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MATEMÁTICAS II Examen del 2/09/2005

Solución

Importante

Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejan en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas del test equivalen a la evaluación continua.

Modelo

Pregunta A B C D

1 b c b b

2 c a a a

3 b a b a

4 a b c b

5 c c c b

6 a b b a

7 a b b b

8 b c b a

9 a c c b

10 c c a a

11 b a a b

12 b a a b

13 b c a a

14 c a a b

MATEMÁTICAS II 2 / 09 / 2005 Tipo A

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria)

Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

5. La matriz

Estas 4 preguntas corresponden a la evaluación continua

1. Dada la ecuación − + con y

entonces:

0, Ax bx cG G G+ =G

,

nxn

A b∈\, _{x c}G G, _∈\n, _0,

n

A bI− ≠

. c x A b = − G G

(

)

1

.

n xG= A bI− − cG

(

)

1

.

n x c A bIG=G − −

(

24

)

3 10 4 2 x y x y x y λ λ + =   − + _{= }  + _{= } 4 λ = 2 λ=

{ }

2, 4

λ≠

0 1 1

1 0 3

1 3 0

A −     =   − −    1 0 λ = 1 2 α = 1 1

λ = −

1 2

α =

2 2 2

( , , ) 2

f x y z = +x y yz x+ − −y −z 1 4 2

, , 2 3 3

 

1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 3 0 0 1 1 A b −       =       :

(a) Es invertible si b=0.

(b) Es invertible si b≠0.

(c) En ningún caso es invertible. (a)

(b) 6. Sea A_{3 3x} una matriz antisimétrica

(

_At = −A

)

. _{Entonces A}4_:

(c)

(a) Es simétrica. 2. Dado el sistema (b) Es antisimétrica.

(c) No es simétrica ni antisimétrica. ,

7. Sea la matriz A_{3 3x} antisimétrica

(

_At _{= −A}

)

. _{Entonces, el sistema Ax b}G₌ G_,

3

, :

x bG G∈\ entonces:

(a) Si el sistema es compatible

indeterminado. _{(a) No es compatible determinado.} (b) Si el sistema es incompatible. _{(b) No es compatible indeterminado.} (c) Si el sistema es

incompatible.

(c) No es incompatible.

8. Un conjunto de vectores básicos asociado al sistema homogéneo

es:

0, , x y+ = z∈\

3. Dada la matriz , se

cumple que:

(a)

{

(

1, 1,0 , 1,0,0 .−

) (

)

}

(b)

{

(

1, 1,0 , 0,0,1 .−

) (

)

}

(c)

{

(

1, 1,0 , 1,0,1 .−

) (

)

}

(a) A es diagonalizable, y es un valor propio de multiplicidad .

9. Sólo una de las siguientes matrices no es semejante a ninguna de las otras dos: (b) A no es diagonalizable.

(c) A es diagonalizable, y es un valor propio de multiplicidad .

(a)

1 1 0

1 1 0

0 1 1

−           . 4. La función

(b)

2 0 0

0 2 0

0 0 4

−        −    . tiene en el punto _ _ un:

(a) Máximo local. (b) Mínimo local.

(c)

1 3 0

3 1 0

3 1 2

10. Si λ₁=3 es valor propio de multiplicidad algebraica α₁ =4 de una matriz A_{6 6×} , diagonalizable, entonces el sistema homogéneo (A−3I₆)xG=0G cumple que: (a) Es compatible determinado.

(b) Es compatible indeterminado y sus soluciones dependen de 2 parámetros. (c) Es compatible indeterminado y sus

soluciones dependen de 4 parámetros.

11. Si _{Q x}( )G _{=x Ax}G Gt es indefinida con _{A ≠0,} entonces _{Q x( )}G _{=x A x}Gt 4G es:

(a) Definida negativa. (b) Definida positiva. (c) Indefinida.

12. El punto crítico 3 4, 5 5

 



  del problema

1 2

2 2

1 2

opt. 4 3

s.a 1

x x

x x

− −

+ =

es un:

(a) Máximo local. (b) Mínimo local. (c) Punto de silla.

13. La solución óptima del problema

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 20 30 16

s.a 5 6 2 6

3 2 4 , , 0

3

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* * *

)

1 2 3

2

, , 0, ,1

3 x x x _{= }

 .



 Entonces, la solución óptima del problema dual es:

(a)

(

* *

)

1 2

20

, ,

3 y y _{= } _

 4 .

6 .

2 .

3

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 10 6 4

s.a 7

2 2 10

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* *

)

( )

1, 2 4,

y y = 0 . Entonces, el valor óptimo del problema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 10 6 4

s.a 7

2 2 10

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

k

+ + ≥ +

≥

siendo k >0, es: (a) 28 4 .+ k

(b) 28 4− k.

(c) 28.

15. El problema

1 2

1 2

2

1 2

max

s.a 2

4 , 0 x x x x x x x + − + ≤ ≤ ≥

(a) Tiene solución única

(

* *

)

( )

1, 2 2,

x x = 4 . (b) No tiene solución, es no acotado.

(c) Tiene solución múltiple y una de ellas es

(

* *

)

( )

1, 2 2,

x x = 4 .

