Introdução ao método dos elementos finitos - Ribeiro - 2004

Texto completo

(1)INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Notas de Aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro. COPPE / UFRJ – Programa de Engenharia Civil. Rio de Janeiro, 30/03/2004.

(2) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 4. 2. PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL .............................................. 5 2.1 2.2 2.3 2.4. 3. ELASTICIDADE PLANA .......................................................................................................... 14 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.6.1. 4. Integração Numérica de Gauss ........................................................................................... 70 Regras de Integração para Triângulos e Tetraedros ............................................................. 74. ESTIMATIVAS DE ERRO......................................................................................................... 77 9.1 9.2. 10. Integração no Domínio Real ............................................................................................... 37 Mapeamento Isoparamétrico............................................................................................... 38 Jacobiano da Transformação de Coordenadas................................................................. 39 Mapeamento: Generalização............................................................................................... 44 Elementos Isoparamétricos de Continuidade C0 .................................................................. 45 Elementos Uniaxiais...................................................................................................... 45 Elementos Quadriláteros - Família de Lagrange ............................................................. 47 Elementos Quadriláteros - Família de Serendipity .......................................................... 51 Elementos Triangulares ................................................................................................. 58 Hexaedros ..................................................................................................................... 63 Tetraedros ..................................................................................................................... 65 Exercícios Propostos .......................................................................................................... 68. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ..................................................................................................... 70 8.1 8.2. 9. Introdução.......................................................................................................................... 34 Formulação Clássica .......................................................................................................... 34 Formulação Variacional ..................................................................................................... 35 Formulação Variacional Discreta........................................................................................ 36. ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ........................................................................................ 37 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.4.6 7.5. 8. Barra Submetida a Esforços Axiais..................................................................................... 26 Barra Submetida a Esforços de Flexão................................................................................ 29. PROBLEMAS DE POTENCIAL ................................................................................................ 34 6.1 6.2 6.3 6.4. 7. Introdução.......................................................................................................................... 23 Formulação Clássica do Problema de Elasticidade Tridimensional ...................................... 23 Formulação do MEF .......................................................................................................... 24. ELEMENTOS DE BARRA......................................................................................................... 26 5.1 5.2. 6. Introdução.......................................................................................................................... 14 Formulação Clássica do Problema de Elasticidade Plana..................................................... 15 Formulação Variacional ..................................................................................................... 16 Princípio dos Trabalhos Virtuais......................................................................................... 18 Energia Potencial Total ...................................................................................................... 18 Formulação Variacional Discreta........................................................................................ 20 Energia de Deformação ................................................................................................. 22. PROBLEMAS DE ELASTICIDADE TRIDIMENSIONAL......................................................... 23 4.1 4.2 4.3. 5. Formulação Clássica ............................................................................................................ 5 Formulação Variacional ....................................................................................................... 5 Aproximação por Elementos Finitos ..................................................................................... 7 Condições para convergência do MEF................................................................................ 11. Estimativas de Erro Globais e Locais.................................................................................. 77 Taxas de Convergência ...................................................................................................... 79. EXEMPLOS NUMÉRICOS........................................................................................................ 81 10.1 10.2. Estado Plano de Deformação.............................................................................................. 81 Elasticidade Tridimensional ............................................................................................... 84. 2.

(3) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 10.3 11. Problema de Potencial........................................................................................................ 91. REFERÊNCIAS.......................................................................................................................... 93. 3.

(4) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro INTRODUÇÃO Grande parte dos problemas de engenharia pode ser formulada através dos princípios gerais da Mecânica do Contínuo ([1],[2]). Este ramo da mecânica trata a matéria como sendo um meio contínuo, sem vazios interiores, desconsiderando sua estrutura molecular. O conceito de “continuum” permite a definição do ponto geométrico (de volume igual a zero), por um limite matemático tal como na definição de derivadas no cálculo infinitesimal. Assim, na Mecânica do Contínuo os princípios da física são escritos sob a forma de equações diferenciais. Os efeitos da constituição interna molecular dos materiais são levados em conta de forma macroscópica através das equações constitutivas do material. A primeira etapa no processo de modelagem computacional de um fenômeno físico consiste na identificação dos fatores que influenciam de maneira relevante no problema. Isto implica na escolha adequada dos princípios físicos e das variáveis dependentes e independentes que descrevem o problema, resultando em um modelo matemático constituído por um conjunto de equações diferenciais. A segunda etapa do processo consiste em obter a solução do modelo matemático, tarefa esta atribuída aos métodos numéricos. O Método das Diferenças Finitas é um destes métodos, que como o próprio nome sugere, foi criado com a finalidade específica de resolver sistemas de equações diferenciais. Por outro lado, o Método dos Elementos Finitos (MEF) teve suas origens na análise estrutural. Com o surgimento dos primeiros computadores digitais no início da década de 50, os métodos matriciais para a análise estrutural tiveram um grande desenvolvimento. As primeiras aplicações envolviam apenas estruturas reticuladas, mas a crescente demanda por estruturas mais leves, tais como as encontradas na indústria aeronáutica, conduziu ao desenvolvimento de métodos numéricos que pudessem ser utilizados nas análises de problemas mais complexos. Entre os trabalhos pioneiros nesta linha, podem-se citar os trabalhos de Turner [3] e Argyris [4]. Zienkiewicz, em seu histórico artigo “The Finite Element Method: from Intuition to Generality” [5], apresenta uma descrição mais detalhada da evolução do MEF nesta fase inicial. Na década de 70 o MEF teve suas aplicações estendidas a problemas de mecânica dos fluidos e, desde então, vem consolidando-se como um método mais geral de solução de equações diferenciais parciais. Todo o embasamento matemático deste método vem da disciplina Análise de Funcionais ([6],[7],[8]).. 4.

(5) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 1. PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL. Um problema de valor de contorno consiste em determinar a função que satisfaz a uma determinada equação diferencial em um dado domínio, conhecendo-se a-priori os valores que a função e/ou suas derivadas assumem no contorno do domínio. Esta descrição corresponde à formulação clássica do problema. A solução pode ser obtida analiticamente, quando possível, ou através de métodos numéricos, como o método das diferenças finitas. Uma outra maneira de formular o problema é através de formulações variacionais, envolvendo equações integrais. Pode-se chegar à formulação variacional do problema de várias maneiras, como por exemplo, através dos princípios dos trabalhos virtuais e da energia potencial mínima, em problemas estruturais, e através do método dos resíduos ponderados de um modo mais geral. Dentre os métodos que se aplicam às formulações integrais podem-se citar o método dos elementos finitos e o método dos elementos de contorno, sendo que este último envolve apenas equações integrais de contorno. Apresentam-se a seguir as formulações clássica e variacional de um problema unidimensional de valor de contorno, introduzindo-se os conceitos básicos do MEF. 1.1. Formulação Clássica. Dados f (x ) e g, determinar u (x) tal que. 1.2. d 2u + f ( x ) = 0 em [0,1] dx 2. (1.1). u (1) = 0 (condição de contorno essencial)   du  dx (0) = g (condição de contorno natural). (1.2). Formulação Variacional. A formulação variacional correspondente ao problema estabelecido em (1.1)-(1.2) pode ser escrita na seguinte forma: Dados f (x ) e g, determinar u ( x) ∈ U. ∫. 1. du dw dx = 0 dx dx. ∫. ∀ w( x) ∈ W,. 1. f w dx - g w(0). (1.3). 0. sendo U o espaço de funções admissíveis,  U = u ( x ) u (1) = 0, . 2   du    dx < ∞ 0  dx  . ∫. 1. 5. (1.4).

