Modelos de fuerza de frontera y máxima entropía para aplicaciones de lattice Boltzmann en fluidos

aplicaciones de lattice

Boltzmann en fluidos

Javier Dottori

Trabajo de Tesis para optar al T´ıtulo de Doctor en Matem´atica Computacional e Industrial

Directores: Dr. Gustavo Boroni Dr. Alejandro Clausse

Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional del Centro de la Prov. de Bs. As.

Agradecimientos

Dedicatoria y agradecimiento

En la vida parece haber invariantes. Siempre que comienzo a escribir un agrade-cimiento me acuerdo de eso. Incluso mirando muchos agradeagrade-cimientos de diversos autores uno siempre parece que est´a leyendo lo mismo, y al mismo tiempo algo muy especial y original. Ac´a va el mio.

Hay gente que siempre se debe nombrar. La familia suele aparecer en el primer lugar, y no ser´a la excepci´on esta tesis. Gracias M´a! Gracias P´a! Gracias Kari! Gracias a toda mi familia por cada momento compartido, sea en persona o una llamada, por el apoyo y acompa˜namiento. Siempre presentes en cada encuentro, en cada abrazo.

A los amigos, esa otra familia por elecci´on sobre la que uno se apoya. Hoy a˜nos despu´es vuelvo a agradecer a mis amigos de Tandil y de Mar del Plata, y aquellos que tengo desperdigados por el mundo tambi´en. Las charlas, los mates, tes y cafes son solo una excusa, estar cerca de un amigo es la ´unica raz´on. Recordar el invariante, esos amigos que ten´ıa cuando escrib´ı mi anterior agradecimiento y ver que siguen aqu´ı la mayor´ıa es una caricia al alma. Recibir nuevos es un aire fresco que me mantiene joven.

A Mariela, mi novia, mi mujer y compa˜nera. Gracias por ense˜narme a ver la vida con otros ojos, los tuyos.

Gracias en particular a la gente que de alguna forma u otra colabor´o con este trabajo. Al Pladema, ese ”´ultimo instituto” chiquito, escondido que me refugio durante este tiempo. Ese lugar donde nada parece imposible, todo fluye hacia ning´un lugar, sin sentido, sin orden, ca´otico y m´agico. Esa tierra donde eleg´ı crecer, que parec´ıa tierra f´ertil, y en lo personal no me defraudo. Gracias Pladema, gracias equipo por tanto aprendizaje. En cada plano que se me ocurra tengo miles de experiencias con ustedes para tomar de lecci´on, de recuerdo y para valorar. Gracias Marc, DD, Mara, Lazo, Cris, Juan, Rina, Guadcore, Lucas, Pablo, Mante, Nacho 1, Nacho 2, Vicky, Aldo, Fer, Mariana, Rosana, etc, etc, etc. Me enorgullece tener que poner tantos etc´eteras por lo grande que es este equipo. A Nicolas Silin que es de la casa ya, y sin sus experimentos parte de esta tesis no ser´ıa posible. A la Facultad y Universidad de la que siempre me sent´ı parte.

El ´ultimo gracias es para el Conicet y el Estado Argentino que hicieron posible esta tesis financi´andola y a su autor.

´Indice general

Agradecimientos 2

´Indice de figuras 12

´Indice de tablas 13

Resumen 15

Abstract 17

Introducci´on 19

Motivaci´on . . . 20

Objetivos . . . 21

Antecedentes . . . 22

Contribuciones . . . 24

Organizaci´on de la Tesis . . . 25

1. M´etodo de lattice Boltzmann 27 1.1. Resumen . . . 28

1.2. Introducci´on . . . 29

1.3. El m´etodo de lattice-Boltzmann . . . 29

1.3.3. Tratamiento de contornos . . . 35

2. Entrop´ıa y desarrollo del flujo 41 2.1. Resumen . . . 42

2.2. Introducci´on . . . 43

2.3. Contornos de velocidad para perfil desarrollado . . . 44

2.3.1. Otros m´etodos . . . 45

2.3.2. M´etodo de m´axima entrop´ıa para flujo desarrollado . . . 48

2.4. Resultados . . . 53

2.4.1. Flujo de Poisseuille. . . 54

2.4.2. Canal con una fuerza volum´etrica transversal . . . 58

2.4.3. Entrop´ıas y gradientes de velocidad . . . 61

2.5. Conclusiones . . . 66

2.6. Trabajos futuros . . . 67

3. Un algoritmo eficiente de frontera inmersa para interacci´on fluido-s´olido en el m´etodo de lattice-Boltzmann 69 3.1. Resumen . . . 70

3.2. Introducci´on . . . 71

3.3. El m´etodo de frontera inmersa. . . 72

3.4. Interacci´on discreta . . . 74

3.5. Acoplamiento IB-LBM . . . 76

3.6. Algoritmo de IB-LBM . . . 77

3.7. Implementaci´on Paralela en GPU . . . 80

3.8. Resultados . . . 82

3.8.1. Contorno el´ıptico deformable inmerso en un fluido . . . 82

3.8.2. Flujo de Poiseuille . . . 84

3.8.3. Generaci´on de v´ortices . . . 86

4. Modelado de medios penetrables con lattice-Boltzmann 93

4.1. Resumen . . . 94

4.2. Introducci´on . . . 95

4.2.1. Modelado del medio permeable con LBM . . . 96

4.3. Experimentos . . . 98

4.4. Resultados . . . 101

4.4.1. Correlaciones cruzadas . . . 114

4.5. Conclusiones . . . 115

4.6. Trabajos futuros . . . 117

Conclusiones y Trabajos futuros 119 Conclusiones Generales . . . 119

Trabajos futuros . . . 121

A. Integraci´on de m´etodos desarrollados 123 A.1. Resumen . . . 124

A.2. Utilizaci´on conjunta de los m´etodos . . . 125

A.3. Conclusiones . . . 129

B. Modelado de desviadores de flujo 131 B.1. Resumen . . . 132

B.2. Aneurismas intracraneales . . . 133

B.2.1. Modelado de desviador de flujo como medio penetrable . . . 134

´Indice de figuras

1.1. Conjunto de velocidades discretas del modelo D2Q9. . . 31

2.1. Diagrama de las variables desconocidas (flechas punteadas) en una celda de borde. . . 45

2.2. Comparaci´on de mapas de entropias H y Hiρ para un canal con un perfil de entrada de velocidad constante que se desarrolla a una par´abola. 49

2.3. Diferentes valores de entrop´ıa seg´un elf5 escogido, teniendo en cuenta

las restricciones de velocidad y su relaci´on con el nivel de entrop´ıa calculado con los valores conocidos. . . 50

2.4. Flujo de Posseuille en un canal rectangular. . . 54

2.5. Flujo de Poiseuille. Convergencia a la soluci´on anal´ıtica de los diferentes m´etodos al incrementar la resoluci´on de la grilla. El error relativo del perfil de velocidad a la salida respecto a la soluci´on anal´ıtica se gr´afica en funci´on del ancho del canal. . . 56

2.6. Flujo de Poiseuille. Mapa de contorno de la desviaci´on de la veloci-dad comparada con una simulaci´on num´erica de un canal m´as largo (Nx=500). . . 57

2.7. Flujo de Poiseuille. Dependencia del m´aximo error con el largo del canal. 57

largo del canal. . . 61

2.10. Canal con una fuerza transversal volum´etrica. Mapa de∆u/uinGy

3

o

2c2

s

representando la desviaci´on de la velocidad sin fuerza. . . 62

2.11. Flujo de Poiseuille. Distancia entre la entrop´ıa actual espec´ıfica, y la m´axima entrop´ıa alcanzable condicionada corriente abajo. . . 64

2.12. Canal con fuerza volum´etrica. Distancia entre la entrop´ıa actual es-pec´ıfica, y la m´axima entrop´ıa alcanzable condicionada corriente abajo. 65

2.13. Mapa del m´odulo de gradiente de velocidad. Flujo de Poiseuille (arriba), canal con fuerza volum´etrica transversal (abajo). . . 65

3.1. Frontera inmersa cerrada en una malla LBM 2D. . . 73

3.2. Evoluci´on temporal de una frontera inmersa eliptica deformable (Xk) en un fluido viscoso (Lx = Ly = 100 celdas,ρ0(~x) = 0,05, τ = 1,5,

kf = 0,01,kc= 0,01,kγ = 0,0.) . . . 83 3.3. Evoluci´on temporal del radio horizontal y vertical de la elipse (Lx =

Ly = 100 celdas,ρ0(~x) = 0,05, τ = 1,5). . . 84

3.4. Representaci´on del canal por medio de IB. . . 85

3.5. Comparaci´on entre soluciones anal´ıtica y num´erica del perfil de ve-locidad de un flujo de Poiseuille (kf = 0,01, kc = 0,0, kγ = 0,0).

. . . 86

3.6. Orden de convergencia para un canal de Poisseuille. El error es la m´axima diferencia absoluta entre las soluciones anal´ıtica y num´erica.

