CAPÍTULO 1. Integral Indefinida.pdf

(1)

INTEGRAL INDEFINIDA

TEORÍA

(2)

INTRODUCCIÓN

Los contenidos del curso se desarrollarán con el apoyo de los contenidos de Khan Academy, las guías de clase y talleres propuestos estarán en www.mathspace.jimdo.com

Usted debe ver los videos de este documento previamente a las reuniones programadas, en las que se discutirán los contenidos y ejercicios propuestos.

De igual manera usted puede estudiar directamente todos los videos en la página oficial de Khan Academy en español en el siguiente enlace:

2

(3)

(4)

Integral Indefinida

Definición de Integral Indefinida, Antiderivada o Primitiva

Se denomina a 𝐹(𝑥) una integral indefinida de 𝑓(𝑥) en el intervalo 𝐼, si

𝑑

𝑑𝑥𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥).

(La integral indefinida de una función dada no es única).

(5)

 𝑑 𝑑𝑥𝑥

2 ₌ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥

2 _{+ 2 =} 𝑑 𝑑𝑥 𝑥

2 _{− 𝜋 =} 𝑑 𝑑𝑥 𝑥

2 _{+ 𝐶 = 2𝑥}

 Todas las primitivas de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 están

representadas por la expresión 𝑥2 + 𝐶 en la que 𝐶

es una constante cualquiera y se denomina Constante de Integración.

Ejemplo 1.

𝑥2, 𝑥2 + 2, 𝑥2−𝜋, 𝑥2 + 𝐶.

(𝐶, constante).

Son las primitivas o integrales indefinidas de 𝑓 𝑥 = 2𝑥.

Ya que:

5

(6)

6

Se llamará Integral Indefinida de la función 𝒇(𝒙), al conjunto de todas las antiderivadas de la función 𝒇(𝒙), y se denotará como:

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Esta expresión se lee “Integral de 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥”.

(7)

Integral indefinida de “

𝒙

" elevada a una

potencia.

(n ≠ −1).

7 න 𝑥

𝑛

𝑑𝑥 =

𝑥

𝑛+1

𝑛 + 1

+ 𝐶

𝑑 𝑑𝑥

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶 =

𝑑 𝑑𝑥

𝑥𝑛+1 𝑛 + 1 +

𝑑 𝑑𝑥 𝐶

= (𝑛 + 1)𝑥𝑛 𝑛 + 1 + 0

= 𝑥𝑛 Recuerde:

(8)

Integral indefinida de “𝒙" elevada

a una potencia: (n ≠ −1).

8

Ejemplo 2. Determinar la integral de cada una de las siguientes funciones:

න 𝑥

𝑛

𝑑𝑥 =

𝑥

𝑛+1

𝑛 + 1

+ 𝐶

a.׬ 𝑥−3𝑑𝑥

b. ׬ 5 𝑥𝑑𝑥

Recuerde:

𝑎−𝑚 = 1 𝑎𝑚

𝑛

𝑎𝑚 ₌ 𝑛 _𝑎 _𝑚 _{= 𝑎}𝑚Τ_𝑛

Solución: a. ׬ 𝑥−3𝑑𝑥

= 𝑥

−3+1

−3 + 1 + 𝐶 = 𝑥−2

−2 + 𝐶

=

− 1

2𝑥2 + 𝐶

b. ׬ 5 𝑥𝑑𝑥 =

න 𝑥1 5Τ 𝑑𝑥

= 𝑥1 5+1Τ Τ

1 5 + 1 + 𝐶

= 𝑥6 5Τ Τ

6 5 + 𝐶

= 5

6

5

𝑥6 + 𝐶

= 5

6𝑥

5

(9)

Integral indefinida de “𝒙" elevada

a una potencia: (n ≠ −1).

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥7 _{b. 𝑔 𝑥 = 𝑥}−𝑒 _{c. ℎ 𝑥 = 𝑥}−2

d. 𝑖 𝑥 = 1

𝑥 e. 𝑗 𝑥 =

1

3

𝑥 f. 𝑚 𝑥 = 1

3

𝑥4

9

Ejercicio 1. Determinar la integral de cada una de las siguientes funciones:

න 𝑥

𝑛

𝑑𝑥 =

𝑥

𝑛+1

(10)

Propiedades de linealidad

10

1. න 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± න 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 La Integral Indefinida cumple con las propiedades de linealidad, es decir:

2. න 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑘 ∈ ℝ

(11)

Tabla de Integrales. (Parte A)

11

1. ׬ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 10. ׬ cot(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 _19._{׬ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −}cos(𝑎𝑥) 𝑎 + 𝐶

2. ׬ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1

n+1 + 𝐶 ; 𝑛 ≠ −1

11. ׬ sec(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + tan(𝑥) + 𝐶 _20._{׬ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =} sen(𝑎𝑥) 𝑎 + 𝐶

