(Tomado del texto: Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Sergio Alarcón Vasco, Maria Cristina González Mazuelo, Hernando Manuel Quintana Ávila)

(Tomado del texto: Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Sergio Alarcón Vasco, Maria Cristina González Mazuelo, Hernando Manuel Quintana Ávila)

EJERCICIOS DE REPASO

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

1. Dada la siguiente gráfica de f indique los puntos donde no es derivable, esto es, donde f

 

x no existe y explique la razón.

2. Determine si f

 

x  x es derivable en x0. 3. Determine si f

 

0 existe para f

 

x  x. 4. Determine si f

 

 2 existe para f

 

x tanx. 5. Determine si f

 

x  Ln

 

x es derivable en x0. 6. Demuestre que f

 

x  x6 no es derivable en x6.

x y

7.-20 Dadas las siguientes funciones, determine f

 

x a partir de la definición de derivada como un límite. 7. f

 

x 176x 8. f

 

x 7x2 5 9. f

 

x 28x5x2 10. f

 

x x3 x 11.

 

x x f 2 1  _12.

_{ }





2 3 1  x f 13. f

 

x  3x1 14.

 

2 1    x x x f 15. f

 

x  x 16.

 

x x x f  1₂  17.

 

₂ 1 3 x x f   18.

 

1   x x x f 19. f

 

x Senx 20. f

 

x Cosx

31. f

 

x x2Senx _32.   Cosx Lnx x f  33. f

 

x 

e

xTanx 34.

 

3 x Secx x f  35. f

 

x 



x2 1



Lnx 36.

 

1 2 2  x x f x e 37. Dada f

 

x x2 5x6

a. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a f

 

x

b. Determine la pendiente de la recta tangente a f

 

x

en x4

c. Hallar la ecuación de la recta tangente a f

 

x en el

punto

 

4,2

d. Determine las coordenadas del punto sobre f

 

x

para el cual la recta tangente es horizontal. e. Determine las coordenadas del punto sobre f

 

x

para el cual la pendiente de la recta es 3 y halle la ecuación de dicha recta.

38. Si h

 

x x2 12x35

a. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a h

 

x

c. Determine las abscisas de los puntos sobre h

 

x para los cuales la recta tangente sube, esto es, donde es la pendiente positiva.

d. determine las abscisas de los puntos sobre h

 

x para los cuales la recta tangente baja, esto es, donde la derivada es negativa.

e. Determine h

 

2 , h

 

4 , h

 

6 , h

 

8 , h

 

10

f. Grafique las rectas tangentes a h

 

x en x2, x4,

6 

x , x8 y x10

g. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproximada de

 

x h

39. Si g

 

x  x315x272x3

a. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a g

 

x

b. Determine g

 

3 , g

 

4 , g

 

5 , g

 

6 y g

 

7

c. Grafique las rectas tangentes a g

 

x en x3, x4,

5 

x , x6 y x7

d. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproximada de

 

x g

40. Si

 

x x

41. Sea g

 

x 

e

xSenx

a. Determine la pendiente de la recta tangente a g

 

x

en x0

b. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

 

x

g en el punto

 

0,0

42. Si h

 

x  xLnx

a. Determine la pendiente de la recta tangente a h

 

x

en x1

b. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

 

x

h en el punto

 

1,0

c. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

 

x

h y que es paralela a la recta con ecuación 0

2 3xy 

43. El volumen de agua en un tanque que se esta llenando está dada por:

 

t 240t50

V

donde V

 

t está expresada en litros y t en horas.

a. Halle una expresión general para la velocidad de llenado del tanque en cualquier momento.

b. Cuánta agua entra al tanque cada hora?

44. La posición de un carrito de cuerda sobre una pista recta está dada por:

 

t 3t9

donde S

 

t está expresada en centímetros y t en segundos.

a. Halle una expresión general para la velocidad del carrito en cualquier instante.

b. ¿Cuál es la velocidad del carrito a los 20 segundos de iniciado el movimiento?

c. ¿Y cuál es su aceleración?

45. La altura H

 

t con respecto al suelo de una pelota que se deja caer libremente desde un edificio está dada por:

 

2 9 . 4 50 t t H  

donde H

 

t está expresada en metros y t en segundos. a. Halle una expresión general para la velocidad de la

pelota en cualquier instante.

b. ¿Cuál es la velocidad de la pelota a los 2 segundos? c. ¿Cuándo llega la pelota al suelo?

d. ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo?

e. Halle una expresión general para la aceleración de la pelota en cualquier instante.

f. ¿Cuál es la aceleración de la pelota a los 2 segundos? 46. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de112pies /seg, su altura con respecto al suelo después de t segundos está dada por:

 

2

16

112t t

t

H  

c. ¿Cuándo cae al suelo?

d. ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando cae al suelo? e. Halle una expresión general para la aceleración de la

pelota en cualquier instante.

