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¿Qué es relativo en relatividad?

Un análisis desde el puto de vista de la métrica

Miguel Cuauhtli Martínez Guerrero

Resumen

En el presente trabajo se extenderá el concepto de producto punto vinculándolo directamente con la métrica. Con esta extensión se introducirá el espacio-tiempo de cuatro dimensiones equipado con la métrica de Minkowski. Y con base en el espacio de Minkowski y las trasformaciones de Lorentz se presentaran los invariantes relativistas asociados al intervalo y al cuatri-vector de momento. Por último se deducirá la ecuación de Einstein relacionando a esta con un invariante relativista.

Introducción

Partimos de la definición del producto punto en tres dimensiones:

a⃑∗⃑b=¿⃑a ,⃑b>¿axbx+ayby+azbz (1)

Notemos entonces que el producto punto es una transformación que toma dos vectores de R3 _{y nos da como resultado un escalar que pertenece a los reales, i.e. < 1 , 2 >: R}3 _{-> R} donde los índices 1 y 2 hacen referencia a la entrada 1 y a la entrada 2 respectivamente, en las cuales se sustituyen los vectores de R3 _{que habrán de punto-multiplicarse.}

Además el producto punto es lineal, condición que queda establecida por el siguiente hecho:

a⃑∗(b⃑+k⃑c)=¿a ,⃑ (b⃑+k⃑c)>¿a⃑∗⃑b+k⃑a∗⃑c (2)

Cabe señalar que esta condición también se satisface para la primera entrada, es decir:

(a⃑+k⃑c)∗⃑b=¿(a⃑+k⃑c),b⃑>¿⃑a∗⃑b+kc⃑∗⃑b (3)

Por lo tanto tenemos que el producto punto es una trasformación lineal en ambas entradas, es decir, el producto punto es una transformación bilineal.

Del algebra lineal se tiene que dada una base ordenada (β), a toda trasformación lineal se le puede asociar una matriz, de igual modo a toda transformación bilineal se le puede asociar una matriz.

M=

(

^

i∗^i i^∗^j i^∗^k ^_j∗^i ^_{j∗ ^j} ^_j∗^k ^

k∗^i k^∗^j k^∗ ^k

)

(4)

Esta matriz que se asocia al producto punto se denomina métrica (M). En particular R3 _es un espacio donde se satisface el teorema de Pitágoras, esto es consecuencia directa de que la métrica de este espacio es la euclidiana (Me).

EJERCICIO 1. Mostrar que al usar la orto-normalidad entre los elementos de la base β, tendríamos que:

Me=

(

1 0 0 0 1 0

0 0 1

)

(5)

y que al aplicar la transformación bilineal Me a dos elementos de R3 _{se obtiene}

M_e(⃑a ,b⃑)=

(

ax, ay, az

)

(

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

(

b_x b_y bz

)

=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_{z (6)}

La relación anterior significa que el producto punto entre dos vectores a y⃑ ⃑b es la aplicación de la transformación bilineal llamada métrica sobre dichos vectores y que tal relación se expresa como sigue

Me(⃑a ,b⃑)=⃑a∗⃑b (7)

Hasta este momento pareciera que no hemos hecho nada interesante, pues solo hemos reconocido que el producto punto tiene una trasformación bilineal asociada que se denomina métrica. Pero debemos recordar que en un espacio vectorial el producto punto nos permite medir distancias y dado que este es consecuente con una métrica, tendremos entonces que: la métrica (M) de un espacio define la distancia entre dos puntos de dicho espacio. En particular, se llama norma a la distancia entre un punto del espacio y el origen.

EJERCICIO 2. Mostrar que el cuadrado de norma de un vector a⃑ , es decir el cuadrado distancia entre el punto asociado al vector es:

La mecánica Newtoniana y las transformaciones de Galileo

A continuación presentaremos las consecuencias que tiene una métrica en la presentación de las propiedades matemáticas de una teoría física, primero en el caso de la mecánica Newtoniana y luego en el de la relatividad especial de Einstein.

La mecánica Newtoniana se caracteriza por utilizar un sistema de coordenadas (no necesariamente euclidiano) y un reloj para medir el tiempo, esta relación entre sistema de coordenadas y tiempo es lo que se conoce con el nombre de sistema de referencia. En este caso particular nos limitaremos a una descripción en el sistema euclidiano de tres dimensiones (R3_{). De este modo la posición de un objeto al tiempo t0 estará dada como:}

r⃑

(

t0

)

=

(

x

(

t0

)

y

(

t0

)

z

(

t₀

)

)

(9)

Obsérvese que en la mecánica Newtoniana el tiempo tiene el carácter de un escalar que parametriza cada una de las coordenadas del vector de posición.

