NOTAS DE CLASE CM-OC.pdf

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MÓDULO DE GEOMETRIA

Material Didáctico para el Estudio de

Geometría

CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ

OSCAR EDUARDO CLAVIJO

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS

POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID

3 INTRODUCCION

Geometría (del griego geo, ―tierra‖ y metrein , ―medir‖), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.

A la pregunta ¿para qué sirve la Geometría? Podemos dar un gran número de respuestas, que dependen, principalmente, de las actividades del que la estudia y de los propósitos de quien la imparte, como ciencia aplicada, podemos decir que la Geometría es indispensable en el arte, la industria, la topografía, etc. Esto no significa que un mecánico o un topógrafo aplique los teoremas estudiados en Geometría de una manera directa, sino que las reglas y métodos que usa en su trabajo se deducen de las proposiciones geométricas. Si se trata de un estudiante que desea alcanzar un título profesional, podremos decirle que dicha ciencia desarrolla las competencias básicas en la interpretación de situaciones problema, la competencia propositiva en la búsqueda de alternativas de solución y la argumentación de la validez de dichas propuestas.

4 Euclides escribió los Elementos en los últimos años de su vida y fueron el primer libro completo de esa materia. Sistematizaba toda la materia meticulosamente, enunciaba con gran precisión sus fundamentos, simplificaba muchos de los enunciados y demostraciones de las proposiciones, y clasificaba, ordenaba y numeraba todos los principios fundamentales, las definiciones y las proporciones. También contienen muchas proposiciones originales del mismo Euclides. Se adoptó inmediatamente como libro de texto, y más tarde se extendió por todo el mundo. Ha sido traducido a muchos idiomas y ha llegado a nosotros tal y como Euclides lo dejó, siendo utilizado durante mucho tiempo como libro de texto, y también como modelo y base de todos los otros libros de la llamada Geometría Elemental.

En el presente modulo nos dedicaremos especialmente a la solución de problemas de geometría, no entraremos a trabajar el aspecto teórico, ya que este se encuentra muy bien contemplado en las notas de clase de nuestro compañero Carlos Vargas, los ejercicios aquí resueltos hacen parte de los ejercicios propuestos en dichas notas. Con este trabajo pretendemos dar a nuestros alumnos una mayor cantidad de ejemplos de la aplicación de los temas desarrollados en el programa de Geometría.

5 TABLA DE CONTENIDO

PAGINA

1. ELEMENTOS BASICOS……… 7

2. SEGMENTOS Y ANGULOS………. 20

3. TRANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA……….. 35

4. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD……….. 52

5. CUADRILATEROS………. 66

6. CIRCUNFERENCIA……… 81

7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA……… 100

7 CLASE 1: ELEMENTOS BÁSICOS

INTRODUCCIÓN

Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen.

Para su estudio se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener nuevas propiedades de ellos.

Las propiedades admitidas como válidas son los axiomas y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica matemática.

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES Elementos primitivos

En geometría trataremos con ciertas figuras que están constituidas por unos objetos primarios, los cuales no es posible definir atrevámonos a formarnos una idea intuitiva de ellos.

El punto

La propiedad característica del punto geométrico es que éste no tiene ninguna dimensión. Se representa convencionalmente por medio de un punto ortográfico de la menor dimensión posible. Cada punto se denomina mediante una letra mayúscula situada a uno de los lados del punto.

Los puntos serán nombrados o denominados con letras mayúsculas del abecedario.

La recta

8

⃡

El plano

La propiedad característica del plano geométrico es que posee una superficie ilimitada, aunque no ocupa ningún volumen (sólo tiene superficie).

Se suele representar convencionalmente por medio de un paralelogramo de lados menores inclinados. Se nombra mediante una letra del alfabeto griego o bien mediante una letra mayúscula situada en una de las zonas extremas.El símbolo para pensar en el será _.

Semirecta

Porción de recta comprendida entre un punto cualquiera de la recta (denominado origen) y el infinito. En la gráfica la semirrecta empieza en A, pasa por B y continúa hasta el infinito.

Segmento

Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos:  Uno de ellos es el origen del segmento

9

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Semiplano: Porción de plano comprendida entre una recta AB contenida en él y el infinito.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Para establecer consistencia en la construcción de la geometría deben establecerse unos términos lógicos en el sistema, a estos se les denomina: Axioma, Teorema, postulado, entre otros.

Axiomas: Los axiomas son verdades matemáticas o geométricas sobre las cuales se sustenta una teoría. Los axiomas son proposiciones matemáticas cuyo único valor de verdad es verdad (tautología).

Postulados: Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.

Teoremas: Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal es decir una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.

Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.

AXIOMAS Y DEFINICIONES I. axioma de existencia del espacio

Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes que a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las propiedades que intuimos de ellos.

10 Figura geométrica:

Es cualquier subconjunto propio del espacio.

Punto interior (exterior):

Si un punto pertenece a una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura. ¿Piense?

Puntos colineales (alineados): Dos o más puntos son colineales (alineados) si están en la misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados. ¿Piense?

Puntos coplanares: Dos o más puntos son coplanares si están en el mismo plano. En caso contrario no son coplanares.

II. axioma de enlace de la recta

Si tenemos dos puntos A y B en el espacio por estos pasa una y solamente una línea recta. Lo cual matemáticamente se dice: sean A y B dos puntos distintos entonces existe una y solo una recta a la cual ambos pertenecen llamada ―la recta AB‖ o simplemente AB.

Ejemplo:

11

2) Dados los puntos A B C D, , , representados en el siguiente gráfico.

