Universidad Rey Juan Carlos
Facultad de Ciencias del Turismo
Departamento de Ciencias de la Educación,
el Lenguaje, la Cultura y las Artes
Tesis Doctoral
Probabilidad, Redes Neuronales e Inteligencia
Artificial en Composición Musical. Desarrollo de
los Sistemas MusicProb y MusicNeural
INFORME DEL DIRECTOR DE LA TESIS DOCTORAL
Madrid, 14 de octubre de 2012
D. Antonio Palmer Aparicio, Catedrático de Improvisación y Acompañamiento en el Real Conservatorio Superior de música de Madrid y Doctor en Historia y Ciencias de la Música por la Universidad Autónoma de Madrid, como director de la Tesis Doctoral: “Probabilidad, Redes Neuronales e Inteligencia Artificial en Composición Musical. Desarrollo de los Sistemas MusicProb y MusicNeural” que presenta D. Víctor Padilla Martín-Caro para la obtención del Grado de Doctor, emite el siguiente
INFORME
D. Víctor Padilla Martín-Caro ha realizado un excelente trabajo de investigación sobre el uso de la simulación informática en la composición musical. Esta nueva herramienta se está convirtiendo en una especie de ‘telescopio’ para enfrentar la complejidad de los procesos creativos en sistemas complejos como es la música. Superando la habitual combinación de teoría, experimento y modelo se generan ahora otras realidades posibles que aceleran la adquisición de nuevo conocimiento, ampliando así sus propias fronteras.
El concepto de metasistema se presenta aquí como “meta-composiciones”, composiciones que generan composiciones, buscando simplicidad en la universalidad alejándonos de los detalles para ver lo esencial e intentar así definir las reglas básicas de formación de estructuras musicales. La comprensión de la música gana ahora terreno aprehendiendo su factor más importante y hasta ahora más difícil de abordar con los tradicionales métodos analíticos: el tiempo y los distintos acontecimientos que definen esa trayectoria única que es una composición musical.
En esta tesis también se han utilizado con rigor las referencias especializadas existentes, con lo que se ha elaborado un trabajo académico sumamente original dentro del ámbito de la investigación musical actual más novedoso: el creativo-performativo.
Por todo ello hago constar que el citado trabajo reúne todos los requisitos necesarios para su defensa conforme a lo establecido den el R. D. 56/2005 de 21 de Enero.
Y para que así conste, expido y firmo la presente en el Rectorado de la Universidad Rey Juan Carlos de Madrid, a 14 de Octubre de 2012.
Índice
. Introducción 9
1.- Antecedentes históricos en composición musical algorítmica 15
1.1.- Del Medievo al Renacimiento 15
1.2.- Clasicismo y azar 18
1.3.- Azar en el siglo XX 27
1.4.- Conclusiones y reflexiones 31
2.- Probabilidad y Música Estocástica 33
2.1.- Nociones básicas de Teoría de la probabilidad 33
2.2.- Ejemplo de trabajo compositivo empleando
distribuciones de probabilidad. Xenakis y Achorripsis 37
2.2.1.- Iannis Xenakis. Breve reseña 37
2.2.2.- Iannis Xenakis. Pensamiento musical 38
2.2.3.- Análisis de Achorripsis 41
2.2.3.1.- Organización macroformal 41
2.2.3.2.- Distribución de eventos en función de las
columnas 45
2.2.3.3.- Distribución de eventos en función de las
filas 50
2.2.3.4.- La matriz de juego 52
2.2.3.5.- Organización a nivel de celda 52
2.2.5.3.1.- Distribución exponencial 53
2.2.5.3.2.- Distribución Lineal 55
2.2.5.3.3.- Distribución Normal 56
2.2.3.6.- Comentarios al análisis de la partitura 62
2.2.3.7.- Análisis desde el punto de vista musical 71
3.- Implementación práctica. MusicProb 1.0 75
3.1.- Introducción 75
3.2.- Descripción del interfaz de la aplicación 75 3.3.- Aplicación práctica. Divertimento para Orquesta 94
3.4.- Descripción técnica 99
3.5.- Conclusiones y reflexiones 105
4.- Inteligencia Artificial en Composición Musical 106
4.1.- Introducción 106
4.2.- Antecedentes 106
4.3.- Algoritmos Genéticos 110
4.4.- Un ejemplo de Algoritmos Genéticos en Composición
Musical 113
4.5.- Autómatas Celulares 114
4.6.- Autómatas Celulares en Composición Musical 121
4.7.- Ejemplo de obra electroacústica con Autómatas Celulares.
The Game of Life 124
4.8.- Sistemas basados en Agentes 133
4.9.- Sistemas basados en Agentes en Composición Musical 135
4.10.- Ejemplo de obra mixta para orquesta y electroacústica
Empleando probabilidad y sistemas en agentes.
Tramas Orgánicas 137
4.10.1.- Introducción 137
4.10.2.- Electroacústica. Simulación en Agentes 137
4.10.3.- Orquesta. Juegos de Probabilidades 152
4.11.- Conclusiones y reflexiones 153
5.- Redes Neuronales Artificiales 156
5.1.-Introducción 156
5.2.- Perceptrón Multicapa 158
5.3.- Forward Propagation 159
5.4.- Backward Propagation 160
5.5.- Redes Recurrentes 162
5.6.- Redes Neuronales en Composición Musical 165
5.7.- Conclusiones y reflexiones 167
6.- Implementación práctica. MusicNeural 1.0 168 168
169
181 6.1.- Introducción
6.2.- Descripción de la interfaz de la aplicación
6.3.- Descripción técnica
6.4.- Conclusiones y reflexiones 187
7.- Análisis de la obra Variaciones Clásicas 189
7.1.- Introducción 190
7.2.- Análisis de la partitura 189
7.3.- Conclusiones y reflexiones 214
8.- Conclusiones finales 217
. Referencias 223
- En torno a la Composición Musical 223
- En torno a los Algoritmos Musicales 227
- En torno a la Matemática y la Ingeniería 232
. Partituras 236
. Anexos 240 - Anexo I. Código fuente MusicNeural 240
- Principal.java 240
- ProcesaMusicNN.java 253
- GraficaEntrenamiento.java 264
- Anexo II. Código fuente MusicProb 265
- Principal.java 265
- ProcesaMusicRandom.java 293
- Anexo III. Funciones básicas de ajuste de parámetros 300 de los agentes en actionscript en la parte electroacústica Tramas
Orgánicas
- Anexo IV. Fichero de Csound que permite generar el track 1
de Tramas Orgánicas 306
- Anexo V. Partitura Variaciones Clásicas 314
Introducción
El mundo de la ciencia y del arte siempre han tenido bastantes puntos
en común. Desde la antigüedad, remontándonos a la Grecia Clásica, sabemos
de las enseñanzas de Pitágoras y sus sucesores, para los que la práctica de la
música y las matemáticas no pertenecía a campos separados. Los griegos
consideraban que el sistema de sonidos y ritmos musicales, al estar ordenados
numéricamente, ejemplificaban la armonía del cosmos. Esta idea de relación
matemático-musical la podemos rastrear a lo largo de la historia, como
veremos en el primer capítulo de este trabajo. El problema fundamental es que
esta relación se puede dar en muchos aspectos de la creación musical y sus
implicaciones pueden ir mucho más allá de aspectos concretos o triviales.