(6) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro e W o espaço de funções peso, ou funções de ponderação,  W = w( x ) w(1) = 0, . 2   dw    dx < ∞  0  dx  . ∫. 1. (1.5). Observações: 1) U e W representam o mesmo espaço de funções ( U ≡ W ). Este espaço contém todas as funções que se anulam em x = 1 e cujas derivadas primeiras possuem quadrado integrável em [0, 1]. 2) A base de U ≡ W tem dimensão infinita e pode ser dada, por exemplo, por funções polinomiais de grau p contínuas em [0, 1] e diferentes de zero somente em uma parte do domínio: u ( x) =. ∞. ∑ N ( x) a i. (1.6). i. i =1. Ni p=1 l. xi Ni p=2 xi. Figura 1.1 – Exemplos de bases polinomiais para o espaço U ≡ W .. Verificação: Se a equação diferencial (1.1) é válida no domínio [0, 1], então a seguinte equação integral também deve ser satisfeita para todas as funções w(x ) pertencentes ao espaço W:. ∫. 1. 0.  d 2u   2 + f  w dx = 0  dx . (1.7). Expandindo a equação acima e integrando por partes o termo esquerdo da igualdade: −. ∫. 1. 0. d 2u w dx = dx 2. ∫. 1. f w dx. 0. 6.

(7) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro. −. ∫. 1. 0. −. d 2u w dx = dx 2. 1.  du   dx w + 0. ∫. du du (1) w(1) + (0) w(0) + dx dx. du dw dx dx dx. 1 0. ∫. 1. 0. du dw dx = dx dx. ∫ f w dx 1. (1.8). 0. Introduzindo as condições de contorno obtém-se g w(0) +. ∫. 1. du dw dx = dx dx. 0. ∫ f w dx 1. (1.9). 0. verificando-se, portanto, a validade da equação (1.3). 1.3. Aproximação por Elementos Finitos. O Método dos Elementos Finitos (MEF) resolve por aproximação o problema (1.1) na forma variacional (1.3). O domínio é discretizado em elementos, resultando em uma malha com n pontos nodais. São utilizadas aproximações do tipo: n. uˆ ( x) =. ∑ N ( x) u j. j. , uˆ( x) ∈ Uˆ (Uˆ ⊂ U ). (1.10). j =1. n. wˆ ( x) =. ∑ ϕ ( x) w , i. i. wˆ ( x ) ∈ Wˆ (Wˆ ⊂ W ). (1.11). i=1. onde N j e ϕ i são funções de interpolação, e u j e wi são coeficientes constantes. A figura abaixo apresenta a discretização do domínio em (n − 1) elementos lineares. As funções de interpolação N j (lineares neste caso) são definidas para cada nó j , de modo que:  1, para x = x j N j ( x) =  0, para x = xi (i ≠ j ). (1.12). x − xj  + 1 , x j ≤ x ≤ x j +1 − x − x ( ) j + 1 j  N j ( x) =   x − x j −1  , x j −1 ≤ x ≤ x j  x j − x j −1. (1.13). 7.

(8) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Nj 1 1. n. x=0. j-1. j. x. x=1. j+1. Figura 1.2 – Discretização do domínio unidimensional em elementos lineares.. Observações: 1) Os espaços Û e Ŵ possuem base de dimensão finita e estão contidos em U e W, ou seja, a discretização do domínio representa um truncamento na base infinita dos espaços U e W. 2) Em decorrência de (1.12), os coeficientes u j representam os valores nodais de uˆ ( x) . Como uˆ ( x) é por definição uma solução aproximada, a equação (1.1) não é satisfeita exatamente para uˆ ( x) , gerando um resíduo R(x) no domínio: d 2 uˆ + f ( x) = R( x) dx 2. em [0, 1]. (1.14). A idéia central do MEF é ponderar este resíduo no domínio (Método dos Resíduos Ponderados) usando as funções de ponderação wˆ ( x ) :. ∫. 1. R wˆ dx = 0, ∀wˆ ∈ Wˆ. (1.15). 0. Dentre os métodos de ponderação, o Método de Galerkin é aquele em que as funções ϕ i em (1.11) são consideradas como sendo iguais as funções N i em (1.10): n. wˆ ( x ) =. ∑ N ( x) w i. (1.16). i. i=1. Integrando por partes o primeiro termo em (1.15) obtém-se a equação  d 2 uˆ  duˆ duˆ  2 + f  wˆ dx = (1) wˆ (1) − (0) wˆ (0) − 0 dx dx dx  . ∫. 1. ∫. 1. 0. duˆ dwˆ dx + dx dx. ∫ f wˆ dx = 0 1. 0. resultando em. ∫. 1. 0. duˆ dwˆ dx = dx dx. ∫ f wˆ dx − g wˆ (0) 1. (1.17). 0. 8.

(9) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Como pode-se observar, a equação acima corresponde ao problema (1.3), com u (x) e w(x ) substituídas por uˆ ( x) e wˆ ( x ) . Introduzindo (1.10) e (1.16) em (1.17) chega-se à expressão: n. ∑ ∫ wi. d  dx . 1. 0. i =1. n. ∑ j =1.  dN N j u j  i dx =  dx . n. ∑ ∫ f N dx − g N (0)  i =1.  wi  . 1. i. 0. i. (1.18). Como as constantes wi são arbitrárias, fazendo wi = 1 e w j = 0 , para j ≠ i e i = 1, ... n , obtém-se um sistema de n equações algébricas e n incógnitas u j :. ∫. 1. 0. d  dx .   j =1  n. ∑∫. n. ∑ j =1.  dN N j u j  i dx =  dx . dN j dN i  dx  u j = dx dx . 1. 0. ∫ f N dx − g N (0) 1. i. 0. ∫ fN 1. 0. i. i. dx − g N i (0). (i = 1,..., n). (1.19). (i = 1,..., n). (1.20). O sistema acima pode ser escrito na forma n. ∑K j =1. ij. u j = Fi. (i = 1,..., n). (1.21). onde K ij e Fi são iguais a K ij = Fi =. ∫. 1. 0. dN j dN i dx dx dx. ∫fN 1. 0. i. (1.22). dx − g N i (0). (1.23). Matricialmente, pode-se escrever: KU = F  K 11  . K=  .   K n1. (1.24) . . .. . . .. K 1n  .  ; .   K nn .  F1   .  F =  ;  .     Fn . 9.  u1  . U=  .   u n . (1.25).

(10) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Observações: 1) A matriz K é simétrica: K ij =. ∫. 1. 0. dN i dN j dx = dx dx. ∫. 1. 0. dN j dN i dx = K ji dx dx. 2) A matriz K é esparsa (muitos de seus coeficientes são iguais a zero). De fato, os suportes das funções de interpolação N i e N j possuem interseção nula, se o nó i não está conectado ao nó j, resultando em coeficientes K ij = 0 : Ni. Nj. i. j Figura 1.3. 3) Os coeficientes K ij podem ser calculados efetuando-se a integral somente no elemento que conecta os nós i e j: K ij =. ∫. 1. 0. dN i dN j dx = dx dx. ∫. xj xi. dN i dN j dx dx dx Ni. Nj. i. j Figura 1.4. 4) Os coeficientes da diagonal principal são positivos e maiores que zero: 2.  dN  K ii =  i  dx > 0 0  dx . ∫. 1. 5) Os coeficientes da diagonal K ii podem ser calculados efetuando-se a integral somente nos elementos que contribuem para o nó i: K ii =. ∫. 1. 0. 2.  dN i    dx =  dx . ∫. xi + 1. xi − 1. 2.  dN i    dx =  dx . ∫. 10. xi. xi −1.  dN im   dx. 2.   dx + . ∫. xi + 1 xi. 2.  dN in    dx dx  .