∆s es la distancia entre puntos de IB. La linea se corresponde con una dependencia proporcional a∆ s2. . . 87

3.7. Dependencia del n´umero de Strouhal con el n´umero de Reynolds (d= 22). Correlaci´on emp´ırica (linea) y c´alculo de LBM (puntos). . . 88

3.10. Influencia de la resoluci´on de IB sobre el St. . . 90

4.1. Configuraci´on experimental , a) obstrucci´on central , b) obstrucci´on lateral. . . 99

4.2. Perfil transversal de la velocidad media (•) y desviaci´on est´andar de las fluctuaciones de velocidad (o) para la configuraci´on lateral. El perfil fue tomado con la sonda So en la posici´on xo 50mm corriente arriba del final de la regi´on permeable. Las curvas se corresponden al resultado num´erico con velocidad de entrada constante (l´ınea llena) y con una perturbaci´on de 0,1 % en la entrada (l´ınea punteada). . . 103

4.3. Perfil transversal de la velocidad media (•) y desviaci´on est´andar de las fluctuaciones de velocidad (o) para la configuraci´on central. El perfil fue tomado en la posici´onxo 50mmcorriente arriba del final de la regi´on permeable. Las curvas se corresponden al resultado num´erico con velocidad de entrada constante (l´ınea llena) y con una perturbaci´on de0,1 % en la entrada (l´ınea punteada). . . 104

4.4. Mapa de contorno para la configuraci´on lateral. De arriba a abajo: promedio y desviaci´on est´andar de la componente en sentido del canal (ux) , promedio y desviaci´on est´andar de la componente transversal de la velocidad (uy). La linea punteada indica la regi´on permeable. . . . 106 4.5. Mapa de contorno para la configuraci´on central. De arriba a abajo:

promedio y desviaci´on est´andar de la componente en sentido del canal (ux) , promedio y desviaci´on est´andar de la componente transversal de la velocidad (uy). La linea punteada indica la regi´on permeable. . . . 107 4.6. Secuencias de mapas de contorno de la velocidad tomadas en diferentes

tiempos (configuraci´on lateral). . . 108

configuraci´on lateral. Izquierda: promedio de la velocidad en el sentido de la corriente ux (arriba) y su desviaci´on est´andar (abajo). Derecha: promedio de la velocidad en la componente transversal uy (arriba) y su desviaci´on est´andar (abajo). . . 110

4.9. Mapas de contorno calculados dentro de la regi´on permeable para la configuraci´on central. Izquierda: promedio de la velocidad en el sentido de la corriente ux (arriba) y su desviaci´on est´andar (abajo). Derecha: promedio de la velocidad en la componente transversal uy (arriba) y su desviaci´on est´andar (abajo). . . 111

4.10. Lineas de corriente de la velocidad media en la regi´on permeable. Arri-ba: configuraci´on lateral. Abajo: configuraci´on central. . . 112

4.11. Mapas de contornos de la velocidad instantanea dentro de la regi´on permeable. Arriba: configuraci´on lateral. Abajo: configuraci´on central. 113

4.12. Correlaci´on cruzada num´erica y experimental entre sondasSo yS1 (ver

Fig. 4.1). Arriba: configuraci´on lateral. Abajo: configuraci´on central. . 116

A.1. Configuraci´on de LBM-IB-regi´on de porosidad. . . 127

A.2. Simulaci´on de una aneurisma lateral sin desviador de flujo (permeabi-lidad infinita). . . 127

A.3. Simulaci´on de una aneurisma lateral con desviador de flujo, conside-rando un valor de permeabilidad κ= 2,5. . . 128

A.4. Simulaci´on de una aneurisma lateral con desviador de flujo, conside-rando un valor de permeabilidad κ= 0,05. . . 129

B.1. Ilustraci´on de vasos cerebrales con una aneurisma. . . 133

a) campo de velocidades seg´un DNS (como contorno de velocidad), b) campo de presi´on seg´un DNS y c) campo de presi´on seg´un LBM. En a) se muestra un plano de la secci´on y se deform´o proporcionalmente a la velocidad. En b) y c) se observa el campo de presi´on alta (rojo) y baja (azul) del otro lado del DF. . . 138

´Indice de tablas

2.1. Tabla comparativa de m´etodos. . . 67

3.1. Tiempos de c´alculo para implementaciones CPU y GPU de IB-LBM para 1000 iteraciones. . . 91

3.2. Tiempo de cada kernel de GPU individual obtenido durante 1.000 iteracioones, simulando flujo de Poiseuille en una grilla de 400×240. 92

4.1. Par´ametros de la simulaci´on con LBM. . . 102

Resumen

En este trabajo se presentan t´ecnicas desarrolladas para resolver problemas de fluidos interactuando con contornos y estructura basadas en aut´omatas de lattice Boltzmann (LBM).

Primeramente se presenta un m´etodo que permite fijar condiciones de salida de perfil desarrollado, basado en el principio de m´axima entrop´ıa. Se realizaron evaluacio-nes en simulacioevaluacio-nes de flujo desarroll´andose en un canal rectangular con y sin fuerzas volum´etricas. Los resultados se compararon con otras condiciones de contorno alter-nativas. El m´etodo de m´axima entrop´ıa presentado mostr´o la mejor combinaci´on de precisi´on y estabilidad. En base a estos resultados se defini´o un indicador del grado de desarrollo del flujo basado en el mapa de la desviaci´on de la entrop´ıa real respecto la m´axima entrop´ıa con las restricciones apropiadas.

En la segunda parte de la tesis, se desarroll´o un algoritmo eficiente para implemen-tar fronteras inmersas (IB) en LBM, de f´acil paralelizaci´on en placas gr´aficas (GPU). Los resultados de simulaciones se validaron contra soluciones anal´ıticas conocidas, evaluando tambi´en la aceleraci´on obtenida mediante su implementaci´on en GPU.

Abstract

This thesis presents a series of numerical techniques developed to solve problems of fluids interacting with structures and boundaries, based on Lattice Boltzmann au-tomata.

Firstly, the problem of fully-developed flow boundary conditions at a channel exit was studied. A special method based in the principle of maximum entropy was propo-sed, which is applied to close the set of algebraic equations to determine the inward populations at the boundary. The method was tested for a rectangular channel with and without volumetric forces. Comparisons with other techniques showed that the present method has better precision and stability. Finally, a numerical indicator of the degree of development of the velocity profile in a channel was proposed, which takes into account the deviation of the actual local entropy respect to the maximum achievable entropy.

Secondly, an efficient algorithm to implement immersed boundaries (IB) in LBM is presented. The algorithm is easy to parallelize in graphic processor units (GPU). The results from a series of simulations were validated against analytical solutions showing good performance and substantial accelerations on GPU.

Introducci´

on

La simulaci´on num´erica de fluidos (Computational Fluid Dynamics - CFD) es un ´

area activa de investigaci´on dentro de la mec´anica computacional, y se ha encarado desde diversos enfoques. Los m´etodos num´ericos cl´asicos en este ´area se fundamen-tan en discretizaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes (N–S)[23]. En cambio, el m´etodo de lattice Boltzmann (LBM), se basa en aut´omatas celulares simples a nivel mesosc´opico que reproducen las reglas f´ısicas en el nivel macrosc´opico.

Desde que se present´o el primer modelo bidimensional de LBM para representar ecuaciones de N–S incompresibles [36], este m´etodo ha atra´ıdo mucho la atenci´on y actualmente es utilizado para resolver una gran variedad de ecuaciones diferenciales parciales y modelar fen´omenos f´ısicos. LBM es un aut´omata celular que discretiza el espacio como una grilla regular de celdas, cuyo estado est´a representado por pobla-ciones de part´ıculas con una velocidad asociada. B´asicamente, el algoritmo resuelve ecuaciones microsc´opicas que representan la interacci´on entre part´ıculas y, a partir de dicha interacci´on, se emula el comportamiento macrosc´opico del sistema.

En LBM, el concepto b´asico es construir un modelo cin´etico con variable interna discreta, cuyas propiedades macrosc´opicas promediadas cumplan con las ecuaciones deseadas [13]. El estado actual de un paso de simulaci´on depende s´olo de su condici´on previa en el vecindario de cada punto. Es decir, LBM es un caso particular de aut´omata celular [20] aplicable en sistemas distribuidos o de computaci´on paralela.

la estrictamente necesaria para resolver dichas ecuaciones. No obstante esto, brinda numerosas ventajas entre las que se pueden destacar la facilidad en la creaci´on de algoritmos que se adaptan naturalmente a varias arquitecturas de software y hardware, as´ı como la paralelizaci´on de las simulaciones. Esta ´ultima caracter´ıstica se debe a la lattice regular y la din´amica puramente local, que involucra ´unicamente la interacci´on entre nodos de la grilla con sus nodos vecinos m´as pr´oximos en cada paso de iteraci´on. Dentro de CFD, la simulaci´on de los flujos que ocurren en geometr´ıas complejas es un tema de gran relevancia debido su aplicabilidad en diversas ciencias aplicadas. Este tipo de interacciones se dan en campos como hemodinamia [69], entre plantaciones y el viento[22], en el enfriamiento de componentes el´ectricos o mec´anicos (disipa-dores de calor) [92], computaci´on gr´afica [53], meteorolog´ıa [51], etc. La simulaci´on computacional de fluidos que interact´uan con obst´aculos, bordes y medios porosos es una herramienta cada vez m´as popular en el campo cient´ıfico y de la industria, desde el tratamiento de enfermedades cardiovasculares a visualizaciones 3D de fen´omenos naturales.

