A2.2 Ecuación de equilibrio dinámico para un sólido discreto

(1)

A

2

2 E

E

c

u

a

c

i

ó

n

d

e

E

q

u

i

l

i

b

r

i

o

d

i

s

c

r

e

t

i

z

a

d

a

p

a

r

a

E

l

e

m

e

n

t

o

s

F

i

n

i

t

o

s

A2.1 Introducción.

Para abordar el estudio de la modelización numérica del comportamiento materiales compuestos es necesario considerar al material no solo como un material mismo, sino como una estructura. Esta estructura se estudia a través de la mecánica de los medios continuos y la teoría de elementos finitos para contemplar los fenómenos de no linealidad que pueden aparecer ya que el sistema que conforma esta estructura es no conservativo.

La dinámica de estructuras estudia el equilibrio estructural a lo largo del tiempo entre las acciones externas, las fuerzas elásticas, las fuerzas másicas y las fuerzas de amortiguamiento, para un sistema estructural discreto en forma de puntos vinculados internamente entre sí y todos ellos a un sistema de referencia fijo1_.

Existen varias razones por las que el comportamiento del sistema de puntos puede ser no lineal. Si los vínculos que existen entre los puntos que conforman al sistema no son elásticos la estructura tendrá un comportamiento no lineal disipativo. Si los vínculos que existen entre los puntos son de carácter viscoso y dan lugar a fuerzas de amortiguamiento dependientes de la velocidad del sistema, el comportamiento es no lineal disipativo por

influencia de la viscosidad. Si existen grandes movimientos y el sistema trabaja fuera de su

configuración geométrica se dará lugar a un comportamiento cinemático no lineal y se profundiza en el caso de que ocurran también grandes deformaciones.

Se planteará la ecuación de equilibrio dinámico para un sólido y se discretizará para su resolución mediante Elementos Finitos.

A2.2

Ecuación de equilibrio dinámico para un

sólido discreto

La ecuación de equilibrio dinámico de un sólido discreto sometido a acciones externas variables a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la primera ley de la termodinámica2_{y conocimientos de elementos finitos.}

(2)

La primera ley de la termodinámica se puede expresar en función de la cantidad de energía global interna, la potencia deformativa y la potencia calórica:

d prop V P Q W dt dW dV dt d ₌ ₌ ₌ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ •

∫

ρω (A¡Err or! No se encue ntra el origen de la referen cia..1) siendo: •

W El cambio de energía interna que _{experimenta el cuerpo}

d

P La potencia mecánica deformativa

prop

Q La potencia no-mecánica o cantidad de

calor propio

o puede expresarse en función de la potencia introducida, la potencia cinética y la potencia deformativa: • − =P K P_d _int (A¡Err or! No se encue ntra el origen de la referen cia..2) siendo: d

P La potencia mecánica deformativa

int

P La potencia introducida

•

K La potencia cinética

Puede escribirse entonces:

• − = = −

∫

dV Q P P K dt d d prop V int ρω (A¡Err or! No se encue ntra el origen de la referen cia..3)

(3)

Cinética Pot. a Introducid Pot. a Deformativ Pot. V Mecánica Pot. V V int V

∫

∂ ∂ ρ − ρ + = σ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ρ − ω ρ − = = − ρω V i i V i i S i i ij ij S i i d prop dV t u u dV u b dS u t dV D dS n q dV r dV K P P Q dV dt d (A2.4)

Donde la velocidad de deformación, ahora incremento temporal de deformación, puede escribirse como D_ij =

{ }

= S ij L

{ } {

j _S ij kj

}

_S S iu F F 1 − =

∇ , que sustituida en la anterior, resulta el equilibrio de potencias en un sólido continuo,

∫

σ ∇ = + ρ − ρ ∂_∂ V i i V i i S i i j S i ij dV t u u dV u b dS u t dV u V (A2.5) A continuación se utiliza el concepto de aproximación polinómica del campo continuo de desplazamientos uj

(

x,y,z

)

o velocidades uj

(

x,y,z

)

, mediante una función polinómica normalizada Njk(x,y,z) de soporte local que recibe el nombre de función de forma.

