Mejoramiento de Procesos
por medio de toma de decisiones
basada en datos
con MINITAB
Simbología en este documento
En este documento se hará uso de diferente nomenclatura.
Por ejemplo:
FILE ►Print Setup en donde el símbolo “►” significa, que el usuario debe acceder a un submenú del menú FILE, según el ejemplo
MTB> en donde el símbolo “>” es parte de la nomenclatura de comandos de MINITAB
Ctrl + S, que implica que el símbolo “+” muestra la unión de secuencia de teclas, en este caso la tecla “Ctrl” seguida de la tecla “S”
Regresión Estadística: Introducción
En 1855, un hombre inglés de 33 años de edad, decide establecerse en Londres, después de varios años de viaje por Europa y África. Se siente inducido a escribir y su primer libro,
naturalmente, fue “El Arte de Viajar”. Conforme su curiosidad intelectual crecía, mudó sus intereses hacia la ciencia y muchos años después publica un artículo sobre la herencia natural (1889).
• Él reporto sus descubrimientos,
acerca del tamaño de las semillas de guisantes y como parecía que había una “reversión” o “regresión” al tamño promedio, en sucesivas generaciones de semillas. También reportó una relación entre la estatura de los
padres y los hijos, en donde encontró lo que él llamó “la regresión a la
mediocridad”. Este hombre fue Sir Francis Galton, un primo de Charles Darwin. Se le acredita a él, la idea del concepto de regresión estadística. (1)
Concepto Básico> Regresión Estadística
Una regresión estadística :
Es la técnica estadística para modelar la relación entre variables
Nótese como se anota “entre variables”, sin especificar la cantidad
Concepto Básico> Regresión Lineal Simple
• Regresión Lineal Simple:
Se emplea para modelar la relación entre dos (2) variables: la variable
independiente (X) y la dependiente (Y).
El modelo asume un relación lineal entre X y Y
IMPORTANTE
• El análisis de regresión, y la regresión lineal, son comunmente utilizadas en múltiples aplicaciones estadísticas.
Concepto Básico>Modelo Estadístico
Un modelo estadístico es un conjunto de fórmulas y supuestos que pretenden explicar el comportamiento de un fenómeno real.
En la medida en que el modelo explica el comportamiento del fenómeno, mejor el “ajuste” del modelo.
La meta de todo modelo es la
parsimoniosidad (entre más simple, mejor). Modelo Estadístico Componente Sistemático Error Aleatorio
Datos del fenómeno
real Figura 1Fuente: Blackberry&Cross Adaptación de figura en obra (1)
Verificación del modelo
La figura 2, muestra un diagrama de flujo de decisión para escoger o validar el uso de un modelo. Especificar modelo Estimar Parámetros ¿Analisis de residuos es Apropiado? Utilizar Modelo NO SI NO Abandone el análisis y conformése con la mejor explicación sedativa que pueda argumentar. NO se recomienda tomar este camino Solución alterna Figura 2 Fuente: Blackberry&Cross
Modelo de Regresión Lineal Simple
ε
β
β
+
+
=
X
y
1
0
Parámetros del Modelo de
Regresión Lineal Simple
β
0
β
1
Es la intercepción con el eje “Y”
Componentes del Modelo de
Regresión Lineal Simple
ε
β
β
+
+
=
X
y
1
0
Componente
no-aleatorio
Error aleatorio
Supuestos de Modelo de Regresión Lineal
1. La relación entre “X” y “Y” es una relación lineal (positiva o negativa) 2. Los valores de “X” se asumen fijos (es decir, no están aleatoriamente distribuidos). La aleatoriedad está dada por los valores de “Y”, como variable de pronóstico, reflejada en “ε”
3. Los errores están normalmente
distribuidos, con media cero (0) y varianza constante σ².
4. Los errores no están correlacionados entre sí, en observaciones
sucesivas
Adicionalmente, muchos analistas asumen que el comportamiento, tanto de “X” como de “Y” se puede explicar con la curva normal estándar.
Estos supuestos son de suma importancia, pues permitirán al analista determinar de manera técnica, si la relación entre las variables puede ser explicada de manera consistencia, o si existen aspectos que podrían indicar que el modelo no es una buena herramienta de predicción, o ajuste.
