DETERMINACION DE LA PRECISION EN POLIGONALES CON EL METODO DE
ESTIMATIVOS PUNTUALES
JENNIFER LORENA GUIO FANDIÑO
CAMILA ESTEFANIA PINZON MALAGON
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
BOGOTA D.C.
Determinación de la precisión en poligonales con el método de estimativos puntuales
Jennifer Lorena Guio Fandiño
Camila Estefanía Pinzón Malagón
Director:
Ingeniero Edilberto Niño Niño
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Medio Ambiente y Recursos Naturales
Tecnología en Topografía
Bogotá D.C.
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos en primer lugar a Dios por permitirnos terminar este trabajo de grado, a nuestros padres y familiares por el apoyo en cada etapa de nuestras vidas por los consejos comprensión, amor y por la ayuda en cada dificultad.
13. Tabla de frecuencias de la poligonal no. 1 . . . 16
14. Tabla de preciones de la poligonal no. 2 . . . 17
15. Tabla de coordenadas y diferencias de la poligonal no. 2 . . . 18
16. Tabla de coordenadas y diferencias de la poligonal no. 2 . . . 19
17. Tablas de frecuencias de la precision de la poligonal no. 2 . . . 19
18. Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 . . . 20
19. Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 . . . 20
20. Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 . . . 21
21. Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 . . . 21
22. Tabla de frecuencias de precisiones de la poligonal no. 3 . . . 21
23. Diferencias entre las coordenadas Norte originales y las combinaciones en mm . . . 22
24. Tabla de frecuencias de las coordenadas Norte . . . 23
25. Diferencias entre las coordenadas Este originales y las combinaciones . . . 24
26. Tabla de frecuencias de las coordenadas Este . . . 24
27. Tabla de frecuencias de las coordenas Norte . . . 25
28. Tabla de frecuencias de las coordenadas Este . . . 26
29. Tabla de frecuencias de las coordenadas Norte . . . 27
30. Tabla de frecuencias de las Coordendas Este . . . 28
Índice de figuras
1. Metodologia . . . 102. Diagrama de barras de la precision de la poligonal no. 1 . . . 14
3. Diagrama de barras de las precisiones de la poligonal no.1 . . . 17
4. Diagrama de barras de la precision de la poligonal no. 2 . . . 20
5. Diagrama de barras de la precision de la poligonal no.3 . . . 22
6. Diagrama de barras de las coordenadas Norte . . . 23
7. Diagrama de barras de las coordenadas Este . . . 25
8. Diagrama de barras de las coordendas Norte . . . 26
9. Diagrama de barras de las coordenadas Este . . . 27
10. Diagrama de barras de las coordenadas Norte . . . 28
1.
INTRODUCCIÓN
1.1.
PROBLEMA
En los diferentes levantamientos que se realizan con estación total en este caso las poligonales para llevar a cabo
las obras a la hora de ejecutar los cálculos no se tiene en cuenta la desviación estándar del equipo que se empleo para
dicho levantamiento, por lo que para las poligonales en las medidas angulares se desconoce dicha desviación por ende
se pretende observar la influencia de dichas en los levantamientos.
1.2.
JUSTIFICACIÓN
Reconocer la incertidumbre angular de un levantamiento topográfico en este caso una poligonal y así mismo
identificar la precisión obtenida. Puesto para el cálculo de poligonales se realiza normalmente suponiendo el valor
angular como una variable determinista que consiste en el empleo de una sola variable , pero en la realidad los
instru-mentos electrónicos reconocen una desviación estándar en cada una de sus mediciones por ende se propone emplear
el método probabilístico que permite observar un comportamiento aleatorio. Con lo anterior se pretende determinar la influencia de la desviación estándar en la variación en las mediciones angulares y con esto observar la precisión en las
poligonales.
1.3.
OBJETIVOS
General
Determinar el comportamiento en la precisión de las poligonales debido al tratamiento de las medidas angulares.
Específicos
Aplicar el método de estimativos puntuales para el cálculo de dos poligonales.
Establecer una metodología para el cálculo de poligonales por métodos probabilísticos
1.4.
SÍNTESIS
La evolución de la topografía se ha ligado a los adelantos tecnológicos que se reflejan en mejoras instrumentales.
En otros tiempos se utilizaban tablas taquimétricas para el cálculo de distancias y desniveles, hoy la estación total ha
sustituido al instrumento de toma de datos y a las tablas de cálculo la medida de distancias ha evolucionado desde la
cadena de agrimensor a la estadía vertical del siglo XVII, de ella a los equipos de medida electromagnética de distancias
en la década de los 80 y de aquí a los instrumentos de GPS actuales. Con nuevos instrumentos se exige mayor precisión
aunque se sigan observando los errores en los equipos como por ejemplo el error de lectura, sobre todo con instrumentos
electrónicos, se suele considerar igual al valor de la incertidumbre angular de medida del equipo es de 68 % (Balboa, Armenteros, & Mingorance, 2011). Por ende se busca adoptar técnicas probabilísticas para reconocer un rango de error
2.
