L´
ogica modal
Ramon Jansana
´
Indice general
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 5
Cap´ıtulo 2. El lenguaje de la l´ogica modal 9
1. Vocabulario 9
2. Definici´on de f´ormula 9
3. Instancias de sustituci´on 10
4. El principio de inducci´on 10
5. Definici´on por inducci´on (o recursi´on) 10
6. Ejercicios 11
Cap´ıtulo 3. La Sem´antica relacional 13
1. Modelos y marcos 13 2. F´ormulas v´alidas 15 3. F´ormulas equivalentes 17 4. Relaciones de consecuencia 18 5. Secuentes v´alidos 19 6. Ejercicios 20
Cap´ıtulo 4. La l´ogica cl´asica proposicional 23
1. Lenguaje formal 23
2. Sem´antica 23
3. C´alculo de secuentes 24
Cap´ıtulo 5. C´alculo de secuentes para la l´ogica modal 35
1. El c´alculo 35
2. Relaciones de deducibilidad 37
3. Propiedades b´asicas de ` 37
4. Conjuntos consistentes de f´ormulas 38
5. El modelo can´onico 39
Cap´ıtulo 6. Algunos resultados de correspondencia 43 Cap´ıtulo 7. L´ogicas modales normales 45 1. Extensiones axiom´aticas del c´alculo LKK 46 2. Axiomatizaciones tipo Hilbert de las l´ogicas modales normales 47
3. Relaciones de consecuencia 49
4. Relaciones de deducibilidad 49
Cap´ıtulo 8. Algunos resultados de correspondencia 51 3
4 ´Indice general
Cap´ıtulo 9. Teoremas de completud 53
1. L-teor´ıas, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas,
relativamente maximales y L-consistente maximales 54
2. El modelo can´onico 57
3. Los teoremas de completud 59
Cap´ıtulo 10. L´ogica modal cuantificacional 63
1. Sintaxis 63
2. Las interpretaciones del lenguaje 64 3. Sem´antica de modelos con dominio constante: cuantificaci´on
sobre posibles 68
4. Sem´antica de modelos con dominio variable: cuantificaci´on sobre
Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
El inicio de la l´ogica modal se puede retrotraer al an´alisis de Arist´oteles de los enunciados que contienen los t´erminos “necesario” y “posible”. Los l´ogicos medievales continuaron el an´alisis de estos t´erminos pero estudiaron tambi´en otras modalidades como por ejemplo las epist´emicas. La l´ogica mo-dal moderna se ocup´o en sus comienzos (C.I. Lewis, Hugh McColl...) de las modalidades “necesario” y “posible” tratadas por Arist´oteles, pero pronto se ocup´o de otras modalidades.
Hoy en d´ıa lo que se conoce, en sentido amplio, como l´ogica modal trata de una variedad de modalidades que incluye, adem´as de las tradicionalmen-te consideradas, otras modalidades que han surgido en las ciencias de la computaci´on y en el estudio de los fundamentos de las matem´aticas.
Brevemente podemos decir que
una modalidad es una expresi´on que aplicada a una oraci´on
S proporciona una nueva oraci´on sobre el modo en queS es verdadera o sobre el modo en que es aceptada.
Por ejemplo, sobrecuandoes verdadera,dondees verdadera,c´omoes verda-dera,en que circunstancias es verdadera; o sobre el modo en que un sujeto o colectividad la acepta, por ejemplo, como conocida, cre´ıda, demostrada, etc.
Las modalidades usualmente se dan en pares de modalidades duales (“necesario” /“posible”, “siempre” / “alguna vez”): “necesario” equivale a “no es posible que no”, “siempre” equivale a “no es el caso que alguna vez no”.
La l´ogica cl´asica es extensional. Esto significa que vale el principio de sustituci´on de equivalentes materiales, o sustituci´onsalva veritate, conocido tambi´en como principio de extensionalidad:
si dos enunciados β y γ tienen el mismo valor de verdad, entonces en todo enunciado α(p/β) en el que aparezcaβ, si β se sustituye porγ entonces se obtiene un nuevo enunciado, α(p/γ), con el mismo valor de verdad que el inicial (α(p/β)).
Las modalidades infringen el principio de extensionalidad. Veamos algunos ejemplos.
1. La oraci´on (3) no se sigue de (1) y (2):
(1) 3 + 2 = 5 si y s´olo si Juan Carlos I es rey de Espa˜na (2) Es necesario que 3 + 2 = 5
6 1. INTRODUCCI´oN
(3) Es necesario que Juan Carlos I es rey de Espa˜na. 2. La oraci´on (6) no se sigue de (4) y (5):
(4) Felipe de Borb´on es rey de Espa˜na si y s´olo si Par´ıs est´a en Australia
(5) En el futuro Felipe de Borb´on ser´a rey de Espa˜na (6) En el futuro Par´ıs estar´a en Australia
3. Del mismo modo, la oraci´on (9) no se sigue de (7) y (8):
(7) El autor de El Quijote es el autor de El Quijote si y s´olo si el autor de El Quijote es Cervantes
(8) Juan cree que el autor de El Quijote es el autor de El Quijote (9) Juan cree que el autor de El Quijote es Cervantes.
4. La oraci´on (12) no se sigue de (10) y (11)
(10) 3 + 2 = 5 si y s´olo si no hay un n´umero primo mayor que todos los dem´as n´umeros primos
(11) Juan sabe que 3 + 2 = 5
(12) Juan sabe que no hay un n´umero primo mayor que todos los dem´as n´umeros primos.
La raz´on de que el principio de extensionalidad falle en los ejemplos 1 y 2 se explica por el hecho de que el valor de verdad de las oraciones (2), (3), (5), (6) no depende, a diferencia de lo que ocurre con las oraciones (1) y (4), ´unicamente de lo que ocurre en la situaci´on en que se eval´ua la oraci´on, sino que depende tambi´en de lo que ocurre en las situaciones alternativas pertinentes en cada caso. Por ejemplo, el valor de verdad de (3) no depende s´olo de si Juan Carlos I es o no rey de Espa˜na, depende de si lo es en todas las situaciones alternativas a la actual. Que (3) sea verdadero significa que en cualquier situaci´on posible (no s´olo en la actual) Juan Carlos I es rey de Espa˜na. Puesto que esto no es as´ı, (3) es falsa. An´alogamente, el valor de verdad de (6) no depende de si ahora Par´ıs est´a o no en Australia, depende de si en alg´un momento futuro ser´a el caso que Par´ıs est´a en Australia. Puesto que esto no es as´ı, (6) es falsa.
Un listado de modalidades.
Modalidades al´eticas: necesario, posible, imposible
Modalidades temporales: siempre, nunca, siempre en el pasado, siem-pre en el futuro, en alg´un momento futuro, en alg´un momento pasa-do, a partir de ahora, etc.
Modalidades de´onticas: es obligatorio, est´a permitido, est´a prohibi-do, es legal, etc.
Modalidades dox´asticas:j cree que, se cree que.
Modalidades epist´emicas:j sabe que, se sabe que, todos saben que, etc.
Modalidades de la l´ogica din´amica: despu´es de que la computaci´on se acabe, durante la computaci´on, el programa permite que, etc.
Modalidades de la metal´ogica: es v´alido, es satisfacible, es demostra-ble, es consistente, es demostrable en la teor´ıa T.
1. INTRODUCCI´oN 7
Modalidades espaciales: en todas partes, en alguna parte, etc.
La sem´antica relacional. La sem´antica relacional para las l´ogicas de las diferentes modalidades considera seriamente el an´alisis que hemos ex-puesto brevemente de porqu´e no vale el principio de sustituci´on de equiva-lentes materiales para enunciados con modalidades. Toma en serio desde un punto de vista matem´atico la idea de situaci´on alternativa y la idea de que el valor de verdad de un enunciado con modalidades en la situaci´on actual de-pende del valor de verdad de alguno o todos sus componentes es situaciones alternativas.
Dada una modalidad 2 y un enunciadoϕ (interpretado en la situaci´on actual), el valor de verdad del enunciado2ϕen la situaci´on actualw, o en el estado actual w, depende de lo que ocurre en situaciones (o estados) alter-nativas(os) a w. Las situaciones alternativas, o posibles, se representan en sem´antica relacional por puntos; en contextos filos´oficos estos puntos se lla-man a menudo mundos posibles y en contextos de ciencias de la computaci´on estados. La relaci´on de ser una alternativa se representa por una relaci´on entre puntos. Por esta raz´on se conoce a esta sem´antica como sem´antica relacional. En los c´ırculos de filosof´ıa anal´ıtica se la conoce tambi´en como sem´antica de mundos posibles.
La sem´antica de mundos posibles para las modalidades al´eticas la intro-dujo Carnap, y para las modalidades temporales Prior. La sem´antica relacio-nal tal como la formulamos hoy en d´ıa la introdujeron, independientemente uno de otro, Kripke, Hintikka y Kanger, aunque el tratamiento de Kripke es el m´as general. Impl´ıcitamente se halla en un art´ıculo mucho anterior de J´onsson y Tarski.
La sem´antica relacional tal como la present´o Kripke es completamente general, en el sentido de que es aplicable a multitud de modalidades. En este caso los modelos constan de:
1. Un conjunto no vac´ıo de puntos que representan las situaciones per-tinentes. Cada una de ellas puede ser la actual.
2. Una relaci´onR entre puntos que indica qu´e situaciones son alternati-vas a cuales.
3. Una interpretaci´on que en cada situaci´on establece qu´e enunciados son verdaderos y cuales falsos, de modo que 2ϕ es verdadero en una situaci´on w siiϕes verdadero en toda situaci´onw0 tal quewRw0.
A pesar de que hemos usado la palabra ‘situaci´on’ m´as a menudo que la expresi´on ‘mundo posible’, ambas expresiones se han usado metaf´oricamente, como por otra parte es muy com´un. Tambi´en es frecuente utilizar con el mismo prop´osito la expresi´on ‘estado de cosas’ (state of affairs). Con el uso de estas expresiones no se pretende sugerir ni mucho menos que se dispone de una concepci´on de lo que es una situaci´on o lo que es un mundo posible, ni que disponer de una tal concepci´on sea necesario para elaborar la sem´antica relacional. De hecho, la sem´antica relacional es compatible con diferentes concepciones de lo que puede ser desde un punto de vista metaf´ısico un
8 1. INTRODUCCI´oN
mundo posible, incluso es compatible con concepciones que niegan, desde este punto de vista metaf´ısico, los mundos posibles.
Conviene observar una caracter´ıstica importante de la sem´antica rela-cional. En cada punto, bajo cada interpretaci´on, cada f´ormula tiene un valor de verdad (es verdadera o falsa). Debido a esta caracter´ıstica a veces pue-de parecer m´as apropiada la met´afora de los mundos posibles que la de las situaciones puesto que, seg´un una actitud realista, en el mundo est´a deter-minado de cada enunciado si es verdadero o falso, pero en una situaci´on no tiene porque ser as´ı.