(b)

(

* *

)

( )

1, 2 2,

y y =

(c)

(

* *

)

( )

1, 2 3,

y y =

MATEMÁTICAS II 2 / 09 / 2005 Tipo B

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria)

Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales Estas 4 preguntas corresponden a la

evaluación continua 5. La matriz _{1 1 1 0}

1 2 3 1

0 1 2 1

1 0 0

A

a

 

 

 

=

 − − − 

 

 

: 1. Dada la ecuación Bx ax cG+ G G− =0,G con

,

nxn

B a∈\, x cG G, ∈_\n, y _{+ ≠0,}

n

B aI

entonces:

(a) x c . B a

= +

G G

G G

(a) Es invertible si a=0.

(b) Es invertible si a≠0.

(c) La matriz en ningún caso es invertible. A

(b) x c B aI=

(

+ _n

)

−1. (c) xG=

(

B aI+ _n

)

−1cG.

6. Sea A_{3 3x} una matriz antisimétrica

(

_At = −A

)

. _{Entonces A}3_:

2. Dado el sistema

(a) Es simétrica.

(

)

2

3 1 2 4

2 2 0

x y

x y

x y

λ

λ

+ = −  

+ − _{= }



+ _{= }

, (b) Es antisimétrica.

(c) No es simétrica ni antisimétrica.

entonces: 7. Sea la matriz A_{3 3x} antisimétrica

(

_At _{= −A}

)

. _{Entonces el sistema Ax}G_=0,G

3

,0

xG G∈\ es: (a) Si λ≠ −

{

1,0

}

el sistema es

incompatible.

(b) Si λ= −1 el sistema es compatible

indeterminado. (a) Compatible determinado. (b) Compatible indeterminado. (c) Si λ=0 el sistema es incompatible.

(c) Incompatible.

3. Dada la matriz

0 2 1

2 0 1

1 1 0

A

 

 

= −_ − _

− 

 

, se

cumple que:

8. Un conjunto de vectores básicos asociado al sistema homogéneo

es:

2x y+ =0, z∈\,

(a)

{

(

1, 2,0 , 1, 1,1 .−

) (

−

)

}

(a) A no es diagonalizable. _(b)

_{

₍

_{2,1,0 , 0,0,1 .}

_{) (}

₎

_}

(b) A es diagonalizable, y λ₁=0 es un

valor propio de multiplicidad α₁=2. (c)

{

(

1, 2,0 , 0,0,1 .−

) (

)

}

(c) A es diagonalizable porque sus valores

propios son reales y distintos. 9. Sólo una de las siguientes matrices no es semejante a ninguna de las otras dos:

(a)

8 0 0

0 6 0

0 0 4

 

 

 

 − 

 

. 4. La función

2 2 2

( , , ) 2

f x y z =x +y +z −xy z− − y

tiene en el punto 2 4 1, , 3 3 2

 

 

  un:

(b)

1 5 6

5 1 6

0 0 8

 

 ₋ 

 

 

 

. (a) Máximo local.

14. La solución óptima del problema dual de

(c) .

1 1 0

1 1 1

0 0 1

 

₋ 

 

 

 

10. Si λ₁ =5

n

×

(A−5I_n G

es valor propio de una matriz , entonces el sistema homogéneo

cumple que:

n A

)x=0G

G G

(a) Es compatible determinado si A no es diagonalizable.

(b) Es compatible determinado si A es diagonalizable.

(c) Es compatible indeterminado.

11. Si es definida negativa, entonces es:

( ) t Q xG =x AxG

( )

Q xG =G_{x A x}t 3

(a) Definida negativa. (b) Definida positiva. (c) Indefinida.

12. El punto crítico 4, 3 5 5

− −

 



 _ del problema

1 2

2 2

1 2

opt. 3 4

s.a 1

x x

x x

− −

+ =

es un:

(a) Máximo local. (b) Mínimo local. (c) Punto de silla.

13. La solución óptima del problema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 50 25 20 s.a 16 4 8 640 30 5 10 900 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≤

+ + ≤

≥

es Entonces, la

solución óptima del problema dual es:

(

* * *

)

(

1, ,2 3 0,160,0 .

x x x =

)

(a)

(

* *

)

1 2

40

, 0,

9 y y _{= } _

 .

5 . (b)

(

* *

)

(

)

1, 2 4, 2

y y =

(c)

(

* *

)

1 2

25

, ,

4 y y _{= } _

 0 .

3

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 70 120 50

s.a 2 3 4

3 2 3 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* *

)

(

)

1, 2 30,1

y y = 0 .

3

Entonces, el valor óptimo del problema

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 70 120 50

s.a 2 3 4

3 2 3 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

q

+ + ≥ +

+ + ≥

≥

siendo pequeño, es: q>0

(a) 150 30 .+ q (b) 150 30 .− q (c) 150.