(11) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro. Ni m. n. Ni. m i. i-1. =. n. Ni. m. i+1. i-1. n i. i+1. K ii = K iim + K iin Figura 1.5. 1.4. Condições para convergência do MEF. Seja uˆ ( x) uma solução aproximada do problema (1.3), e u (x) a solução exata. Definese com erro e(x) da solução aproximada a diferença e( x) = u ( x) − uˆ ( x ). (1.26). Supondo que u (x) seja continuamente diferenciável em todo o domínio ( u ( x) ∈ C ∞ ), uma série de Taylor pode ser empregada para representá-la: du u ( ∆x ) = u + ∆x dx x =0. ∆2 x d 2u + 2! dx 2 x=0. ∆x p d pu +... + p ! dx p x =0. x=0. + ......... (1.27). u(x). u(∆x) u(0). x=0. x = ∆x. x. Figura 1.6. Portanto, se a solução aproximada for constituída por polinômios de grau p, pode-se esperar um erro da ordem de ∆x p +1 . Considerando o intervalo ∆x como sendo equivalente ao tamanho h dos elementos,. (. e ≈ O ∆x p +1. ). (1.28). 11.

(12) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Da mesma forma, os erros das derivadas de uˆ ( x) são:. ( ). duˆ : e1 ≈ O h p dx. (. d 2 uˆ : e2 ≈ O h p −1 2 dx. (. (1.29). ). d n uˆ : en ≈ O h p +1− n n dx. (1.30). ). (1.31). Para que haja convergência, todas as derivadas que aparecem na formulação variacional (1.3) devem ser representadas corretamente, no limite, quando o tamanho h dos elementos tende a zero: en → 0, quando h → 0 Portanto, a seguinte relação deve ser válida:. (1.32). p+1 − n ≥ 1 ⇒ p ≥ n. (1.33). Então, uma primeira condição para que haja convergência é que as funções de interpolação utilizadas na aproximação de uˆ ( x) sejam representadas por polinômios completos de grau n (condição de completidade). A segunda condição necessária decorre de que as integrais em (1.17) devem ser limitadas, para que o problema possa ser resolvido:. ∫. 1. 0. duˆ dwˆ dx < ∞ dx dx. (1.34). A expressão acima equivale a dizer que as derivadas que aparecem na integral devem ser de quadrado integrável. Uma função contínua por partes, por exemplo, é de quadrado integrável. Em outras palavras, se n é a ordem mais alta das derivadas que aparecem na integral, as derivadas da aproximação de ordem n-1 devem ser contínuas nas interfaces dos elementos, como mostra a Figura 1.7.. uˆ ( x). duˆ dx. Figura 1.7 – Aproximação uˆ ( x) contínua e derivada descontínua nas interfaces dos elementos.. 12.

(13) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Resumindo, são duas as condições para convergência de uma aproximação: •. Condição de completidade: a aproximação uˆ ( x) deve ser representada por polinômios completos de grau n.. •. Condição de compatibilidade: as derivadas da aproximação de ordem n-1 devem ser contínuas nas interfaces dos elementos (continuidade C n−1 ).. Observações: 1) Uma função f (x ) definida em um domínio Ω pertence ao espaço vetorial L2 de funções de quadrado integrável se a integral de seu quadrado é limitada:. ∫. 2. f ( x) dΩ < ∞. ⇒. f ( x ) ∈ L2. Ω. Exercícios proposto: 1) Resolver o problema (1.1) para f ( x ) = −2 e g = −2 , utilizando malhas de 1, 2 e 3 elementos lineares igualmente espaçados. Comparar os resultados com a solução exata u ( x) = x 2 − 2 x + 1 . d 2u − 2 = 0 em [0,1] dx 2 u (1) = 0 du (0) = −2 dx. 13.

(14) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 2 2.1. ELASTICIDADE PLANA Introdução. Os problemas de elasticidade plana se dividem em dois grupos: problemas de estado plano de tensões e problemas de estado plano de deformações. Os problemas de estado plano de tensões são caracterizados por estruturas na forma de chapas planas carregadas no próprio plano, sendo o carregamento uniforme ao longo da espessura. Neste caso, o estado de tensões é completamente definido pelas componentes de tensões σ x , σ y e τ xy , constantes ao longo da espessura. As demais componentes, σ z , τ yz e τ xz , são iguais a zero. y y. x. z. Figura 2.1 – Estado plano de tensões.. Por outro lado, os problemas de estado plano de deformações caracterizam-se por estruturas nas quais a dimensão na direção z é muito maior que as dimensões no plano x-y. As cargas são paralelas ao plano x-y e não variam na direção z. Assume-se que os deslocamentos na direção z sejam restringidos. Desta forma, qualquer seção transversal (paralela ao plano x-y) encontra-se submetida ao mesmo estado de deformações, onde as deformações ε z , γ yz e γ xz são iguais a zero e a tensão normal σ z pode ser obtida em função das tensões normais σ x e σ y . Portanto, para efeito de análise, basta considerar uma faixa de espessura unitária compreendida entre duas seções transversais.. y x y. z. 1. Figura 2.2 – Estado plano de deformações.. 14.

(15) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 2.2. Formulação Clássica do Problema de Elasticidade Plana. Dados b = (bx , b y ) , t = (t x , t y ) e u = (u x , u y ) , determinar u = (u x , u y ) tal que L tσ + b = 0. em Ω. σ = Dε. (equações de equilíbrio). (2.1). (relações constitutivas). (2.2). ε=L u. (deformações). Tn = t. em Γq. u = u em Γu. (cond. de contorno naturais). (2.4). (cond. de contorno essenciais). (2.5). t. n. Γu. y. (2.3). Γq. Ω. Γ = Γu ∪ Γq. x Figura 2.3 – Problema de elasticidade plana. Nas equações acima, σ é a representação em matriz coluna do tensor de tensões T, σx T=  τ xy. τ xy  ; σ y .  σx    σ = σ y   τ xy   . (2.6). b são as forças de volume, u é o campo de deslocamentos, t são forças distribuídas no contorno Γq , u são os deslocamentos prescritos no contorno Γu , n = (n x , n y ) é a normal externa ao contorno, D é a matriz constitutiva do material, ε são as deformações e L é o operador diferencial: εx  ε =  ε y  ;  γ xy   . 0   ∂ ∂x  L = 0 ∂ ∂y  ∂ ∂y ∂ ∂x . (2.7). 15.

(16) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Para problemas de estado plano de tensões a matriz D é igual a 1 ν 0   E ν 1 D= 0  1− ν2  1− ν 0 0   2 . (2.8). e para o estado plano de deformações, a matriz D assume a forma ν (1 − ν )  1 E (1 − ν )  ν (1 − ν ) 1 D= (1 + ν )(1 − 2ν )   0 0. 0   0  (1 − 2ν ) 2(1 − ν ). (2.9). onde E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson, respectivamente.. 2.3. Formulação Variacional. Dados b , t e u , determinar u ∈ U. ∀w ∈ W ,. ∫ (Lw ) DL u dΩ = ∫ b w dΩ + ∫ t w dΓ t. t. Ω. t. Ω. (2.10). Γq.  ∂u ∂u , ∈ L2  ∂x ∂y .  U = u = (u x , u y ) u = u em Γu ,   W = w = (w x , w y ) w = 0 em Γu , .  ∂w ∂w , ∈ L2  ∂x ∂y . (2.11). (2.12). Verificação:. ∫ (L σ + b) w dΩ = 0 , t. t. ∀w ∈ W. (2.13). Ω.  ∂σ x ∂τ xy   ∂τ xy ∂σ y   + + b y  w y dΩ = 0 + + bx  wx +  ∂y ∂y ∂x   ∂x  Ω. ∫. (2.14). Integrando por partes, ∂σ x ∂w x w x dΩ = σ x n x w x d Γ − σ x dΩ ∂x ∂x Ω Γ Ω. ∫. ∫. ∫. 16. (2.15).

