GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 29
UNIDAD ÁLGEBRA Y FUNCIONES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS DE INECUACIONES Una relación entre números o letras en que se usan los signos <, >, o se llamadesigualdad. Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de verdad (verdadero o falso) dependerá del valor que le asignemos a la incógnita. Para resolver inecuaciones es necesario conocer las propiedades de las desigualdades.
PROPIEDAD 1 Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el sentido de la desigualdadno cambia
PROPIEDAD 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdadno cambia
PROPIEDAD 3 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdadcambia
PROPIEDAD 4 Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se consideran sus recíprocos la desigualdad cambia
EJEMPLOS
1. Sia, by cson números reales, con b > c > a y c 0, ¿cuál de las desigualdades siguientes es verdadera?
A) b – a < c – a B) a + c > c + b C) b – 10 < a – 10
D) a – 10 > a – c – (10 – c) E) c – b > a – b
2. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones esFALSA? A) x2< 1
B) x3< x2
C) 0 > -x2
D) x3– x2> 0
E) x(x + 1) > 0
Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc
Si 0 < a < b o a < b < 0, entonces 1 >1 a b
C u r s o :
Matemática
8 3
8 3
3 8
8 3
INTERVALOS EN lR
Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad dada.
EJEMPLOS
1. La gráfica lR, representa el conjunto solución de
A) {xlR / -2 < x < 4} B) {xlR / -2 < x 4} C) {xlR / -2 x < 4} D) {xlR / -2 x 4} E) {xlR / x 4}
2. La representación gráfica del conjunto solución de la inecuación, que cumple con x 8 y x > 3 es
A)
B)
C)
D)
Intervalo cerradodesde
a hasta b, inclusive. [a , b] = {x lR / a x b}
Intervalo abierto entre
a y b. ]a , b[ = {x lR / a < x < b}
Intervalo semiabierto o semicerrado.
]a , b] = {x lR / a < x b}
[a , b[ = {x lR / a x < b}
a b lR
a b lR
a b lR
a b lR
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes situaciones:
EJEMPLOS
1. La inecuación 2x + 11 > -1 tiene como conjunto solución
A) {xlR / x > -6} B) {xlR / x < 6} C) {xlR / x < -5} D) {xlR / x < 5} E) {xlR / x > 5}
2. La inecuación 6(x – 1) < 4(x + 2) tiene como conjunto solución
A) {xlR / x < 7} B) {xlR / x > 7} C) {xlR / x < 1} D) {xlR / x < -7} E) {xlR / x > -1}
Inecuación Conjunto Solución Representación Gráfica
x < -b
a S =
-b - ,
a
x -b
a S =
-b - ,
a
x > -b
a S = -b, + a
x -b
a S = -b, +a
-b a
-b a
-b a
3. La inecuación 3x + 1 ≥ 2(x – 1) – (2 – x), tiene como conjunto solución
A) {x lR / x ≥ 1} B) {x lR / x ≤ 4} C) x lR /x -5
2
D) lR E) Ф
4. La solución de la inecuación 5x – 13(x + 1) es
A) {x lR / x ≥ -2} B) x lR / x 1
2
C) x lR / x 1 2
D) {x lR / x 2} E) {x lR / x 2}
5
.
El intervalo que es conjunto solución de la inecuación x 1 x 22 3
es
A) ]1, +[ B) ]-, 1] C) [1, +[ D) [-1, +[ E) ]-, -1]
6. ¿Cuál es el mayor número entero que es solución de la inecuación x 1 x + 2
4 7
?