ANTECEDENTES
2.1.
MARCO CONCEPTUAL
2.1.1. Fuentes incertidumbre
Las fuentes de incertidumbre o fuentes de error se deben reconocer a la hora de realizar los diferentes
levan-tamientos puesto que al tener conocimiento de los efectos que tienen puede mantener la precisión requerida para los
levantamientos (Fernando García Márquez, 2003). En las medidas y lecturas que se realizan en los levantamientos no
se obtiene un valor exacto debido a los diferentes errores que se presentan tales como errores personales, naturales e
instrumentales para el trabajo que se realizo solo se tuvo en cuenta el error instrumental. Los errores instrumentales en se presentan en la toma de datos de distancia y medidas angulares, debido al estado de calibración del equipo y o por
el desgaste del mismo. (Pina, 2014)Dentro de los errores instrumentales se consideran.
Falta de verticalidad del eje principal.
Falta de perpendicularidad entre los ejes de colimación y horizontal (secundario).
Falta de perpendicularidad entre los ejes horizontal y vertical (principal).
Índice del círculo vertical.
Falta de coincidencia entre la línea de puntería y el eje óptico.
Excentricidad.
Graduaciones imperfectas.
Falta de paralelismo entre el eje del anteojo y la línea de puntería.
Todas las fuentes de incertidumbre instrumental son errores sistemáticos que provienen de la frase de fabricación del
equipo y son inevitables, la influencia que tiene en las medidas pueden ser eliminadas por distintos métodos o reducirla
a un mínimo aplicando correcciones de calibración, en la actualidad los equipos tienen compensadores para controlar la
inclinación residual de ángulos verticales y horizontales. En cualquier caso para mediciones de alta precisión se podría
tener en cuenta esta fuente de incertidumbre y evaluar su contribución a la incertidumbre de la medida de un ángulo a
partir de la desviación típica del compensador que ofrece el fabricante. (Balboa, Armenteros, & Mingorance, 2011)
2.1.2. Desviación Estándar De La Medida Angular En Una Estación Total
Es un punto fundamental en las características de la estación total puesto que establece la precisión del equipo,
que está dada por la norma DIN 18723 («Evaluación de la incertidumbre de medida de una estación total aplicando la
Norma ISO 17123-3,Revista de la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales), donde los valores oscilan entre
0.5” y 20”, siendo valores normales 1”, 2”, 3”,4”,5”,6”, y 10” (Kollner Labraña y Cia.LTDA, Aspectos Técnicos de
2.1.3. Clasificación de levantamientos
Los levantamientos geodésicos y topográficos se han clasificado y dado un orden según su exactitud relativa con
un nivel de confianza del 95 %(NTG1998.PDF - ntg1988.pdf) dicha clasificación es la siguiente:
Cuadro 1: Tipo de levantamientos
TIPO DE LEVANTAMIENTO DESCRIPCION
ORDEN AA
Los levantamientos que se hagan en este orden estaran destinados a estudios sobre deformacion regional,requieren una exactitud de una parte en 100’000.000.(«NTG1998.PDF - ntg1988.pdf», s. f., p. 17)
ORDEN A
Este orden se aplica al sistema geodésico de referencia nacional, en estudios de deformación local y requiere una precisión de 1:10‘000.000. («NTG1998.PDF - ntg1988.pdf», s. f., p. 17)
ORDEN B
Los trabajos que se hagan dentro de esta clasificación deberán integrarse a la red geodésica básica y ajustarse junto con ella, dando
como resultado una exactitud no menor a 1:1,000,000.(«NTG1998.PDF - ntg1988.pdf», s. f., p. 17)
ORDEN C I
Los levantamientos que corresponden a esta clasificación se destinan al control de redes primarias en aéreas metropolitanas dichos levantamientos requieren una exactitud menor a 1:100.000.
NTG1998.PDF
ORDEN C II Los levantamientos en este orden no exigen una exactitud no menor 1:50000.(Arq. Misael López Pereyra, 2010, p. 19)
ORDEN C III Este orden está destinado a todos los levantamientos topográficos e hidrográficos. ra, 2010, p. 19)
CLASE I
Son aquellos levantamientos de proyectos locales tales como cartografía y en general en áreas rurales que requieren como mínimo
un grado de precisión de 1:1000(W D FERNANDEZ -21_4354_precisian-planimatrica-y-altimatrica-.pdf», s. f., p. 2)
CLASE II
Son aquellos levantamientos que hacen parte de los vértices geodésicos para la densificación de las redes dichos levantamientos deben ajustarse a levantamientos de orden mayor que sirven de apoyo para los proyectos de ingeniería cartografía topografía que requieren como mínimo un grado de precisión relativa 1:20000. W D FERNANDEZ
-21_4354_precisian-planimatrica-y-altimatrica-.pdf», s. f., p. 2)
2.2.