Motivaci´

on

En el uso CFD para resolver problemas de las ciencias aplicadas se presentan una cantidad de problemas particulares que hay que tratar cuidadosamente. Entre ´estos, se pueden nombrar en primer lugar la definici´on de las condiciones de contorno en los l´ımites del dominio. Seg´un la condici´on a modelar existen diferentes m´etodos disponibles para las mismas. Generalmente es dif´ıcil encontrar un m´etodo que resuelva correctamente todas las condiciones, sin embargo, existen m´etodos que presentan ventajas sobre otros para casos espec´ıficos.

En conjunto, todas estas caracter´ısticas de los contornos con los que interact´ua el fluido, pueden agregar complejidad en memoria y tiempo de c´omputo. Como caso l´ımite, se puede volver inviable la aplicaci´on de CFD para resolver el problema. Por esta raz´on, las condiciones de contorno e interacci´on fluido-estructura son un ´ambito de estudio permanente en CFD.

Una soluci´on frecuente para limitar la complejidad del problema a resolver es recu-rrir a m´etodos de interpolaci´on o a resoluciones con un nivel de detalle mayor mediante la descripci´on de las interacciones a nivel mesosc´opico. Como ejemplo, se puede ob-servar el modelado de medios penetrables mediante la ley de Darcy, donde se describe la ca´ıda de presi´on en funci´on de la velocidad del fluido que atraviesa el medio, sin incluir en la simulaci´on los detalles del mismo.

Objetivos

Teniendo en cuenta esta clase de problemas, el objetivo general de esta tesis ha sido el estudio y desarrollo de m´etodos num´ericos para sus escenarios m´as frecuentes. En particular, se restringe al m´etodo de LBM por sus capacidades de paralelizaci´on y la facilidad para incorporarle comportamiento en base a interacciones microsc´opicas. El objetivo general es entonces investigar los problemas que se presentan en la aplicaci´on de LBM como una herramienta de soluci´on en la din´amica computacional de fluidos, en situaciones donde ´este se encuentra interactuando con condiciones de contorno complejas. A largo plazo, se busca que los estudios de modelado e implementaci´on realizados tengan aplicaci´on en los diversos dominios antes mencionados.

En particular, se busca desarrollar modelos y algoritmos sobre LBM que permitan simular:

condiciones de salida de flujo desarrolladas en canales con fuerzas externas,

Por otro lado, el alcance de este trabajo est´a limitado a flujos 2D que se comporten seg´un las ecuaciones de N–S. Sin embargo, las soluciones propuestas son extendibles a dominios tridimnesionales.

Adicionalmente, las diferentes t´ecnicas espec´ıficas desarrolladas deben ser com-patibles entre s´ı. Esto es importante para el modelado de situaciones donde sean requeridas combinadas entre ellas.

Por otro lado, se pretende desarrollar m´etodos que tambi´en sean paralelizables con una simplicidad similar a LBM. Esta es una de las principales caracter´ısticas a tener en cuenta al momento de su implementaci´on y uso en grandes dominios.

Antecedentes

La simplicidad de la formulaci´on de LBM llev´o a una r´apida expansi´on de los trabajos relacionados al mismo. En [2, 13] se puede encontrar dos revisiones muy completas sobre diferentes aspectos del mismo. En particular, en esta secci´on se hace hincapi´e en los antecedentes relacionados a los objetivos espec´ıficos. Posteriormente, se explicar´an en mayor profundidad en sus cap´ıtulos correspondientes.

acciones entre el fluido y diversos objetos. Los mismos pueden ser bordes fijos, s´olidos flotantes, paredes el´asticas u otros l´ıquidos no solubles. Matem´aticamente, esta inter-acci´on suele interpretarse como condiciones de contorno para el fluido. La interacci´on entre un fluido viscoso, un cuerpo deformable, y un contorno con movimiento libre puede ser complicada y dif´ıcil de diferenciar en algunas zonas. Las formas cl´asicas de resolver una interacci´on de este tipo se suelen basar en el m´etodo de grilla no estructu-rada o el m´etodo de grillas solapadas [97,98]. Para resolver interacciones de este tipo Peskin [70] propuso el m´etodo de frontera inmersa (IB). Con ´este m´etodo, se logra desacoplar las soluciones de las ecuaciones que gobiernan el fluido y las condiciones de contorno al sustituir el efecto del contorno por la adici´on de fuerzas a las ecuaciones de fluidos. Adem´as, esta t´ecnica evita el ruido por voxelizaci´on mediante una funci´on de suavizado. Cheng y Zhang [15] acoplaron con ´exito LBM con IB. Existen tambi´en otros enfoques de LBM-IB [25, 63], en los que se proponen esquemas similares de interacci´on, variando principalmente la funci´on de suavizado utilizada y el esquema de c´alculo para resolver el sistema de ecuaciones resultante.

Por ´ultimo, cuando las obstrucciones presentes en el dominio son complejas com-binan un gran rango de escalas que van desde el flujo alrededor de los objetos que producen la obstrucci´on, o escala microsc´opica, hasta el tama˜no total de la zona de flujo de inter´es, o escala macrosc´opica. Estas escalas pueden diferir en varios ´ordenes de magnitud y por ello es com´un utilizar un modelo de obstrucci´on donde el compor-tamiento de los elementos que conforman dicha obstrucci´on se promedia temporal y espacialmente. El estudio de este tipo de obstrucciones tiene gran relevancia en dis-tintas ´areas de la ingenier´ıa y la ciencia. Un caso t´ıpico es el pasaje del viento a trav´es de plantas, o de agua a trav´es de vegetaci´on acu´atica [27]. En ambas situaciones se tiene una zona de flujo libre y otra de flujo a trav´es de la obstrucci´on. Es sabido que este tipo de flujos presenta fuertes inestabilidades en los l´ımites de la vegetaci´on [93].

me-anteriormente, se presta especial atenci´on a la factibilidad de paralelizaci´on de los algoritmos propuestos.

Contribuciones

Los resultados fueron presentados en las siguientes publicaciones y congresos.

Publicaciones en revistas internacionales

Downstream-conditioned maximum entropy method for exit boundary conditions in the Lattice Boltzmann Method. J. Dottori, G. Boroni and A. Clausse. Mathematical Problems in Engineering. ISSN No: 1024-123X. 2015.

Lattice-Boltzmann modeling of unstable flows amid arrays of wires. G. Boroni, N. Silin, D. Dalponte, J. Dottori and A. Clausse. Computers and Fluids. ISSN No_:

0045-7930. 2015.

Lattice-Boltzmann Method with immersed boundary conditions for fluid simula-tions of multiples species. G. Boroni and J. Dottori. Journal of Applied Sciences. ISSN No: 1812-5654, 14: 259-265. DOI 10.3923/jas.2013.

An improved Immersed-Boundary algorithm for fluid-solid interaction in Lattice-Boltzmann simulations. G. Boroni, J. Dottori, D. Dalponte, P. Rinaldi P. and A. Clausse. Latin American Applied Research. ISSN No_{: 0327-0793. 2013.}

Publicaciones en congresos internacionales

Lattice-Boltzman modelling of porous medium: application to modelling Flow Di-verter stents, G. Boroni, J. Dottori, A. Clausse, I. Larrabide. T´ıtulo de libro: Pro-ceedings of the 1st Pan-American Congress on Computational Mechanics and XI Ar-gentine Congress on Computational Mechanics. ISBN No_{: 978-84-943928-2-5, pp.}

1133-1142, 2015.

Publicaciones en revistas nacionales

Condiciones De Contorno De Flujos Totalmente Desarrollados Para El M´etodo De Lattice Boltzmann J. Dottori, G. Boroni, M. Lazo, C. Garc´ıa Bauza, A. Clausse. Mec´anica Computacional. pp. 1121-1134. 2013. (LATIN INDEX)

Aplicaci´on del m´etodo de Lattice Boltzmann a la simulaci´on de obstrucciones complejas f´acilmente penetrables. N. Silin, G. Boroni, D. Dalponte, J. Dottori, A. Clausse. Anales AFA. ISSN No: 0327-358X. . pp. 39-42. 2013. (LATIN INDEX).

