COMBINATORIA
La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia el número de posibilidades de ordenación de los elementos de un conjunto.
Principio de multiplicación
Si en una elección múltiple existen n1 posibilidades para la primera elección, n2para la segunda, n3 para
la tercera, y así sucesivamente, hasta nkpara la última, el número total de posibilidades es:
N = n1· n2· n3· ... · nk
Ejemplo:En una tienda tienen las siguientes prendas: 4 tipos distintos de camiseta, 3 tipos de pantalones y 2 tipos de calzado. ¿Cuántos grupos de prendas podemos elegir para vestir?
N = 4 · 3 · 2 = 24 conjuntos de ropa diferentes.
Diagrama de árbol
VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
m = node elementos que disponemos y n = node elementos que cogemos.
IMPORTA EL ORDEN: NO IMPORTA EL ORDEN: Variaciones y permutaciones Combinaciones
VARIACIONES m 6= n COMBINACIONES
Vmn= Vm,n= m · (m − 1) · (m − 2) ... Cmn = Cm,n = mn = n!·(m−n)!m!
SIN (se multiplica por n veces) REPETICIÓN PERMUTACIONES n = m Pn= n! = n · (n − 1) ... 1 VARIACIONES m 6= n COMBINACIONES CON V Rnm = V Rm,n= mn CRnm= CRm,n = Cm+n−1n REPETICIÓN PERMUTACIONES m = n P Rn1,n2,...,nk m = n m! 1!·n2!...nk! Permutaciones
Permutación de n elementos: número de grupos de n elementos que se pueden formar, es decir, a las diferentes ordenaciones en que se pueden colocar todos esos n elementos.
Permutaciones con repetición den elementos: en las que el primer elemento se repite n1veces, el segundo
n2veces, ... hasta el último que se repite nkveces (n1+ n2+ ... + nk= n) son el número de las distintas
formas que hay de ordenar estos elementos de manera que estos aparecen repetidos n1, n2, ... nkveces.
Variaciones
Variaciones dem elementos tomados de n en n (n ≤ m) son el número de formas distintas que tenemos de ordenar los n elementos tomados de entre un total de m sin repetir ninguno.
Variaciones con repetición dem elementos tomados de n en n son el número que indica cuantos son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos disponibles.
Combinaciones
EJERCICIOS
1. (página 254) Una chica tiene 3 faldas y 5 blusas. ¿Cuántas combinaciones distintas de falda y blusa puede ponerse?
Por le principio de multiplicación N = 3 · 5 = 15 combinaciones. 3. (página 254) Utiliza los siguientes dígitos y contesta: 2, 4, 6 y 8.
a) ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse? 4 posib. 4 posib. 4 posib.
Por le principio de multiplicación, N = 4 · 4 · 4 = 64 números de tres cifras.
b) ¿Cuántos números, de tres cifras, que no tengan ninguna cifra repetida? 4 posib. 3 posib. 2 posib. Por le principio de multiplicación, N = 4 · 3 · 2 = 24 números con ninguna cifra repetida.
c) ¿Cuántos números de tres cifras, que tengan un solo dígito repetido?
Nos piden que dos de los tres dígitos sean iguales. Con números de tres cifras hay tres posibilidades: todos los dígitos distintos, dos dígitos iguales o los tres dígitos iguales.
Con los cuatro dígitos que nos proporcionaron, hay un total 64 números distintos. 4 de ellos tienen los tres dígitos iguales, es decir, tenemos el 222, 444, 666, 888. Por último, 24 no tienen ningún dígito repetido.
Por lo tanto, tendremos que 64 − 24 − 4 = 36 números tienen un dígito repetido.
5. (página 255) ¿Cuántos menús puede elaborar Juan con estos platos? Realiza el recuento con la ayuda de un diagrama de árbol.
PRIMER PLATO SEGUNDO PLATO POSTRE Menestra de verduras Pollo en salsa Fruta Frijoles con arroz Salmón a la plancha Natillas Ensalada templada Albóndigas Tarta de queso Tallarines al pesto Cuajada con miel
8. (página 255)¿Cuántas banderas distintas se pueden formar con 3 franjas horizontales de color azul, blanco o verde? Realiza un diagrama de árbol para ver todas las posibilidades teniendo en cuenta que dos franjas del mismo color no pueden estar juntas.
10. (página 257) En una liga de baloncesto escolar participan 12 equipos. Cada equipo juega contra todos los demás, a doble vuelta. ¿Cuántos partidos se disputan en total?
Paso 1 Los partidos son de 2 equipos, n = 2, habiendo un total de 12, m = 12.
Paso 2 ¿Importa el orden? Si, al ser de doble vuelta, el partido A - B 6= B - A, siendo A y B dos equipos. Como importa el orden, pueden ser variaciones o permutaciones.
Paso 3 ¿Variación o permutación? Como m = 12 y n = 2, m 6= n, entonces serán variaciones.
Paso 4 ¿Con o sin repetición? Ya que no puede haber un partido que sea jugado solo por un equipo (ejem-plo: Obradoiro contra Obradoiro), tiene que ser sin repetición.
Por lo tanto, serán VARIACIONES SIN REPETICIÓN.
V12,2= 12 · 11 = 132 partidos se disputan en total.
11. (página 257) Con las letras de la palabra BURGOS:
a) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar?