(17) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro. ∫. ∂τ xy. ∫. ∂τ xy. ∫. ∂σ y. Ω. Ω. Ω. ∂y. ∫ Γ. ∂x. ∫. ∂w x dΩ ∂y. ∫. ∂w y. ∫. ∂w y. w x dΩ = τ xy n y wx dΓ − τ xy Ω. ∫. w y dΩ = τ xy n x w y dΓ − τ xy Γ. ∂x. Ω. ∫. w y dΩ = σ y n y w y dΓ − σ y. ∂y. Γ. ∂y. Ω. (2.16). dΩ. (2.17). dΩ. (2.18). e substituindo,  ∂σ x ∂τ xy   ∂τ xy ∂σ y   + + bx  w x +  + + b y  w y dΩ = ∂x ∂y ∂y   ∂x  Ω. ∫. ∫ (σ n. =. x. x. + τ xy n y ) wx + (τ xy n x + σ y n y )w y dΓ +. (2.19). Γ = Γu + Γq.  ∂w x σwx + τ xy −  σ x ∂y ∂x Ω. ∫. ∂w y σw y    +  τ xy + σy ∂x ∂y  .   dΩ + bx w x + b y w y dΩ = 0  Ω. ∫. A expressão acima pode ser escrita de forma matricial:. ∫ (L σ + b) w dΩ = ∫ (Tn ) w dΓ − ∫ (Lw ) σ dΩ + ∫ b w dΩ = 0 t. t. t. Ω. t. Γ = Γu ∪ Γq. Ω. t. (2.20). Ω. Introduzindo as condições de contorno, obtém-se a igualdade,. ∫ (Lw ) σ dΩ = ∫ b w dΩ + ∫ t w dΓ t. Ω. t. t. Ω. (2.21). Γq. e finalmente, substituindo as tensões pelas relações constitutivas chega-se à equação (2.10):. ∫ (Lw ) DL u dΩ = ∫ b w dΩ + ∫ t w dΓ t. Ω. t. Ω. t. Γq. Pode-se também chegar a esta mesma forma variacional empregando-se o princípio dos trabalhos virtuais ou o princípio da energia potencial total mínima, como será visto a seguir.. 17.

(18) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 2.4. Princípio dos Trabalhos Virtuais. O Princípio dos Trabalhos Virtuais pode ser enunciado da seguinte maneira: “Seja um corpo em equilíbrio, submetido a um sistema de forças externas. Se a este corpo é imposto um campo de deslocamentos virtuais, compatível com os vínculos da estrutura, o trabalho das forças externas é igual ao trabalho das forças internas”. Denotando o campo de deslocamentos virtuais por δu e as deformações virtuais por δε , o trabalho das forças internas é igual a Wint =. ∫ (δε) σ dΩ t. (2.22). Ω. onde σ são as tensões resultantes das forças externas impostas à estrutura. O trabalho destas das forças externas é dado por:. ∫. ∫. Wext = b t δu dΩ + t t δu dΓ Ω. (2.23). Γq. Igualando as duas expressões acima, e introduzindo as relações constitutivas em (2.10) obtém-se. ∫ (δε ) D(L u) dΩ = ∫ b δu dΩ + ∫ t δu dΓ t. t. Ω. Ω. t. (2.24). Γq. Comparando este resultado com (2.10), observa-se que as funções w desempenham o papel dos campos de deslocamentos virtuais ( δu = w ), com deformações virtuais δε = Lw . 2.5. Energia Potencial Total. Define-se energia potencial de um corpo, em uma configuração deformada qualquer, como sendo o trabalho realizado por todas as forças que agem sobre o corpo, externas e internas, quando o corpo retorna de sua configuração deformada para a configuração indeformada. A energia potencial das forças internas é igual à energia de deformação do corpo: U=. ∫. 1 t ε Dε dΩ 2Ω. (2.25). O trabalho das forças externas (energia potencial das forças externas) é negativo, quando o corpo retorna a sua configuração indeformada:. ∫. ∫. W = − b t u dΩ − t t u dΓ Ω. (2.26). Γq. 18.

(19) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro A energia potencial total do corpo, que é função da configuração deformada u, será portanto igual a: Π (u) = U + W. (2.27). A expressão acima corresponde ao funcional de energia Π (u) , associado às equações diferenciais de equilíbrio (2.1). O Princípio da Energia Potencial Total tem o seguinte enunciado: “Seja um corpo impedido de se deslocar como corpo rígido e submetido a forças externas. Dentre todas as configurações deformadas possíveis (que atendem às condições de contorno), aquela que corresponde à configuração de equilíbrio minimiza o funcional de energia potencial total” Isto significa que para a configuração de equilíbrio, a primeira variação do funcional de energia deve ser igual a zero: δΠ (u) = δU + δW = 0. (2.28). As variações das energias interna e externa são. ∫. δU = (δε) t Dε dΩ Ω. ∫. (2.29). ∫. δW = − b t δu dΩ − t t δu dΓ Ω. (2.30). Γq. Somando estas duas equações e igualando a zero obtém-se a mesma expressão de (2.24). Como a solução exata do problema representa um mínimo absoluto do funcional de energia, qualquer aproximação por deslocamentos superestima a energia potencial total. A medida em que se refina a aproximação, introduzindo-se novos graus de liberdade, mais próximo se chega do valor mínimo de Π. Pelo princípio da conservação de energia, quando um corpo se deforma sob a influência de forças externas aplicadas lentamente (variando uniformemente a partir de zero), o trabalho realizado pelas forças externas é igual à variação da energia de deformação. Como este trabalho é igual a − W / 2 , pode-se escrever: U +W / 2 = 0. (2.31). Substituindo este resultado em (2.27): Π (u) = U + W = −U. (2.32). Portanto, pode-se deduzir da expressão acima que, sendo a energia potencial total Π superestimada, a energia de deformação U será sempre subestimada na formulação em deslocamentos do método dos elementos finitos, na ausência de tensões ou deformações iniciais. 19.

(20) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro É importante ressaltar que nem sempre é possível estabelecer um funcional de energia associado às equações diferenciais do problema. Isto só ocorre quando o operador diferencial é auto-adjunto, como é o caso de problemas de elasticidade. Por este motivo, a forma variacional obtida a partir da ponderação de resíduos ponderados é mais geral, e pode ser aplicada a qualquer tipo de problema, como por exemplo, problemas de mecânica dos fluidos. 2.6. Formulação Variacional Discreta. Para obter a formulação variacional discreta deve-se proceder da mesma forma que no item 1.3, com a diferença que agora a solução da equação diferencial u = (u x , u y ) é uma função vetorial de duas componentes, e portanto deve ser aproximada por uma função vetorial: uˆ x  uˆ  =  y. n. ∑ j =1. N j 0 . 0 N j . u xj   j; u y . n. uˆ =. ∑N u j. (2.33). j. j =1. Da mesma forma, as funções de ponderação também são vetoriais, com duas componentes:  wˆ x   wˆ  =  y. n. ∑ i =1. Ni 0 . 0 N i .  w ix   i ;  w y . n. ˆ = w. ∑N w i. (2.34). i. i =1. Substituindo estas aproximações em (2.10) obtém-se:. ∫ (Lwˆ ) DL uˆ dΩ = ∫ b wˆ dΩ + ∫ t wˆ dΓ t. t. Ω. t. Ω. (2.35). Γq. Desenvolvendo,  L  Ω. n. ∫ ∑ i =1. t.  N i w i  DL . n. ∑. n. ∫ ∑. N j u j dΩ = b t. j =1. Ω. n. ∫ ∑N w. N i w i dΩ + t t. i =1. Γq. i. i. dΓ (2.36). i =1. 1 0 0 Fazendo w i =   e w i =   , w j =   ( j ≠ i ) para i = 1, ..., n , obtém-se um sistema 0 1 0 de 2n equações e 2n incógnitas:. ∑ ∫ (L N ) D (L N )dΩ u = ∫ N b dΩ + ∫ N t dΓ , n. t. i. j =1. Ω. j. j. i. Ω. i. Γq. 20. (i = 1, ..., n). (2.37).