3. ׬1_𝑥𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝐶 12. ׬ c𝑠𝑐(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡(𝑥) + 𝐶 _21._{׬ 𝑒}𝑎𝑥_{𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =} 𝑒𝑎𝑥(bsen 𝑏𝑥 +acos(𝑏𝑥)) 𝑎2_+𝑏2 + 𝐶

4. ׬ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 13. ׬ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 _22._{׬ 𝑒}𝑎𝑥_{𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =} 𝑒𝑎𝑥(asen 𝑏𝑥 −𝑏cos(𝑏𝑥)) 𝑎2+𝑏2 + 𝐶

5. ׬ 𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝐿𝑛(𝑎)+ 𝐶

14. ׬ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶 _23._׬ 1

𝑎2+𝑥2 𝑑𝑥 = 1

𝑎𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑎 + 𝐶

6. ׬ 1_𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝐶 15. ׬ sec 𝑥 tan(𝑥)𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 24. ׬_𝑥₂_−𝑎1 ₂ 𝑑𝑥 = 1 2𝑎𝐿𝑛

𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 + 𝐶

7. ׬ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos(𝑥) + 𝐶 16. ׬ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc(𝑥) + 𝐶 _25._׬ 1

𝑎2−𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2𝑎𝐿𝑛

𝑎+𝑥 𝑎−𝑥 + 𝐶

8. ׬ cos(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 17. ׬ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝐶 _26._׬ 1

2 2 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥

(12)

Técnicas de Integración

12

Integración directa

Este método aplica cuando de manera inmediata se identifica la regla correspondiente en la Tabla de Integrales, ya sea haciendo uso de recursos algebraicos, como los radicales y las potencias empleadas en los ejercicios previos, además de recursos trigonométricos, entre otros, según sea el caso.

(13)

Ejemplo 3.

13

න 1

5 + 𝑥2𝑑𝑥

න 1

5 + 𝑥2 𝑑𝑥 = න

1

5 2 + 𝑥2 𝑑𝑥

= 1

5𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥

5 + 𝐶

Integración

directa

(14)

Ejemplo 4.

14

න 𝑒

𝑥 + 𝜋 cos ℎ 𝑥 − 1 7𝑒

𝑥 _𝑑𝑥

න 𝑒

𝑥 + 𝜋 cos ℎ 𝑥 − 1 7𝑒

𝑥 _𝑑𝑥

= න_𝑥𝑒𝑑𝑥 + න 𝜋 cos ℎ 𝑥 𝑑𝑥 − න1₇𝑒𝑥𝑑𝑥

= 𝑒 න1_𝑥𝑑𝑥 + 𝜋 න cos ℎ 𝑥 𝑑𝑥 −1₇න 𝑒𝑥𝑑𝑥

=

𝑒𝑙𝑛 𝑥 + 𝜋𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 − 1 7𝑒

𝑥 _{+ 𝐶}

Integración

directa

3. ׬1

𝑥𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥 + 𝐶

18. ׬ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶

4. ׬ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

(15)

Integración

directa

15

Ejercicio 2.

Determinar la integral de cada una

de las siguientes funciones,

haciendo uso de procesos

algebraicos, trigonométricos, de la

Tabla de Integrales y las

Propiedades de Linealidad según corresponda:

a. ׬ 1 − 𝑥 2𝑑𝑥 b. ׬ 3𝑥4 + 53𝑥−5 𝑑𝑥 c. _{׬ 3𝑥}23 _8𝑥4_𝑑𝑥

d. ׬ 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 e. ׬ 10cos(𝑥) 𝑑𝑥 f. ׬ 5 22𝑥 𝑑𝑥

g. ׬ 𝑒𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 h. _׬ −5

𝑥 + 1 3𝑒

𝑥 _𝑑𝑥 i. _{׬ 𝑥}𝑒 _{− 𝑒}𝑥 _𝑑𝑥

j. ׬(𝑒𝑥+3 + 𝑥𝑒2 − _k.

׬_𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑥₂_𝑥𝑑𝑥 l. _׬ 1

3+𝑥2 𝑑𝑥

m.׬ 2−𝑥_𝑥3 _𝑥3𝑑𝑥 n. ׬

1 𝑐𝑜𝑠(𝑥)−

1

𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 o. ׬

(16)

Técnicas de Integración

16

Integración por sustitución o cambio de variable

Sean 𝑢 = 𝑔(𝑥) y 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥.

Si 𝐹 es una primitiva de 𝑓 en un intervalo 𝐼, entonces:

(17)

Técnicas de Integración

17

Integración por sustitución o cambio de variable

(18)

Integración por

sustitución o cambio de

variable

18

Ejemplo 5.

න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + 3 82𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 𝑑𝑥

න(𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 + 3)82𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 𝑑𝑥 ₌ න 𝑢8𝑑𝑢

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 3 = 𝑢

9

9 + 𝐶 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥

2₎

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑑𝑥

= (𝑠𝑒𝑛(𝑥

2_{) + 3)}9

9 + 𝐶

(19)

Integración por

sustitución o cambio de

variable

19

Ejercicio 3.