Podemos decir que C pertenece a la recta AB, lo que simbolizaremos CAB ó CL , Ósea que A B, y C son Colinéales. Pero D no pertenece a AB, lo que simbolizaremos

DAB o DL, o sea que A B C, , y D no son colineales. III. axioma de enlace del plano

Intuitivamente: si tenemos un plano  y una recta L perteneciente a él, si a L la

tómanos como un eje el cual puede girar o rotar, luego al rotar L el plano gira y de esta

manera también podemos formar la noción de Espacio; además vemos que por L pasan infinitos planos. Ahora bien si deseamos hablar únicamente del plano, Cuántos puntos como mínimo tomaríamos de él , bueno si tomáramos un punto, por él pasan infinitas rectas y por cada una de ellas pasan infinitos planos, si tomáramos dos puntos por ellos pasa una y sólo una recta y por ella pasan infinitos planos que se interceptan o son secantes en ella, luego debemos tomar tres puntos distintos del espacio; pero han de ser no colineales. Lo cual matemáticamente se dice: sean A B, y C puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado ―el plano ABC, el cual simbolizaremos así: ABC

Ejemplos:

1.

ABC

 se lee plano ABC o también se

12 2.

En la figura se tiene que:

ABC

D _y EABC, además _{A B C, ,}

y Dson coplanares, están en el ABC o

1

 y E no es coplanar con ellos.

IV. AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO:

Si una recta L y un plano  tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano.

Dicho de otra manera: si



A B,



 y



A B,



L, entonces todo punto de Les

También punto del plano o sea L.

V. axioma de intersección de planos: si dos planos distintos tienen algún punto en común, entonces su intersección es una recta.

VI. axioma de la ordenación de la recta: una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.

VII. axioma de separación de la recta:

Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen tales que:

13 2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos

puntos del mismo conjunto. ¿piense?

VIII. axioma de separación del plano:

toda recta de un Plano separa a los demás puntos del plano en dos regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y solo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y el que une dos puntos de la misma región no la corta.

Semiplano: Dado un plano y una recta en él, un semiplano es el conjunto formado por la recta y cada una de las regiones en que ella divide al plano.

IX. Axioma de separación del espacio: Todo plano separa a los demás puntos del espacio, en dos regiones tales que:

1. Todo punto del espacio, exterior al plano _{, pertenece a una y sólo a} una de las regiones.

El segmento que une dos puntos de distintas regiones corta al plano y el que une dos de la misma región no lo corta.

14 1. d ( , )P Q O, o sea que la distancia es cero o es positiva

2. d ( , )P Q = O si P coincide con Q 3. d ( , )P Q = d ( , )Q P

4. Si P Q, y Rson puntos del espacio, entonces d P R( , )d P Q( , )d Q R( , ) 5. Si Qestá entreP y R, d P R( , )= d P Q( , )d Q R( , )

Observaciones:

Los puntos de una recta son coplanares.

Tres puntos siempre son coplanares, pero cuatro no necesariamente lo son. Por un punto pasa más de una recta.

Entre dos puntos distintos existen infinitos puntos.

Coincidencia de rectas-Teorema: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común, entonces ellas coinciden.

Coincidencia de planos-Teorema: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en común, entonces los planos coinciden.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS:

Por el axioma de enlace dos rectas distintas máximo pueden tener un punto en común, es decir tienen solamente un punto en común o ninguno.

Rectas secantes: Son las que tienen solamente un punto en común. Se dice que ellas concurren en dicho punto.

L1



L2 = P

Rectas paralelas: Son rectas coplanares que no tienen puntos en común. Para decir que dos rectas son paralelas utilizaremos el símbolo ll.

Ejemplo: Dado L1 ll L2 o sea que L1



L2 =



. L1

L2

15 DETERMINACIÓN DE UN PLANO

Teorema: (recta y punto exterior): Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les contiene.

Teorema: (rectas secantes): Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que les contiene.

Corolario: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.

Dm: En efecto, si tuviesen sólo un punto en común serian secantes y por lo tanto coplanares; si tuviesen dos o más puntos en común serían la misma recta y también resultarían coplanares.

Teorema: (rectas paralelas): Dos rectas paralelas determinan uno y solo un plano que les contiene.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Un plano y una recta no contenida en él, máximo tienen un punto en común, es decir tienen sólo uno o ningún punto en común.

Recta y plano secantes: Una recta y un plano son secantes si tienen sólo un punto en común. Se dice que la recta y el plano son secantes en dicho punto.

Recta y plano paralelos: Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS

16 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?

GRAFICA 1

Puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano asumiendo la existencia del espacio o de la existencia de otro plano paralelo al primero.

2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.

GRAFICA 2

Podemos garantizar la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares, al garantizar la

existencia de otro plano en el espacio.

3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.

GRAFICA 3

17 4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 4

No podemos garantizar que tres puntos en el plano siempre sean colineales, en este caso a y

5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.

GRAFICA 5

Por un punto pasan infinitas rectas, una recta está contenida en infinitos planos; por lo tanto podemos asegurar que por un punto pasan infinitos planos.

6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.

GRAFICA 6

18 7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.

GRAFICA 7

Dos planos , serán coincidentes si tienen tres puntos comunes. En este caso los puntos A, B, C pertenecen a los dos planos.

8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto que no pertenezca al plano? ¿Por qué?

GRAFICA 8

Observemos la gráfica la recta L y el plano

tienen dos puntos comunes A , B por lo tanto todos los puntos de la recta son comunes al plano

9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 9

19 10.¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada

una contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 10

20 CLASE 2: SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS

Se llama segmento de recta AB (AB) al conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B.

Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las prolongaciones del segmento.

MEDIDA DE SEGMENTOS

La medida de un segmento AB, denotada por m(AB) o AB, es la distancia entre sus puntos extremos:

( ) ( , )

m AB d A B AB SEGMENTOS CONGRUENTES

Segmentos congruentes son aquellos que tienen igual medida:

( ) ( )

ABCDm AB m CD  ABCD El símbolo  se lee congruente.