15. El problema

1 2

1 2

1

1 2

min

s.a 5

7 , 0 x x x x x x x + − ≥ ≥ ≥

(a) Tiene solución única

(

* *

)

( )

1, 2 7,

MATEMÁTICAS II 2 / 09 / 2005 Tipo C

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria)

Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales Estas 4 preguntas corresponden a la

evaluación continua

1. La función

2 2 2

( , , ) 2

f x y z = +x y yz x+ − −y −z 1 4 2

, , 2 3 3

 

0, Ax bx cG G G+ =G

,

nxn

A b∈\, _{x c}G G, _∈\n, _0,

n

A bI− ≠

(

)

1

.

n xG= A bI− − cG

. c x A b = − G G

(

)

1

.

n x c A bIG=G − −

(

)

2 1

4 3 0

4 2 x y x y x y λ λ + =   − + _{= }  + _{= } 4 λ =

{ }

2, 4 λ≠

2 λ=

0 1 1

1 0 3

1 3 0

A −     =   − −    1 1

λ = −

1 2 α = 1 0 λ = 1 2 α =

5. Un conjunto de vectores básicos asociado al sistema homogéneo

es:

0, , x y+ = z∈\

(a)

{

(

1, 1,0 , 1,0,1 .−

) (

)

}

(b)

{

(

1, 1,0 , 1,0,0 .−

) (

)

}

tiene en el punto _ _ un: _(c)

_{

₍

_{1, 1,0 , 0,0,1 .−}

_{) (}

₎

_}

(a) Punto de silla.

6. Sólo una de las siguientes matrices no es semejante a ninguna de las otras dos: (b) Máximo local.

(c) Mínimo local.

(a)

1 3 0

3 1 0

3 1 2

−    ₋    − − −    . 2. Dada la ecuación − + con

y entonces:

(b)

1 1 0

1 1 0

0 1 1

−           . (a) (b) (c)

2 0 0

0 2 0

0 0 4

−        −    . (c)

3. Dado el sistema

7. Sea A_{3 3x} una matriz antisimétrica

(

_At _{= −A}

)

. _{Entonces A}4_:

,

(a) No es simétrica ni antisimétrica. entonces:

(b) Es simétrica. (a) Si el sistema es compatible

indeterminado. (c) Es antisimétrica. (b) Si el sistema es

incompatible. 8. La matriz _{1 2 1 1}

0 1 1 2 1 2 3 0 0 1 1 A b −       =       : (c) Si el sistema es incompatible.

4. Dada la matriz , se

cumple que:

(a) Es invertible si b=0.

(b) En ningún caso es invertible. (c) Es invertible si b≠0.

(a) A es diagonalizable, y es un valor propio de multiplicidad . (b) A es diagonalizable, y es un

14. La solución óptima del problema 9. Sea la matriz antisimétrica

Entonces, el sistema

3 3x A

(

_At _{= −A}

)

. _{Ax b}G₌ G_,

3

, :

x bG G∈\

(a) No es compatible indeterminado. (b) No es incompatible.

(c) No es compatible determinado.

10. Si _{Q x}( )G _{=x Ax}G Gt es indefinida con _{A ≠0,} entonces _{Q x( )}G _{=x A x}Gt 4G es:

(a) Definida positiva. (b) Definida negativa. (c) Indefinida.

11. Si λ₁=3 es valor propio de multiplicidad algebraica α₁ =4 de una matriz A_{6 6×} , diagonalizable, entonces el sistema homogéneo (A−3I₆)xG=0G cumple que: (a) Es compatible indeterminado y sus

soluciones dependen de 4 parámetros. (b) Es compatible determinado.

(c) Es compatible indeterminado y sus soluciones dependen de 2 parámetros.

12. El punto crítico 3 4, 5 5

 



  del problema

1 2

2 2

1 2

opt. 4 3

s.a 1

x x

x x

− −

+ =

es un:

(a) Mínimo local. (b) Punto de silla. (c) Máximo local.

13. El problema

1 2

1 2

2

1 2

max

s.a 2

4 , 0 x x x x x x x + − + ≤ ≤ ≥

(a) No tiene solución, es no acotado. (b) Tiene solución múltiple y una de ellas

es

(

* *

)

( )

1, 2 2,

x x = 4 .

(c) Tiene solución única

(

* *

)

( )

1, 2 2,

x x = 4 .

3

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 20 30 16

s.a 5 6 2 6

3 2 4 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* * *

)

1 2 3

2

, , 0, ,1

3 x x x _{= }

 .



 Entonces, la solución óptima del problema dual es: (a)

(

* *

)

( )

1, 2 2,

y y = 6 .

(b)

(

* *

)

( )

1, 2 3,

y y = 2 .

(c)

(

* *

)

1 2

20

, ,

3 y y _{= } _

 4 .

3

15. La solución óptima del problema dual de

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 10 6 4

s.a 7

2 2 10

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* *

)

( )

1, 2 4,

y y = 0 . Entonces, el valor óptimo del problema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 10 6 4

s.a 7

2 2 10

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

k

+ + ≥ +

≥

siendo k >0, es: (a) 28 4 .+ k

(b) 28.