Cuando un compositor se plantea emplear métodos
científico-matemáticos a la hora de componer surgen ciertas preguntas. La primera, aunque parezca ingenua es, bueno, ¿y para qué? ¿tiene sentido? A estas alturas
del siglo XXI tenemos sobre nuestras espaldas la carga del peso de las
vanguardias históricas y lo que supuso Darmstadt para la historia de la música.
No es nuestro cometido analizar la explosión artística del gran número de
propuestas creativas que de allí nacieron. Una de estas líneas, en concreto el
mundo de Xenakis, lo comentaremos en el capítulo segundo, por ser realmente
el padre de la probabilidad o la estocástica aplicada a la música. Pero volviendo
a nuestra pregunta, a un compositor del siglo XXI, ¿qué le puede aportar los
cálculos matemáticos o la inteligencia artificial? En realidad la respuesta a esta
pregunta puede ser tan variopinta como la forma de trabajar del propio
compositor. Lo que vamos a intentar exponer con esta tesis son herramientas
que pudieran servir a un compositor para desarrollar su forma de componer e
incluso su creatividad. No estamos hablando ni de “la máquina de hacer
composiciones automáticas” ni de un mundo mágico en el que los ordenadores
reemplazan la creatividad del hombre. Lo que se pretende exponer con este
trabajo son técnicas muy concretas del campo de la matemática y de la
interesado. Se nos plantea un segundo reto. Intentar explicarlo de una manera
científica pero comprensible para cualquier músico/compositor, o dicho de otra
manera, cómo adentrarnos en el mundo de la creatividad musical sin perder el rigor matemático. Aquí volvemos al mundo griego, seguro que ellos sabrían
como hacerlo; nosotros vamos a intentarlo.
De nuestros padres y abuelos musicales, si nos remontamos incluso a la
Segunda Escuela de Viena, podemos ver una necesidad común de encontrar un
sistema que reemplace la estructuración tonal. Propuestas ha habido muchas, lo
que ha enriquecido enormemente el panorama compositivo. Siguiendo una
línea, si se quiere más radical o de vanguardia donde el acorde vertical o
agregado pierde peso, podemos encontrar técnicas como el dodecafonismo de
Schoenberg [Schoenberg_50], serialismo integral de Boulez [Boulez_81], sistemas probabilísticos o estocásticos de Xenakis [Xenakis_92]. En propuestas algo más tradicionalistas podríamos encuadrar, por ejemplo, a
Messiaen [Messiaen_44], Hindemith [Hindemith_40] o incluso a Barce [Barce_85]. En el particular listado anterior de compositores/técnicas, sin pretender ser exhaustivos, nos encontramos en todos los casos textos
representativos que tratan de explicar la manera de proceder en su trabajo
compositivo y cómo reemplazar las reglas de la tradición del sistema tonal que
la mayor parte de compositores de la segunda mitad del XX consideran
agotado. En general, en la mayor parte subyacen reglas matemáticas que se
convierten en el nuevo camino a seguir. Si la obra de arte puede explicarse por métodos científicos ya parece que está bien hecha, que es correcta o al menos
el analista puede descansar tranquilo porque ha encontrado la Piedra de Rosetta que resuelve el crucigrama. Aquí podría abrirse un amplio debate sobre métodos matemáticos y percepción, pero éste no es el objetivo. El presente
trabajo es mucho menos ambicioso. No se trata de encontrar ni el nuevo gran
sistema que reemplace a la tonalidad, ni intentar convencer sobre las bondades
del empleo de las herramientas aquí planteadas. Simplemente, a modo de
ejemplo presentaremos fragmentos de composiciones propias con los
desarrollos y aplicaciones expuestos. La calidad o utilidad de lo aquí
presentado entra en un camino, en cierto modo, incómodo para una tesis, pero
intentaremos distanciarnos de nuestro trabajo y realizar la exposición más
objetiva posible, si es posible la objetividad en un campo tan subjetivo como la
creación artística.
En cualquier caso, aún a riesgo de echarnos piedras sobre nuestro
propio tejado, nos parece que lo más interesante no es el presente trabajo en sí,
sino lo que pudiera suscitar en la imaginación o creatividad de algún
compositor o científico. Nos viene a la memoria el caso de uno de los
compositores más reconocido, sin lugar a dudas, de la segunda mitad del siglo
XX, G. Ligeti. No puede decirse que estuviera realmente interesado en
implementar férreas leyes matemáticas en su mundo compositivo, pero sí
atento a los avances científicos del momento. A modo de ejemplo, en su
estudio Desordres para piano, hace un homenaje a la teoría del caos de una forma personal. Esto es algo que desde aquí nos parece importante señalar; el
compositor no pone el foco en la veracidad de la implementación de la teoría
sino, cómo a través de su mano, la idea del caos le lleva a generar la obra. A
nuestro parecer, lo de menos es si hay una formulación matemática llevada a
sus últimas consecuencias. El oyente en todo momento tiene una sensación de
estar inmerso en un proceso de orden y desorden que posiblemente era el
objetivo real del compositor. Un caso muy diferente es el pensamiento de
Xenakis como veremos en el capítulo 2. Las leyes matemáticas se llevan a sus
últimas consecuencias y la percepción del oyente es algo mucho más
subliminal. ¿Dos formas de atajar un problema común? Seguramente, pero ahí
está la grandeza o la riqueza de la composición musical. Ideas comunes y resultados divergentes.
La obras musicales, las composiciones, independientemente del periodo
o estilo, en gran medida se convierten en una suma de procesos. Llámense a
estos procesos modulaciones, progresiones o algoritmos, pero por muy bueno
que sea el fundamento teórico o la raíz matemática de cada proceso no
garantiza la calidad final del producto. Ingredientes excepcionales para fabricar
un pastel pueden hacer que el resultado de éste sea insípido y a la inversa, los
recursos empleados por el compositor pueden no ser los más avanzados, pero
el resultado final extraordinario. En muchos casos como afirma Diether de la
y no las teorías compositivas. La intuición o inspiración (palabra casi maldita
en la segunda mitad del XX) de un compositor pueden llevarle por caminos
diferentes a los que se empeña en pregonar en sus escritos o tratados. Al final, lo realmente importante, sin duda, es la partitura o la obra musical, más allá de
las teorías del proceso de construcción de la misma.
En resumen, e intentando ser sintéticos, los objetivos propuestos a la
hora de la realización del trabajo han sido los siguientes.
- El estudio de los algoritmos musicales y la historia. Cómo han sido empleadas técnicas matemáticas o procesos secuenciales en la
composición de obras de diversas épocas. Hemos intentado
responder a la pregunta ¿es el empleo de algoritmos en la
composición musical algo exclusivo del siglo XX y XXI?
- Encontrar paralelismos entre la física y la música. ¿Se puede componer música basada en leyes físicas mas allá del fenómeno
físico armónico? ¿Es posible crear un sistema compositivo basado
en las probabilidades que rigen por ejemplo el comportamiento de
los gases?