47-76 Funciones que se presentan a continuación utilizando la regla de la cadena. 47. f

  

x  2x5



3 48. f

 

x 



3x2 5x3



5 49. f

 

x  x3x2 50.

 



2



32 1 2    x x x f 51.

 



2



4 1 2    Cos x Cosx x f 52.

 

3 Senx x x f   53. f

 

x Sen



2x1



54. f

 

x Cos2x 55. f

 

x Ln



x2 4



56. f

 

x 

e

5x2 57. f

 

x Tanx2 58. f

 

x 

e

x3 59. f

 

x Ln 9x2 3 60. f

 

x Sec



4x2 9x



3 61. f

 

x 

e

x28 62. f

 

x 

e

xCos



2x5



63.

 







2 9



9 2    x Csc x Ln x f _64.

 

5





3 2 3  Sen x x f 65. f

 

x Cot2



2x3 4x5



3 66. f

 

x Csc

   

3x2 Ln3x2

67. f

 

x 

e

x Cos2

 

5x 68. f

 

x Senx2 Sen2x

73.

 

        x xCot x x f 5 2 3 1 74.

 

1 2 2   x Cot x Csc x f 75.

 

12 1 2 Tanx x f 

_e

x  76.

 

x Sec x Ln x f 2 2 2 1  77-94 Encuentre dx dy

por derivación implícita.

77. 4x2 9y2 36 78. xy2x3x2 4 79. x3 x2y4y2 6 80. x2 2xy y3 C 81. xy  yx0 82. 2 3 1 y x 83. 3 x2 y 1 84. 4CosxSeny1 85. y x y x

e

  86.

e

xy 2y3 5x2 11 87. x

_e

y 3xLn



y1



3 88.

 

2 1xSen xy 89. ysenx2 xseny2 90. y

e

x x

e

y 1 91.

e

xSenyx

e

y 92. Sen



x y



 ySenx

93. x y Cosy

y

x _ 2 2 _

94.

e

xSeny

e

yCosx

95-104 Hallar una ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones dadas en el punto indicado.

97. f

 

x Ln



x2 1



en P

 

0,0 98. f

 

x Tanx 2Senx en       0 , 4  P 99. 6x2 2xy y3 9 en P



2,3



100. x2  y2 25 en x3 101. y



x2



e

x 5Lnx2 en P

 

1,3 102. y53Cos6x en

 

,1 3  P 103. yCscxSenx en





2 5 , 6  P 104. y3Ln



`x1



TanxSecx en P

 

,0

105-112 Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos sobre la gráfica de f para los cuales la recta tangente es horizontal. 105 f

 

x  x2 4x5 106 f(x)sen2x 107 f(x) x2 4x5 108 x2y22x4y 109 16x2 25y2 36 110 f(x)32cos4x 111 f(x)

e

xsenx 112 f(x)senxx Aplicaciones de la derivada Gráfica de funciones

a. Determine el dominio de la función.

b. Encuentre las asíntotas verticales y/o horizontales si las tiene.

c. Determine las coordenadas de los interceptos con los ejes. d. Determine las coordenadas de los puntos críticos.

e. Halle los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

f. Determine las coordenadas de los puntos de inflexión. g. Halle los intervalos donde la función es cóncava hacia

arriba y cóncava hacia abajo.

h. De acuerdo con la información obtenida en los numerales anteriores, realice la gráfica de f

 

x .

i. Determine el rango de la función.

129

 

4 2 1 x Cos x f 130 f

 

x  x

e

2x 131 f

 

x x2Lnx 132 f

 

x 

e

xSenx Problemas de optimización: máximos y mínimos

133 En una central de abastos, el precio del fríjol por Kg varia durante el año de acuerdo con el siguiente modelo.

 

t 37.5t2 300t 3800

P

Donde t está expresada en meses a partir del primero de enero y P

 

t en pesos.

a. ¿En qué mes el precio del fríjol registros su mínimo valor?

b. ¿Cuál es el precio mínimo registrado?

134 La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parábola tal como se muestra a continuación.

 

x H

La altura Hdel techo medida en metros con respecto al

piso está dada por

 

3

3 2 18 1 2     x x x H

Donde x representa el ancho del auditorio, medido desde una de los muros del mismo.

a. ¿A qué distancia de x horizontal medida desde uno

de los muros el techo tiene su altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima del techo?

135 En un cultivo de mangos, el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente, de acuerdo con el siguiente modelo matemático:

 

t sen t

N 32501550 3

Donde N

 

t representa el número de mangos cosechados y t el número de años transcurridos a partir del 2005. a. ¿Cuándo se da la mayor cosecha?

b. ¿Cuál es la cantidad máxima de mangos cosechados durante el año?

136 Una cadena de televisión realizó una encuesta sobre el rating de sus novelas entre las 5:00 pm. y la media noche. La expresión:

 



2 27 108 240



8 1 3  2    t t t t R

a. ¿A qué horas entre las 5:00 pm. y la media noche ven las novelas del canal el mayor número de personas?

b. ¿A qué horas el menor número de personas?

c. ¿Cuál es el mayor porcentaje de sintonía del canal entre las 5:00 pm. y la media noche?