MARCO DE REFERENCIA
Se emplearon documentos que permitieron el contrastar los diferentes resultados dichos documentos trabajan
temas de precisión y de los diferentes métodos para calcular las poligonales.
2.2.1. COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DE AJUSTE DE POLIGONAL
Para el cálculo y ajuste de poligonales existen diferentes métodos; los cuales van a determinar diferencias tanto
en los resultados como en las precisiones alcanzadas, el objetivo de esta trabajo consiste en realizar el cálculo de
una poligonal con cada una de las metodologías que se utilizan actualmente en Colombia; para determinar cuales
es el método o métodos más recomendados, para proyectos donde se utilicen las poligonales aplicadas a procesos
En los trabajos de campo se deben realizar más mediciones que las estrictamente necesarias para el cálculo de las
magnitudes que se pretenden determinar. Con el objeto de poder realizar análisis y depuración de datos por medio de
procesos matemáticos para obtener la mayor precisión posible(Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
La repetición de observaciones además de aumentar la precisión de las magnitudes medidas, permite analizar
su fiabilidad y desechar las defectuosas o groseras. Una vez validadas, según la teoría de errores clásica, es preciso
corregirlas en base a los planteamientos matemáticos que las relacionen. Con el objeto de cumplir las condiciones
geométricas de los elementos medidos, lo que constituye el fundamento de los métodos de ajuste y compensación en procesos topográficos. Como paso previo al ajuste de las observaciones se realiza una estimación de su precisión, para
finalmente elegir el procedimiento de compensación mas adecuado, acorde con la bondad de los datos obtenidos. Estos
pueden ser: métodos rigurosos o métodos expeditos o aproximados.
A continuación se presentan algunos de los métodos expeditos mas comunes en el ajuste de poligonales
topográ-ficas y posteriormente los métodos rigurosos que se llevan a cabo para compensar poligonales.
Habiendo medido las longitudes de las líneas y los ángulos de la poligonal deben determinarse los errores que
inevitablemente ocurren en los datos para establecer si son aceptables y si es así, el error total de cierre debe ser
distribuido entre las observaciones. Este proceso de distribución, llamado usualmente ajuste, debe causar el cambio
más pequeño posible en los datos y obviamente si el error es inaceptable tendrán que volver a observarse algunos datos. Finalmente se calculan las coordenadas de las estaciones de la poligonal.(Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
2.2.2. MÉTODOS PARA EL CALCULO DE POLIGONALES
Método Arbitrario
En este método no se aplican formulas o ecuaciones; la corrección se hace dependiendo del análisis que realice
el profesional que realizó el trabajo de campo. Luego el error se reparte de manera arbitraria según las dificultades y
condiciones del terreno donde se haya realizado cada medida. Este método actualmente se utiliza muy poco se podría
decir que ya no se usa. (Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
Método Gráfico
El error total de la poligonal tiene una magnitud y dirección determinadas, la corrección en magnitud del error en
cada delta será directamente proporcional a la distancia recorrida y acumulada desde el punto de inicio hasta cada uno de los deltas. Todas las correcciones tendrán la misma dirección del error total. (Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
Método de la Brújula “de Bowditch”
También es conocido como el método de Compás; este método se fundamenta en igualdad en calidad de
medi-ciones angulares y medimedi-ciones de distancias; también se supone que errores son accidentales; por lo cual el error en un
lado de la poligonal es proporcional al valor de su longitud .y. las proyecciones se ajustan o corrigen en proporción a
Método del Transito
Este método se basa en la premisa que las mediciones de ángulos se hicieron con mayor precisión que la medición
de distancias (por ejemplo cuando se miden distancias horizontales de manera indirecta; o medidas con cinta en terrenos
inclinados). (Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
Método de Variación de Coordenadas
Este método se utiliza cuando las coordenadas que se tienen son tomadas en campo, y cuando no se hace un
cierre angular ya que este método no lo necesita, en este procedimiento topográfico se le da más pesos a los ángulos
registrados en campo que a las distancias. (Wilson Ernesto Vargas Vargas, 2012).
Ajuste por Mínimos Cuadrados
Se puede ajustar por medio de ecuaciones de condición cuando son mediciones directas y se usan las
proyeccio-nes, por ecuaciones paramétricas cuando son mediciones indirectas se utilizan coordenadas. (Wilson Ernesto Vargas
Vargas, 2012).
2.3.
MARCO TEÓRICO
Es necesario conocer y resaltar conceptos que son necesarios para llevar a cabo los procedimientos que son la
desviación estándar, la media donde:
La Desviación Estándar es la medida de dispersión que permite determinar las distancias en relación con la media:
La Media proporcionará el promedio de la suma de la probabilidad de cada posible resultado de un experimento
multiplicado por su valor. Por lo tanto representa el promedio de todos los datos experimentales disponibles.
