016 016 22 22 015 015

2 A 2 s matemáticas do veciño ⁰¹⁶

Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 015

EDITORES

J. Losada Rodríguez A. M. González Rueda C. Vidal Castiñeira

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

2 A 2 s matemáticas do veciño ⁰¹⁶

Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 015

EDITORES

J. Losada Rodríguez A. M. González Rueda C. Vidal Castiñeira

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

A CTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

CURSO 2015 – 2016

Editores:

Gonzalo Casti˜neira Veiga Angel M. Gonz´´ alez Rueda Jorge Losada Rodr´ıguez Cristina Vidal Casti˜neira

Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) [email protected]

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Nino Centro de Impresi´on Digital Rosal´ıa de Castro, 58 15706 Santiago de Compostela

A Coru˜na

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal:C 1873-2015

Ninguna ciencia, en cuanto a ciencia, enga˜na; el en- ga˜no est´a en quien no la sabe.

M´as quiero ser malo con esperanza de ser bueno, que bueno con el prop´osito de ser malo.

Miguel de Cervantes Saavedra (1547–1616).

Your bait of falsehood takes this carp of truth.

The course of true love never did run smooth.

William Shakespeare (1564–1616).

iii

Prefacio

Es un orgullo ver como los seminarios del SII, iniciados como una actividad informal hace ya m´as de 10 a˜nos, se han consolidado como una de las actividades peri´odicas m´as reconocibles de nuestra facultad. Los seminarios han crecido y ma- durado casi desde sus or´ıgenes bajo el paraguas del Instituto de Matem´aticas, lo que les ha permitido adquirir un grado de “oficialidad” que para nada hubi´eramos anticipado en sus comienzos, all´a por 2005.

Como coment´o Ana en su prefacio de la pasada edici´on, el SII surgi´o para “en- cher un baleiro”que algunos percib´ıamos en la facultad. Muchos de los estudiantes de doctorado en aquellos tiempos, a pesar de ser buenos amigos y coincidir muchas horas tanto dentro como fuera de la facultad, pr´acticamente no conoc´ıamos nada del trabajo que hac´ıamos unos y otros. Por ello decidimos iniciar una serie de char- las en las que nos fu´esemos contando no s´olo nuestros trabajos de investigaci´on, sino tambi´en otros aspectos que consider´asemos interesantes de nuestros campos de especializaci´on. Se trataba, por tanto, de sesiones distendidas y participativas, en las que cada uno intentaba hacer dicho campo accesible a cualquier matem´atico.

Asimismo, Ana tambi´en mencion´o en su prefacio una de las principales razo- nes a la hora de ser conscientes de ese vac´ıo que se pretend´ıa llenar con el SII.

Todos nosotros hab´ıamos vivido durante distintas estancias de investigaci´on la fre- n´etica actividad de los centros que visit´abamos. La gran cantidad de seminarios y charlas eran el germen perfecto para fomentar el nacimiento de nuevas ideas y la transversalidad en la investigaci´on, dando lugar con frecuencia a colaboraciones interdisciplinares. En este sentido, la existencia del SII no es m´as que una peque˜na muestra la importancia del intercambio de ideas entre gente de distintas ´areas, una peque˜na muestra de lo que aportan las estancias de investigaci´on a la formaci´on integral de un investigador, tanto a nivel profesional como a nivel personal. En es- tas estancias no s´olo se acerca uno a la transversalidad cient´ıfica, sino tambi´en a visiones existentes desde distintas escuelas, distintas culturas e investigadores con muy diversas inquietudes. Como enfatiz´o el Medalla Fields C´edric Villani en una de las charlas de su reciente visita a Santiago de Compostela dentro del programa Conciencia, “my greatest scientific accomplishments have been the result of collabo- rations stemming from the exchange of ideas with researchers from different fields and countries”.

Santiago de Compostela, outubro de 2016.

Julio Gonz´alez D´ıaz v

´ Indice xeral

Introduci´on 1

Manuel Cremades Buj´an

“Resoluci´on Num´erica da Ecuaci´on de Transporte de Boltzmann para fot´ons” 3 Javier Valle Regueiro

“Xeometr´ıa semi-riemanniana: variedades con densidade” 9 Luc´ıa L´opez Somoza

“Funciones de Green y teor´ıa espectral para la ecuaci´on de Hill” 15 Carlos Franco Sanmart´ın

“Superficies non compactas” 21

Jorge Rodr´ıguez L´opez

“A Transformada de Laplace” 27

Mar´ıa Jos´e Ginzo Villamayor

“Modelizaci´on Onom´astica” 33

Daniel Cao Labora

“Os cuaternios” 39

V´ıctor Sanmart´ın L´opez

“El dibujo de un ´algebra de Lie” 45

Alejandro Fern´andez Fari˜na

“Una historia sobre isomorf´ıa natural” 51

Joaqu´ın Ossorio Castillo

“Shor’s Quantum Factoring Algorithm” 57

Ana Mascato Garc´ıa

“De Gauss a Hilbert: un recorrido por las leyes de reciprocidad” 63 Ar´ıs Fanjul Hevia

“Una introducci´on a las curvas ROC” 69

vii

Jes´us Conde Lago

“Que ´e un esquema?” 81

Pedro Font´an Mui˜nos

“Interacci´on fluido-estructura, distintas formulaciones de las ecuaciones de la

mec´anica de fluidos.” 87

viii

Introduci´ on

E imposible que unha ´´ area das matem´aticas progrese se as achegas que se fan nela quedan esquecidas nos caix´ons dos seus descubridores. A comunicaci´on entre os investigadores ´e fundamental, pero tam´en o ´e a interdisciplinaridade, sobre todo entre os que comezan as s´uas carreiras investigadoras.