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación. Es decir si, S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el
conjunto solución del sistema, entonces:
EJEMPLOS
1. La solución gráfica del sistema de inecuaciones 2x 3 < 7 3x 6 0
es
A)
B)
C)
D)
E)
2. El conjunto solución del sistema 5 2x < -7x 2x + < 3
2
es
A) ]-, 2[ B) ]2, 6[ C) ]6, +[ D) lR E)
S = S1S2 S3 ... Sn
2 5
2 5
2 5
2 5
3. Al resolver el sistema 2x + 1 > x + 4
3x + 5 2(x + 5) , el intervalo solución es
A) ]3 , 5] B) [5, +[ C) [3 , 5] D) [3 , 5[ E) [3,+[
4. La solución del sistema 4(x + 1) < 4 + 3x3x + 2 2x + 1 >
2
es
A) {0} B) ]-, 0[ C) [0, +[ D) lR
E) no tiene solución.
5. Al resolver el sistema
1 2x 3
2
x + x 3 x
3 2 4 6
, se obtiene como solución el intervalo
A) - , 7 4
B) 3, + 4
C) 3 7, 4 4
D) 3 7, 4 4
E) 3, 2 4
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. |x| a, si y sólo sí -a xa 2. |x| a, sí y sólo sí x -a o x a
OBSERVACIÓN: Si x2 a2, siendoaun número real no negativo, entonces |x| a. Si x2 a2, siendoaun número real no negativo, entonces |x| a.
EJEMPLOS
1. La inecuación -5x + 2 9 tiene el mismo conjunto solución que: I) |x| 7
II) x + 2 9 ó x + 2 -5 III) x + 2 9
x + 2 -5
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
2. El conjunto solución de la inecuación |2x – 8| > 0 es A) lR – {-4}
B) lR – {2} C) lR – {4} D) lR E)
3. ¿Cuántos números enteros cumplen la condición que el exceso de su valor absoluto sobre 4 no es mayor que 3?
A) 15 B) 14 C) 13 D) 8 E) 7
4. S = {x lR / -4 x4} es el conjunto solución de A) x2 – 4 ≤ 0
B) x2 – 2 ≤ 0
C) x2– 16 ≤ 0
D) x2+ 4 ≤ 0
DIAGRAMA DE SIGNOS
Una forma de resolución de las inecuaciones cuadráticas y racionales es el uso del diagrama de signos. Para ello, se debe encontrar los puntos críticos, que son aquellos valores donde la expresión se anula y/o se indefine. Luego se evalúan las expresiones con un valor de prueba que determinará el signo de la expresión en el intervalo.
EJEMPLOS
1. ¿Cuáles son los valores dexque satisfacen la siguiente inecuación: x2 > 7x – 10?
A) ]-, 2[ U ]5,+[ B) ]-, -2[ U ]5, +[ C) ]2, 5[
D) ]5, +[ E) ]-, 2[
2. Los valores dex que satisfacen la inecuación x + 1
x + 3 2 son A) {xlR / x -5}
B) {xlR / x -3}
C) {xlR / x -5 ó x -3 } D) {xlR / -3 x 5}
E) {xlR / -5 x < -3}
4. Al resolver la inecuación 1
x + 1 0, se obtiene como conjunto solución
A)
B)
C)
D)
E)
-1 1
1
-1
PROBLEMAS DE INECUACIONES
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <, o , tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo” (), “sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
EJEMPLOS
1. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente las siguientes condiciones?
- El exceso del doble del número sobre 4 supera las 4 unidades. - El exceso de 3 sobre el número no es menor que el opuesto de 4.
A) más de 4. B) 4
C) 3 D) 2
E) menos de 2.
2. ¿Cuántos números primos cumplen la condición que su doble, disminuido en 7 no supera las 4 unidades?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
E) Ninguno.
3. Soraya vendió 30 cuchiflíes quedándole más de 14 de ellos. Si el doble de los cuchiflíes que tenia originalmente, son menos de 92, ¿cuántos cuchiflíes tenia Soraya?
A) 42 B) 43 C) 44 D) 45
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 E D
2 B D
3 y 4 A A D D E B
5 y 6 D E A E D
7 C C A C
8 A E E
9 C B D
DMCAMA29