(21) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Denotando por B i o operador diferencial aplicado às funções de interpolação N i ,  ∂N i   ∂x Bi = L Ni =  0   ∂N  i  ∂y.  0   ∂N i  ∂y  ∂N i   ∂x . (2.38). as equações algébricas (2.37) são escritas na forma,. ∑ ∫ (B ) D (B )dΩ u = ∫ N b dΩ + ∫ N t dΓ n. t. i. j =1. j. j. Ω. i. i. Ω. (i = 1, ... , n). (2.39). Γq. ou equivalentemente, n. ∑k u ij. j. = fi. (i = 1, ... , n). (2.40). j =1. Os coeficientes constantes e os termos independentes são dados por: k ij =. ∫ (B ) D (B ) dΩ t. i. (2.41). j. Ω. ∫. ∫. f i = N i b dΩ + N i t dΓ Ω. (2.42). Γq. De forma mais compacta, pode-se escrever: KU = F. (2.43). onde, k 11  . K=  .  k n1. . . . .. . k 1n  . .  ; . .   . k nn .  u1   .  U= ;  .    u n . 21.  f1  . F=  .   f n . (2.44).

(22) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 2.6.1 Energia de Deformação Considerando uma aproximação uˆ = N U , com N = [N 1 .......N n ] , e as deformações. εˆ = B U , sendo B = [B1 .......B n ] , a energia de deformação da solução aproximada será. igual a: U=. 1 t 1 1 εˆ Dεˆ dΩ = U t B t DB dΩ U = U t K U 2Ω 2 Ω 2. ∫. ∫. (2.45). Do fato de a energia de deformação ser positiva decorre que a matriz K, além de simétrica, é sempre positiva definida, ou seja, para U ≠ 0 , Ut K U > 0. (2.46). 22.

(23) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 3 3.1. PROBLEMAS DE ELASTICIDADE TRIDIMENSIONAL Introdução. A formulação do problema de elasticidade plana apresentada no capítulo anterior é um caso particular do problema geral de elasticidade, que envolve as três dimensões x, y e z. Na elasticidade tridimensional, o campo de deslocamentos u = (u x , u y , u z ) é uma função vetorial de três componentes, e as tensões e deformações são representadas por seus tensores completos. 3.2. Formulação Clássica do Problema de Elasticidade Tridimensional. Dados b = (bx , b y , bz ) , t = (t x , t y , t z ) e u = (u x , u y , u z ) , determinar u = (u x , u y , u z ) tal que L tσ + b = 0. em Ω. σ = Dε. (equações de equilíbrio). (3.1). (relações constitutivas). (3.2). ε=L u. (deformações). Tn = t. em Γq. u = u em Γu. (3.3). (cond. de contorno naturais). (3.4). (cond. de contorno essenciais). (3.5). Enquanto que no problema plano o contorno é uma linha, no problema tridimensional o contorno Γ = Γu ∪ Γq é uma superfície, de normal externa n = (n x , n y ) . Os tensores completos de tensões e deformações são:. σx  T =  τ xy  τ xz . εx  ε =  γ xy  γ xz . τ xy σy τ yz. γ xy εy γ yz. τ xz   τ yz  ; σ z . σx  σ   y σ  σ= z  τ xy   τ yz     τ xz . (3.6). γ xz   γ yz  ; ε z .  εx  ε   y ε  ε= z  γ xy   γ yz     γ xz . (3.7). 23.

(24) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro As relações deformações/deslocamentos envolvem o operador diferencial L , com derivadas parciais em ralação a x, y e z: εx  ε   y ε  ε = Lu =  z  ;  γ xy   γ yz     γ xz . 0 0  ∂ ∂x  0 ∂ ∂y 0    0 0 ∂ ∂z  L =  0  ∂ ∂y ∂ ∂x  0 ∂ ∂z ∂ ∂y    0 ∂ ∂x   ∂ ∂z. (3.8). A matriz D (matriz constitutiva) das relações constitutivas é: 1 ν (1 − ν ) ν (1 − ν )  1 ν (1 − ν )   1  E (1 − ν )  D= (1 + ν )(1 − 2ν )   simétrica    . 3.3. 0 0 0 (1 − 2ν ) 2(1 − ν ). 0 0 0 0. (1 − 2ν ) 2(1 − ν ).      0  (3.9)   0  (1 − 2ν ) 2(1 − ν )  0 0 0. Formulação do MEF. Adotando as aproximações típicas do MEF,. uˆ x  uˆ  =  y uˆ z .  wˆ x   wˆ  =  y  wˆ z . n. ∑ j =1. n. ∑ j =1. N j  0 0  N j  0 0 . 0 Nj 0. 0 Nj 0. 0  u xj    0  u yj  ; N j  u zj . uˆ =. 0   wxj    0   w yj  ; N j   wzj . ˆ = w. n. ∑N u j. j. (3.10). j =1. n. ∑N w i. i. (3.11). i =1. e procedendo exatamente como no problema de elasticidade plana, chega-se às expressões dos coeficientes da matriz de rigidez e dos termos independentes:. 24.

(25) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro k ij =. ∫ (B ) D (B ) dΩ t. i. (3.12). j. Ω.  ∂N i  ∂x   0    0 B i = L N i =  ∂N  i  ∂y   0   ∂N i  ∂z . ∫. 0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂x ∂N i ∂z 0.  0   0   ∂N i   ∂z  0   ∂N i   ∂y  ∂N i  ∂x . (3.13). ∫. f i = N i b dΩ + N i t dΓ Ω. (3.14). Γq. 25.

(26) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 4 4.1. ELEMENTOS DE BARRA Barra Submetida a Esforços Axiais. O problema de determinar os deslocamentos de uma barra submetida a esforços axiais (Figura 4.1) é regido pela equação diferencial: EA. d 2u + f ( x ) = 0 em [0, L] dx 2. (4.1). u (0) = 0 (condição de contorno essencial)   du EA dx ( L) = R (condição de contorno natural). (4.2). sendo E o módulo de elasticidade do material e A a área da seção transversal da barra. A relação constitutiva envolve apenas as tensões e deformações longitudinais, σ x = Eε x e as deformações são: εx =. du dx. f(x). R. x, u. L Figura 4.1 – Barra submetida a esforços axiais.. A formulação variacional correspondente é: Dadas a força distribuída f (x ) e a força R aplicada na extremidade livre, determinar u ( x) ∈ U. ∀ w( x) ∈ W,. − EA. du du ( L) w( L) + EA (0) w(0) + EA dx dx. sendo U o espaço de funções admissíveis:. 26. ∫. L. 0. du dw dx = dx dx. ∫ f w dx L. 0. (4.3).

(27) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro  U =  u ( x) u (0) = 0, . du  ∈ L2  dx . (4.4). O espaço W é idêntico ao espaço U, ou seja, U ≡ W . Introduzindo as condições de du contorno EA ( L) = R e w(0) = 0 obtém-se: dx. ∫. EA. L. 0. ∫ f w dx + R w(L) L. du dw dx = dx dx. (4.5). 0. Chega-se ao mesmo resultado pelo princípio dos trabalhos virtuais. Considerando δu como sendo o campo de deslocamentos virtuais e δε as deformações virtuais, podese escrever, Trabalho das forças internas:. ∫. L. σ x δε x A dx = EA. 0. ∫ε L. 0. x. δε x dx. ∫ f δu dx + R δu(L) L. Trabalho das forças externas:. 0. Ou ainda, pelo princípio da energia potencial total mínima: π (u ) = U + W =. ∫. ∫ fu dx − Ru(L) dx − ∫ fδu dx − Rδu ( L) = 0. 1 L σ xε x A dx − 2 0. ∫. L. δπ (u ) = δU + δW = EA ε xδε x 0. L. (4.6). 0. L. (4.7). 0. Introduzindo as aproximações n. uˆ ( x) =. ∑ N ( x) u j. j. , uˆ( x) ∈ Uˆ (Uˆ ⊂ U ). (4.8). j =1. n. wˆ ( x ) =. ∑ N ( x) w , i. wˆ ( x ) ∈ Wˆ (Wˆ ⊂ W ). i. (4.9). i=1. obtém-se a formulação variacional discreta correspondente:. EA. ∫. L. 0. duˆ dwˆ dx = dx dx. ∫ f wˆ dx + R wˆ (L) L. (4.10). 0. Como as constantes wi são arbitrárias, fazendo wi = 1 e w j = 0 , para j ≠ i e i = 1, ... n , obtém-se um sistema de n equações algébricas e n incógnitas u j :. 27.