Determinar la integral de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de

procesos algebraicos,

trigonométricos, de la Tabla

de Integrales, las

Propiedades de Linealidad y del Método de Sustitución según sea el caso:

a. ׬ 1 + 𝑥 5𝑑𝑥 b. ׬ 1 − 𝑥 5𝑑𝑥 c. ׬ 2𝑥 𝑥2 + 3 7 𝑑𝑥

d. ׬(2𝑥 + 4) 𝑥2 + 4𝑥 8𝑑𝑥 _e._׬ 3𝑥2

𝑥3+3𝑑𝑥 f. ׬ 1 2𝑥+9𝑑𝑥

g. ׬ 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 h. ׬ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 i. ׬ 𝑎3𝑥 𝑑𝑥

j. ׬ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) 𝑑𝑥 k. ׬𝑠𝑒𝑛( 𝑥)_𝑥 𝑑𝑥 l. ׬ 𝜋𝑥 𝑥 − 1 𝑑𝑥

m.׬ 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 n. ׬ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 𝑑𝑥 o. _׬𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)

𝑥2+1 𝑑𝑥

p.׬ 6𝑥

2₊₁

4𝑥3+2𝑥 9𝑑𝑥 q.׬ 1

4−𝑥𝑑𝑥 r. ׬ 𝑠𝑒𝑛 1

(20)

Técnicas de Integración

20

Integración por Partes

Es una técnica útil cuando la función a integrar es un producto de funciones algebraicas o trascendentes. Esto es:

න 𝑓𝑑𝑔 = 𝑓𝑔 − න 𝑔𝑑𝑓

Tenga en cuenta:

1. La parte que se iguala a 𝑑𝑔, debe ser fácilmente integrable.

(21)

Técnicas de Integración

21

Integración por Partes

(22)

Integración por partes

₂₂

Ejemplo 6.

׬ 2𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

׬ 2𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛(𝑥)) 𝑥2 − ׬ 𝑥2 1𝑥𝑑𝑥

𝑓 = 𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑓 = 1 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥2𝑙𝑛(𝑥) − ׬ 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑔 = 2𝑥𝑑𝑥

න 𝑑𝑔 = න 2𝑥𝑑𝑥

𝑔 = 𝑥2 + 𝐶₁

= 𝑥2𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥

2

2 + 𝐶

Solución:

2. ׬ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1

(23)

23

Ejemplo 7.

න 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 _{= 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑒}𝑥 − න 𝑒𝑥cos(𝑥) 𝑑𝑥

𝑓 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑑𝑓 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒

𝑥_{𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos 𝑥 𝑒}𝑥 _{− න 𝑒}𝑥 _{(−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥)}

𝑑𝑔 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

න 𝑒𝑥𝑑𝑔 = න 𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑔 = 𝑒𝑥 + 𝐶₁

= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos 𝑥 𝑒𝑥 − න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝑓₁ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑑𝑓₁ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑔₁ = 𝑒𝑥𝑑𝑥

න 𝑒𝑥𝑑𝑔₁ = න 𝑒𝑥𝑑𝑥

Solución:

(24)

24 Integración por

partes

Ejemplo 7.

න 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ₌ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos 𝑥 𝑒𝑥 − න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

2 න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ₌ _𝑒𝑥_{𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos 𝑥 𝑒}𝑥

න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ₌ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos 𝑥 𝑒𝑥

2 + C

න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ₌ 𝑒𝑥

2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C

(25)

Integración por Partes

₂₅

Ejercicio 4.

Determinar la integral de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de

procesos algebraicos,

trigonométricos, de la Tabla

de Integrales, las

Propiedades de Linealidad y del Método de Integración por Partes según sea el caso:

a. ׬ 4𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 b. ׬ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 c. ׬ 𝑥2𝑒3𝑥𝑑𝑥

d. ׬(2𝑥2+ 2𝑥 − 3)𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 e. ׬ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 f. ׬ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

g. ׬ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 h. ׬ 𝑥𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 i. ׬ 2𝑥𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 1) 𝑑𝑥

j. ׬𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 k. ׬ 𝑥𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥 l. ׬_𝑐𝑜𝑠𝑥₂_𝑥𝑑𝑥

m.׬(𝐿𝑛𝑥)2𝑑𝑥 n. ׬𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 o. ׬ 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥

(26)

Técnicas de Integración

26

Integración de Funciones Racionales (Fracciones Parciales)

Para el uso de esta técnica es indispensable el manejo de los temas:

 División de polinomios.

 Factorización de polinomios.

(27)

Técnicas de Integración

27

Fracciones propias e impropias

Una función racional 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) es una fracción propia si el grado del polinomio 𝑃(𝑥) es menor que el

grado del polinomio 𝑄(𝑥). En caso contrario, la fracción será denominada como fracción

impropia.