Cap´ıtulo 2
El lenguaje de la l´
ogica modal
El lenguaje de la l´ogica modal proposicional es una extensi´on del len-guaje de la l´ogica proposicional cl´asica. Se obtiene a˜nadiendo a ´este dos operadores modales. Las conectivas ∧,∨,→ de la l´ogica cl´asica y las cons-tantes proposicionales⊥,>se siguen interpretando intuitivamente del modo en que se hace en l´ogica proposicional, es decir como funciones de valores de verdad. Los operadores modales pueden interpretarse intuitivamente de muchas maneras, seg´un la modalidad que se pretenda tratar. Uno de los operadores se interpreta como una de las modalidades y el otro como la modalidad dual. Convencionalmente se utiliza el cuadrado 2 para la mo-dalidad universal y el diamante 3 para la existencial. As´ı, si nos importan las modalidades al´eticas, 2 se interpretar´a como “es necesario” y 3 se in-terpretar´a como “es posible”; si nos importan las modalidades temporales
2 se interpretar´a por ejemplo como “siempre en el futuro” y entonces 3se interpretar´a como “en alg´un momento futuro”.
1. Vocabulario
El lenguaje formal de la l´ogica modal proposicional consta pues del si-guiente vocabulario: 1. Variables proposicionales:p, q, r, p1, q1, r1, . . . 2. Constantes proposicionales: ⊥,> 3. Conectivas:∧,∨,→ 4. Operadores modales:2,3 5. Par´entesis
Asumimos una enumeraci´on fijada p0, p1, p2, . . . de la s variables propo-sicionales.
2. Definici´on de f´ormula
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las f´ormulas at´omicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Lasf´ormulasse definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda f´ormula at´omica es una f´ormula, 2. Siα es una f´ormula, lo son 2α, y3α
3. Siα yβ son f´ormulas, tambi´en lo son (α∧β),(α∨β) y (α→β). 9
10 2. EL LENGUAJE DE LA L´oGICA MODAL
El s´ımbolo↔ se define del modo usual en l´ogica cl´asica como ϕ↔ψ:= (ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ)
Lanegaci´on de una f´ormulaαes la f´ormulaα→ ⊥que abreviamos con
¬α.
El´arbol geneal´ogicode una f´ormula se define de modo an´alogo a como se hace en l´ogica proposicional (no modal), as´ı como el concepto de subf´ormula. Una f´ormula de la forma2ϕse lee “cuadradoϕ” y a veces “es necesario queϕ” aunque no consideremos ninguna interpretaci´on intuitiva del mismo. Nosotros optaremos por la primera lectura. An´alogamente una f´ormula de la forma3ϕse lee “romboϕ”, “diamanteϕ” y tambi´en, a veces, “es posible queϕ”. Como en el caso del cuadrado optaremos por la primera lectura.
3. Instancias de sustituci´on
Dada una f´ormula α, una instancia de sustituci´on de α es cualquier f´ormula que se obtiene reemplazando simult´aneamente alguna o todas las letras proposicionales que aparecen en α por f´ormulas. As´ı (r ∧p) → ¬r es una instancia de sustituci´on de p → q. Tambi´en es una instancia de sustituci´on de las f´ormulas (r∧q)→p y de (p∧q)→r, entre otras.
Si β es una f´ormula, con β(p0/α0, . . . , pn/αn) nos referiremos a la
ins-tancia de sustituci´on de β que se obtiene reemplazando en β las letras pro-posicionales p0, . . . , pn porα0, . . . , αnrespectivamente.
4. El principio de inducci´on
Proposici´on1 (Principio de inducci´on). Si P es una propiedad tal que 1. toda variable proposicional tiene P,
2. ⊥ y >tienen P,
3. si ϕy ψ tienen P, entonces(ϕ∨ψ) , (ϕ∧ψ) y(ϕ→ψ) tienen P,
4. si ϕtiene P, entonces3ϕ y2ϕtienen P, entonces toda f´ormula tieneP.
5. Definici´on por inducci´on (o recursi´on)
Proposici´on 2. Sea Dun conjunto no vac´ıo, F2 y F3 funciones de D
enD,G∨, G∧, G→funciones deD×DenDya, b∈D. Para cada funci´onh
del conjunto de las variables proposicionales enD, existe una ´unica funci´on
h:F m→D tal que
1. h(p) =h(p), para cada letra proposicional p,
2. h(⊥) =a 3. h(>) =b 4. h((ϕ∨ψ)) =G∨(hh(ϕ), h(ψ)i) 5. h((ϕ∧ψ)) =G∧(hh(ϕ), h(ψ)i) 6. h((ϕ→ψ)) =G→(hh(ϕ), h(ψ)i) 7. h(2ϕ) =F2(h(ϕ)), 8. h(3ϕ) =F3(h(ϕ)).
6. EJERCICIOS 11
6. Ejercicios
1. Interpretando 2 como “es necesario” y su dual 3 como “es posible”, formalice:
1. Es posible que el Bar¸ca gane La Liga, pero no es necesario. 2. Es posible que si el Bar¸ca gana La Liga, pierda la “Champions”. 3. Si es posible que el Bar¸ca gane La Liga, es necesario que la pierda
el Valencia.
4. Si el Bar¸ca pierde La Liga, es necesario que la gane el Valencia. 5. No es posible que el Bar¸ca gane La Liga, pero es posible que gane
la copa de la UEFA.
6. Es posible que el Valencia gane La Liga y posiblemente es necesario que sea as´ı.
7. Es imposible que que el Bar¸ca y el Valencia ganen La Liga.
2. Interpretando2 como “siempre en el futuro” y su dual 3 como “alguna vez en el futuro”, formalice:
1. El Bar¸ca ganar´a siempre La Liga.
2. Si el Bar¸ca gana alguna vez La Liga, siempre perder´a la “Cham-pions”.
3. Siempre ocurrir´a que si el Bar¸ca gana La Liga, la perder´a el Valencia. 4. Si el Bar¸ca pierde alguna vez La Liga, siempre la ganar´a el Valencia. 5. No siempre ocurrir´a que el Bar¸ca gane La Liga, pero alguna vez
ganar´a la copa de la UEFA.
Cap´ıtulo 3
La Sem´
antica relacional
Presentamos la sem´antica relacional para el lenguaje de la l´ogica modal proposicional. Primero definiremos los conceptos de marco y de modelo; despu´es, para cada modelo, definiremos la relaci´on de verdad de una f´ormula en un punto del modelo.
1. Modelos y marcos
Definici´on 3. Un marco (de Kripke) es una estructura F = hW, Ri donde
1.W es un conjunto no vac´ıo y 2.R es una relaci´on binaria enW.
Los elementos deW se llaman puntos, ´ındices, mundos o estados del marco. Utilizaremos indistintamente todos estos t´erminos.
Definici´on4. Unmodelo(de Kripke) es una estructuraM=hW, R, Vi, donde
1.hW, Ri es un marco y
2.V es una funci´on que asigna a cada letra proposicional un subconjunto de W.
Se dice que la funci´on V es una asignaci´on o una valoraci´on en el marco
hW, Ri, y que el modelohW, R, Vi es un modelo sobrehW, Ri.
Dado un modelo M = hW, R, Vi, la definici´on inductiva de f´ormula verdadera en un puntow∈W es la siguiente:
M, w|=p sii w∈V(p), para cada letra proposicional p,
M, w|=> ,
M, w6|=⊥ ,
M, w|= (ϕ1∧ϕ2) sii M, w|=ϕ1 yM, w|=ϕ2,
M, w|= (ϕ1∨ϕ2) sii M, w|=ϕ1 oM, w|=ϕ2,
M, w|= (ϕ1→ϕ2) sii M, w6|=ϕ1 o M, w|=ϕ2,
M, w|=2ϕ sii para cadav∈W tal quewRv,M, v|=ϕ,
M, w|=3ϕ sii existev∈W tal quewRv yM, v |=ϕ. De la definici´on se sigue que
M, w|=¬ϕ sii M, w6|=ϕ 13
14 3. LA SEM´aNTICA RELACIONAL
Siϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la f´ormula o que la f´ormula es satisfecha en el punto. Con V(ϕ) se denota el conjunto de puntos en queϕ es verdadera, es decir
V(ϕ) :={w∈W :M, w|=ϕ}.
Ejemplos.
1. Consideremos el modelo de diagrama p, q 1 ll p, q 2 < < y y y y y y y y y / /3 q a a BBBB BBBB
La f´ormula2p es verdadera en los puntos 1 y 3. La f´ormula3pes verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula2q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula3q es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula23p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula32p es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula2(p→q) es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. La f´ormula2(p→2q) es verdadera en los puntos 1, 2 y 3. 2. Consideremos el modelo de diagrama
p 1ee p, q 2 = = | | | | | | | | | | / /3 q
La f´ormula2p es verdadera en los puntos 1 y 3. La f´ormula3pes verdadera en los puntos 1 y 2. La f´ormula2q es verdadera en el punto 3. La f´ormula3q es verdadera en el punto 2.
La f´ormula23p es verdadera en los puntos 1 y 3. La f´ormula32p es verdadera en los puntos 1 y 2. La f´ormula2(p→q) es verdadera en el punto 3. La f´ormula2(p→2q) es verdadera en el punto 3. 3. En el modelo de diagrama p 1ee ? ? ? ? ? ? ? ? ? p, q 2 = = | | | | | | | | | | / /3 q oo
la f´ormula 2p→32q es verdadera en todos los puntos. 4. En el modelo de diagrama
p 1
9
2. F´oRMULAS V´aLIDAS 15
la f´ormula3p→2p es falsa en todos los puntos. 2. F´ormulas v´alidas
Siϕes verdadera en todo punto de un modeloM, es decir siV(ϕ) =W, se dice que esv´alida en M.
Con Val(M) denotaremos el conjunto de f´ormulas v´alidas enM. Dado un marco F, se dice que una f´ormula ϕ es v´alida en F si ϕ es v´alida en todo modelohF, Vi sobre F.
Con Val(F) denotaremos el conjunto de f´ormulas v´alidas enF.
Una f´ormula es v´alida en una clase de modelos M si es v´alida en cada uno de sus elementos. An´alogamente se dice que una f´ormula es v´alida en una claseFde marcos. Denotaremos con Val(M) el conjunto de las f´ormulas v´alidas en todos los modelos pertenecientes a M y con Val(F) la clase de todas las f´ormulas validas en todos los marcos elemento deF.
La sem´antica relacional obliga a que ciertas f´ormulas sean v´alidas en todo modelo y que los conjuntos de f´ormulas v´alidas en un modelo y de f´ormulas v´alidas en un marco tengan ciertas propiedades de clausura.
Lema5. SeahW, R, Viun modelo, seanβ0, . . . , βnf´ormulas cualesquiera
y consideremos la asignaci´onV∗ en hW, Ri definida por
V∗(pi) =V(βi)
para cada i≤n y sii6≤n,V∗(pi) =V(pi). Entonces, para toda f´ormulaα,
V(α(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(α).
