UNIDAD 7 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.pd

(1)

UNIDAD 7.

PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

RAZONES Y PROPORCIONES

DEFINICIONES

RAZÓN: La razón entre dos números reales

a y b, (b0), es el cociente entre a y b, es decir a

b. También se escribe: a/b, ab, a:b.

Al numerador se le llama antecedente y al denominador consecuente.

PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos razones: a c

b  d. Se lee: “a es a b” como “c es a d”. También se escribe: a/b=c/d, a:b=c:d.

a y d son los extremos; b y c son los medios.

CUARTA PROPORCIONAL: Si a c b  x, es decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta

proporcional entre a, b y c”, en ese orden.

MEDIA PROPORCIONAL: Si a x x  b, es decir a:x=x:b entonces “x es la media proporcional entre a y b”. También se llama

media geométrica.

TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x es la

media proporcional entre a y b”. Entonces “a

y b” son las terceras proporcionales de x.

RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La razón entre dos segmentos es la razón entre sus medidas, en la misma unidad de medida.

SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos segmentos son proporcionales a otros dos si la razón entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Siempre que las razones resulten definidas: 1. Producto extremos = Producto medios

Si a c

b  d entonces ad=bc

2. Razones inversas Si a c

b  d entonces

b d

a  c

3. Intercambio de extremos Si a c

b  d entonces

d c

b  a

4. Intercambio de medios Si a c

b  d entonces

a b

c  d

5. Sumar (restar) a cada antecedente su respectivo consecuente

Si a c

b  d entonces

a b c d

b d

 _ 

6. Sumar (restar) a cada consecuente su respectivo antecedente

Si a c

b  d entonces

a c

b a  d  c

7. Razones entre la suma y la diferencia del antecedente y el respectivo consecuente Si a c

b  d entonces

a b c d

 



 

(2)

Si a c

b  d entonces

a c a c

b d b d



 



Esta propiedad es aplicable a cualquier serie de dos o más razones iguales, es decir:

n 1 2

n n

1 2 1 2

a a ... a

a

a a

...

b b b b b ... b

  

   

  

9. El cuadrado de la media proporcional es igual al producto entre las terceras proporcionales, es decir:

Si a x

x  b entonces x2  ab.

Luego la la media geométrica entre a y b

es x  ab.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN SEGMENTOS CONGRUENTES

TEOREMA: Si tres o más paralelas determinan segmentos congruentes sobre una transversal entonces dichas paralelas también determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra transversal.

CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en n segmentos congruentes, (nZ, n2)

TEOREMA DE THALES

TEOREMA: Si dos rectas son cortadas por tres paralelas entonces los segmentos que dichas paralelas determinan sobre una de las rectas son proporcionales a los segmentos que determinan sobre la otra.

COROLARIO: Toda paralela a un lado de un triángulo determina segmentos proporcionales sobre los otros dos lados, (o sobre sus prolongaciones),

CONSTRUCCIÓN: Construir la cuarta proporcional de tres segmentos dados.

TEOREMA (6o_{criterio de paralelismo):}_Si

en un triángulo una recta determina segmentos proporcionales sobre dos lados (o sobre sus prolongaciones) entonces dicha recta es paralela al tercer lado.

TEOREMA: Si tres rectas concurrentes son transversales a dos rectas paralelas entonces sobre las paralelas se determinan segmentos proporcionales y recíprocamente.

PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS BISECTRICES

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que forman el ángulo y recíprocamente.

En un ABC, si AD es la bisectriz del A interior, entonces: DB/DC=AB/AC y además

DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo exterior(*)_{divide exteriormente} al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados del ángulo interior adyacente y recíprocamente.