Con los parámetros anteriores para realizar el método de estimativos puntuales se calcula el Método de Primer
Orden Segundo Momento que nos permitirá determinar el índice de confiabilidad, es uno de los métodos más simples
para estimar y analizar los parámetros estadísticos de la función de comportamiento, este método utiliza los primeros
términos de la expansión de la serie de Taylor de la función de comportamiento o de falla analizada, con el fin de
El proceso de estimación tiene como finalidad la obtención del modelo explicito de probabilidad que sigue una
población o variable aleatoria X , a partir de una muestra de tamaño n sobre el cual existe un desconocimiento parcial o total . Si el desconocimiento es parcial, los métodos de estimación tratan de obtener los parámetros desconocidos,
por lo que a tales métodos se les denomina paramétricos. Las estimaciones que se realizan no son mas que inferencias
obtenidas a partir de la muestra mediante el empleo de un estimador adecuado.las estimaciones que se pueden hacer
son de dos tipos: estimación puntual y estimación por intervalos.(John E., Freund, Irwin Miller, & Marylees Miller,
2000).
Una estimacion puntual de algun parametro de la poblacion θes un solo valor θde una estadisticaθ. No se
espera que un estimador realice la estimacion del parametro poblacional sin error.no esperamos que χque estimeμ
exactamente,suno que en realidad esperamos que no este muy lejano.para una muestra particular es posible obtener un
estimado mas cercano deμmediante el uso de la mediana de la muestra como estimador.(Ronald E. Walpole, Raymond
H. Myers, Sharon L. Myers, 1999).
El método de estimativos puntuales lo propuso Rosenbleuth ,pionero que introdujo los conceptos de probabilidad
en las normativas de diseños,para obtener los momentos estadísticos de una función de comportamiento al evaluarla
en un conjunto de puntos discretos escogidos específicamente (Baecher & Christian, 2003) para calcular el índice de
confiabilidad y el índice de falla, el Método de Estimativos Puntuales es capaz de estimar los momentos estadísticos a
partir de varias variables aleatorias. La idea básica de este método consiste en sustituir las distribuciones probabilísticas
de las variables aleatorias continuas por distribuciones discretas equivalentes, las cuales tendrán los mismos tres
prime-ros momentos centrales. Luego se calcula la media, desviación estándar y asimetría de la función de comportamiento.
Debe considerarse una función de comportamiento Y dependiente de n variables aleatorias Xi. Dichas variables son
simétricas y están correlacionadas. El proceso escoge 2n puntos de tal forma que el valor de cada variable esta una
des-viación estándar por arriba y por debajo de la media. Estos puntos se conocen como puntos de muestreo. Al conocer el valor medioμXi y la desviación estándarσvXi de las variables aleatorias, la ubicación de los puntos de muestreo xi+ y
3.
METODOLOGÍA
Figura 1: Metodologia
1. Los datos se obtuvieron de la página del Instituto de Desarrollo Urbano (IDU) en el Centro de Documentación allí se realizó la búsqueda de los informes de topografía de las obras que se llevan a cabo en Bogotá.
2. Luego de encontrar las poligonales se procedió a pasar los datos a Excel y se calcularon nuevamente.
3. Una vez calculadas las poligonales, se empleó el método de estimativos puntuales sumando y restando una y
Cuadro 2: Tabla de iteraciones
ITERACION DESVIACIÓN VERTICES CON LA DESVIACION ESTANDAR 1 6 Todos los vértices 15 12 y -12 combinados 4 vértices con 12 y cuatro con -12 16 12 y -12 combinados 4 vértices con -12 y cuatro con 12 17 12 y 6 combinados 4 vértices con 12 y cuatro con -6 18 12 y -6 combinados 4 vértices con 12 y cuatro con -6 19 6 y 12 combinados 4 vértices con 6 y cuatro con 12 20 6 y 12 combinados 4 vértices con -6 y cuatro con -6
Las combinaciones se realizaron intercalando la suma y resta de la desviación estándar en los ocho vértices de la
poligonal.
En la tabla se observa que en la primera combinación se sumó una desviación estándar, en este caso seis segundos
(6”) a todos los ángulos de la poligonal, de igual manera se empleó en menos una desviación.
Para la siguiente iteración se sumó una desviación estándar a cuatro ángulos de la poligonal que en este caso fueron los vértices CB-7, CB-9, CB-9B, CB-9D .En la siguiente iteración, con los vértices anteriores se hizo el mismo
proceso solo que esta vez se les resto una desviación.