(28)

Técnicas de Integración

28

Caso 1. El denominador 𝑸 𝒙 es un producto de factores lineales distintos

Es decir que

𝑄 𝑥 = (𝑎₁𝑥 + 𝑏₁)(𝑎₂𝑥 + 𝑏₂)( 𝑎₃𝑥 + 𝑏₃) ⋯ (𝑎_𝑘𝑥 + 𝑏_𝑘) En este caso, existen constantes 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃,…, 𝐴_𝑘, tales que:

) 𝑃(𝑥

) 𝑄(𝑥 =

𝐴₁

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁ +

𝐴₂

𝑎₂𝑥 + 𝑏₂ +

𝐴₃

𝑎₃𝑥 + 𝑏₃ + ⋯ +

(29)

Técnicas de Integración

29

Caso 2. El denominador 𝑸 𝒙 es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten

Es decir que

𝑄 𝑥 = (𝑎₁𝑥 + 𝑏₁)𝑘 En este caso, existen constantes 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃,…, 𝐴_𝑘, tales que:

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =

𝐴₁

𝑎₁𝑥 + 𝑏₁ +

𝐴₂

(𝑎₁𝑥 + 𝑏₁)2 +

𝐴₃

(𝑎₁𝑥 + 𝑏₁)3 + ⋯ +

𝐴_𝑘

(30)

Técnicas de Integración

30

Caso 3. El denominador 𝑸 𝒙 es un producto de factores cuadráticos irreducibles sin repetir

Es decir que

𝑄 𝑥 = (𝑎₁𝑥2 + 𝑏₁𝑥 + 𝑐₁)( 𝑎₂𝑥2 + 𝑏₂𝑥 + 𝑐₂)( 𝑎₃𝑥2 + 𝑏₃𝑥 + 𝑐₃) ⋯ (𝑎_𝑘𝑥2 + 𝑏_𝑘𝑥 + 𝑐_𝑘) En este caso, existen constantes 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃,…, 𝐴_𝑘 y 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃,…, 𝐵_𝑘, tales que:

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =

𝐴₁𝑥 + 𝐵₁ 𝑎₁𝑥2 _{+ 𝑏}

1𝑥 + 𝑐1

+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2 𝑎₂𝑥2 _{+ 𝑏}

2𝑥 + 𝑐2

+ 𝐴3𝑥 + 𝐵3 𝑎₃𝑥2 _{+ 𝑏}

3𝑥 + 𝑐3

+ ⋯ + 𝐴𝑘𝑥 + 𝐵𝑘 𝑎_𝑘𝑥2 _{+ 𝑏}

(31)

Técnicas de Integración

31

Caso 4. El denominador 𝑸 𝒙 es un producto de factores cuadráticos algunos de los cuales se repiten

Es decir que

𝑄 𝑥 = (𝑎_𝑘𝑥2 + 𝑏_𝑘𝑥 + 𝑐_𝑘)𝑘

En este caso, existen constantes 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃,…, 𝐴_𝑘 y 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃,…, 𝐵_𝑘, tales que:

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =

𝐴₁𝑥 + 𝐵₁ 𝑎₁𝑥2 _{+ 𝑏}

1𝑥 + 𝑐1

+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2 𝑎₂𝑥2 _{+ 𝑏}

2𝑥 + 𝑐2 2

+ 𝐴3𝑥 + 𝐵3 𝑎₃𝑥2 _{+ 𝑏}

3𝑥 + 𝑐3 3

+ ⋯ + 𝐴𝑘𝑥 + 𝐵𝑘 𝑎_𝑘𝑥2 _{+ 𝑏}

(32)

32

Ejemplo 8.

Integración por

Fracciones parciales

න 5𝑥 + 3

𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥}𝑑𝑥

5𝑥 + 3

𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥} =

𝐴 𝑥 +

𝐵 𝑥 − 3 +

𝐶 𝑥 + 1

La expresión a integrar, es una fracción propia, debido a que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

La factorización del denominador (𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥)} _es: _{𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1 .}

Luego, la fracción dada se expresa como la suma de tres fracciones parciales con factores lineales distintos en el denominador:

El siguiente paso es determinar los valores de las constantes 𝐴, 𝐵 y 𝐶:

Multiplicando por 𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1 a cada término:

𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1 5𝑥 + 3

𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1 =

𝐴 𝑥 +

𝐵 𝑥 − 3+

𝐶

𝑥 + 1 𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1

5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 − 3 𝑥 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶𝑥(𝑥 − 3)

5𝑥 + 3 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + −2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶 𝑥 + (−3𝐴)

Igualando los coeficientes de la izquierda con los de la derecha, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(33)

33

Ejemplo 8.