En un ABC, si AE es la bisectriz del A exterior, con E sobre la prolongación de BC, entonces EB/EC=AB/AC y además

EB=ac/bc; EC=ab/bc

(3)

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si sus tres ángulos son respectivamente congruentes y sus tres lados son respectivamente proporcionales. Se denota ABC  A'B'C':

ABC  A'B'C' 

A A´

1. B B´

C C´

AB BC CA

2. k

A´B´ B´C´ C´A´

       _{  }        _ _   _   _     _ _ _     

Los ángulos respectivamente congruentes, y los lados respectivamente proporcionales se llaman elementos homólogos (en semejanza).

El número k es la razón de semejanza del

ABC con respecto al  A'B'C' y significa que la medida de un lado del ABC es k veces la de su lado homólogo en el A'B'C'.

Obviamente dos triángulos congruentes son semejantes y su razón de semejanza es k=1.

TEOREMA: La relación de semejanza de triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC. 2. Simétrica: Si ABCA'B'C'

entonces A'B'C'ABC. 3. Transitiva: Si ABCA'B'C'

y A'B'C'A"B"C" entonces ABCA"B"C".

La transitividad es un método muy utilizado para probar que dos triángulos son semejantes.

CRITERIOS DE SEMEJANZA

TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda paralela a un lado de un triángulo dado determina un triángulo semejante a éste.

TEOREMA:( SLAL) Si dos triángulos tienen un ángulo congruente formado por lados proporcionales entonces son semejantes.

TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.

TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente proporcionales entonces son semejantes.

TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos cumplen alguna de las siguientes propiedades entonces son semejantes:

1. Si tienen un ángulo agudo congruente. 2. Si tienen los catetos proporcionales.

3. Si tienen proporcionales las hipotenusas y uno de sus catetos.

(4)

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS

PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE UNA RECTA

PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta L es el punto P’ de intersección entre la recta L y la recta perpendicular a L que pasa por P; es decir P’ es el pie de dicha perpendicular.

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La proyección ortogonal de un segmento AB sobre una recta L es el segmento A’B’ formado por los puntos proyecciones ortogonales de todos los puntos del segmento AB sobre la recta L.

NOTA: En adelante nos referiremos a una proyección ortogonal simplemente como proyección.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa determina dos triángulos rectángulos semejantes a él.

En un ABC rectángulo en A, sean m y n las proyecciones de los catetos c y b sobre la hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:

CATETO MEDIA PROPORCIONAL

TEOREMA: Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella:

b2_{= a n ; c}2_{= a m}_.

TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 _{= b}2_{+ c}2_.

ALTURA MEDIA PROPORCIONAL

TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: h2 _{= m n}_.

ALTURA 4a_PROPORCIONAL

TEOREMA: La altura relativa a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos: ah = bc .

CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos construir su media proporcional.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

LEY DEL COSENO

TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado del lado a opuesto a un ángulo A agudo (obtuso)

es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos (más) el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, es decir:

A agudo: a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2 b Proy (c}

/b)

A obtuso: a2_{= b}2_{+ c}2_{+ 2 b Proy (c /b)}

NOTA: Este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras.

TEOREMA: Dado un triángulo ABC de lados a, b y c entonces:

1. A es agudo  a2_{< b}2_{+ c}2

2. A es recto  a2_{= b}2_{+ c}2

(5)

CÁLCULO DE ALTURAS

TEOREMA: La altura ha, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

a 2

h p(p a)(p b)(p c)

a

   

donde p es el semiperímetro:

a b c

p

2

 



CÁLCULO DE MEDIANAS

TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado a,

de un triángulo ABC está dada por:

2

2 2

2

a b c a

m

2 4



 

CÁLCULO DE BISECTRICES

TEOREMA: Si la bisectriz va=AD, del ángulo



A

int de un triángulo ABC determina los segmentos DB y DC sobre el lado a, entonces:

2 a

v  bc DB.DC

TEOREMA: Si la bisectriz wa=AE, del ángulo



A

ext de un triángulo ABC determina los segmentos EB y EC sobre el lado a y su prolongación, entonces:

2 a

w  EB.EC bc

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

TEOREMA: En un ABC, el producto entre el diámetro 2r de su circunferencia circunscrita y la altura ha, es igual al producto entre los

lados b y c del triángulo, es decir 2rh_a  bc, luego:

a

bc abc

r

2h 4 p(p a)(p b)(p c)

 

  

donde p es el semiperímetro: p a b c 2

 



CUERDAS SECANTES

TEOREMA: Si en un punto P interior a la circunferencia se cortan dos cuerdas AB y

A´B´ entonces el producto entre los dos segmentos de la primera es igual al producto entre los dos segmentos de la segunda, es decir PA x PB  PA´x PB´.

RECTAS SECANTES

TEOREMA: Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas AB y

A´B´ secantes a ella, (P-A-B, P´-A´-B´), entonces el producto entre el segmento externo de la primera y la secante completa es igual al producto entre el segmento externo de la segunda y la secante completa, es decir

PA x PB  PA´x PB´ .

SECANTE Y TANGENTE

(6)

POTENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O; r) y dado un punto P en su plano, se llama Potencia

“p” del punto P con respecto a la C(O; r), ¸ al producto entre las medidas de los segmentos orientados determinados, por él y por la circunferencia, sobre cualquier recta secante a ella que pase por P.

TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un punto P en su plano, si d = OP, entonces la potencia

p del punto P con respecto a la C(O; r ) está dada por: p = d2 __r2_.

TEOREMA: La potencia de un punto exterior a una circunferencia es el cuadrado del segmento de tangente trazado desde él.

TEOREMA: El lugar geométrico de los puntos de igual potencia con respecto a dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la recta de sus centros.

EJE RADICAL

Dadas dos circunferencias no concéntricas se llama Eje Radical de ellas al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia con respecto a ellas.

TEOREMA: Las tangentes a dos circunferencias no concéntricas trazadas desde un punto de su eje radical, exterior a ellas, son congruentes y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias no concéntricas, según su posición, el eje radical se obtiene como sigue:

1. Exteriores: La recta que une los puntos medios de sus segmentos tangentes exteriores comunes.

2. Secantes: La recta secante común 3. Tangentes: La recta tangente común. 4. Interiores: La recta perpendicular a la

línea de sus centros que pasa por el punto donde concurren los ejes radicales entre cada una de ellas y una circunferencia secante a ambas.

TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de centros no colineales, entonces sus ejes radicales concurren en un punto.

CENTRO RADICAL

(7)

CRUCIGRAMA PROPORCIONALIDAD

(REALIZÓ: Carlos Alberto Ríos Villa)

1

2

(8)

HORIZONTALES

1 ESTE TEOREMA DICE QUE SI POR UN LADO DE UN TRIÁNGULO SE TRAZA UNA PARALELA A OTRO, ENTONCES RESULTAN DOS TRIANGULOS QUE SON SEMEJANTES

4 INTERSECCION ENTRE UNA RECTA Y LA PERPENDICULAR TRAZADA DESDE EL PUNTO A ELLA.

5 EN UNA PROPORCION, EL CONSECUENTE DEL PRIMER TERMINO Y EL ANTECEDENTE DEL SEGUNDO

6 EL CRITERIO DE SEMEJANZA MAS USADO

9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL TRIÁNGULO NOS PERMITE CONCLUIR QUE EL CRITERIO SAAA SE PUEDE REDUCIR A ESTO.