Del mismo modo en los otros cuatro vértices CB-6, CB-8, CB-9A, CB-9C, CB-6 se les realizó el mismo
proce-dimiento, se les sumó y restó una desviación estándar. Una vez realizadas las seis primeras iteraciones, se tomaron los
Cuadro 3: Segmento de la poligonal no. 1 ANG.OBSERVADO
Est. Pto. Obs Grds. Min. Seg. D. Estándar DEC. CB-9D CB-9A CB-9B 108 5 33 6 108.093 CB-9B CB-9C 179 0 1 -6 179.000 CB-9C CB-9D 182 59 27 6 182.991 CB-9D CB-6 22 55 5 -6 22.918
SUMAS 1079.988
Entonces se realizó el mismo procedimiento, invirtiendo los ángulos a los que se les sumó por restar una
des-viación, y a los que se les restó por sumar una desviación. Con estas combinaciones se finalizó el procedimiento de
estimativos puntuales con una desviación estándar.
De la misma manera se procedió a calcular con dos desviaciones, empezando por la suma y la resta a todos los
vértices de la poligonal.
Por consiguiente se procedió a tomar los cuatro vértices CB-7, CB-9, CB-9B, CB-9D y se sumaron dos
desvia-ciones estándar, en la siguiente combinación se emplearon los mismos vértices, esta vez se restaron dos desviadesvia-ciones.
A los vértices restantes (CB-6, CB-8, CB-9A, CB-9C, CB-6) se les realizó el mismo procedimiento, se les sumó
y restó dos desviaciones estándar.
Una vez terminadas las combinaciones anteriores, se tuvieron en cuenta los vértices a los que se les sumó dos
desviaciones estándar y los vértices a las que se les restó, como se muestra en la tabla.
Cuadro 4: Segmento de poligonal no.1 ANG.OBSERVADO
Est. Pto. Obs Grds. Min. Seg. D. Estándar DEC. CB-9D
CB-9D CB-6 127 2 53 127.048 CB-6 CB-7 152 58 17 -12 152.971 CB-7 CB-8 179 37 55 12 179.632 CB-8 CB-9 182 15 -6 -12 182.248 CB-9 CB-9A 72 7 63 12 72.134 CB-9A CB-9B 108 5 15 -12 108.088 CB-9B CB-9C 179 0 19 12 179.005 CB-9C CB-9D 182 59 9 -12 182.986 CB-9D CB-6 22 55 23 12 22.923
SUMAS 1079.988
Para finalizar se combinaron los vértices con una desviación estándar y los de dos veces la desviación estándar.
Entonces se restó una desviación estándar a cuatro vértices de la poligonal y a los otros cuatro se les sumó dos
a los que se les restó se les sumó.
De la misma manera se tomaron las desviaciones positivas para todos los vértices, quiere decir que cuatro vértices
con más una desviación y cuatro más dos desviaciones, y así mismo se realizó con las desviaciones negativas.
4. Una vez calculadas las poligonales con las distintas combinaciones, se realizó una tabla donde se ubicaron las
distintas precisiones.
Cuadro 5: Tabla de precisiones de la poligonal no. 1 POLIGONALES PRECISIÓN
5. Así como se ubicaron las precisiones en una tabla, también se ubicaron las coordenadas, colocando las de la
poligonal original, y las coordenadas resultantes de las distintas combinaciones.
Cuadro 6: Tabla de coordenadas de la polignoal no. 1 COORDENADAS ORIGINALES Todos (+) 1 D.E.
Cuadro 7: Tabla de coordenadas y diferencias
COORDENADAS ORIGINALES COORDENADAS (+) 1 D.E. DIFERENCIA NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE 117494.14 102162.531 117494.14 102162.531 0 0 117440.964 102232.977 117440.964 102232.977 0 0 117411.764 102398.164 117411.764 102398.164 0 0 117380.387 102582.612 117380.387 102582.612 0 0 117357.691 102690.239 117357.691 102690.239 0 0 117377.792 102688.14 117377.792 102688.14 0 0 117412.969 102524.525 117412.969 102524.525 0 0 117448.657 102343.23 117448.657 102343.23 0 0 117494.14 102162.531 117494.14 102162.531 0 0
Así mismo se realizó la comparación con las coordenadas Este.
6. Para terminar el cálculo se elaboraron tablas de frecuencia.
Cuadro 8: Tabla de frecuencias de precisiones de la poligonal no. 1 Clase L inf L sup mi ni Ni fi Fi
1 73142 90099 81621 5 5 0.238 0.24 2 90099 107056 98578 8 13 0.381 0.62 3 107056 124014 115535 3 16 0.143 0.76 4 124014 140971 132492 3 19 0.143 0.90 5 140971 157928 149450 1 20 0.048 0.95 6 157928 174885 166407 1 21 0.048 1.00
Y la gráfica de la tabla de frecuencia
4.
RESULTADOS
Con un total de 8 vértices en la primera poligonal cerrada se encontró que al sumar o restar una desviación
estándar a los vértices de la poligonal la precisión no varío respecto a la poligonal original.