MATEMÁTICAS II 2 / 09 / 2005 Tipo D

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de las Palmas de Gran Canaria)

Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales Estas 4 preguntas corresponden a la

evaluación continua 5. Sólo una de las siguientes matrices no es semejante a ninguna de las otras dos:

(a)

1 5 6

5 1 6

0 0 8

 

 ₋ 

 

 

 

. 1. Dada la matriz

0 2 1

2 0 1

1 1 0

A

 

 

= −_ − _

− 

 

, se

cumple que:

(b)

1 1 0

1 1 1

0 0 1

 

₋ 

 

 

 

. (a) A es diagonalizable porque sus valores

propios son reales y distintos. (b) A no es diagonalizable.

(c)

8 0 0

0 6 0

0 0 4

 

 

 

 − 

 

. (c) A es diagonalizable, y λ₁=0 es un

valor propio de multiplicidad α₁=2.

2. La función

6. Un conjunto de vectores básicos asociado al sistema homogéneo

es:

2x y+ =0, z∈\,

2 2 2

( , , ) 2

f x y z =x +y +z −xy z− − y

tiene en el punto 2 4 1, , 3 3 2

 

 

  un:

(a)

{

(

1, 2,0 , 0,0,1 .−

) (

)

}

(a) Mínimo local.

(b)

{

(

1, 2,0 , 1, 1,1 .−

) (

−

)

}

(b) Punto de silla.

(c)

{

(

2,1,0 , 0,0,1 .

) (

)

}

(c) Máximo local.

3. Dada la ecuación Bx ax cG+ G G− =0,G con ,

nxn

B a∈\, x cG G, ∈_\n, y _{+ ≠0,}

n

B aI

entonces:

7. La matriz

1 1 1 0

1 2 3 1

0 1 2 1

1 0 0

A

a

 

 

 

=

 − − − 

 

 

: (a) xG=

(

B aI+ _n

)

−1cG.

G (b) x c .

B a

= +

G

(a) Es invertible si a≠0.

(c) x c B aIG= G

(

+ _n

)

−1. (b) La matriz A en ningún caso es invertible.

(c) Es invertible si a=0.

4. Dado el sistema

(

)

2

3 1 2 4

2 2 0

x y

x y

x y

λ

λ + = − 



+ − _{= }



+ _{= }

,

8. Sea A_{3 3x} una matriz antisimétrica

(

_At = −A

)

. _{Entonces A}3_:

(a) Es antisimétrica.

entonces: _{(b) Es simétrica.}

(a) Si λ= −1 el sistema es compatible

indeterminado. (c) No es simétrica ni antisimétrica. (b) Si λ≠ −

{

1,0

}

el sistema es

incompatible.

14. La solución óptima del problema 9. El punto crítico 4, 3

5 5

− −

 



  del problema

1 2

2 2

1 2

opt. 3 4

s.a 1

x x

x x

− −

+ =

es un:

(a) Punto de silla. (b) Máximo local. (c) Mínimo local.

10. Sea la matriz antisimétrica Entonces el sistema

3 3x A

(

_At _{= −A}

)

. _AxG_=0,G es:

3

,0 x G∈ G

\

(a) Compatible indeterminado. (b) Compatible determinado. (c) Incompatible.

11. Si λ₁ =5

n

×

(A−5I_n G

es valor propio de una matriz , entonces el sistema homogéneo

cumple que:

n A

)x=0G

G G

(a) Es compatible determinado si A es diagonalizable.

(b) Es compatible indeterminado.

(c) Es compatible determinado si A no es diagonalizable.

12. Si es definida negativa, entonces es:

( ) t Q xG =x AxG

( )

Q xG =G_{x A x}t 3

(a) Definida positiva. (b) Definida negativa. (c) Indefinida.

13. El problema

1 2

1 2

1

1 2

min

s.a 5

7 , 0 x x x x x x x + − ≥ ≥ ≥

(a) Tiene solución única

(

* *

)

( )

1, 2 7,

x x = 0 . (b) Es no factible.

(c) No tiene solución, es no acotado.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 50 25 20 s.a 16 4 8 640

30 5 10 900 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≤

+ + ≤

≥

es

(

* * *

)

(

)

1, ,2 3 0,160,0

x x x = . Entonces, la solución óptima del problema dual es: (a)

(

* *

)

(

)

1, 2 4, 2

y y = 5 .

(b)

(

* *

)

1 2

25

, ,

4 y y _{= } _

 0 . 

(c)

(

* *

)

1 2

40

, 0,

9 y y _{= } _

 .

3

15. La solución óptima del problema dual de

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 70 120 50

s.a 2 3 4

3 2 3 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

≥

es

(

* *

)

(

)

1, 2 30,1

y y = 0 .

3

Entonces, el valor óptimo del problema

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 70 120 50

s.a 2 3 4

3 2 3 , , 0

x x x

x x x

x x x

x x x

+ +

q

+ + ≥ +

+ + ≥

≥

siendo q>0 pequeño, es: (a) 150 30 .− q

MATEMÁTICAS II 2 / 09/ 2005

Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ...

Titulación: … Lic. Economía … Lic. Admón. y Dir. Empresas … Dipl. Empresariales

Problema Tipo A y C

Una empresa química desea determinar las cantidades de tres minerales A, B y C que debe utilizar en la extracción de dos compuestos químicos Q y R de manera que satisfaga la demanda del mercado al mínimo coste. Los costes por kilo de las materias primas son respectivamente 40, 30 y 20 u.m. De cada kilo de mineral A se obtiene una unidad del compuesto Q y 4 del compuesto R, por cada kilo de mineral B se obtienen 3 unidades del compuesto Q y 1 del compuesto R, y por cada kilo de mineral C se obtiene únicamente 1 unidad del compuesto R. La demanda del mercado es de 40 unidades del compuesto Q y 10 unidades del compuesto R.