Demostraci´on. Por inducci´on.
a) Si α es una variable proposicional q y q es diferente de p0, . . . , pn,
entonces α(p0/β0, . . . , pn/βn) = q y V∗(q) = V(q). Por tanto tenemos lo
deseado. Si q = pi para alg´un i ≤ n, entoncesα(p0/β0, . . . , pn/βn) = βi y
V∗(q) =V∗(pi) =V(βi), con lo cual obtenemos tambi´en lo deseado.
b) Si α es ⊥ o >, entonces α(p0/β0, . . . , pn/βn) = α y obtenemos lo
deseado.
c) Supongamos como hip´otesis inductiva que V(α(p0/β0, . . . , pn/βn)) =
V∗(α) y V(β(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(β).Veamos que V((α∧β)(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(α∧β). Puesto que (α∧β)(p0/β0, . . . , pn/βn) =α(p0/β0, . . . , pn/βn)∧β(p0/β0, . . . , pn/βn) y adem´as V(α(p0/β0, . . . , pn/βn)∧β(p0/β0, . . . , pn/βn)) = V(α(p0/β0, . . . , pn/βn))∩V(β(p0/β0, . . . , pn/βn)),
utilizando la hip´otesis inductiva obtenemos
V(α(p0/β0, . . . , pn/βn)∧β(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(α)∩V∗(β) =V∗(α∧β).
16 3. LA SEM´aNTICA RELACIONAL
De modo an´alogo se tratan los casos de (α∨β) y de (α→β).
d) Supongamos como hip´otesis inductiva que V(α(p0/β0, . . . , pn/βn)) =
V∗(α). Veamos que V((2α)(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(2α). Por un lado
(2α)(p0/β0, . . . , pn/βn) =2α(p0/β0, . . . , pn/βn).
Por otro,
V(2α(p0/β0, . . . , pn/βn)) =
{w∈W : (∀v∈W)(wRv⇒v∈V(α(p0/β0, . . . , pn/βn))}.
Aplicando la hip´otesis inductiva,
V(2α(p0/β0, . . . , pn/βn)) ={w∈W : (∀v∈W)(wRv⇒v∈V∗(α)}.
As´ı,
V(2α(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(2α).
Por tanto,V((2α)(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(2α).
De modo an´alogo se trata el caso de 3α, es decir se demuestra que V((3α)(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(3α). QED
Lema 6. Si α es una f´ormula en la que no ocurren los s´ımbolos2 y 3,
entoncesα es una tautolog´ıa si y s´olo si es v´alida en todo modelo.
Demostraci´on. Supongamos queαes una tautolog´ıa. SeaM=hW, R, Vi un modelo y seaw∈W. Consideremos la asignaci´on de valores de verdadv definida mediante
v(p) = 1 sii w∈V(p)
para cada letra proposicionalp. Es inmediato ver que una f´ormula cualquiera β en la que no ocurren ni 2ni 3es verdadera con la asignaci´on de valores de verdad v si y s´olo siw∈V(β). Puesto que α es verdadera con cualquier asignaci´on, lo es con v, Por tanto w∈ V(α). Puesto que w es un elemento arbitrario de W, concluimos que V(α) =W, As´ı, α es v´alida enM.
Supongamos ahora queαes v´alida en todo modelo. Seavuna asignaci´on de valores de verdad. Consideremos el modelo M=h{a},∅, Vi dondeV se define mediante V(p) = {a} si y s´olo si v(p) = 1, para cada letra proposi-cional p. Es f´acil ver que en toda f´ormula β en la que ni 2 ni 3 ocurren, V(β) ={a}si y s´olo siβ es verdadera con la asignaci´on de valores de verdad v. Por tanto, puesto queα es v´alida en todo modelo,αes v´alida enM. As´ı, V(α) ={a}. Por tanto α es verdadera con la asignaci´on v. Concluimos que
α es una tautolog´ıa. QED
Proposici´on 7.
1. Las f´ormulas de la forma 2(ϕ→ ψ)→(2ϕ→2ψ) son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son v´alidas en todo modelo.
2. Las f´ormulas de la forma de una tautolog´ıa (las instancias de susti-tuci´on de tautolog´ıas) son v´alidas en todo modelo.
3. Si ϕes v´alida en un modelo, lo es 2ϕ. As´ı, para cada modeloM, si
3. F´oRMULAS EQUIVALENTES 17
4. Siϕes v´alida en un marco F, entonces toda instancia de sustituci´on
σϕ de ϕ es v´alida tambi´en en F. As´ı, si ϕ ∈ Val(F) y σϕ es una instancia de sustituci´on de ϕ cualquiera, entoncesσϕ∈Val(F) 5. Las f´ormulas de la forma 2α ↔ ¬3¬α, y las de la forma 3α ↔
¬2¬α son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son v´alidas.
Demostraci´on. 1. Fijemos un modeloM=hW, R, Vi. Consideremos un punto w ∈W. Para demostrar que2(ϕ→ψ)→ (2ϕ→ 2ψ) es verda-dera enw, basta demostrar que en caso de que el antecedente2(ϕ→ψ) sea verdadero enw, lo es tambi´en el consecuente (2ϕ→2ψ). Supongamos pues que M, w |=2(ϕ→ψ). Para ver queM, w|=2ϕ→ 2ψ, supongamos que
M, w |= 2ϕ. Bajo esta suposici´on debemos ver que M, w |= 2ψ, es decir que para todo v∈W tal quewRv ocurre queM, v |=ψ. Para demostrarlo seav∈W tal quewRv. Puesto queM, w|=2(ϕ→ψ), (i)M, v |= (ϕ→ψ) y puesto queM, w|=2ϕ, (ii)M, v |=ϕ. Por tanto, por (i) y (ii) obtenemos queM, v|=ψ, que es lo que dese´abamos. As´ı,M, w|=2ψ.
2. Supongamos queαes una instancia de sustituci´on de una tautolog´ıa. Supongamos queαesβ(p0/β0, . . . , pn/βn) dondeβ es un tautolog´ıa.
Consi-deremos un modelo M=hW, R, Vi arbitrario. Consideremos la asignaci´on V∗ en hW, Ri definida por V∗(pi) =V(βi) para cada i≤ny tal que i6≤n,
V∗(pi) =V(pi). Por el lema 5,
V(β(p0/β0, . . . , pn/βn)) =V∗(β).
Puesto queβ es una tautolog´ıa, V∗(β) =W. Por tanto, V(β(p0/β0, . . . , pn/βn)) =W.
As´ı,α es v´alida en M.
3. Supongamos que ϕ es valida en un modelo M = hW, R, Vi. Esto significa que para todo w ∈ W, M, w |= ϕ. Por tanto, trivialmente, dado w∈W, para todov ∈W tal que wRv ocurre queM, v|=ϕ. As´ı,M, w|=
2ϕ.
4. Debe utilizarse el lema 5. Se deja como ejercicio.
5. Se deja como ejercicio. QED
3. F´ormulas equivalentes
Diremos que dos f´ormulas son equivalentes si en todo modelo ambas son verdaderas en exactamente los mismos puntos.
Proposici´on 8. Para toda f´ormula ϕ, 1. 2ϕes equivalente a ¬3¬ϕ,
2. 3ϕ es equivalente a ¬2¬ϕ.
18 3. LA SEM´aNTICA RELACIONAL
Proposici´on 9. Si α y β son f´ormulas en las que no ocurren ni 2
ni 3 y son l´ogicamente equivalentes en el sentido de la l´ogica proposi-cional cl´asica, entonces para cualesquiera letras proposicionales p0, . . . , pn
y cualesquiera f´ormulas modales β0, . . . , βn, las instancias de sustituci´on
α(p0/β0, . . . , pn/βn) y β(p0/β0, . . . , pn/βn) son f´ormulas equivalentes.
Demostraci´on. Supongamos que α y β son f´ormulas en las que no ocurren ni 2 ni 3 y son l´ogicamente equivalentes en el sentido de la l´ ogi-ca proposicional cl´asica. As´ı, α ↔ β es una tautolog´ıa. Por tanto toda instancia de sustituci´on de α ↔ β es v´alida en todo modelo M. As´ı, α(p0/β0, . . . , pn/βn) ↔ β(p0/β0, . . . , pn/βn) es v´alida en todo modelo M.
Se sigue que en todo modelo Mlas f´ormulas
α(p0/β0, . . . , pn/βn) y β(p0/β0, . . . , pn/βn)
son verdaderas en los mismos puntos, por lo que son equivalentes. QED Proposici´on10 (Sustituci´on de equivalentes). Para cualesquiera f´
ormu-las α, β y γ, si β es equivalente a γ, entonces para toda variable p, α(p/β)
es equivalente a α(p/γ)
Demostraci´on. Se demuestra por inducci´on. Se deja como ejercicio. QED 4. Relaciones de consecuencia
La relaci´on de consecuencia local se define como sigue. Sean ϕ una f´ormula modal y Σ un conjunto de f´ormulas modales. Se dice queϕes con-secuencia localde Σ, y escribimos Σ|=l ϕ, si para todo modelohW, R, Vi)
y para todow∈W tal que para cada ψ∈Σ, w sat.ψocurre quew sat.ϕ. La relaci´on de consecuencia global se define como sigue. Sean ϕ una f´ormula modal y Σ un conjunto de f´ormulas modales. Se dice que ϕ es una consecuencia globalde Σ, y escribimos Σ|=gϕ, si para todo modelo hW, R, Vital que para cadaψ∈Σ,hW, R, Vi |=ψocurre quehW, R, Vi |=ϕ. Las dos relaciones de consecuencia tienen las mismas consecuencias a partir del conjunto vac´ıo.
Proposici´on 11. Para toda f´ormulaϕ,
|=lϕ sii |=gϕ.
Demostraci´on. Observemos que por una parte,|=lϕ si y s´olo si para
todo modelo My todo w∈W,M.w|=ϕ, y que por otra parte, |=g ϕsi y
s´olo si para todo modelo M ϕ es v´alida en M. Por tanto, es evidente que
|=lϕsi y s´olo si |=g ϕ. QED
Sin embargo ambas relaciones de consecuencia son diferentes. Por ejem-plo
5. SECUENTES V´aLIDOS 19
5. Secuentes v´alidos
Como en l´ogica proposicional cl´asica, un secuente est´a formado por un par de conjuntos finitos Γ, ∆, que escribimos Γ∆.
Un secuente Σ∆ esv´alido en un modelo Msi para cada puntow∈W en el que todas las f´ormulas en Σ son verdaderas, ocurre que alguna f´ormula en ∆ es verdadera. Un secuente esv´alido, si es v´alido en todo modelo.
Una regla entre secuentes es v´alida si para todo modelo en el que son v´alidos los secuentes a los que se aplica la regla, es v´alido el secuente que se obtiene por la aplicaci´on de la regla.
Dada un conjunto Σ de f´ormulas consideraremos los conjuntos de f´ ormu-las
2Σ :={2ϕ:ϕ∈Σ} y 3Σ :={3ϕ:ϕ∈Σ}. Proposici´on 12. Los secuentes
1. 2(ϕ→ψ) 2ϕ→2ψ 2. 2(ϕ∨ψ) 2ϕ∨3ψ 3. 2ϕ∧3ψ 3(ϕ∧ψ)
son v´alidos
Demostraci´on. Se deja como ejercicio. QED Proposici´on 13. La regla Σ, ϕ∆ 2Σ,3ϕ 3∆ es v´alida. En particular lo es ϕψ 3ϕ 3ψ.