- De qué manera podemos emplear la inteligencia artificial o sistemas inteligentes para llevar a cabo una composición musical. ¿Tienen cabida estas técnicas en el campo musical? Analizaremos maneras
divergentes de emplear un mismo algoritmo.
- Desarrollar y explicar herramientas informáticas (MusicProb y MusicNeural) que permitan a cualquier compositor interesado emplearlas o extender sus características. Hemos intentado explicar
toda la documentación de las herramientas tanto desde el punto de
vista científico como funcional. Posteriormente se han desarrollado
composiciones en las que podemos ver la utilización de estas
herramientas.
- Crear fragmentos musicales de una obra en la que estén presentes
las herramientas aquí presentadas y desarrolladas. Esto será
explicado intentando realizar un análisis objetivo.
Para la metodología a emplear en un trabajo de estas características
podemos encontrar fuentes muy diversas. A modo de ejemplo vamos a exponer
las principales grandes áreas de las que extraer información. Al final del
trabajo podemos encontrar una extensa bibliografía con las fuentes consultadas.
- Lectura y análisis de artículos y libros científicos. Hemos hecho especial incidencia en el campo de la probabilidad e ingeniería del
conocimiento.
- Lectura y análisis de libros y artículos musicales y técnicos. Desde libros de armonía tradicional a artículos y escritos de compositores
actuales.
- Bibliografía que aúne ambos campos, como “Formalizad Music”, o artículos y libros de Miranda, Mozer…
- Partituras de diversos autores, desde Mozart o Haydn a
Stockhausen, Ligety o Xenakis…
- Grabaciones sonoras de éstas obras y de obras electroacústicas (puras o mixtas).
- Empleo de herramientas de programación musical como Csound, Java o jMusic con su consiguiente bibliografía, lectura y análisis.
En definitiva, el acercamiento y ensamblaje de tres campos como son la
composición musical actual, la ingeniería del conocimiento y la ingeniería del
software en esta tesis ha resultado complejo, pero apasionante. Somos conscientes de que el lector, dependiendo de su área de conocimiento, puede
encontrarse en algunos momentos algo desconcertado, pero hemos intentado,
en todo momento, hacer una lectura lo más asequible posible sin perder el rigor
técnico en ninguno de los ámbitos. También somos conscientes de que se nos
puede acusar justo de lo contrario, de falta de profundidad en alguno de los
temas tratados. Al final de cada capítulo hemos introducido un apartado de
conclusiones y reflexiones en el que nos hemos permitido la libertad de
expresar opiniones personales que hemos considerado complementarias. En
definitiva, si el presente texto, al margen de la matemática o la ingeniería
puede de servir de debate, estímulo o reflexión, al menos un objetivo oculto se
habrá cumplido.
1.- Antecedentes históricos en composición
musical algorítmica:
1.1.- Del Medievo al Renacimiento
La composición algorítmica, o composición basada en reglas formales
tiene una larga tradición, no solo en la historia de la música occidental. Las
primeras aproximaciones en algoritmos aplicados a la música y la composición
nos remontan a Guido d’Arezzo (en torno a 991-1031). Guido perfeccionó la
escritura musical con la implementación definitiva de líneas horizontales que
fijaron alturas de sonido, cercano a nuestro sistema actual y acabando con la
notación neumática. Finalmente, después de ensayar varios sistemas de líneas
horizontales se impuso el pentagrama griego: cinco líneas. Su obra Micrologus
fue el segundo tratado sobre música con mayor difusión en la Edad Media tras
las obras de Boecio. Los estudiosos datan su Micrologus art en 1025 o 1026. Menos conocidos son sus trabajos en el campo de la composición algorítmica
donde diseña un sistema de generación automática de melodías en base a
textos. Las vocales de los textos son “mapeadas” a diferentes notas en la escala
proporcionando un método de composición melódica. Un trabajo actual en este
sentido basándose en la idea de Guido d’Arezzo lo podemos encontrar en
Francisco Trufó, “Algorithmic Composition using an extension of Guido
D’Arezzo’s Method.” [Trufó]. Trufó establece una relación entre las vocales de un texto y las notas musicales de una determinada escala para obtener
diversas líneas melódicas.
Otro ejemplo de composición algorítmica simple puede ser el motete
isorrítmico inventado por Philippe de Vitry (1291-1361) llevado a su máxima
expresión por Guillaume de Machaut. En la idea de color (melodía) y talea (ritmo) interfiriendo el uno sobre el otro podemos encontrar el embrión de la
idea serial del siglo XX.
Si los ejemplos anteriores representan el comienzo de la manipulación
del material musical por medio de algoritmos, el Ars Magna de Ramón Llull
Llull se dedicó a diseñar y construir una máquina lógica. De naturaleza mecánica, en ella las teorías, los sujetos y los predicados teológicos estaban
organizados en figuras geométricas de las consideradas “perfectas” (por ejemplo círculos, cuadrados y triángulos). Al operar unos diales y palancas,
girando manivelas y dando vueltas a un volante, las proposiciones y tesis se
movían a lo largo de unas guías y se detenían frente a la postura positiva
(certeza) o negativa (error) según correspondiese. Según Llull, la máquina
podía probar por sí misma la verdad o mentira de un postulado.
Pero sin duda, uno de los más fascinantes ingenios mecánicos musicales
fue el del jesuita Atanasius Kircher (1602-1680). Para Athanasius la música
reflejaba las proporciones del universo. Como exponente de sus
investigaciones, su tratado Musurgia Universalis fue el tratado de música más
completo de su época y el que gozó de mayor difusión. En él abordaba los
diferentes estilos de expresión (con ejemplos musicales), el tratamiento musical
de algunos trastornos y muchos aspectos más. Entre ellos encontramos la
descripción de una verdadera joya de la ingeniería, una máquina capaz de
inventar diferentes canciones según la ocasión y la necesidad. No hacía falta
entender de música, como si de un ordenador se tratara, se programaba el
aparato con diferentes tablas de madera según la carga emocional adecuada
para el texto, el ritmo, sonidos, número de sílabas y así hasta diez parámetros
diferentes. Con todo ello la máquina llamada Arca Musarithmica componía
canciones para que los misioneros pudieran unirla al texto y hacer uso de ellas.
Fig.1.1 Kirchers Organum
mathematicum
En la actualidad existe un proyecto en marcha [Bumgardner_06] que intenta reconstruir mediante un script en Perl las instrucciones para componer música en base a las tablas de Musurgia Universalis (1650). 1
Fig.1.2 Musurgia Universalis
1
Interesante trabajo sin duda el desarrollado por Jim Bumgardner en el siguiente blog.
El resultado del algoritmo de Kircher proporciona un resultado muy
similar al obtenido de forma moderna por los modelos de Markov.