Con este esp´ırito nace o Seminario de Iniciaci´on a Investigaci´on (SII), unha entidade encadrada dentro do Instituto de Matem´aticas. O SII ten por finalidade que aqueles que se est´an a dar os seus primeiros pasos como investigadores te˜nan a oportunidade de escoitar aos seus compa˜neiros que traballan noutros departamentos e de expo˜ner as s´uas ideas.

As actividades do SII consisten nun conxunto de charlas que te˜nen lugar durante todo o curso acad´emico na Facultade de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela. Abertas a todo o mundo, estas reuni´ons, en xeral quincenais, son un lugar para a discusi´on, o afloramento de ideas e a vida social na Facultade al´en da rutina investigadora ou docente. Nelas, profesores, alumnos e investigadores te˜nen a oportunidade de co˜necerse, emprender proxectos com´uns e descubrir novos intereses. Ademais, para os po˜nentes sup´on unha oportunidade ´unica de desenvolver competencias transversais fundamentais para as s´uas carreiras como son falar en p´ublico, a capacidade argumentativa e a adecuaci´on ´a audiencia, pois cabe salientar que as charlas est´an destinadas a xente que non ´e especialista no tema do que tratan.

E imprescindible destacar ademais a riqueza da procedencia dos po˜nentes dos SII. Moi a mi´udo temos o pracer de poder escoitar a xente chegada doutras faculta- des ou incluso doutras universidades, o cal da idea da capacidade de convocatoria e o alcance transversal das actividades do SII.

O Comit´e Organizador do SII, encargado de organizar as actividades do SII, facelas p´ublicas e atender as necesidades lox´ısticas das mesmas, ´e tam´en o respon- sable de elaborar estas actas que reflicten o enorme esforzo que, entre po˜nentes, o´ıntes e organizadores, estamos a realizar para que este proxecto sexa posible. Os propios po˜nentes foron os encargados de revisar os resumos das charlas, de xeito que cada quen tivo que corrixir un correspondente a unha ´area distinta ´a da s´ua especialidade, asegurando as´ı que estes sexan comprensibles para todos.

Por ´ultimo engadir que, como non poder´ıa ser doutra maneira, o curso que v´en haber´a cambios destinados a mellorar as actividades que o SII leva a cabo. Quizais o m´ais importante ´e a renovaci´on do Comit´e Organizador, axudando as´ı a manter vivo o esp´ırito iniciador ao que previamente fac´ıamos alusi´on.

1

Non podemos esquecernos de todos aqueles aos que tanto lles debemos e que fan posible o SII. Aos anteriores organizadores do SII polo seu esforzo e consellos e por suposto aos po˜nentes: Manuel Cremades, Daniel Cao, Jes´us Conde, Mercedes Conde, Ar´ıs Fanjul, Alejandro Fern´andez, Carlos Franco, Pedro Font´an, Mar´ıa Jos´e Ginzo, Luc´ıa L´opez, Ana Mascato, Jorge Rodr´ıguez, V´ıctor Sanmart´ın, Joaqu´ın Ossorio e Xabier Valle.

Tam´en agradecemos sinceramente a elaboraci´on do prefacio destas actas a Julio Gonz´alez D´ıaz, quen fai dez anos comezou, xunto cos seus compa˜neiros do primeiro comit´e organizador, este proxecto.

Santiago de Compostela, novembro de 2016.

O Comit´e Editorial.

2

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Resoluci´ on Num´ erica da Ecuaci´ on de Transporte de Boltzmann para fot´ ons

Manuel Cremades Buj´ an

Instituto Tecnol´oxico de Matem´atica Industrial 16 de setembro de 2015

A Ecuaci´ on de Transporte de Boltzmann para fot´ ons

A Ecuaci´on de Transporte de Boltzmann para fot´ons en estado estacionario toma a forma

ω· ∇ψph(x, ω, ) = [IS(ψph)](x, ω, )− [OS(ψph)](x, ω, ), (1) onde a inc´ognita ´e o fluxo angular de densidade de fot´ons ψph. O lado dereito esta descomposto en dous termos con importantes interpretaci´ons f´ısicas.

Dispersi´on entrante:

[IS(ψph)](x, ω, ) = ρe(x) Z

S²

Z ∞ 0

˜

σC(⁰, , ω⁰· ω) ψph(x, ω⁰, ⁰) d⁰ dω⁰. (2) Dispersi´on sa´ınte:

[OS(ψ_ph)](x, ω, ) = ρ_e(x) σ_C^tot() ψ_ph(x, ω, ). (3) En [1] atopase unha completa descrici´on das variables e par´ametros f´ısicos invo- lucrados nas expresi´ons anteriores.

Dominio e condici´ons de contorno

Imos denotar o dominio espacial no que imos traballar por Ω ⊂ R³. Ademais supo˜nemos que a fronteira consta dunha parte irradiada por onde entran os fot´ons no dominio e outra parte por onde non entra radiaci´on. ´E dicir:

∂Ω = Γt Λ, (4)

onde Γ representa a parte irradiada e Λ = ∂Ω\Γ o resto da fronteira. Para completar a Ecuaci´on (1) impo˜nemos a condici´on de contorno:

ψ_ph(x, ω, ) =( ψⁱⁿ_ph(x, ω, ) se x∈ Γ e ω · n < 0,

0 se x∈ Λ e ω · n < 0. (5)

Estamos a denotar por ψ_phⁱⁿ o fluxo angular de densidade de fot´ons que entra no dominio sendo n o vector normal unitario exterior nun punto da fronteira.

Palabras Clave: ecuaci´on de transporte de Boltzmann; integraci´on num´erica; radioterapia.

3

Ω

Γ

Figura 1: Dominio Ω = (0, L1)× (0, L²)× (0, L³) con rexi´on irradiada de forma Γ = [l_1A, l_1B]× [l2A, l_2B]× {L3} composto por auga e aire.