11 EN UN TRIANGULO RECTANGULO ESTE SEGMENTO SE PUEDE CALCULAR

COMO EL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE QUEDA DIVIDIDA LA HIPOTENUSA

12 EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CADA LADO (NO LA HIPOTENUSA) AL

CUADRADO, PUEDE CALCULARSE COMO EL PRODUCTO ENTRE LA HOPTENUSA Y SU PROYECCIÓN SOBRE ELLA

13 LA ALTURA RELAIVA A LA HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO LO

DIVIDE EN ________________ TRIÁNGULOS SMEJANTES

14 SI ESTOS LADOS LO SON RESPECTIVAMENTE EN DOS TRIANGULOS

RECTANGULOS, ESTOS SERÁN SEMEJANTES

15 CON ESTOS DOS ELEMENTOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES EN

DOS TRIANGULOS RECTANGULOS, ESTOS SERAN SEMEJANTES

16 TEOREMA EN EL QUE DEBE HABER UNA PARALELA A UNO DE LOS LADOS

DEL TRIANGULO

17 CRITERIO DE SEMEJANZA

18 ESTE TEOREMA CONCLUYE QUE ESTE SEGMENTO EN UN TRIANGULO CREA

SEGMENTOS PROPORCIONALES AL LADO ADYACENTE.

19 CRITERIO DE SEMEJANZA

21 LOS TRIANGULOS RESULTANTES AL TRAZAR LA ALTURA RELATIVA A LA

HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO, PERMITEN ESTABLECER ESTAS ECUACIONES.

23 EL TEOREMA DE THALES INVIRTIENDO LA HIPOTESIS Y LA TESIS, PERO

ADEMAS SIMPLIFICADO.

24 PRODUCTO DE LA MEDIDA DE UN SEGMENTO SECANTE A UNA

CIRCUNFERENCIA Y SU PARTE EXTERIOR

26 RESULTA SI EN UNA RAZON UN ANTECENTE Y UN CONSECUENTE SON

IGUALES

27 EN UNA PROPORCIÓN EL NUMERADOR DEL PRIMERO Y EL DENOMINADOR

DEL SEGUNDO TERMINO

28 ESTE SEÑOR DIJO TALES COSAS QUE REALMENTE TENEMOS MUCHO QUE

AGRADECERLE, POR EJEMPLO QUE SI DOS RECTAS SON CORTADAS POR TRES PARALELAS ENTONCES LOS SEGMENTOS QUE SE FORMAN EN UNA SON PROPORCIONALES A LOS QUE SE FORMAN EN LA OTRA

29 DENOMINADOR DE UNA RAZON

30 SI ESTOS SEGMENTOS ESTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA Y SE CORTAN EL

PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE UNO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE EL OTRO

32 EN TRIANGULOS SEMEJANTES ESTOS SEGMENTOS TAMBIEN LO SON 33 CON ALGUNOS DATOS Y USANDO ESTE TEOREMA PODEMOS ENCONTRAR

ALGUNAS PARTES DE UN TRIANGULOS CUALQUIERA

34 CONCLUSION A LA QUE PODEMOS LLEGAR SI DOS RECTAS FORMAN

SEGMENTOS PROPORCIONALES SOBRE OTRAS DOS

35 COCIENTE ENTRE DOS NUMEROS REALES

VERTICALES

1 INICIALES DE ESTE TEOREMA TAN FUNDAMENTAL EN LAS PROPORCIONES. SI TRES O MAS PARALELAS DETERMINAN SEGMENTOS CONGRUENTES EN UNA TRANSVERSAL ENTONCES...

2 SI LA RELACIÓN DE DOS ES IGUAL A LA RELACION ENTRE OTROS DOS ENTOCES ESTAS PORCIONES DE RECTA SE LLAMAN ASÍ.

3 ESTE PERSONAJE, ENTRE OTRAS COSAS, ESTUDIO MUY BIEN LOS TRIANGULOS RECTANGULOS

7 UNO IGUAL ES SUFICIENTE PARA QUE DOS TRIANGULOS RECTANGULOS SEAN SEMEJANTES

8 ESTOS TRIANGULOS TIENEN LA MISMA FORMA PERO NO LA MISMA MEDIDA

10 OTRO NOMBRE PARA LA RAZON DE SEMEJANZA 20 EN UNA PROPORCIÓN EL ANTECEDENTE DEL PRIMERO

Y EL CONSECUENTE DEL SEGUNDO

22 LA MEDIDA DE ESTE SEGMENTO ES IGUAL A LA

POTENCIA DE UN PUNTO

25 RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE DOS RAZONES 31 ESTE SGMENTO DIVIDE EL LADO OPUESTO DE UN

(9)

Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes

tener presente los conceptos de razones y proporciones, así como sus diferentes

propiedades. En la solución de los ejercicios es necesario recordar los siguientes

aspectos:

1. teorema fundamental de la proporcionalidad

2. teorema de Thales

3. propiedades métricas de las bisectrices

4. teoremas sobre la semejanza de triángulos

5. relaciones métricas en triángulos oblicuángulos

6. relaciones métricas en triángulos rectángulos

7. calculo de la medida de las alturas, medianas y bisectrices

8. relaciones métricas en la circunferencia

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.

UNIDAD 7

(10)

1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.

Demostrar que: IA.IJ = IC.IH

GRAFICA 83

( )

AFIRMACION

RAZON

1 °

̅̅̅

2

3

4

5

6 ( ) ( )( )

2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que

A-O-P-B , se levanta PC perpendicular a AA-O-P-B que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que

corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC

GRAFICA 84

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

(11)

3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores

y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.

GRAFICA 85

Determina los elementos de la hipótesis y la

tesis

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

(12)

21 igualación

22

23 4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E

sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:

AC . DE = DC . BE

GRAFICA 86

AFIRMACION

RAZON

1 _AxB

2

3

4

(13)

5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso. Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?

GRAFICA 87

Podemos observar que AD=DC y representa

la altura de la persona, mientras que OC

equivale al radio, de donde aplicando el

Teorema de Pitágoras obtenemos:

6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del

triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que



1 CL

BL

BH

AH

AE

CE

GRAFICA 88

1. Podemos determinar que los triángulos

y

son semejantes, de donde

2. Podemos determinar que los triángulos

y

son semejantes, de donde

3. Podemos determinar que los triángulos

y

son semejantes, de donde

(14)

4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado

obtenemos

(

) (

)

7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de

los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.

GRAFICA 89

̅̅̅̅

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

4

5

6

7 8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia

entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia

GRAFICA 90

En este ejercicio podemos trazar el

segmento MN que pase por el centro de la

circunferencia y sea perpendicular a ambos

segmentos.

Por lo tanto con los dos triángulos isósceles

formados podemos aplicar el teorema de

Pitágoras

Y sabiendo que

(15)

9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar

GRAFICA 91

̅̅̅̅

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

4

5

6

7

10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,

A

C 

 2 . Demuestre que

c



a

2



ab

GRAFICA 92

Determina la hipótesis y la tesis del

ejercicio

Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)

Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que

donde por propiedades de

las proporciones

También podemos concluir que

(¿Por qué?) lo que nos lleva a

(16)

Retomando

si sustituimos n obtenemos que

√

11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es el

punto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallar

AO, HO, AE y AD en función de a, b y c.

GRAFICA 93

Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,

también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.

1. Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función del

semiperimetro p

√

2. Hallemos AO mediana en función de a, b y c

3. Tomando el

recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH son

conocidos.

(17)

12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmento secante y su parte exterior.

GRAFICA 94

El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,

primero veamos que

(¿Por qué?)

Lo que nos lleva a que

(¿Por qué?)

De donde

realízalo argumentando cada paso

13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), se

traza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrar

que AB

2

_{= AE . AD}

GRAFICA 95

Para demostrar este ejercicio tracemos BE y

BC, sabemos que

y podemos

observar también que

(¿Por qué?).

Lo anterior nos lleva a que

(¿Por

qué?).

De donde podemos concluir que

realízalo argumentando cada paso

14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la

hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es media

proporcional entre AD y EB.