1.2.- Clasicismo y azar
En el siglo XVIII se hizo popular una especie de pasatiempo musical en
el que el resultado sonoro estaba en función del azar. Cada compás disponía de
una serie de posibilidades que siempre enlazaba correctamente con el siguiente
hasta llegar al número de compases estipulado. El diseño del juego requiere
bastante destreza compositiva no sólo desde el punto de vista armónico sino
también en lo que respecta a conducción de voces. El primer compositor que
realiza una obra en esta línea es Johann Philipp Kirnberger (The ever-ready
minuet and polonaiser Composer) en 1757. En 1758 Carl Philipp Emanuel Bach compone table pour Composer des minuets et des trios à l’infinie; avec deux dez à jouer. Haydn y Mozart también escribieron juegos musicales en esta línea. Haydn: The game of harmony, or an easy method for composing an infinite Lumber of minuet-trios, without any knowledge of counterpoint. Mozart: Instructions for the composition of as many waltzes as one desires
with two dice, without understanding anything about music or composition K 294. [Chuang_95]
En las instrucciones, Mozart indica las siguientes tablas (Fig 1.3):
Los números de la primera columna indican la suma de los 2 dados
(2-12) y las letras (A-H) los compases. El número que hay en el interior de cada
celda corresponde a uno de los 176 compases que compuso Mozart. Por tanto
para hacer una estructura ABAB, no tendríamos más que tirar 8 veces el dado
para el cuadro superior, 8 para el inferior y repetir una segunda vez la misma operación. El número de posibilidades es realmente elevado. Sólo en el primer
cuadro tenemos 118 214.358.881 combinaciones. A continuación adjuntamos la partitura de Mozart y una posible solución aleatoria realizada con jMusic.
Fig.1.4
Fig.1.6
La solución aleatoria realizada con jMusic [Sorensen] tirada 1: 8
tirada 2: 7 tirada 3: 8
tirada 4: 4
tirada 5: 8
tirada 6: 8
tirada 7: 4
tirada 8: 10
tirada 9: 7
tirada 10: 7
tirada 11: 5
tirada 12: 7
tirada 13: 5
tirada 14: 10
tirada 15: 4
tirada 16: 11
tirada 1: 3
tirada 2: 5
tirada 3: 8
tirada 4: 10
tirada 5: 11
tirada 6: 7 tirada 7: 11
tirada 8: 8
tirada 9: 8
tirada 10: 8
tirada 11: 7
tirada 12: 2
tirada 13: 6
tirada 14: 7
tirada 15: 9
tirada 16: 8
La tabla de equivalencias de las tiradas de dados con respecto a los compases:
Fig.1.8
Fig.1.9
Podemos apreciar que los enlaces de acordes entre compases en algunos
casos no son del todo óptimos, pero el encadenamiento armónico sigue la
lógica del clasicismo y proporcionando un discurso musical aceptable.
1.3.- Azar en el siglo XX
Como paralelismo en el siglo XX de esta forma de composición
podemos encontrar varios ejemplos. La composición Intermission 6 para uno o
dos pianos, de Morton Feldman (1926-1986) [Solare], consiste en quince eventos sonoros escritos aisladamente en una única hoja de papel. Las
indicaciones del compositor son las siguientes:
“La composición comienza con cualquier sonido y continúa con cualquier otro. Con un mínimo de ataque, mantener cada sonido hasta que sea apenas audible. Las acciacaturas no deben tocarse demasiado rápido. Todos los sonidos deben tocarse
tan suavemente como sea posible. Esta 'Intermission' puede tocarse con uno o dos
pianos”2
En la partitura de Intermission 6, las notas con cabeza de tamaño normal indican sonidos que hay que mantener tanto tiempo como sea posible
(“hasta que sean apenas audibles”). En el caso de los acordes, puesto que en el piano las notas agudas se extinguen antes que las graves, habrá que decidir si
se mantiene el acorde hasta que termine de sonar la última nota
“superviviente”, o si una vez que se ha extinguido la primera nota,
consideramos ese evento sonoro como terminado. Las notas con cabeza más
pequeña son apoyaturas o acciacaturas, es decir, el sonido se interrumpirá artificialmente, sin permitir su extinción natural. Fig. 1.10.
Otro ejemplo de composición modular aleatoria lo encontramos en Stockhausen, en su Klavierstück XI, de 1957 [Ronald_95]. Stockhausen nos ofrece un importante ejemplo de obra con forma móvil en la que el intérprete puede moverse con bastante autonomía por el material dado.
2
La pieza consta de 19 fragmentos musicales dispuestos en una única hoja, los cuales pueden ser ejecutados en cualquier orden. Al final de cada uno hay una indicación de tiempo, intensidad y articulación que debe afectar el siguiente fragmento a ser interpretado. Así, el compositor consigue, de una forma muy sencilla e inteligente, que la música suene siempre distinta, puesto que muy probablemente un mismo fragmento no sería afectado más de una vez por las mismas indicaciones de tiempo, dinámica y articulación, excepto si el ejecutante eligiera una misma sucesión de fragmentos.
Cada módulo puede ser tocado dos veces y la obra termina después de la tercera ejecución de cualquiera de ellos.
INTERMISSION 6. FOR ONE OR TWO PIANOS
Fig 1.11. Stockhausen, Klavierstück XI (1957), algunos módulos
En el siglo XX los ejemplos de música aleatoria y formas abiertas son muy numerosos y, no es el objeto de este trabajo, un estudio exhaustivo de los compositores y sus obras más representativas. El único aspecto reseñable (y evidente) es el deseo de los compositores de todas las épocas de crear “meta-composiciones”, composiciones que generan composiciones (llámese si se quiere formas abiertas), que dista mucho de ser algo exclusivo y novedoso del siglo pasado. Como veremos en capítulos siguientes, el ordenador ha facilitado al compositor la tarea de generar algoritmos y funciones matemáticas con multitud de herramientas que simplifican su labor.
Resulta admirable la minuciosidad y lo tedioso del calculo manual en composiciones de mediados del Siglo XX en autores como Xenakis (modelos ocultos de Markov, por ejemplo) o Boulez (serialismo integral). En los siguientes capítulos nos centraremos en composiciones y compositores que emplean algoritmos matemáticos como herramienta de trabajo y en diversos sistemas de inteligencia artificial.
1.4.- Conclusiones y reflexiones
En este capítulo se ha realizado un breve recorrido por lo que hemos considerado como meta sistemas compositivos aplicados al lenguaje de cada compositor. Hemos visto simplemente algunos ejemplos característicos, en absoluto exhaustivos. Lo más interesante ha sido constatar que la idea de meta composición, o composición de composiciones, es algo que podemos rastrear prácticamente desde el comienzo de la polifonía. En el siglo XX en algunos casos se denominará forma abierta, obra que se renueva en cada interpretación permitiendo que el margen del intérprete sea mayor sin renunciar a su esencia. Estas estimulantes ideas las dejaremos aquí macerando para volver a retomarlas en siguientes capítulos. Nos quedamos con el concepto de azar y cómo una forma abierta se convierte en cerrada en el momento en el que se plasma en una única obra. Si todo el sistema matemático creado, por ejemplo por Mozart, le sirviera sólo para generar una partitura que, posiblemente perdiera la frescura u originalidad de sus composiciones habituales, podría hacernos reflexionar sobre la validez de la formulación. No es el caso de plantearnos esta reflexión en la obra de Xenakis en el siguiente capítulo, pero sí subyace la idea de orden aleatorio que se plasma en una única obra. Realmente, la partitura que vamos a analizar ¿es la óptima o sólo una de las n posibles donde n tiende a un valor muy elevado? ¿La percepción del oyente cambiaría modificando pequeños parámetros? ¿Se percibe ese orden subyacente de nivel superior que ordena la música? ¿Qué importancia juega la altura de nota, es un parámetro menor?