Modelo simplificado

Imos empregar unha t´ecnica chamada desenvolvemento en ordes de dispersi´on descrita con detalle en [2] para descompo˜ner o problema en problemas m´ais sinxelos.

Fixando N ∈ N podemos escribir:

ψph(x, ω, ) =

N −1

X

i=0

ψ_ph⁽ⁱ⁾(x, ω, ) + ψ^{(≥N )}_ph (x, ω, ). (6)

Na expresi´on anterior:

ψ_ph⁽ⁱ⁾´e o fluxo angular de densidade de fot´ons que son dispersados exactamente en i = 0, 1, ... , N − 1 ocasi´ons.

ψ_ph^{(≥N )}´e o fluxo angular de densidade de fot´ons que son dispersados polo menos en N ocasi´ons.

Fixando M ∈ N tense a aproximaci´on:

ψ_ph(x, ω, )≈

M

X

i=0

ψ_ph⁽ⁱ⁾(x, ω, ). (7)

A validez desta aproximaci´on recae obviamente no valor de M . Canto m´ais alto ´e este n´umero mellor ´e a aproximaci´on, pero o custo computacional aumenta enormemente. En [2] ch´egase a probar ata segundo orde e compr´obase que non merece a pena incorporar termos de orde superior. Polo tanto imos considerar:

ψ_ph(x, ω, )≈ ψ⁽⁰⁾_ph(x, ω, ) + ψ⁽¹⁾_ph(x, ω, ). (8)

Manuel Cremades Buj´an SII 5

Resoluci´on das ecuaci´ons de transporte

Para o fluxo de fot´ons non dispersados tense a ecuaci´on de transporte:

ω· ∇ψph⁽⁰⁾(x, ω, ) =−[OS(ψph⁽⁰⁾)](x, ω, ). (9) Para o fluxo de fot´ons dispersados nunha ´unica ocasi´on tense:

ω· ∇ψ_ph⁽¹⁾(x, ω, ) = [IS(ψ⁽⁰⁾_ph)](x, ω, )− [OS(ψ⁽¹⁾_ph)](x, ω, ). (10) Ademais, da Ecuaci´on (5) ded´ucese que ditas ecuaci´ons de transporte deben verificar as condici´ons de contorno seguintes:

ψ_ph⁽⁰⁾(x, ω, ) =( ψ_phⁱⁿ(x, ω, ) se x∈ Γ e ω · n < 0,

0 se x∈ Λ e ω · n < 0. (11)

ψ⁽¹⁾_ph(x, ω, ) = 0 se x∈ ∂Ω e ω · n < 0. (12) Empregando o m´etodo das caracter´ısticas ditas ecuaci´ons en derivadas parciais red´ucense a ecuaci´ons diferenciais ordinarias con soluci´on anal´ıtica co˜necida:

F´ormula para ψ_ph⁽⁰⁾:

ψ⁽⁰⁾_ph(r(s), ω, ) =







ψⁱⁿ_ph(x^?, ω, ) exp

− σ^totC () Z s

0

ρe(r(t)) dt

se x^? ∈ Γ,

0 se x^? ∈ Λ.

F´ormula para ψ_ph⁽ⁱ⁾:

ψ_ph⁽ⁱ⁾(r(s), ω, ) = Z s

0

n

[IS(ψ_ph⁽ⁱ⁻¹⁾)](r(s), ω, ) exp

−σ^totC () Z s

t

ρe(r(u)) duo dt.

F´ormula para IS(ψ_ph⁽ⁱ⁻¹⁾):

[IS(ψ⁽ⁱ⁻¹⁾_ph )](x, ω, ) = ρ_e(x) Z

S²

Z ∞ 0

˜

σ_C(⁰, , ω⁰· ω) ψph⁽ⁱ⁻¹⁾(x, ω⁰, ⁰) d⁰ dω⁰.

Dispo˜nemos dunha soluci´on anal´ıtica das ecuaci´ons de transporte pero a integral que aparece no termo de dispersi´on entrante non ten soluci´on anal´ıtica co˜necida e polo tanto imos ter que recorrer ´a integraci´on num´erica.

A idea ´e reducir o soporte da integral sobre a esfera pois o integrando vai ter un soporte ´ınfimo e tomar valores moi altos o que vai requirir dunha malla moi fina.

O custo computacional da integraci´on sobre dita malla sobre toda a esfera ser´ıa inabordable pois ademais dita integral forma parte de outra integral unidimensional.

Reducci´on do soporte das integrais sobre a esfera Definici´on 1. Integral de dispersi´on entrante de orde k∈ N ∪ {0}:

I^(k)(t) = Z

S²

Z ∞ 0

˜

σC(⁰, , ω⁰· ω) ψph^(k)(x, ω⁰, ⁰) d⁰dω⁰. (13) Definici´on 2. Dado ω ∈ S² e∈ (0, ∞) def´ınese

U = U (ω, ) ={ω⁰ ∈ S² : ω⁰· ω > ( − 1)/}. (14) Este conxunto ´e de vital importancia pois perm´ıtenos reducir a integral sobre o total da esfera ´a integral sobre dito conxunto. Ten forma de paraugas e para o rango de enerx´ıa considerado ocupa rexi´ons moi pequenas da esfera.

En [1] obtemos a partir da Ecuaci´on (13) a expresi´on:

I⁽⁰⁾(t) = Z

S²

H₁⁽⁰⁾(ω⁰, t) dω⁰ = Z

U

H₂⁽⁰⁾(ω⁰, t) dω⁰. (15) A´ında que xa reducimos considerablemente o soporte da funci´on que se pretende integrar a´ında ´e posible reducilo m´ais. Para iso imos ter en conta a relaci´on existente entre dito soporte e a proxecci´on da rexi´on irradiada sobre a esfera.