Por ende en las combinaciones que se realizaron se halló que
Disminuyó la precisión cuando de sumó la desviación estándar a los ángulos de la poligonal de igual manera
ocurrió cuando se restó. Por lo que los resultados de los datos de las cuatro combinaciones generaron que dos de
las precisiones sean iguales.
Entonces se combinó la suma y la resta de la desviación estándar en los ángulos de la poligonal se obtuvo que la
precisión mejoró.
En las combinaciones con dos desviaciones estándar se observó que de igual forma como en la primera
com-binación de una desviación estándar al sumar y restar en todos los ángulos de la poligonal la precisión no varió con
respecto a la original.
Así entonces se obtuvo la siguiente comparación en la combinación de las dos desviaciones estándar con los
ángulos
La precisión mejoro cuando se realizo la combinación de sumar y restar las dos desviaciones estándar en ciertos
ángulos puesto que disminuye cuando se cambio la combinación, y se obtuvieron precisiones iguales en las
Cuadro 11: Tabla de precisiones
Con respecto a los datos de una desviación estándar se observó que la precisión de 85595.9 se repitió en la
combinación de más dos desviaciones estándar y menos dos desviaciones estándar.
Al combinarse una desviación estándar y dos desviaciones estándar se encontró que la precisión mejoró en la
combinación de mas dos desviaciones estándar en cuatro ángulos y menos una desviación estándar en los cuatro
ángulos restantes, al invertir la combinación la precisión disminuyó de igual forma ocurrió en la combinación de sumar una desviación y dos desviaciones estándar así mismo ocurrió al restarlas.
Cuadro 12: Tabla de precisiones
Con la tabla de frecuencia se obtuvo que 174885 fue la precisión máxima y la mínima de 73142.
Cuadro 13: Tabla de frecuencias de la poligonal no. 1 Clase L inf L sup mi ni Ni fi Fi
1 73142 90099 81621 5 5 0.238 0.24 2 90099 107056 98578 8 13 0.381 0.62 3 107056 124014 115535 3 16 0.143 0.76 4 124014 140971 132492 3 19 0.143 0.90 5 140971 157928 149450 1 20 0.048 0.95 6 157928 174885 166407 1 21 0.048 1.00
Figura 3: Diagrama de barras de las precisiones de la poligonal no.1
Se observó gran variación en la precisión de la poligonal No. 2, la cual tiene 19 vértices.
Cuadro 14: Tabla de preciones de la poligonal no. 2 Poligonales Precisión
Original 67715 Todos (+) 1 D.E. 67715 (+) 1 D.E. 71216 (+) 1 D.E. 63787 Todos (-) 1 D.E. 67715 (-) 1 D.E. 63787 (-) 1 D.E. 71216 Combinada +- 73915 Combinada -+ 59735 Todos (+)2 D.E 67715 (+)2 D.E 73915 (+)2 D.E 59735 Todos (-2) D.E 67715 (-2) D.E 59735 (-2) D.E 73915 2Combinada +- 75571 2Combinada -+ 52021 Combinada 2-1+ 55771 Combinada 2-1- 63787 Combinada 2+1- 53199 Combinada 2+1+ 51084
Después de que se sumó una vez la desviación estándar a todos los ángulos la precisión no cambió respecto a la
original, mientras que al sumar en algunos ángulos y en otros no, alternadamente, la precisión mejoró, y en el sentido
contrario disminuyó. Similar fue el caso de la resta, la precisión no cambió en la resta de la desviación estándar a todos
los ángulos, aumentó en la resta de algunos, y disminuyó en la resta de otros.
“combinada +-“, es decir cuando se empezó sumando en el primer ángulo, se restó en el segundo y así sucesivamente;
mientras que la precisión disminuyó en la inversa de esta combinación.
Se procedió a realizar las combinaciones con dos veces la desviación estándar, entonces en la suma y la resta de
la desviación, los resultados en la precisión no variaron mucho con respecto a la suma y resta de una vez la desviación
estándar, se tuvo la misma precisión al sumar y al restar a todos los ángulos. En el caso de sumarle solo a algunos, la
precisión mejoró cuando se sumó al primero, tercero, quinto ángulo, y así sucesivamente; lo contrario ocurrió con la
resta, ya que mejoró la precisión cuando se restó al segundo, cuarto, sexto. . . ángulo.
Combinando la suma y la resta de dos veces la desviación estándar, se obtuvo que es mejor cuando se sumó al
primer ángulo y se restó al segundo (2Combonada +-) y así intercaladamente.
Se realizaron combinaciones alternando una y dos veces la desviación estándar en la misma poligonal, en estas,
la precisión disminuyó respecto a la original, excepto en la poligonal “combinada 2-1-“, donde se restó a todos los
ángulos, una vez la desviación a la mitad de los vértices y dos veces a la otra mitad.
Se encontró que la precisión más alta está en la poligonal “2Combinada +-“, es decir en la que se sumó dos veces
la desviación estándar a la mitad de los ángulos y se restó dos veces la desviación a la otra mitad, alternadamente, con
un resultado de 75571m.