EJERCICIO 3. Mostrar que si se utiliza la expresión (5) que corresponde a la métrica euclideana Me, el cuadrado de la norma del vector r⃑(t0) puede expresarse como:

_‖

r⃑(t₀)

_‖

2=M_e

(

r⃑(t₀), r(t₀)

)

=¿ ¿ (10)

{

x´=x−vt

y´=y

z´=z

t´

=t

EJERCICIO 4. Calcular nuevamente el cuadrado de la norma de un vector, pero esta vez desde el punto de vista de otro observador inercial y mostrar que

_‖

⃑_{r ´(t ´0)}

_‖

2_=Me

₍

_{r ´}⃑_{(t ´0),}⃑_{r ´(t ´0)}

₎

_{=¿ ¿ (11)}

Mostrar además que al utilizar las transformaciones de Galileo obtenemos que:

_‖

⃑_{r ´}(t ´₀)

_‖

2=¿¿ (12)

Y que por lo tanto, al comparar la ecuación (12) con la ecuación (10) se tiene que:

_‖

⃑_{r ´}(t₀)

_‖

2≠

_‖

⃑r(t₀)

_‖

2 (13) Es decir, la norma del vector de posición no es un invariante en la relatividad de Galileo. Y entonces, la distancia entre un punto en el espacio y el origen de coordenadas será diferente para cada sistema inercial y por ende para cada observador inercial.

La relatividad especial de Einstein y las transformaciones de Lorentz

un cuatri-vector de posición ⃑_{Rasociado a un suceso que ocurre en un lugar en el espacio y a} un tiempo dado, se escribirá de la forma:

⃑R=

(

x0

y₀ z₀ c t₀

)

(14)

Además, este espacio estará equipado con una nueva métrica, la métrica de Minkowski (Mm). Donde:

Mm=

(

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0

−1

)

(15)

EJERCICIO 5. Mostrar que de acuerdo con lo anterior, la norma de un cuatri-vector, esto es el cuadrado de la distancia entre un suceso denotado por un vector ⃑_Rα_⃑ y el origen, estará dada por:

‖

⃑_⃑R

_‖

2_=M

m(⃑α ,⃑α)=

(

x0

)

2

+

₍

y₀

₎

2+

₍

z₀

₎

2−

₍

ct₀

₎

2 (16)

Al cuadrado de la norma del cuatri-vector de posición ⃑_{Rse le conoce con el nombre del} intervalo de un evento (s2_).

En la relatividad de Einstein, la relación entre diferentes sistemas inerciales estará dada por las transformaciones de Lorentz:

{

x´=yγ´(=x−y vt)

z´=z

t´=γ(t−vx

c2)

donde:

γ−1

=

√

1−

(

v

c

)

2

Cabe señalar que en caso de que la velocidad (v) sea muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz (c) se recuperan las transformaciones de Galileo. Por lo tanto, las transformaciones de Galileo son el caso particular de baja velocidad de las trasformaciones de Lorentz.

EJERCICIO 6. Mostrar que al calcular el cuadrado de la norma de un evento desde el punto de vista de otro sistema inercial, el mismo suceso estará denotado por un vector ⃑_{R ´:}

‖R ´

‖

2=M_m(_{α ´ ,}⃑ ⃑_{α ´)=}

₍

_{x ´0}

₎

2₊

₍

_{y ´0}

₎

2₊

₍

_{z ´0}

₎

2₋

₍

_{ct ´0}

₎

2 ₍₁₈₎

Mostrar que si se aplica la regla de correspondencia entre sistemas de referencia inerciales dada por las transformaciones de Lorentz obtendremos:

‖⃑R ´

‖

2=

₍

γ(x₀−v t₀)

₎

2+

₍

y₀

₎

2+

₍

z₀

₎

2−

(

cγ(t₀−v x0

c2 )

)

2

(19)

EJERCICIO 7. Si en la ecuación anterior se desarrolla el algebra, se eliminan los términos semejantes, luego se reagrupan los términos en x0

2

y en t0 2

y finalmente se considera el valor de expresado en la ecuación (17), se obtiene la siguiente serie de ecuaciones

‖⃑_{R ´}

_‖

2=

₍

γ x₀

₎

2+

₍

γ v t₀

₎

2−

₍

cγ t₀

₎

2−

(

γ v x0

c

)

2

+

₍

y₀

₎

2+

₍

z₀

₎

2 (20)

‖⃑R ´

‖

2=(γ)2

(

1−

(

v

c

)

2

)

x₀2

+(c γ)2

(

(

v

c

)

2

−1

)

t₀2+

₍

y₀

₎

2+

₍

z₀

₎

2 (21) ‖⃑_{R ´}

_‖

2_=(γ)2

₍

_γ−1

)

2x₀2

−(c γ)2

(

γ−1

)

2t₀2

+

₍

y₀

₎

2+

₍

z₀

₎

2 (22)

‖⃑_{R ´}

_‖

2_=x02_−c2_t02₊

₍

_y0

₎

2₊

₍

_z0

₎

2 ₍₂₃₎

Lo anterior significa que, a diferencia de la relatividad Galileana que está basada en las transformaciones de Galileo y en la métrica Euclidiana (Me), en la relatividad de Einstein resulta que ¡la norma de un cuatri-vector es un invariante relativista! Esto significa que la distancia al cuadrado entre un suceso y el origen es la misma para todos los sistemas inerciales y por lo tanto para todos los observadores inerciales.

