concepción, Departamento de Ingeniería Civil, Edmundo Larenas s/n,

Concepción, Chile, teléfono: 0056 41 204764, [email protected]