Un m´etodo para la interacci´on de fluido y objetos flotantes para aplicaciones de tiempo real M. Lazo, C. Garc´ıa Bauza, G. Boroni, J. Dottori, A. Clausse. Mec´anica Computacional, Vol. XXXI, ISSN 1666-6070. 2012 (LATIN INDEX)

CALB: Una capa de abstracci´on para motores de lattice Boltzmann J. Dottori, G. Boroni, D. Dalponte, A. Clausse. Mec´anica Computacional. V.26. pg. 349-360. ENIEF – Ciudad de Rosario. ISSN 1666-6070. pp. 3431-3440. 2011. (LATIN INDEX)

Organizaci´

on de la Tesis

Cap´ıtulo 1

1.1.

Resumen

1.2.

Introducci´

on

El m´etodo delattice Boltzmann (LBM) es un m´etodo num´erico que ha demostrado tener un fuerte potencial en numerosas aplicaciones, principalmente en simulaciones de din´amicas de fluidos. En muchos rangos de utilidad pr´actica, LBM tiene mejor ren-dimiento que m´etodos tradicionales de din´amica de fluidos, como diferencias finitas o elementos finitos. Entre sus ventajas m´as destacables se pueden mencionar la facilidad para la paralelizaci´on directa, su flexibilidad para incluir cualquier tipo de fuerza o de interacci´on interna, y la capacidad para operar f´acilmente en geometr´ıas complejas. LBM es particularmente ventajoso para la simulaci´on de flujo en medios porosos, de flujos multifase y multicomponente, y hemodin´amica, por nombrar algunos dominios [21, 45,66, 75, 76,85].

1.3.

El m´

etodo de lattice-Boltzmann

LBM es una clase de algoritmo que produce simulaciones de problemas de trans-porte, bas´andose en una representaci´on mesosc´opica de la cinem´atica [83]. Desde el punto de vista num´erico, LBM puede ser visto como un m´etodo expl´ıcito para resolver ecuaciones de transporte utilizando una mayor cantidad de variables de las es-trictamente necesarias para caracterizar el flujo macrosc´opico. El comportamiento de diferentes momentos de estas variables se aproximan a alguna ecuaci´on de un campo en el l´ımite infinitesimal [13]. El presente trabajo se centra en el LBM que representa las ecuaciones de Navier Stokes 2D.

Este m´etodo opera sobre una grilla regular que representa el fluido mediante un conjunto de part´ıculas. Estas part´ıculas se ubican y desplazan sobre la grilla seg´un la ecuaci´on discreta de Boltzmann. El m´etodo de discretizaci´on se basa en la idea de propiedades mesosc´opicas.

u otras propiedades espec´ıficas de un material, y cuando las propiedades estad´ısticas como la temperatura y la entrop´ıa tienen sentido.

El concepto fundamental del LBM es construir modelos cin´eticos simplificados que incorporen la f´ısica esencial del proceso microsc´opico o mesosc´opico, de manera que las variables mesosc´opicas promediadas obedezcan las ecuaciones macrosc´opicas desea-das. La premisa b´asica para usar estos modelos de tipo cin´eticos simplificados es que la din´amica macrosc´opica de un fluido es el resultado del comportamiento colectivo de muchas part´ıculas microsc´opicas en el sistema, y que la din´amica macrosc´opica no es sensible m´as que indirectamente a los detalles subyacentes de la f´ısica microsc´opica [43]. Esta clase de metodolog´ıa de trabajo se utiliza en diversos campos de la f´ısica de-bido a es imposible seguir el comportamiento de cada ´atomo individual de un material. Por estos motivos, es frecuente realizar c´alculos promedio multiescala, sustituyendo la estructura discreta de ´atomos por una distribuci´on continua de masa y dem´as variables de inter´es. Los valores de estas variables se calculan como un promedio de conjuntos de part´ıculas.

En el caso de LBM, el estado de cada celda est´a dado por la funci´on de densidad de part´ıculas fi(~x, t) (que no es directamente observable), y representa el n´umero de part´ıculas en la celda ubicada en la posici´on x en el tiempo t movi´endose con una velocidad~ei. Desarrollando una versi´on simplificada y discretizada de la f´ısica de part´ıculas, se evita resolver ecuaciones cinem´aticas complicadas como las ecuaciones completas de Boltzmann o simular cada part´ıcula por separado.

Com´unmente estas part´ıculas se desplazan sobre una malla regular. En cada celda se colisionan dichas poblaciones y luego se vuelven a desplazar a la celda siguiente. Los modelos de LBM, se pueden clasificar seg´un la vecindad utilizada en la grilla y seg´un el operador de colisi´on utilizado. De la grilla y el operador de colisi´on depende la resoluci´on num´erica y estabilidad del m´etodo, mientras que el modelo f´ısico resuelto depende s´olo del operador de colisi´on y los par´ametros que se utilicen para el mismo.

movi-e

e

e

e

e

e

e

e

e

Figura 1.1: Conjunto de velocidades discretas del modelo D2Q9.

miento de las part´ıculas. Por ejemplo, la malla m´as com´un en 2D se llama el modelo D2Q9 [83], que se corresponde con una malla cuadrada con 9 direcciones de veloci-dad interna. Este modelo es el utilizado durante este trabajo, y puede observarse en la Fig. 1.1. La simplicidad del mismo radica en su facilidad de implementaci´on sobre matrices regulares, ya que el conjunto de ~ei en unidades de grilla queda expresado como vectores de coordenadas 0,1,−1 como

~

e0 =c(0,0);

~

e1 =c(1,0);~e2 =c(1,1);~e3 =c(0,1);~e4 =c(−1,1);

~

e5 =c(−1,0);~e6 =c(−1,−1);~e7 =c(0,−1);~e8 =c(1,−1).

, (1.1)

dondec= ∆x/∆t es la velocidad unitaria en unidades de la discretizaci´on usada.

La funci´on fi(~x, t) cambia su valor de acuerdo a un conjunto de reglas predeter-minadas para simular los mecanismos del transporte. Su evoluci´on est´a dada por un paso de colisi´on (Eq. 1.2) y uno de advecci´on (Eq. 1.3), definidos seg´un

f_i0(~x, t) =fi(~x, t) + 1

τ[f e

i(~x, t)−fi(~x, t)], (1.2)

fi(~x+~ei∆t, t+ ∆t) =fi0(~x, t), (1.3)

i

La distribuci´on de equilibrio es construida en funci´on de los t´erminos de momento local de fi(~x, t)siendo

ρ(~x, t) =

8

X

i=0

fi(~x, t), (1.4)

y

~

u(~x, t) = 1

ρ(~x, t)

8

X

i=0

~eifi(~x, t), (1.5)

los cuales se corresponden a la densidad del fluido (cantidad de part´ıculas) y su velo-cidad promedio respectivamente.

La funci´on defe

i(~x, t)determina las ecuaciones en derivadas parciales que satisfa-cen los campos deρ(~x, t)y~u(~x, t)en el l´ımite diferencial. Por simplicidad, se utilizar´a la notaci´on con par´ametros impl´ıcitos (ρ(~x, t) = ρ(~x) = ρy~u(~x, t) = ~u(~x) =~u) salvo cuando sea necesario aclarar que el argumento posee cierto desplazamiento temporal o espacial.

La funci´on de equilibrio se calcula s´olo en base a variables macrosc´opicas locales. En el presente trabajo se utiliza el esquema Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) [7], el cual reproduce las ecuaciones de Navier-Stokes (N–S) [12]. En el caso 2D la funci´on de equilibrio de BGK est´a dada por

f_ie =wiρ

1 + 1

c2 s

(~ei·~u) +

1 2c4

s

(~ei·~u)2 −

1 2c2

s

(~u·~u)

, (1.6)

donde wi determina los valores de cada poblaci´on para una celda en equilibrio y velocidad nula yc2

s se lo denomina pseudo velocidad del sonido. Los valores dewi en el caso de BGK son

wi =         

4/9 si i= 0,

1/9 si i= 1,3,5,7,

1/36 si i= 2,4,6,8,

(1.7)

carte-El par´ametro c2_s en la Ec. 1.6 es el coeficiente que relaciona la presi´on con la densidad, es decir, propone una pseudo ecuaci´on de estado seg´un

p=c2_sρ, (1.8)

y toma valor c2

s = 1/3 expresado en unidades de (∆x/∆t) 2

.

La viscosidad cinem´atica ν est´a relacionada con el par´ametro de relajaci´on τ [13] seg´un

ν = 1 3(τ−

1

2), (1.9)

en unidades de ∆x2/∆t. Como la viscosidad debe ser siempre positiva, τ debe ser mayor a 1/2.

Es importante observar que

X

i

f_ie =ρ, (1.10)

X

i

~eifie=ρ~u, (1.11)

que son las condiciones necesarias para conservaci´on de masa y momento del operador de colisi´on.

1.3.1.

Caracter´ısticas del LBM

La naturaleza cin´etica del LBM introduce tres propiedades importantes que lo distinguen de otros m´etodos num´ericos [13].

S usando una funci´on de equilibrio fe

i(~x, t) apropiada respecto de ~ei [35, 73, 95]. LBM calcula la presi´on usando s´olo una ecuaci´on de estado. En contraste, en las simulaciones num´ericas directas de las ecuaciones de N–S, la presi´on resuelve una ecuaci´on compleja usando las curvas de velocidad como fuentes, lo cual usualmente produce dificultades num´ericas que requieren un tratamiento especial.