Repaso: Elementos de un buen indicador
Todo modelo funciona mejor en la medida en que las fórmulas contengan estimadores de calidad. En estos términos es necesario recordar que un buen indicador estadístico es aquel que cumple con los
siguientes puntos:
1. Insesgado 2. Eficiencia
3. Consistencia (también llamada convergencia)
4. Suficiencia (o conocida como robustez)
“All models are wrong, but
some models are useful”
Repaso: Elementos de un buen estimador
Insesgado: El estimador del valor se esperaque sea igual al valor del parámetro
poblacional que estima. Es decir se espera que su sesgo sea nulo (dado que su
esperanza matemática es igual al valor del parámetro)
Eficiencia: Se refiere a la varianza relativa de
un estimador. Es relativa dado que se prefiere aquel estimador, que comparado con otro, tenga menor varianza. La
eficiencia de un estimada está asociada, y limitada, a la distribución de probabilidad de los datos muestrales.
Consistencia: la probabidad de estar cerca del
valor del parámetro poblacional, conforme se aumenta el tamaño de la muestra.
Suficiencia: el resultado del estimador mantiene
buenas propiedades, a pesar de variaciones en el modelo.
• Estimador: de manera sencilla, un
estimador es aquel estadístico que calculado a partir de una muestra, facilita conocer el valor de un
Estimadores en el Modelo de Regresión
Lineal
• Existen diferentes maneras de calcular un modelo de regresión lineal, siendo el método de mínimos cuadrados, el más popular, aunque no el único. • Para un mejor entendimiento de este
tema se recomienda consultar el teorema de Gauss-Markov, que
establece los supuestos de un modelo lineal general (MLG).
• Es común en esta jerga referirse entonces al estimador mínimo cuadrático ordinario, como el
estimador lineal insesgado óptimo (en inglés conocido por el acrónimo BLUE, de Best Linear Unbiased Estimator)
Estimadores-Parámetros
0
0
⎯
⎯ →
⎯
β
estima
b
1
1
⎯
⎯ →
⎯
β
estima
b
Modelo Regresión Lineal: ecuación
i
i
i
e
x
b
b
y
=
0
+
1
+
^
X
b
b
Y
0
1
^
+
=
Regresión Lineal Simple
(Pearson r).
• El coeficiente de correlación de Pearson, conocido como “r”, asume que las dos variables están medidas en al menos intervalos a escala, y esto determina el nivel en el que las dos variables resultan proporcionles la una a la otra.
• En otras palabras, el coeficiente “r” mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas.
• Un aspecto muy favorable del
coeficiente “r” es que no depende de la unidad de medida con la que se trabaje.
El coeficiente de correlación de Pearson, es una prueba paramétrica.
Adicionalmente a este coeficiente se desarrollan ejercicios del coeficiente de correlación de Spearman, una prueba no-paramétrica.
MINITAB 15 ayuda a calcular ambos coeficientes, de forma ágil y
Regresión Lineal Simple
(Pearson r).
• Para una mejor interpretación del coeficiente de correlación, por favor utilice MINITAB 15.
Ejecute MINITAB 15 y acceda a:
Help ►Help
Una vez en el menú de Ayuda (Help), haga clic en la viñeta Búsqueda (Search), y en el espacio en blanco para digitación anote:
Pearson's correlation coefficient (r)
(el facilitador dará una explicación)
Luego, en la misma ventana de ayuda, ingrese el texto:
Regression analysis
(nuevamente el facilitador dará una explicación)
Coefieciente de Determnación
• Cuando se hace una análisis de Regresión-Correlación, siempre se recomienda estudiar el coeficiente de determinación
• El símbolo del coeficiente de determinación es
R².
• En términos generales el Coeficiente de Determinación es la proporción de variabilidad en un conjunto de datos que es explicada por el modelo,
Para un mejor entendimiento de este concepto, por favor acceda en MINITAB 15 a:
Help ►Help
Luego haga una busqueda de los siguientes conceptos:
• R-squared predicted • R-squared Adjusted • PRESS
Correlación y Regresión
Los términos Correlación y Regresión son ampliamente utilizados, y confundidos. Si bien ambos conceptos están
íntimamente ligados, es necesario entender en qué se diferencian. Una manera sencilla, sin necesidad de
ingresar en aspecto matemático-estadísticos complejos, es explicar que:
La correlación cuantifica el grado y dirección de la relación entre las variables. La correlación no estima una curva de mejor de ajuste, lo que hace, es calcular un coeficiente que indica la fuerza y orientación de la relación entre las variables.
La regresión, por su lado, ayuda al
analista a encontrar la curva de mejor ajuste que explique,
matemáticamente, la relación entre las variables. La regresión arroja un
Regresión Lineal Simple: Ejemplos y
Ejercicios
En las siguientes páginas usted encontrará ejemplos y ejercicios acerca de regresión y correlación. Se muestra, además, un ejemplo en
donde se puede entender el poder de MINITAB 15 sobre Excel™, cuando de un estudio más depurado se refiere. Es importante que se ejecuten los
ejercicios y ejemplos de manera que el participante, realmente aplique
conocimientos, y pueda formular preguntas producto de la práctica
Es altamente recomendable que el participantes busque datos propios que pueda utilizar.
Ejercicio 1: Millas y Dólares
Un Banco local opera una marca de tarjetas de crédito. Durante una sesión de
mercadeo y ventas, los mercadólogos han afirmado que es “más que
lógico” entender que cuando un tarjeta-habiente viaja fuera del país, entre
más largo el viaje, más dólares consumirá.
El equipo de análisis de proceso no está totalmente convencido de dicha
afirmación.
Resulta necesario entender el fenómeno, dado que la gerencia debe decidir si
invertir o no en una campaña para viajeos frecuentes, pero se necesita
saber si es posible entender si la cantidad de millas recorridas, determina el
consumo.
Se toman los datos de 25 tarjeta-habientes (lo único que pudo aportar el
departamento de mercadeo), y se procede al análisis.
Ejercicio1>Datos
No Miles US Dollars 1 1211 1802 2 1345 2405 3 1482 2005 4 1687 2511 5 1849 2332 6 2026 2305 7 2133 3016 8 2253 3385 9 2400 3090 10 2468 3694 11 2699 3371 12 2806 3998 13 3082 3555 No Miles US Dollars 14 3209 4692 15 3466 4244 16 3643 5298 17 3852 4801 18 4033 5147 19 4267 5738 20 4498 6420 21 4533 6059 22 4804 6426 23 5090 6321 24 5233 7026 25 5439 6964Ejercicio 1> Resolución en Excel y
MIINITAB 15
Este ejercicio se resolverá con la ayuda de
dos importantes herramientas de
software:
1. MSExcel
2. MINITAB
Exercicio 1>Usando Excel
Use el menú Excel>Tools>Data Analysis>Regression
SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.982332372 R Square 0.96497689 Adjusted R Square 0.963454146 Standard Error 319.0680372 Observations 25
Summary table
Como el lector puede apreciar Excel
arroja una tabla sumaria en donde se
tiene
Ejercicio 1>Usando Excel
Excel / ANOVA
ANOVA df SS MS F Regression 1 64514396.52 64514396.52 633.7092 Residual 23 2341501.484 101804.4124 Total 24 66855898Variables - 1
n-2
Ejercicio 1>Excel
Excel> Estimadores de ParámetrosParameters Estimators
β
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0% Upper 95.0%
Intercept 262.10853 171.3089564 1.53 0.139647 -92.27104258 616.4881062 -92.27104258 616.4881062 X Variable 1 1.2583927 0.049988623 25.17 3.04E-18 1.154983355 1.361802043 1.154983355 1.361802043
β
Intervalo de Confianza para
el estimador
Ejercicio 1>Regresión
De acuerdo con los datos provistos por Excel, es posible argumentar que la ecuación de regresión está dada por:
Y = 262.1 + 1.25 (Miles)
Sin embargo, un mayor análisis es recomendado
Ejercicio 1>Excel: Residuos
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals
1 1786.0221 15.9779098 0.051153855 2 1954.6467 450.3532882 1.441822306 3 2127.0465 -122.046512 -0.390736312 4 2385.017 125.9829851 0.403339074 5 2588.8766 -256.876632 -0.822399809 6 2811.6121 -506.61214 -1.62193705 7 2946.2602 69.73984142 0.223274619 8 3097.2673 287.7327175 0.92118668 9 3282.251 -192.251009 -0.615498545 10 3367.8217 326.1782873 1.044271559 11 3658.5104 -287.510426 -0.920475006 12 3793.1584 204.8415551 0.655807632 13 4140.4748 -585.47483 -1.874418799 14 4300.2907 391.7092974 1.254071453 15 4623.6976 -379.697626 -1.215615654 16 4846.4331 451.5668661 1.44570762 17 5109.4372 -308.437208 -0.987472854 18 5337.2063 -190.206287 -0.608952291 19 5631.6702 106.329822 0.340418763 20 5922.3589 497.6411085 1.59321597 21 5966.4026 92.59736405 0.296453803 22 6307.4271 118.5729426 0.379615555 23 6667.3274 -346.327369 -1.108779572 24 6847.2775 178.7224748 0.572186454 25 7106.5064 -142.506421 -0.456239451
Residuos
calculados
En Excel
S
resid= 312.350063
Standard Residuals:
(Residuals/Sresid)
Ejercicio 1: Gráficos en Excel
X Variable 1 Residual Plot
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 0 2000 4000 6000 X Variable 1 R esi d u al s
X Variable 1 Line Fit Plot
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 2000 4000 6000 X Variable 1 Y Y Predicted Y
Normal Probability Plot
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Y
Ejercicio 1> Usando MINITAB
• MINITAB provee aun más poder analítico que Excel.
• Esto significa que un analista sofisticado cuenta con mayores recursos para tomar decisiones.This means you can get better conclusions, but you have to apply deeper analysis
Ejercicio 1> Usando MINITAB
En MINITAB 15, acceda a:
Stat ►Regression ► Regression
Nota: se asume que antes se han copiado los datos en la hoja de trabajo de
MINITAB 15.
La variable de respuesta es “Dollars”, y la variable independiente es “Miles”
Ejercicio 1> Usando MINITAB
Seguidamente en la ventana Regression, haga clic sobre el botón:
Options
Para efectos de este ejercicio, solamente seleccione la opción:
; PRESS and Predicted R-Squared Otras de la opciones como:
1. Variance Inflation Factor 2. Durbin-Watson statistic 3. Lack of Fit Test
Ejercicio 1> Usando MINITAB
Luego acceda en la ventana de Regressión al botón:
Graphs
Y selecciones:
En Residuals for Plots: marque Regular En Residual Plots: marque Four in one (esta es una diferencia sensible de
MINITAB 15 respecto de otros software de análisis, ya que los gráficos de residuos cuatro-en-uno
Ejercicio 1> Usando MINITAB
Posteriormente acceda en la misma ventana de Regression al botón:
Results
Y seleccione la opción :
~ In addition, the full table of fits and residuals
Vuelva a la venta Regression y oprima OK, para ejecutar el análisis
Exercise 1> MINITAB
• Welcome to Minitab, press F1 for help.
• Retrieving project from file: 'C:\Program Files\Common • Files\System\MSMAPI\1033\MINITAB.test.doe'
•
• Regression Analysis: Dollars versus Miles
• The regression equation is
• Dollars = 262 + 1.26 Miles
• Predictor Coef SE Coef T P • Constant 262.1 171.3 1.53 0.140 • Miles 1.25839 0.04999 25.17 0.000 • S = 319.068 R-Sq = 96.5% R-Sq(adj) = 96.3%
Nota:
MINITAB 15 calcula
el PRESS y el R-sd
(predicted) y
(adjusted)
Ejercicio 1> MINITAB: ANOVA
• Analysis of Variance • Source DF SS MS F P • Regression 1 64514397 64514397 633.71 0.000 • Residual Error 23 2341501 101804 • Total 24 66855898Ejercicio 1> MINITAB>Residuos
El instructor ayudará para facilitar la interpretación de esta importante pruebaTratamiento de los Residuos
Tal y como se mencionó anteriormente, unos de los supuestos de la regresión es que los residuos tienen una media que es cero, y una varianza constante.
Antes de proceder a concluir si el modelo es consistente, es necesario analizar los residuos.
MINITAB 15 facilta esta labor con el gráfico cuatro-en-uno.
Frecuentemente muchos analistas preguntan:
¿Tienen lo residuos algo que ver con datos observados atípicos?
¿Pueden existir otras causas por las cuales los residuos no se comporten como se espera?
Tomemos unos minutos para debatir sobre esto.
Ejercicio 2>MINITAB
Para este ejercicio se hará uso de la catapulta. Forme su equipo, y proceda a:
1. Determine una variable independiente, un factor, que explique cómo lanzar la pelota lo más lejos posible.
2. Proceda a efectuar un total de 12 ensayos, manteniendo todas los demás factores constantes.
3. Documente los resultados
4. Introduzca los resultados en MINITAB 15 5. Efectúe un análisis de regresión, con
gráficos, PRESS, y demás indicadores 6. Concluya y exponga sus resultados
Este ejercicio también ayuda a verificar buenas prácticas de experimentación. Tome atención de los detalles y el método
Ejercicio 3>Correlación
Por medio de MINITAB 15, se explorará un ejercicio de Correlación.
Para esto, ejecute MINITAB 15.
Abra el ejercicio de muestra llamado: GRADES.MTW
Una vez abierto, acceda a:
Stat ►Basic Statistiscs ► Correlation
Nota: este ejercicio es el ejemplo contenido en el menú de ayuda de MINITAB 15.
En la ventana de Correlation, introduzca las variables:
• Verbal • Math • GPA Y oprima OK
Ejercicio 3>Correlación
Los resultados son: Por favor, acceda a
Stat ►Basic Statistiscs ► Correlation Y oprima el botón HELP, para ingresar a
este ejemplo ya resuelto, y junto al facilitador leer la interpretación de resultados.
Ejercicio 3>Matrix Plot
Una herramienta muy útill, de formato gráfico, que provee MINITAB 15, es el Matrix Plot.
Acceda a:
Graph ►Matriz Plots
En la ventana Matrix Plots, escoja:
Ejercicio 3>Matrix Plot
Luego ingrese, en Graph Variable, en la ventana Matrix of Plots, Simple, las variables:
• Verbal • Math • GPA Y oprima OK
Ejercicio 4>MINITAB
Para este ejercicio se hará uso de la catapulta, nuevamente.
Forme su equipo, y proceda a:
1. Determine una variable independiente, un factor, que explique cómo lanzar la pelota lo más lejos posible.
2. Proceda a determinar tres niveles para esa variable independiente (por ejemplo:
posición A, B,C de la liga)
3. Efectúe para cada nivel, al menos 8 lanzamientos.
4. Documente los resultados
5. Introduzca los resultados en MINITAB 15 6. Efectúe un análisis de regresión, con
gráficos, PRESS, y demás indicadores
NOTA:
En este caso, en la ventana de
Regression, en el botón Options, escoja:
Lack of fit Tests► ;Pure error
Junto con el facilitador, darán explicación a esta importante función de
Ejercicio 4>Lack of Fit
De acuerdo con MINITAB Help: Lack-of-fit tests
• Es utilizado en regresión y en diseño de experimentos, para comprobar el ajuste de su modelo. Si el valor p-value es menor al valor alfa
seleccionado, hay evidenciade que su modelo no se ajusta exactamente a los datos. Usted podría necesitar una adición de términos, o transformar los datos para modelar más exactamente los datos. MINITAB calcula dos tipo de “pruebas-de-falta-de-ajuste”
• Pure error lack of fit test: Úselo si
los datos contienen replicas (multiples observacione para valores idénticos de la variable x) y si usted está
simplificando el modelo. Las replicas representan el error puro porque solamente la variabilidad aleatoria puede causar diferencias entre los valores de la respuesta observada. Si usted está reduciendo su modelo y el p-value resultante es menos que el valor de alfa seleccionado, entonces usted debe retener el término que removió del modelo.
Ejercicio 4>Lack of Fit
• Data subsetting lack of fit test:
Úselo si sus datos no contienen réplicas y usted quiere determinar si usted está modelando correctamente la curvatura. Este método identifca curvatura en los datos e interacciones entre predictores que podrían afectar el ajuste del modelo. Cuando el Data Subsetting p-value es menos que el valor de alfa, MINITAB despliega el mensaje “Possible curvature in
variable X (P-Value = 0.006 )." Existe evidencia que esta curvatura no está adecuadamente modelada. Después de examinar los datos originales en un diagrama de dispersión, usted podría incluir un término de mayor orden para modelar la curvatura
Regresión>Fitted Line Plot
En algunas situciaciones el análisis
lineal es insuficiente, y entonces
se puede acudir a un análisis
polinomial, de segundo o tercer
orden).
La regresión polinomial permitir
modelar curvaturas en los datos,
entre la variable independiente y
la dependiente.
MINITAB 15 facilita estos cálculos,
por medio de la opción Fitted Line
Plot.
Para mostrar como trabaja este análisis, por favor acceda al archivo de
ejemplo:
EXH_REGR.MTW
Una vez que haya cargado los datos del ejemplo en MINITAB 15, seleccione:
Regresión>Fitted Line Plot
En este ejemplo, usted está
estudiando la relación que existe
entre los parámetros
operacionales de una máquina, y
el consumo energético.