1. Formular el problema de programación lineal que resuelve la situación que plantea la empresa. (2 puntos)

2. Resolver el problema anterior, indicando las cantidades de A, B y C que se deben utilizar para minimizar el coste, así como el valor del coste mínimo. (10 puntos)

3. Indicar cómo se modifica el coste mínimo si la demanda del primer compuesto disminuye en 3 unidades. Indicar también cómo afecta al coste mínimo que la demanda del segundo compuesto aumente en 2 unidades. (4 puntos)

4. Supóngase que el coste del mineral A disminuye. Encontrar, ayudándose de la gráfica del problema dual, un valor de este coste para el cual la solución anterior del problema dual deja de ser la óptima. Indicar la nueva solución dual. (4 puntos)

Problema Tipo B y D

Una empresa isleña se dedica a la comercialización de tres productos que vende en el continente. El beneficio obtenido con la venta es de 4, 1, y 2 u.m. por cada tonelada de los productos A, B y C respectivamente. Los productos son procesados y luego transportados en un contenedor. El procesado se realiza con una máquina que puede funcionar como máximo 20 horas. Cada tonelada del producto A necesita 4 horas de máquina, mientras que cada tonelada del C necesita 2 horas. El producto B no necesita pasar por la máquina. La capacidad del contenedor con el que distribuye sus productos es de 10 toneladas. Considerando estas dos restricciones, la empresa desea determinar la cantidad de cada producto que debe comercializar para maximizar el beneficio.

1. Formular el problema de programación lineal que resuelve la situación que plantea la empresa. (2 puntos)

2. Resolver el problema anterior, indicando las cantidades de cada producto que se deben comercializar para maximizar el beneficio, así como el valor del beneficio máximo. (10 puntos) 3. La empresa se plantea contratar un contenedor de capacidad superior. Si el coste de cada

tonelada de capacidad es de 2 u.m., indicar si a la empresa le interesaría contratar una tonelada más. Justificar la respuesta. (4 puntos)

Solución al Problema Tipo A y C

1. Las variables del problema son x₁≡Kilos mineral A, x₂ ≡Kilos mineral B, x₃ ≡Kilos mineral C. Entonces el planteamiento del problema es el siguiente,

1 2

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20

s.a. 3 40 4 10 , , 0

z x x

x x

x x x

x x x

3

x

= + +

+ ≥

+ + ≥

≥

En forma estándar el problema es

1 2 3

1 2 1

1 2 3 2

1 2 3 1 2

Min 40 30 20

s.a. 3 40 4 10 , , , , 0

z x x x

x x h

x x x h

x x x h h

= + +

+ − =

+ + − =

≥

1, 2

h h son las variables de holgura.

2. El problema incluye tres variables y dos restricciones, por lo que primeramente resolveremos el problema dual de forma gráfica para posteriormente hallar las soluciones del primal a través de la condición de holgura complementaria. El planteamiento del problema dual es el siguiente,

1 2 1 2

1 2 1 2 1

1 2

Max 40 10 Max 40 10

s.a. 4 40 s.a. 4 40 3 30 3

w y y w y y

y y y y t

y y y

= + =

+ ≤ + + =

+ ≤ ⇒ _{1 2 2}

2 2

1 2 1 2 1 2 3

30 20 20 , 0 , , , , 0

y t

y y

y y y y t t t

+ + =

≤ +

≥ ≥

+

3

t =

Las variables t t denotan las variables de holgura del problema dual. La representación gráfica es

1, ,2 t3

(40,10) w

∇ =

2

y

1 2

3y +y =30

2 20

y =

1 4 2 40

y + y =

1

y

(0,0)

P (10,0)

Avanzando sobre el conjunto factible en la dirección del gradiente, se deduce que la solución óptima se encuentra en el vértice P. Este se obtiene resolviendo el sistema

2 * *

1 2

1 2

0

10, 0,

3 30

y

y y

y y

= 

⇒ = =



las variables de holgura son t₁=30,t₂ =0,t₃ =20, y alcanza el valor en la función objetivo de

* _400.

w =

Otra forma de hallar la solución del problema es calcular los distintos vértices del conjunto factible y observar cuál de ellos alcanza mayor valor en la función objetivo.

La solución del problema primal se obtiene aplicando la condición de holgura complementaria,

* *

1 1

* *

2 2

* *

3 3

* *

1 1

* *

2 2

0 3

0

0 2

0 1

0

x t

x t

x t

h y

h y

= ⇐ =

=

= ⇐ =

0

0 0

= ⇐ =

=

Los valores de las variables x h₂, ₂ se obtienen a partir de la forma estándar del problema primal (arriba) que, incorporando los valores * * *

1 0, x3 0, 1 0,

x = = h = da lugar al sistema

2 * *

2 2

2 2

3 40 _{40 10}

, .

