230 CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAl. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEl MOVIMIENTO
Conceptos básicos
Movimiento. Cambio de posición respecto de un pun-to de referencia. Puede ser de rotación o traslación. Un punto sólo puede tener movimiento de traslación. Cinemática. Ciencia que estudia el movimiento pres-cindiendo de las causas que lo originan.
Dinámica. Ciencia que estudia las causas del mo-vimiento.
Punto material. Cuerpo del que no se tiene en cuenta sus dimensiones, o éstas son despreciables comparadas con el sistema de referencia.
Sistema de referencia. Un punto en el espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en él.
Sistema de referencia inercial. Cuando está en re-poso o se mueve con velocidad constante.
Espacio recorrido. Longitud de la trayectoria que ha descrito el móvil. Es, como el tiempo, una mag -nitud escalar.
Trayectoria. Lugar geométrico de las distintas po -siciones que va tomando un punto móvil en el es-pacio.
Vector de posición. Une el punto fijo de referencia con el punto que ocupa el móvil. Determina la posi-ción del móvil en cualquier instante.
Vector desplazamiento. Une dos puntos de la trayec -toria: el punto de partida con el punto de llegada. Velocidad media. Se obtiene dividiendo el despla -zamiento entre el intervalo de tiempo transcurrido. Velocidad instantánea. La que tiene un móvil en cual -quier instante o en cualquier punto de la trayectoria. Aceleración media. La variación de la velocidad en la unidad de tiempo.
Aceleración instantánea. Valor límite de la acele-ración media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño.
Componentes intrinsecos de la aceleración. Existen la aceleración tangencial, que ocasiona variaciones en la rapidez, y la aceleración normal o centripeta, causante de los cambios de dirección del móvil. Movimiento rectilineo uniforme (MRU). Es un movimiento sin aceleración.
x = Xo + v t; v = cte; o =
°
Movimiento rectilineo uniformemente acelerado (MRUA). Es un movimiento con Ot = cte y Oc = O.
1 x = Xo + va t + - O f; v = va + O t 2 1
I
-
lo
= 2 O (x - xo); x = Xo + - (v + va) t 2Caida libre. Es el movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad. Se trata de un movimien -to vertical rectilíneo uniformemente acelerado. Sus ecuaciones son las mismas que las del MRUA, con una aceleración siempre negativa (g = -9,8 m/s2). Movimiento circular uniforme (MCU). Es un movi-miento cuya Ot = 0, mientras que su Oc = cte y vale
I
2O =- =(U R
c
R
<P = <Po + (U t; (U = cte
s = <P R; v = (U R
Movimiento circuLar uniformemente acelerado (MCUA). Es un movimiento cuya Ot = cte y tiene una Oc que es variable. 1 <P = (uo t + - ex f; (U = (UO + ex t 2 (U2 - (U6 = 2 ex <P 1 <P = - ((U + (Uo) t; Ot = ex R 2
Principio de superposición. Una partícula se mue -ve con un movimiento que es la suma de todos los movimientos elementales independientes a los que está sometida tanto para el vector de posición como para la velocidad y la aceleración.
Tiro horizontal. Es un caso particular del movi -miento de un cuerpo dotado de una velocidad inicial horizontal y otro de caída libre.
Eje Ox: x = va t; Vx = va
Eje Oy: y = Yo -
~
g f; vy = -g t2
Tiro oblicuo. Es un caso particular del movimiento de un cuerpo que posee una velocidad inicial que forma un ángulo respecto a la horizontal y un movi -miento de caída libre.
Eje Ox: Vx = va cos ex x = (va cos ex) t Eje Oy: Vy = va sen ex - g t
1 Y = Yo + (va sen ex) t - - g f
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ElEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
Para
afianzar
1> Indica qué afirmaciones son verdaderas. La velocidad media de una partícula en un intervalo de tiempo es: a) El cociente entre el desplazamiento y el interva
-lo de tiempo.
b) El cociente entre el espacio recorrido y el
inter-valo de tiempo.
e) Es igual cualquiera que sea la trayectoria. d) Depende de la trayectoria.
2>
Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con una rapidez constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?a) El coche no tiene aceleración porque su veloci
-dad es constante.
b) El coche tiene aceleración tangencial.
e) La aceleración del coche vale 1 m/s2.