La diferencia de las coordenadas fue milimétrica, en las distintas combinaciones se encontraron diferencias por encima y por debajo de las coordenadas originales. Por ejemplo en la segunda combinación (+ 1 D.E.) el 99 % de las
coordenadas estuvieron por encima de las coordenadas originales.
Cuadro 15: Tabla de coordenadas y diferencias de la poligonal no. 2 COORDENADAS ORIGINALES (+) 1 D.E. DIFERENCIA
de los ángulos; la diferencia en coordenadas estuvo en su mayoría por debajo de la original.
Cuadro 16: Tabla de coordenadas y diferencias de la poligonal no. 2 COORDENADAS ORIGINALES (-) 2 D.E. Impar DIFERENCIA
Norte Este Norte Este Norte Este
Con la tabla de frecuencia se obtuvo que la precisión más alta fue de 75571m y la mínima de 51084.
Cuadro 17: Tablas de frecuencias de la precision de la poligonal no. 2 clase L inf L sup mi ni Ni fi Fi
1 51084 55165 53125 3 3 0.143 0.143 2 55165 59246 57206 1 4 0.048 0.190 3 59246 63328 61287 3 7 0.143 0.333 4 63328 67409 65368 3 10 0.143 0.476 5 67409 71490 69449 7 17 0.333 0.810 6 71490 75571 73531 3 20 0.143 0.952
Figura 4: Diagrama de barras de la precision de la poligonal no. 2
Con un total de 33 vértices en la tercera poligonal cerrada se encontró que al sumar o restar una desviación
estándar a los vértices de la poligonal la precisión no varío respecto a la poligonal original.
En las respectivas combinaciones se obtuvo que la precisión disminuyo al sumar y restar la desviación estándar
pero a su vez mejoro cuando se realizo la suma y la resta de la desviación pero en diferentes ángulos.
Cuadro 18: Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 COMBINACIONES PRECISIÓN
Original 31605.406 (+) 1 D.E. 31601.3419
(-) 1 D.E. 31602.1256 (+)1 D.E 31618.958 (-) 1 D.E. 31605.014
Al combinarse la suma y la resta de una desviación estándar en todos los ángulos se observo que la precisión
disminuyo y mejoro, mejoro cuando se realizo la combinación de otra manera.
Cuadro 19: Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 COMBINACIONES PRECISIÓN
Original 31605.406 (+) 1 D.E. 31601.3419
En las combinaciones con dos desviaciones estándar se observó que de igual manera al restar y sumar dos
des-viaciones estándar a los ángulos tenemos que la precisión no varió respecto a la precisión original. Se realizó de igual
forma las combinaciones con dos desviaciones estándar lo que generó los siguientes resultados.
Cuadro 20: Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 COMBINACIONES PRECISIÓN
Al comparar las precisiones se encontró que disminuyó al sumar y restar las dos desviaciones estándar y en la
combinación de sumar y restar la desviación en todos los ángulos, se observo que aumento mínimamente al sumar y
restar dos desviaciones y al combinar la suma y la resta de las dos desviaciones.
De igual manera se realizaron las combinaciones de sumar y restar una y dos desviaciones en los ángulos lo que
generó que las precisión aumentó en la combinación de sumar y restar, y disminuyó en las tres combinaciones.
Cuadro 21: Tabla de precisiones de la poligonal no. 3 COMBINACIONES PRECISIÓN
Con la tabla de frecuencia se obtuvo que 31619 fue la precisión máxima y la mínima de 31572.
Cuadro 22: Tabla de frecuencias de precisiones de la poligonal no. 3 Clase L inf L sup Mi ni Ni fi Fi
1 31572 31580 31576 1 1 0.048 0.048 2 31580 31588 31584 0 1 0.000 0.048 3 31588 31595 31592 0 1 0.000 0.048 4 31595 31603 31599 2 3 0.095 0.143 5 31603 31611 31607 17 20 0.810 0.952 6 31611 31619 31615 0 20 0.000 0.952
Figura 5: Diagrama de barras de la precision de la poligonal no.3
Se halló la diferencia entre las coordenadas de las combinaciones y la poligonal original.
Poligonal No. 1
Cuadro 23: Diferencias entre las coordenadas Norte originales y las combinaciones en mm ITERACION DIFERENCIAS
Cuadro 24: Tabla de frecuencias de las coordenadas Norte CLASE L inf L sup mi Ni Ni Fi Fi
1 -23 -18 -20 4 4 0.02 0.022 2 -18 -12 -15 9 13 0.05 0.072 3 -12 -7 -10 20 33 0.11 0.183 4 -7 -2 -4 16 49 0.09 0.272 5 -2 3 1 113 162 0.63 0.900 6 3 9 6 14 176 0.08 0.978 7 9 14 11 4 180 0.02 1.000
Figura 6: Diagrama de barras de las coordenadas Norte
Se observó en la tabla no. 23 que de las combinaciones realizadas seis de los resultados en las coordenadas nortes
no tienen diferencias en relación con las coordenadas originales.