GRAFICA 96

otro ejercicio fácil de realizar estableciendo

que

Luego establecemos las proporciones

correspondientes teniendo presente que

(18)

15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de la cuerda de la mayor que es tangente a la menor.

GRAFICA

97 Observa que

(¿Por qué?).

Luego aplicando el teorema de Pitágoras

podemos hallar AP=PB

realízalo argumentando cada paso

16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que

la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?

GRAFICA 98

Para resolver este ejercicio recuerda:

Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente , y una secante , entonces el segmento tangente es media proporcional entre la secante completa y su segmento externo, es decir:

PT PAB

2

(19)

EJERCICIOS UNIDAD 7- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

1. En un triángulo ABC cualquiera se trazan OF (O baricentro) y CE perpendiculares a AB, con F y E sobre AB. Demostrar que OF = (1/3)CE

Grafica 87

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

C

̅̅̅̅=

CD ˄ D

̅̅̅̅

CD

02

CE ‖ F

03

∢DCE ∢D F

04

ΔCED Δ FD

05

CE

F

ED

FD

CD

D

06

CE

F

ED

FD

CD

07

CE

(20)

5

2 

Grafica 88

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

01

Tracemos CE ⊥ AB AE EC EB a

02

BC

ID+IB=DB

ID+2ID=√ a

3ID=√ a

ID=

√

(21)

3. Demostrar que en un paralelogramo la suma de las medidas de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.

Grafica 89

AD

̅̅̅̅ BC

̅̅̅̅

4. En un triángulo PQR se prolonga PQ hasta S con PQ = QS, se toma U sobre PR tal que UR = (2/3) PU y se traza SU que corta a QR en T. Calcular la razón QT/QR

Grafica 90

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

01

tracemos

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

̅̅̅

(22)

T T

T

12

̅̅̅̅̅

T

13

(23)

5. Se da un triángulo ABC con AB > AC . Se trazan las bisectrices interior AD y exterior de AE del



A

, con D y E sobre BC. Demostrar que:

2

2 2









BD

AE

AD

CD

AE

AD

Grafica 91

1.De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

03

DC

BD

AC

AB

04

CE

BE

AC

AB

05

DC

BD

CE

BE

06

BE

BD

CE

DC

CE

DC

BE

BD

DE DC

DC

BD DE

BD

DE

DC

DE

BD

DE

DC

DE

BD

(24)

6. En un trapecio ABCD isósceles de base mayor AB, la diagonal BD es perpendicular a AD. Si AB mide 50u y AD = 14u. Calcular el perímetro del trapecio.

Grafica 92

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y

la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

Por ser trapecio isósceles AD=BC=14, si trazamos las alturas del trapecio en los puntos D y

C tenemos DP=CQ, por lo tanto los ΔAPD

ΔB C

por H-C lo cual implica AP=QB=m

Luego PQCD es rectángulo e implica

̅̅̅̅ DC

̅̅̅̅

entonces

01

AD

2

_=A

̅̅̅̅ AB

̅̅̅̅

14

2

_{=m 0}

M=98/25

02

̅̅̅̅ AB m

̅̅̅̅ 0

9 ̅̅̅̅

0

03

P=AB+BC+DC+AD

(25)

7. En un trapecio ABCD de base mayor AB = 3a, AD = CD = a y



A

= 60º. Calcular BC y la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

Grafica 93

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

Tracemos DQ

⊥ AB,

DQ=h, luego

∢

ADQ=30°,

C

̅̅̅̅ ⊥ AB

̅̅̅̅

, CP=h luego DC=QP=a por ser rectángulo

QPCD

01

_A

_̅̅̅̅

_AD

_̅̅̅̅

a

02

A

̅̅̅̅ A

̅̅̅̅

A

̅̅̅̅

a

A

̅̅̅̅

a

03

B

̅̅̅̅ AB

̅̅̅̅ A

̅̅̅̅

B

̅̅̅̅ a

a

B

̅̅̅̅

a

04

D

̅̅̅̅

√ AD

√ a

05

_D

_{̅̅̅̅ C}

07

_D

_{̅̅̅̅̅ C}

_̅̅̅̅

a

08

_̅̅̅̅

a

09

D

̅̅̅̅̅

D , paralelogramo D

̅̅̅̅̅‖

̅̅̅̅

(26)

