i. Suponga que la barra pasa súbitamente por una zona donde la densidad de campo magnética cae a un valor de 0.2T. Cual es la velocidad de estado estable, si se supone la barra en vacío?
e=120→vssBl=120→vss=
120
0.2×0.5=1200 mts
seg
Se debe tener cuidado con la pérdida de campo magnético ya que la máquina se acelera fuertemente. Idealmente, si se retirará el campo estando conectada la fuente de alimentación, la velocidad tendería al infinito!!!
h. Suponga que se invierte la polaridad de la fuente de alimentación en condiciones de estado estacionario y vacío con la barra moviéndose hacia la derecha. Calcule la corriente que circularía en este instante (inversión de giro).
La velocidad de la máquina debido a la inercia no puede cambiar de sentido bruscamente, por lo tanto:
+120+0.3 i+120=0 →i=−240
0.3=−800 A
La corriente cuando se desea invertir el sentido del movimiento en una máquina es muy alta.
j. Suponga que la constante de rozamiento entre la barra y los rieles es igual a 0.1. además que la masa de la barra es igual a 15Kg y que la fuerza del aire golpeando sobre la barra es igual a 12Nt; obtenga los diagramas de cuerpo libre en las dos direcciones x e y. Calcule la velocidad de estado estable y la corriente que circula por el circuito en estas condiciones.
∑
FY=0→Normal-mg=0→Normal = mg=15×10=150 Newtons∑
FX=0→ Finducido−Froz−Faire=0→ Finducido=μ×Normal+12=0.1×150+12=27 NewtonsFinducido=ilB →i= 27
−120+108×0.3+e=0→e=120−108×0.3=87.6 V →v= 87.6
0.5×0.5=350.4 mts seg
k. suponga que la barra se somete a una fuerza externa igual a 100 Newtons no tenga en cuenta la fricción y calcule la velocidad que adquiere la barra bajo estas condiciones.
Fext=Find=i l B→i=
100
0.5×0.5=400 A → −120+0.3×400+e=0 →e=0→v=0
La fuerza externa es tan alta que detiene la barra. La máquina queda en arranque todo el tiempo!!! Carga Máxima es diferente de Carga nominal. (OJO).
Un circuito que regula el voltaje de la fuente de 120V para controlar la velocidad de la máquina se muestra a continuación:
Al cerrar los interruptores S1 – S4 y dejar abiertos los interruptores S2 – S3 el voltaje VO sera igual a +120V.
Al cerrar los interruptores S2 – S3 y dejar abiertos los interruptores S1 – S4 el voltaje VO sera igual a -120V.
Si los interruptores se cierran y se abren de esta manera en función del tiempo, entonces el voltaje VO será igual a la señal que se muestra a continuación:
El voltaje promedio (VDC) que se observa en la salida del controlador se calcula de la siguiente manera:
VDC=1 T
∫
0 T VO(t)dt=1 T∫
0 TON 120 dt+1 T TON∫
T (−120)dt→ VDC=120 TON−120(
T−TON)
T →VDC=240 TON T −120Otra manera de realizar este cálculo es sumando el área total debajo de la curva y dividir el resultado por el periodo de la señal tal y como se muestra a continuación:
Areaazul+ Arearoja
T =
120×TON−120
(
T−TON)
T =240
TON T −120
Por ejemplo si se necesita un voltaje en la salida del controlador igual a 80V se requiere una relación TON T igual a: 80=240TON T −120→80+120=240 TON T → TON T = 200 240= 5 6
Por ejemplo si se necesita un voltaje en la salida del controlador igual a -60V se requiere una relación TON T igual a: −60=240TON T −120→−60+120=240 TON T → TON T = 60 240= 1 4
Al cerrar los interruptores S3 – S4 y abrir los interruptores S1 – S2 se logra que el voltaje en la salida sea igual a 0V de la siguiente manera:
Esta combinación con las dos anteriores permite la generación de una onda cuadrada que se asemeja a una onda senoidal tal y como se muestra a continuación:
El valor RMS (medido por un multímetro en corriente alterna) se calcula de la siguiente manera:
VRMS=
√
1 T∫
0 T VO2 (t)=√
1 T[
∫
T 4 T 2 1202 +∫
3 T 4 T (−120)2]
=(
1 T)
×(
120 2(
T 2− T 4)
)
El circuito de la máquina DC lineal y el controlador quedaría de la siguiente manera:
Obtenga una ecuación para la velocidad en función de TON
T para circuito en vacío y estado estable.