Definici´on 3. Sexa x= (x₁, x₂, x₃)∈ Ω = [0, L1]× [0, L2]× [0, L3]. Definimos V = V⁽⁰⁾(x) ={ω ∈ S² : x^?_ω∈ Γ}. (16) Observaci´on 4. O punto x^?_ω ∈ ∂Ω ´e o punto que atopamos na fronteira do dominio se partimos de x con direcci´on −ω. No caso dun dominio paralelep´ıpedo ´e sinxelo constru´ır un algoritmo para calculalo. Dominio m´ais xeral: Ray tracing.

Finalmente somos capaces de reducir a Ecuaci´on (15) ´a expresi´on seguinte:

I⁽⁰⁾(t) = Z

U ∩V

H₂⁽⁰⁾(ω⁰, t) dω⁰. (17)

Cambio a coordenadas esf´ericas

Consideramos a aplicaci´on definida por: P_sph(ϕ, θ) = (sen ϕ cos θ, sen ϕ sen θ, cos ϕ).

Definici´on 5. Sexa Z un subconxunto de S². Definimos

Z^? = P_sph⁻¹(Z)⊂ (0, π) × (0, 2π). (18) Como (U∩ V )^? = U^?∩ V^? tense que

I⁽⁰⁾(t) = Z

U^?∩V^?

H₂⁽⁰⁾(P_sph(ϕ, θ), t) sen ϕ dϕ dθ. (19) O conxunto U^?∩V^?´e dif´ıcil de expresar mediante l´ımites de integraci´on sinxelos.

Para solventar este problema imos ter que obter o menor rect´angulo, ou uni´on destes, que cont´en ao conxunto U^?∩ V^?. Denotarase por R(U^?∩ V^?) = R(U^?)∩ R(V^?).

O primeiro que hai que aclarar ´e a nosa definici´on de rect´angulo sobre a esfera.

Se ben en astronom´ıa existe unha definici´on clara n´os necesitamos algo m´ais xeral.

Manuel Cremades Buj´an SII 7

Definici´on 6. Por rect´angulo sobre S² entendemos un subconxunto aberto e non baleiro sobre devandita esfera limitado no norte e no sur por dous paralelos, ou no este e no oeste por dous meridianos, ou no este e no oeste por dous meridianos e no sur por un paralelo, ou no este e no oeste por dous meridianos e no norte por un paralelo, ou no este e no oeste por dous meridianos e no norte e no sur por dous paralelos.

C´ alculo de R(U )

Imos denotar por P ={PN, PS} ∈ S² o conxunto dos polos da esfera. Ent´on:

1. Se ≤ ¹₂ : R(U^?) = (S²)^? = [0, π]× [0, 2π].

2. Se  > ¹₂ e ω ∈ P : R(U^?) = U^? 3. Se  > 1

2 , ω /∈ P , α ≤ ^π₂ e P ∩ U = ∅ : R(U^?) = Z^?. Aqu´ı Z ´e o menor rect´angulo sobre S² que cont´en a U .

4. Se  > 1

2 , α_ ≤ ^π₂ e P ∩ U 6= ∅ : R(U^?) = Z₁^?∪ Z2^?. Aqu´ı Z₁ ´e a menor semicunca de S² que cont´en a U∩ {0 < θ < π} e Z2´e a menor semicunca que cont´en a U ∩ {π < θ < 2π}.

5. Se  > 1

2 , α_ > ^π₂ e P ∩ U = P : R(U^?) = (S²\ Z)^?. Aqu´ı Z ´e o maior rect´angulo en S² contido en S²\ U.

6. Se  > 1

2 , α_ > ^π₂ e P ∩ U 6= P : R(U^?) = Z₁^?∪ Z2^?. Aqu´ı Z₁ e Z₂ xogan o mesmo papel ca no Caso 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

ϕ∈ [0,π]

θ∈[0,2π]

E = 0.5110 MeV and ω = (0.5774,0.5774,-0.5774).

Figura 2: En azul am´osase o conxunto U e en vermello descontinuo a R(U ) tanto sobre a esfera coma sobre o plano. Este ´e o Caso 4.

A´ında que intuitivamente poda parecelo, a proxecci´on central dun rect´angulo sobre a esfera non ´e un rect´angulo sobre a esfera. Isto motiva o c´alculo do menor rect´angulo que cont´en devandita proxecci´on o cal pode consultarse en [1].

Resultados Num´ ericos

Consideramos os segmentos de recta l1(s) = (h_W, h_W, s) e l2(s) = (s, h_W, 0.2) onde h_W denota a altura da auga no dominio. Imos supo˜ner condici´ons de hospital para dar valores aos par´ametros f´ısicos involucrados no modelo.

Empregaremos f´ormulas de cuadratura de Simpson para computar as integrais involucradas. Na Figura 3 am´osase ´a esquerda como o fluxo de fot´ons que non se

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

10x 10¹²

x3∈ [0,L3] ψ(0)ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 10¹²

x1∈ [0,L1] ψ(0)ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

Figura 3: Valores de ψ⁽⁰⁾_ph sobre l₁ e l₂ tomando ω =−e3 e  = _0.511¹⁰

dispersan decrece drasticamente a medida que afondamos na zona de auga. N´otese que como a radiaci´on ´e vertical s´o haber´a fluxo na proxecci´on da rexi´on irradiada.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 2 4 6 8 10 12 14x 10⁹

x1∈ [0,L2] ψ(1)ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7x 10⁹

x1∈ [0,L1] ψ(1)ph

E = 10.0000 MeV and ω = (0.0000,0.0000,-1.0000).