3> En un campeonato de esquí alpino un esquiador rea-liza el descenso haciendo muchas «eses», mientras que otro lo realiza en línea recta. Señala las afirma -ciones falsas:
a) Los dos han realizado el mismo desplazamiento. b) Los dos han recorrido la misma distancia.
e) Los dos han seguido la misma trayectoria. d) Bajaron con la misma velocidad media si
tarda-ron el mismo tiempo.
4> Un automóvil toma una curva disminuyendo el mó-dulo de su velocidad. Indica qué afirmaciones son verdaderas:
a) Solamente existe aceleración tangencial. b) Solamente existe aceleración normal.
e) Existen las dos aceleraciones anteriores. d) La aceleración normal es constante.
5> Un compañero te dice: «lanza una piedra vertical
-mente hacia arriba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado utilizando un cronóme
-tro». Lanzas la piedra y tu compañero observa que la piedra tarda 8 s en volver al suelo.
a) ¿Con qué velocidad lanzaste la piedra? b) ¿Qué altura alcanzó ésta?
S: v = 39 mis; h = 78 m.
Problemas propuestos
6> De las siguientes afirmaciones, indica cuáles sonfalsas:
a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la acelera-ción también lo es.
b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la veloci -dad también lo es.
e) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección, aunque su sentido puede ser diferente.
7>
Un tren marcha a una cierta velocidad y en un mo-mento dado se desprende del techo de un vagónuna lámpara. Di cómo observaría este fenómeno: a) Un observador que va en el tren.
b) Un observador que estuviera parado fuera del tren.
8> En una de las Fig. 5.62 Y 5.63 está representado el diagrama
v
-t
del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo.v (mIs) 20 A O~---+--~~--~---r--- -20 ________________________________ _ Fig. 5.62 v (mIs) 20 t (s) B O~---+----+_--~----~ ---2 3 4 t (s) Fig. 5.63
Indica qué afirmaciones son falsas:
a) El diagrama que representa dicho movimiento es B, no es A.
226 CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
Problemas propuestos
b) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. e) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. d) La altura máxima se alcanza a los 2 s.
e) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m de altura.
f) La altura máxima alcanzada fue de 20 m. g) A los 4 s llega al suelo.
Datos: g = 10 m S-2.
9> Un móvil describe una trayectoria circular de 1,0 m
de radio treinta veces por minuto. Calcula: a) El periodo.
b) La frecuencia. e) La velocidad angular.
d) La velocidad tangencial y la aceleración centrí-peta de este movimiento.
S: a) 2 s; b) 0,5 vueltas/s; e) 3,14 rad/s; d) 3,14 mis, 9,9 m/s2.
Para repasar
10
> Un avión se ha desplazado 600 km hacia el norte,1000 km hacia el sur y 500 km hacia el norte. a) ¿ Cuál ha sido el desplazamiento total del avión?
b ) ¿Qué distancia ha recorrido?
e) ¿Cuál ha sido su velocidad media si ha empleado 5 h en el recorrido?
S: a) 100 km hacia el norte; b) 2100 km; e) 20 km/h. 11> Una persona está sentada en un banco del parque público. En un momento dado decide dar un peque-ño paseo: recorre 100 m hacia el oeste, se para y
luego recorre 60 m hacia el este.
a) ¿Cuál es la posición final de la persona respecto
del banco?
b) ¿Cuál es el desplazamiento? e) ¿Qué espacio ha recorrido?
S: a) 40 m al oeste del punto de partida; b) 40 m
hacia el oeste; e) 160 m.
12> Un ciclista acelera durante 10 s pasando de 5 mis a 36 km/h. Calcula su aceleración media.
S: 0,5 m/s2.
13> Una pelota de tenis llega a un jugador con una ra
-pidez de 20 mis. Este jugador golpea la pelota de manera que ésta sale en la misma dirección, pero en sentido contrario, a 35 mis. Si la pelota ha estado en contacto con la raqueta durante 0,2 s, calcula:
a) ¿Cuánto ha variado la rapidez de la pelota? b) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración media? S: a) 15 mis; b) 275 m/s2.
14> Un automóvil que se mueve en línea recta acelera en un momento dado a razón de 2 m/s2. ¿Durante
cuánto tiempo debe estar acelerando para que el
velocímetro pase de 90 km/h a 120 km/h?