(

)

e jk k e j x y z N x y z U u Ω Ω = ( , , ) , , ⇒ uj

(

x,y,z

)

_Ωe =Njk(x,y,z)Uk _Ω_e (A2.6) Esta función , que actúa sobre un dominio acotado denominado elemento

finito, permite aproximar dentro de dicho dominio los campos de desplazamientos

, velocidades y aceleraciones mediante la valoración de sus respectivas magnitudes , , en un número finito de puntos, denominado nodos, pertenecientes al dominio del elemento finito

) , , (x y z Njk e Ω ) , , (x y z uk uk(x,y,z) uk(x,y,z) k U U_k U_k e

Ω . De esta forma puede establecerse los campos derivados del desplazamiento, como lo es entre otros la deformación de Almansi

. Esto es, k S i ik u e =∇

(

)

e jk k e j x y z N x y z U u Ω Ω = ( , , ) , , jk k _e S i e j S i e ij u N U e Ω Ω Ω =∇ =∇ ⇒ _(A2.7)

Se denomina método de los elementos finitos5_{al procedimiento numérico que surge de} utilizar esta aproximación polinómica para las funciones de campo. Esta aproximación reduce las infinitas incógnitas de la función de campo a un número finito de incógnitas, definidas en ciertos puntos preestablecidos como nodos del elemento finito.

Sustituyendo la aproximación (A2.6) y (A2.7) en la ecuación (A2.5), puede escribirse la ecuación de equilibrio de potencias a partir de la siguiente aproximación

k e e e V j ij ki e V ik i e S ik i e k e jk S i ij N dV U t N dS bN dV N N U dV U _Ω Ω Ω Ω ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ρ − ρ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ σ

_∫

∫

e V (A2.8) Pero esta ecuación se cumple para cualquier velocidad Uk _Ωe, por lo tanto la igualdad establecida en la ecuación (A2.8) es independiente de esta velocidad, obteniéndose de aquí la siguiente ecuación de equilibrio dinámico para el sólido discreto

(4)

e k e j e kj e e V ij ki e k e e V ik i e S ik i e k e e ijk jk S i ij f U M dV N N f dV N b dS N t f dV N Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ⋅ ρ − ρ + = ∇ σ

_∫

∫

mas ext int e V B (A2.9) siendo fk _Ω_e int _, e k f Ω mas _y e k f Ω

ext _{los conjuntos ordenados, en forma de matrices columna,} de las fuerzas interna, másica y externa que se desarrollan en cada punto del sistema discreto que aproxima el continuo, Uj _Ωe la aceleración en dichos puntos, Mkj_Ω_ela masa

elemental y jk e

S i e

ijk _Ω =∇ N _Ω

B el tensor de compatibilidad de deformaciones o gradiente simétrico de la función de forma.

La ecuación (A2.9) representa la ecuación elemental de equilibrio dinámico en la configuración

actualizada, que expresada en la configuración de referencia adquiere la siguiente forma,

e k k j kj e j e e V ij ki e e V ik i e S ik i e e jk S i ij f f U M U dV N N dV N b dS N t dV N S 0 ext int 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 0 Ω ∈ = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ Ω Ω Ω Ω

∫

(A2.10)

siendo Mkj la matriz de masa, Sijla tensión de Piola Kirchoff , ρ0, y la densidad, el volumen y la superficie del sólido en la configuración referencial (ver ¡Error! No se

encuentra el origen de la referencia.).

0

V S0

Desde un punto de vista mecánico-numérico, la no linealidad en la ecuación (A2.9) o (A2.10) puede estar originada por distintos fenómenos,

- No linealidad constitutiva, que resulta de la pérdida de linealidad entre el campo

de tensiones y deformaciones σij- (o - para la configuración de referencia), tal como ocurre en la plasticidad, daño etc. Esta no linealidad ocurre debido al cambio de propiedades que sufre el material durante su comportamiento mecánico y se refleja en su tensor constitutivo .

ij

e S_ij E_ij

ijkl

C

- No linealidad por grandes deformaciones, que es debida a la influencia no lineal

que tiene el cambio de configuración del sólido en el campo de deformaciones,. Este cambio de configuración también altera el tensor constitutivo , y por ello establece una relación no lineal entre tensiones y deformaciones. Además, estos cambios de configuración son producidos por grandes movimientos, traslaciones y rotaciones, que también producen cambios en el sistema de referencia local en los puntos del sólido, afectando por ello al tensor de compatibilidad de deformaciones

ijkl

C

ijk

B .

- No linealidad por grandes desplazamientos, que a diferencia de las grandes

(5)

porque en este caso sólo ocurren cambios en el sistema de referencia local de los puntos del sólido como consecuencia de grandes movimientos.