Figura 4: Valores de ψ⁽¹⁾_ph sobre l1 e l2 tomando ω =−e3 e  = _0.511¹⁰

Na gr´afica da esquerda da Figura 4 compr´obase que o cambio na densidade do medio implica unha maior dispersi´on das part´ıculas.

Bibliograf´ıa

[1] Cremades, M. (2014). Problemas Geom´etricos Simples Relacionados con la In- tegraci´on Num´erica.Traballo Fin de Grado. Universidade de Santiago de Com- postela.

[2] Taposh, D. e L´opez-Pouso, ´O. (2014). New insights into the numerical solution of the Boltzmann transport equation for photons.Kinetic and Related Models.

AIMS.

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Xeometr´ıa semi-riemanniana: variedades con densidade Javier Valle Regueiro

Departamento de Xeometr´ıa e Topolox´ıa 30 de setembro de 2015

Resumo

O estudo das variedades (semi-)riemannianas (i.e. dotadas dunha m´etrica) ocu- pa un lugar moi importante na xeometr´ıa diferencial. Estas xeneralizan a teor´ıa cl´asica de superficies e permiten introducir na variedade a idea de volume. A partir deste ´ultimo concepto, a variedade (semi-)riemanniana pode dotarse dunha medi- da. Ademais, a introduci´on dunha funci´on (de densidade) sobre a variedade permite modificar a medida e xorde as´ı o concepto de variedades con densidade. Para m´ais informaci´on sobre este tema cons´ultense as referencias [3, 4].

Por unha banda, o concepto de densidade permite definir a integral sobre a variedade e, por outra, xorden ecuaci´ons diferenciais cun gran contido xeom´etrico.

Un caso particular destas ´e a co˜necida como ecuaci´on quasi-Einstein, que caracteriza

´

as variedades do mesmo nome.

Introduci´ on

Por simplicidade, a maior parte dos elementos cos que imos traballar ser´an introducidos sobre superficies no canto de sobre variedades. En calquera caso, imos ir comentando aqueles aspectos nos que existe diferenza entre a teor´ıa cl´asica de superficies e a de variedades.

Comezamos pois coas definici´ons de superficie e de variedade diferenciable.

Definici´on 1. Dise queS ⊂ R³ ´e unha superficie regular se para todop∈ S existen unha veci˜nanzaV ⊂ S de p e unha aplicaci´on x : U ⊂ R² → V ⊂ R³ tal que:

1. x ´e diferenciable (se e s´o se x_i diferenciable), 2. x ´e un homeomorfismo e x⁻¹ ´e diferenciable, e

3. (dx)_q: R² → R³ ´e inxectiva (i.e. ten rango m´aximo), para todo q∈ U.

Por outra banda, imos presentar o concepto de variedade diferenciable, mais para isto temos que definir alg´uns conceptos previos.

Palabras Clave: xeometr´ıa semi-riemanniana; variedades con densidade; superficies; formas de volume; ´area; integraci´on sobre variedades.

9

Definici´on 2. Sexa M un espazo topol´oxico. Se se verifica que para todo p ∈ M existe unha veci˜nanza aberta U de p tal que U ´e homeomorfo a un aberto de Rⁿ, dise de M que ´e localmente euclidiano de dimensi´onn.

Definici´on 3. Dado un espazo topol´oxico M , dise que M ´e unha variedade topol´o- xica de dimensi´onn se ´e localmente euclidiano de dimensi´onn e Hausdorff.

Observaci´on 4. Algunhas definici´ons de variedade topol´oxica esixen que M sexa ademais paracompacto, i.e., todo recubrimento por abertos admite un refinamento por abertos localmente finito.

Definici´on 5. Sexa M unha variedade topol´oxica de dimensi´on n e p un punto de M . Unha carta ´e un par (U, ϕ) onde ϕ ´e un homeomorfismo de U ⊂ M en Rⁿ. Un atlas sobre M ´e unha colecci´on de cartas a = {(U^α, ϕα) : α∈ A}sobre M verificando:

1. M =∪α∈AUα,

2. Se α, β ∈ A, as cartas (U^α, ϕα) e (U_β, ϕ_β) son compatibles, ´e dicir, ϕ_β ◦ ϕ⁻¹α

e ϕ_α◦ ϕ⁻¹_β son C^∞ como aplicaci´ons entre abertos de Rⁿ.

Se o atlas a ´e maximal (i.e., se dado outro atlas b sobre M tal que a ⊂ b, ent´on a = b) dise atlas maximal ou completo e denot´amolo por [a]∞. Dado un atlas completo enM , chamaremos estrutura diferenciable sobre M ao par (M, [a]∞).

Figura 1: Cambio de cartas sobre unha variedade.

Definici´on 6. Unha variedade diferenciable de dimensi´onn ´e un par (M, [a]∞) onde M ´e unha variedade topol´oxica de dimensi´onn e [a]∞´e unha estrutura diferenciable sobre M .

Javier Valle Regueiro SII 11

Primeira forma fundamental vs. m´ etrica riemanniana

Volvendo agora a superficies regulares, recordamos que a primeira forma funda- mental dunha superficie S ´e a forma cuadr´atica:

I_p : T_pS → R,

dada por Ip(v) = hv, vi, onde h·, ·i ´e un produto escalar en R³. Ad´oitase denotar este produto escalar por g.

Dun xeito an´alogo, podemos dotar unha variedade M cun produto escalar en TpM . Isto ´e, definir un tensor g de tipo (0, 2) sobre M ,

g_p: T_pM × TpM → R.

En coordenadas (x¹, ... , xⁿ), podemos expresar g como:

g = gijdxⁱ⊗ dx^j,

onde empregamos o convenio de Einstein para a suma de ´ındices repetidos.

Observaci´on 7. O produto que define o tensor da m´etrica gp enTpM non ten por que ser definido positivo. No caso no queg sexa definido positivo, M dise variedade riemanniana, mentres que se ´e indefinido e non dexenerado, diremos queM ´e semi- riemanniana. No sucesivo, denotaremos por(M, g) a variedade (semi-)riemanniana.