Integración por

Fracciones parciales

න 5𝑥 + 3

𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥}𝑑𝑥

5𝑥 + 3 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + −2𝐴 + 𝐵 − 3𝑐 𝑥 + (−3𝐴)

Igualando los coeficientes de la izquierda con los de la derecha, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

ቐ

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 −2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶 = 5

−3𝐴 = 3

Cuya solución es: 𝑨 = −𝟏, 𝑩 = 𝟑/𝟐 y 𝑪 = −𝟏/𝟐. (Verificar). Volviendo a la integral, se tiene:

න 5𝑥 + 3

𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥} 𝑑𝑥 = න 𝐴 𝑥 +

𝐵 𝑥 − 3 +

𝐶

𝑥 + 1 𝑑𝑥

(34)

34

Ejemplo 8.

Integración por

Fracciones parciales

න 5𝑥 + 3

𝑥3 _{− 2𝑥}2 _{− 3𝑥}𝑑𝑥

න 5𝑥 + 3

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 𝑑𝑥 = න

−1 𝑥 +

3/2 𝑥 − 3+

−1/2 𝑥 + 1 𝑑𝑥

= _{− න}1

𝑥𝑑𝑥 + 3 2න

1

𝑥 − 3𝑑𝑥 − 1 2න

1

𝑥 + 1𝑑𝑥

= _{−𝐿𝑛 𝑥 +}3

2𝐿𝑛 𝑥 − 3 − 1

2𝐿𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶

(35)

35

Ejercicio 5.

Determinar cada una de las siguientes integrales usando fracciones parciales:

Integración de Funciones

Racionales (Fracciones Parciales)

a. ׬ 7𝑥+3

𝑥2+3𝑥−4𝑑𝑥 b. ׬

𝑥2+2𝑥−1

2𝑥3+3𝑥2−2𝑥𝑑𝑥 c. ׬

5𝑥2−36𝑥+48 𝑥(𝑥−4)2 𝑑𝑥

d. ׬𝑥

4_−2𝑥2_+4𝑥+1

𝑥3−𝑥2−𝑥+1 𝑑𝑥 e. ׬

4𝑥2−8𝑥+1

𝑥3−𝑥+6 𝑑𝑥 f. ׬

2𝑥2−𝑥+4 𝑥3+4𝑥 𝑑𝑥

g. ׬1−𝑥+2𝑥2−𝑥3

𝑥(𝑥2+1)2 𝑑𝑥 h.׬

8𝑥2+5𝑥+18

(4𝑥2+9)2 𝑑𝑥 i. ׬

(36)

Técnicas de Integración

36

Integración de funciones trigonométricas

(37)

Técnicas de Integración

37

Integrales de la forma ׬ 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 o ׬ 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙

Si “𝑛” es impar usar:

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

Si “𝑛” es par usar:

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1

2 1 − cos2𝑥)

(38)

38 Integración por

partes

Ejemplo 9.

න 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥

න 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥 ₌ න1

2 1 + cos(2𝑥) 𝑑𝑥

= 1

2 න 1𝑑𝑥 + න cos 2𝑥 𝑑𝑥

= 1

2 𝑥 +

𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

2 + 𝐶

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1

2 1 + cos(2𝑥) 20. ׬ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = sen(𝑎𝑥)_𝑎 + 𝐶

(39)

39 Integración por

partes

Ejemplo 10.

න 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 𝑑𝑥

න 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 𝑑𝑥 ₌ න 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

= න(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

= _{න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑐𝑜𝑠}2_{(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥}

La primera integral es directa, de la tabla de integrales (7). La segunda Integral se puede resolver por sustitución:

(40)

40 Integración por

partes

Ejemplo 10.

න 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 𝑑𝑥

La primera integral es directa, de la tabla de integrales (7). La segunda Integral se puede resolver por sustitución:

න 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= න 𝑡2 (−𝑑𝑡)

𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑𝑡 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑡3

3 + 𝐶

= ₋𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

3 + 𝐶1

De ahí que:

න 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 𝑑𝑥 ₌ න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

= _{−𝑐𝑜𝑠(𝑥) +} 𝑐𝑜𝑠3 𝑥

3 + 𝐶

Solución:

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1

(41)

Integración de funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒔𝒆𝒏

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒔

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

41

Ejercicio 6.

Determinar la integral de cada una de las siguientes funciones:

a. ׬ 𝑐𝑜𝑠2_{𝑥 𝑑𝑥} _{b. ׬ 𝑠𝑒𝑛}3_{𝑥 𝑑𝑥} _{c. ׬ 𝑐𝑜𝑠}4_{𝑥 𝑑𝑥}

(42)

Técnicas de Integración

42

Integrales de la forma ׬ 𝒔𝒆𝒏(𝒎𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) 𝒅𝒙, ׬ 𝒔𝒆𝒏(𝒎𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙) 𝒅𝒙, ׬ 𝒄𝒐𝒔 𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) 𝒅𝒙

Se sugiere: _1. _{𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 sen 𝑛𝑥} ₌

−1

2 𝑐𝑜𝑠 𝑚 + 𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑚 − 𝑛 𝑥

2. 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 cos(𝑛𝑥) = 1

2 𝑐𝑜𝑠 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑚 − 𝑛 𝑥

3. 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 = 1

2 𝑠𝑒𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥

4. 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 sen(𝑛𝑥) =

1

2 𝑠𝑒𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥

Recuerde que: 𝑠𝑒𝑛 −𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

(43)

43 Integración de

funciones

trigonométricas

Integrales de la

forma

׬ 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ׬ 𝒔𝒆𝒏(𝒎𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ׬ 𝒄𝒐𝒔 𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) 𝒅𝒙

Ejemplo 11.