(28) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro   EA j =1  n. ∑ ∫. dN j dN i  dx  u j = dx dx . L. 0. ∫ f N dx + R N ( L) L. 0. i. i. (i = 1,..., n). (4.11). O sistema acima pode ser escrito na forma n. ∑K j =1. ij. u j = Fi. (i = 1,..., n). (4.12). onde K ij e Fi são iguais a K ij = EA Fi =. ∫. L. 0. ∫ fN L. 0. i. dN j dN i dx dx dx. (4.13). dx + R N i ( L). (4.14). Adotando um sistema local de coordenadas para cada elemento, no qual as coordenadas das extremidades são x'1 = 0 e x' 2 = l , como mostra a Figura 4.2, as funções de interpolação lineares no elemento são: N1 = − N2 =. x' +1 l. (4.15). x' l. (4.16). As deformações no elemento são dadas por: εˆx =. duˆ dN1 dN 2  dN = u1 + u2 =  1 dx' dx ' dx'  dx'. dN 2  dx' .  u1  e e u  = B u  2. (4.17). Desta forma, obtém-se a matriz de rigidez de elementos de treliça: l. ∫. K e = EA (B e )t B e dx' = 0. EA  1 − 1 l − 1 1. (4.18). u1. u2 x’ 1. l. 2. Figura 4.2 – Elemento de treliça.. 28.

(29) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 4.2. Barra Submetida a Esforços de Flexão. De acordo com a teoria de vigas, a deflexão de uma barra carregada transversalmente, como mostra a Figura 1.1, é representadas pela equação diferencial EI. d 4v = q( x) dx 4. em [0, l]. (4.19). onde E é o módulo de elasticidade, I é o momento de inércia referido ao eixo perpendicular ao plano x-y, v(x) são as deflexões e q(x ) é o carregamento transversal. V1, M1, V2 e M2 são condições de contorno em termos de esforços (momentos e cortantes) nas extremidades.. V2. V1 q(x). M2. M1. x. l. y, v Figura 4.3 – Barra submetida a esforços de flexão.. Assumem-se as seguintes hipóteses: i) As seções transversais da viga permanecem planas e normais às fibras longitudinais, o que equivale a desprezar as deformações por esforço cortante. ii) Os deslocamentos são suficientemente pequenos para que se possa considerar a curvatura k como sendo aproximadamente igual a k≈. dθ dx. (4.20). iii) O ângulo θ, que mede a inclinação da tangente à deformada da viga é aproximado por θ ≈ tanθ =. dv dx. (4.21). Momentos e esforços cortantes são dados pelas expressões:. 29.

(30) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro d 2v dx 2 dM d 3v V= = − EI 3 dx dx M = − EIk = − EI. (4.22) (4.23). A formulação variacional correspondente é EI. ∫. l d 4v = w dx q w dx 0 dx 4. l. ∫. 0. (4.24). Integrando por partes duas vezes obtém-se: l. l.  d 3 v   d 2 v dw   EI 3 w −  EI 2  + EI  dx  0  dx dx  0. ∫. l. 0. l d 2v d 2 w dx = q w dx 2 2 0 dx dx. ∫. (4.25). Expandindo a expressão acima: d 3v d 3v d 2v dw − + l l w EI w EI ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) (0) (0) + 3 3 2 dx dx dx dx l l d 2v dw d 2v d 2 w − EI 2 (l) = (l) + EI dx q w dx 2 0 0 dx dx dx dx 2 EI. ∫. ∫. (4.26). As derivadas de ordem 0 e 1 (deflexões e rotações) no contorno representam as condições de contorno essenciais enquanto que as derivadas de ordem 2 e 3 ( momentos e cortantes) representam as condições de contorno naturais do problema. Introduzindo estas condições de contorno obtém-se a forma final da formulação variacional: EI. ∫. l. 0. l d 2v d 2w dw dw dx = q w dx − V1 w(0) + V2 w(l) + M 1 (0) − M 2 (l ) 2 2 0 dx dx dx dx. ∫. (4.27). Conseqüentemente, para que haja convergência é necessário adotar aproximações de grau no mínimo igual a 2 e as derivadas de ordem 1 devem ser contínuas nas interfaces dos elementos, ou seja, os elementos devem ter continuidade C1. Para satisfazer estes requisitos pode-se empregar polinômios cúbicos de Hermite, definidos a partir dos valores nodais das deflexões e rotações, como aproximação para as deflexões transversais:. ∑ [N. vˆ =. j. j =1. n. wˆ =. ∑ [N i =1. v j  Hj   θ j . (4.28).  wi  Hi ]  i   w, x . (4.29). ]. n. i. 30.

(31) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro As aproximações v̂ e ŵ pertencem ao espaço de funções cujas derivadas de segunda ordem pertencem ao espaço L2 . Discretizando a viga com um único elemento típico, como ilustra a Figura 4.4, as aproximações acima assumem a forma: vˆ = N1v1 + H1θ1 + N 2v2 + H 2θ 2. (4.30). wˆ = N 1 w1 + H 1 w,1x + N 2 w2 + H 2 w,2x. (4.31). onde o índice , x denota derivação em x, e as funções de interpolação são: 3x 2 2x3 N1 = − 2 + 1 + 3 l l H1 =. x3 2x 2 + x − l l2. (4.33). 2 x 3 3x 2 + 2 l3 l. (4.34). N2 = −. H2 =. (4.32). x3 x2 − l l2. (4.35). Substituindo estas aproximações na formulação variacional obtém-se a sua forma discreta: l d 2 vˆ d 2 wˆ dx q wˆ dx − V (0) wˆ (0) + V (l) wˆ (l) + = 2 0 0 dx dx 2 dwˆ dwˆ (0) − M (l) (l ) + M (0) dx dx. EI. ∫. l. ∫. y. θ1. θ2. 1 v1. 2. l. x. v2. Figura 4.4 – Barra submetida a esforços de flexão.. 31. (4.36).

(32) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Variando ŵ chega-se ao sistema de equações:  v1  θ  l e t EI (B ) B dx  1  = 0 v2    θ 2 . ∫.  − V1   qN 1      l qH  1  dx +  M 1   V2  0  qN  2     − M 2  qH 2 . ∫. (4.37). onde o operador B e é  d 2 N1 B = 2  dx e. d 2 H1 dx 2. d 2 N2 dx 2. d 2H2   dx 2 . (4.38). Assumindo uma carga q constante e integrando as matrizes acima obtém-se o equilíbrio no elemento: K eUe = Fe. (4.39). onde  12  l3  6  2 K e = EI  l  12 − l 3  6  2  l U e = [v1 θ 1  ql F =  −V 2 e. 6 l2 4 l 6 − 2 l 2 l. 12 l3 6 − 2 l 12 l3 6 − 2 l −. 6 l2  2  l 6 − 2 l 4  l. (4.40). v2 θ 2 ]. t. ql 2 + M1 12. (4.41)  ql 2 − M2 12 . ql + V2 2. t. (4.42). A matriz de rigidez em (4.40) é exatamente aquela que se obtém através do método dos deslocamentos. Deve-se ainda observar que a curvatura k desempenha o papel das deformações, sendo igual a: k = BeUe. (4.43). A energia de deformação na viga é U=. 1 l EI l 2 − M k dx = k dx 2 0 2 0. ∫. ∫. (4.44). 32.

(33) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro e a primeira variação de U tem a forma:. ∫. l. δU = EI k δk dx. (4.45). 0. Comparando a expressão acima com (4.7) pode-se notar a analogia entre a curvatura k e as deformações longitudinais no problema de barras submetidas a esforços axiais.. 33.