Paso 1 Tenemos 6 elemento, m = 6s que son {B, U, R, G, O, S} y queremos agruparlos en 4, n = 4 para formar palabras con cuatro letas _ _ _ _.
Paso 2 ¿Importa el orden? Si, ya que no es lo mismo la “palabra” BU RG 6= U BRG. Será por lo tanto, variación o permutación.
Paso 4 ¿Con o sin repetición? Ya que no nos especifican nada, puede ser con repetición: VARIACIO-NES CON REPETICIÓN.
V R6,4 = 64 = 1296 palabras distintas.
b) ¿Cuántas de ellas tienen alguna letra repetida?
Primero, vamos a calcular aquellas “palabras” que no tienen letras repetidas. Es decir, los pasos 1, 2 y 3 del apartado anterior serán los mismos. Pero escogemos, en el Paso 4, VARIACIONES SIN REPETICIÓN.
V6,4= 6 · 5 · 4 · 3 = 360 palabras sin letras repetidas.
Por lo tanto, el número de “palabras” que tienen alguna letra repetida es 1296 − 360 = 936. 16. (página 258) ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en un coche si...
a) ... todos tienen carnet de conducir?
Paso 1 Tenemos m = 5 elementos, las cinco personas del coche. Queremos distribuírlas entre los 5 asientos de un coche ya que todos tienen carnet de conducir, entonces n = 5.
Paso 2 ¿Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 ¿Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 5 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 ¿Con o sin repetición? Deben de ser sin repetición ya que una persona no puede estar sentada
en dos sitios. Tenemos entonces, PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. P5= 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 maneras distintas de sentarse.
b) ... solo una de ellas tienen carnet de conducir?
Paso 1 Tenemos m = 4 elementos, las cuatro personas del coche que no conducen (ya que la persona que conduce solo podrá sentarse en el sitio del conductor). Queremos distribuírlas entre los 4 asientos restantes, entonces n = 4.
Paso 2 ¿Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 ¿Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 4 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 ¿Con o sin repetición? Deben de ser sin repetición ya que una persona no puede estar sentada
en dos sitios. Tenemos entonces, PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. P4= 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras distintas de sentarse.
c) ... hay dos que tienen carnet de conducir?
Hay dos personas que saben conducir y suponemos que una de ellas se sienta en el sitio del con-ductor. Ahora tendríamos el mismo problema que en el apartado anterior. n = 4 = m. Por lo tanto, serían 24 maneras de sentarse.
Ahora nos fijamos en las dos personas que se pueden sentar en el asiento del conductor. Se pueden sentar de dos formas, P2= 2! = 2.
18. (página 259) En el código morse, los caracteres están formados por dos símbolos: punto y raya. Por ejemplo, los dígitos del 0 al 9 se representan mediante grupos de 5 símbolos:
¿Cuántos caracteres distintos se pueden formar con grupos de 3 rayas y 2 puntos, como el número 2 o el número 8?
Paso 1 Tenemos m = 5 elementos (3 rayas y 2 puntos). Queremos ordenarlos en distintas posiciones _ _ _ _ _, por lo que n = 5. Entonces n = 5 = m.
Además, sabemos que las rallas se repiten 3 veces, n1 = 3, y los puntos 2 veces, n2 = 2.
Paso 2 ¿Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 ¿Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 5 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 ¿Con o sin repetición? Como sabemos el número de veces que se repiten las rallas n1 = 3 y los
puntos n2= 2, tenemos entonces, PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
P R3,25 = 5!
3! · 2! = 10 caracteres distintos.
24. (página 260) Para aprobar un examen de 5 preguntas es necesario contestar bien a tres de ellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir las tres preguntas?
Paso 1 Tenemos m = 5 preguntas. Y debemos contestar bien a tres de ellas, entonces n = 3
Paso 2 ¿Importa el orden? No, no importa el orden con que contestes las preguntas. Por lo tanto serán combinaciones.
Paso 3 ¿Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no podemos hacer una pregunta dos veces, hay que hacer tres distintas.
C5,3 =
5!
3! · (5 − 3)! = 10 formas distintas de escoger las ppreguntas.
25. (página 260) Ocho equipos llegan a cuartos de final en un campeonato. ¿Cuántos partidos diferentes se pueden dar?
Paso 1 Tenemos m = 8 equipos. Un partido está formado por 2 equipos, por lo tanto n = 2. Paso 2 ¿Importa el orden? No, no importa el orden (los partidos no son de ida y vuelta)
Paso 3 ¿Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no se puede jugar un partido con el mismo equipo. C8,2 =
8!
Ejercicio En una heladería tienen 12 sabores distintos.
a) ¿Cuántos cucuruchos de 2 sabores distintos se pueden elegir?
Paso 1 Tenemos m = 12 sabores. Un helado está formado por 2 sabores distintos, por lo tanto n = 2. Paso 2 ¿Importa el orden? No, no importa el orden.
Paso 3 ¿Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no me dice que se pueden repetir dos sabores. C12,2=
12!
2! · (12 − 2)! = 132
2 = 66 combinaciones de helados. b) ¿Y si se pueden repetir los sabores?
Paso 1 Tenemos m = 12 sabores. Un helado está formado por 2 sabores distintos, por lo tanto n = 2. Paso 2 ¿Importa el orden? No, no importa el orden.
Paso 3 ¿Con o sin repetición? Con repetición, ya que se pueden coger sabores repetidos. CR12,2= CR13,2=
13!