Outro caso moi importante dentro da xeometr´ıa semi-riemanniana ´e o lorent- ziano, que consiste nunha m´etrica indefinida cun autovalor dun signo e n− 1 de signo contrario.

Exemplo 8. Consideremos o plano π ≡ R² ⊂ R³ como unha superficie regular co produto escalar habitual. Imos parametrizar o plano en coordenadas cartesianas e polares, vendo as´ı que a primeira forma fundamental non sempre ten a mesma expresi´on dependendo da base que escollamos de vectores tanxentes. Distinguimos dous casos:

Coordenadas cartesianas. Sexa x(u¹, u²) = (u¹, u², 0) unha parametriza- ci´on deπ en coordenadas cartesianas. En tal caso, x₁ = (1, 0, 0) e x₂ = (0, 1, 0), polo que a matriz que representa g na base {x1, x2} ´e a identidade.

Coordenadas polares. Sexa y(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ, 0) unha parametriza- ci´on de π en coordenadas polares. Ent´on tense que y1 = (cos θ, sen θ, 0) e y₂ = (−ρ sen θ, ρ cos θ, 0), de onde obtemos que a matriz que representa a g ´e da forma:

g =

 1 0 0 ρ²

 .

Temos mostrado as´ı que o mesmo produto escalar pode ter expresi´ons distintas para a primeira forma fundamental dependendo da base que escollamos (en particu- lar, da base dos vectores tanxentes ´as curvas param´etricas no caso de superficies).

Variedades con densidade

Dada unha variedade (semi-)riemanniana (M, g), diremos que unha funci´on de densidade en M ´e unha funci´on positiva, f : M → R⁺. Por simplicidade, imos considerar a nosa funci´on de densidade como f = e^ϕ para unha funci´on ϕ : M → R.

A continuaci´on imos definir o que se co˜nece como forma de volume dunha va- riedade (semi-)riemanniana.

Definici´on 9. Sexan (M, g) unha variedade (semi-)riemanniana e (x¹, ... , xⁿ) co- ordenadas locais. Ch´amase forma de volume de (M, g) a:

dVg =p| det(g)|dx¹∧ ··· ∧ dxⁿ.

A partir da forma de volume riemanniana podemos definir unha nova forma de volume empregando a funci´on de densidade e^ϕ. Isto ´e, dV = e^ϕdV_g. Deste xeito, temos contru´ıdo unha nova medida en M , polo que podemos definir o concepto de integral sobre M .

Como caso particular do anterior imos obter a ´area dunha superficie.

Exemplo 10. Sexa S ⊂ R³ unha superficie tal que S ´e a traza dunha funci´on f : R²→ R. Podemos parametrizar S como X(u¹, u²) = (u¹, u², f (u¹, u²)) e deste xeito, os vectores X1(u¹, u²) = (1, 0, ∂1f (u¹, u²)) e X2(u¹, u²) = (1, 0, ∂1f (u¹, u²)) son tanxentes a S no punto f (u¹, u²)∈ S.

Calculamos a ´area de X(U )⊂ S, sendo U un aberto de R², como Z

UkX¹(u¹, u²)∧ X²(u¹, u²)kdu¹du² ≡ Z

Up|g|du¹du², onde g ´e a matriz dada por elementos g_ij = g(Xi, Xj).

Imos considerar agora un novo exemplo de variedade con densidade moi ligado

´

a teor´ıa da medida pola s´ua relaci´on coa camp´a de Gauss.

Exemplo 11. Sexa ψ(θ, r) = _2π¹ e^−r22 , para a cal se define a forma de volume dV = ψdV_g sobre (R², g = Id).

A continuaci´on, calculamos a integral dunha secci´on circular con respecto ´a for- ma de volume dV . Por exemplo, nun c´ırculo de raio R, a cuarta parte da ´area que encerra, responde ´a integral:

Z R 0

Z ^π₂

0

r

2πe^−r22 dθdr = 1 4



1− e^−R22

 .

Deste xeito, podemos saber cal ´e a circunferencia que encerra unha certa probabili- dade en R² con esta densidade de probabilidade.

Javier Valle Regueiro SII 13

Variedades quasi-Einstein

Para rematar, introducimos unhas pequenas noci´ons (sen dar definici´ons nin resultados te´oricos) das posibles aplicaci´ons das variedades con densidade ´a inves- tigaci´on actual en xeometr´ıa diferencial (semi-)riemanniana.

Para po˜nernos en contexto, ´e interesante salientar que no eido da xeometr´ıa (semi-)riemanniana, un tema central oc´upao o estudo das ecuaci´ons diferenciais de evoluci´on xeom´etrica, ´e dicir, aquelas que est´an asociadas a certos dominios caracter´ısticos. Entre estas, destacan a ecuaci´on Einstein (ρ = λg, λ ∈ R) ou os solit´ons de Ricci, que responden ´a ecuaci´on:

LXg + ρ = λg,

ondeL denota a derivada de Lie, X ´e un campo de vectores sobre M, ρ o tensor de Ricci de tipo (0, 2) e λ ∈ R. Para m´ais informaci´on cons´ultense as referencias [1, 2]. Un caso particular deste tipo de variedades son os solit´ons de Ricci gradientes (GRS polas s´uas siglas en ingl´es), onde a derivada de Lie ´e simplemente o hessiano dunha funci´on f sobre a variedade. Unha extensi´on natural da ecuaci´on dos GRS ´e a co˜necida como ecuaci´on quasi-Einstein, dada por:

Hes_f+ ρ− 1

mdf⊗ df = λg, con 0 < m ≤ ∞,

onde Hes_f denota o tensor hessiano de f de tipo (0, 2) definido por Hes_f(X, Y ) = XY (f )− ∇XY (f ) e ∇ ´e a conexi´on de Levi-Civita de (M, g). Esta ecuaci´on ca- racteriza ´as variedades do mesmo nome. A partir destes conceptos nace o tensor de m-Bakry-´Emery definido por ρ^m_f = ρ + Hes_f−_m¹df ⊗ df, con 0 < m ≤ ∞. Este tensor xoga o papel do Ricci nas variedades con densidade e permite aglutinar os conceptos anteriores (de variedade Einstein, quasi-Einstein e os GRS) mediante a ecuaci´on ρ^m_f = λg. En particular, se consideramos esta ecuaci´on sobre unha varieda- de M con funci´on de densidade constante, tense que ρ^m_f = ρ e daquela M ´e Einstein, mentres que se f non ´e constante e m =∞, ent´on M ´e un GRS.

Para poder traballar coa ecuaci´on quasi-Einstein, moitas veces resulta apropiado redefinila mediante o seguinte cambio de variable. Para isto, tomamos unha nova funci´on u = e^{−f /m}, obtendo as´ı a ecuaci´on quasi-Einstein linearizada:

ρ−m

u Hes_u= λg.

Non obstante, o estudo deste tipo de variedades en xeral ´e dif´ıcil de abordar e non se co˜necen demasiados resultados ao respecto. Por´en, existen caracterizaci´ons locais deste tipo de variedades ao engadirmos algunha condici´on m´ais ´as hip´oteses de partida. Por exemplo, o estudo destas variedades verificando certas propiedades alx´ebricas ou tendo algunha estrutura adicional. Neste sentido podemos salientar o caso das variedades localmente conformemente ch´as ou as variedades K¨ahler (dota- das dunha estrutura complexa). En particular, engadindo algunha destas hip´oteses ao noso estudo, a obtenci´on de caracterizaci´ons (locais) destas m´etricas resulta moi- to m´ais sinxela e semella un bo punto de inicio para abordar o problema desde un punto de vista m´ais xeral.

Bibliograf´ıa

[1] Batat, W., Brozos-Vazquez, M., Garcia-Rio, E. e Gavino-Fernandez, S. (2011).

Ricci Solitons on Lorentzian Manifolds with Large Isometry Groups, Bull. Lond.

Math. Soc., 43, pp. 1219–1227.

[2] Brozos-V´azquez, M. e Garc´ıa-R´ıo, E. Four-dimensional neutral signature self- dual gradient Ricci solitons, Indiana Univ. Math. J., a aparecer.

[3] Corwin, I., Hoffman, N., Hurder, S., ˇSeˇsum, V. e Xu, Y. (2006). Differential Geometry of Manifolds with Density, Rose-Hulman Und. Math. J. 7(1), 15 pp.

[4] Morgan, F. (2005). Manifolds with density, Notices Amer. Math. Soc., 52, pp. 853–858.

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Funciones de Green y teor´ıa espectral para la ecuaci´ on de Hill

Luc´ıa L´ opez Somoza

Departamento de An´alise Matem´atica 14 de octubre de 2015

Resumen

Se mostrar´an ciertas propiedades de las funciones de Green relativas a la ecuaci´on de Hill con diferentes condiciones de frontera de dos puntos. Se obtendr´a la expresi´on expl´ıcita de la funci´on de Green de los problemas de Neumann, Dirichlet, Mixtos y Antiperi´odico como combinaci´on lineal de funciones de Green relativas a problemas peri´odicos.

Como consecuencia se deducir´an resultados en teor´ıa espectral y se comparar´an las soluciones de la ecuaci´on de Hill bajo diferentes condiciones de contorno.

Todos los resultados enunciados a continuaci´on pueden verse en [3].

Preliminares

La ecuaci´on de Hill

u⁰⁰(t) + [a(t) + λ] u(t) = 0, t∈ [0, T ] bajo condiciones de contorno peri´odicas

u(0) = u(T ), u⁰(0) = u⁰(T ) ha sido ampliamente estudiada.

Nuestro objetivo es estudiar otros problemas de contorno utilizando para ello los resultados existentes para el problema peri´odico.

Supongamos que el problema homog´eneo

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = 0, t∈ [0, T ] ≡ I, u ∈ X (1) con a∈ L¹(I), tiene ´unicamente la soluci´on trivial. Es un resultado conocido que si σ∈ L¹(I) y se satisface esta condici´on, entonces el problema no homog´eneo

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = σ(t), t∈ I, u ∈ X

Palabras Clave: Ecuaci´on de Hill; Funciones de Green; Teor´ıa Espectral.

15

tiene soluci´on ´unica dada por u(t) =

Z T 0

G[a, T ](t, s) σ(s) ds, ∀ t ∈ I.

G[a, T ](t, s) es la llamada funci´on de Green, la cual existe y es ´unica si y solo si el problema (1) tiene ´unicamente la soluci´on trivial, es decir, si y solo si λ no es un autovalor del problema (1).

A continuaci´on, expresaremos la funci´on de Green de los diferentes problemas de contorno como combinaci´on lineal de funciones de Green peri´odicas. Esto nos permitir´a relacionar el espectro de los distintos problemas as´ı como las soluciones de los mismos.

Problemas de Neumann y Dirichlet

Supongamos que el problema de Neumann

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = σ(t), t∈ I, u⁰(0) = u⁰(T ) = 0 (N, T ) tiene soluci´on ´unica u para todo σ∈ L¹(I).

Supongamos adem´as que el problema peri´odico en J

u⁰⁰(t) + (˜a(t) + λ) u(t) = ˜σ(t), t∈ J, u(0) = u(2 T ), u⁰(0) = u⁰(2 T ), (P, 2T ) con ˜a la extensi´on par de a, tiene soluci´on ´unica para todo ˜σ∈ L¹(J).