Veamos por ejemplo los escritos de Boulez en su artículo “Elogio de la Amnesia” de “Puntos de Referencia” [Boulez_81 pg 277-279].
“… Hace 25 años la polémica estaba en su apogeo, y la vida musical se dividía tajantemente en dos campos. Eran raros los francotiradores; la época lo quería así. La supervivencia del lenguaje exigía que se tomara partido entre lo que Adorno llamó el progreso y la restauración –nada parecía más urgente, pues la situación se mostraba, en principio, terriblemente clara-.
Yo abrigaba sin embargo algunas dudas sobre este maniqueísmo simplista, que atribuía una primacía indebida a la clasificación categórica, y me parecía que los cátaros, los puros, los elegidos de la revolución no estaban enteramente exentos del pecado de historicismo que se imputaba con ahínco a los paria de la restauración, a ellos exclusivamente….”
Se trata de un artículo de 1971, las cosas ya se ven con otra perspectiva y las posiciones se suavizan. En cualquier caso, es interesante constatar la disputa existente entre “renovadores” y “conservadores” en lo que al lenguaje se refiere. Viendo las cosas con perspectiva, posiblemente no se trate de mundos tan alejados como pudiera parecer, pero no vamos a ahondar en este tema, por muy interesante que sea, porque nos alejaría de los objetivos concretos de este trabajo.
2.- Probabilidad y Música Estocástica
2.1.- Nociones básicas de Teoría de la Probabilidad
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los
fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos
determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de
experimentos realizados bajo las mismas condiciones.
La probabilidad es la característica de un evento del cual existen razones para
creer que éste se realizará.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
( ) h p P S
n
La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento
es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre
tiene que ocurrir su probabilidad es 1.
La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:
( ) 1 h
q P S
n
Es conveniente conocer algunas de las propiedades básicas del cálculo de
- Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o
equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:
( ) ( ) 1
( ) 1 ( )
P A P A
P A P A
Donde A denota al suceso contrario o suceso complementario de A.
- Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente
excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el
lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos
posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades
individuales:
( ) ( ) ( )
P AóB P A P B
La extensión de la ley aditiva anterior al caso de más de dos sucesos
mutuamente excluyentes A, B, C... indica que:
( ...) ( ) ( ) ( ) ...
P AóBóCó P A P B P C
A veces, la probabilidad de que un determinado suceso tenga lugar depende de
que otro suceso se haya producido o no con anterioridad. Esto es, en ocasiones
el hecho de que se produzca un determinado fenómeno puede hacer más o
menos probable la aparición de otro. Este tipo de probabilidades se denominan
probabilidades condicionadas, y se denotará porP A B( / ) a la probabilidad condicionada del suceso A suponiendo que el suceso B haya ocurrido ya.
- La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos
sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:
( ) ( / ) ( )
P AyB P A B P B
La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una
probabilidad condicionalP A B( / ) a partir de los valores deP AyB( ) yP B( ):
( )
( / )
( ) P AyB P A B
P B
Teorema de Bayes, de indudable interés en la aplicación de la estadística al campo de la medicina. Redes Bayesianas y el teorema de Bayes han sido
utilizados con bastante éxito en el diagnóstico de enfermedades con sistemas
expertos3. Si se parte de la definición de probabilidad condicionada:
( )
( / ) ( ) ( / ) ( )
( ) P AyB
P B A P AyB P B A P A
P A Por tanto, ( / ) ( ) ( / ) ( ) P B A P A P A B
P B
Veamos un ejemplo para entender la importancia del teorema. Si A es gripe y
B dolor de cabeza, por ejemplo, P A B( / ) sería la probabilidad de tener gripe si duele la cabeza y dependería directamente de P B A( / ) que sería la probabilidad de dolor de cabeza teniendo gripe. Es decir, se vincula la
probabilidad de A dado B con B dado A.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que
dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el
conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.
3
Mycin fue un sistema experto desarrollado a principio de los años 70 en la Universidad de
Stanford con redes Bayesianas. Su motor de inferencia manejaba una base de
La función de distribución de Poisson se define como:
( )
!
k
P x k e k
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un
valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen,
área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un
valor aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad
Fig 2.1.Función de distribución de Poisson para varios valores de lambda
2.2.- Ejemplo de trabajo compositivo empleando
distribuciones de probabilidad. Xenakis y Achorripsis
2.2.1.- Iannis Xenakis. Breve reseña
Compositor y arquitecto de ascendencia griega nacido el 29 de mayo de
1922 en Brăila, Rumania; se nacionalizó francés y pasó gran parte de su vida
en París, donde murió el 4 de febrero de 2001. Es aclamado como uno de los
compositores más importantes de la música contemporánea. Educado en el
campo de la ingeniería y matemática, en un primer momento trabajó como
ayudante del famoso arquitecto Le Corbusier como ingeniero calculista.
Pronto comenzó a colaborar en los proyectos de varias obras importantes
salidas del estudio de Le Corbusier durante esos años, como las unidades
habitacionales de Nantes (1949), Briey-en-Forêt y Berlin-Charlottenburg
(1954), los diferentes edificios constitutivos del plan de urbanismo de
Chandigarh en India (1951), y el Centro Deportivo y Cultural de Bagdad
(1957). En estas obras Xenakis aplicó los mismos procesos compositivos y
estéticos que en sus obras musicales de la época.
Durante esos años, Xenakis comenzó paralelamente sus estudios de
composición en París, primero con Arthur Honegger y Darius Milhaud, con
quienes no tuvo demasiado entendimiento, y finalmente con Olivier Messiaen,
con quien sí estudió regularmente a partir de 1952. En 1955 Hans Rosbaud
dirigió en el Festival de Donaueschingen su primera obra importante para
orquesta: Metastasis. Esta pieza y las que le siguieron, notablemente Pithoprakta de 1955-56, y Achorripsis de 1956-57, así como artículos publicados en los Gravesaner Blätter, la revista que dirigía Hermann
Scherchen, le dieron a Xenakis una notoriedad que finalmente le permitió
En 1963 publicó Musiques Formelles (Música formalizada), posteriormente revisada, expandida y publicada en inglés como Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition en 1971. En 1997 obtuvo el Premio Kyoto que concede Fundación Inamori, de Kyoto.
Pionero del uso de la computadora en la composición musical
algorítmica, Xenakis fundó en 1966 el EMAMu, conocido a partir de 1972
como CEMAMu (Centre d'Études de Mathématique et Automatique
Musicales), instituto dedicado al estudio de aplicaciones informáticas en la
música. Allí Xenakis concibió y desarrolló el sistema UPIC, que permite la
realización sonora directa de la notación gráfica que se efectúa sobre una
tablilla.
2.2.2.- Iannis Xenakis. Pensamiento musical
A diferencia de la mayor parte de los compositores europeos más
avanzados de comienzos de la década de los 50, Xenakis no estuvo
influenciado por el serialismo. Tras la finalización de Metástasis, en el año 55,
Xenakis publicó un artículo en el que atacaba frontalmente la música serial en
ese momento fervientemente defendida por Boulez y Stockhausen.