Pero ¿Acaso no la teoría de la relatividad especial habla de lo relativo entre sistemas inerciales, por ejemplo: la longitud y el intervalo de tiempo? Para contestar a esta pregunta analicemos los dos postulados de la teoría de la relatividad especial:

 Todas las leyes de la de física son iguales en todos los marcos de referencia con movimiento uniforme, es decir, inerciales.

 La rapidez de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor medido para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente o del movimiento del observador; es decir: la rapidez de la luz es constante.

El primer postulado tiene un carácter absolutista pues lo que propone es que las leyes de la física rigen o son respetadas por todos los sistemas inerciales. Mientras que el segundo, esencialmente nos habla de un absoluto pues nos dice que para todos los observadores inerciales la velocidad de la luz es una constante, esto es: la luz es una constante universal. Sin embargo estos dos postulados son el fundamento de las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales (transformaciones de Lorentz), y como consecuencia de estas se tiene la relatividad de la longitud y el tiempo entre sistemas inerciales.

Entonces, la teoría de la relatividad especial no solo señala cómo varían algunos elementos con respecto al sistema de referencia (por ejemplo: longitud y el tiempo) sino que al dar el fundamento de las transformaciones de Lorentz e incorporar la métrica de Minkowski permite obtener todas las cantidades invariantes entre los diferentes sistemas de referencia inerciales. Es así, que cuando se logra escribir alguna ley en un lenguaje que involucre un producto interior en el espacio de Minkowski se tendrá que esta ley es válida para todos los sistemas de referencia inerciales. A continuación consideraremos otro ejemplo de una cantidad invariante relativista.

componentes espacialoides en lugar de ser [x₀, y₀, z₀¿ corresponden a

[

p_x, p_y, p_z

_]

y la componente temporaloide no es (ct) sino (E/c). De esta manera se tienen los dos cuatri-vectores siguientes

⃑R=

(

x0

y₀ z₀ c t₀

)

⃑_P=

(

px

p_y p_z E/c

)

Si se aplican las transformaciones de Lorentz al vector ⃑_{R se obtienen las ecuaciones} indicadas en (17); mostrar que cuando se aplican las transformaciones equivalentes al vector ⃑_{P se obtiene}

{

E´=γ(E−v p_x)

p ´_x=γ(p_x−vE

c2 ) p ´_y=p_y

p ´_z=p_z

(25)

Lo anterior significa que el cuatri-vector de momento transformado será

⃑P ´=

(

p ´_x p ´_y p ´_z E ´/c

)

(26)

La norma de este cuatri-vector dada por la métrica de Minkowski es:

‖

⃑_{P ´}

_‖

2_=MMkw(⃑_{ρ ´ ,}⃑_ρ´)=

(

p ´x

)

2 +

(

p ´y

)

2 +

(

p ´z

)

2

−(E ´/c)2 (27)

‖

⃑_{P ´}

_‖

2₌

₍

_{γ(E−v px)}

₎

2₊

₍

_py

₎

2₊

₍

_pz

₎

2₋

(

_(γ/c)(px−vE

c2 )

)

2

(28)

‖

⃑_{P ´}

_‖

2₌

(

γ

c

)

2

(

−1+

(

v

c

)

2

)

E2

+γ2

(

1−

(

v

c

)

2

)

(

px

)

2

+

₍

p_y

₎

2+

₍

p_z

₎

2 (29)

‖

⃑_{P ´}

_‖

2₌₋

(

E

c

)

2

+p2 (30)

EJERCICIO 10. Mostrar que si se considera un sistema de referencia que este viajando junto con el objeto, y por lo tanto en este sistema el objeto se encuentra en reposo, es decir que v = c y que por lo tanto, de ¿)E´= (E – vpx) se tiene que 0 = E0 – c(m0c) y que por lo tanto se obtiene el siguiente cuadri-vector de momento:

⃑P=

(

0 0 0

E₀/c

)

=

(

00 0

(

m₀c2

)

/c

)

(31)

Si nuevamente calculamos la norma del cuatri-vector indicado en la ecuación (31), utilizando la expresión correspondiente a la métrica de Minkowski,r esulta:

‖⃑_P

_‖

2=−

(

m₀c

)

2 (32)

Recordando que la norma de un cuatri-vector es invariante frente a las transformaciones de Lorentz se tendrá que

‖

⃑_P

_‖

2=

‖

⃑_{P ´}

_‖

2 (33)

EJERCICIO 11. Mostrar que a partir de la ecuación anterior se obtiene la ecuación de Einstein:

E2

Conclusión