8. Desde el punto medio D del cateto AB de un triángulo rectángulo en A se traza DE perpendicular a la hipotenusa. Demostrar que EC2 - EB2 = AC2

Grafica 94

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

01

AB

EB

BC

BD

AC

ED

DB

EB

AC

ED

CE ED

BD

DB

̅̅̅̅

EB

̅̅̅̅ EB

̅̅̅̅ EC

̅̅̅̅

DB

̅̅̅̅

=EB

̅̅̅̅ CE

̅̅̅̅ EB

̅̅̅̅

DB

̅̅̅̅

_+EB

2

_-4DB

2

(27)

9. Dos circunferencias secantes y congruentes O y O´ son ortogonales (las tangentes trazadas en sus puntos de intersección son perpendiculares); por uno de sus puntos de intersección A se traza una cuerda MAN(M sobre la circunferencia O y N sobre la circunferencia O´).

Demostrar que MA2_{+ NA}2_{= 2}

 

_, 2

OO

Grafica 95

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y

la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

01

Podemos demostrar que los triángulos

ΔAPO

Δ

por ALA

02

En el triángulo ΔOAO’ por Pitágoras

̅̅̅̅̅

R√

ya que

∢

OAO’ =90°

˄

OA=O’A=R

03

A

̅̅̅̅

A y A

̅̅̅̅

A por ser ⊥s a las cuerdas

04

Por A

̅̅̅̅

A

05

A

̅̅̅̅

_R

Por Pitágoras en el Δ A tenemos

A

̅̅̅̅̅

2

₊₍

(28)

10. Se tiene un paralelogramo ABCD con AD = 20, AB = 36 y BD = 40, encontrar la medida del segmento AC.

Grafica 96

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

Tracemos CP

⊥

AB en P donde

B

̅̅̅̅

proyeccion de

BC

̅̅̅̅

sobre

AB

̅̅̅̅

01

B

̅̅̅̅

0

0 B

̅̅̅̅

AC

2

2

_+2(AB)(BP)

11. Si ABC triángulo cualquiera, AD bisectriz del ángulo A, DE paralelo con AB (E sobre AC) y AB = c, AC = b , BC = a, encontrar DC, BD, AE, CE y DE en función de a ,b y c.

Grafica 97

1.De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

01

∢CAD ∢DAB

02

∢DAB ∢EDA

03

∢CAD ∢EDA

04

ΔAED isósceles

05

EA

̅̅̅̅ ED

̅̅̅̅

06

∢CED ∢CAB, ∢CDE ∢CBA

07

ΔCED ΔCAB

08

CE

CA

ED

AB

CD

CB

09

CD

̅̅̅̅

DB

̅̅̅̅

c

CD

DB CD

c

CD

a

c

CD

̅̅̅̅

a

c

a

ED

c

ED

̅̅̅̅

c

}

CE

ED

c

CE

̅̅̅̅

c

ED

(30)

12. Demostrar que el triángulos formado por los pies de dos alturas de un triángulo y el otro vértice es semejante al triángulo inicial.

Grafica 98

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

01

Podemos demostrar por S-A-A

que ΔCAN

ΔCB

por lo tanto

ΔAMP

ΔBNP

02

A

B

A

B

03

CA

CB

A

B

C

04

˄

∢

c es un ángulo común

(31)

13. En un triángulo HJL rectángulo en H, LH = 15u y HJ = 20u, se traza por un punto K ubicado a 10u de L y sobre la hipotenusa una perpendicular a ella que corta a HJ en I. Calcular KI.