Demostraci´on. Supongamos que M= hW, R, Vi es un modelo en el que es v´alido el secuente Σ, ϕ∆, esto significa que para cada w∈ W en el que las f´ormulas de Σ y ϕsean verdaderas, alguna de las f´ormulas en ∆ es verdadera. Veamos que2Σ,3ϕ 3∆ es v´alido enM. Supongamos para ello que w ∈ W es tal que para cada α ∈ Σ, 2α es verdadera en w y 3ϕ es verdadera en w. Esto ´ultimo implica que hay v ∈ W tal que wRv y ϕ es verdadera en v. Puesto que wRv, las f´ormulas de Σ son verdaderas en v. Por tanto, puesto que Σ, ϕ∆ es valido en M, alguna f´ormula β ∈ ∆ debe ser verdadera en v. As´ı, 3β es verdadera en w. Concluimos pues que
2Σ,3ϕ 3∆ es v´alido en M. QED Proposici´on 14. La regla Σ∆, ϕ 2Σ 3∆,2ψ es v´alida. En particular lo es ϕψ 2ϕ 2ψ.
20 3. LA SEM´aNTICA RELACIONAL
Demostraci´on. Se deja como ejercicio. QED Proposici´on 15. Sea Σϕ un secuente. Σϕes v´alido siiΣ|=l ϕ.
Demostraci´on. Se sigue inmediatamente de las definiciones. QED
6. Ejercicios 1. Consideremos el modelo de diagrama
p 1
9
9 oo //q2
Decida para cada una de las f´ormulas siguientes si es verdadera en 1 y si es verdadera en 2. (a) 2p→22p (b)¬2p (c) p→32p (d)¬2q→2¬p (d)3q → ¬3q
2. Consideremos el modelohW, R, Vi donde W ={1,2,3,4},
R={h1,2i,h2,3i,h3,1i,h4,2i}
V(p) ={1,3}, V(q) ={1,2}
(a) Dibuje el modelo.
(b) De cada una de las siguientes f´ormulas diga en que puntos es verdadera: a) 2q, b) 2¬(p→ ¬q), c) 2(p∨q)∨3(p∧q), d) 32(p∨q), e) 2p∧3q.
(c) Decida para cada una de las f´ormulas siguientes si es v´alida en el modelo:
a) 32p∨332p,
b) 2p→ ¬p,
c) (p→3p)∧(q→3q),
d) 3(p∨ ¬p)→2(p∨ ¬q).
(d) Decida si las f´ormulas2p→3py332p→pson v´alidas en el marco del modelo.
3. Es v´alido el secuentep 2p? Y el secuentep 3p? 4. Demuestre que 2α es equivalente a ¬3¬α.
5. Demuestre el apartado 4 de la proposici´on 7. 6. Demuestre el apartado 4 de la proposici´on 7.
7. Demuestre la proposici´on 8, el principio de sustituci´on de equivalen-tes.
8. Demuestre la proposici´on 10. 9. Demuestre la proposici´on 12.
6. EJERCICIOS 21
10. Demuestre que las f´ormulas2(3p→q) y2(2¬p∨q) son equivalen-tes.
Cap´ıtulo 4
La l´
ogica cl´
asica proposicional
Dedicamos este cap´ıtulo a presentar la l´ogica proposicional cl´asica. Pri-mero introduciremos el lenguaje. Hemos optado por tener en el lenguaje dos constantes proposicionales, una se interpreta siempre como verdadera y la otra siempre como falsa. Este recurso permite introducir la negaci´on como una conectiva definida y comparar mejor la l´ogica proposicional cl´asica con la l´ogica intuicionista a trav´es de los c´alculos de secuentes para cada una de ellas introducidos por Gentzen.
La sem´antica que presentamos es la habitual: la de asignaciones de valo-res de verdad. El c´alculo es el c´alculo de secuentes de Gentzen. El cap´ıtulo finaliza con la demostraci´on del teorema de completud.
1. Lenguaje formal
El lenguaje formal que hemos escogido para presentar la l´ogica proposi-cional consta del siguientevocabulario:
1. Variables proposicionales:p, q, r, p1, q1, r1, . . . 2. Conectivas:∧,∨,→
3. Constantes proposicionales: ⊥,>
4. Par´entesis
Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las f´ormulas at´omicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Lasf´ormulasse definen de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Toda f´ormula at´omica es una f´ormula,
2. Siϕ yψson f´ormulas, tambi´en lo son (ϕ∧ψ),(ϕ∨ψ) y (ϕ→ψ). La negaci´on se introduce del siguiente modo. Si ϕes una f´ormula
¬ϕ:= (ϕ→ ⊥)
donde := significa que la expresi´on de la izquierda se define como una abre-viaci´on de la expresi´on de la derecha.
2. Sem´antica
Unaasignaci´on de valores de verdad es una funci´onv que asigna a cada letra proposicional un elemento de {V, F}.V representa el valor de verdad verdaderoyF el valor de verdadfalso. Para abreviar hablaremos simple-mente de asignaciones.
24 4. LA L´oGICA CL´aSICA PROPOSICIONAL
Definimos inductivamente la relaci´on de satisfacci´on entre asignaciones y f´ormulas, sat., como sigue. Dada una asignaci´onv,
v sat.p sii v(p) =V v sat.>
v sat.⊥
v sat. (ϕ∧ψ) sii v sat.ϕy v sat.ψ v sat. (ϕ∨ψ) sii v sat.ϕo v sat.ψ v sat. (ϕ→ψ) sii v no sat.ϕo v sat.ψ De la definici´on se sigue inmediatamente que
v sat.¬ϕ sii v no sat.ϕ.
Cuando parezca conveniente escribitremosv|=ϕpara indicar quev sat.ϕ. Diremos quevsatisface ϕ, siv sat.ϕ. An´alogamente, si Σ es un conjunto de f´ormulas, decimos quevsatisfaceΣ si para cadaϕ∈Σ,v sat.ϕ. Si existe una asignaci´on v tal quev satisface Σ, decimos que Σ es satisfacible
Una f´ormula ϕes una tautolog´ıa si toda asignaci´on satisface ϕ. Es una
contradicci´on si ninguna asignaci´on la satisface.
Si Σ es un conjunto de f´ormulas y ϕ es una f´ormula, decimos que ϕes
consecuencia de Σ, y escribimos Σ|=ϕ, si toda asignaci´on que satisface Σ satisfaceϕ.
3. C´alculo de secuentes
Vamos a considerar el c´alculo para la l´ogica cl´asica proposicional que introdujo Gentzen en “Untersuchungen ¨uber das logische Schliessen” ( Mat-hematische Zeitschrift 39 (1935) pp. 176-210, 405-431)1, con la diferencia de que nuestros secuentes son pares de conjuntos finitos de f´ormulas en lu-gar de pares de sucesiones finitas de f´ormulas. El c´alculo que damos es una adaptaci´on del de Gentzen al lenguajeL={∧,∨,→,⊥,>}.
Un secuente es un par hΓ,∆i donde Γ y ∆ son conjuntos finitos, posi-blemente vac´ıos, de f´ormulas. Las letras griegas may´usculas Γ,∆,Π varian en lo sucesivo sobre este tipo de conjuntos. La uni´on de conjuntos finitos en este contexto se indicar´a con la coma. As´ı, Γ,∆ es el conjunto finito Γ∪∆. En este contexo, Γ, ϕ,∆ es el conjunto Γ∪ {ϕ} ∪∆. Debe tenerse en cuenta que∅∅es un secuente.
Un secuente t´ıpico es de la forma
{ϕ1, . . . , ϕn}{ψ1, . . . , ψn}
que escribiremos simplemente as´ı
ϕ1, . . . , ϕnψ1, . . . , ψn,
pero tenemos secuentes de las formas
ϕ1, . . . , ϕn∅ ∅ψ1, . . . , ψn
1Hay traducci´om inglesa en M.E. Szabo (ed.) Collected papers of Gerhard Gentzen,
3. C´aLCULO DE SECUENTES 25
A menudo abreviaremos las expresiones ∅∆ y Γ∅ con ∆ y Γ, res-pectivamente.
3.1. El c´alculo LK para la l´ogica cl´asica.
Reglas estructurales Identidad ϕϕ Debilitaci´on Γ∆ Γ, ϕ∆ (DI) Γ∆ Γϕ,∆ (DD) Corte Γϕ,∆ Π, ϕΣ Γ,Π∆,Σ (Corte) Reglas operacionales Γ,⊥∆ (Bot) Γ>,∆ (Top) Γ, ϕ∆ Γ, ϕ∧ψ∆ Γ, ψ∆ Γ, ϕ∧ψ∆ (∧I) Γϕ,∆ Γψ,∆ Γϕ∧ψ,∆ (∧D) Γ, ϕ∆ Γ, ψ∆ Γ∆, ϕ∨ψ (∨I) Γϕ,∆ Γϕ∨ψ,∆ Γψ,∆ Γϕ∨ψ,∆ (∨D) Γϕ,Σ Π, ψ∆ Γ,Π, ϕ→ψΣ,∆ (→ I) Γ, ϕψ,∆ Γϕ→ψ,∆ (→ D)
Una derivaci´on en LK es una sucesi´on finita y no vac´ıa de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesi´on mediante la aplicaci´on de una de las reglas estruc-turales o una de las reglas operacionales. Una derivaci´on lo es de su ´ultimo secuente. Un secuente es derivable en LK si tiene una derivaci´on en LK.
A continuaci´on prersentamos algunas reglas estructurales derivadas. Una regla derivada importante es la delCorte Generalizado
Σϕ1,∆ . . . Σϕn,∆ Π, ϕ1. . . , ϕn∆0
Σ,Π∆,∆0 (Corte G.)
Aunque la negaci´on no sea un s´ımbolo primitivo de nuestro lenguaje conviene tener las reglas derivadas fundamentales que la gobiernan, la regla de introducci´on a la derecha y la regla de introducci´on a la izquierda.
26 4. LA L´oGICA CL´aSICA PROPOSICIONAL
Reglas para la negaci´on
Γ, ϕ∆ Γ¬ϕ,∆
Γϕ,∆ Γ,¬ϕ∆ Estas reglas se justifican mediante las derivaciones:
Γ, ϕ∆ (DD) Γ, ϕ⊥,∆ (→D) Γϕ→ ⊥,∆ Γ¬ϕ,∆ y Γϕ,∆ ⊥∅ (→I) Γ, ϕ→ ⊥∆ Γ,¬ϕ∆ Proposici´on 16. Las reglas
Γϕ, ψ,∆ Γϕ∨ψ,∆ Γϕ∨ψ,∆ Γϕ, ψ,∆ Γ, ϕ, ψ∆ Γ, ϕ∧ψ∆ Γ, ϕ∧ψ∆ Γ, ϕ, ψ∆ son derivadas.