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB usaremos AB y en

lugar de ABCD usaremos AB=CD.

TEOREMA: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: AB AB

2. Simétrica: ABCDCD AB

3. Transitiva: ABCDCDEF ABEF

SEGMENTOS DESIGUALES

Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que tenga menor medida:

21 AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS:

En toda semirrecta OA, para cada real positivo ―X‖ existe un único punto B sobre OA

, distinto de O, tal que m OB( )= X

O sea a cada real X le asigna un único segmento OB, esto nos permite construir en

cualquier otra semirrecta un segmento congruente con OB teniendo en cuenta que su

medida será X a partir del origen de dicha semirrecta.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes.

M es punto medio de MB 1 AB 2

AB AM  

A continuación veamos algunos tipos de enunciados: a) Dado el segmento BC, prolongar CB hasta D.

b) Dado BC, prolongar BC hasta D tal que BC = CD _{En este caso podemos} afirmar que C es punto medio de BD

NOTA: Para agilizar la escritura ―punto medio‖ lo abreviaremos, así: p.m.

SEGMENTOS ADYACENTES:

Son dos segmentos de extremos colineales y que tienen un extremo común situado entre los extremos no comunes.

22 Del gráfico podemos decir que AB y BC Son adyacentes, AB y AC no son adyacentes y AB y CD tampoco lo son.

“OJO” un error que frecuentemente cometemos, es por ejemplo. Dado el gráfico anterior suponer que AB = CD. El ojo no puede darnos relaciones entre los elementos; las únicas relaciones validas; son las dadas en el enunciado (hipótesis) y también aquellas que se demuestran a partir de ellas.

SUMA DE SEGMENTOS:

Si AB y BC son dos segmentos adyacentes, el segmento AC es la suma de los

segmentos AB y BC: AC = AB + BC.

Recuerde colocamos el igual ya que es una suma de reales o sea sus medidas.

AB BC AC AB AC BC

BC AC AB

 

 

  _{  }

 

 

EJEMPLO 1

Dados A-B-C tal que M es p.m., de BC .

Demostrar que AM = 2

ABAC

Del enunciado debemos sacar las relaciones dadas entre las partes, en este caso entre segmentos y a partir de estas, por medio de inferencias lógicas llegar a demostrar lo pedido o sea la tesis.

En este caso tenemos que M es p.m. de BC, entonces BM = MC = = a 2

BC

Observemos la tesis en ella la medida del segmento AM está relacionada con las

medidas de AB y AC, podemos plantear dos ecuaciones una que relacione a AM

23 AM = AB + BM Simbólicamente más ágil:

+ AM = AC – MC w = x + a

2AM = AB +AC +BM – MC + w= z - a

Pero BM – MC = O 2w = x + z

Luego AM = 2

ABAC

W = 2

xz

EJEMPLO 2

Dados O-A-B-C tal que. =

3 4

AB BC

Demuestre que = 4 3 7

OA OC

OB 

Dado que =

3 4

AB BC

luego toda Transformación algebraica que realicemos en esta ecuación también es válida y la podemos usar en la cadena lógica en la demostración. Si =

3 4

AB BC

4AB  3BC4AB3BC0 , además: 1) OBOAAB Si sumamos estas dos ecuaciones:

2) OBOCBC

2OBOA OC ABBC

Observemos:

Los términos AB y BC no aparecen en la tesis, sabemos que 4AB3BCO; multiplicamos la ecuación 1) por cuatro y la ecuación 2) por tres y luego sumémoslas

4 4 4

3 3 3

7 4 3 4 3

OB OA AB

OB OC BC

OB OA OC AB BC

 

 

   

Nótese: Usamos la barra de segmentos, Luego; 4 3 7

OA OC

OB  para no confundir la letra O con el real cero; recuerde estamos sumando reales.

En una forma más ágil:

24 1) x 4 4r = 4x + 4y

2) x 3 3r = 3w -3z

7r = 4x + 3w 4 3 7

x w

r 

ÁNGULOS

ÁNGULO: es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Si ellas son OA y OB, se denota porAOB. El origen O es el vértice del ángulo y las semirrectas OA y OB son los Lados del ángulo.

Ejemplos:

Los ángulos AOB y BOC tienen el mismo vértice y él s py _{no tiene el mismo}

vértice que ellos. El símbolo  se lee ángulo, también se puede escribir así: AOB y el símbolo



se lee ángulo.

INTERIOR DE UN ÁNGULO

Es el conjunto formado por los puntos que están en la intersección de dos semiplanos, (cada uno de ellos con un lado sobre su borde y conteniendo al lado restante), excepto los que están sobre el lado del ángulo.

EXTERIOR DE UN ÁNGULO

Es el subconjunto del plano del ángulo formado por los puntos que no están sobre los lados del ángulo ni en el interior del ángulo.

25 ÁNGULO LLANO: es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas:

Ejemplo: AOB

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Dado un semiplano con una semirrectaOA, fija en su borde, entonces a cada

Semirrecta OB de dicho semiplano, se le asigna un único número real ―a‖ en el

intervalo de 0 a 180_{. Para la semirrecta} OA se asigna 0oy para su semirrecta

opuesta el o

180 , o sea AOA = 0o Y AOC = 180o, así a cada ángulo le corresponde un

único real que es su medida.

MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:

La ―medida‖ (sexagesimal) de un AOB es igual a ―a‖ grados sexagesimales, tomando el número real ―a‖ en el intervalo [0, 180], que le asigna el axioma anterior y lo denotaremos por: mAOB = a0 o simplemente AOB = a0

NOTA: También podemos usar las letras del alfabeto griego para simbolizar el real que tiene por medida un ángulo, ejemplo: AOB =  donde  es el real (medida en grados) del AOB

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS

Dado un semiplano y fijada una semirrecta OA sobre su borde, entonces para cada

real ―a‖ en el intervalo [0, 180], existe solamente una semirrecta OB en dicho

26 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes si BX es una

semirrecta interior al ABC , entonces:

BX es la bisectriz del ABX = XBC = 2

ABC

ABC 

   

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA Según su medida los ángulos se clasifican así:

0

0 0

0

0 0

0 El es NULO si = 0

El es AGUDO si 0 < < 90

El es RECTO si = 90

El es OBTUSO si 90 < < 180

El es LLANO si = 180

              

ÁNGULOS CONGRUENTES: son ángulos que tienen igual medida. ABC = DEF   m ABC = m DEF 

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar confusión en lugar ABCDEF usaremos DEF

ABC 

 , recuerde porque estamos hablando es de reales (sus medidas) y no estamos hablando de la colección de puntos que son cada uno de ellos.

TEOREMA: La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, es decir, cumple con las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: ABC ABC

2. Simétrica: ABC DEFDEF ABC

3. Transitiva: ABC DEFDEFPQRABC PQR

ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no congruentes. Entre dos ángulos desiguales será menor aquel que tenga menor medida.

Ejemplo: Dados AOB y BOC sí  es menor que



, entonces

BOC AOB

27 ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos coplanares que tienen el mismo vértice, un lado común y cada uno de los lados no comunes está en el exterior del otro. Ejemplo: Dado el siguiente gráfico

Podemos decir que:AOB y BOC son adyacentes, AOB y AOC no son adyacentes, tampoco lo son spy y AOB

SUMA DE ÁNGULOS

Si ABC y CBD son adyacentes, entonces ABD es la suma de los ángulos ABC y CBD  :                    ABC ABD CBD CBD ABD ABC CBD ABC ABD

En forma más ágil: si ABC , CBD y ABD, entonces:



= + = -          _{ } 





28 Ángulos adyacentes AOB,BOC,COD,DOA _entonces:



+ + +







= 3600.

EJEMPLO:

Las semirrectas OA y OB forman con OX los ángulos  y  respectivamente. Con



<  y OX exterior al AOB, además OC es la bisectriz del AOB.

Demostrar que:

2

XOB XOA

XOC  



Si OC es bisectriz del AOB, entonces:

  

 

 

 

 

0 2

COB AOC

AOB COB

AOC 

Observemos: la tesis, en ella la medida del XOC está relacionada con las medidas de los ángulosXOA y XOB, debemos establecer ecuaciones que los relacionen y proceder algebraicamente con ellas para llegar a la tesis.

Pasos Razón Justificación

1. OC es bisectriz del AOB Hipótesis

2. _{  } _

2

AOB COB

AOC Por 1

3. XOCXOAAOC Suma de ángulos

29 5. 2XOCXOAXOBAOCCOB Suma de 3 y 4

6 AOCCOB0 Por 1

7

2

XOB XOA

XOC   

 Sustitución de 6 en 5

y propiedad uniforme

Para sumar dos ángulos no adyacentes se construyen dos ángulos adyacentes respectivamente congruentes a ellos.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuyas medidas suman 0

90 ,

De cada uno de ellos se dice que es el Complemento del otro.

EJEMPLO

si 0

+ = 90

  , entonces se dice que



es el complemento de  o que  es el complemento de



.

Si 0

+ = 90

  , 0 = 90 -

  o 0 = 90 -

 

El símbolo θc _{significa que nos referimos al complemento de  o sea a}

_

_{, pero}

0 = 90 -

   θc 0

= 90 - , así también podemos decir que:

+

 θc 0

30 EJEMPLO

Hallar la medida de un ángulo, si su medida es un cuarto de su complemento. Sea  el ángulo pedido, luego 0

+

c =

90

  _{o sea que:} 0

90 -

c =

 _,

Además el enunciado nos dice que  es un cuarto de su complemento o sea que 0

(90 - ) =

4 

 ; luego 0 0 900 0

4 = 90 - 5 = 90 = = 18 5

         0 0

= 90 - 18

c

 0 = 72

c



 _{, vemos pues que la cuarta parte de} 0

72 _es 180_{, o sea que la respuesta} 0

= 18

 _{si es válida.}

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son dos ángulos cuyas medidas suman 1800 _{. Cada uno de ellos es el suplemento del otro.}

EJEMPLO

Si 0

+ = 180

  _{, entonces se dice que}



_{es el suplemento de}  _{o que}  _{es el} suplemento de



.

El símbolo 

s

significa que nos referimos al suplemento de  o sea a



, pero 0

= 180 -

 , así también podemos decir que: 0 0 +

s

= 180 ó

s

= 180 -

   

EJEMPLO

Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la medida de su suplemento, sea  dicho ángulo, sabemos que 0

+

s

= 180   o sea que: 0

= 180 -

s

 ; además el enunciado nos dice que 4 veces la medida de  es igual a cinco veces la medida de su suplemento o sea que

0 0

4 = 5(180 - )    4 = 900 - 5  

0

0 0 900 0

9 = 900 = 100 9

      prueba

0 0 0

31 PAR LINEAL

Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE O PAR VERTICAL

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

TEOREMA

Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus complementos son congruentes. Demostrémoslo directamente: si



=   0 0

90 - = 90 -    

c

= 

c

demostrémoslo recíprocamente: si 

c

= 

c

90 - = 90 - 0  0   =  

TEOREMA

Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus suplementos son congruentes. Realice usted la demostración.

TEOREMA

Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Dado que ABX XBC 1 Llano180, luego ABX y XBC son

suplementarios.

TEOREMA

Si dos ángulos adyacentes, ABC y CBD son suplementarios, entonces forman un par lineal y por lo tanto A, B, D son colineales.