න 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) 𝒅𝒙

න 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑑𝑥 ₌ න1

2 𝑠𝑒𝑛 2 + 3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2 − 3 𝑥 𝑑𝑥

= 1

2 න 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑠𝑒𝑛 −𝑥 𝑑𝑥

= 1

2 න 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= 1

2 −

cos 5𝑥

5 + cos(𝑥) + 𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 = 1

2 𝑠𝑒𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 −𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

(44)

44

Ejercicio 7.

a.

׬ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)cos(3𝑥) 𝑑𝑥

b.

׬ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥

c.

׬ cos(5𝑥)cos(2𝑥) 𝑑𝑥

Integración de

funciones

trigonométricas

Integrales de la

forma

(45)

Técnicas de Integración

45

Integrales de la forma ׬ 𝒕𝒂𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 o ׬ 𝒄𝒐𝒕𝒏𝒙 𝒅𝒙

Se sugiere:

(46)

Técnicas de

Integración

46

Integración de funciones

trigonométricas

𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1 Ejemplo 12.

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑑𝑥

= න 𝑡𝑎𝑛

2 _{𝑥 tan(𝑥) 𝑑𝑥}

= න(𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1 )tan(𝑥) 𝑑𝑥

= _{න 𝑠𝑒𝑐}2 _{𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 − න tan 𝑥 𝑑𝑥}

La primera integral se resuelve por sustitución, la segunda se resuelve directamente usando la tabla de integrales (9):

9. ׬ tan 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐿𝑛 cos(𝑥) + 𝐶

(47)

Técnicas de

Integración

47

Integración de funciones

trigonométricas

Ejemplo 12.

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑑𝑥

La primera integral se resuelve por sustitución, la segunda se resuelve directamente usando la tabla de integrales (9):

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 _{= න 𝑠𝑒𝑐}2 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 − න tan 𝑥 𝑑𝑥

𝑡 = tan(𝑥)

𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑡𝑑t − න tan 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑡

2

2 − −𝐿𝑛 cos 𝑥 + C

= tan

2_(𝑥)

2 + 𝐿𝑛 cos 𝑥 + C

Solución:

(48)

Integración de funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒕𝒂𝒏

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒕

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

48

Ejercicio 8.

(49)

Técnicas de Integración

49

Integrales de la forma ׬ 𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 o ׬ 𝒄𝒐𝒕𝒎𝒙𝒄𝒔𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙

Caso 1: Si el exponente de la secante o cosecante “𝑛” es par, se reescribe de tal manera que encuentre la derivada de la tangente o cotangente según corresponda.

𝑑

𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐

2_𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐

(50)

Integración de funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒕𝒂𝒏

𝒎

(𝒙)𝒔𝒆𝒄

𝒏

(𝒙)𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒕

𝒎

(𝒙)𝒄𝒔𝒄

𝒏

(𝒙) 𝒅𝒙

50

Ejemplo 13.

׬ 𝑡𝑎𝑛−

3

2(𝑥)𝑠𝑒𝑐4(𝑥) 𝑑𝑥

׬ 𝑡𝑎𝑛− 3

= න 𝑡𝑎𝑛−

3

2(𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥

= න 𝑡𝑎𝑛−

3

2(𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑥)(𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1)𝑑𝑥

= න 𝑡𝑎𝑛 1

2_{(𝑥)𝑠𝑒𝑐}2_{(𝑥) 𝑑𝑥 + න 𝑡𝑎𝑛}− 3

2_{(𝑥)𝑠𝑒𝑐}2_{(𝑥) 𝑑𝑥}

Las dos integrales se resuelven por sustitución: 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

= න 𝑡

1

2 _{𝑑𝑡 + න 𝑡}− 3 2 _𝑑𝑡

𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1

𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐

2_𝑥

(51)

Integración de funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒕𝒂𝒏

𝒎

(𝒙)𝒔𝒆𝒄

𝒏

(𝒙)𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒕

𝒎

(𝒙)𝒄𝒔𝒄

𝒏

(𝒙) 𝒅𝒙

51

Ejemplo 13.