“[…] the serial system is thrown into question on its own two bases,
which embody the seed of their own destruction and inadequacy :
the series;
their polyphonic structure.
A series (of any sort) is the result of a linear “category” of thought. It is a string of a finite number of objects. […]
Combinatory calculus is but one generalization of the serial principle. Its origin is found in the choice of how the 12 tones are arranged. […]
Linear polyphony is self-destructive in its current complexity. In reality, what one hears is a bunch of notes in various registers. The
enormous complexity prevents one from following the tangled lines and its macroscopic effect is one of unreasonable and gratuitous dispersion of sounds over the whole sound spectrum. Consequently, there is a contradiction between the linear polyphonic system and the audible result, which is a surface, a mass.
This inherent contradiction with polyphony will disappear only once sounds become totally independent. In fact, since these linear combinations and their polyphonic superpositions are no longer workable, what will count will be the statistical average of isolated states of the components’ transformations at any given moment. […]" [Xenakis_94 pg 40-42] .
En el prefacio de su libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition [Xenakis _92], Xenakis escribió:
. Xenakis, en su libro Formalized Music [Xenakis_92 pg 22-24], nos indica de una manera bastante clara las fases de su forma de trabajo.
1.- Concepción Inicial (intuición, datos provisionales o definitivos)
2.- Definición de entidades sonoras y de sus simbolismos comunicables con las limitaciones posibles (sonidos de los instrumentos musicales, sonidos electrónicos, conjuntos ordenados de elementos sonoros, formaciones granulares o continuas, etc.)
3.- Definición de las transformaciones cuyas entidades sonoras se desarrollarán en el transcurso de la composición (macrocomposición).
4.- Microcomposición. Escoger y detallar las funciones o relaciones estocásticas entre los elementos.
5.- Programación secuencial de los puntos 3 y 4 (esquema y patrones de trabajo).
6.- Implementación del cálculo, verificaciones, feedbacks y modificaciones definitivas del programa secuencial.
7.- Resultado simbólico final de la programación. Obtener la música en papel, en notación tradicional, expresiones numéricas, gráficos, sistemas alternativos de escritura musical…
8.- Realización sonora del programa (interpretación orquestal, manipulación de la música electroacústica, reconstrucción sonora por ordenador y sus transformaciones)
El orden de esta lista no es completamente rígido. Permutaciones son posibles durante el transcurso de una composición. La mayoría de las veces, estas fases son inconscientes. Sin embargo, esta lista establece ideas y permite la especulación sobre el futuro.
Como podemos ver, la forma de trabajo de Xenakis es bastante
sistemática y ordenada y hasta cierto punto hay un intento de marcar tareas
como se haría en un lenguaje de programación. Hay que recordar que históricamente nos encontramos en el nacimiento de la informática y los
lenguajes de programación. En su libro detalla un programa de ordenador en
BASIC, PARAG3.BAS que es un generador de “patches” de sonido para
GENDY1.BAS y el sistema UPIC desarrollado en el Centre d'Etudes de Mathématique et Automatique Musicales (CEMAMu) en Paris. La primera versión de UPIC fue lanzada en 1977 y Xenakis lo emplea para componer su
siguiente obra Mycènes Alpha (1978).4
2.2.3.- Análisis de Achorripsis
El análisis de esta obra está descrito por el propio compositor en su obra
Formalized Music [Xenakis _92, pg 29]. En este apartado intentaremos profundizar en dicho análisis.
2.2.3.1.- Organización macroformal:
El esquema de Achorripsis está formado por una matriz de 28 columnas
(bloques temporales) y 7 filas (timbres de instrumento). La agrupación tímbrica
es la siguiente:
1. Flute (Piccolo, E[ Clarinet, Bass Clarinet)
2. Oboe (Oboe, Bassoon, Contrabassoon)
3. String glissando (Violin, Cello, Bass)
4. Percussion (Xylophone, Wood Block, Bass Drum)
4
En la actualidad existe un proyecto de código abierto Iannis que es un editor gráfico de
partituras multidimensionales y multiformales basado en el antiguo UPIC.
http://sourceforge.net/projects/iannix/. Referencias interesantes sobre este proyecto se
pueden encontrar en los trabajos de Jean-Baptiste Thiebaut, Patrick G. T. Healey, Nick
5. Pizzicato (Violin, Cello, Bass)
6. Brass (2 Trumpets, Trombone)
7. String arco (Violin, Cello, Bass)
En total hay 3 violines, 3 cellos y 3 contrabajos y alternan pasajes
glissando, pizzicato y arco. La longitud total de la pieza es de 7 minutos, lo que significa que cada una de las 28 columnas dura 15 segundos, lo que equivale a
6.5 compases de 2/2 con indicación metronómica MM 52. En total la obra tiene
182 compases.
La colocación de eventos en la matriz de 196 celdas (7x28) se calcula
en base a la distribución de Poisson antes comentada. Para hacer esto, establece
que a priori la densidad media de eventos 5 es:
0.6
eventos/unidad
Xenakis establece 5 categorías de eventos como aparecen en el gráfico
siguiente:
0.- No evento
1.- Evento simple
2.- Evento doble
3.- Evento triple
4.- Evento cuádruple
5
Esta es una elección artística que determina claramente la forma de la función de
distribución. En este caso le interesa que la forma de la función tenga una pendiente
decreciente muy marcada para obtener el resultado final (107 celdas sin eventos y 1 de
cuádruple evento). Es muy probable que el resultado sea arbitrario, mas bien este fue
calculado de forma inversa aunque no lo diga expresamente.
Aplicando la fórmula de Poisson obtenemos: ! k k P e k
Donde k es el número de eventos (k=(0,1,2,3,4,5), e corresponde a
(e=2.71828…) y k! (k factorial) para 5 por ejemplo es 5!=5*4*3*2*1. Por
definición 0!=1.
Resolviendo la fórmula tenemos la siguiente tabla de probabilidades:
0 0
0.6
0.5488 0!
P e
1 1
0.6
0.3293 1!
P e
2 2
0.6
0.0988 2!
P e
3 3
0.6
0.0198 3!
P e
4 4
0.6
0.0030 4!
P e
5 5
0.6
0.0004 5!
P e
Multiplicando las probabilidades por 196 (el número de celdas) obtenemos:
Tabla 2.1. Probabilidades de diferentes tipos de eventos.
i
i
P Número de
celdas
(aproximación de Xenakis) 0 0.5488*196=107.56 107
1 0.3293*196=64.54 65
2 0.0988*196=19.36 19
3 0.0198*196=3.88 4
4 0.0030*196=0.588 1
2.2.3.2.- Distribución de eventos en función de las columnas
Para distribuir los eventos entre las columnas con una densidad media
en función de la ley de Poisson, es necesario coger el total de números [107,
65, 19, 4, 1] Para cada clase de evento [0,1,2,3,4] y dividir estos números por el
número de columnas (28). Para cada caso obtenemos un valor diferente de
como mostramos en la siguiente tabla:
Tabla 2.2. Cálculo de para diferentes tipos de eventos
Vamos a calcular cada uno de los casos. Clase de
evento
Número
total de
eventos
en la
matriz
: Número
total de
eventos /28
0 (silencio) 107 3.82
1 (simple) 65 2.32
2 (doble) 19 0.68
3 (triple) 4 0.14
Evento 0 (silencio):
:3.82
Filas o
frecuencia
(k)
Probabilidad Columnas que
contienen k eventos Redondeo (con 1 decimal) Aproximación Real Aproximación Xenakis
0 0
0
3.82
0.0219 0!