Tercero, el LBM utiliza un conjunto finito de velocidades en el espacio de fases. En la teor´ıa cin´etica tradicional con la distribuci´on de equilibrio de Maxwell-Boltzmann, el espacio de fases es un funcional del espacio de velocidades completo que abarca R2. El proceso de promediado involucra informaci´on de todo el espacio de fases. Como s´olo una o dos velocidades y unas pocas direcciones de movimiento son usadas en LBM, la transformaci´on que relaciona la funci´on de distribuci´on microsc´opica con las cantidades macrosc´opicas queda muy simplificada y consiste de c´alculos de aritm´etica simple.

1.3.2.

Aplicaci´

on de fuerzas externas

En la mayor´ıa de los casos, el fluido ejerce fuerzas sobre su entorno y recibe otras del mismo que lo influencian. Ejemplos de fuerzas que afectan a un fluido pueden ser la gravedad, fuerzas electromagn´eticas en caso de metales l´ıquidos o plasmas, y tambi´en es frecuente utilizar fuerzas para modelar interacciones con un cuerpo sumergido. Para esta clase de problemas, a la Ec. (1.2) se le agrega un t´ermino que refleja el cambio en las poblaciones causado por una fuerza externa,

f_i0(~x, t) =fi(~x, t) + 1

τ[f e

i(~x, t)−fi(x, t~ )] + ∆t gi(~x, t). (1.12)

lum´etrica F~LBM_{(~x, t) en cada celda. Es decir, una densidad de fuerza F~}LBM apli-cada sobre una celda aumentar´a su velocidad en F~LBM_{∆t y su momento lineal en} ρ ~FLBM_{∆t en un paso de tiempo ∆t. La notaci´on F}LBM _{se utiliza para diferenciarla} de los t´erminos de fuerzas de fronteras y medios que se explicar´an en los cap´ıtulos posteriores.

La definici´on de gi debe ser tal que al calcular la contracci´on sobre las diferentes velocidades para las expresionesgi y~eigi cumpla

X

i

gi = 0 (1.13)

y

X

i

~eigi =ρ ~FLBM (1.14)

que aseguran la conservaci´on de masa y el cambio del momento correspondiente a la densidad de fuerza volum´etrica aplicada.

En este trabajo se utiliza la expresi´on desarrollada en [55], recomendada seg´un el estudio de Mohamad y Kuzmin [61]. Dicha expresi´on consta de

gi(~x, t) = 3 wiρ

c2 ~ei·F~

LBM_{(~x, t). (1.15)}

1.3.3.

Tratamiento de contornos

Condiciones de l´ımites peri´odicos

Las condiciones de l´ımites peri´odicos son las m´as sencillas de implementar. Su-poniendo un borde peri´odico de izquierda y derecha en la direcci´on x, luego de la advecci´on, se asignan a las poblaciones entrantes las poblaciones salientes opuestas, esto es

fi(1, y) =fi(Nx, y) para i= 1,2,8 (1.16)

fi(Nx, y) =fi(1, y) para i= 4,5,6 (1.17)

donde1y N indican los l´ımites del dominio, y la notaci´on simplificada fi(x, y) indica la distribuci´on de part´ıculasi-´esima en el instante de tiempoten celda de coordenadas

(x, y). En la direcci´ony se procede de forma an´aloga, resultando en

fi(x, Ny) =fi(x,1) para i= 6,7,8 (1.18)

fi(x,1) =fi(x, Ny) para i= 2,3,4 (1.19)

Velocidad y Presi´on

Para establecer condiciones de velocidad o presi´on es necesario determinar las poblaciones de fi faltantes de forma que satisfagan las propiedades macrosc´opicas deseadas.

Dado que se suele utilizar para entradas en canales es normal definir la velocidad transversal nula. Para el caso del extremo derecho de un canal rectangular esto es uy = 0, y las inc´ognitas son f4,f5 yf6. En general, se fijan s´olo dos de los par´ametros entre ρy ux. Luego se puede determinar ρ seg´un la velocidad de entrada del fluido a un valor determinado seg´un

ρ= f0+f3+f7+ 2(f1+f2+f8) 1 +ux

ux =−1 +

f0+f3+f7+ 2(f1+f2+f8)

ρ . (1.21)

Resulta entonces que las Ecs. 1.4 y 1.5 en la dimensi´on x son linealmente depen-dientes, y se tiene tambi´en la Ec. 1.5 en la dimensi´ony. Al haber s´olo dos ecuaciones lineales para tres inc´ognitas es necesario incorporar informaci´on adicional. Esto es la principal dificultad cuando se implementan condiciones de borde en LBM [82]. Esta elecci´on no es trivial, ya que como se indica en [52] puede afectar la precisi´on y la convergencia del m´etodo en todo el dominio.

Zou y He [100] propusieron el modelo m´as extendido para el modelo de colisi´on BGK. En su trabajo asumen el rebote de las poblaci´on de no-equilibrio en la poblaci´on perpendicular a la salida,f5, esto es

f5−f5e =f1−f1e. (1.22)

Lo que resulta en una expresi´on anal´ıtica para la inc´ognita

f5 =f1−

2

3ρux. (1.23)

En dos dimensiones, para las inc´ognitasf5,f4yf6(flujo en el extremo este del sentido positivo de x) resulta en

f6 =f2 +

f3−f7

2 −

ρux

6 −

ρuy

2 , (1.24)

y

f4 =f8+

f7−f3

2 −

ρux

6 +

ρuy

2 . (1.25)

En el Capitulo 2 se dar´a mas detalle de las condiciones de contorno para el caso particular del perfil desarrollado.

Condiciones de rebote sin deslizamiento

Las condiciones de contorno sin deslizamiento (no-slip) generan una rebote com-pleto de todas las part´ıculas que llegan a ella. Se implementa siguiendo el esquema on-grid bounce-back [39], en la cual el l´ımite f´ısico se encuentra exactamente sobre el borde de la grilla. La regla b´asica resultante es muy simple y establece que una part´ıcula que alcanza el borde es revertida inmediatamente hacia el fluido, volviendo al mismo en el siguiente tiempo de simulaci´on.

Para el caso del extremo superior de un canal rectangular, las part´ıculas corres-pondientes a las poblaciones f2, f3, y f4 rebotan en el borde quedando

f6 =f2, (1.26)

f7 =f3, (1.27)

y

f8 =f4. (1.28)

Cap´ıtulo 2

2.1.

Resumen

En este cap´ıtulo se presenta un m´etodo desarrollado en esta tesis para modelar condiciones de contorno de salida en el m´etodo delatticeBoltzmann (LBM) basado en la maximizaci´on de la entrop´ıa local. El proceso de maximizaci´on se realiza restringido por las constantes macrosc´opicas y los componentes corriente abajo que son conocidos. El m´etodo surge de observar que la entrop´ıa de la distribuci´on de velocidades de Boltzmann en cada celda es m´axima para el caso de flujos desarrollados en canales rectangulares bajo restricciones adecuadas.

2.2.

Introducci´

on

Como LBM est´a basado en una representaci´on cinem´atica del fluido, la tarea de im-plementar condiciones de contorno consistente con las restricciones macrosc´opicas no es trivial y requiere especial atenci´on. Por un lado, la representaci´on din´amica provee cierto grado de flexibilidad que puede ser usado para dise˜nar condiciones de contorno, pero lamentablemente la precisi´on y la estabilidad del esquema son fuertemente in-fluenciados por el criterio usado para completar los grados de libertad restantes. No sorprende entonces, que exista una gran cantidad de trabajos desde que LBM comenz´o a utilizarse enfocados en el manejo de las condiciones de contorno. En efecto, desde los comienzos de los 90’s, muchos autores han propuesto e investigado el comportamiento de varias condiciones de contorno [4,18, 30, 39,79, 89, 97, 99,100].