Demostraci´on. Justificamos las de la disyunci´on. Las de la conjunci´on se dejan como ejercicio.
Γϕ, ψ,∆ Γϕ ∨ψ, ψ,∆ ψψ ψϕ∨ψ Γϕ∨ψ, ϕ∨ψ,∆ Γϕ∨ψ,∆ Γϕ∨ψ,∆ ϕϕ ϕϕ, ψ ψψ ϕϕ, ψ ϕ∨ψϕ, ψ Γ∆, ϕ, ψ Γϕ, ψ,∆ QED Proposici´on 17. Los secuentes
1. ϕ∧ψϕ, ϕ∧ψψ 2. ϕ∧ψψ∧ϕ 3. ϕ∧(ψ∧δ)ϕ∧(ψ∧δ) 4. ϕ∧ϕϕ 5. ϕϕ∨ψ, ψϕ∨ψ 6. ϕ∨ψψ∨ϕ 7. ϕ∨(ψ∨δ)ϕ∨(ψ∨δ)
3. C´aLCULO DE SECUENTES 27
8. ϕ∨ϕϕ
son derivables sin utilizar las reglas estructurales.
Demostraci´on. Demostraremos 1, 2, 3, y 4. El resto de demostraciones se dejan como ejercicio.
1. ϕϕ ϕ∧ψϕ ψψ ϕ∧ψψ 2. ψψ ϕ∧ψψ ϕϕ ϕ∧ψϕ ϕ∧ψψ∧ϕ 3. ϕϕ ϕ∧(ψ∧δ)ϕ ψψ ψ∧δψ ϕ∧(ψ∧δ)ψ ϕ∧(ψ∧δ)ϕ∧ψ δδ ψ∧δδ ϕ∧(ψ∧δ)δ ϕ∧(ψ∧δ)(ϕ∧ψ)∧δ
4. Es un caso particular de 1. QED
Utilizando las dos ´ultimas proposiciones es f´acil demostrar que las reglas
ϕ1, . . . , ϕnψ1, . . . , ψk
ϕ1∧. . .∧ϕnψ1∨. . .∨ψk
ϕ1∧. . .∧ϕnψ1∨. . .∨ψk
ϕ1, . . . , ϕnψ1, . . . , ψk
son derivadas. Estas reglas junto con los secuentes derivables de la propo-sici´on anterior muestran que la conjunci´on simula el comportamiento de la coma a la izquierda de los secuentes y la disyunci´on lo simula a la derecha.
Proposici´on 18. Los secuentes 1. ϕ, ϕ→ψψ 2. ϕ¬¬ϕ 3. ∅ϕ∨ ¬ϕ 4. ¬¬ϕϕ son derivables Demostraci´on. 1. ϕϕ ψψ ϕ, ϕ→ψψ
28 4. LA L´oGICA CL´aSICA PROPOSICIONAL 2. ϕϕ ⊥⊥ ϕ, ϕ→ ⊥⊥ ϕ(ϕ→ ⊥)→ ⊥ ϕ¬¬ϕ 3. ϕϕ ¬ϕ, ϕ ϕ,¬ϕ ϕ∨ ¬ϕ 4. ϕϕ ¬ϕ, ϕ ¬¬ϕϕ QED Proposici´on 19. Las siguientes reglas
Σ, ϕψ Σϕ→ψ
Σϕ→ψ Σ, ϕψ
son reglas derivadas para el condicional.
Demostraci´on. Se deja como ejercicio. QED 3.2. Correcci´on de LK. A continuaci´on demostraremos que el c´ alcu-lo LK es correcto. Diremos que un secuente Γ∆ escorrectosi toda asigna-ci´on v que satisface todas las f´ormulas de Γ satisface al menos una f´ormula de ∆. En particular, si ∆ no es vacio, ∅∆ es correcto si toda asignaci´on satisface alguna f´ormula de ∆, y si Γ no es vac´ıo, Γ∅es correcto si ninguna asignaci´on satisface todas las f´ormulas de Γ. El secuente∅∅no es correcto. Teorema 20 (Correcci´on de LK). Todo secuente derivable de LK es
correcto.
Demostraci´on. Los secuentes que permiten derivar los axiomas de LK son correctos. Las reglas de inferencia aplicadas a secuentes correctos nos permiten derivar secuentes correctos. QED 3.3. La relaci´on de deducibilidad. Dado un conjunto de f´ormulas Σ y una f´ormulaϕ, diremos queϕes deducible de Σ, y escribiremos Σ`ϕ, si el secuente ∅ϕ es derivable o hayϕ1, . . . , ϕn ∈Σ tales que el secuente
ϕ1, . . . , ϕnϕes derivable.
Un conjunto Σ de f´ormulas esconsistente si Σ6` ⊥. En caso contrario se dice que esinconsistente.
De la definici´on se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y s´olo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
3. C´aLCULO DE SECUENTES 29
Proposici´on 21. La relaci´on de deducibilidad tiene las siguientes
pro-piedades:
1. Si ϕ∈∆, entonces∆`ϕ,
2. Si para toda ϕ∈∆, Σ`ϕ, y ∆`ψ, entoncesΣ`ψ.
3. Si Σ`ϕ, entoncesΣ∪∆`ϕ.
Demostraci´on. 1. Se sigue de que el secuenteϕϕes derivable. 2. Se sigue del Corte Generalizado. Supongamos que ∆ ` ψ y que pa-ra toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ. Si el secuente ∅ψ es derivable, es claro que Σ`ψ. En caso contrario hay elementosψ0, . . . , ψnde ∆ tales que el
secuen-teψ0, . . . , ψnψes derivable. Consideremos para cadai≤nun subconjunto finito Σi de Σ tal que el secuente Σiψi es derivable. Estos conjuntos
exis-ten puesto que, por suposici´on, Σ` ψi. Utilizando la regla de Debilitaci´on
tenemos que para cada i≤nel secuente Σ0, . . . ,Σnψi
es derivable. Utilizando el Corte Generalizado obtenemos que Σ0, . . . ,Σnψ
es derivable. Puesto que Σ0, . . . ,Σnes un subconjunto finito de Σ obtenemos
que Σ`ψ.
3. Se sigue inmediatamente de la definici´on de la relaci´on de
deducibili-dad. QED
Obs´ervese que las propiedades de `de la proposici´on dependen exclusi-vamente de las reglas estructurales del c´alculo.
Proposici´on 22. La relaci´on de deducibilidad tiene adem´as las
propie-dades: 1. Si Σ`ϕ→ψ yΣ`ϕ, entoncesΣ`ψ. 2. Σ`ϕ∧ψ sii Σ`ϕy Σ`ψ. 3. Si Σ`ϕ o Σ`ψ, entonces Σ`ϕ∨ψ. 4. Σ∪ {ϕ} `δ y Σ∪ {ψ} `δ sii Σ∪ {ϕ∨ψ} `δ. 5. Σ, ϕ`ψ sii Σ`ϕ→ψ.
6. Para toda f´ormulaϕ, ⊥ `ϕ.
Demostraci´on. 1. Supongamos que Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ. Sean Σ0 y Σ00 subconjuntos finitos de Σ tales que los secuentes Σ0ϕ→ψ y Σ00ϕ son derivables. Por la regla de debilitaci´on los secuentes Σ0,Σ00 ϕ → ψ y Σ0,Σ00ϕresultan derivables. Sabemos que el secuente ϕ→ ψ, ϕψ es derivable. Utilizando la regla de Corte Generalizado obtenemos que Σ,Σ0ψ es derivable. Esto implica que Σ`ψ.
2. Parecida a la demostraci´on de 1, utilizando que los secuentesϕ∧ψϕ, ϕ∧ψψ yϕ, ψϕ∧ψ son derivables.
3. Parecida a la demostraci´on de 1, utilizando que los secuentesϕϕ∨ψ yψϕ∨ψ son derivables.
30 4. LA L´oGICA CL´aSICA PROPOSICIONAL
4. Supongamos que Σ∪ {ϕ} ` δ y Σ∪ {ψ} ` δ. Existen pues secuentes derivables ∆, ϕ δ y ∆0, ψ δ tales que ∆ ⊆ Σ y ∆0 ⊆ σ. Entonces, gracias a la regla (∨D), el secuente ∆,∆0, ϕ∨ψδ es derivable. Por tanto, Σ∪ {ϕ∨ψ} `δ. Por otra parte, si Σ∪ {ϕ∨ψ} `δ. Puesto queϕ`ϕ∨ψy ψ`ϕ∨ψ, utilizando 2 y 3 de la proposici´on 21 obtenemos que Σ∪ {ϕ} `δ y Σ∪ {ψ} `δ.
5. Deben utilizarse las reglas derivadas para el condicional que se han dado anteriormente.
6. El secuente⊥ϕes claramente derivable. QED Corolario 23. Si Σ`ϕ, entoncesΣ|=ϕ.
Demostraci´on. Supongamos que Σ`ϕ. Sea Σ0 un subconjunto finito d de Σ tal que Σ0ϕes derivable. Por el teorema de correcci´on de LK, este secuente es correcto. As´ı toda asignaci´on que satisface a toda f´ormula de Σ0 satisface ϕ. Por tanto, toda asignaci´on que satisface Σ satisface ϕ, es decir
Σ|=ϕ. QED
3.4. El teorema de completud. Demostremos que LK es completo, es decir que todo secuente correcto es derivable en LK. Adem´as demostra-remos el teorema de completud, a saber: si Σ|=ϕentonces Σ`ϕ. Para ello necesitamos introducir algunos conceptos y demostrar varios resultados.
Lema 24. Σ`ϕsi y s´olo si Σ∪ {¬ϕ} es inconsistente.
Demostraci´on. Si Σ`ϕ, puesto que Σ∪ {¬ϕ} ` ϕ→ ⊥, obtenemos que Σ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es decir que Σ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Por otra parte, si Σ∪ {¬ϕ}es inconsistente, Σ∪ {¬ϕ} ` ⊥. Por tanto Σ` ¬ϕ→ ⊥. Ahora
bien,¬ϕ→ ⊥ `ϕ. Por tanto Σ`ϕ. QED
Lema 25. Σes inconsistente sii para toda f´ormulaϕ, Σ`ϕ.
Demostraci´on. Si para toda f´ormulaϕ, Σ ` ϕ, en particular Σ ` ⊥, por lo que es inconsistente. Si Σ es inconsistente, Σ` ⊥. Por tanto puesto que para toda f´ormulaϕ,⊥ `ϕ, tenemos que para toda f´ormulaϕ, Σ`ϕ. QED Un conjunto de f´ormulas Σ es unateor´ıa si para cada f´ormulaϕtal que Σ`ϕocurre queϕ∈Σ.
Una teor´ıa Σ esϕ-relativamente maximal si Σ6`ϕy para toda f´ormula ψ6∈Σ, Σ∪ {ψ} `ϕ.
Una teor´ıa Σ es prima si es consistente y para cualesquiera f´ormulas ϕ, ψ, si Σ`ϕ∨ψ, entoncesϕ∈Σ o ψ∈Σ.