(34) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 5 5.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL Introdução. Problemas de potencial tratam do fluxo difusivo de uma quantidade física (massa, calor, etc.) e têm muitas aplicações na engenharia, como por exemplo, problemas de condução de calor, escoamento em meios porosos, distribuição de potencial elétrico ou eletromagnético, torção de barras prismáticas e outras. O fluxo difusivo, descrito pelo campo vetorial q( x, y ) = (q x , q y ) , é dado pelo produto do coeficiente de difusão k pelo gradiente da função potencial φ( x, y ) : q = − k∇φ. (5.1). Sendo Q( x, y ) a fonte ou sumidouro da quantidade envolvida, o balanço de fluxos resulta na igualdade: ∇.q = Q( x, y ). (5.2). Substituindo (5.1) na expressão acima obtém-se a equação de Poisson (ou simplesmente equação de difusão) ∇.(k∇φ) + Q = 0. (5.3). que deve ser satisfeita em todo o domínio.. 5.2. Formulação Clássica. Dados k ( x, y ) , Q( x, y ) , φ e q , determinar a função potencial φ( x, y ) tal que ∇.(k∇φ) + Q = 0. em Ω. (5.4). φ = φ em Γφ. (5.5). q .n = q em Γq. (5.6). onde n = (n x , n y ) representa a normal externa ao contorno Γ (Figura 5.1).. 34.

(35) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Γq. q Γφ. n. y. Ω. Γ = Γφ ∪ Γq. x Figura 5.1. 5.3. Formulação Variacional. Dados k , Q , φ e q , determinar a função potencial φ ∈ Φ ∀w ∈ W ,. ∫ ∇w.(k∇φ) dΩ = ∫ Q w dΩ − ∫ q w dΓ Ω. Ω. (5.7). Γq.  ∂φ ∂φ , ∈ L2  ∂x ∂y .  Φ = φ( x, y ) φ = φ em Γφ , . (5.8).  ∂w ∂w , ∈ L2  ∂x ∂y .  W = w( x, y ) w = 0 em Γφ , . (5.9). Verificação:. ∫ (∇.(k∇φ) + Q) w dΩ = 0 ,. ∀w ∈ W. (5.10). Ω. ∫ (∇.(k∇φ) + Q) w dΩ = ∫ (∇.(k∇φ) w + Q w) dΩ = Ω. Ω. ∫. ∫. ∫. − ∇w.(k∇φ) dΩ + w (k∇φ).n dΓ + Q w dΩ = 0 Ω. Γ. ,. ∀w ∈ W. (5.11). Ω. Introduzindo as condições de contorno:. ∫ ∇w.(k∇φ) dΩ = ∫ Q w dΩ − ∫ q w dΓ , ∀w ∈ W Ω. Ω. Γq. 35. (5.12).

(36) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 5.4. Formulação Variacional Discreta. Aproximações:. n. φˆ =. ∑N φ j. (5.13). j. j =1. n. wˆ =. ∑N w i. (5.14). i. i =1. ∫ ∇wˆ.(k∇φˆ ) dΩ = ∫ Q wˆ dΩ − ∫ q wˆ dΓ Ω. Ω. i. j =1. j. (5.15). Γq. n. ∑ ∫ ∇N .(k∇N. ∀wˆ ∈ Wˆ ⊂ W. ,. ∫. ) dΩ φ j = Q N i dΩ −. Ω. Ω. ∫ q N dΓ i. ,. para i = 1, ..., n (5.16). Γq. Sistema de equações resultante: n. ∑k. ij. φ j = fi ,. i = 1, ..., n. (5.17). ∂N i ∂N j   dΩ ∂y ∂y . (5.18). j =1. k ij =.  ∂N i ∂N j. ∫ k  ∂x Ω. ∫. ∂x. f i = Q N i dΩ − Ω. +. ∫ q N dΓ. (5.19). i. Γq. 36.

(37) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 6 6.1. ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS Integração no Domínio Real. Uma aproximação característica do MEF tem a forma n. u h ( x) = ∑ N j u j. (6.1). j =1. onde N j (x) é a função de interpolação global do nó j e u j representa os valores nodais da aproximação (ver exemplo da Figura 6.1).. 1, x = x j N j ( x) =  0, x = x i , i ≠ j. Nj 1. 1 x=0. j. n. x. x=L. Figura 6.1 – Funções de interpolação lineares em uma dimensão.. Para calcular os coeficientes da matriz K e os termos independentes é necessário efetuar integrações no interior do domínio e no seu contorno. Estas integrais típicas, resultantes da discretização por elementos finitos, tem a forma. ∫ B DB dΩ (coeficientes da matriz K). (6.2). ∫ b N dΩ + ∫ t N dΓ (termos independentes). (6.3). t. Ω. t. t. i. Ω. i. Γq. e são calculadas a nível de elemento. Estas integrais podem ser efetuadas diretamente no domínio real do problema. Na prática, no entanto, os elementos são distorcidos ou se encontram inclinados em relação aos eixos de coordenadas, o que torna complicado sistematizar o cálculo das integrais. Este é o motivo pelo qual o uso de elementos isoparamétricos tornou-se padrão. A idéia principal deste tipo de elemento é mapear a geometria em um sistema local de coordenadas naturais, onde as integrais podem ser facilmente efetuadas, analítica ou numericamente. Para isto, a solução aproximada e suas derivadas devem ser escritas em função dessas coordenadas naturais. O termo isoparamétrico (parâmetros iguais) vem do fato de que o mapeamento da geometria é 37.

(38) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro feito através do uso dos mesmos parâmetros utilizados na interpolação da solução aproximada. Deve-se observar que embora os parâmetros sejam os mesmos, não há nenhuma restrição quanto ao uso de interpolações diferentes para a geometria e para a aproximação da solução. 6.2. Mapeamento Isoparamétrico. O mapeamento isoparamétrico consiste em mapear os elementos em um domínio regular de coordenadas naturais, sendo o mapeamento dado por funções polinomiais idênticas àquelas utilizadas na aproximação da solução (mesma parametrização para geometria e aproximação). Por exemplo, para um elemento quadrilátero definido no plano x-y (Figura 6.2), a aproximação uˆ ( x, y ) escrita em termos de coordenadas naturais (ξ ,η ) é dada pela expressão uˆ (ξ, η) =. n =4. ∑N. j. (ξ, η) u j. (6.4). j =1. onde N j (ξ,η) é a função de interpolação local (de elemento) do nó j. A geometria é descrita por: x(ξ, η) =. n=4. ∑N. j. (ξ, η) x j. (6.5). j. (ξ, η) y j. (6.6). j =1. y (ξ, η) =. n= 4. ∑N j =1. sendo ( x j , y j ) as coordenadas dos nós do elemento.. y η 2. 1. x = x(ξ , η ) y = y(ξ , η ). ξ. ⇔ x. 3. 4. Figura 6.2 – Parametrização de um elemento quadrilátero.. Com a aproximação escrita em termos de coordenadas naturais, os integrandos em (6.2) e (6.3) passam a ser funções de (ξ, η) : 38.