Las condiciones de contorno en el campo de la simulaci´on de fluidos que ocurren con m´as frecuencia son las paredes s´olidas, condiciones de velocidad constante, y en-tradas o salidas de flujo. En general es suficiente con especificar solamente la velocidad o la densidad solamente, es decir, no es necesario especificar ambas. El enfoque m´as simple utilizado para incorporar paredes s´olidas es usar nodos de bounce-back (rebo-te) explicados en la Secci´on 1.3.3. Para contornos de velocidad y densidad se puede encontrar una gran variedad de m´etodos espec´ıficos desarrollados para limites rectos [52]. Para condiciones de contorno curvas, los m´etodos existentes est´an generalmente basados en esquemas de interpolaci´on que hacen perder la localidad del m´etodo, la cual es una de las caracter´ısticas m´as atractivas del LBM [14,31,34,42]. Cuando se trata de una salida libre, existe informaci´on adicional que podr´ıa considerarse para el desarrollo de m´etodos espec´ıficos. Si adem´as se impone que el flujo llega a desarro-llarse, todo dominio simulado corriente abajo respecto del desarrollo ser´ıa redundante, siempre que las condiciones de contorno no introduzcan informaci´on que afecte el mismo. Alternativas para canales abiertos se detallan posteriormente.

principalmente en la b´usqueda de algoritmos m´as estables, mientras que se mantienen las atractivas propiedades num´ericas del m´etodo, como son el esquema expl´ıcito y la localidad. El resultado m´as importante en este sentido es el desarrollo del llamado entropic LBM (ELBM), basado en el teorema H. Se ha demostrado [3] que la funci´on de distribuci´on de equilibrio dada por la Ec. 1.6 maximiza un potencial de entrop´ıa a segundo grado de la velocidad (u2) sujeto a las restricciones dadas por las ecuaciones macrosc´opicas (Ecs. 1.4 y 1.5). Dicho potencial se define como

H=−

8

X

i=0 filog

fi wi

. (2.1)

En este cap´ıtulo, se presenta un m´etodo para modelar contornos con restricciones de velocidad en el LBM 2D especialmente dise˜nado para el caso de perfiles desarro-llados. El m´etodo est´a basado en la maximizaci´on de la entrop´ıa local sujeto a las restricciones macrosc´opicas y que los componentes con direcci´on corriente abajo (en el sentido del flujo) son conocidos. Partiendo de ello se logra derivar una formula al-gebraica, la cual es muy f´acil de implementar sin degradar la performance de c´alculo. Este m´etodo es aplicado a la simulaci´on de contornos completamente desarrollados y comparado con otras soluciones propuestas en la literatura. Como se ver´a m´as ade-lante, se puede constatar que la nueva entrop´ıa condicionada corriente abajo presenta una interesante correlaci´on con el gradiente de velocidad.

2.3.

Contornos de velocidad para perfil desarrollado

f

f

f

f

f

f

f

f

f

Figura 2.1: Diagrama de las variables desconocidas (flechas punteadas) en una celda de borde.

decir, la advecci´on de las part´ıculas provenientes de “afuera” del dominio simulado) son desconocidas por no pertenecer al dominio. La informaci´on disponible para imponer esos valores en f4, f5, f6 son las condiciones del fluido en la salida del canal.

N´otese que las poblaciones inc´ognitas apuntan corriente arriba, es decir, en sentido contrario al flujo. Adem´as es frecuente necesitar simular el flujo solamente hasta que se halla desarrollado, ya que a partir de este punto toda simulaci´on extra conducir´a a una repetici´on del perfil de velocidades y ser´a por lo tanto redundante. Sin embargo muchas veces se prefiere agregar longitud para asegurar que se alcanz´o el desarrollo, y para prevenir el agregado de informaci´on defectuosa originada por la condici´on de contorno.

2.3.1.

Otros m´

etodos

lado, est´an los m´etodos que trabajan a nivel microsc´opico, interpolando directamente los valores de las poblaciones de part´ıculas desde el vecindario sin tener en cuenta las variables macrosc´opicas.

Asumiendo que el flujo a la salida est´a totalmente desarrollado, se tiene

∂ux

∂x = 0, (2.2)

∂uy

∂x = 0. (2.3)

Estas condiciones se aseguran usando alguna estimaci´on num´erica de la derivada par-cial en funci´on de las celdas corriente arriba. La forma m´as simple es utilizar una interpolaci´on a nivel de celda

ux(Nx, y) =ux(Nx−1, y), (2.4)

Por otro lado, en estado estacionario la conservaci´on de masa implica

∂ρux

∂x = 0, (2.5)

que no puede satisfacerse al mismo tiempo junto a la Ec.2.2, ya que ρes proporcional a la presi´on en el esquema BGK (Ec. 1.8) y el gradiente de presiones a lo largo del canal concluye en∂ρ/∂x = 0. Tomando en consideraci´on este problema, Tong et al. [84] propusieron la siguiente correcci´on para la Ec. 2.4

ux(Nx, y) =σux(Nx−1, y), (2.6)

donde

σ=

P

yρ(1, y)ux(1, y)

P

yρ(Nx−1, y)ux(Nx−1, y)

la entrada x= 1 que a la salida x=Nx.

El problema luego es un caso especial de determinar las poblaciones que apuntan en una direcci´on (en este caso corriente arriba), f4, f5, f6 conocidas todas las otras poblaciones de la celda y las dos componentes de su velocidad macrosc´opica ~u. Esto puede expresarse (Fig. 2.1) como

f4+f5+f6 =f2+f1+f8−uxρ=fx, (2.8)

f4−f6 =uyρ+f8−f2 =fy, (2.9)

donde las inc´ognitas f4, f5, f6 est´an aisladas en el lado izquierdo.

Como se explic´o en la Secci´on 1.3.3, debe notarse que la densidad ρ en la cel-da quecel-da completamente determinacel-da por ux y los valores de poblaci´on conocidos. Adem´as hay tres inc´ognitas y dos datos, por lo que se necesita una relaci´on adicional. Se recuerda que esto es la dificultad central en estos problemas, y que la soluci´on pue-de afectar la precisi´on en todo el dominio [52]. El m´etodo explicado en dicha secci´on asume el rebote de las poblaci´on de no-equilibrio en la poblaci´on perpendicular a la salida [100] y es el m´etodo m´as extendido en la literatura.

Alternativamente, en su trabajo para establecer perfil desarrollado, Tong et al. [84] proponen usar los valores del contorno de ~u y ρ para calcular las poblaciones de equilibrio y forzar a este valor todas las poblaciones, incluso aquellas que ya eran conocidas. A su vez, asumen velocidad transversal nula (uy = 0).

Por otro lado, existen m´etodos para fijar perfil desarrollado que no calculan varia-bles macros´opicas sino que trabajan directamente sobre las poblaciones de part´ıculas fi. Estos m´etodos, se pueden describir como interpolaciones de los valores de celdas anteriores en el sentido del canal. En general, se expresan como

respectivamente, que se corresponden con una interpolaci´on de los valores de grado 1 y 2 respectivamente. El problema cuando ψ = 1 es que la ca´ıda de presi´on no puede ser representada a la salida del canal. Para ello ψ = 2 es una elecci´on mucho mejor, pero esta selecci´on puede llevar a valores negativos de fi cuando el flujo de salida tiene grandes gradientes. Esta elecci´on se basa en suponer que la tasa de variaci´on de las fi es constante una vez que el perfil complet´o su desarrollo.

2.3.2.

M´

etodo de m´

axima entrop´ıa para flujo desarrollado

En la b´usqueda de una mejor opci´on para condiciones de contorno de perfil desa-rrollado en esta tesis se comenz´o por el an´alisis del comportamiento de diferentes variables durante el desarrollo del flujo. Posteriormente se busc´o una tercer cantidad que permitiera agregar la informaci´on faltante. Se analizaron por ejemplo la evoluci´on de las poblaciones, la entrop´ıa, entre otras, buscando una interpretaci´on f´ısica sobre los resultados obtenidos.

En LBM hist´oricamente se ha utilizado la entrop´ıaH propuesta por Ansumali (Eq.

2.1), cuyo valor est´a influenciado por ρ. Debido a que ρ no es constante a lo largo del flujo desarrollado, es natural observar que H var´ıa. Como se explic´o en la Seccion

2.2, es sabido que la funci´on de equilibrio fe

i maximiza H, pero es importante notar que a su vez depende de ρ de forma proporcional. Por esto se analiz´o una propuesta de entrop´ıa utilizando fi/ρ, las cuales constituyen una distribuci´on de probabilidad propiamente dicha considerando que P

ifi/ρ = 1. De esta manera se obtiene una entrop´ıa independiente de la densidadHiρ, cuya expresi´on est´a dada por

Hiρ=− 8 X i=0 fi ρlog fi ρwi . (2.11)

(a) Entrop´ıaH (b) Entrop´ıaHiρ

Figura 2.2: Comparaci´on de mapas de entropias H y Hiρ para un canal con un perfil de entrada de velocidad constante que se desarrolla a una par´abola.

variable que se desarrolla parecido al flujo. Sobre la salida del canal Hiρ hace evidente la influencia de la condici´on de contorno utilizada.

El objetivo fue entonces encontrar una forma de incorporar esta variable que se desarrolla para completar el sistema. Para esto se analiz´o la celda central del dominio por ser la que menor influencia de los contornos tendr´ıa. Se estudiaron los posibles valores de f5 y la entrop´ıa correspondiente a cada uno de ellos, compar´andola con el nivel real de H obtenido en la simulaci´on. Es decir, se supuso que la celda era un contorno para el que los verdaderos valores de las fi son conocidos. En la Fig. 2.2 se observa con l´ınea punteada el nivel de H de referencia (−0,6 10−4_{), y los valores} obtenidos para diferentes valores def5. Se observa que el ´unico valor def5 que iguala la entrop´ıa obtenida a la esperada tambi´en es el que la maximiza.

Es importante analizar la relaci´on entre la entrop´ıa propuesta y la previamente utilizada en [3].