Una teor´ıa Σ esconsistente maximalsi es consistente y para cada f´ormula ϕ6∈Σ, Σ∪ {ϕ} es inconsistente.
Lema 26. Si Γ es un conjunto de f´ormulas y ϕ es una f´ormula tal que Γ6`ϕ, entonces existe una teor´ıaϕ-relativamente maximalΣtal queΓ⊆Σ.
Demostraci´on. Consideremos una enumeraci´on ψ0, ψ1, ψ2, . . . , ψn, . . .
de las f´ormulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesi´on de conjuntos de f´ormulas Σ0,Σ1, . . . ,Σn, . . . tal que
3. C´aLCULO DE SECUENTES 31
1. Σ0 = Γ
2. Para cadan, Σn6`ϕ
3. Para cadan, Σn⊆Σn+1 La definici´on de la sucesi´on es:
Σ0 = Γ Σn+1 =
Σn si Σn∪ {ψn} `ϕ
Σn∪ {ψn} si Σn∪ {ψn} 6`ϕ
Claramente se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 deseadas. Sea Σ =[
n
Σn
Es decir, para cada f´ormula ψ, ψ ∈ Σ si y s´olo si hay n tal que ψ ∈ Σn.
Veamos que Σ esϕ-relativamente maximal.
1. Σ6`ϕ. En efecto, si Σ`ϕ, hay ∆⊆Σ finito tal que ∆ϕes derivable. De la condici´on 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆⊆Σn. Por tanto, Σn`ϕ. Pero esto contracide la condici´on 2 anterior.
2. Siψ6∈Σ, entonces Σ∪ {ψ} `ϕ. En efecto, supongamos queψ6∈Σ y que Σ∪ {ψ} 6`ϕSean tal queψ esψn. Entonces Σn∪ {ψn} 6`ϕ. Por tanto
ψn∈Σn+1⊆Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ∪ {ψ} `ϕ. QED
Proposici´on 27. Sea Σ una teor´ıa. Son equivalentes 1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna f´ormulaϕ.
2. Σ es prima
3. Σ es consistente y para toda f´ormula ϕ, ϕ∈Σ o ¬ϕ∈Σ.
4. Σ es consistente maximal.
Demostraci´on. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos que ψ∨δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, siψ, δ6∈Σ, Σ∪ {ψ} `ϕy Σ∪ {δ} `ϕ. Por tanto Σ∪ {ψ∨δ} `ϕ. Es decir, Σ`ϕ, pero esto no es posible al ser Σ esϕ-relativamente maximal. As´ıψ∈Σ o δ∈Σ. Por tanto Σ es una teor´ıa prima.
2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es consistente. Adem´as, para cadaϕ,ϕ∨ ¬ϕ∈Σ. Por tanto, al ser prima,ϕ∈Σ o¬ϕ∈Σ. 3 implica 4. Σ es consistente y para toda f´ormulaϕ, ϕ∈ Σ o ¬ϕ∈ Σ. Supongamos queϕ6∈Σ. Por tanto, ¬ϕ∈Σ. Asi, Σ∪ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es consistente maximal.
4 implica 1. Si Σ es consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es
ϕ-relativamente maximal. QED
3.4.1. Teor´ıas consistentes maximales y asignaciones. Vamos a demos-trar que hay una correspondencia biun´ıvoca entre las asignaciones de valores de verdad y las teor´ıas consistentes maximales.
1. Consideremos una asignaci´on v. Sea Σ(v) ={ϕ:v sat. ϕ}
32 4. LA L´oGICA CL´aSICA PROPOSICIONAL
Este conjunto de f´ormulas es una teor´ıa, gracias al teorema de correcci´on. En efecto, supongamos que Σ(v) ` ϕ. Entonces Σ(v) |= ϕ. Puesto que claramente v satisface Σ(v), tenemos que v sartisface ϕ. Por tanto ϕ ∈
Σ(v). Por otra parte, es claro que ⊥ 6∈Σ(v). Por tanto Σ(v) es consistente. Finalmente Σ(v) es prima pues si ϕ∨ψ∈Σ(v), entoncesv satisfaceϕ∨ψ, con lo que v satisface ϕ o v satisface ψ; es decir, ϕ ∈ Σ(v) o ψ ∈ Σ(v). Conluimos pues que Σ(v) es una teor´ıa consistente maximal.
Si dos asignaciones v yv0 son diferentes, hay una letra proposicional al menos, digamosp, tal quev(p)6=v0(p). Por tanto Σ(v)6= Σ(v0).
2. Observemos que si Γ es una teor´ıa consistentes maximal 1.> ∈Γ 2.⊥ 6∈Γ 3.ϕ∧ψ∈Γ sii ϕ∈Γ yψ∈Γ; 4.ϕ∨ψ∈Γ sii ϕ∈Γ oψ∈Γ 5.ϕ→ψ∈Γ sii ϕ6∈Γ oψ∈Γ 6.ϕ∈Γ sii¬ϕ6∈Γ
Sea Γ una teor´ıa consistente maximal. Definamos la asignaci´onvΓ como sigue: para cada letra proposicionalp,
vΓ(p) =V sii p∈Γ
Gracias a la observaci´on anterior tenemos que para toda f´ormulaϕ vΓ sat. ϕ sii ϕ∈Γ.
Adem´as, para cada teor´ıa maximal consistente Γ y cada asignaci´on v, Σ(vΓ) = Γ y vΣ(v)=v.
Teorema 28 (Completud de LK). Todo secuente correcto es derivable. Demostraci´on. Supongamos que Γ∆ es un secuente correcto. Su-pongamos que no es derivable. Entonces no es derivable el secuente Γ⊥. Por tanto el conjunto de f´ormulas Γ es consistente. Si la disyunci´on de las f´ormulas de ∆ fuese deducible de Γ, el secuente Γ∆ ser´ıa derivable. Por tanto la disyunci´on, digamosα, de las f´ormulas de ∆ no es deducible de Γ. Sea Σ una teor´ıa prima tal que Γ ⊆Σ y α 6∈Σ. Puesto que Σ es maximal consistente, consideremos la asignaci´on vΣ. Esta asignaci´on satisface todas las f´ormulas de Γ, por tanto, puesto que el secuente Γ∆ es correcto, sa-tisface alguna f´ormula de ∆, por tanto la disyunci´on de todas ellas, es decir α. As´ı,α∈Σ, pero esto es absurdo. QED
Corolario 29. Si Σ|=ϕ, entonces Σ`ϕ.
Demostraci´on. Supongamos que Σ|=ϕy que Σ6`ϕ. Sea Γ una teor´ıa maximal consistente tal que Σ ⊆ Γ y ϕ 6∈ Γ. Entonces vΓ satisface Σ. Por tantovΓ satisfaceϕ, con lo que ϕ∈Γ y ello es absurdo. QED
3. C´aLCULO DE SECUENTES 33
1. Un secuente ϕ0, . . . , ϕnψ0, . . . , ψm es derivable en LK si y s´olo si
la f´ormula (ϕ0∧. . .∧ϕn)→(ψ0∨. . .∨ψm) es una tautolog´ıa.
2. Un secuenteϕ0, . . . , ϕn∅es derivable en LK si y s´olo si la f´ormula
ϕ0∧. . .∧ϕn es una contradicci´on en l´ogica cl´asica.
3. Un secuente∅ψ0, . . . , ψm es derivable en LK si y s´olo si la f´ormula
ψ0∨. . .∨ψm es una tautolog´ıa.
Demostraci´on. 1. Tenemos que ϕ0, . . . , ϕnψ0, . . . , ψm es derivable
en LK si y s´olo si ϕ0∧. . . ∧ϕnψ0∨. . .∨ψm es derivable en LK si y s´olo
siϕ0∧. . . ∧ϕn|=ψ0∨. . .∨ψm si y s´olo si ϕ0∧. . . ∧ϕn→ψ0∨. . .∨ψm
es una tautolog´ıa.
2.ϕ0, . . . , ϕn∅es derivable en LK si y s´olo siϕ0, . . . , ϕn⊥es derivable
en LK si y s´olo siϕ0∧. . .∧ϕn→ ⊥es una tautolog´ıa si y s´olo siϕ0∧. . .∧ϕn
es una contradicci´on.
3.∅ψ0, . . . , ψm es derivable en LK si y s´olo>ψ0, . . . , ψm es derivable
en LK si y s´olo si> →ψ0∨. . .∨ψm es tautolog´ıa si y solo si ψ0∨. . .∨ψm.
Cap´ıtulo 5
C´
alculo de secuentes para la l´
ogica modal
1. El c´alculoEl c´alculo de secuentes que introducimos se obtiene a partir del c´alculo de la l´ogica cl´asica introducido en el cap´ıtulo anterior a˜nadiendo las reglas operacionales Σ, ϕ∆ 2Σ,3ϕ 3∆ (M1) Σ∆, ϕ 2Σ 3∆,2ϕ (M2) Lo llamaremosLKK.
Las siguientes reglas son casos particulares:
ϕ∆ 3ϕ 3∆ Σϕ 2Σ 2ϕ ϕ, ψ∆ 2ϕ,3ψ 3∆ Σϕ, ψ 2Σ 2ϕ,3ψ y tambi´en lo son: ϕ∅ 3ϕ∅ ∅ϕ ∅ 2ϕ
Unaderivaci´on en LKK es una sucesi´on finita y no vac´ıa de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesi´on mediante la aplicaci´on de una de las reglas estruc-turales o una de las reglas operacionales. Una derivaci´on lo es de su ´ultimo secuente. Un secuente esderivable enLKK si tiene una derivaci´on enLKK.
Unaderivaci´on enLKK a partir de un conjunto de secuentes S es una sucesi´on finita y no vac´ıa de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o un elemento de S o se obtiene de elementos anteriores en la sucesi´on mediante la aplicaci´on de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Un secuente ses derivable a partir de un conjunto de secuentesS si hay una derivaci´on enLKK a partir del conjunto de secuentes S cuyo ´ultimo elemento es el secuentes.
36 5. C´aLCULO DE SECUENTES PARA LA L´oGICA MODAL
Obs´ervese que un secuenteses derivable si y s´olo si es derivable a partir del conjunto vac´ıo de secuentes.
Proposici´on31. SiSes un conjunto de secuentes v´alidos en un modelo
M ys es un secuente derivable a partir de S, entoncess es v´alido en M.
Demostraci´on. Sea M un modelo. Basta con ver primero que cada regla si la aplicamos a secuentes v´alidos en Mnos proporciona un secuen-te v´alido en M. Despu´es por inducci´on en la l´ongitud de las derivaciones
obtenemos lo deseado. QED
Corolario32. Todo secuente derivable enLKK es un secuente v´alido. Demostraci´on. Un secuente derivable los es del conjunto vac´ıo de se-cuentes. As´ı, puesto que los secuentes del conjunto vac´ıo son v´alidos en todo modelo, todo secuente derivable es v´alido en todo modelo, por tanto v´
ali-do. QED
Algunos secuentes derivables:
Proposici´on 33. El secuente ∅ 2ϕes derivable a partir del secuente
∅ ϕ.