10 3 3

x

x h

x h

= 

⇒ = =



− = _

Por tanto los kilos de los minerales A, B y C que se han de utilizar son respectivamente

* * *

1 2 3

40

0, , 0,

3

x = x = x = y alcanzamos un coste mínimo de _w* _=400=z*_.

3. Si la demanda del primer compuesto disminuye en 3 unidades el problema se modifica de la forma

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20

s.a. 3 40 3 4 10 , , 0

z x x x

x x

x x x

x x x

= + +

+ ≥ −

+ + ≥

≥

El coste mínimo se incrementa entonces en * *

( )

1 1 10 3 30.

z y b

∆ = ∆ = ⋅ − = −

370.

Así el coste mínimo pasa de alcanzar un valor de _z* ₌₄₀₀ a _z**₌

Si la demanda del segundo compuesto aumenta en 2 unidades, el problema es ahora

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20

s.a. 3 40 4 10 2 , , 0

z x x x

x x

x x x

x x x

= + +

+ ≥

+ + ≥ +

≥

El coste mínimo se incrementa entonces de la forma * *

2 2 0 2 0.

z y b

∆ = ∆ = ⋅ = Así, el coste

mínimo no cambia, manteniendo el valor de _z* _=400.

1 2

1 2

1 2

2

1 2

Max 40 10 s.a. 4 3 30 20 , 0

w y y

y y a

y y

y y y

= +

+ ≤

+ ≤

≤ ≥

Así, la recta y₁+4y₂ =40 se desplaza a la izquierda

(

a<40 .

)

La gráfica siguiente ilustra el cambio en el óptimo al desplazar dicha recta,

1 4 2

y + + y =a

2

y

1 2

3y +y =30

2 20

y =

1 4 2 40

y + y =

1

y

(0,0)

P (10,0)

Cuanto menor sea el valor del coste del mineral A, la arista del conjunto factible correspondiente a la recta se encuentra más hacia la izquierda. El punto óptimo

no se modifica para variaciones pequeñas. A partir del valor el punto óptimo cambia. Por ejemplo, para el punto óptimo se encuentra en el corte de las rectas

1 4 2

y + y =

5, a=

, a (10,0)

P= a=10

2 * *

1 2

1 2

0

5, 0,

4 5

y

y y

y y

= 

⇒ = =



+ _{= }

las variables de holgura son ahora t₁=0,t₂ =15,t₃ =20, y alcanza el valor en la función objetivo de _w*_=200.

Solución al Problema Tipo B y D

1. Las variables del problema son x₁≡Toneladas producto A, x₂ ≡Toneladas producto B,

3

x ≡Toneladas producto C. Entonces el planteamiento del problema es el siguiente,

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

Max 4 2

s.a. 4 2 20 10 , , 0

z x x x

x x

x x x

x x x

= + +

+ ≤

+ + ≤

≥

En forma estándar el problema es

1 2 3

1 3 1

1 2 3 2

1 2 3 1 2

Max 4 2

s.a. 4 2 20 10 , , , , 0

z x x x

x x h

x x x h

x x x h h

= + +

+ + =

+ + + =

≥

1, 2

2. El problema incluye tres variables y dos restricciones, por lo que primeramente resolveremos el problema dual de forma gráfica para posteriormente hallar las soluciones del primal a través de la condición de holguras complementaria. El planteamiento del problema dual es el siguiente,

1 2 1 2

1 2 1 2 1

2

Min 20 10 Min 20 10 s.a. 4 4 s.a. 4 4 1

w y y w y y

y y y y t

y

= + = +

+ ≥ + − =

≥ ⇒ _{2 2}

1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

1 2 2 2 2 , 0 , , , , 0

y t

y y y y t

y y y y t t t

− =

+ ≥ + − =

≥ ≥

Las variables t t denotan las variables de holgura del problema dual. La representación gráfica es

1, ,2 t3

2 1

y =

1 2

2y +y =2

(20,10) w

∇ =

2

y

1

y

(0,0)

1 2

4y +y =4

P

Avanzando sobre el conjunto factible en la dirección contraria del gradiente, se deduce que la solución óptima se encuentra en el vértice P. Este se obtiene resolviendo el sistema

1 2 * *

1 2

2

4 4 3

, 1

1 4

y y

y y

y

+ = 

⇒ = =



=  ,

las variables de holgura son ₁ 0, ₂ 0, ₃ 1, 2 t

= = =

t t y alcanza el valor en la función objetivo de

* _25.

w =

Otra forma de hallar la solución del problema es calcular los distintos vértices del conjunto factible y observar cuál de ellos alcanza mayor valor en la función objetivo.

La solución del problema primal se obtiene aplicando la condición de holgura complementaria

* *

1 1

* *

2 2

* *

3 3

* *

1 1

* *

2 2

0 0 1 0

2 3 0

4

0 1

x t

x t

x t

h y

h y

= =

= ⇐ =

= ⇐ =

Los valores de las variables x x₁, ₂ se obtienen a partir de la forma estándar del problema primal (arriba) que, incorporando los valores * * *

3 0, 0, 0,1 2

x = h = h = da lugar al sistema

1 * *

1 2

1 2

4 20

5, 5.