estado estable: i=0 →VO=e=vlB→ v=
240TON T −120 B l = 240 B l × TON T − 120 B l
CONSTITUCIÓN GENERAL DE UNA MÁQUINA DE CORRIENTE ALTERNA
Un modelo a escala de una máquina de corriente alterna sincrónica con una espira se muestra en la siguiente figura:
Está máquina esta compuesta por dos polos (norte y sur), un cilindro que rota libremente alrededor del eje OO' y una espira alrededor del cilindro. A continuación se calcula el voltaje inducido en las terminales de la espira eIND. Para ello se divide la espira en cuatro segmentos: ab, bc, cd y da. La tensión inducida en los bormes de la espira se calcula empleando la ecuación:
eIND=
(
⃗v×⃗B)
•⃗lLa dirección del campo y de la velocidad tangencial en cada segmento cuando la espira forma un ángulo de 0° con respecto al plano horizontal se muestran a continuación:
La polaridad del voltaje en el segmento ab es (a –) y (b +) y una magnitud de vBl. La polaridad del voltaje inducido en el segmento cd es (c –) y (d +). En los segmentos cb y ad el voltaje inducido es igual a 0 porque el vector ⃗V ×⃗B forma un ángulo de 90° con respecto a la longitud del cable en esos segmentos (son perpendiculares). Si se aplica la ley de voltajes de Kirchoff alrededor de la espira para calcular la tensión eind en los bornes de la misma se obtiene el siguiente resultado:
−eind+vBl+vBl=0→eind=2 vBl
si la espira gira 180° sobre el eje transversal OO’ la orientación de los vectores es la misma solo que en este caso el segmento ab toma la posición en el espacio que tenia el segmento cd mientras que este último se encontrará en la posición original del segmento ab tal y como se muestra a continuación:
Si se aplica la ley de voltajes de Kirchoff se obtiene el voltaje inducido que se calcula a continuación: +eind+vBL+vBL=0→eind=−2 vBL
Cuando el ángulo entre el plano horizontal y la espira es de 90° el voltaje inducido en los bornes de la misma es igual a 0V. Esto se debe a que el vector ⃗V ×⃗B depende del seno del ángulo formado por los vectores V y B, en este caso particular los ángulos serán 0 y 180° tal y como se muestra en la siguiente figura (los dos vectores están en paralelo o antiparalelo):
La misma situación se presenta cuando la máquina ha girado 270° con respecto al eje transversal OO’ tal y como se muestra a continuación:
El voltaje inducido en la espira al tomar más ángulos se visualizaría como una onda seno tal como se muestra a continuación:
Si se aumenta la cantidad de polos de la máquina, entonces se observará el siguiente comportamiento en las terminales de salida de la espira:
Una vuelta completa de la espira corresponde a un ciclo geométrico de 360°. Si la máquina tiene dos polos, el ciclo magnético (o eléctrico) coincide con él, ya que es el que se recorre para encontrar un polo del mismo signo que el inicial (N-S-N). Sin embargo, si la máquina tiene 4 polos, el ciclo geométrico correspondiente a la vuelta completa se traduce en un ciclo eléctrico de 180º, ya que es el ángulo que hay que recorrer para pasar por completo por el campo de acción de dos polos de signo contrario.
θmecánico=
θeléctrico
P P: pares de polos de la máquina
Se definen las siguientes velocidades en la máquina: ω: velocidad en radianes eléctricos por segundo.
Ω: velocidad de giro en radianes mecánicos por segundo.
Un ciclo eléctrico se completa en T segundos. Por lo tanto la frecuencia de la señal eléctrica es igual a: f=1 T (Hz)→ω=2πf→ω= 2π T rad seg
Un ciclo mecánico se completa en P × T segundos. Por lo tanto la velocidad de rotación mecánica es igual a:
Ω=2π P T
rad seg
A partir de estas dos se calcula la relación entre la velocidad de giro mecánico y la frecuencia eléctrica de la siguiente manera:
ω=2π
T , PΩ= 2π
T →ω=P Ω
Si se define la velocidad de giro mecánico en revoluciones por minuto (rpm) con la letra griega η, entonces la misma se formulará de la siguiente manera:
Ω=2π PT rad seg× 1 rev 2πrad× 60 seg 1 min = 60 P×T→η= 60×f P rev min
Dado que la frecuencia en eléctrica en Hz se calcula de la siguiente manera: ω=2π
T →f = 1
T→ f =2ωπ como ω=P Ω y Ω=2π η
60 entonces se calcula la velocidad de giro de la máquina en revoluciones por minuto a partir de la frecuencia eléctrica en Hz de la siguiente manera:
ω=P Ω=2π ηP
60 =2π f→η= 60 f
Ejemplo 13. Que frecuencia eléctrica entregará un generador eléctrico de 4 polos movido por una motor de gasolina que gira a 3000 rpm?
F=2×3000
60 =100 hz
Ejemplo 14. Si un motor de corriente alterna con 3 pares de polos es alimentado por un sistema de 50Hz, cual será su velocidad de giro?
50=3×N 60→
50×60
3 =1000 rpm
Ejemplo 15. cual es la velocidad de giro del mismo motor del ejemplo 14 si la frecuencia es igual a 60Hz?
60=3×N 60→
60×60
3 =1200 rpm
Las velocidades calculadas en los ejemplos 14 y 15 se denominan de sincronismo. Si el rotor de la máquina es capaz de girar a esta velocidad a la máquina se la denomina sincrónica si no lo logra se le llama asincrónica.
Velocidades sincrónicas:
Pares de polos Polos 60Hz 50Hz
1 2 3600 rpm 3000 rpm 2 4 1800 rpm 1500 rpm 3 6 1200 rpm 1000 rpm 4 8 900 rpm 750 rpm 6 12 600 rpm 500 rpm 12 24 300 rpm 250 rpm 24 48 150 rpm 125 rpm 48 96 75 rpm 62.5 rpm
Si el sistema mecánico es rápido la cantidad de polos es pequeña. Si el sistema mecánico es muy lento se requiere una cantidad de polos muy alta.