137 El ritmo aeróbico de una persona de x años está representado por:

 

110 2 Para x10años x Lnx x A

¿A qué edad se maximiza la capacidad aeróbica?

138 En una finca se pretende destinar un área rectangular de

2

2250 m para un potrero. Si al potrero hay que colocarle un cerramiento compuesto por 3 líneas de alambre de púas:

a. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del potrero para que la cantidad de alambre de púas necesarias para el cerramiento sea mínima?

b. ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesita para el cerramiento?

a. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener la lata para que la cantidad de metal utilizada en su fabricación sea mínima?

b. ¿Cuál es el área de metal necesaria para la fabricación de la lata?

140 Se va a construir un tanque rectangular abierto de base cuadrada y un volumen de 32m3. Si el costo por metro cuadrado de la base es de $150.000 y para los lados es de $100.000 encontrar las dimensiones del tanque para que el costo de construcción sea mínimo.

141 Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal tal como se muestra en la figura

Si se considera que la capacidad de drenaje del canal depende directamente de la sección transversal del mismo, ¿cuál debe ser el ángulo  para obtener la máxima capacidad?

142 A la 1:00 pm el barco A se encuentra a 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15 millas por hora. El barco B viaja hacia el oeste a 10 millas por hora.

cm 50

h 

¿A qué hora será la mínima distancia entre los dos barcos?

143 Un conductor viaja por la autopista y observa que el tráfico adelante está detenido, por lo que aplica los frenos. La distancia recorrida por el automóvil durante el frenado está representada por:

 

t t t t S 2 80 3 4 3 2   

Donde S

 

t está dada en pies y t en segundos.

a. Halle una expresión general para la velocidad de frenado del automóvil.

b. ¿Cuál es la velocidad del auto después de 2 segundos?

c. ¿Cuánto demora el auto en detenerse?

d. ¿Cuál era la velocidad del vehiculo cuando pisó el freno?

e. Halle una expresión general para la aceleración del automóvil.

f. ¿Cuál fue la aceleración del auto a los 2 segundos? g. Trace las curvas que representan la velocidad y la

aceleración de frenado del automóvil.

144 El desplazamiento de una cuerda que vibra está representado por:

 

t sen



t



S 10 4 1 10 

a. Halle una expresión para la velocidad de la cuerda después de t segundos.

b. ¿Cuál es la velocidad de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración?

c. Halle una expresión para la aceleración de la cuerda después de t segundos.

d. ¿Cuál es la aceleración de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración?

145 En ciertas circunstancias, una información enviada por correo electrónico se esparce según la ecuación:

 

_t

e

t P _0.5 10 1 1   

Donde P

 

t representa la población (medida en porcentaje) que conoce la información después de un tiempo t (medido en minutos).

a. Halle una expresión para la velocidad a la cual viaja la información para cualquier tiempo t .

Problemas de razones de cambio de variables relacionadas

147 Un niño que vuela una cometa, suelta el hilo a razón de seg

pies

2 , mientras la cometa se mueve

horizontalmente a una altura de 100pies. Suponiendo que el hilo no se pondera, encuentre la velocidad con la que se mueve la cometa en el momento en que se han soltado 125pies de hilo.

148 Se bombea gas a un globo esférico a razón de 5m3 min. Si la presión se mantiene constante, ¿cuál es la razón de cambio del radio cuando el diámetro mide 180cm. 149 Un vehículo que viaja hacia el norte a 60Km h y un

camión que viaja al este a 45Km h se alejan de una intersección al mismo tiempo. ¿A qué velocidad cambia la distancia entre ellos 2 horas mas tarde?

150 Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto, A medida de que se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.005cm min y

min cm 002 .

0 respectivamente. ¿A razón de cuantos min

cm3 aumenta el volumen de la barra en el momento de que esta mide 40cm. de la largo y 3cm. de diámetro.

(Nota: si el faro da 1 vuelta cada 15 segundos, entonces da 4 vueltas por minuto, por tanto, el ángulo que se forma entre el rayo de luz y la recta trazada del faro a P cambia a razón de 8 rad por minuto).

152 Un avión vuela con una velocidad constate a una altura de 3000mts a lo largo de una trayectoria que lo hará pasar exactamente arriba de un observador que está en el suelo. En un instante dado el observador nota que el ángulo de elevación al avión es de 60 grados y que este aumenta a razón de 1 grado por segundo. ¿Cuál es la velocidad del avión en ese instante?

154. En la mañana de un día en el que el sol pasará exactamente por el cenit, la sombra de un edificio de 24mts sobre suelo mide 18mts de largo. En ese mismo instante el ángulo  que el sol forma con el suelo crece a razón de

min º 27 .

0 . ¿Con qué rapidez decrece la sombra?