׬ 𝑡𝑎𝑛−

3

׬ 𝑡𝑎𝑛− 3

= න 𝑡

1

2 𝑑𝑡 + න 𝑡− 3 2 𝑑𝑡 = 𝑡3/2 3/2 + 𝑡−1/2

−1/2 + 𝐶

= 2 3𝑡

3/2 _{− 2𝑡}−1₂ _{+ 𝐶}

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

= 2

3𝑡𝑎𝑛

3

2_{(𝑥) − 2𝑡𝑎𝑛}− 1

2_{(𝑥) + 𝐶}

𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1

𝑑

(52)

Integración de funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒕𝒂𝒏

𝒎

𝒙𝒔𝒆𝒄

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒕

𝒎

𝒙𝒄𝒔𝒄

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

52

Ejercicio 9.

(53)

Técnicas de Integración

53

Integrales de la forma ׬ 𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 o ׬ 𝒄𝒐𝒕𝒎𝒙𝒄𝒔𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙

Caso 2: Si el exponente de la tangente o cotangente “𝑚” es impar, se reescribe de tal manera que encuentre la derivada de la secante o cosecante según corresponda.

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑

(54)

54 Integración de

funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

׬ 𝒕𝒂𝒏

𝒎

𝒙𝒔𝒆𝒄

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

o

׬ 𝒄𝒐𝒕

𝒎

𝒙𝒄𝒔𝒄

𝒏

𝒙 𝒅𝒙

 Ejemplo 14.

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑠𝑒𝑐−12 _{𝑥 𝑑𝑥}

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑠𝑒𝑐−12 _{𝑥 𝑑𝑥} ₌ _{න 𝑡𝑎𝑛}2 _{𝑥 𝑠𝑒𝑐}− 3

2 _{𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥}

= න(𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑐−

3

= න 𝑠𝑒𝑐

1

2 _{𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − න 𝑠𝑒𝑐}− 3

Las dos integrales se resuelven por sustitución:

(55)

55

 Ejemplo 14.

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑠𝑒𝑐−12 _{𝑥 𝑑𝑥}

Solución:

න 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑠𝑒𝑐−12 _{𝑥 𝑑𝑥} ₌ _{න 𝑠𝑒𝑐}12 _{𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − න 𝑠𝑒𝑐}− 3

𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑡

1

2𝑑𝑡 − න 𝑡− 3 2𝑑𝑡 = 𝑡3/2 3 2 − 𝑡

−1₂

−1₂ + 𝐶

= 2 3𝑠𝑒𝑐

3

2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑐− 1

2 𝑥 + 𝐶

Las dos integrales se resuelven por sustitución:

Integración de

funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

(56)

56

Ejercicio 10.

a. ׬ 𝑡𝑎𝑛5 𝑥 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥 b. ׬ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 𝑠𝑒𝑐−1/2(𝑥) 𝑑𝑥 c. ׬ 𝑐𝑜𝑡3 𝑥 csc(𝑥) 𝑑𝑥

Integración de

funciones

trigonométricas

Integrales de la forma

(57)

Técnicas de Integración

57

Integración por sustitución trigonométrica

Si una integral presenta radicales con suma o diferencia de cuadrados, se recomienda:

Se tiene Sustituir por Obtener

1 _𝑎2 _{− 𝑏}2_𝑥2 _{𝑥 =} 𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑡) 1 − 𝑠𝑒𝑛

2_𝑡

2 _𝑎2 _{+ 𝑏}2_𝑥2 _{𝑥 =} 𝑎

𝑏𝑡𝑎𝑛(𝑡) 1 + 𝑡𝑎𝑛

2_𝑡

3 _𝑏2_𝑥2 _{− 𝑎}2 _{𝑥 =} 𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐(𝑡) 𝑠𝑒𝑐

(58)

58

Ejemplo 15.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥 = න

4 − (2𝑠𝑒𝑛 𝑡 )2

(2𝑠𝑒𝑛 𝑡 )2 2 cos 𝑡 𝑑𝑡

𝑎 = 2, 𝑏 = 1 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න 4 − 4𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

4𝑠𝑒𝑛2(𝑡) 2 cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න 4(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 )

2𝑠𝑒𝑛2_(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න 4 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡

2𝑠𝑒𝑛2_(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡

= න 1 − 𝑠𝑒𝑛

2 _𝑡

𝑠𝑒𝑛2_(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡

𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = 1

Solución:

1 _𝑎2_{− 𝑏}2_𝑥2 _{𝑥 =} 𝑎

(59)

59

Ejemplo 15.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥 = න

1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2_(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න 𝑐𝑜𝑠2 𝑡

𝑠𝑒𝑛2(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න cos(𝑡)

𝑠𝑒𝑛2_(𝑡)cos 𝑡 𝑑𝑡

= _න𝑐𝑜𝑠2(𝑡) 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)𝑑𝑡

= න 𝑐𝑜𝑡2 𝑡 𝑑𝑡

(60)