P e 0.0219*28=0.61 0.6 1 0
1 1
1
3.82
0.084 1!
P e 0.084*28=2.35 2.4 2 2
2 2
2
3.82
0.16 2!
P e 0.16*28=4.48 4.5 5 6
3 3
3
3.82
0.204 3!
P e 0.204*28=5.71 5.7 6 5
4 4
4
3.82
0.195 4!
P e 0.195*28=5.44 5.4 5 5
5 5
5
3.82
0.149 5!
P e 0.149*28=4.17 4.2 4 4
6 6
6
3.82
0.095 6!
P e 0.095*28=2.66 2.7 3 4
7 7
7
3.82
0.052 7!
P e 0.052*28=1.46 1.5 2 2
Totales (suma):
28 28
Tabla 2.3. Probabilidades de silencios por columnas
Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):
En ninguna columna deja de haber silencios (no hay columnas con
todos los instrumentos sonando), en 2 columnas hay 1 silencio, en 5 columnas
hay 2 silencios, en 6 columnas hay 3 silencios, en 5 columnas hay 4 silencios,
en 4 columnas hay 6 silencios, en 2 columnas hay 7 silencios.
Evento 1 (simple):
:2.32
Filas
(k)
Probabilidad Columnas que
contienen k
eventos (con 1
decimal)
Aproximación
Real
Aproximación
Xenakis
0 0
0
2.32
0.098 0!
P e 0.098*28=2.75 3 3
1 1
1
2.32
0.228 1!
P e 0.228*28=6.38 6 6
2 2
2
2.32
0.264 2!
P e 0.264*28=7.39 7 8
3 3
3
2.32
0.205 3!
P e 0.205*28=5.74 6 5
4 4
4
2.32
0.119 4!
P e 0.119*28=3.33 3 3
5 5
5
2.32
0.055 5!
P e 0.055*28=1.54 2 2
6 6
6
2.32
0.021 6!
P e 0.021*28=0.59 1 1
7 7
7
2.32
0.0070 7!
P e 0.0070*28=0.196 0 0
Totales (suma): 28 28
Tabla 2.4. Probabilidades de evento simple por columnas
Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):
En 3 columnas no hay eventos simples, en 6 columnas hay 1 evento simple, en
8 columnas hay 2 eventos simples, en 5 columnas hay 3 eventos simples, en 3
columnas hay 4 eventos simples, en 2 columnas hay 5 eventos simples y en 1
Evento 2 (doble):
:0.68
Filas
(k)
Probabilidad Columnas que
contienen k
eventos (con 1
decimal)
Aproximación
Real
Aproximación
Xenakis
0 0
0
0.68
0.507 0!
P e 0.507*28=14.2 14 14
1 1
1
0.68
0.345 1!
P e 0.345*28=9.7 10 10
2 2
2
0.68
0.117 2!
P e 0.117*28=3.3 3 3
3 3
3
0.68
0.03 3!
P e 0.03*28=0.8 1 1
Totales (suma): 28 28
Tabla 2.5. Probabilidades de evento doble por columnas
Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):
En 14 columnas no hay eventos dobles, en 10 columnas hay 1 evento doble, en
3 columnas hay 2 eventos dobles, en 1 columna hay 3 eventos dobles.
Evento 3 (triple):
:0.14
Filas
(k)
Probabilidad Columnas
que contienen
k eventos (con
1 decimal)
Aproximación
Real
Aproximación
Xenakis
0 0
0
0.14
0.896 0!
P e 0.896*28=24 24 24
1 1
1
0.14
0.12 1!
P e 0.12*28=3.4 3 4
2 2
2
0.14
0.009 2!
P e 0.009*28=0.3 0 0
Totales (suma):
27 28
Tabla 2.6. Probabilidades de evento triple por columnas
Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):
Evento 4 (cuádruple):
:0.04
Filas
(k)
Probabilidad Columnas que
contienen k
eventos (con 1
decimal)
Aproximación
Real
Aproximación
Xenakis
0 0
0
0.04
0.96 0!
P e 0.96*28=26.88 27 27
1 1
1
0.04
0.04 1!
P e 0.04*28=1.12 1 1
Totales (suma):
27 28
Tabla 2.7. Probabilidades de evento cuádruple por columnas
Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):
En 23 columnas no hay eventos cuádruples, en 1 columnas hay 1 evento
cuádruple.
Como vemos, existen sutiles diferencias entre los valores que toma Xenakis y
los valores calculados en las filas sin evento y eventos simples y triples. Como
comenta Arsenaut en su excelente artículo [Arsenaut_02], esto puede deberse a cuestiones de ajuste puramente musicales o por ideas preconcebidas a la hora
de componer su obra, relaciones tímbrico instrumentales…
2.2.3.3.- Distribución de eventos en función de las filas
El cálculo no acaba aquí, hemos obtenido la distribución de eventos por
columnas, pero necesitamos realizar el mismo proceso para las 7 filas. Al igual
que con las columnas, existen pequeñas diferencias entre los valores calculados
de la distribución de Poisson y el resultado final de Xenakis. El siguiente
cuadro a modo de resumen indica la distribución final empleada.
Columnas
(frecuencia)
No Evento Evento
simple Evento doble Evento triple Evento cuádruple
0 1 4 6
1 0 2 1
2 2 1
3 2
4 1
5
6 1
7 1
8 1
9 1
10 1
11 1 1
12 0 0
13 1 0
14 0 1
15 1
16 2
17 1
18 0
19 1
Total 7 7 7 7 7
Tabla 2.8. Probabilidades de evento por fila
Interpretación de la tabla para evento triple y cuádruple:
En 4 filas no hay evento triple, en 2 filas hay 1 evento triple, en una fila hay 2
eventos triples. En 6 filas no hay evento cuádruple, en una fila hay 1 evento
2.2.3.4.- La matriz de juego
Una vez que todas las reglas anteriores se aplican a las 196 celdas,
obtenemos la matriz M de juego (Fig 2.2). Esta es la matriz que determina las
diferentes densidades de sonido de Achorripsis. Un detalle importante a observar en este sistema de distribución de eventos es que no se especifican
celdas concretas, sino filas y columnas que pueden ser permutadas, lo que da al
compositor un grado alto de libertad a la hora de colocar la instrumentación y
la forma de la pieza. Por ejemplo Xenakis asigna a las cuerdas en pizzicato el
número mas elevado de sonidos (fila 5, 21 eventos simples) y al viento metal el
menor (fila VI, 12 eventos simples). Otro detalle formal importante es que hay
2 columnas con 7 eventos 0 (sin sonido) en las columnas 4 y 24, lo que divide
la pieza en una estructura tripartita.