Estas posibles no linealidades que pueden ocurrir todas juntas o por separado, se resumen en la forma que se muestra en el siguiente cuadro descriptivo,

No linealidades posibles en:

ij σ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ • • . B tensor el en refleja se que sólido, del geométrica ión configurac la en cambios por linealidad No ión. configurac de cambios por , vo constituti tensor el en cambios a debido nes deformacio y tensiones entre lineal no a Dependenci entos. desplazami los y o nes deformacio las entre lineal no a Dependenci : vo constituti tensor el en cambios a debido nes, deformacio y tensiones entre lineal no a Dependenci ijk ijkl ij ij ijkl E e C C nes Deformacio Grandes : va Constituti Linealidad No ijk B - ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧• . B nes deformacio de idad compatibil de tensor al afecta sólo porque nes, deformacio grandes en problema del parte una representa Sólo ijk : entos Desplazami Grandes

La ecuación (A2.9) (o la (A2.10) para la configuración de referencia) representa el equilibrio en el dominio elemental _Ωe_{, y su participación en dominio global se realiza a}

través del “ensamblaje” de esta ecuación de equilibrio, utilizando el operador lineal

Ω

Α

que representa la suma entre las componentes de la fuerza, según corresponda a la posición y dirección de las contribuciones locales5_.

A2.2.1 Problema No-Lineal – Linealización de la Ecuación de Equilibrio.

En el caso que haya linealidad en el comportamiento del sólido, se cumple la siguiente relación de equilibrio global, cuya expresión resulta del ensamblaje de las ecuaciones de equilibrio local representadas en la ecuación (A2.9) (o la (A2.10)

[

+

]

Ω _Ω Ω − =∆ =

Α

_k _k _k e _k e f f f f ext int mas 0 _(A2.11)

La no linealidad en el comportamiento global del sólido se manifiesta como una fuerza residual ∆f_k _Ω, provocada por el desequilibrio entre las fuerzas interiores

Ω int k f , las fuerzas másicas Ω mas k f y las exteriores Ω ext k

f . Este desequilibrio, en un cierto instante de

tiempo “t” del proceso dinámico, puede eliminarse mediante la linealización de esta fuerza

residual ∆fk _Ω (A2.11), en la vecindad del estado de equilibrio actual (i+1). Para ello es

(6)

necesario forzar el equilibrio en el estado actual (i+1) y expresar dicha condición mediante

una expansión en serie de Taylor truncada en su primera variación,

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∆ ≅ ∆ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∆ ∂ + ∆ ≅ ∆ = Ω + Ω Ω Ω Ω + Ω + Ω Ω Ω Ω Ω + Ω

Α

t e r i t e r k r j j k r k r j kj i e t k i t k i t e r i t e r k i e t e k i e t e k i e U U f U U U f U f U U M f f U U f f f 1 ext int int 1 1 1 0 ) ( 0 (A2.12)

donde la aceleración y la velocidad deben expresarse mediante una aproximación lineal en diferencias finitas, ver más adelante, en el apartado (B3.3.21), el método de Newmark como un ejemplo de esta aproximación. Sustituyendo en esta ecuación las fuerzas internas y másicas expresadas en la ecuación (A2.9) (En forma análoga puede procederse con la ecuación (A2.10) ), se tiene,

[

]

t e r i e t e r k r m jk S i ij m jk S i ij r r j e V ij ki i e t e k jk S i ij j kj i e U U f U U dV N U dV N U U U dV N N f dV N U M Ω + Ω Ω Ω Ω Ω ∆ ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ σ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ σ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ∇ σ + =

Α

∫

1 ext e V e V ext e V 0

[

]

t e r i e t e r k r m jk S i m st st ij jk S i r st st ij r j e V ij ki i e t e k jk S i ij j kj i e U U f U U dV N U D D dV N U e e U U dV N N f dV N U M Ω + Ω Ω Ω Ω Ω ∆ ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∂ ∂ ∂ σ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∂ ∂ ∂ σ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ∇ σ + =

Α

∫

1 ext e V e V ext e V 0

Tal que particularizando esta ecuación de equilibrio dinámico para un material cuya ley constitutiva visco elasto-plástica es del tipo σ_ij =ρ(∂Ψ(e_ij,p_i)/∂e_ij)= C_ijkl :e_kle +ξ_ijkl :D_kl

para una relación cinemática del tipo , y

(7)

(

) (

)

(

) (

)

[

]

[ ]

[

]

t r i t T kr i t k i t e r i e t e r k r m jk S i T ijst tr S s jk S i T ijst tr S s r j e V ij ki i e t e k jk S i ij j kj i e U f U U f U U dV N N dV N N U U dV N N f dV N U M J Ω + Ω Ω Ω + Ω Ω Ω Ω Ω ∆ ⋅ + ∆ = ∆ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∇ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∇ + + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ∇ σ + =

Α

∫

1 1 ext e V e V ext e V 0 ξ 0 C _(A2.13)

donde es el tensor de viscosidad tangente y es el operador jacobiano tangente. Esta ecuación puede también presentarse en la siguiente forma matricial, donde se detallan los operadores que contribuyen a la definición del jacobiano,