TEOREMA

32 En efecto  es el suplemento de



y de , entonces  =  por tener igual suplemento " "

Matemáticamente podemos llegar a lo mismo, pero es un camino más largo:

0

0 + = 180

+ = 180

   

  =  Al restar estas ecuaciones y _{transponiendo términos}

TEOREMA

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.

Demostración

Pasos Razón Justificación

1. AOBCOD2 Por O.V

2. BOC Por construcción

3. AOCAOBBOC2 Suma de 1 y 2 4. AOBBOC2180 Por 1

5 OX y OY bisectrices deAOB y COD Por hipótesis

6. AOX XOB y COY YOD Por 5

7. XOY2180 Por suma de ángulos en 2 y 6

8 XOY _{es un ángulo llano} Por 7

9. OX y OY _{son semirrectas opuestas} Por 8

33 RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas L y M son perpendiculares.

L



M

, si forman por lo menos un ángulo recto (900_{). En caso contrario son oblicuas, además piensen en el ángulo opuesto por el} vértice a este de 900 _{y en los suplementos de estos ángulos.}

Si





₉₀

0, entonces L

1 es oblicua, además A es el pie de la oblicua y B es el pie de la perpendicular.

Dos segmentos (semirrectas son perpendiculares si están contenidas en rectas perpendiculares, ejemplo:

Dadas L y M perpendiculares si L  M  CD  FA y CD  FA, abreviado si L  M  CD  FA (segmentos contenidos en rectas perpendiculares, son perpendiculares)

TEOREMA

Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos demuéstrelo.

TEOREMA

Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares.

TEOREMA

Por cada punto de una recta pasa una y solamente una perpendicular a ella.

34 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al segmento. Pensemos: Por un punto en el plano pasan infinitas rectas, por el punto medio de un segmento también; pero que sea perpendicular al segmento sólo pasa una y solo una.

35 CLASE 3. TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un triángulo es un polígono de tres vértices, denominados por letras mayúsculas ejemplo: A, B, y C. Símbolo ▲ABC que se lee triángulo ABC

CLASIFICACION SEGÚN SUS LADOS

Escaleno: Si tiene sus tres lados desiguales y esto es:

Isósceles: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes, SI ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , entonces decimos se dice que el triangulo es isósceles de base ̅̅̅̅.

Podemos encontrar enunciados como:

 Dado el ▲ABC isósceles de base ̅̅̅̅, donde implícitamente tenemos que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ la cual es una relación hipotética es decir constituye nuestra hipótesis.

 Dado el ▲ABC de vértice C, donde C es el vértice, donde concurren los lados congruentes, luego hipotéticamente tendremos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y la base es ̅̅̅̅.

Equilátero: si tiene sus 3 lados congruentes, es decir ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , otra forma de escribirlo es a=b=c.

a b

c

C B

A

β

ρ

ϕ α

θ

γ

Lados: BC=a, AC=b, y AB=c donde los reales positivos a, b y c son sus respectivas medidas, además si recorremos el triángulo de B a C, de C a A y de A a B obtendremos el perímetro Luego perímetro 𝕡 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; y el semiperimetro es

𝑝 𝑎+𝑏+𝑐

2 ;

Ángulos interiores: 𝐴𝐵 𝐶 𝛼 𝐵𝐶 𝐴 𝛾 𝐶𝐴𝐵 𝜃

donde ∝ 𝛾 𝑦 𝜃 son sus respectivas medidas en grados.

Ángulos exteriores: que son los respectivos pares lineales de los ángulos interiores, donde

36 Luego perímetro

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS

Acutángulo: Si tiene los tres ángulos interiores agudos.

Rectángulo: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que los forman son los catetos, así:

Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso.

Equiángulo: si tiene sus tres ángulos congruentes.

TEOREMA

Todo equilátero es Isósceles.

Demostración: dado el ABC equilátero, entonces AB=BC=AC, luego por tener sus tres lados congruentes, tiene al menos dos lados congruentes, entonces el ABC es isósceles.

LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: es el segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto, por ejemplo ̅̅̅̅̅, también podemos trazar otra mediana desde el vértice B al punto medio de

̅̅̅̅ y otra desde el punto C al punto medio de

̅̅̅̅_.

OJO. La única relación que la mediana ̅̅̅̅̅ establece es: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ no establece relación angular en el lado que corta ni en el vértice del ángulo .

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación, por ejemplo ̅̅̅̅. El lado

̅̅̅̅ _{es la base relativa a dicha altura,}

37

B F

relativa a ̅̅̅̅, así también podemos trazar desde los vértices B y C las alturas a sus respectivos lados opuestos o a sus prolongaciones.

OJO. La única relación que establece la altura ̅̅̅̅ es que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, no establece que H es el punto medio de ̅̅̅̅.

BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo interior, por ejemplo ̅̅̅̅ es la bisectriz del ángulo , si , entonces ̂ .

BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo exterior, por ejemplo ̅̅̅̅ es la bisectriz de un ángulo exterior si , si

entonces,

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado, por ejemplo

̅̅̅̅̅ _{también por el punto medio de cada}

38 LA RELACION DE CONGRUENCIA

DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes:

{ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅} { ̂

}

TEOREMA

La congruencia de los triángulos es una relación de equivalencia. 1. Reflexiva: .

2. Simétrica:

3. Transitiva: (( ) ( ))

CRITERIOS DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

AXIOMA (Criterio L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.

TEOREMA (Criterio A.L.A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, BC=EF Y ∡C ∡F.

39 TEOREMA (Criterio L.L.L)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos

∡FEG ∡CBA con G en el semiplano opuesto de D y EG = BA y tracemos ̅̅̅̅. Por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆GEF, luego AC=GF (Ls.Hs) y ∡BAC ∡EGF (∡s.Hs).