2.2.3.5.- Organización a nivel de celda
En este apartado describiremos la manera en la que Xenakis calcula los grupos de sonido a nivel de celda. El cálculo se centra en 3 aspectos:
1.- El tiempo entre eventos sucesivos (notas)
2.- El intervalo entre distintas alturas
3.- La velocidad de los glissandi en las cuerdas
Aspectos no señalados por Xenakis son:
1.- La altura inicial de cada instrumento en cada celda.
2.- La duración de cada nota.
3.- Las dinámicas.
4.- Las articulaciones. (pasajes de cuerda con arco tienen notas en
staccato, los instrumentos de viento no tienen articulación y no hay
acentos)
5.- Las elecciones de timbre.
Xenakis escoge las siguientes distribuciones de probabilidad:
1.- La distribución exponencial indica el tiempo entre eventos
sucesivos.
2.- La distribución lineal los intervalos de alturas. 3.- La distribución normal la velocidad de los glissandi.
2.2.5.3.1.- Distribución exponencial
Xenakis modela la sucesión temporal de puntos en su música por medio
de la distribución exponencial, que es la más comúnmente asociada a procesos
temporales. En la distribución exponencial, la probabilidad de un intervalo de
tiempo x entre dos puntos disminuye exponencialmente cuando x (el tiempo)
aumenta linealmente. Por tanto, intervalos breves ocurren más frecuentemente
que intervalos largos. El resultado musical es una sucesión de irregulares
puntos espacio-temporales que, sin embargo, muestran una relativa coherencia
interna.
La función de densidad de probabilidad para una distribución exponencial es:
( ) x
f x e
Donde , el parámetro de la densidad, es igual al número de sonidos por
segundo y e, la base del logaritmo natural, es aproximadamente 2.718…
La probabilidad de eventos en la distribución exponencial están
determinados por
[ , )
b
x a b
a
Fig 2.3. Probabilidad en distribución exponencial para =1
O lo que es lo mismo, el área de f(x) entre a y b. En el apéndice I de
Formalized Music, Xenakis da una fórmula más simple para calcular las probabilidades de evento en la distribución exponencial.
(1 )
iv v
e e para i=0,1,2,3…v
La variable v en la fórmula de Xenakis, representa el tamaño del intervalo
[a,b]6.
6
Hay una interesante comparación en el trabajo de Squibbs [Squibbs_05] sobre la
aproximación de Xenakis. En su trabajo demuestra que para valores pequeños no es del
todo exacta, pero seguramente fue una manera de simplificar el tedioso cálculo manual
En el esquema de Achorripsis,
Evento (densidad)
Sonidos/compas
Sonidos/segundo Sonidos/celda
(15 sec)
Simple 5 2.2 32.5
Doble 10 4.4 65
Triple 15 6.6 97.5
cuádruple 20 8.8 130
Tabla 2.9. Densidades en función de eventos
2.2.5.3.2.- Distribución Lineal
Una de las distribuciones usadas para modelar eventos en aspectos no
temporales de un proceso estocástico es la distribución lineal. Esta distribución
se puede emplear para generar intervalos entre alturas, niveles de intensidad o
estados en otras dimensiones. En esta distribución la probabilidad de un
intervalo de tamaño x entre dos eventos disminuye linealmente cuando x se
incrementa linealmente. La función de densidad de probabilidad para una
distribución lineal es:
2
( ) (1 x) f x
g g
Donde g representa el tamaño máximo del intervalo. La fórmula para P[a,b] es
2 2
2
2 1
[ , ) (1 ) ( 2 2 )
b a
x
P a b dx a ag b bg
g g g
2 (1 ) 1 i i P n n
Donde i=0,1,2…n n=g/v, donde g es el tamaño del intervalo mas grande y v es
incremento del intervalo empleado para preparar la tabla de probabilidades.
2.2.5.3.3.- Distribución Normal
Xenakis equipara el concepto de velocidad de las moléculas de un gas
de las leyes de Maxwell/Boltmann a los glissandi de las cuerdas. Para ello
aplica la distribución Normal o Gaussiana que es algo más complicada que las
distribuciones de Poisson, Exponencial o Lineal. La función de densidad de
probabilidad f(v) para una velocidad v es:
2 2
2 ( )
v
f v e
Donde se define como el valor cuadrático medio de todos los posibles
valores de v y se relaciona con la temperatura del gas. Esta ecuación no
proporciona el valor de la probabilidad directamente. La probabilidad es el área
de f(v) o la integral entre v1 y v2. Por tanto.
2 1
( ) )
P
Donde 1
1 v , 2 2 v Y 2 0 2
( ) e d
Xenakis usa los siguientes valores en su tabla de velocidades:
=4.5 glissandi/compas en MM 26 (indicación metronómica)
=3.88, valor cuadrático medio de la velocidad.
v es expresado en semitonos/compás.
m
v es la velocidad media (v1v2) / 2
4.5*6.5 (compases)=29 sonidos glissando/celda
v v
)
P( 2) 1) 29 (P vm
0 0.000 0.0000
0.2863 9 0.5
1 0.258 0.2869
0.2510 7 1.5
2 0.516 0.5379
0.1859 5 2.5
3 0.773 0.7238
0.1310 4 3.5
4 1.032 0.8548
0.0771 2 4.5
5 1.228 0.9319
0.0397 1 5.5
6 1.545 0.9716
0.0179 1 6.5
7 1.805 0.9895
0.0071 0 7.5
Interpretación: En una celda (6.5 compases) con eventos simples, hay 29 glissandi que se dividen en
9 glissandi de 1 semitono/compás
7 glissandi de 2 semitonos/compás
5 glissandi de 3 semitonos/compás
…. 0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000
1 2 3 4 5 6 7 8
Real
Aproxim ación
Fig 2.4
Xenakis en Formalized Music nos proporciona el siguiente cálculo para las
duraciones aplicadas a los glissandi
=4.5 sonidos/compas con MM 26
Unidad de división del compás x=0.10 (cada compás se divide en 10 pares
iguales)
4.5*6.5 compases=29 sonidos/celda es decir, 28 duraciones
x x x
e ex exdx 28Px
0.00 0.00 1.000 4.500 0.362 10
0.10 0.45 0.638 2.870 0.231 7
0.20 0.90 0.407 1.830 0.148 4
0.30 1.35 0.259 1.165 0.094 3
0.40 1.80 0.165 0.743 0.060 2
0.50 2.25 0.105 0.473 0.038 1
0.60 2.70 0.067 0.302 0.024 1
0.70 3.15 0.043 0.194 0.016 0
Total: 12.415 0.973 28
Tabla 3.11
Interpretación: En una celda (6.5 compases) con eventos simples, las 28 duraciones se dividen en:
10 inferiores a 1/10 de celda, 0.45 compases
7 entre 1/20 y 1/10 de celda, 0.90 compases
4 entre 1/30 y 1/20 de celda, 1.35 compases
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
1 2 3 4 5 6 7 8
Real
Aproximación
Fig 2.5
Para los intervalos, Xenakis aplica los siguientes parámetros.
=4.5 sonidos/compas con MM 26
a=80 semitonos o 18 grupos de 4.5 semitonos.
j está expresado en múltiplos de 4.5 semitonos
m=80/4.5=18
dj es una constante igual a 2/(m+1)=0.105 Por tanto
( ) 0.105(1 )
18 j
P j