Demostraci´on. La siguiente derivaci´on
∅ϕ (M2)
∅ 2ϕ
justifica que 2ϕ es derivable a partir del secuente ϕ. La derivaci´on se obtiene aplicando la regla la regla (M2); observese que el primer secuente es de la forma ∅ ∅, ϕ y la regla (M2) nos permite obtener el secuente
2∅ 3∅,2ϕ, que es el secuente 2ϕ, puesto que2∅=3∅=∅. QED Proposici´on 34. El secuente p 2p no es derivable
Demostraci´on. No puede ser derivable puesto que no es v´alido. QED Lema35. Si Σα es un secuente derivable, entonces el secuente ∅α
es derivable a partir del conjunto de secuentes {∅β :β∈Σ}.
Demostraci´on. Dada una derivaci´onDdel secuente Σα, extendamos la sucesi´on con los secuentes ∅β con β ∈ Σ. Entonces la regla del Corte generalizada nos permite obtener el secuente ∅α. QED
Lema 36. Los secuentes 1. 2¬α¬3α
2. ¬3α 2¬α
son derivables.
Demostraci´on. 1. El secuente¬α, α∅es derivable. Aplicando la regla (M1) obtenemos que el secuente2¬α,3α∅es derivable (al aplicar la regla consideramos Σ ={¬α}y ∆ =∅). Por tanto, aplicando las reglas derivadas para la negaci´on (con ∆ =∅), obtenemso que 2¬α¬3α es derivable.
3. PROPIEDADES B´aSICAS DE` 37
2. El secuenteα,¬αes derivable. Aplicanco la regla (M2) (con Σ =∅y ∆ ={α}) obtenemos que el secuente 3α,2¬α es derivable. Por las reglas derivadas de la negaci´on obtenemos que¬3α 2¬α es derivable. QED
2. Relaciones de deducibilidad
Dado un conjunto de f´ormulas Σ y una f´ormula ϕ, diremos que ϕ es
deducible de Σ, y escribiremos Σ`ϕ, si el secuente ∅ϕes derivable o hay ϕ1, . . . , ϕn∈Σ tales que el secuente ϕ1, . . . , ϕnϕes derivable.
Sea Σ un conjunto de f´ormulas y sea α una f´ormula. Decimos que α es fuertemente deducible de Σ si el secuente α es derivable a partir del conjunto de secuentes {β : β ∈ Σ}. Para indicar que α es fuertemente deducible de Σ escribiremos Σ`f α.
Lema 37. Si Σ`α, entonces Σ`f α.
Demostraci´on. Supongamos que Σ` α. Sea Σ0 ⊆ Σ finito tal que el secuente Σα es derivable. Por el lema anterior, α es derivable a partir de {β:β ∈Σ}. Por tanto Σ`f α. QED
Teorema 38 (de Correcci´on). Si Σ`ϕ, entoncesΣ|=lϕ.
Demostraci´on. Supongamos que Σ`ϕ. Sea Σ0 un subconjunto finito de Σ tal que Σ0ϕes derivable. Puesto que los secuentes derivables enLKK son correctos, el secuente es v´alido. Por tanto Σ|=lϕ. QED
Teorema 39 (de Correcci´on). Si Σ`f ϕ, entoncesΣ|=g ϕ.
Demostraci´on. Supongamos que Σ`f ϕ, As´ı, el secuenteϕes deri-vable a partir de los secuentes en{ψ:ψ∈Σ}. Supongamos queM es un modelo en el que las f´ormulas de Σ son v´alidas. En tal caso, elMson v´alidos los secuentesψconψ∈Σ. Por tanto por la proposici´on 31 el secuenteϕ es v´alido en M, por lo que ϕes v´alida en M. QED
3. Propiedades b´asicas de `
Como en l´ogica cl´asica proposicional tenemos:
Proposici´on 40. La relaci´on de deducibilidad tiene las siguientes
pro-piedades:
1. Si ϕ∈∆, entonces∆`ϕ,
2. Si para toda ϕ∈∆, Σ`ϕ, y ∆`ψ, entoncesΣ`ψ.
3. Si Σ`ϕ, entoncesΣ∪∆`ϕ.
Proposici´on 41. La relaci´on de deducibilidad tiene adem´as las
propie-dades:
1. Si Σ`ϕ→ψ yΣ`ϕ, entoncesΣ`ψ.
2. Σ`ϕ∧ψ sii Σ`ϕy Σ`ψ.
3. Si Σ`ϕ o Σ`ψ, entonces Σ`ϕ∨ψ.
38 5. C´aLCULO DE SECUENTES PARA LA L´oGICA MODAL
5. Σ, ϕ`ψ sii Σ`ϕ→ψ (teorema de la deducci´on).
6. Para toda f´ormulaϕ, ⊥ `ϕ.
Lema 42. Para cada f´ormula ϕ,
1. Si Σ`ϕ0, . . . ,Σ`ϕn y {ϕ0, . . . , ϕn} `ψ, entonces Σ`ψ.
2. Si Σ`ϕ y Σ`ϕ→ψ, entoncesΣ`ψ.
Adem´as tenemos las siguientes propiedades Proposici´on 43. Si Σ`ϕ, entonces2Σ`2ϕ.
Demostraci´on. Supongamos que Σ ` ϕ. Hay pues Σ0 ⊆ Σ finito tal que Σ0ϕ es un secuente derivable elLKK. QED
Proposici´on 44. Para toda f´ormulaϕ, 2¬ϕ` ¬3ϕy ¬3ϕ`2¬ϕ. 4. Conjuntos consistentes de f´ormulas
Un conjunto Σ de f´ormulas es consistente si Σ6` ⊥. En caso contrario se dice que es inconsistente. De la definici´on se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y s´olo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es.
Los siguientes dos lemas se demuestran como en l´ogica cl´asica. Lema 45. Σ`ϕsi y s´olo si Σ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Lema 46. Σes inconsistente sii para toda f´ormulaϕ, Σ`ϕ.
Un conjunto de f´ormulas Σ es unateor´ıasi para cada f´ormulaϕtal que Σ`ϕocurre queϕ∈Σ.
Una teor´ıa Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6` ϕ y para toda f´ormulaψ6∈Σ, Σ∪ {ψ} `ϕ.
Una teor´ıa Σ es prima si es consistente y para cualesquiera f´ormulas ϕ, ψ, si ϕ∨ψ∈Σ, entonces ϕ∈Σ o ψ∈Σ.
Una teoria Σ esrelativamente maximal si hay una f´ormulaϕtal que Σ esϕ-relativamente maximal.
Una teor´ıa Σ es consistente maximal si es consistente y para cada f´ormulaϕ6∈Σ, Σ∪ {ϕ} es inconsistente.
Lema 47. Si Γ es un conjunto de f´ormulas y ϕ es una f´ormula tal que Γ6`ϕ, entonces existe una teor´ıaϕ-relativamente maximalΣtal queΓ⊆Σ.
Corolario 48. Para cada conjunto de f´ormulas Σ y cada f´ormula α, Σ`α sii α pertenece a toda teor´ıa relativamente maximal que incluye a Σ.
Proposici´on 49. Sea Σ una teor´ıa. Son equivalentes 1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna f´ormulaϕ.
2. Σ es prima.
3. Σ es consistente y para toda f´ormula ϕ, ϕ∈Σ o ¬ϕ∈Σ.
4. Σ es consistente maximal.
5. EL MODELO CAN´oNICO 39
Proposici´on50. Para todo conjunto de f´ormulas consistente y maximal Σ, (1) Si Σ`α, entoncesα∈Σ, (2) α∧β ∈Σ siiα∈Σ andβ ∈Σ, (3) α∨β ∈Σ siiα∈Σ o β∈Σ, (4) α→β ∈Σ sii α6∈Σ o β ∈Σ, (5) ¬α∈Σsii α6∈Σ.
Demostraci´on. La demostraci´on es como en el caso de la l´ogica cl´asica QED 5. El modelo can´onico
Para motivar la definici´on del modelo can´onico, consideremos un modelo cualquiera M=hF, Vi. Dadow∈W observemos que el conjunto
ΣM(w) ={α:hF, Vi, w|=α}
es un conjunto maximal consistente que contiene toda f´ormula v´alida en el modelo.
Puede ocurrir que existanw, w0 ∈W distintos que no se puedan distin-guir mediante una f´ormula modal, es decir que tengan la propiedad de que los conjuntos ΣM(w) y ΣM(w0) sean el mismo. Desde este punto de vista podemos decir que un conjunto de f´ormulas maximal consistente caracteriza un tipo de estado o de mundo posible.
Los puntos del modelo can´onico ser´an todos los tipos de estado posi-bles. Es decir, los conjutnos de f´ormulas maximal consistentes. Una f´ormula ser´a verdadera en un estado del modelo can´onico si y s´olo si pertenece al estado. Si denotamos conMc el modelo can´onico que vamos a definir, que-remos que tenga la propiedad siguiente. Para cada f´ormulaϕy cada punto de Mc (es decir cada conjunto maximal consistente) ∆,
Mc,∆|=ϕ sii ϕ∈∆.
Observemos que si esta condici´on se cumple y ∆ es un conjunto maximal consistente, entonces
ΣMc(∆) = ∆.
Si obtenemos el modelo Mc con la propiedad anterior, entonces si Σ 6`
α, puesto que el conjunto Σ∪ {¬α} es consistente, habr´a un conjunto de f´ormulas maximal consistente ∆ tal que incluye a Σ∪ {¬α}, por tanto en ∆ (en tanto que punto del modelo can´onico) las f´ormulas de Σ ser´an verdaderas yϕser´a falsa, con lo cual tendremos que Σ6|=lα.
Para explicar c´omo definir la relaci´on de accesibilidad del modelo can´ oni-co oni-consideremos un modelo hF, Vi y observemos que si w, v ∈W son tales que wRv entonces {α : 2α ∈ Σ(w)} ⊆ Σ(v). Por tanto si Rc es la
rela-ci´on del modelo can´onico que pretendemos definir, Rc debe cumplir que
40 5. C´aLCULO DE SECUENTES PARA LA L´oGICA MODAL
{α : 2α ∈ ΣMc(∆)} ⊆ ΣMc(∆0), es decir, teniendo en cuenta lo ante-rior, que {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0. Tomaremos esta ´ultima condici´on como la condici´on para definir la relaci´on Rcde accesibilidad del modelo can´onico.
El modelo can´onico, que denotaremos con MK, se define como sigue. El conjunto de estados deMK es:
WK ={∆ : ∆ es un conjunto maximal consitente de f´ormulas},
y la relaci´onRK en WK de MK se define por
∆RK∆0 sii {α:2α∈∆} ⊆∆0.
El marco FK =hWK, RKi es el marco can´onico. Elmodelo can´onicoes
el modeloMK=hFK, VKi, dondeVK es la valoraci´on en el marco can´onico
definida por:
VK(p) ={∆∈WK :p∈∆},
para cada letra proposicionalp.