60

Ejemplo 15.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥 = න 𝑐𝑜𝑡

2 _{𝑡 𝑑𝑡}

= න 𝑐𝑠𝑐2 𝑡 − 1 𝑑𝑡

= _{න 𝑐𝑠𝑐}2 _{𝑡 𝑑𝑡 − න 𝑑𝑡}

= − 𝑐𝑜𝑡 𝑡 − 𝑡 + 𝐶

𝑐𝑜𝑡2 𝑡 − 𝑐𝑠𝑐2 𝑡 = −1

14. ׬ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶

(61)

61

Ejemplo 15.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑡 − 𝑡 + 𝐶

𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡

Regresando a la variable original (𝑥): Dado que:

𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 Entonces:_{𝑠𝑒𝑛 𝑡 =} 𝑥

2 (1)

De (1) completamos el siguiente triángulo rectángulo: Del triángulo se obtiene:

𝒄𝒐𝒕 𝒕 = 𝟒 − 𝒙

𝟐

𝒙 De (1):

𝒕 = 𝑨𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

(62)

62

Ejemplo 15.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥

න 4 − 𝑥

2

𝑥2 𝑑𝑥 =

− 𝑐𝑜𝑡 𝑡 − 𝑡 + 𝐶

𝒄𝒐𝒕 𝒕 = 𝟒 − 𝒙

𝟐

𝒙 𝒕 = 𝑨𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝟐

= −

4 − 𝑥2

𝑥 − 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥

2 + 𝐶

𝑐𝑜𝑡(𝑡) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

(63)

63

Ejercicio 11.

a. ׬ 9−𝑥_𝑥 2𝑑𝑥 b. ׬ 4−𝑥_𝑥₂ 2𝑑𝑥 c. ׬ 𝑥

3

𝑥2+9 3ൗ2𝑑𝑥

d. ׬ 𝑥2_𝑥−16₃ 𝑑𝑥 e. ׬ 1

𝑥2 4+𝑥2𝑑𝑥 f. ׬ 5 − 4𝑥 − 𝑥 2_𝑑𝑥

(64)

Técnicas de Integración

64

Integración de funciones racionales trigonométricas (Sustitución Universal)

Caso 1. Integrales del tipo

න 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

Se recomienda:

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2

donde:

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑡 1 + 𝑡2

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑡

2

1 + 𝑡2

𝑑𝑥 = 2

(65)

65

Ejemplo 16.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 1

1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥)𝑑𝑥

t = tan 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

2𝑡 1 + 𝑡2

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑡

2

1 + 𝑡2

𝑑𝑥 = 2

1 + 𝑡2 𝑑𝑡

න 1

1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥)𝑑𝑥 = න

1 1 + 2𝑡

1 + 𝑡2 +

1 − 𝑡2

1 + 𝑡2

2

1 + 𝑡2𝑑𝑡

= න 1

1 + 𝑡2 _{+ 2𝑡 + 1 − 𝑡}2

1 + 𝑡2

2

1 + 𝑡2𝑑𝑡

= න_{2𝑡 + 2}2 𝑑𝑡

= න_{2(𝑡 + 1)}2 𝑑𝑡

= න_{𝑡 + 1}1 𝑑𝑡

= 𝐿𝑛 𝑡 + 1 + 𝐶

(66)

66

Ejercicio 12.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

a. ׬ 1

4𝑠𝑒𝑛𝑥+1𝑑𝑥 b. ׬

1

3𝑠𝑒𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 c. ׬

(67)

Técnicas de Integración

67

Integración de funciones racionales trigonométricas (Sustitución Universal)

Caso 2. Integrales del tipo

׬ 𝑅 −𝑠𝑒𝑛𝑥, −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ׬ 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Se recomienda:

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 donde:

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡 1 + 𝑡2

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 1 + 𝑡2

(68)

68

Ejemplo 17.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

න 1

1 + 𝑠𝑒𝑛2 _𝑥 𝑑𝑥

න 1

1 + 𝑠𝑒𝑛2 _𝑥 𝑑𝑥 = න

1

1 + 𝑡 1 + 𝑡2

2

1

1 + 𝑡2𝑑𝑡

= න 1 1 + 𝑡2

1 + 𝑡2

1

1 + 𝑡2 𝑑𝑡

= න

1 1 + 𝑡2 _{+ 𝑡}2

1 + 𝑡2

1

1 + 𝑡2𝑑𝑡

= න_{1 + 2𝑡}1 2𝑑𝑡

= න 1 1 + 2𝑡 2

𝑑𝑡

= 1

2𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑡 + 𝐶

= 1

2𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2tan(𝑥) + 𝐶

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡 1 + 𝑡2

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 1 + 𝑡2

𝑑𝑥 = 1

1 + 𝑡2 𝑑𝑡

(69)

69

Ejercicio 13.

Integración

por

sustitución

trigonométrica

a. ׬ 1

1+𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 b. ׬

𝑠𝑒𝑛2𝑥

1+𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 c. ׬ 1