10

x

x x

x x

= 

⇒ = =



+ = _

Por tanto las toneladas de los productos A, B y C que se deben comercializar son respectivamente * * * y alcanzamos un beneficio máximo de

1 5, 2 5, 3 0,

x = x = x = _w* _=25=z*_.

3. Si la empresa contrata una tonelada más de contenedor, el problema se modifica de la forma

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

Max 4 2

s.a. 4 2 20 10 1 , , 0

z x x x

x x

x x x

x x x

= + +

+ ≤

+ + ≤ +

≥

El beneficio máximo se incrementa entonces * *

2 2 1 1 1.

z y b

∆ = ∆ = ⋅ = Como el coste por tonelada

adicional de capacidad es de 2 u.m., a la empresa no le interesaría contratar una tonelada más.

4. Si el beneficio por tonelada obtenido con el producto C aumenta, la restricción tercera del problema dual se modifica,

1 2

1 2

2

1 2

1 2

Min 20 10

s.a. 4 4 1 2 , 0

w y y

y y y

y y a

y y

= +

+ ≥

≥

+ ≥

≥

Así, la recta 2y₁+y₂ =a se desplaza a la derecha

(

a>2 .

)

La gráfica siguiente ilustra el cambio en el óptimo al desplazar dicha recta,

2 1

y =

1 2

2y +y =a

1 2

2y +y =2

2

y

1

y

(0,0)

1 2

4y +y =4

Q

R P

Cuanto mayor sea el valor del beneficio por tonelada del producto C, la arista del conjunto factible correspondiente a la recta 2y₁+y₂ =a se encuentra más hacia la derecha. El punto

óptimo 3,1 4 P_{= }

 



1 2 * *

1 2

1 2

4 4 ₁

, 2

2 3 2

y y

y y

y y

+ = 

⇒ = =



+ _{= } ,

las variables de holgura son ahora t₁=0,t₂ =1,t₃ =0, y alcanza el valor en la función objetivo de _w* _=30. El vértice R se encuentra en el corte de las rectas

2 * *

1 2

1 2

1

1, 1,

2 3

y

y y

y y

= 

⇒ = =

 + _{= }

las variables de holgura son t t y también alcanza el valor en la función objetivo de

1=1, 2 =0,t3=0,

* _30.

MATEMÁTICAS II 2 / 09/ 2005

Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ...

Titulación: … Lic. Economía … Lic. Admón. y Dir. Empresas … Dipl. Empresariales

Problema con ordenador Tipo A

Sea la siguiente matriz

1 0 0 1 1 0 0 1 A

 

 

 

=

 

 

 

.

1. Hallar la matriz 1

4 ( )

t t

B I_{= −}A A A − A _{. ¿Es B idempotente (B}2 _{=B)?, ¿y antisimétrica?}

(5 puntos)

2. Discutir el sistema Bx bG= G, con xG_{4 1×} y b 1 1

. 1 1

      =

     

G

(2 puntos)

3. Hallar los valores propios de B y sus multiplicidades algebraicas. (2 puntos) 4. ¿Es B diagonalizable? Justificar la respuesta. (2 puntos)

5. Hallar los vectores propios de B. Escribir una matriz de paso, la matriz diagonal semejante y la relación de semejanza. (5 puntos)

6. Clasificar la forma cuadrática Q x_{( )}G _{=x B x}Gt 3G, con

4 1.

xG_× (4 puntos)

Problema con ordenador Tipo B

Sea la siguiente matriz

1 1 0 1

1 1

1 0 M

 

 

 

=

 − 

 

 

.

1. Hallar la matriz 1 . ¿Es N idempotente ?, ¿y simétrica?

4

( t ) t

N ₌M M M − M ₋I _(N2 _=N)

(5 puntos)

2. Hallar los valores propios de N y sus multiplicidades algebraicas. (2 puntos) 3. ¿Es N diagonalizable? Justificar la respuesta. (2 puntos)

4. Hallar los vectores propios de N. Escribir una matriz de paso, la matriz diagonal semejante y la relación de semejanza. (5 puntos)

5. Discutir el sistema Nx bG= G, con xG_{4 1×} y b 1 2

. 1 1

      =

 −    

G

G

(2 puntos)

6. Clasificar la forma cuadrática Q x_{( )}G _{=x N x}Gt 5 , con

4 1.

Solución al Problema Tipo A

1. Dada la matriz A,

„ 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ #1: ¦ ¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 ‡

La matriz 1

4 ( )

t t

B I_{= −}A A A − A _{se calcula con el ordenador,}

„ 1 0 † „ 1 0 † „ 1 0 †‚-1 „ 1 0 † ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ ¦¦ 0 1 ¦ ¦ 0 1 ¦¦ ¦ 0 1 ¦ #2: IDENTITY_MATRIX(4) - ¦ ¦·¦¦ ¦`·¦ ¦¦ ·¦ ¦` ¦ 1 0 ¦ ¦¦ 1 0 ¦ ¦ 1 0 ¦¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 1 ‡ … 0 1 ‡ … 0 1 ‡ƒ … 0 1 ‡

obteniendo

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #3: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

Hallamos el cuadrado de esta matriz B,

„ 1 1 †2 ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #4: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #5: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

por lo que la matriz B es idempotente. Es también simétrica, no antisimétrica.