S: 4,2 S.
15> Un automóvil, al pasar por un punto A, tiene una ve-locidad de 128 km/h, y cuando pasa por otro pun-to B, distante 120 m del anterior, la velocidad es de 35 km/h. Calcula:
a) El valor de la aceleración.
b) Cuánto tiempo tarda el auto en pasar de A hasta B. e) A qué distancia de A se detendrá el automóvil. S: a) -4,9 m/s2; b) 5,3 s; e) 129 m.
16> Un avión que parte del reposo acelera uniformemen-te hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 mis en 5,0 S.
a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? b) ¿Cuál es su aceleración?
e) ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta
des-pegar?
d) ¿Qué distancia recorre en el último segundo? S: a) 270 km/h; b) 15 m/s2; e) 188 m; d) 68 m.
17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado se desenchufa de la corriente y tarda 35 s en pararse. a) ¿Qué aceleración angular tiene?
b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apa-garlo?
e) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para? S: a) -1,1 rad/s2; b) 22 rad/s; e) 105 vueltas. 18> Una fuente tiene el caño a una distancia vertical
del suelo 0,50 m. El chorro del líquido, que sale horizontalmente, da en el suelo a 0,80 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua? S: 2,5 mis.
19> Teniendo en cuenta el diagrama de la Fig. 5.64,
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAl. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
v (mIs)
1'\ 1'\
Fig. 5.64
a) En el tramo AB el móvil está parado.
b) En el tramo Be la aceleración es 1 m/s2.
e) La distancia recorrida en el tramo Be es de 50 m.
d) En el tramo Be el movimiento es uniforme.
20> Dado el diagrama de la Fig. 5.65, indica qué afirma-ciones son falsas:
s (m)
o
IC-/-'---L...L...L--:':--'-'--'---L,-L:-L~-'-L..L-'--t (s)5 10 12
Fig. 5.65
a) En el tramo DA la velocidad ha sido 0,8 mis.
b) En el tramo AB la velocidad es 0,8 mis.
e) En el tramo Be la velocidad es -2 mis.
d) En el tramo AB el móvil está parado.
21> Un avión vuela horizontalmente a 900 m del suelo
con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué
distancia de la vertical sobre un claro de la selva
debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino?
s:
2040 m.22> El récord mundial de salto de altura vertical está en 2,44 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima del
saltador para sobrepasar dicha altura?
s:
6,92 mis.23> El récord mundial de salto de longitud está en 8,95 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un
saltador, cuya trayectoria forma un ángulo de 45°
respecto al suelo, para sobrepasar dicha distancia?
S: 9,37 mis.
Problemas propuestos
Para profundizar
24> Un vehículo viaja por una calle a 50 km/h. De repente
un niño atraviesa corriendo la calzada. Si el conductor
tarda 0,8 s en reaccionar y oprimir los frenos:
a) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a
frenar?
b) Una vez que pisa los frenos, ¿podrá parar en 0,5 m,
supuesta una aceleración de frenado de -20 m/s2?
S: a) 11 m; b) No.
25> Un conductor que viaja de noche en un automóvil a
100 km/h, ve de repente las luces de señalización de
una valla que se encuentra a 40 m en medio de la
calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y
la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2:
a) ¿Chocará con la valla? Si es así, ¿a qué velocidad?
b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede
viajar el automóvil sin que colisione con la valla?
s:
a) 70 km/h; b) 78 km/h.26> Un camión y un automóvil inician el movimiento en
el mismo instante, en la misma dirección y sentido
desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El
camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2,
mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que éste
ha recorrido 50 m.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al
camión?
b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?
e) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando
es-tán emparejados?
S: a) 9,1 s; b) 50 m; e) 39 km/h, 79 km/h. 27> Dos jóvenes se mueven en la misma dirección,
di-rigiéndose el uno al encuentro del otro. Inician el
movimiento al mismo tiempo desde las porterías
de un campo de fútbol con velocidades medias res
-pectivas: V¡ = 3,5 mis y V2 = 5,0 mis. Sabiendo que
el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de
partida del primero, determina:
a) El tiempo transcurrido hasta que se encuentran.
b) La longitud del campo de fútbol.
s:
a) 8 s; b) 68 m.28> Un tren del metro sale de una estación A; acelera
a razón de 0,5 m/s2 durante 10,0 s y luego con
2,0 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h.