El resultado principal sobre el modelo can´onico es el lema fundamental. Lema 51 (Lema Fundamental). Para todo conjunto maximal y
consis-tente de f´ormulas∆ y toda f´ormula α,
hFK, VKi,∆|=α sii α∈∆.
Demostraci´on. Se demuestra por inducci´on enα. Para las letras pro-posicionales vale por la definici´on de la valoraci´on VK. Igualmente para las
constantes proposicionales. Para las conectivas se sigue de las propiedades de los conjuntos maximal consistentes del lema 83. Para el operador modal
2 se argumenta como sigue. Supongamos, como hip´otesis inductiva, que lo que queremos demostrar vale para α. Observemos primero que gracias a la hip´otesis inductiva tenemos que
hFK, VKi,∆|=2α sii ∀∆0∈WK si ∆RK∆0entoncesα∈∆0
sii ∀∆0∈WK si {β:2β∈∆} ⊆∆0,
entoncesα∈∆0
Para demostrar quehFK, VKi,∆|=2αsii2α∈∆, supongamos primero
que 2α ∈ ∆ y veamos que hFK, VKi,∆ |= 2α. Por la observaci´on basta
con demostrar que para cada ∆0 ∈ WK, si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0, entonces
α ∈ ∆0. Supongamos pues que ∆0 ∈ WK es tal que {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0.
Puesto que2α∈∆, es claro queα∈∆0. Para demostrar la otra implicaci´on, supongamos quehFK, VKi,∆|=2α, es decir, de acuerdo con la observaci´on,
que para todo ∆0 ∈WK, si{β:2β∈∆} ⊆∆0, entoncesα∈∆0. Veamos que 2α∈∆. Para este fin demostremos que el conjunto{β :2β ∈∆} ∪ {¬α}es inconsistente. Si fuera consistente existir´ıa un conjunto maximal consistente Γ que lo incluye y por la suposici´on Γ tendr´ıa como elemento a α, lo que no es posible. Por tanto, al ser{β :2β ∈∆} ∪ {¬α} inconsistente, {β :2β ∈
∆} ` α. Sea ahora {β0, . . . , βn} ⊆ {β : 2β ∈ ∆} tal que {β0, . . . , βn} `
α. Entonces, {2β0, . . . ,2βn} ` 2α, y puesto que {2β0, . . . ,2βn} ⊆ ∆,
5. EL MODELO CAN´oNICO 41
Para el otro operador modal se razona de modo an´alogo. Supongamos, como hip´otesis inductiva, que lo que queremos demostrar vale para α. Gra-cias a esta hip´otesis inductiva tenemos que
hFK, VKi,∆|=3α sii ∃∆0 ∈WK t. q. ∆RK∆0 yα∈∆0
sii ∃∆0 ∈WK t. q.{β :2β ∈∆} ⊆∆0 yα∈∆0.
Debemos ver quehFK, VKi,∆|=3αsii3α∈∆. Supongamos pues que hFK, VKi,∆ |= 3α y que 3α 6∈ ∆. As´ı por la observaci´on, hay ∆0 ∈ WK
tal que {β :2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 yα ∈∆0. Puesto que 3α 6∈∆, ¬3α ∈ ∆. Por tanto, puesto que ¬3α ` 2¬α, obtenemos que 2¬α ∈ ∆. As´ı, ¬α ∈ ∆0. Esto es absurdo pues ∆0 es consistente. Para demostrar la otra implicaci´on, supongamos que3α∈∆. Gracias a la observaci´on basta con encontrar ∆0 ∈
WK tal que{β :2β ∈∆} ⊆∆0 yα∈∆0. Para conseguirlo, consideremos el
conjunto Γ ={β :2β ∈∆} ∪ {α} y veamos que es consistente. Si no lo es tenemos que{β :2β ∈∆} ` ¬α. Por tanto 2{{β :2β ∈∆} `2¬α. Ahora bien, 2{{β :2β ∈∆} ⊆ ∆. Conluimos que2¬α ∈∆. Pero, 2¬α ` ¬3α. Por tanto,¬3α ∈∆. Esto es absurdo puesto que ∆ es consistente y3α∈∆. Concluimos que Γ es consistente. Sea ∆0maximal consistente tal que Γ⊆∆0. Entonces {β :2β ∈∆} ⊆∆0 yα∈∆0. QED
Corolario 52. Para todo conjunto de f´ormulasΓ y toda f´ormula α, Γ|=lα sii para todo Γ∈WK tal queΣ⊆Γ, α∈Γ.
Demostraci´on. Supongamos que Γ|=l α. Sea Γ∈WK tal que Σ⊆Γ.
Entonces en el modelo can´onico todas las f´ormulas en Σ son verdaderas en el punto Γ. Por tanto, puesto que Γ|=lα, obtenemos queα es verdadera en
el punto Γ, con lo cualα∈Γ.
Supongamos ahora que para todo Γ ∈ WK tal que Σ ⊆ Γ, α ∈ Γ.
Supongamos que Γ6|=lα. Sea puesMun modelo y seaw∈W un punto del
mismo en el que las f´ormulas de Σ son verdaderas. Sabemos que el conjunto de f´ormulas ΣM(w) = {ϕ : M, w |= ϕ} es maximal consistente. Por la suposici´on, Σ⊆ΣM(w). Por tanto,α ∈ΣM(w), con lo queα es verdadera en w. As´ı concluimos que Γ|=lα. QED
Teorema 53. Para todo conjunto de f´ormulasΓ y toda f´ormula α, Γ|=l α sii Γ`α.
Cap´ıtulo 6
Algunos resultados de correspondencia
Presentamos algunos resultados de la formaLa f´ormulaα es v´alida en el marcoF siiF tiene la propiedad Φ. Cuando se dispone de un resultado de este tipo se dice que la f´ormula α
corresponda a la propiedad Φ.
Desde la perspectiva que este tipo de resultados introducen se puede afirmar que las f´ormulas modales, y m´as en general los conjuntos de f´ormulas modales, sirven para describir propiedades de los marcos de Kripke. Los lenguajes modales sirven para este fin. Algunas clases de marcos pueden definirse mediante f´ormulas modales de este modo pero otra no.
Demostraremos algunas de las correspondencias de la tabla que hay a continuaci´on. 2p→p R es reflexiva 2p→22p R es transitiva p→23p R es sem´etrica 2p→3p R es serial 3p→2p R es una funci´on
3p↔2p R es una funci´on con dominioW
Proposici´on 54. La f´ormula 2p → p es v´alida en un marco F sii la
relaci´onR es reflexiva.
Demostraci´on. Supongamos queRes reflexiva. SeatV una valoraci´on enF y seaw∈W. Si 2pes verdadera en w, puesto quewRw, tenemos que pes verdadera enw. Por tanto,2p→pes verdadera enw. Concluimos pues que2p→pes v´alida enF. Para demostrar la otra implicaci´on, supongamos que2p→pes v´alida enF. Seaw∈W y consideremso cualquier valoraci´on V en F al queV(p) ={v∈ W :wRv}. En tal caso, 2p es verdadera en w en el modelo hF, Vi. Puesto que 2p → p es verdadera en w en el modelo
hF, Vi,pes verdadera en w en el modelo hF, Vi. Por tanto, w ∈V(p), con lo cual wRw. Concluimos queR es reflexiva. QED Proposici´on 55. La f´ormula 2p → 22p es v´alida en un marco F sii
la relaci´on R es transitiva.
Demostraci´on. La demostraci´on de la parte f´acil, que es la implica-ci´on de derecha a izquierda se deja como ejercicio. Para demostrar la otra
44 6. ALGUNOS RESULTADOS DE CORRESPONDENCIA
implicaci´on, supongamos que 2p→ 22p es v´alida enF y que w, v, u∈W son tales quewRvandvRu. SeaV una valoraci´on enF tal queV(p) ={x∈
W : wRix}. Claramente, 2p es verdadera en w en hF, Vi. Puesto que por
suposici´on 2p→22p tambi´en es verdadera en w,22pes verdadera en w. Por tanto,2pies verdadera envyplo es enu. Por tanto,wRu. Concluimos
pues que R es transitiva. QED
Proposici´on 56. La f´ormula p→23p es v´alida en un marcoF sii la
relaci´onR es sim´etrica.
Demostraci´on. Supongamos quep→23pes v´alida enFy quew, v∈
W son tales quewRv. SeaV una valoraci´on cualquiera tal queV(p) ={w}. Puesto que p y p → 23p son verdaderas en w, 23p es verdadera en w. Por tanto,3pes verdadera en v. La ´unica posibilidad de que esto sea as´ı es que vRw. Concluimos pues que R es sim´etrica. La demostraci´on de la otra implicaci´on se deja como ejercicio. QED Proposici´on 57. La f´ormula 2p→ 3p es v´alida en un marcoF sii la
relaci´onR es serial (i.e. para cadaw∈W existev ∈W tal quewRv).
Cap´ıtulo 7
L´
ogicas modales normales
SeaF una clase de marcos. Consideremos el conjunto de f´omulas L(F) ={ϕ: para todo F ∈F,F |=ϕ}.
De acuerdo con los resultados de la secci´on anterior L(F) contiene todas las instancias de sustituci´on de las tautolog´ıas, todos los axiomas distributivos (o axiomas K) y est´a cerrado bajo Modus Ponens, la regla de necesidad e instancias de sustituci´on. Un conjunto de f´ormulas modales con estas carac-ter´ısticas se dice que es una l´ogica modal normal.
Definici´on58. Unal´ogica modal normales un conjunto de f´ormulas modalesL tal que
1. contiene todas las instancias de sustituci´on de las tautolog´ıas 2. contiene todas las f´ormulas de la forma
(K) 2(ϕ→ψ)→(2ϕ→2ψ).
3. contiene todas las f´ormulas de las fomas 2α ↔ ¬3¬α y 3α ↔ ¬2¬α,
4. est´a cerrado bajo Modus Ponens: si ϕ, ϕ→ψ∈L, entoncesψ∈L 5. est´a cerrado bajo Necesidad: si ϕ∈L, entonces2ϕ∈L,
6. est´a cerrado bajo instancias de sustituci´on: si ϕ ∈ L y ψ es una instancia de sustituci´on de ϕ, entoncesψ∈L.
Ejemplos:
1. Para cada clase de marcos F,L(F) es una l´ogica modal normal. 2. El conjunto de todas las f´ormulas modales es una l´ogica modal
nor-mal
Una l´ogica modal normal Les una subl´ogicade una l´ogica modal nor-mal L0 siL⊆L0; es este caso tambi´en decimos que L0 es una extensi´onde L.
Las f´ormulas que pertenecen a una l´ogica modal normal L se llaman a menudo losteoremasde L.
Lema 59. Si {Li :i∈ I} es una colecci´on no vac´ıa de l´ogicas modales
normales entonces T
i∈ILi es una l´ogica modal normal.
Puesto que hay l´ogica modales normales (por ejemplo el conjunto de todas las f´ormulas modales), hay la menor l´ogica modal normal, que es la intersecci´on de la familia de todas las l´ogicas modales normales. Se denota por K en honor a Saul Kripke.