En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces

∡EDG ∡EGD y ∡FDG ∡FGD. Sumando ∡EDF ∡EGF y por transitividad ∡BAC ∡EDF. En definitiva, por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.

TEOREMA (Criterio A1 A2 L1)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.

Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, ∡C ∡F y AB=DE tomemos sobre la semirrecta ̅̅̅̅ el punto G con BG=EF y tracemos ̅̅̅̅ . Por el axioma LAL se obtiene ∆ABG ∆DEF, luego ∡AGB ∡DFE (∡s.Hs), pero ∡DFE ∡ACB entonces ∡AGB ∡ACB (*).

40 Veamos a continuación algunos corolarios del Axioma (LAL). Usaremos únicamente este axioma para establecerlos.

1. En todo ∆ Isósceles. Los ∡s opuestos a los lados congruentes son congruentes. 2. Todo ∆ equilátero es equiángulo, comparemos nuestras respuestas.

3. En todo ∆ Isósceles la bisectriz del ∡ opuesto A la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una perpendicular a ella.

Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de esa perpendicular

Existencia:

Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos puntos B y C sobre L y tracemos ̅̅̅̅.

Construyamos el ∡CBD tal que BD=BA y ∡CBD=∡CBA, con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L.

Tracemos ̅̅̅̅ que corta a L en el punto E. por construcción el ∆ABD es isósceles y ̅̅̅̅ es bisectriz del ∡ABD, luego ̅̅̅̅ es altura sobre ̅̅̅̅ y en definitiva ̅̅̅̅

Unicidad:

Supongamos que existe otro punto F sobre la recta L tal que ̅̅̅̅ L, luego ∡AFB=900_.

Tracemos ̅̅̅̅. Por LAL, ∆ABF ∆DBF, luego

∡AFB ∡DFB, (∡s.Hs) y entonces también

41 Sumando resulta ∡AFD=1800 _{y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque}

las rectas ̅̅̅̅ y L solo tienen un punto en común.

5. En todo ∆, cada ∡ext. Es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

TEOREMA (Criterio A.L.A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, BC=EF Y ∡C ∡F.

En la semirrecta ̅̅̅̅ tomemos el puto G tal que BG=ED y tracemos ̅̅̅̅ por el axioma LAL se obtiene ∆GBC ∆DEF, luego ∡BCG ∡EFD (∡s.Hs) y como ∡EFD ∡BCA entonces por transitividad ∡BCG ∡BCA. Por lo tanto G esta sobre la semirrecta ̅̅̅̅ y debe coincidir con A y resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.

COROLARIOS

1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles. 2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

DEMOSTRACIÓN COROLARIO 1

A-42 E-B. Por el teorema ALA resulta ∆BDC ∆CBE luego BD=CE (Ls.Hs). ∡BDC ∡CEB (∡s.Hs). y por suplementos ∡BDA ∡CEA por el teorema ALA se obtiene ∆BDA ∆CEA luego AB=AC (Ls.Hs).

TEOREMA (Criterio L.L.L)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

TEOREMA (Criterio A1 A2 L1)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS

TEOREMA

Dos triángulos rectángulos son es si satisfacen alguna de las siguientes condiciones.

Abreviaremos: R recto (90o_{) C cateto H hipotenusa}

A ángulo ady adyacente Op opuesto

1) RCC: si tienen respectivamente congruentes los 2 catetos

2)RCA ady: si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ∡ adyacente a dicho cateto.

∡L∡

43 4)RHA: si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. ∡∡L

5) RHC: si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto.

CONGRUENCIA DE LAS LINEAS NOTABLES HOMOLOGAS

TEOREMA

Si dos triángulos son es entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homologas son es.

TEOREMA- PROPIEDADES DEL TRIANGULO ISÓSCELES 1. Un triángulo es isósceles si tiene 2 ∡s congruentes.

2. En todo ∆ Isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto coinciden.

3. Si en un triángulo dos líneas notables coinciden entonces el triangulo es Isó

TEOREMA- DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados, se opone un ángulo mayor, y recíprocamente.

COROLARIOS

1. En todo triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. Dado ∆ABC recto en A, sabemos que ∝ y θ agudos es decir que.

̂ ∝ luego BC>AC

44 2. En todo triangulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ∡ obtuso. Dado ∆ABC con

̂ _{obtuso, luego como∝ y θ son ángulos agudos, entonces:}

̂ ∝ Luego BC>AC

̂ , luego BC>AB

TERCERA DESIGUALDAD EN EL ∆

En un ∆ cada lado es menor que la sumo de los otros dos lados y es mayor que la diferencia ordenada de ellos

TEOREMA

En todo triangulo cada lado es menor que la suma de los otros y mayor que el valor absoluto de la diferencia entre ellos.

Dado el ∆ABC con ab=c, BC=a y AC=b

a< b+c 1) ⇒ de 2) a>b-c y de 3) a>c-b ⇒ a>| |

b< a+c 2) ⇒ de 3) b>c-a y de 1) b>a-c ⇒b>| |

c< a+b 3) ⇒ de 1) c>a-b y de 2) c>b-a ⇒c>| |

TEOREMA

En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm:

45

∡BCD resulta ∡ACD < ∡BCD luego ∡ADC < ∡BCD y en el ∆DBC se obtiene ∡D < ∡C, luego BC < BD = BA + AD, es decir BC < AB +AC. De un modo similar se prueba que

AC < AB + BC y que AB < AC + BC.

De las dos últimos desigualdades se obtiene BC>AC-AB y BC > AB -AC .entonces BC>|AB-AC|.

COROLARIOS:

1. El camino más "corto" entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)

3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual, entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado, y recíprocamente.

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

46 TEOREMA

Si desde un punto exterior a una recta se trazan, el segmento perpendicular a la recta, y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que cualquiera de los segmentos oblicuos.