Grafica 99

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

KJ=LJ-L J - 0 J

05

KI=

(32)

14. Encontrar la relación entre el lado, el radio y la apotema de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y 10 inscritos en una circunferencia de radio “r”. ¿Qué haría en el caso de que los polígonos no fueran inscritos sino circunscritos?

Grafica 100

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada la siguiente explicación al problema organizarla de tal forma que se determine claramente la afirmación y su correspondiente razón.

AB=BC=AC=

AD=

√

R=

R=OA=OB=OC BD=

R=

√

a=

OD

a

2

_=R

2

_-

_a=

√

AC=2R

AC

2

_=2ℓ

_4R=2ℓ

2

_R=

√

A=OE=AE

15. En una circunferencia de r = 15u se trazan los diámetros AB y CD perpendiculares y la cuerda BC, si M es el punto medio de BC, calcular la medida de AM.

Grafica 101

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón de

cada paso.

01

_CM=MB=

_{CB C B}

_{√ R}

√

_R

_=CM=MB

₊

R

2

AM

2

₌

(34)

16. Una cuerda de 48u dista 7u del centro de una circunferencia. Calcular la distancia al centro de otra cuerda de 40u de longitud.

Grafica 102

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

Recordemos :

̅̅̅̅

mediatriz de

AB

̅̅̅̅

teorema : distancia del centro a una cuerda

OQ mediatriz de

CD

Grafica 103

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

01

07

∢ACD

(90°+B

̂

08

∢DE

(AC

̂ B

̂ BD

̂ )

09

∢DE

(90° B

̂ )

(36)

18. En un trapecio ABCD se trazan por los extremos de la base menor CD las paralelas CF y DE a los lados no paralelos (F y E sobre la base mayor); dichas paralelas encuentran a las diagonales DB y AC en los puntos M y N. Por F y E se trazan paralelas a las diagonales AC y BD ; estas últimas encuentran a BC y AD en P y Q. Demostrar que M-N-P-Q y que el segmento que los contiene es paralelo a AB.

Grafica 104

01

_E

_{̅̅̅̅‖DB}

_{̅̅̅̅ luego}

, CA

̅̅̅̅‖ F

̅̅̅̅ luego

02 1

=

2

,

1

=

2

,

1

=

2

por ser ángulos con lados paralelos por lo tanto ΔDA ΔCF ; ΔD E

ΔC B por ALA ya que se forman los paralelogramos DAFC ˄ DEBC luego DC AF EB; lo que nos

lleva por resta de segmentos que AE=FB

03

Como D

̅̅̅̅‖C

̅̅̅̅ ˄ D

̅̅̅̅ C

̅̅̅̅ forman un paralelogramo

̅̅̅̅̅‖AB

̅̅̅̅‖DC

̅̅̅̅

D

̅̅̅̅‖C

̅̅̅̅ ˄ D

̅̅̅̅ C

̅̅̅̅ forman un paralelogramo

̅̅̅̅‖AB

̅̅̅̅‖DC

̅̅̅̅

04

_{Volviendo a}

y

Por lo tanto

̅̅̅̅ determina segmentos proporcionales entonces

̅̅̅̅‖AB

̅̅̅̅‖DC

̅̅̅̅

(37)

19. Sean P,Q,R y X puntos tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados y X esté en el exterior del triángulo PQR, y se trazan los segmentos XP, XQ y XR. Sea A un punto cualquiera de XR y trazamos una recta que pasa por A paralela a PR y que intersecta a XP en B. Además, una recta paralela a PQ y que pasa por B intersecta a XQ en C y se traza AC. Demostrar que los triángulos ABC y RPQ son semejantes.

Grafica 105

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

01

ΔXAB ΔXRP

02

XA

XR

∢CAB ∢ B

08

∢ R ∢CAB

(38)

20. Dado un triángulo cualquiera ABC, las bisectrices de los ángulos interno y externo de A intersectan a BC en D y D’ respectivamente. Demostrar que: