Una mirada epistemológica y empírica
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
John Alexander Alba Compilador
Una mirada epistemológica y empírica
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
Una mirada epistemológica y empírica
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
John Alexander Alba Compilador
Reservados todos los derechos
© Universidad de La Sabana, Facultad de Educación © Guy Brousseau, John Alexander Alba, Luis Carlos Arboleda, Ferdinando Arzarello, Giorgio Bolondi, Ricardo Cantoral, Bruno D’Amore, Raymond Duval, Martha Isabel Fandiño Pinilla, Vicenç Font, Athanasios Gagatsis, Juan Díaz Godino, Salvador Llinares, Raquel Susana Abrate, María Carolina Ferrero, Marcel David Pochulu, Harold Álvarez Campos, Erika Ariza, Daniel Cifuentes, Gloria Neira, Bulmaro Juárez Hernández, Guillermina Sánchez López, José Dionicio Zacarias, Lidia Aurora Hernández Rebollar, María Araceli Juárez Ramírez, María Eugenia Martínez Merino, Marta Graciela Nardoni, Marcel David Pochulu, Teresa Pontón Ladino, Julián Humberto Santos Torres, Miryan Trujillo Cedeño, Marlene Alves Dias, Tânia Maria Mendonça Campos, Sirlene Neves de Andrade, Eloisa Benitez-Mariño, Rigoberto Gabriel-Argüelles, Marcela Cante Morales, José Gabriel Sánchez Ruiz, Carlos Armando Cuevas Vallejo, Freddy Yesid Villamizar Araque, Olga Lucía Duarte Bolívar, Luz Ángela Flórez Olarte, José Antonio Juárez López, Fabiana Mahtabel Arteaga Cervantes, Patricia Marisel Konic, Ruy Cesar Pietropaolo, Tânia Maria Mendonça Campos, Angélica da Fontoura García Silva, Boris Mauricio Pulido P., Oscar Antonio Pulido C., Oscar Jardey Suárez, Henry Alexander Ramírez Bernal, Alexander Rincón Rojas, John Alexander Alba Vásquez, Helmer Jesús Ruiz Díaz, Yilton Riascos Forero, Myriam Vásquez Vásquez, Jhoana Katheryne Sandoval, Marlon Felipe Burbano y Yilton Riascos Forero.
Comité Académico
Bruno D’Amore, presidente Martha Fandiño, vicepresidente John Alexander Alba, secretario general
Comité Editorial
John Alexander Alba Alejandro Angulo E. Henry Ramírez Yimmy Triana Comité Evaluador Ph.D. Maura Iori Ph.D. Pedro Rojas Ph.D. George Santi Ph.D. Rodolfo Vergel
El material aquí consignado incluye los resúmenes de las trece conferencias centrales, las nueve ponencias y los diecisiete pósteres que hicieron parte del Congreso Internacional Didáctica de la Matemática: una Mirada Epistemológica y Empírica, efectuado en Santa Marta (Colombia), del 9 al 11 de septiembre de 2015 y organizado por la Facultad de Educación de la Universidad de La Sabana.
El material muestra resultados de investigaciones y experiencias de aula en el campo de la educación matemática, desarrolladas en diferentes Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática: Una Mirada Epistemológica y Empírica ; compilador John Alexander Alba. -- Universidad de La Sabana. -- Chía : Universidad de La Sabana, 2015.
314 p. ; cm. (Colección Compilaciones; 01) Incluye bibliografía
1. Matemáticas – Enseñanza - Metodología 2. Filosofía de las matemáticas 3. Teoría del conocimiento 4. Cálculo – Enseñanza secundaria 5. Educación superior 6. Pedagogía I. Alba, John Alexander, compilador II. Universidad de La Sabana (Colombia). III. Tit.
CDD 372.7 CO-ChULS
Universidad de La Sabana
Dirección de Publicaciones Campus del Puente del Común Km 7 Autopista Norte de Bogotá Chía, Cundinamarca, Colombia Tel. (571) 8615555 Ext. 45001 www.unisabana.edu.co [email protected] Primera edición: octubre de 2015
Diseño de colección y diagramación:
Kilka Diseño Gráfico
Corrección de estilo:
I. RESÚMENES DE LAS CONFERENCIAS CENTRALES
13Peregrinaciones en la didáctica de las matemáticas 15
Guy Brousseau
Desarrollo de competencias profesionales de profesores de matemáticas en ejercicio: una propuesta de formación
desde la reflexión sobre la práctica 16
John Alexander Alba
Objetividad matemática, historia y educación matemática 16
Luis Carlos Arboleda
En la búsqueda de las raíces culturales y cognitivas
de conceptos matemáticos 17
Ferdinando Arzarello
Transformar la evaluación estandarizada en evaluación formativa 18
Giorgio Bolondi
Socioepistemología de la variación y el cambio 18
Ricardo Cantoral
Antecedentes ilustres de la paradoja cognitiva de Duval 19
Bruno D’Amore
Cuestionamientos sobre la “elección” y utilización de teorías
en Mathematics Education 19
Raymond Duval
Una fórmula para medir objetivamente la dificultad
de los estudiantes en la comprensión de un texto matemático. Uso con fines evaluativos didácticos 20
de competencias matemáticas en alumnos de secundaria 20
Vicenç Font
Explorando el rol de las figuras geométricas en el pensamiento
geométrico 21
Athanasios Gagatsis
Articulación de la indagación y transmisión de conocimientos
en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas 21
Juan Díaz Godino
El desarrollo de la competencia docente “mirar profesionalmente el aprendizaje de las matemáticas”. Algunas características en la formación inicial de profesores de matemáticas 22
Salvador Llinares
II. PONENCIAS
23Una experiencia con escenarios de investigación para
la enseñanza del cálculo en carreras de administración 25
Raquel Susana Abrate, María Carolina Ferrero y Marcel David Pochulu Abstracciones de las ciencias básicas mediadas por la realidad aumentada, y su aplicación en la tecnología
naval en electrónica 45
Harold Álvarez Campos
Elementos de significado declarados en el diseño de tareas para la enseñanza de la integral: la resolución de problemas
de cálculo de áreas 61
Erika Ariza, Daniel Cifuentes y Gloria Neira
Enseñanza de la estadística con la integración de dos ideas didácticas: aprendizaje basado en proyectos (ABP) y actividades reveladoras del pensamiento (MEA).
Una experiencia a nivel superior 77
Bulmaro Juárez Hernández, Guillermina Sánchez López y José Dionicio Zacarias
y manejo de fracciones con sus diferentes representaciones 93
Lidia Aurora Hernández Rebollar, María Araceli Juárez Ramírez y María Eugenia Martínez Merino
La comprensión que tienen los alumnos referida a números racionales, como objeto matemático,
al terminar la escuela secundaria 107
Marta Graciela Nardoni y Marcel David Pochulu
La comprensión de enunciados de problemas que introducen los racionales: desde una mirada semiótica-
cognitiva y lingüística 127
Teresa Pontón Ladino
Generando comprensiones del objeto geométrico:
parábola, a través del uso del software CaRMetal 149
Julián Humberto Santos Torres
Detección y superación de obstáculos cognitivos
conferidos al concepto de función 163
Miryan Trujillo Cedeño
III. PÓSTERES
175Linear Function: Articulation between Forms of Knowledge and Symbolic Representations in the Transition from
Secondary to Higher Education 177
Marlene Alves Dias, Tânia Maria Mendonça Campos and Sirlene Neves de Andrade
Problemática en el trabajo con los números reales 185
Eloisa Benitez-Mariño y Rigoberto Gabriel-Argüelles Un programa para promover competencia emocional
en matemáticas en alumnos de bachillerato 193
mediante un entorno digital interactivo 203
Carlos Armando Cuevas Vallejo y Freddy Yesid Villamizar Araque La evaluación como estrategia para la motivación
hacia el aprendizaje 223
Olga Lucía Duarte Bolívar y Luz Ángela Flórez Olarte Resultados de un diagnóstico sobre el manejo de equivalencias y su importancia en la resolución
de tareas que implican la comprensión de las fracciones 233
José Antonio Juárez López y Fabiana Mahtabel Arteaga Cervantes Conflictos con el cero en la comprensión de los números
decimales por futuros profesores 241
Patricia Marisel Konic
Research about the Knowledge Required from Teachers to Teach Probability Notions in Final Years of Elementary School 249
Ruy Cesar Pietropaolo, Tânia Maria Mendonça Campos and Angélica da Fontoura Garcia Silva
El aprendizaje autorregulado, una condición favorable en el aprendizaje de la noción de derivada: reflexión
desde la práctica 257
Boris Mauricio Pulido P., Oscar Antonio Pulido C. y Oscar Jardey Suárez Promoviendo cambios de actitudes y creencias de
estudiantes sobre el rol de la matemática en su formación
profesional (en carreras de base no matemática) 265
Henry Alexander Ramírez Bernal
Un acercamiento a las creencias y a las concepciones en torno a la demostración en matemáticas de algunos
profesores de matemáticas de educación media 277
en el sistema decimal de numeración: un estudio
con niños y niñas escolarizados 287
Helmer Jesús Ruiz Díaz y Yilton Riascos Forero La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Estudio de caso en el Valle del Cauca 295
Myriam Vásquez Vásquez
Uso de herramientas de tecnologías de la información y la comunicación (TIC) como apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en educación media, superior y continuada: Universidad del Cauca-
Proyecto Clavemat 305
Jhoana Katheryne Sandoval, Marlon Felipe Burbano y Yilton Riascos Forero
I. RESÚMENES DE
LAS CONFERENCIAS
CENTRALES
matemáticas
Guy BrousseauProfesor emérito de la Universidad de Bordeaux I, Francia
L
a historia no ha podido aún apropiarse del movimiento llamado las matemáticas modernas. Aunque sus efectos parecen hoy día establecidos, la complejidad extrema de sus manifestaciones y de sus fuentes continúa desafiando a los especialistas. Parece que habrá que esperar la desaparición de estos últimos para que se afiancen las interpretaciones apro-piadas que respondan a las necesidades de las nuevas socie-dades. El proyecto mundial de reforma a la enseñanza de las matemáticas fue concebido a finales del siglo XIX. Retrasado por las dos guerras mundiales, retomó su impulso en los años cincuenta y en 1970 logró en Francia la creación de los prime-ros IREM (Institutos de investigación sobre la enseñanza de las matemáticas) que emprendieron inmediatamente la for-mación de profesores y una intensa reforma a la enseñanza. Pronto aparecieron en el interior de algunos de estos IREM unos centros dedicados a la investigación científica en un nuevo campo de las ciencias matemáticas, concebido como “Epistemología experimental” y llamado en 1975 “Didáctica de las matemáticas”. Los primeros PhD. de este nuevo campo aparecieron hacia 1981.Desarrollo de competencias profesionales
de profesores de matemáticas en ejercicio:
una propuesta de formación desde la reflexión
sobre la práctica
John Alexander Alba Vásquez [email protected]
Facultad de Educación, Universidad de La Sabana, Colombia
Es común encontrar tanto en el contexto latinoamericano como en el colombiano, profesores de matemáticas que no cuentan con la formación matemática, pedagógica y didáctica requerida para enseñar con éxito a sus estudiantes. Enseñan de manera intuitiva recurriendo a su experiencia como estudiantes durante el período de esco-laridad, para adaptarla al ejercicio de su práctica.
Lo anterior presenta un escenario en el que este grupo de profesores requiere una estrategia de formación permanente específica que contribuya al desarrollo de competencias pedagógicas, didácticas y en algunos casos, matemáticas, que aporten a una mejora progresiva de su práctica. Esta ponencia presenta una propuesta de formación y actualización de este grupo particular de profesores en ejercicio funda-mentada en la reflexión sobre la práctica.
Objetividad matemática, historia y educación
matemática
Luis Carlos Arboleda [email protected]
Grupo de Historia de las Matemáticas, Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Cali, Colombia
En este texto se van a examinar las condiciones en virtud de las cuales la historia de la práctica matemática puede utilizarse en la formación de docentes en matemá-ticas. A nuestro modo de ver, estas condiciones apuntan a discernir problemáticas como las siguientes: comprender las razones de ser de la lógica interna de las teorías matemáticas, indagar sobre las modalidades de objetivación de teorías (por ejem-plo, la objetivación de los números reales), y valorar adecuadamente el papel de las concepciones de los matemáticos en su actividad, en particular, el ideal de lo simple
en la inteligibilidad matemática. En la parte final se tratará de situar la relación en-tre objetividad y apropiación de teorías en contextos de enseñanza culturalmente diversos.
En la búsqueda de las raíces culturales y cognitivas
de conceptos matemáticos
Ferdinando Arzarello
Departamento de Matemática, Universidad de Torino, Italia
La definición de PISA sobre conocimientos básicos de matemáticas contiene la capa-cidad de “uso de […] herramientas para describir, explicar y predecir fenómenos”. De hecho, muchos programas educativos nacionales en todos los grados sugieren invo-lucrar a los estudiantes en el uso (concreto o virtual) de herramientas para modelar fenómenos y para entrar en ideas matemáticas.
La utilización de instrumentos introduce una dimensión “experimental” en las matemáticas y puede cambiar profundamente los antecedentes de la educación. Como lo señalaba Bartolini Bussi, “en la educación de las matemáticas, la disponi-bilidad de la Tecnología de la Información y Comunicación (TIC) ha cambiado el panorama, incluyendo la creencia de que los objetos digitales pueden sustituir a las referencias en el mundo concreto en el que vivimos”. Sin embargo, estos cambios en el panorama no significan que tengamos que desechar todo el pasado: debemos arriesgar la acción de lanzar al bebé con el agua de baño. En otras palabras, la ela-boración y aplicación de modelos pueden llevarse a cabo dentro de “un enfoque que no descuida, pero en cambio enfatiza, los aspectos culturales de las matemáticas, retomando a los destacados fundadores de las matemáticas modernas y tomando ventaja del apoyo de las TIC”. Este programa está muy presente en investigaciones alrededor del mundo y puede lograrse solo basando el diseño didáctico en una cuidadosa investigación de las raíces culturales, epistemológicas y cognitivas de los conceptos matemáticos, que los instrumentos, se supone, deben mediar.
Basándome en algunos experimentos de enseñanza que yo guié en Italia, voy a ilustrar las posibilidades pedagógicas, cognitivas y epistemológicas que ofrece la tensión dinámica entre la naturaleza empírica de actividades con instrumentos, que abarca componentes perceptuales y operacionales, y la naturaleza deductiva de las matemáticas, que implica una formalización rigurosa y sofisticada.
También voy a ilustrar cómo los materiales manipulables, instrumentos y las TIC, combinados adecuadamente en ambientes reales y virtuales, pueden ayudar a los estudiantes a comprender conceptos matemáticos, basando el aprendizaje en lo que hoy día, fundamentado en resultados de investigaciones frescas, se denomina un enfoque incorporado al aprendizaje de las matemáticas.
Transformar la evaluación estandarizada en
evaluación formativa
Giorgio Bolondi
Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Italia
La conferencia describe un recorrido formativo para docentes en servicio con base en el análisis de algunas preguntas de las Encuestas Nacionales del Servicio Nacional de Evaluación para INVALSI (Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema educativo di istruzione e formazione), de las que se desprenden macro-fenómenos de comporta-miento de los estudiantes que ejemplifican y cuantifican los resultados obtenidos en la investigación sobre la didáctica de las matemáticas.
Socioepistemología de la variación y el cambio
Ricardo CantoralCinvestav, Instituto Politécnico Nacional, México
La Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa (TSME) asume que para estudiar fenómenos didácticos ligados a las matemáticas se precisa acudir, y esto nos diferencia de otros enfoques teóricos, a un examen minucioso del saber, a su proble-matización. Proponemos aunar nuestra mirada a los estudios que se realizan sobre las relaciones entre profesores, alumnos y conocimiento escolar, incorporando las múltiples dimensiones del saber que hasta el momento se habían desatendido. Así mismo, respecto al estudio realizado sobre las restricciones institucionales de tipo pedagógico general, nosotros ampliamos el estudio hacia aquellas otras restricciones ligadas específicamente al saber matemático, pues creemos que solo así comenzare-mos a construir puentes entre la investigación y la realidad del aula.
Antecedentes ilustres de la paradoja
cognitiva de Duval
Bruno D’Amorea,b – Martha Isabel Fandiño Pinillab – Maura Iorib – Maurizio Matteuzzic
a Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia
b NRD Bologna, Departamento de Matemática, Universidad de Bologna, Italia c Departamento de Filosofía y Comunicación, Universidad de Bologna, Italia
En un famoso artículo publicado en 1993, Raymond Duval evidenciaba el siguien-te hecho: el estudiansiguien-te puede confundir el objeto masiguien-temático O, que está tratando de construir cognitivamente, con una determinada representación semiótica R(O) de dicho objeto; y explicaba que esta confusión se debía a una especie de paradoja inevitable: solo quien ha construido el objeto O puede reconocer R(O) como repre-sentación de O y no como objeto en sí. Esta reflexión tuvo una gran influencia en los investigadores en los años sucesivos. Pero varios estudiosos de semiótica, si bien es cierto no lo dicen con estas mismas palabras, ya habían evidenciado el fenómeno; en este escrito nos proponemos recordar algunos.
Cuestionamientos sobre la “elección” y utilización
de teorías en Mathematics Education
Raymond Duval [email protected]
Profesor emérito de la Universidad del Litoral, Argentina
En esta comunicación nos interesan únicamente las teorías cognitivas, es decir, las teorías relativas al punto de vista de los procesos de adquisición de conocimientos. Para esto, comenzaremos por aclarar los diferentes puntos de vista que se impusie-ron en las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje y examinaremos los problemas sobre sus relaciones. Luego, evidenciaremos los dos criterios decisivos para evaluar la pertinencia y el aporte de una teoría cognitiva. Por último, abordare-mos la cuestión, siempre conflictiva, de las relaciones entre el punto de vista cogniti-vo y el punto de vista matemático.
Una fórmula para medir objetivamente la dificultad
de los estudiantes en la comprensión de un texto
matemático. Uso con fines evaluativos didácticos
Martha Isabel Fandiño Pinilla, Bruno D’AmoreDoctorado de investigación DIE, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia (Grupo MESCUD)
NRD, Departamento de Matemática, Universidad de Bolonia, Italia [email protected]
Esta conferencia proporciona una fórmula objetiva para la evaluación empírica de la comprensión de un texto matemático por parte de los estudiantes de todos los nive-les. De esta fórmula se sugiere un uso para la evaluación y un uso didáctico.
Competencias profesionales para el desarrollo
y la evaluación de competencias matemáticas
en alumnos de secundaria
Vicenç Font [email protected]
Facultad de Formación del Profesorado, Universidad de Barcelona, España
Esta conferencia consta de cuatro partes. En la primera parte se reflexiona sobre la noción de competencia. En la segunda se reflexiona sobre cuatro aspectos clave para el desarrollo y evaluación de competencias en la enseñanza secundaria (el papel de la competencia disciplinar, el papel de la competencia en análisis didáctico de pro-cesos de instrucción, la falta de claridad de las orientaciones curriculares y la falta de tiempo). En la tercera, se reflexiona sobre el papel desempeñado por la competencia de análisis didáctico en los métodos de evaluación de competencias. Por último, en la cuarta parte, se hacen algunas consideraciones sobre un currículo por competencias en la formación de profesores y sobre la importancia que tiene en ellos la competen-cia en análisis didáctico de procesos de instrucción.
Explorando el rol de las figuras geométricas en el
pensamiento geométrico
Athanasios Gagatsis [email protected]
Facultad de Ciencias Sociales Universidad de Chipre, Chipre
La forma de observar cualquier figura construida con herramientas específicas es un factor cognitivo crucial en la solución de problemas y en el razonamiento y prueba en la geometría (Duval, 2014). Numerosas teorías del pensamiento geométrico han sido desarrolladas y propuestas por varios investigadores. La investigación presentada en este documento está basada en las ideas teóricas de Raymond Duval (1988, 2006), quien distingue cuatro tipos de aprehensión figural en el registro de visualización geométrica: aprehensión perceptual, aprehensión secuencial, aprehensión operativa y aprehensión discursiva.
En este estudio tratamos de responder a las siguientes preguntas de investigación: ¿Ha habido cambios en la aprehensión de la figura geométrica de los estudiantes desde los grados inferiores hasta la escuela secundaria?
¿Cuál es el rol de la aprehensión perceptual, la aprehensión operativa y la apre-hensión discursiva en el rendimiento matemático para la solución de problemas geométricos?
Articulación de la indagación y transmisión
de conocimientos en la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas
Juan D. Godino [email protected]
Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada, España
Diversas teorías postulan que el aprendizaje de las matemáticas debe estar basado en una pedagogía constructivista, orientada hacia la indagación de situaciones pro-blema por parte de los estudiantes, y asignando al profesor un papel de facilitador. En un extremo opuesto se sitúan otras teorías que defienden un papel más protagó-nico por parte del profesor, que implicaría la transmisión explícita del conocimiento y la recepción activa de los estudiantes. En este trabajo, basándonos en una síntesis
de estas posiciones en educación matemática, razonamos que la optimización del aprendizaje requiere adoptar una posición intermedia entre ambos extremos, reco-nociendo la dialéctica compleja entre indagación por parte del estudiante y transmi-sión del conocimiento matemático por parte del profesor. Nos fundamentamos en la asunción de presupuestos antropológicos y semióticos sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, así como en supuestos relativos a la estructura de la cognición humana.
El desarrollo de la competencia docente
“mirar profesionalmente el aprendizaje de los
matemáticas”. Algunas características en la
formación inicial de profesores de matemáticas
Salvador LlinaresDepartamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante, España
Recientemente los formadores de profesores han empezado a considerar cómo los profesores usan el conocimiento de matemáticas y sobre el aprendizaje de las mate-máticas para dotar de sentido a lo que sucede en sus lecciones. Un aspecto particular de la manera en que los profesores usan su conocimiento, los momentos de planifi-cación, interacción y reflexión posterior, está vinculado a su capacidad para identifi-car e interpretar hechos relevantes en su clase desde la perspectiva del aprendizaje matemático pretendido en sus alumnos. Identificar e interpretar hechos relevantes para el aprendizaje de sus alumnos en sus clases para tomar decisiones de acción genera en los profesores conocimiento sobre su propia enseñanza y está vinculado a la noción de competencia docente “mirar profesionalmente” las situaciones de en-señanza-aprendizaje de las matemáticas. El término “mirada profesional” intenta dar cuenta de la forma especializada en la que los docentes “miran” los fenómenos de in-terés para la enseñanza. Un foco de atención de los formadores de profesores de ma-temáticas es apoyar el desarrollo de esta competencia docente en los programas de formación inicial. En esta presentación, describimos algunas características de esta competencia docente, de su desarrollo y de los contextos en que es posible apoyarlo.
ESCENARIOS DE INVESTIGACIÓN
PARA LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO
EN CARRERAS DE ADMINISTRACIÓN
Raquel Susana Abrate [email protected]
Universidad Nacional de Villa María (Argentina) María Carolina Ferrero
Universidad Nacional de Villa María (Argentina) Marcel David Pochulu
Universidad Nacional de Villa María (Argentina)
Resumen
S
e relata una experiencia realizada con 123 estudiantes de carreras de administración, durante los años 2014 y 2015, en donde se abordaron contenidos de matemáticas siguien-do un modelo de enseñanza no tradicional. Estos estudian-tes trabajaron con resolución de problemas y actividades de modelización, mediadas por nuevos recursos, que estuvieron centrados en dos ambientes de aprendizaje: de la semirreali-dad y de situaciones de la vida real, según la clasificación que ofrece Skovsmose (2012) para los escenarios de investigación en la clase de matemáticas. Las clases se caracterizaron por promover un trabajo investigativo o de indagación en los estu-diantes, y se buscó promover en los estudiantes la formulaciónde preguntas, la búsqueda de explicaciones, la posibilidad de explorar y explicar las propiedades matemáticas, etc.
El análisis didáctico a priori y a posteriori de la experiencia se efectuó siguiendo los constructos que propone el enfoque ontosemiótico del conocimiento e instruc-ción matemática. En particular, se usaron las herramientas: configurainstruc-ción espisté-mica y cognitiva, funciones semióticas e idoneidad didáctica para valorar el proceso de estudio.
Palabras clave: enfoque ontosemiótico, enseñanza de las matemáticas, modeli-zación matemática, resolución de problemas.
Abstract
The present work is the result of a research carried out during 2014-2015 with 123 students attending Administration courses of study. In this research contents about Mathematics were approached following a non-traditional teaching model. The subjects worked with problem-solving and mathematical modeling activities which were mediated by new resources and focused on two learning milieus: semi-reality and real life situations, following the Skovsmose’s (2012) classification for research scenarios in the Math class. Lessons were characterized by stimulating research work and questioning among students, who were prompted to frame questions, look for explanations, explore and explain mathematical properties, among others.
The a priori and posteriori didactic analysis was carried out following the cons-tructs proposed by the Ontosemiotic Approach to mathematics knowledge and instruction. Particularly, the tools employed were: epistemic and cognitive configu-ration, semiotic functions and didactic competence to value the study process.
Keywords: Mathematical modeling, mathematics teaching, ontosemiotic approach, problem solving.
Introducción
La enseñanza de las matemáticas para carreras no matemáticas plantea grandes desafíos en los profesores y las universidades desde hace muchos años, pues las tendencias marcan que debería enseñarse de manera contextualizada y a través de la resolución de problemas. No obstante, la problemática sobre el tipo de tareas y problemas que debieran proponer los profesores pareciera ser aún una dificultad por superar, y es frecuente que los estudiantes comiencen a tomar conciencia sobre
la importancia de las matemáticas una vez avanzados en los estudios de la carrera elegida, o al finalizar y desenvolverse en el mundo laboral.
En este sentido, son numerosos los trabajos de investigación que toman las prác-ticas de matemáprác-ticas como objeto de estudio y las implicancias educativas que ellas tienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje (Godino, Contreras y Font, 2006, Pochulu, 2007, Pochulu y Font, 2011, entre otros). Recientemente, también aumentó el interés sobre el tipo de tareas que los profesores de matemáticas proponen a los estudiantes, pues son consideradas clave para conseguir una enseñanza de calidad (por ejemplo, Mason & Johnston-Wilder, 2004, Tzur, Sullivan & Zaslavsky, 2008, Zaslavsky & Sullivan, 2011). Estas son el punto de partida de la actividad del alum-no, la cual, a su vez, produce como resultado su aprendizaje.
La investigación sobre el diseño de tareas se interesó por diferentes aspectos. Por ejemplo, Swan (2007) estudió la naturaleza y tipología de tareas; Stein, Smith, Hen-ningsen & Silver (2000) y Rodríguez, Pochulu y Ceccarini (2011), las características que debe cumplir una tarea para ser estimulante o retadora para el alumno; Chara-lambus (2010), el papel que tiene el profesor en la implementación de la tarea a fin de lograr un proceso cognitivo relevante en los alumnos; Giménez, Font y Vanegas (2013), el diseño de tareas en la formación de futuros profesores de matemáticas de secundaria; Pochulu, Font y Rodríguez (2015) el análisis y diseño de tareas en profesores de profesores para promover un estilo de enseñanza acorde con los li-neamientos curriculares.
Con el propósito de trascender las clases habituales de matemáticas para carre-ras de administración, se trabajó con nuevas tecnologías, resolución de problemas y actividades de modelización, en entornos de aprendizajes que sientan las bases en escenarios de investigación, como los propone Skovmose (2012). Estas clases se caracterizaron por promover un trabajo investigativo o de indagación en los estu-diantes, contraponiéndose al paradigma del ejercicio que ha dominado tradicional-mente las matemáticas en la formación de profesionales no matemáticos. A su vez, se buscó promover en los estudiantes la formulación de preguntas, la búsqueda de explicaciones, la posibilidad de explorar y explicar las propiedades matemáticas, etc. Los contenidos de matemáticas no se abordaron siguiendo el modo tradicional que solemos ver en programas de estudio. Por el contrario, se trabajaron con problemas contextualizados en donde se partió de casos particulares de los cuales se fueron construyendo conceptos más generales, con una participación activa de los estu-diantes, y los profesores, mediadores de la construcción del conocimiento.
Marco teórico y metodológico
Los conceptos teóricos que atraviesan el trabajo son: el de diario de clase del alumno como instrumento de evaluación, el de resolución de problemas como estrategia de enseñanza, el de escenario de investigación como forma de concebir y gestionar la clase de matemáticas en el nivel superior, y el de configuración epistémica/cogni-tiva como herramienta para valorar la comprensión que logran los estudiantes de un objeto matemático. Seguidamente se hace una descripción general de estos tres conceptos.
Se entiende el diario de clase como un instrumento que permite recoger datos significativos sobre un proceso de enseñanza y aprendizaje, además de la reflexión sobre los mismos, su análisis y sistematización (Jurado Jiménez, 2011). Así mismo, permite recolectar opiniones, argumentos, destrezas y actitudes presentes en situa-ciones reales de aprendizaje, y donde es posible recuperar las discusiones espontá-neas entre los estudiantes en las puestas en común iniciales (Porlán y Martín, 2000). Los diarios de clase, o bitácoras de los estudiantes, tuvieron por finalidad recupe-rar aspectos relacionados con la resolución de problemas y los procesos cognitivos involucrados en ella. Es complejo dar un concepto de “problema” y son numerosos los autores que han dedicado esfuerzos para definir o caracterizar el mismo, con múltiples acepciones. Al respecto, Rodríguez (2012) resalta el hecho de que:
Uno define el concepto de problema para un sujeto, y no simplemente la noción de problema. Esto expresa que lo que para un individuo resulta ser un problema, bien podría no serlo para otro. Esta relatividad al sujeto es una característica inherente al concepto y a la vez empieza a poner de manifiesto la complejidad de su uso en el aula (p. 155).
Debido a que la cualidad de “ser problema” es una cuestión relativa al sujeto que resuelve, esto viene a significar que frente a una primera lectura el estudiante no sabe exactamente cuál es el camino que debe seguir para resolver. Esta incertidum-bre lo lleva a explorar distintas estrategias no formalizadas para acercarse a la reso-lución, las cuales no necesariamente son exitosas o válidas desde el punto de vista matemático. No obstante, estas estrategias, o heurísticas, son las que están presen-tes en el trabajo del matemático, y del propio ingeniero, cuando se encuentra ante una conjetura o problema abierto. En consecuencia, este tipo de estrategias son las que adquieren especial interés para la alfabetización matemática que se pretende instaurar en los estudiantes, intentando que las incorporen, reflexionen sobre ellas,
más allá del éxito que alcancen o no en la resolución y con los contenidos matemá-ticos que haya sido necesario considerar en la actividad (Rodríguez, 2012).
Situado en la llamada Educación Matemática Crítica, como línea u enfoque teórico de la didáctica de las matemáticas, Skovsmose (2012) describe distintas tipologías de clases de matemáticas al cruzar dos dimensiones: el paradigma del ejercicio y el enfoque investigativo. Haciendo una distinción con el primero (paradigma del ejer-cicio), en donde se situaría la clase tradicional de matemáticas, propone el trabajo en la clase organizando proyectos que se montan sobre escenarios de investigación.
Skovsmose (2012, p. 111) le da el nombre de “escenario de investigación a una situación particular que tiene la potencialidad de promover un trabajo investigativo o de indagación” en los estudiantes. Este ambiente de aprendizaje viene a contrapo-nerse totalmente al paradigma del ejercicio que ha caracterizado tradicionalmente las clases de matemáticas.
Si se tienen en cuenta los dos paradigmas que pueden dominar las clases de ma-temáticas: del ejercicio o de investigación y, además, se consideran como referencia contextos de la matemática pura, de la semirrealidad o situaciones de la vida real, se tendrían los siguientes ambientes de aprendizaje (enumerados del 1 al 6):
Tabla 1. Ambientes de aprendizaje
Paradigma del ejercicio Formas de organización de la actividad de los estudiantes Escenarios de investigación
Tipo de referencia
Matemáticas puras (1) (2)
Semirrealidad (3) (4)
Situaciones de la vida real (5) (6)
Fuente: Skovsmose (2012, p. 116).
Skovsmose (2012) expresa que la educación matemática se mueve solo en los am-bientes (1) y (2) de la tabla 1, y sugiere moverse por los restantes. También sostiene que en los escenarios de investigación los estudiantes están al mando, pero se cons-tituyen en tal si aceptan la invitación, la cual depende del profesor. Además, “lo que puede constituirse en un escenario de investigación para un grupo de estudiantes en una situación particular puede no convertirse en una invitación atractiva para otro grupo de estudiantes” (Skovsmose, 2012, pp. 114-115).
Advierte además que un escenario de investigación debe promover en los estu-diantes la formulación de preguntas, la búsqueda de explicaciones, la posibilidad de
explorar y explicar las propiedades matemáticas, etc. Todo esto está condicionado por el tipo de problema o actividad que se les proponga y, obviamente, la gestión de la clase que realice el profesor.
El enfoque ontológico y semiótico del conocimiento e instrucción matemática (EOS) que propone Godino (2000, 2003), como línea teórica y metodológica de la didáctica de las matemáticas, considera que toda práctica o actividad matemática está centrada en la resolución de problemas (en el sentido más amplio de su acep-ción, los cuales van desde simples ejercicios a instancias de modelación) y se pue-den encontrar algunos o la totalidad de los siguientes elementos primarios:
• Situaciones problema: problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramate-máticas o intramateextramate-máticas, ejercicios, etc. Constituyen las tareas que inducen la act ividad matemática.
• Conceptos: están dados mediante definiciones o descripciones (número, punto, lado, perímetro, baricentro, etc.), técnicas o acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos, etc.).
• Propiedades o proposiciones: comprenden atributos de los objetos matemáticos, los que generalmente suelen darse como enunciados o reglas de validez.
• Procedimientos: comprenden algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo o mo-dos de ejecutar determinadas acciones.
• Argumentaciones: se usan para validar y explicar la resolución que se hizo de la situación problema. Pueden ser deductivas o de otro tipo, e involucran conceptos, propiedades, procedimientos o combinaciones de estos elementos.
• Lenguaje: términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc. Si bien en un texto vie-nen dados en forma escrita o gráfica, en el trabajo matemático pueden usarse otros registros como el oral, corporal o gestual. Además, mediante el lenguaje, sea este ordinario, natural o específico matemático, también se describen otros objetos no lingüísticos.
Para el EOS, los seis objetos primarios que están presentes en una práctica ma-temática se relacionan entre sí formando configuraciones. Estas configuraciones (figura 1) son entendidas como las redes de objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos, y constituyen los elementos del significado de un objeto matemático particular. Las configuraciones pueden ser epistémicas o instruccionales si son redes de objetos institucionales (extraídas de un texto escolar, obtenidas de la clase que imparte un profesor, etc.), o cognitivas si representan redes de objetos personales (actividad de
los estudiantes). Tanto los sistemas de prácticas como las configuraciones se propo-nen como herramientas teóricas para describir los conocimientos matemáticos, en su doble versión, personal e institucional (Godino y Batanero, 1994).
Figura 1. Componentes de una configuración epistémica/cognitiva
Podemos advertir que en las configuraciones epistémicas/cognitivas, las situacio-nes-problema son las que le dan origen a la propia actividad matemática, y las que vienen a motivar el conjunto de reglas que aparecen en ella. El lenguaje, por su par-te, sirve de instrumento para accionar en la actividad matemática que acontece. Los argumentos, en tanto, los entendemos como prácticas que aparecen para justificar las definiciones, procedimientos y proposiciones, las que están reguladas por el uso del lenguaje, que, por su parte, sirve de instrumento para la comunicación.
Cada objeto matemático, dependiendo del nivel de análisis que se quiera hacer, puede estar compuesto por entidades de los restantes tipos. Un argumento, por ejemplo, puede poner en juego conceptos, proposiciones, procedimientos, o combi-naciones entre ellos y, obviamente, está soportado por el lenguaje. El EOS concibe la comprensión básicamente como competencia y no tanto como proceso mental (Godino 2000, Font, 2011), pues sostiene que un sujeto comprende un determinado objeto matemático cuando lo usa de manera competente en diferentes prácticas.
En concordancia con lo propuesto por el EOS, el proyecto de mejora para la forma-ción inicial de profesores para el nivel secundario, Área: Matemática (INFD, 2010), introduce recomendaciones para que el futuro profesor alcance distintos grados de
comprensión de la disciplina y cómo darse cuenta de ello. En particular, sobre los aspectos cognitivos referidos a la enseñanza de las matemáticas, dice:
Comprender un objeto matemático significa haber transitado por diversas ex-periencias que le permitan al estudiante producir, organizar y reorganizar la red de relaciones que se deben establecer en la resolución de una situación proble-mática (intra y extra-mateproble-mática) que “obliga” al funcionamiento del objeto, los procedimientos o técnicas que se despliegan para resolverla, las definiciones, propiedades, argumentos que validan las acciones realizadas, todas ellas soporta-das y regulasoporta-das por el lenguaje simbólico, propio de la Matemática, y la lengua natural (INFD, 2010, p. 122).
Metodología y descripción de la experiencia
El diseño metodológico de toda la experiencia se basó en la observación, análisis e interpretación de las prácticas operativas y discursivas realizadas por los estudiantes al resolver problemas y actividades de modelización que estuvieron centrados en dos ambientes de aprendizaje: de la semirrealidad y de situaciones de la vida real, según la clasificación que ofrece Skovsmose (2012) para los escenarios de investigación en la clase de matemáticas. Participaron de esta experiencia:
• 93 estudiantes de la carrera de técnico superior en gestión y administración de las organizaciones (52 de la cohorte 2014 y 41 de la cohorte 2015) mientras cursaban matemáticas I en el Instituto de Educación Superior del Centro de la República “Dr. Ángel Diego Márquez” (Villa María, Argentina).
• 30 estudiantes de la licenciatura en administración rural (23 de la cohorte 2014 y 17 de la cohorte 2015) mientras cursaban análisis matemático en la Facultad Regional Villa María de la Universidad Tecnológica Nacional (Argentina).
El trabajo fue desarrollado como un estudio de caso y la investigación asumió las siguientes características: (a) interpretativa: ya que se tuvo en cuenta el sentido de las acciones de los sujetos; (b) cualitativa: puesto que el objeto de estudio no fue algo que se pudiera observar y cuantificar; (c) hermenéutica: dado que se hicieron interpretaciones de las interpretaciones que hacían los sujetos investigados (por ejemplo, las relaciones que establecían los estudiantes sobre objetos primarios que intervenían en la resolución de una tarea); (d) exploratoria: en tanto se pretendió recoger y analizar información que pudiera servir para orientar futuras investiga-ciones; (e) descriptiva: pues se generaron informes narrativos a partir de la
investi-gación de campo efectuada; (f) de campo: debido a que se hizo mayoritariamente en el lugar de trabajo de los sujetos investigados; (g) etnográfica: en el sentido de que se pretendió comprender los acontecimientos tal como los interpretan los sujetos investigados, mediante una inmersión en su pensamiento y en su práctica, evitando en la medida de lo posible alterar la realidad estudiada. A su vez, la información también se obtuvo en el lugar de trabajo de los sujetos investigados.
En el transcurso de los espacios curriculares involucrados en la experiencia, se les solicitó a los estudiantes que presentaran un escrito que reuniera sus mejores producciones (portfolio), con la intención de mostrar lo que habían aprendido en matemáticas. Presentaron cuatro trabajos, los cuales se enfocaron en grandes ejes temáticos: modelos funcionales, ecuaciones y sistemas de ecuaciones, problemas de optimización, integrales, entre otros.
Además de los estudiantes, participaron de la experiencia tres profesoras de mate-máticas que estaban a cargo de los trabajos prácticos, y un coordinador general del módulo de matemáticas quien cumplió la función de docente investigador. En cada uno de los cursos se trabajó con diferentes problemas montados en escenarios de investigación. Esto es, los problemas propuestos no fueron los mismos para todos los grupos ni el tiempo asignado para la resolución. Así mismo, las tres profesoras responsables de los trabajos prácticos destinaron un espacio de tiempo, durante las primeras clases, para trabajar con las narrativas que se les pedía realizar a los estudiantes en los diarios de clase, con la finalidad de introducirlos en el estilo de escritura. Esto llevó a una interacción entre ellos, solicitando mayor información sobre aspectos que no quedaron claros o que requerían ser profundizados.
Para los porfolios que presentaron los estudiantes (cuatro en total), se les pidió que escogieran algunas resoluciones de problemas de los trabajos prácticos que res-pondieran a ciertas condiciones, tales como:
• El problema que involucró mayor cantidad de estrategias,
• El problema que involucró muchos intentos de resolución y no pudo ser culmi-nado,
• El mejor problema que se resolvió de manera individual, • El mejor problema que se resolvió en grupo,
• El problema que muestra que se sabe muchas cosas de matemáticas.
Para el cierre de cada trabajo que debieron presentar (los cuales recuperaban de los diarios de clase), se les solicitó que hicieran algunas reflexiones y comentarios, de acuerdo con pautas establecidas, como, por ejemplo, lo que no les gustó, lo que
les resultó difícil y lo que más les agradó del problema; lo que aprendieron mate-máticamente con el problema y lo que consideraban que no les había quedado claro aún; las explicaciones, comentarios o preguntas que hizo el docente o un/a compa-ñero/a que le ayudaron a comprender alguna idea matemática.
Se les expresó a los estudiantes que sus trabajos (porfolios) serían valorados en términos de los siguientes criterios:
• Riqueza de estrategias utilizadas en la resolución de un problema y el análisis matemático efectuado en torno a ellas.
• Uso apropiado de propiedades, conceptos, procedimientos y lenguaje matemáti-co en las explicaciones y reflexiones.
• Claridad en las reflexiones hechas en torno al propio aprendizaje matemático alcanzado con la resolución del problema.
• Claridad en la escritura y forma de comunicar la información.
Para que la narrativa se convirtiera en un instrumento de aprendizaje, tanto para el profesor como para los estudiantes, fue necesario hacer devoluciones permitien-do su reescritura. Eso posibilitó que el estudiante pudiera mejorar sus competencias para:
• Reconocer, describir, organizar y analizar los elementos constitutivos de un pro-blema para idear estrategias que permitan obtener, de forma razonada, una solu-ción contrastada y acorde con ciertos criterios preestablecidos.
• Interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumen-taciones.
Además, se hizo una coevaluación, la cual sirvió de guía para los estudiantes en lo que hace a la narrativa que debían entregar, y para los profesores en cuanto a valorar los objetos matemáticos que se ponían en juego.
A través de las narrativas realizadas por los estudiantes se pudo estructurar una primera configuración cognitiva, la cual puso en relieve el modo en que se arti-culaban con la situación problema, los conceptos, definiciones, propiedades, pro-cedimientos, algoritmos y técnicas, mediante procesos de argumentación, en los cuales intervenían diferentes representaciones del lenguaje. Con la devolución de los trabajos y teniendo en cuenta la configuración cognitiva estructurada, se hacían preguntas y comentarios para mejorar las redes de relaciones entre los objetos pri-marios intervinientes. Esto permitió elaborar una segunda configuración cognitiva, la cual, al ser comparada con la primera configuración cognitiva y con la
configura-ción epistémica de referencia, daba evidencias de los avances alcanzados y del grado de comprensión logrado por el estudiante.
A modo de ejemplos, se transcriben solo seis problemas propuestos a los estu-diantes para que se advierta las características de los mismos. Es de destacar que los estudiantes no disponían de los conocimientos previos para su resolución, sino, más bien, a través de diferentes acercamientos intuitivos que hacían se lograba hacer emerger el conocimiento necesario para el mismo mediante una gestión de la clase por parte de los profesores en interacción con los grupos.
Problema 1
Escoger tres productos que tengan envases diferentes (se entiende por envases diferentes, por ejemplo, al de una lata de conserva, una caja de arroz, una caja de leche, etc.) Analizar y fundamentar si el diseño del envase logra tener el volumen establecido minimizando los costos de material utilizado.
Problema 2
Mostrar y fundamentar, mediante un estudio matemático, la forma óptima de sem-brar cereales, oleaginosas, legumbres, hortalizas o frutales (elegir solo uno) para que el rendimiento por hectárea sea máximo.
Nota: No se trata de contar la información que se buscó en internet, sino más bien, mostrar un trabajo matemático que ponga en evidencia que cierta distribución de las plantas es la óptima para lograr la mayor producción por hectárea.
Problema 3
Un señor compró un campo en la zona serrana de Córdoba, a muy buen precio, y pagó US$ 13.140. Pasado un tiempo, fracciona el campo y se queda con 73 hectáreas para dedicarse a la cría de caballos de carreras. Si en la venta recuperó lo pagado por todo el campo y obtuvo una ganancia de US$ 6 por cada hectárea que vendió, con respecto al precio de compra, ¿es posible determinar cuántas hectáreas de campo compró? ¿Tiene solución única el problema? ¿Es posible encontrar un modelo mate-mático que describa la situación anterior? Justifica tus respuestas.
Problema 4
Analizar y fundamentar en qué momento es óptimo vender o faenar un animal des-tinado a producción de carne para que las utilidades sean máximas.
Problema 5
En diferentes páginas de internet se brinda información para quienes quieran tomar la Ruta 40 y se advierte acerca de los controles fitosanitarios. En realidad, el control fi-tosanitario se hace para controlar los insectos que afectan cultivos frutihortícolas, en particular la Mosca del Mediterráneo (Ceratitis capitata). Esta mosca de la fruta está considerada por los especialistas como la más devastadora y perjudicial de todas las plagas conocidas por el hombre en los campos de cultivo, principalmente de donde salen las frutas y hortalizas más demandadas por los mercados. La sola presencia de este insecto en cualquier zona frutícola, si no se adoptan las medidas de control de manera oportuna, ocasiona grandes pérdidas por los daños directos e indirectos que causa a las frutas y economía de los productores. No obstante ello, llama la aten-ción que algunos foristas expresen que pudieron atravesar estos controles sin que les quitaran la fruta que transportaban. ¡Aquí inicia nuestro problema! Si se hubiese ingresado una fruta infestada por la Mosca del Mediterráneo, ¿cuál sería la dinámica poblacional de estos individuos? ¿Qué grado de relevancia tendría este hecho para el control de la Mosca del Mediterráneo en la Provincia de Mendoza?
Problema 6
En la página oficial del Ministerio de Educación perteneciente al Gobierno de la Provincia de Córdoba, cada agente puede descargar el Recibo Digital, y al hacerlo se encuentra con el anuncio: “El gobierno provincial confecciona aproximadamente 200.000 recibos normales y 50.000 de incentivos docente + planillas y demás infor-mes en total de 380.000 hojas y 450.000 impresiones mensuales equivalentes a 47 árboles”. Si analizamos el texto de este anuncio, podemos ver que se justifica, de alguna manera, el hecho de estar emitiendo los recibos en formato digital, pues el papel que insumen sería el equivalente a 47 árboles. Ahora bien, ¿es adecuada la estimación de que se evita talar 47 árboles al emitir los recibos en formato digital? ¿Qué modelo matemático está detrás de este cálculo?
Análisis de la experiencia
A modo de ejemplo, transcribimos un fragmento de una narrativa correspondiente al problema 4 para ejemplificar el estilo de escrito que solicitamos a los estudian-tes. Destacamos que cada trabajo de los estudiantes (4 en total para cada uno de ellos) tiene no menos de 18 páginas y hasta un máximo de 40. Para este problema el estudiante recurrió a una base de datos extraída de un trabajo de investigación que estudia el crecimiento de pollos parrilleros ante diferentes tipos de alimentos balanceados. Con los datos obtenidos hizo diferentes ajustes funcionales y gráficas (que omitimos en la transcripción del episodio), con sus correspondientes lecturas e interpretaciones.
Analizando los dos modelos cuadráticos sobre el peso vivo y el consumo por se-mana de alimento que desarrolla el Pollo Broiler Ross 308, nos arrojan la información sobre lo que podría acontecer en un futuro.
De acuerdo con el gráfico de dispersión sobre el desarrollo del peso vivo del pollo, el mismo nos está diciendo que irá constantemente en aumento, pues nos quedó graficada una parábola con ramas hacia arriba. Mientras que para el consumo por semana de alimento, nos arroja una parábola con ramas hacia abajo.
Esto nos permite deducir que a medida que pasa el tiempo comenzará a descen-der lo que consumen en alimentos los pollos Broiler Ross 308.
Lo mencionado anteriormente sobre el comportamiento de la curva del consumo de alimento es poco razonable, porque según investigaciones que se han efectuado se recomienda que se sacrifiquen los pollos de esta raza a las 6 semanas, lo que es igual a 42 días de edad.
Acorde con lo leído en los apuntes tomados como raíz de la información, los mismos indican que justamente el pollo Broiler Ross luego de alcanzada esta edad, sigue consumiendo una cantidad de alimento considerable, lo que significa que el consumo de alimento no disminuye, pero se pone en muestra que según esta raza que se usó en este tipo de producción se ha logrado evaluar los efectos de una edad de sacrificio óptima del pollo debido a los índices de factores técnicos y económicos, incluyendo la eficiencia de la producción y los costos ambientales, el bienestar de las aves y la calidad y rendimiento de la carne de pechuga en la línea pollos Broiler Ross 308 sobre otras razas del mercado.
En el gráfico que aparece a continuación se puede observar el crecimiento logísti-co del pollo logísti-con relación a la edad en semanas y los gramos del mismo […].
Este gráfico de crecimiento logístico hecho con los datos de la tabla 1 (figura 1) podemos asumir que el peso promedio del pollo Broirler Ross 308 se estabiliza apro-ximadamente en 3600 gramos. Esto no significa que en la realidad se comporte de esta manera. Nuestro objetivo fue encontrar un modelo funcional que mejor se adapte y represente la situación real y los comportamientos que siguen las variables analizadas. Es allí donde se llegó al supuesto de que la función polinómica de que pase por esos n + 1 puntos y que tengan el menor grado posible fue la más consi-derable para trabajar.
Este polinomio que pasa por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación. Hemos probado funciones: exponenciales (gráfico 5), potencial (gráfico 6) y polinómicas de tercer orden (gráfico 7) que se adaptaban, pero se deter-minó por elección para ambos casos funciones polinómicas de segundo orden, ya que es-tas se aproximaban bastante a una R2 = 1 y no variaba de una manera considerable con una función de tercer orden […].
Cabe destacar aquí que a medida que el orden de la función aumenta se ajusta cada vez más a los puntos de interpolación, lo cual no fue necesario ya que con una función de segundo orden se puede explicar de manera sencilla dicho problema […].
Sobre cada narrativa realizada por los estudiantes fuimos marcando los objetos primarios que conforman una configuración cognitiva, y la red de relaciones que se establecían entre ellos. La comparación de esta configuración cognitiva con una epistémica nos permitía hacer señalamientos a los estudiantes para que mejoraran sus narraciones y lograran articular objetos primarios que no tuvieron en cuenta inicialmente. Esto debió hacerse de esta manera, pues los primeros bocetos de los diarios de clase mostraban que los estudiantes tendían a relatar de manera escueta solo el camino exitoso de resolución y carente de reflexiones sobre el proceso cog-nitivo llevado a cabo. Cabe aclarar que esta situación ya anticipábamos que así ocu-rriría y por tal razón se planificaron actividades referidas a la escritura de los diarios. Frente al tipo de problemas (la mayoría carente de datos puntuales, con consig-nas deliberadamente abiertas o ambiguas) los estudiantes buscaban inicialmente encontrar rápidamente una solución y fue necesario remarcar que lo más impor-tante no era “la respuesta”, sino el proceso seguido y las reflexiones que harían so-bre el mismo. Incluso se presentaron casos en donde no arribaron a una respuesta adecuada y, en consecuencia, se resistían a hacer una narrativa de las estrategias puestas en juego, argumentando que no tenía sentido hacerlo cuando no habían encontrado solución alguna.
De todos modos, los estudiantes lograron trascender esta problemática y resca-taron cuestiones positivas de la experiencia. En casi la totalidad de las narraciones hechas por los estudiantes fue necesario hacer señalamientos para que se comple-taran los trabajos, pues eran muy sucintas las explicaciones y reflexiones referidas a los caminos no exitosos, o los que no llevaron a la solución del problema, y el motivo por el cual eran abandonados. Esto aconteció en los dos primeros trabajos, no así con el tercero y cuarto, en donde se dominaba la técnica de escritura y se había entendido lo relevante que resultaba remarcar propiedades, procedimientos, conceptos, definiciones, diferentes usos de lenguaje, etc.
No obstante, la experiencia llevada a cabo muestra que los estudiantes también hicieron mejoras significativas en sus habilidades relativas a la cooperación, el in-tercambio y el trabajo en grupo, como también en el desarrollo de sus competencias comunicativas y en resolución de problemas. Si bien se torna complejo mostrar evi-dencias de la evolución de todo el progreso que alcanzaron los estudiantes —pues surge del análisis hecho de los diarios de clase— esto se advierte en sus reflexiones y comentarios. Un ejemplo de ello se transparenta en los siguientes recortes de las reflexiones hechas en las narrativas.
Estudiante A: con respecto a este espacio curricular, debo decir que mis conoci-mientos de matemáticas son muy básicos, y que pensaba que solamente se podía enseñar matemáticas a través de fórmulas (conceptual y prácticamente). Si bien nunca había tenido una experiencia así en cuanto a esta disciplina, estoy sorprendi-do; en un principio no me gustó nada debido a mi carencia de conocimientos en la materia, hasta que empecé a comprender algunos conceptos.
Si bien no he aprendido lo que yo quería (ya que mis conocimientos son muy escasos), este método me facilitó las cosas para poder comprender conceptos que antes no tenía claro. Ni siquiera sabía que desde dos tablas hechas en Excel po-día realizar un gráfico y que este me daría luego una fórmula que podría aplicar para resolver problemas básicos. Experiencias como las que tuve con Geogebra (por ejemplo) también fueron muy enriquecedoras, porque eso me permitió interpretar gráficos que antes no hubiese podido leer.
Estudiante B: esta metodología me permitió ser reflexivo conmigo mismo: pen-sar detenidamente a las matemáticas con la finalidad de sacar conclusiones. De-terminar que hay maneras más reales de hacer matemáticas, de contextualizar un problema sin necesidad de utilizar como recurso el solo hecho de hacer ejercicios matemáticos a repetición y sin saber el POR QUÉ ni el CÓMO llegamos al resulta-do esperaresulta-do o correcto.
Comprender también que estamos rodeados de situaciones cotidianas, que nece-sitan este análisis matemático, como también preguntarse y repreguntarse cuál será el camino correcto, la metodología necesaria para llegar a tal fin.
Estudiante C: a modo de cierre puedo decir que este espacio curricular me pareció muy interesante, en principio por el planteo, que apunta a la resolución de proble-mas reales y hace más fácil su interpretación para los que no somos “matemáticos”, y por otra parte porque me permitió comenzar a analizar funciones en EXCEL (solo lo usaba como hoja de cálculos) y descubrir Geogebra con su gran capacidad y muy aplicable en ámbito educativo.
Otro de los aspectos positivos es que con el transcurso de las clases fuimos re-frescando los conocimientos adquiridos en nuestro paso por la escuela secundaria (hace mucho tiempo) y terminando de entender cuestiones como las derivadas, que nunca había entendido a cabalidad, porque no me lo habían explicado claramente. El ejercicio paso a paso para obtenerla y la realización de sus gráficos logró el ob-jetivo.
Como aspecto negativo, creo que el corto tiempo (un cuatrimestre) para desa-rrollar los temas, junto a la presión de otras tres materias, más nuestros trabajos en las escuelas, etc., atentan contra la posibilidad de sacarles más provecho a los profesores.
Finalmente, me queda agradecer a mis compañeros que en muchas ocasiones aportaron a la resolución de problemas, con alguna mirada distinta, y a los profe-sores que nos guiaron y aportaron un enorme bagaje de conocimientos y nos ani-maron a plantear las matemáticas de una manera que esté más al alcance de todos. En todas las narrativas aparecen reflexiones relevantes referidas al propio apren-dizaje matemático logrado. Como ejemplo de esta situación, se transcriben parte de los comentarios hechos por dos estudiantes cuando resolvieron un problema referido a la validez matemática que tienen los algoritmos de multiplicación que usaban los romanos y los egipcios, al no emplear un sistema de numeración posi-cional como el actual.
Estudiante D: esta experiencia me gustó mucho. Hay varias razones. En primer lu-gar me sirvió para aprender otros métodos de multiplicación en donde no requiero saber todas las tablas sino solamente la del dos, saber dividir por dos y obviamente sumar. En segundo lugar, aprendí también cómo es una escritura binaria, y nunca me hubiera imaginado que estaba encubierta en este método. Como tercer punto me gustó trabajar con esta actividad porque tuvimos que interpretar la información
solos y entenderla. El grupo me gusta también, trabajamos bien todos y formamos un buen equipo, es lo que personalmente creo.
Estudiante E: Me gustó el problema ya que me informé acerca de cómo se emplea-ba y aplicaemplea-ba la matemática, tanto en la antigüedad como en las diversas civiliza-ciones. Además, pude hacer un repaso y ver nuevamente de qué tratan los sistemas binarios.
Conclusiones
Si disponemos de buenos problemas que puedan llevar a los estudiantes a estar en un escenario de investigación como lo plantea Skovsmose (2012), y trabajamos con técnicas de narrativas para recuperar elementos primarios de un objeto matemáti-co, las cuales contemplen aspectos cognitivos y metacognitivos, podremos valorar la comprensión que alcanzaron sobre los objetos matemáticos involucrados. En este ambiente de aprendizaje tendremos que analizar el modo en que cada estudiante produjo, organizó y reorganizó la red de relaciones que se establecen en la resolución de una situación problemática que obliga al funcionamiento del objeto matemático, la cual pone en juego los procedimientos, técnicas o algoritmos que son necesarios, los conceptos, definiciones, propiedades y argumentos que validan las acciones rea-lizadas, todas ellas soportadas y reguladas por elementos lingüísticos (simbólicos o de la lengua natural). La organización de estos elementos primarios de un objeto matemático constituye una configuración cognitiva, de acuerdo con Godino, Bata-nero y Font (2007), y da cuenta de la comprensión alcanzada por un estudiante, de acuerdo con INFD (2010).
Así mismo, el trabajo con resolución de problemas y en escenarios de investiga-ción pudo mostrar tanto a profesores como a estudiantes que existen otras maneras de trabajar y hacer matemáticas en el aula. Esta modalidad de trabajo está más próxima a los campos profesionales de las carreras en las que se inscriben los estu-diantes, y no se descuidaron los contenidos centrales que suelen ser preocupación de los profesores de las carreras de administración. No obstante, el modo de tra-bajo ofrece resistencias para aquellos estudiantes que se sienten más cómodos en ambientes tradicionales de enseñanza, y no en los que se les demanda un mayor protagonismo, búsqueda de información en diferentes fuentes, empleo de estrate-gias no habituales para la resolución de problemas, trabajo colaborativo en equipo, exposición oral de lo realizado, necesidad de validar argumentos, etc.
Cabe remarcar que el diario de clase como instrumento de evaluación deman-da un gran esfuerzo por parte de los profesores. Resulta laborioso su análisis, más aún cuando se trabaja con grandes números de estudiantes, y donde no es posible demorar demasiado las devoluciones para hacer los ajustes pertinentes de los pro-cesos de enseñanza y aprendizaje involucrados. A su vez, resulta dificultoso instau-rarlo inicialmente en las clases de matemáticas, pues los estudiantes y profesores no tienen experiencias previas sobre narrativas de procesos cognitivos y metacogniti-vos propios seguidos en la resolución de problemas.
Es de destacar que las narrativas son un instrumento muy valioso y útil para va-lorar la comprensión alcanzada por los estudiantes, pero tiene como fuertes detrac-tores a los propios profesores y estudiantes. Los profesores porque no conciben que se pueda evaluar a través de otros formatos que no sean los exámenes parciales y finales (evaluaciones de producto) que contienen una serie de problemas y pregun-tas para ser desarrolladas, generalmente por escrito, en un tiempo acotado y al final del proceso de enseñanza y aprendizaje. Los estudiantes porque les demanda un mayor esfuerzo intelectual y se contrapone al formato que critican, pero al que están acostumbrados (evaluaciones tradicionales). El desafío está en intentar trabajar de un modo diferente en la clase de matemáticas y, con certeza, se obtienen resultados distintos.
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