Hiρ =−

Xf_i

ρlog fi ρwi (2.12)

Extrayendo ρde la sumatoria y del logaritmo se obtiene

Hiρ =−

1

ρ

X

filog

fi wi

+log(ρ)

ρ

X

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 -19,8

-13,2 -6,6 0,0

f 5

/ [x10]

Valor real de referencia

Nivel para f

5

H

i

[

x1

0

0

0

]

Hiρ =

1

ρH+ log (ρ) . (2.14)

Luego, se puede verificar que si ρ se mantiene constante ambas expresiones de entrop´ıa (Ec. 2.1 y Ec. 2.11) se maximizan para los mismos valores de fi. En este contexto, se opt´o por realizar el an´alisis de maximizaci´on directamente sobre H.

Primeramente t´engase en cuenta que H se maximiza respecto defe

i, no respecto defi. Incluso en un estado estacionario, luego del paso de advecci´onfi no tiene porque estar relacionado a f_ie ya que los valores de fi se calcularon en base a fie de otras celdas. Por ello, no es una observaci´on trivial el hecho de que dadas las restricciones de algunasfi,H tambi´en se maximiza sobre las restantesfi luego del paso de advecci´on.

Finalmente la propuesta para condiciones de contorno de perfil desarrollado es un criterio que resulta natural desde el punto de vista f´ısico, como lo es la maximizaci´on de la entrop´ıa. Partiendo de esto, se plantea el problema de determinar f4, f5, f6 tal que el Lagrangiano

L= X

i=4,5,6 filn

fi wi

+λx(f4+f5+f6−fx) +λy(f4−f6−fy), (2.15)

tenga un extremo. Las magnitudes de λx y λy son los multiplicadores de Lagrange correspondientes a la preservaci´on de ux y uy respectivamente.

Diferenciando respecto a cada inc´ognita resulta

∂L ∂f4

= ln f4

w4

+ 1 +λx+λy = 0, (2.16)

∂L ∂f5

= ln f5

w5

+ 1 +λx= 0, (2.17)

∂L ∂f6

= ln f6

w6

w2₅f4f6 =w4w6f52. (2.19)

Combinando las Ec. 2.8,2.9 y 2.19

3 4f

2

5 −2fxf5+fx2−f 2

y = 0, (2.20)

donde los valores de w4 =w6 = 1/36y w5 = 1/9 son asumidos.

La soluci´on de la Ec. (2.20) resulta en

f5 =

2 3

2fx±

q

f2 x + 3fy2

, (2.21)

y los correspondientes valores de f4 y f6 son

f4 =

1

2(fx+fy −f5), (2.22)

f6 =

1

2(fx−fy −f5), (2.23)

El signo en la Ec. 2.21 debe ser elegido de forma de asegurar que todas las po-blaciones sean positivas. Para estudiar ´esta situaci´on las Ecs. (2.8) y (2.9) fueron despejadas de manera de obtener una expresi´on explicita def4 y f6 seg´un el valor de f5,

f4+

1

2f5 =α, (2.24)

f6+

1

2f5 =β, (2.25)

dondeα= (fx+fy)/2yβ = (fx−fy)/2. Vale la pena resaltar ac´a queα >0yβ >0

es requisito necesario y suficiente para la existencia de una soluci´on. La expresi´on para f5 es

f5 =

4 3

(β+α)±

q

(β+α)2−3αβ

f4 = 1 3

α−2β∓2

q

(β+α)2−3αβ

= 1 3

α−2β∓

q

(α−2β)2+ 3α2

.

(2.27) De forma an´aloga usando la Ec. (2.26) en Ec. (2.25)

f6 =

1 3

β−2a∓

q

(β−2a)2+ 3β2

. (2.28)

Para asegurar un valor positivo en ambas variables f4 y f6, se debe elegir siempre el signo negativo(−) en la Ec. (2.26). Finalmente

f5 =

4 3

(β+a)−

q

(β+a)2−3aβ

, (2.29)

f4 =

1 3

a−2β+

q

(a−2β)2+ 3a2

, (2.30)

f6 =

1 3

β−2a+

q

(β−2a)2+ 3β2

, (2.31)

son las expresiones expl´ıcitas para obtener valores definidos positivos que maximizan la entrop´ıa de la celda, sujetos a las restricciones macrosc´opicas. Cabe resaltar que la propiedad de que la condici´on de contorno sea definida positiva siempre que exista una soluci´on es una propiedad deseable para cualquier operador de la densidad de part´ıculas.

2.4.

Resultados

Figura 2.4: Flujo de Posseuille en un canal rectangular.

del largo de celda ∆x, todos los tiempos en unidades de ∆t, y todas las velocidades en unidades de∆x/∆t. Los estudios se realizaron con velocidad de entrada uniforme, conuin = 0,01(en unidades de la grilla) en la direcci´onxy el par´ametro de relajaci´on τ = 0,6. Sobre las paredes laterales se impuso velocidad nula utilizando el m´etodo est´andar de condiciones de contorno mid-way bounce-back [99].

Para comparar el m´etodo propuesto con otros m´etodos existentes para condiciones de contorno, cada caso de estudio se resolvi´o con cada m´etodo analizado. El primer m´etodo es el propuesto, basado en maximizaci´on de la entrop´ıa condicionada. El segundo m´etodo (Zou & He) y el tercero (Tonget al.) fueron descritos en la secci´on previa. En el tercero y en el propuesto en esta tesis, el factor de compresibilidad dado por la Ec. 2.7 fue usado para el c´alculo de la velocidad impuesta en la salida. El cuarto y quinto m´etodo utilizan (2.10), con ψ = 1[81] yψ = 2 [96] respectivamente. Considerando las siguientes denominaciones: los numeramos M1 (m´etodo propuesto), M2 (Zou & He), M3 (Tong et al.), M4 (interpolaci´on de 1), y M5 (interpolaci´on de 2 celdas de Yu).

2.4.1.

Flujo de Poisseuille

El primer escenario estudiado es el flujo de Poiseuille, sin aplicar fuerzas volum´ etri-cas en el fluido. El flujo plano de Poiseuille es un flujo en un canal de largo Ly ancho H (Fig.2.4) desarrollado.

ux =umax(1− y2

(H₂)2), (2.32)

uy = 0. (2.33)

Cuando el fluido es originado por una velocidad de entrada uniforme, la misma se relaciona con la velocidad en el centro del fluido desarrollado por

umax = 3

2uin. (2.34)

Se realiz´o una simulaci´on con cada m´etodo estudiado para determinar el perfil de velocidades a la salida del canal. El estado estacionario se consider´o alcanzado al observar una variaci´on m´axima del campo de velocidades de 10−7 _{en cada celda, y se} compar´o el perfil de velocidades a la salida con la soluci´on anal´ıtica. Como m´etrica de comparaci´on se utiliz´o el m´aximo error normalizado respecto a la velocidad de entrada. Se vari´o el ancho y alto del canal manteniendo su relaci´on de aspecto, para estudiar la convergencia del m´etodo. La Fig.2.5 compara la convergencia a la soluci´on anal´ıtica de los diferentes m´etodos a medida que la resoluci´on de la grilla aumenta. El m´etodo de m´axima entrop´ıa (M1), Zou & He’s (M2) y la interpolaci´on de dos celdas de Yu(M5), muestran el mejor orden de convergencia(orden ∼ 2). Por otro lado, la interpolaci´on de 1 celda (M4) degrada la convergencia a orden∼1y la propuesta de Tong et al. de usar las poblaciones de equilibrio no converge.

10 1 10 2 10 3 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 N y

M1, M2, M5 M3 M4 M á xi m o E r r o r a l a S a l i d a

Figura 2.5: Flujo de Poiseuille. Convergencia a la soluci´on anal´ıtica de los diferentes m´etodos al incrementar la resoluci´on de la grilla. El error relativo del perfil de velocidad a la salida respecto a la soluci´on anal´ıtica se gr´afica en funci´on del ancho del canal.

el mapa de distancias Euclideas entre los vectores de velocidad normalizados con la velocidad de entrada obtenido para cada m´etodo. Se puede observar que los menores errores se logran con el m´etodo propuesto de m´axima entrop´ıa (M1), seguido por la interpolaci´on de 2-cedlas (M5). Los otros m´etodos est´an dos ´ordenes de magnitud peor que M1, especialmente cerca de la salida del dominio. Por otro lado, se estudi´o la funci´on del m´aximo error en el mapa de velocidad para cada m´etodo en funci´on del largo del canal; es decir, cuanto m´as largo es el canal menor es el error. La Fig.

Figura 2.6: Flujo de Poiseuille. Mapa de contorno de la desviaci´on de la velocidad comparada con una simulaci´on num´erica de un canal m´as largo (Nx=500).

10 1 10 2 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 M á xi m o E r r o r ( t o d o e l d o m i n i o ) Largo Simulado M3 M4 M1 M5 M2

2.4.2.