T T ijst =ξ ξ T T kr J =J

[ ] [ ]

i

[ ]

t t i t T T i t i t i Ω + Ω Ω Ω Ω + _⋅ _∆ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∆ ≅ ∆ = U U f U U U U f f 1 ext 1 0 J D K M (A2.14)

Siendo esta última la ecuación de equilibrio linealizada, donde

[ ]

T _Ω = K

( )

∫

Ω

Α

_e _Ve ∇SN :CT : ∇SN dV representa la matriz de rigidez tangente,

[ ]

M Ω = es la matriz de masa,

∫

ρ Ω

Α

_e _Ve N:NdV

[ ]

∫

( ) ( )

Ω Ω =

Α

_Ve : : dV S T S e T _∇ _N _ξ _∇ _N D es la matriz de

amortiguación tangente, todas ellas definidas en todo el dominio Ω, el tensor tangente correspondiente a la ley constitutiva utilizada en cada punto del sólido y

T ijst C

[

_∫

+

_∫

ρ

]

= Ω

Α

e _Ve ext _: _: dV dS S e N t N b

f es la fuerza exterior que se expresa como. La fuerza desequilibrada en el sólido

[ ]

k t i Ω + ∆f 1

se elimina siguiendo una resolución por Newton-Raphson5_{hasta que este residuo resulte despreciable, situación que se conoce como} convergencia del proceso linealizado hacia la solución exacta.

A2.3

Distintos tipos de Problemas Dinámicos

No-lineales.

A continuación se hace una breve presentación de los distintos tipos de compor-tamiento que introducen no-linealidad en el problema dinámico. En principio y en consecuencia con el alcance de éste libro de dinámica no lineal, se estudiarán problemas de elasticidad retardada y relajación de tensiones, que dan lugar al denominado amortigua-miento viscoso dependiente de la velocidad, plasticidad y daño, que contribuyen a la disipación de la energía independiente de la velocidad. Aunque las grandes deformaciones también inducen no-linealidad en el problema dinámico no será tratada con la misma profundidad que los otros fenómenos no lineales.

Se considerarán problemas en pequeñas deformaciones, en los cuales el jacobiano, cumple con la siguiente condición,

(8)

1 0 ≅ = = = dV dV J J F _(A2.15)

Resultando de aquí la coincidencia entre las tensiones de Cauchy y de Piola Kirchoff , entre la velocidad de deformación en la configuración actualizada y la correspondiente magnitud infinitesimal

ij ij =S

σ

ij ij

D = ε y entre la densidad en las distintas

configuraciones . Con estas condiciones particulares los desplazamientos y deformaciones son despreciables frente a las dimensiones del sólido y por lo tanto puede escribirse la medida de deformación de la siguiente forma,

0 ρ = ρ

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∇ = − = T S T x u x u u I F F 2 1 2 1 ε (A2.16)

Además, para un material particular cuyo comportamiento es elástico y en pequeñas deformaciones, ocurre la siguiente coincidencia en la definición de las deformaciones (e= E=ε), y la energía libre se escribe en la siguiente forma simplificada,

(

ε: :ε

)

2 1 0 C ρ = Ψ _(A2.17)

tal que sustituida en la ecuaciones constitutivas de las configuraciones lagrangeana y actualizada, resulta la siguiente ley constitutiva,

ε ε σ ₀ =C: ∂ Ψ ∂ ρ = (A2.18)

donde el tensor constitutivo coincide exactamente con el obtenido mediante la ley de Hooke generalizada, y cuya expresión canónica es la siguiente,

C

(

ik jl il jk

)

kl ij ijkl =λδ δ +µ δ δ +δ δ C _(A2.19)

Donde y son las constantes de Lamé y λ µ δ_ij es el tensor de Kroneker. El tensor de elasticidad de Hooke resulta definido positivo y posee las siguientes simetrías

jilk ijlk klij

ijkl C C C

C = = = _(A2.20)

Cauchy definía cuerpo elástico como “aquel en el cual las deformaciones en cualquier punto del sólido quedan determinadas por su estado de tensión y temperatura”. En contraste con esta definición, se tendrá un material con comportamiento inelástico, cuando es necesario establecer unas definiciones adicionales a las propias de la teoría de la elasticidad clásica, cuya formulación está relacionada con la historia del comportamiento del material. Esta situación hace que no pueda garantizarse una relación biunívoca entre el tensor de tensiones y el de deformaciones, o dicho de otra forma, que no son relaciones invertibles una de otra.

A2.3.1 No linealidad en los Materiales.

La influencia del tiempo produce en algunos sólidos comportamientos irrecuperables. Básicamente pueden establecerse tres tipos de comportamientos no lineales dependientes del tiempo:

- Elasticidad retardada o “creep”, donde ocurren crecimiento de deformación a