Se sabe que la relación no es lineal, y
se supone que hay una curvatura.
Para efectos del análisis usted
selecciona efectuar un análisis
cuadrático de las variables.
Variables bajo estudio: • EnergyConsumption
• Machinesetting
Como experto conocedor del
proceso,usted cree que para obtener una distribución más simétrica del error, es mejor aplicar una
transformación a la variable de respuesta.
Nota: este ejercicio es parte de los ejemplos de MINITAB 15, al cual se le han agredado algunos análisis, para un mejor
Regresión>Fitted Line Plot
Se recomienda siga estos pasos:
Graph ► Probability Plot
(haga un probability plot de la variable de respuesta, ¿qué observa?
Stat ► Regression ► Fitted Line Plot
En la ventana Fitted Line Plot, seleccione las variables bajo estudio.
Además, en Type of Regression Model, escoja: Quadratic.
Coeficiente de Spearman
El coeficiente de escalafón de Spearman, o simplemente, coeficiente de Spearman, es una prueba de estadística no-paramétrica. Recuérdese que la estadística no-paramétrica
es ampliamente utilizada en casos en los que los datos:
- Requieren un método que trabaje con datos enumerativos (conteos)
- El método de análisis no trabaja con parámetros poblaciones específicos
- El método de análisis no requiere supuestos acerca del comportamiento de la
distribución de probabilidad (muy particularmente, los supuestos de normalidad)
Hay casos en donde los datos vienen dados en un formato de escalafón, o bien “X” o “Y” no se comportan
normalmente, por ejemplo. En estos casos es común utilizar el estadístico de Spearman, para determinar el grado de correlación entre las variables.
Coeficiente de Spearman
El coeficiente de Spearman, satisface los mismos criterios que el coeficiente de Pearson, en términos de que va desde -1 hasta 1.
No se ahondará en los aspectos
estadístico-matemáticos que explican el coeficiente de Spearman.
Pero, si se explicará, gracias a MINITAB 15, un ejemplo.
Nota: MINITAB 15 no provee un ejemplo directo para el coeficiente de
Spearman; así que, se utilizarán varios sub-menús de ejemplo, para poder construir la aplicación de Spearman.
Ejemplo>Coeficiente de Spearman
Acceda al Menú de HELP en MINITAB 15. Una vez en el menú HELP, haga una
búsqueda para:
Example of Measures of
Association for Ordinal Data
Busque el archivo EXH_TABL.MTW
Siga los pasos del ejemplo, para ordenar los datos de acuerdo con la variable Sales.
Se notará que este ejercicio provee tanto el coeficiente de Spearman con el de Pearson.
Ejercicio>Coeficiente de Spearman
Junto con su equipo de trabajo, tome 20 minutos para:
• Definir • Diseñar • Calcular • Interpretar
Un ejemplo con de correlación donde aplique el coeficiente de Spearman.
En la práctica, pocos analistas usan el coeficiente de Spearman, dado que típicamente se emplea más el de Pearson.
Pero, hay situaciones en donde el
coeficiente de Spearman es el más adecuado, y aun así no se emplea, por desconocimiento o falta de experiencia.
Bibliografía
(1) Amir Aczel, Complete business statistics. Richard D. Irwin Inc., 1989. (2) www.est.uc3m.es
(3) www.wikipedia.com
Aclaraciones
Este documento utiliza material contenido en MINITAB 15. Todos esos ejemplos son propiedad de MINITAB Inc.
Esta obra pretende funcionar como un complemento didáctico para todos aquellos usuarios de MINITAB 15, que son hispano-parlantes, y como una guía para los representantes de MINITAB en América Latina.
Puede entonces catalogarse este documento como una guía ampliada a la ayuda (HELP) de MINITAB 15, para usuarios que recientemente se introducen al uso del software.
No es el propósito de este documento ser un libro en estadística, mejoramiento continuo o similar, ni tampoco pretende este material reemplazar el entrenamiento certificado de MINITAB Inc., el cual se recomienda grandemente.
Todas las figuras y datos, así como el logo y el nombre referentes a MINITAB 15,
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Blackberry&Cross es representante oficial de MINITAB Inc, en Centroamérica.
Blackberry&Cross, la marca y el logo, son propiedad de Blackberry&Cross S.A. Este documento fue preparado por
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Este documento está en constante revisión y mejoramiento.
