Oscilador arm´
onico unidimensional
Luciano Mart´ınez Balbuena
Resumen
Se resuelve el problema del oscilador arm´onico cu´antico unidimensional por dos m´etodos: el m´etodo de series de potencia y elm´etodo de facto-rizaci´on.
1.
Planteamiento del problema
Considerando el hamiltoniano
ˆ
H = ˆ
P2
2m+
1 2mω
2xˆ2
tiene sentido hablar de estados estacionarios, pues ∂∂tHˆ = 0. Es decir, el problema se reduce a resolver la ecuaci´on estacionaria de Schr¨odinger
ˆ
HψE=EψE
o equivalentemente, recordando que ˆp=i¯hdxd22 y ˆx=x,
−¯h
2
2m d2ψE
dx2 +
1 2mω
2x2ψ
E=EψE. (1)
´
Esta ´ultima ecuaci´on puede reescribirse de una manera m´as simplificada. Para esto consideramos el cambio de variabley =(mω¯h )1/2x, de donde es claro que
x2=mω¯h y2 y dxd22 =
mω
¯
h d2
dy2; por lo tanto, la ecuaci´on (1) toma la forma
d2ψ
E
dy2 +
(
2E
¯
hω −y 2
)
ψE = 0. (2)
Para analizar la soluci´on general de (2) consideremos que el par´ametroyes muy grande, de manera que ¯hωE y2, es decir, que (2) tiene la forma part´ıcular
d2ψ
E
dy2 −y 2ψ
E = 0.
´
Esta ´ultima ecuaci´on acepta soluciones de la formaξ=Ae−x2/2
+Be+x2/2
. La soluci´on f´ısicamente aceptable para nuestro caso part´ıcular es ψE = Ae−y
2/2
puesto que cuandoy→ ∞la parteBey2/2crece indefinidamente y como
conse-cuencia|ψE|2→ ∞, hecho que no tiene sentido f´ısico puesto que|ψE|2representa
As´ı, la soluci´on de (2) debe tener la forma
ψE=A(y)e−y
2/2
(3)
y por lo tanto,
ψ0E=dA
dye −y2/2
−Aye−y2/2
ψ00E=d
2A
dy2e
−y2/2−2ydA dye
−y2/2−Ae−y2/2+y2Ae−y2/2
Finalmente, sustituyendo en (2) uno puede f´acilmente arribar a que
d2A dy2 −2y
dA dy +
(
2E
¯
hω −1
)
A= 0 (4)
La ecuaci´on (4) es la que vamos a resolver por los m´etodos de serie de potencias y factorizaci´on.
2.
M´
etodo de serie de potencias
Proponemos una soluci´on de la formaA(y) =∑∞s=0asys por tanto
A(y)0 =
∞
∑
s=0
as+1(s+ 1)ys
A(y)00=
∞
∑
s=0
as+2(s+ 2)(s+ 1)ys
Sustituyendo en la ecuaci´on (4) nos queda
∞
∑
s=0
as+2(s+ 2)(s+ 1)ys−2 ∞
∑
s=0
as+1(s+ 1)ys+1+ (
2E
¯
hω −1) ∞
∑
s=0
asys= 0 (5)
Factorizando ys del primer y tercer miembro y haciendo (s = s0 −1) del
segundo miembro de la expresi´on anterior nos queda
∞
∑
s=0
[as+2(s+ 2)(s+ 1) + (
2E
¯
hω −1)as]y
s−2
∞
∑
s=1
assys= 0
Escribiendo el primer t´ermino del primer elemento de la expresi´on anterior, es decir, cuando s=0 y agrupando
∞
∑
s=1
[as+2(s+ 2)(s+ 1) + [(
2E
¯
hω −1)−2s]as]y
s+ 2a
2+ (
2E
¯
hω −1)a0= 0
Puesto que los elementos de la suma son Linealmente Independientes nos queda
as+2(s+ 2)(s+ 1) + [
2E
¯
hω −1−2s]as= 0
2a2+ (
2E
¯
⇒
as+2=
1 + 2s−2E
¯
hω
(s+ 2)(s+ 1)as (6) Con ´esta formula de recurrencia somos capaces de hallar valores paraa2, a4, a6, ...,
dado el valor de a0, as´ı como los valores de a3, a5, a7, ..., dado el valor de a1.
Escribimos entonces
A(y) =Apar(y) +Aimpar(y)
donde
Apar(y) =a0+a2y2+a4y4+... Aimpar(y) =a1y+a3y3+a5y5+...
Entonces la f´ormula de recurrencia (6) determinaA(y) en t´erminos de dos constantes arbitrarias a0, a1. Sin embargo, no todas las soluciones obtenidas
ser´an normalizadas. Para A(y)→ ∞, la f´ormula de recurrencia se aproxima a
as+2≈
2
sascon la soluci´on aproximadaas≈C/(
s
2)! para alguna constanteCy
esto produce
A(y) =C∑1/(s 2)!y
s≈C∑1/(k)!y2k ≈Cey2
ya que los coeficientes obtenidos de la f´ormula de recurrencia se comportan como los coeficientes de la expansi´on en serie de la funci´on exponencial.
Por otro lado, siA(y), va comoey2, entonces por la ecuaci´on (3) la funci´on
ψ, va como ey2/2, lo cual es el comportamiento asint´otico que no queremos, hay solo un camino para desechar este comportamiento, “Para las soluciones normalizables la serie de potencias debe tener fin”, esto debe ocurrir para val-ores de s muy grandes (a las que llamaremos n) de manera que la f´ormula de recurrencia nos dean+2= 0. Para soluciones f´ısicamente aceptables tendremos
2E
¯
hω = 2n+ 1 (7)
con valores positivos denla energ´ıa es de la forma:
En= (n+
1
2)¯hω para n= 0,1,2, ... (8) Esta ´ultima expresi´on es la condici´on fundamental de cuantizaci´on para la en-erg´ıa.
Retomando la relaci´on de recurrencia (6) bajo la condici´on (7) tenemos que:
as+2=
−2(n−s)
(s+ 2)(s+ 1)as (9)
Observe que con esta relaci´on de recurrencia, cuandon=s= 0,a2= 0, el ´unico
t´ermino en la serie es
A0(y) =a0
y como consecuencia
ψ0(y) =a0e−y
Luego, cuandon= 1, s= 1 y considerandoa0= 0 concluimos quea3= 0 As´ı,
A1(y) =a1y,
por lo tanto
ψ1(y) =a1ye−y
2/2
Cuando n= 2 y s= 0 conducen a quea2 =−2a0 y cuando s= 2 conduce a
quea4= 0, entonces,
A2(y) =
(
1−2y2)a0
y
ψ2(y) =a0
(
1−2y2)e−y2/2
y as´ı sucesivamente para los t´erminos de orden mayor.
En general, An(y) son polin´omios de grado n eny involucrando potencias
pares cuando nes un entero par, y potencias impares si nes un entero impar. Excepto por los factoresa0,a1y un factor multiplicativo 2nestos polin´omios son
los llamados polin´omios de Hermite,Hn(y). Con esta identificaci´on, finalmente
podemos escribir que
ψn(y) =
(mω
π¯h
)1/4 1
√
2nn!Hn(y)e
−y2/2 (10)
es la funci´on de onda para el oscilador ar´onico cu´antico unidimensional.
3.
M´
etodo de factorizaci´
on
A partir del hamiltoniano para el oscilador arm´onico, tenemos que
ˆ
H =1 2
(
ˆ
p mω¯h+
mω
¯
h xˆ 2
)
lo que puede reescribirse como
ˆ
H =1 2
(
ˆ
P2+ ˆX2
)
(11)
donde
ˆ
X2≡β2xˆ2; β≡
√
mω
¯
h y
ˆ
P2≡ pˆ 2
β2¯h2.
Luego, puesto que [ˆx,pˆ] =i¯h, entonces, [ ˆX,Pˆ] =i
Por otro lado, definimos el operador
a≡√1
2
(
ˆ
X+iPˆ
)
(12)
de donde claramente
a†= √1 2
(
ˆ
X−iPˆ
)
(13)
Observemos que entonces
aa† = 1 2
(
ˆ
X+iPˆ
) (
ˆ
X−iPˆ
)
= 1 2
(
ˆ
X2+ ˆP2−1
y al sustituir en (11) nos lleva a que
ˆ
H =aa†+1
2. (14)
´
Este ´ultimo resultado inmediatamente nos lleva a que para cualquier estado|ψni
ˆ
H|ψni=
(
aa†+1 2
)
ψni
donde suponemos queaa†|ψni ≡N|ψni=n|ψniy nos preguntamos qui´en es n.
Para resolver esta cuesti´on, primeramente observamos que
[
a, a†]=aa†−a†a= 1
[N, a] =N a−aN =−a y que [N, a†]=N a†−a†N =−a† (15) Ahora es f´acil probar que
N a|ψni=χa|ψni
pues de (15) tenemos que
N a|ψni = (aN−a)|ψni
= a(N−1)|ψni
= a(n−1)|ψni
Es decir, N|ψni =n|ψniy a|ψni=c|ψn−1i. De modo completamente similar
podemos arribar a quea†|ψni=d|ψn+1i.
Para calcular las constantesc ydproseguimos como sigue:
|a|ψni|
2
= c2hψn−1|ψn−1i
hψn|a†a|ψni = c2
hψn|N|ψni = c2
n = c2
De donde,
c=√n
y de modo similar,
d=√n+ 1 Por lo tanto,
a†|ψni=
√
n+ 1|ψn+1i y a|ψni=
√
n|ψn−1i (16)
de manera que
hx|a|ψ0i=aψ0(x) = 0
de donde se puede concluir que
ψ0(x) =Ae−β
2x2
y adem´as,
En=
(
n+1 2
)
¯
hω (18)
Luego, el primer estado exitado puede calcularse, usando (16) y (17), como:
ψ1(x) = hx|a†|ψ0i
= a†ψ0(x)
= √1 2
(
βx− 1 β
d dx
)
Ae−β2x
2 2
= √2Aβxe−β2x
2 2
El segundo estado exitado es, por tanto,
ψ2(x) = a†ψ1(x)
= 1 2
(
βx− 1 β
d dx
) (√
2Aβxe−β2x
2 2
)
= AB√ 2
(
βx2− 1 β
)
e−β2x
2 2
Finalmente, los estados para el oscilador arm´onico pueden escribirse de una forma general como:
|ψni=
1
√
n!
(
a†)n|ψ0i (19)
Como ´ultima observaci´on, note que
ˆ
X =√1 2
(
a+a†)
ˆ
P =√1 2
(