Así también para las coordenadas norte en la primera poligonal se observó que la máxima diferencia entre las
coordenadas fue de 14 milímetros y la mínima de menos veintitrés (-23 mm), el intervalo de los datos que más
fre-cuencia tuvo fue el de 1mm.
Del mismo modo que las coordenadas nortes en las coordenadas Este tenemos que seis de los datos no tienen
diferencia respecto a las coordenadas originales, y en este caso la diferencia máxima fue de 3mm y la mínima de menos
Cuadro 25: Diferencias entre las coordenadas Este originales y las combinaciones
Figura 7: Diagrama de barras de las coordenadas Este
Poligonal No. 2
Cuadro 27: Tabla de frecuencias de las coordenas Norte clase L inf L sup mi Ni Ni fi Fi
1 -230 -164 -197 6 6 0 0.091 2 -164 -99 -131 4 10 0 0.152 3 -99 -33 -66 14 24 0 0.365 4 -33 33 0 352 376 5 5.722 5 33 99 66 14 390 0 5.935 6 99 164 131 4 394 0 5.996 7 164 230 197 6 400 0 6.087
En las coordenadas Norte se obtuvo que el valor máximo de la diferencia fue de 230 mm y una mínima de menos
Figura 8: Diagrama de barras de las coordendas Norte
En las coordenadas Este se obtuvo que el valor máximo de la diferencia fue de 181 mm y una mínima de menos
-180 mm. Y un intervalo de los datos que más frecuencia tuvo fue de 1 mm.
Cuadro 28: Tabla de frecuencias de las coordenadas Este clase L inf L sup Mi ni Ni fi Fi
Figura 9: Diagrama de barras de las coordenadas Este
De igual manera se realizó para la tercera poligonal de 33 vértices y se observó que:
Cuadro 29: Tabla de frecuencias de las coordenadas Norte clase L inf L sup mi ni Ni fi Fi
1 -347 -104 -225 24 24 0.04 0.035 2 -104 140 18 631 655 0.93 0.963 3 140 383 261 17 672 0.03 0.988 4 383 626 504 3 675 0.00 0.993 5 626 869 748 3 678 0.00 0.997 6 869 1113 991 1 679 0.00 0.999 7 1113 1356 1234 1 680 0.00 1.000
Figura 10: Diagrama de barras de las coordenadas Norte
El valor máximo de la diferencia de las coordenadas Este fue de 349 mm y una mínima de menos -982 mm. El
intervalo de los datos que más frecuencia tuvo fue de 64 mm.
Figura 11: Diagrama de barras de las coordenadas Este
Cuadro 30: Tabla de frecuencias de las Coordendas Este clase L inf L sup mi ni Ni Fi Fi
5.
CONCLUSIONES
Para las tres poligonales se encontró que la precisión mejoró respecto a la poligonal original al hacer uso del
método de los estimativos puntuales. De igual manera se encontró que en las poligonales con menos vértices de 3 a 9
vértices la precisión mejora de manera significativa y de 9 a 20 vértices medianamente mejora la precisión y de 20 en
adelante la mejora en la precisión es mínima.
Se observó que al hacer uso de los estimativos puntuales en los vértices de las poligonales no afectaron de manera
significativa a las coordenadas tanto en Estes como en Nortes, aunque se encontró que en la poligonal de 33 vértices
solo una coordenada Norte tuvo un desplazamiento significativo superior a 1 m.de igual manera se compararon los
resultados obtenidos con el trabajo de los ingenieros Wilson Ernesto Vargas Vargas y Mario Arturo Rincón Villalba
sobre el cálculo de poligonales por los distintos métodos que existen y se comprobó que la incidencia de la desviación
estándar y del método con el cual se calcule la poligonal la influencia será mínima a la hora de calcular las coordenadas. Según lo estipulado en el trabajo realizado por el ingeniero Wilmar Fernández sobre la mejora en los
levanta-mientos planimetricos y altimétricos se encontró que para tener mejor resultado en las poligonales la longitud de ellas
debe ser menor así como lo menciona el documento del ingeniero la longitud debe oscilar entre 1000 y 1500 metros
puesto que en las poligonales empleadas para este trabajo las dos con mejores resultados en la precisión se encuentran
en el rango anterior mencionado.
Con el uso de los estimativos puntuales se pudo establecer que la mejor precisión se obtuvo en la combinación
de sumar y restar dos veces la desviación estándar en los vértices de la poligonal.
La tercera poligonal no cerro según el cálculo que se utilizó, sin embargo se aplicó el método de estimativos
puntuales, con una variación pequeña en las precisiones.
Referencias
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