2. Discutimos el sistema Bx bG= G a partir del rango de la matriz y su ampliada. El rango de B es

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #6: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

#7: 2

y el de la ampliada es

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ #8: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— 1 ¦ … 2 2 ‡

#9: 3

que, como son diferentes, el sistema es incompatible.

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #10: CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

2 2 #11: w ·(w - 1)

por lo que los valores propios y sus multiplicidades algebraicas son λ₁=0,α₁=2, y

2 1, 2 2.

λ = α =

4. La matriz B es diagonalizable porque es simétrica. 5. Calculamos los vectores propios asociados a λ₁=0,

„ 1 1 † ‚ ¦¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ #12: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 0¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ ¦ … 2 2 ‡ ƒ

#13: [[@1, @2, @1, @2]]

por lo que son dos vectores propios de B

linealmente independientes asociados al valor propio (1,0,1,0) y (0,1,0,1)

1 0.

λ = Cualquier vector propio de B asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores. Procediendo de la misma manera para λ₂ =1,

#15: [[@3, @4, -@3, -@4]]

deducimos que son dos vectores propios de B

linealmente independientes asociados al valor propio (1,0, 1,0) − y (0,1,0, 1)−

2 1.

λ = Cualquier vector propio de B asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores. La matriz de paso es

„ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #16: ¦ ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 0 -1 ‡

G y la relación de semejanza

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ „ 1 0 1 0 †-1 ¦ 1 1 ¦ „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #17: ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 0 -1 ‡ ¦ 2 2 ¦ … 0 1 0 -1 ‡ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

y se obtiene la matriz diagonal semejante

„ 0 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ #18: ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 ‡

6. La forma cuadrática es semidefinida positiva, puesto que sus valores propios son

3

( ) t Q xG =x B xG

3

1 0,

λ = 3

2 1.

λ =

También se podría haber comprobado que la matriz _B3 _{=B al ser B idempotente, ya que}

3 2 2 _.

B =B B BB B= = =B

1 0,

De esta manera, la forma cuadrática es semidefinida positiva al ser

λ = λ₂ =1 los valores propios de B.

Solución al Problema Tipo B

1. Dada la matriz M,

La matriz 1 se calcula con el ordenador,

4

( t ) t N ₌M M M − M ₋I

„ 1 1 † „ 1 1 † „ 1 1 †‚-1 „ 1 1 † ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ ¦¦ 0 1 ¦ ¦ 0 1 ¦¦ ¦ 0 1 ¦ #2: ¦ ¦·¦¦ ¦`·¦ ¦¦ ·¦ ¦` - IDENTITY_MATRIX(4) ¦ 1 -1 ¦ ¦¦ 1 -1 ¦ ¦ 1 -1 ¦¦ ¦ 1 -1 ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 1 0 ‡ … 1 0 ‡ … 1 0 ‡ƒ … 1 0 ‡

obteniendo

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #3: ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡

Hallamos el cuadrado de esta matriz N,

„ 1 1 1 †2 ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #4: ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡

obteniendo

por lo que la matriz N no es idempotente. Sin embargo, es simétrica.

2. Calculamos el polinomio característico de N,

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #6: CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡

2 2 #7: w ·(w + 1)

por lo que los valores propios y sus multiplicidades algebraicas son λ₁=0,α₁=2, y

2 1, 2 2.

λ = − α =

3. La matriz N es diagonalizable porque es simétrica.

4. Calculamos los vectores propios asociados a λ₁=0,

„ 1 1 1 † ‚ ¦¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 2 1 ¦ ¦ ¦¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ #8: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 0¦ ¦¦ 1 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 2 ¦ ¦ ¦¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ ¦ … 3 3 3 ‡ ƒ

#9: [[@5, @6, @5 - 2·@6, @5 - @6]]

„ 1 1 1 † ‚ ¦¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 2 1 ¦ ¦ ¦¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ #10: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, -1¦ ¦¦ 1 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 2 ¦ ¦ ¦¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ ¦ … 3 3 3 ‡ ƒ

#11: [[@7, @8, @7 + @8, - 2·@7 - @8]]

deducimos que ( son dos vectores propios de N

linealmente independientes asociados al valor propio 1,0,1, 2) y (0,1,1, 1)− −

2 1.

λ = − Cualquier vector propio de N asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores. La matriz de paso es

„ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #12: ¦ ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡

y la relación de semejanza

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ „ 1 0 1 0 †-1 ¦ 1 2 1 ¦ „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #13: ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡ ¦ 3 3 3 ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡

y se obtiene la matriz diagonal semejante

„ 0 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ #14: ¦ ¦ ¦ 0 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 -1 ‡

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #15: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡

#16: 2

y el de la ampliada es

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— 1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 2 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #17: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— -1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— 1 ¦ … 3 3 3 ‡

#18: 3

G

que, como son diferentes, el sistema es incompatible.

6. La forma cuadrática Q x_{( )}G _{=x N x}Gt 5 es semidefinida negativa, puesto que sus valores propios son

5

1 0,

λ = 5

2 1.