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes si sus pies equidistan del pie de la perpendicular.

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie mas cercano del pie de la perpendicular es menor, y recíprocamente.

TEOREMA

En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

COROLARIO: en un plano si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento (ejercicio)

TEOREMA

47 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.

GRÁFICA 17

AFIRMACION RAZON

1

2 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

3 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅´ ( ) ( )

4 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

5

6 ( ) ( ) ( )

2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.

GRAFICA 18

=* +

48

AFIRMACION RAZON

1

2 = = = =

2 2

; ( )

3 = = = ( )

4 ( )

3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y CA los puntos E y D con AE=AD:

Probar que DAB=EAC.

GRAFICA 19

AFIRMACION RAZON

1

2 3

4

4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.

* +

49

GRAFICA 20

AFIRMACION RAZON

1

2 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

3 ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ ( ) ( )

4

5 = 6 =

7

8 ( ) ( ) ( )

9 ( )

10 ( ) ( ) ( )

5. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que

EHA=FHA y EFH=FEH.

GRAFICA 21

AFIRMACION RAZON

1

2

3

50 5

6

7 ( )

8 ( ) ( ) , ( )

9 ( )

10

11 _{( ), ( ) ( )}

12 ( )

13 ( )

14 ( )

15 ( )

6. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.

GRAFICA 27

:

AFIRMACION RAZON

1

2 ̂ = ̂

3

4

5 ( )

51 7. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD.

a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que parten desde el mismo vértice que ella.

Grafica 25

H: AM mediana AM=MD

T: BD=CA +

AFIRMACION RAZON

01 CM=MB

02 AM=MD

03 ̂ ̂

04 Δ Δ

05 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

06 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

07 AB+ ̅̅̅̅

08 AB+BD 2AM

52 CLASE 4 - PARALELISMO

RECTAS PARALELAS

Definición: Sean l y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y lo denotamos como l || r, si:

i)l es la misma recta r o ii)l es diferente á r y l n r

AXIOMA: EXISTENCIA DE LA PARALELA

Por un punto P exterior a una recta L pasa una paralela

AXIOMA DE PARALELISMO: V Postulado De Euclides (V.P.E.)

Si dos rectas distintas l y r, coplanares cortadas por una secante t en puntos distintos, forman con ella en el semiplano πt dos ángulos interiores, de tal manera que la suma de

sus medidas sea menor que 180o_{, entonces las dos rectas se cortan en algún punto del} semiplano πt. Es decir si QAB ABQ180 entonces l y r se cortan en πt. El quinto

postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivalente, llamado el postulado de la paralela única de Playfair, el cual dice asá:

53 TEOREMA

El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair.

Demostración.

Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir, que para toda recta L y todo P L existe una única recta r tal que Pr y r || l. Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que:  1 2180

Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano πt, Es claro que 1 3 180

   , de donde, 1 180 3

Como  1 2 180, entonces 180 o _—

3

 +2<180

o_{, de donde} 2

 < 3. Es decir que las rectas l y m son secantes.

TEOREMA

Si dos rectas son perpendiculares a una tercera ellas son paralelas entre si.

Sea t la perpendicular a l y r que pasa por P y Q respectivamente. Supongamos que

APQ y BQP

54 TEOREMA

Si dos rectas distintas y coplanares son paralelas, toda secante que corta a una de ellas corta a la otra.

Demostración

Supongamos / || r y que s corta a la recta l en un punto B. Por tanto la recta s es distinta a la recta l. Veamos que s corta a r.

En efecto, si s no cortara a r se tendría s || r, con s pasando por B. En conclusión tendríamos dos rectas pasando por B (s y l) ambas paralelas a r. Luego, por el postulado de Playfair se tendrá que s l . Contradicción, ya que s es distinta a l.

TEOREMA

El paralelismo de rectas es una relación de equivalencia, o sea que es: reflexiva, simétrica y transitiva.

1. Reflexiva: es claro que / || /.

2. Simétrica: también es claro que si l || r, entonces r || l.

55 ANGULOS ENTRE PARALELAS

Si se tienen dos rectas l y m paralelas cortadas por una secante s se forman los siguientes ángulos congruentes:

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS ENTRE PARALELAS

Los ángulos alternos internos, son aquellos ángulos ubicados en lados distintos con respecto a la secante y al interior de las paralelas.

Teorema: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos internos que forman con cualquier secante son congruentes.

Demostración.

Sean l paralela a r y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. Sea O punto medio de AB. Tracemos desde O, OHl Como OH l y l paralela a r, entonces OH r. Así que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r se tendrá que OQA es recto. Ahora OBH  OQA (hipotenusa -

ángulo agudo). Luego OAQ HBO por _sH_s, lo que demuestra el teorema.

Lo mismo sucede con



 

s



s

OAQ HBO

   .

Es decir que para la situación inicial   1 5 y   2 7.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS ENTRE PARALELAS

Los ángulos alternos externos son aquellos ubicados en lados distintos respecto a la secante y al exterior de las paralelas

56

TEOREMA: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos externos que forman con cualquier secante son congruentes.

Demostración:

Como   1 5 por el teorema anterior,    1 4 180 y    5 6 180 por ser ángulos suplementarios entonces

   

1 s  5 s, es decir que   4 6.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE PARALELAS

Son aquellos ángulos ubicados del mismo lado de la secante y se encuentran uno al interior de las paralelas y el otro fuera de ellas.

TEOREMA: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos correspondientes que se forman con cualquier secante son congruentes.

Demostración:

Como   1 5 y 1ˆ ˆ3 por ser opuestos por el vértice y ˆ5 8ˆpor la misma razón. Por sustitución resulta que   3 8 y por suplemento   6 4.

ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS

Son aquellos ángulos ubicados al interior de las paralelas y del mismo lado de la secante.

TEOREMA: los ángulos colaterales internos son suplementarios Demostración:

Si    1 2 180 por ser suplementarios y   1 5 por ser alternos internos, por sustitución    5 2 180 . De la misma manera se prueba que

1 7 180     

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS

Son aquellos ángulos ubicados al exterior de las paralelas y del mismo lado de la secante.

TEOREMA: los ángulos colaterales externos son suplementarios Su demostración se deja como ejercicio.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL TRIANGULO

TEOREMA (Suma de los ángulos interiores de un triángulo).

57 Demostración:

Sea l AB trazada por C. Como l AB y BC secante, entonces:   2 Y Como l AB y AC secante, entonces:  1. Además es claro   1  2 180. Luego:

180

     .

COROLARIO: En todo triangulo rectángulo, la suma de las medidas de los ángulos agudos es 90°.

Como demostramos anterior mente      A B C 180, pero como B es recto entonces     A C 90 . Además     C 90 A pero,

90

c

A A

     es decir que ángulos agudos serán complementarios.

ANGULO EXTERIOR

58

TEOREMA: La medida de todo ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

Demostración:

Se prolonga AC, por lo cual   180, del T.F.T     180, igualando resulta que         , de lo cual se der iva que que

    .

DISTANCIA ENTRE PARALELAS

TEOREMA: si dos rectas son paralelas entonces la distancia entre ellas es constante.

Demostración:

Sea l m, se construye BCAB y ADDC , luego     B D 90 , se traza AC secante y lado común, y como l m entonces DAC ACBpor alternos internos, luego DAC ACB por (A-A-L). De ahí que DACB por L H_{s s}

TEOREMA: PARALELA MEDIA DE UN TRIÁNGULO En un triángulo se cumple que:

i. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de la medida del tercer lado.

59 Demostración.

Sean M y N puntos medios de AC y CB, respectivamente. Demostremos que:

MN

AB

Prolonguemos MN tal que: MN = NT. Los triángulos MNC y TNB son

congruentes por L-A-L. (1)Luego los ángulos:   1 y MC = BT. Luego de (1), las rectas TB y CA son paralelas por hacer ángulos alternos congruentes con la secante MT.

Como MC = MA, entonces MA = BT y MAT = ATB (ángulos alternos internos entre paralelas) y además, AT = AT.

Luego, MAT = ATB (L-A-L). Así, MTA = TAB (por definición de congruencia de triángulos); luego, MT || AB (Teorema de los alternos internos) y MT = AB. Si N es el punto medio de MT, entonces: MN || AB

ii ) Sea ABC, M punto medio de AC. MN || AB, por N tracemos una paralela a AC, que corta a AB en T.

Tenemos: MNC = TBN, ya que

CMN = ATB, ACB = TNB (por correspondientes) y MC=AM=TN. Entonces CN = NB.

TEOREMA. MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

60

Demostración.. Sea AM mediana del triángulo rectángulo BAC. Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior MD || CA y por lo tanto MDB es recto. Luego el triángulo AMB es isósceles. De

aquí concluimos que: AM = MB y como M es punto medio de BC se tiene que: AM = BM = MC

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. En un  XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a , que corta a en B. Probar que el  AOB es isósceles.

GRAFICA 32

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( ) ( )

4 ( )

2. En un  ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se traza , D sobre y E sobre . Probar que:

a. DBI y ECI son isósceles. b. Perímetro ADE = AB + AC.

GRAFICA 33

D-I-E

( )

( ) +

AFIRMACION RAZON

OZ OX

OY OZ

61

1

2

3

4 ∡

5 ( ) ( )

6 ( ) ( )

7 ( )

8 ( )

9 ( )

10 ( )

11 + +

12 + ( + ) +

13 + ⏟ + + ⏟ ( ) ( )

14 +

3. En un  ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que .

GRAFICA 34

B'C'

AFIRMACION RAZON

1 ̅̅̅̅̅

2 ̅̅̅̅̅

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

62

4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus bisectrices son perpendiculares.

GRAFICA 35

AFIRMACION RAZON

1

2 AOP

3

4

5

6

7 ( )

8 +

9 + ( ) ( ) ( )

10 + ( )

11 + +

12 ( ) ( )

13

14

5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces sus bisectrices son paralelas.

GRAFICA 36

63

1

2

3

2

4 Tracemos

5 + +

6 + +

7 ( + ) + ( + ) + +

( ) ( )

8 + + +

9 90 + + + ( ) ( ) ( ) en ( )

10 2 + ⇒ + ( )

11 ∝ + +

12 ∝ + ( )

13 + ∝ + ( ) ( )

14 ∝ ( )

15

16

6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a la base.

GRAFICA 37

AFIRMACION RAZON

1

2 =90

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8

64

10 ( )

11 + +

12 + de ( ) ( )

13 + + =180

14 + ( ) ( )

15 + + ( ) ( )

16 ( )

17

7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los otros dos ángulos son paralelas.

GRAFICA 38

Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)

8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre

. Demostrar que EPF = A.

GRAFICA 39

AFIRMACION RAZON

1

2

3

BC BC

65

4 ( )

5 ( )

6 6. ( )

7 ( )

8 + +

9 + + ( ) ( ) ( )

10 + +

11 + + + + ( ) ( )

66

CLASE 5 - CUADRILÁTEROS

CUADRILÁTEROS

Es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y cuatro ángulos

Lados: AB BC CD AD, , , Ángulos: A, B, C, D

, , ,

DAB ABC BCD ADC

Diagonal: es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Diagonales: AC BD,

Cuadrilátero convexo: un cuadrilátero es convexo, cuando al unir dos puntos distintos de lados consecutivos, el segmento que une los puntos dados esta al interior del polígono.