(39) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro. ∫ B (ξ, η) D B(ξ, η) dΩ t. (6.7). Ωe. ∫ b N (ξ, η) dΩ + ∫ t N (ξ, η) dΓ t. t. i. (6.8). i. Ω. Γq. Para que as integrais acima possam ser calculadas no domínio de coordenadas naturais, é necessário mudar o domínio e os limites de integração. Isto é feito através da matriz Jacobiana J de transformação de coordenadas, que relaciona um elemento infinitesimal no domínio real a um elemento infinitesimal no domínio de coordenadas naturais: dΩ = det J dξdη. (6.9). Assim, uma integral de elemento pode ser efetuada utilizando-se o domínio de coordenadas naturais: η=1. ξ =1. ∫ B (ξ, η) D B(ξ, η) dΩ = ∫ ∫ B (ξ, η) D B(ξ, η) det J dξdη t. t. Ωe. (6.10). η = −1 ξ = −1. 6.2.1 Jacobiano da Transformação de Coordenadas A transformação de coordenadas que mapeia um elemento bidimensional em um domínio regular de coordenadas naturais pode ser traduzida pelas relações:  x = f1 (ξ, η) ;   y = f 2 (ξ, η). ξ = g1 ( x, y )  η = g 2 ( x, y ). (6.11). Usando a Regra da Cadeia, para uma função f ( x, y ) pode-se escrever: ∂f ( x, y ) ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂ξ. (6.12). ∂f ( x, y ) ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η. (6.13). Matricialmente,  ∂   ∂x  ∂ξ   ∂ξ  =  ∂   ∂x  ∂η   ∂η. ∂y  ∂ξ   ∂y  ∂η . ∂  ∂x  ∂    ∂y . (6.14). 39.

(40) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro  ∂x  ∂ξ J=   ∂x  ∂η. ∂y  ∂ξ   ∂y  ∂η . (Jacobiano). (6.15). Conseqüentemente, as derivadas em relação a x e y de uma função f (ξ, η) são dadas por: ∂  ∂x  −1 ∂=J    ∂y . ∂   ∂ξ    ∂   ∂η . (6.16). Exercícios resolvidos: 1) Seja uma área infinitesimal dΩ definida no plano x-y, obtida a partir do mapeamento de uma região regular do plano ξ-η, como mostra a Figura 6.3. Demonstrar que dΩ = det J dξdη .. y. η. S2 (η) dS1. dη. S1 (ξ) dξ. dS2. ξ. x Figura 6.3. As curvas S1 e S2 que representam os lados dS1 e dS2 da região dΩ podem ser escritas na forma paramétrica: Curva S1 :. Curva S2:. x = x (ξ) y = y (ξ). x = x(η) y = y (η). e os vetores tangentes a estas curvas são iguais a: dS1 ∂x ∂y = i+ j dξ ∂ξ ∂ξ. dS 2 ∂x ∂y = i+ j dη ∂η ∂η. 40.

(41) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Considerando que a área dΩ seja, no limite, igual a área do paralelogramo cujos lados são os vetores dS1 e dS2, pode-se escrever que: dΩ = dS1 × dS 2 dS1 dS 2 1 1 × = dS1 × dS 2 = dΩ dξ dη dξdη dξ dη j k  i dS1 dS 2  dΩ = dξdη = det ∂x / ∂ξ ∂y / ∂ξ 0  × dξ dη ∂x / ∂η ∂y / ∂η 0   ∂x  ∂ξ dΩ = det   ∂x  ∂η. dξdη. ∂y  ∂ξ   dξdη= det J dξdη ∂y  ∂η . Conseqüentemente, tem-se a seguinte relação envolvendo as integrais de área no plano x-y e no plano ξ-η:. ∫. ∫. A = dΩ = det J dξdη. 2) Determinar em que condições o determinante da matriz Jacobiana do elemento quadrilátero bilinear (Figura 6.4) é constante. η 4. η= 1. 3. η= 0. ξ. η = -1 1 ξ = -1. 2 ξ=0. ξ=1. Figura 6.4. Funções de interpolação: Ni =. 1 (1 + ξ i ξ)(1 + ηi η) 4. 41.

(42) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro Geometria: x(ξ, η) =. n= 4. ∑N. j. (ξ, η) x j. j. (ξ, η) y j. j =1. y (ξ, η) =. n= 4. ∑N j =1. Matriz Jacobiana:  ∂x  ∂ξ J =  ∂x  ∂η. ∂y  ∂ξ  ; ∂y  ∂η . J −1.  ∂y 1  ∂η =  det J − ∂x  ∂η. ∂y  ∂ξ   ∂x  ∂ξ . −. Determinante da matriz Jacobiana: det J =. ∂x ∂y ∂y ∂x − ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η. det J =. 1 ( N1 ∆ 1 + N 2 ∆ 2 + N 3 ∆ 3 + N 4 ∆ 4 ) 4. ∆1 = x 21 y 41 − y 21 x 41 ∆ 2 = x 21 y 32 − y 21 x 32 ∆ 3 = x 34 y 32 − y 34 x32 ∆ 4 = x 34 y 41 − y 34 x 41 xij = xi − x j ; y ij = y i − y j. Condição para que det J seja constante no elemento: ∆ 1 =∆ 2 =∆ 3 =∆ 4 x 21 y 41 − y 21 x 41 = x 21 y 32 − y 21 x32 ⇒. ⇒. x21 y 41 − y 21 x 41 = x34 y 41 − y34 x41.  y 41 = y 32   x41 = x32  x = x34 ⇒  21  y 21 = y 34. ⇒ elemento deve ser um paralelogramo.. 42.

(43) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 3) Determinar a matriz de rigidez de um elemento de barra com 1 grau de liberdade (deslocamento axial). N2. N1. ξ. x, u 1. L. 2. 1. 2. Figura 6.5. Funções de interpolação lineares: 1 (1 − ξ ) ; 2. N1 =. N2 =. 1 (1 + ξ ) 2. Geometria: x(ξ) = N 1 x1 + N 2 x 2 Deslocamento axial: u (ξ) = N 1u1 + N 2 u 2 Matriz de rigidez: x = x2. ∫B. K=. x = x2 t. E B Adx = AE. x = x1. ∫B. t. B dx. x = x1. A – área da seção transversal E – módulo de elasticidade Deformação: ε=. dN 2 dξ du du dξ dN 1 dξ dξ  dN 1 = = u1 + u2 = dx dξ dx dξ dx dξ dx dx  dξ. dx x 2 − x1 L L = = ⇒ dx = dξ ; dξ 2 2 2. dξ 2 = dx L. Operador B: B=. dξ  dN 1 dx  dξ ξ =1. K = AE. ∫. Bt B. ξ = −1. K=. dN 2  1 = [− 1 1] dξ  L L dξ 2. ξ =1  1 − 1 1 AE AE  1 − 1 dξ =   ∫ L ξ = −1  − 1 1  2 L − 1 1 . 43. dN 2  dξ .  u1  u   2.

(44) Introdução ao Método dos Elementos Finitos – Programa de Engenharia Civil, COPPE / UFRJ – Notas de aula do Prof. Fernando L. B. Ribeiro 6.3. Mapeamento: Generalização. De modo geral os elementos finitos podem ser de uma, duas, ou três dimensões, conforme o número de parâmetros necessários para descrevê-los (Figura 6.6 a Figura 6.8). Podem também ser lineares ou de grau superior, dependendo do grau p de suas equações paramétricas. Freqüentemente utiliza-se o termo wire-frame para designar a representação de estruturas por meio de elementos unidimensionais (ou uniaxiais), que são segmentos de reta (lineares) ou segmentos de curva (p > 1). Os elementos bidimensionais são superfícies curvas, quando o grau dos polinômios em ξ e η é maior do que 1, ou faces planas ou polígonos, quando as equações paramétricas são lineares. O mesmo raciocínio é válido para volumes, discretizados através de elementos sólidos. Em princípio, qualquer tipo de mapeamento ou parametrização pode ser utilizado para descrever a geometria dos elementos. No entanto, com o objetivo de facilitar o cálculo das integrais adota-se como padrão no MEF o mapeamento isoparamétrico, que é um caso particular de mapeamento em que a parametrização da geometria é idêntica àquela utilizada na aproximação da solução.. x = x(ξ ) y = y(ξ ) z = z(ξ ). z. ξ. ⇔. y. x Figura 6.6 – Elementos uniaxiais.. z. x = x(ξ , η ) y = y(ξ , η ) z = z(ξ , η ) y. x. ⇔. Figura 6.7 – Elementos de superfície.. 44. η. ξ.