El tren mantiene la misma velocidad hasta que se
228 CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
Problemas propuestos
acerca a la estación B. En ese momento frena uni-formemente hasta pararse en 10,0 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido de 60,0 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B?
S: 675 m.
29> Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo?
S: 3/4 h.
30> Lanzas un cuerpo verticalmente hacia arriba de forma que tiene una velocidad de 8,0 mis cuando
ha alcanzado la mitad de la altura máxima a la que puede subir:
a) ¿Con qué velocidad se lanzó?
b) ¿A qué altura sube?
e) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado?
S: a) 11,3 mis; b) 6,5 m; e) 1,5 mis.
31> Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba des-de un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla, calcula: a) La velocidad con que se lanzó.
b) La velocidad con que golpeó el agua. S: a) 11 mis; b) -28 mis.
32> Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mis-mo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo? S: 15 mis.
33> Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 mis, ¿a qué profundidad está el agua?
S: 24 m.
34> Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que, a los 50 s de ini -ciada la marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula:
a) La aceleración tangencial y la aceleración angu-lar en la primera etapa del movimiento.
b) La aceleración normal en el momento de cum-plirse los 50 s.
e) La longitud de pista recorrida en los 50 s.
d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista con velocidad constante.
e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento. S: a) 0,2 m/s2
, 4 . 10-3 rad/s2; b) 2 m/s2; e) 250 m;
d) 31 s; e) 18 vueltas.
35> Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 mis batiendo un objetivo situado a 1200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación.
S: 1,34° (1 ° 20') 088,66° (88° 40').
36> Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó.
S: 29 mis.
37> Un motorista asciende por una rampa de 20° y cuando está a 2 m sobre el nivel del suelo «vuela» a fin de salvar un río de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse?
S: 10 mis.
38> Desde la cima de un acantilado se lanza
horizontal-mente un proyectil y se observa que tarda 3 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:
a) La altura que tiene el acantilado.
b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil. e) Con qué velocidad llega al agua. S: a) 44 m; b) 20 mis; e)
1
;
1
= 36 mis.39> Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 0,90 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa?
S: 3,5 mis.
40> Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanza-miento de peso, establecido en 23,0 m. Sabe que el alcance máximo se consigue con un ángulo de 45°. Si impulsa el peso desde una altura de 1,75 m, ¿con
qué velocidad mínima debe lanzar? S: 14,5 mis.
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
Problemas de PAU resueltos
1> Un terremoto produce ondas longitudinales y transversales. En la corteza terrestre, las primeras se propagan con una velocidad de 8,0 kmjs, mientras que las segundas lo hacen a 5,0 kmjs; si en un observatorio sismico los dos tipos de ondas se reciben con 200 s de diferencia temporal, determina la distancia del observatorio al hipocentro del terremoto.
Solución
Como ambos son movimientos rectilíneos uniformes, se pueden describir con la fórmula:
x = xo + v t
Representando el momento en que las dos ondas llegan al observatorio, y considerando el hipocentro del terremoto como origen de coordenadas, que se encuentra a d km del hipocentro, tenemos:
km d (km) = O + V¡ t (s) d (km) = O + 8 - . t (s) s Sustituyendo d (km) = O + V2 (t + 200 s) d (km) = O + 5 -km . (t + 200) s S
Despejando t en la primera y sustituyendo en la segunda:
d t=-s ~ 8 km d (km) = 8 - . t (s) S km d (km) = 5 - . t (s) + 1000 km S km d 5 d d(km)=5- · - s+1000km q d- -=1000 km q 3d=8000km q x=2670km s 8 8
2>
Una particula de carga q = 1,6.10-19 C se mueve describiendo una circunferencia con unperiodo de 3,2 . 10-7 s
y una velocidad de 3,8 . 106 m
S-l. Calcula el radio de la circunferencia descrita.
Solución
Como se mueve con un movimiento circular uniforme, se cumple que:
e 2TIR
v =
t'
tomando una vuelta completa v = -T- ' de donde despejamos R6 m 7
v T 3,8 . 10 _ . 3,2 . 10- s
R=- = s =O,19m