Canal con una fuerza volum´

etrica transversal

El segundo caso estudiado es el flujo en un canal rectangular donde se aplica en cada celda una aceleraci´on −G en el eje y, es decir, una fuerza efectiva de valor ρG. An´alogamente al caso anterior (Flujo de Poiseuille), se estudi´o la influencia de la condici´on de contorno a la salida comparando la soluci´on de un canal de 200 celdas de largo contra las primeras 200 celdas de una simulaci´on de un canal de 500 celdas. La Fig.2.8muestra el mapa de distancias eucl´ıdeas entre ambas velocidades normalizado respecto de la velocidad de entrada para cada m´etodo (an´alogamente a la Fig. 2.6). El resultado es similar a los obtenidos para el flujo de Poiseuille, los menores errores son obtenidos por el m´etodo propuesto de m´axima entrop´ıa (M1). La Fig.2.9muestra la dependencia de los m´aximos errores respecto al largo del canal, y los resultados son similares a los del caso de flujo de Poiseuille (Fig. 2.7).

Asumiendo que el flujo se encuentra totalmente desarrollado, se puede aproximar una expresi´on anal´ıtica del perfil de velocidades esperado. En este caso la ecuaciones de N–S para cada direcci´on son

− ∂p

∂x +µ d2_u

dy2 = 0, (2.35)

− ∂p

∂y +ρG= 0. (2.36)

Usando la ecuaci´on de estado p=c2

sρ , las Ecs. 2.35 y 2.36 resultan ∂ρ

∂x = µ c2 s

d2u

dy2, (2.37)

ρ(x, y) =ρo(x) exp Gy c2 s . (2.39)

Diferenciando la Ec. 2.39 respecto a x ∂ρ ∂x = dρo dx exp Gy c2 s . (2.40)

Combinando las Ecs. 2.37 y 2.40 obtenemos µ

c2 s

d2u dy2 =

dρo dx exp Gy c2 s . (2.41)

Para peque˜nosGH/c2

s resulta en

u=− 1 2µ

dpo dx(y

2 o −y

2₎

1 + Gy 3cs2

, (2.42)

donde el medio del canal se fij´o en y= 0 y las paredes laterales en y =±yo.

El perfil desarrollado del flujo de Poiseuille se recupera cuando G = 0, como es de esperarse. Dado la diferencia de magnitudes, se decidi´o comparar la desviaci´on del perfil de velocidades respecto al de Poiseuille, es decir, analizar

∆u=uG−uG=0 =uin Gy3

o

2c2 s

1− y

2 y2 o y yo , (2.43)

donde el gradiente de presiones se relacion´o con la velocidad de entrada por medio del perfil de velocidad de Poiseuille.

Nuevamente, se aplicaron los m´etodos de m´axima entrop´ıa y los otros mencionados para imponer una condici´on de contorno de flujo totalmente desarrollado a la salida. La Fig.2.10muestra el mapa de∆u/

uinGy3o

2c2

s

10 1 10 2 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 M á xi m o E r r o r ( t o d o e l d o m i n i o Largo Simulado M3 M4 M1 M5 M2

Figura 2.9: Canal con fuerza volum´etrica. Dependencia del m´aximo error con el largo del canal.

referencia para el perfil de∆uen la regi´on totalmente desarrollada. Se puede observar que la aplicaci´on del m´etodo M1 (M´axima Entrop´ıa) y M5 (interpolaci´on de 2 celdas) coinciden muy bien con la soluci´on de referencia en la zona desarrollada. En cambio, los dem´as m´etodos llevan a soluciones incorrectas.

2.4.3.

Entrop´ıas y gradientes de velocidad

Figura 2.10: Canal con una fuerza transversal volum´etrica. Mapa de ∆u/

uinGy3o

2c2

s

f₄∗,f₅∗,f₆∗ seg´un la m´axima entrop´ıa condicionada corriente abajo propuesta usando las Ecs.2.21, 2.22 y2.23. Con estos valores se eval´ua la m´aximaHiρ alcanzable en cada celda con la Ec.2.1 pero usando f₄∗,f₅∗,f₆∗ en lugar de las poblaciones corriente arriba actuales, es decir

H_iρ∗ =− X

j6=4,5,6 fj

ρln

fj wjρ

− X j=4,5,6 fj ρln _f∗ j wjρ

. (2.44)

La magnitud de la diferencia entre Hiρ y H_iρ∗ puede verse como un indicador de cu´an lejos se encuentra el fluido respecto de la estructura de equilibrio que implica un flujo totalmente desarrollado, adem´as

∆H =H_iρ∗ −Hiρ = (H∗−H)/ρ, (2.45)

dondeH∗ es la entrop´ıa calculada usandof₄∗, f₅∗ y f₆∗. Es interesante la observaci´on de que la distancia entre la entrop´ıa independiente de la densidad y la entrop´ıa cl´asica de LBM son iguales escaladas en la densidad, ya que el ρ dentro del logar´ıtmo es una constante que se anula en la resta. Es decir, ambas diferencias representan la diferencia de entrop´ıa por part´ıcula.

Figura 2.12: Canal con fuerza volum´etrica. Distancia entre la entrop´ıa actual espec´ıfica, y la m´axima entrop´ıa alcanzable condicionada corriente abajo.

del m´etodo propuesto, y muestra que la maximizaci´on de la entrop´ıa propuesta esta relacionada con el equilibrio espacial que tiene un flujo desarrollado.

2.5.

Conclusiones

El principio de m´axima entrop´ıa fue aplicado en LBM para completar las variables indeterminadas por el paso de advecci´on en celdas de borde con restricciones de velocidad. El m´etodo fue implementado en 2D pero su generalizaci´on a 3D es directa. El algoritmo resultante permite derivar una formula algebraica expl´ıcita que es f´acil de implementar sin comprometer la performance del esquema general. El m´etodo propuesto fue testeado en simulaciones de flujo desarroll´andose en un canal rectangular con y sin fuerzas volum´etricas. El m´etodo fue comparado con otras alternativas para condiciones de contorno previamente presentadas en la literatura, mostrando buena precisi´on y estabilidad en todos los casos.

En base a los objetivos planteados, es importante resaltar que el m´etodo desarro-llado es f´acilmente paralelizable. Salvo la lectura de variables macrosc´opicas del perfil anterior, es totalmente local. Por otro lado, la lectura de alguna variable del perfil inmediatamente anterior (o m´as de uno) es inevitable en condiciones de contorno de este tipo.

Adem´as, se estudi´o el mapa de la desviaci´on de la entrop´ıa actual en cada celda del canal con la m´axima entrop´ıa, donde se observa una interesante correlaci´on con el gradiente de velocidad. Este indicador puede utilizarse para saber si el flujo est´a desarrollado, evitando calcular el gradiente de ~u. La ventaja de este enfoque es que

∆H es totalmente local, evitando calcular la derivada que combina al menos dos celdas adyacentes en cada dimensi´on.

M1 M2 M3 M4 M5 Estabilidad Buena Buena Buena Buena Mala

Convergencia de Orden 2 Si Si No No Si

∆usimulado correctamente Si No No Si Si

Tabla 2.1: Tabla comparativa de m´etodos.

2.6.

Trabajos futuros

El trabajo presentado en este Cap´ıtulo parti´o del an´alisis de fluidos desarrollados. El m´etodo resultante est´a definido positivamente para todo caso en el que exista soluci´on. Si bien este es un caso particular, es razonable esperar que aumente en general la estabilidad del esquema num´erico. Adem´as, el m´etodo de m´axima entrop´ıa podr´ıa utilizarse para condiciones de contorno en donde se desee fijar la velocidad, por lo que se podr´ıa plantear como una condici´on de contorno de ´ındole mucho mas general al caso de inter´es estudiado.

Por otro lado, se plantea una soluci´on anal´ıtica simple para el caso de canales de dos dimensiones. Por esto, resulta natural buscar la existencia de una soluci´on anal´ıtica para tres dimensiones y realizar estudios de las propiedades del mismo. En caso de que no exista una soluci´on anal´ıtica se podr´ıan buscar alternativas de aproximaci´on, como usarse una aproximaci´on al igual que se hace com´unmente con BGK o usar valores cercanos afe

i dadas las restricciones ya existentes.

Cap´ıtulo 3

Un algoritmo eficiente de frontera

inmersa para interacci´

on

fluido-s´

olido en el m´

etodo de

3.1.

Resumen

En este cap´ıtulo se presenta un algoritmo que combina las caracter´ısticas de LBM y del m´etodo de frontera inmersa (Inmersed Boundary - IB). Siguiendo formulaciones previas, el m´etodo permite representar un fluido contenido por contornos flexibles mediante un t´ermino de fuerza que act´ua en cada celda adyacente al borde, y a su vez dicho contorno puede ser desplazado por el fluido. El presente algoritmo introduce un procedimiento m´as eficiente para las iteraciones que calculan la interacci´on entre fluido y contorno, lo que facilita la implementaci´on y mejora laperformance. Adem´as, este algoritmo puede ser implementado en unidades de procesamiento gr´afico (GPU) de forma simple.