Sea u la ´unica soluci´on del problema (N, T ) y v su extensi´on par. Entonces, v es una soluci´on de (P, 2T ) en el caso particular de que ˜σ sea la extensi´on par de σ.

Denotando por GN[a, T ] a la funci´on de Green de (N, T ) y por GP[˜a, 2 T ] a la de (P, 2T ), tenemos lo siguiente

Z _T

0

G_N[a, T ](t, s) σ(s) ds = u(t) = v(t) = Z _{2 T}

0

G_P[˜a, 2 T ](t, s) ˜σ(s) ds

= Z T

0

GP[˜a, 2 T ](t, s) σ(s) ds + Z 2 T

T

GP[˜a, 2 T ](t, s) σ(2 T − s) ds

= Z T

0

(G_P[˜a, 2 T ](t, s) + G_P[˜a, 2 T ](t, 2 T − s)) σ(s) ds ∀ t ∈ [0, T ].

Como σ es arbitrario, deducimos que

G_N[a, T ](t, s) = G_P[˜a, 2 T ](t, s) + G_P[˜a, 2 T ](t, 2 T − s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Adem´as, como ˜a es par, GP[˜a, 2 T ](t, 2 T− s) = GP[˜a, 2 T ](2 T− t, s), por lo que GN[a, T ](t, s) = GP[˜a, 2 T ](t, s) + GP[˜a, 2 T ](2 T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Por otra parte, v tambi´en es la ´unica soluci´on del problema de Neumann en J u⁰⁰(t) + (˜a(t) + λ) u(t) = ˜σ(t), t∈ J, u⁰(0) = u⁰(2 T ) = 0 (N, 2T )

Luc´ıa L´opez Somoza SII 17

y un razonamiento an´alogo al anterior nos permite concluir que

G_N[a, T ](t, s) = G_N[˜a, 2 T ](t, s) + G_N[˜a, 2 T ](2 T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Sea ahora G_D[a, T ](t, s) la funci´on de Green del problema de Dirichlet

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = σ(t), t∈ I, u(0) = u(T ) = 0 (D, T ) y u la ´unica soluci´on del mismo. Tomando v como la extensi´on impar de u, deducimos que v es soluci´on de (P, 2T ) para el caso particular de tomar ˜σ como la extensi´on impar de σ. Razonando de forma an´aloga al caso anterior, concluimos que

G_D[a, T ](t, s) = G_P[˜a, 2 T ](t, s)− GP[˜a, 2 T ](2 T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Adem´as, v tambi´en es soluci´on del problema de Dirichlet en J

u⁰⁰(t) + (˜a(t) + λ) u(t) = ˜σ(t), t∈ J, u(0) = u(2 T ) = 0, (D, 2T ) y llegamos a que

GD[a, T ](t, s) = GD[˜a, 2 T ](t, s)− GD[˜a, 2 T ](2 T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I.

Como consecuencia directa obtenemos

G_N[a, T ](t, s) + G_D[a, T ](t, s) = 2 G_P[˜a, 2 T ](t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I (2) y

GN[a, T ](t, s)− G^D[a, T ](t, s) = 2 GP[˜a, 2 T ](2 T − t, s) ∀ (t, s) ∈ I × I. (3) Puesto que, tal y como se coment´o anteriormente, la funci´on de Green relativa a un problema existe y es ´unica si y solo si dicho problema tiene soluci´on ´unica, de- ducimos que (P, 2T ) tiene soluci´on ´unica si y solo si (N, T ) y (D, T ) tienen soluci´on

´ unica.

Adem´as, denotando por Λ al conjunto de autovalores de cada problema, podemos concluir que

ΛN[a, T ]∪ ΛD[a, T ] = ΛP[˜a, 2 T ].

Problemas Mixtos

Considerando ahora los problemas de frontera Mixtos,

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = σ(t), t∈ I, u⁰(0) = u(T ) = 0 (M₁, T ) y

u⁰⁰(t) + (a(t) + λ) u(t) = σ(t), t∈ I, u(0) = u⁰(T ) = 0, (M2, T ) y el problema antiperi´odico

u⁰⁰(t)+(˜a(t)+λ) u(t) = ˜σ(t), t∈ J, u(0) = −u(2 T ), u⁰(0) =−u⁰(2 T ), (A, 2T ) podemos obtener, de forma totalmente an´aloga a la secci´on anterior, las funciones de Green de los problemas mixtos como combinaci´on lineal de funciones de Green de otros problemas (v´ease [3]). De todas estas expresiones podemos deducir lo siguiente:

1. (A, 2T ) tiene soluci´on ´unica si y solo si (M1, T ) y (M2, T ) tienen soluci´on

´ unica.

2. (N, 2T ) tiene soluci´on ´unica si y solo si (N, T ) y (M1, T ) tienen soluci´on ´unica.

3. (D, 2T ) tiene soluci´on ´unica si y solo si (D, T ) y (M2, T ) tienen soluci´on ´unica.

Se obtienen tambi´en las siguientes relaciones entre los espectros de los problemas:

ΛM1[a, T ]∪ Λ^M2[a, T ] = ΛA[˜a, 2 T ],

Λ_N[a, T ]∪ ΛM1[a, T ] = Λ_N[˜a, 2 T ], Λ_D[a, T ]∪ ΛM2[a, T ] = Λ_D[˜a, 2 T ].

Signo constante de las funciones de Green

A partir de las relaciones obtenidas se puede relacionar el signo constante de las funciones de Green de los distintos problemas. En particular, se tiene lo siguiente:

Teorema 1. 1. G_P[˜a, 2 T ]≥ 0 en J × J si y solo si GN[a, T ]≥ 0 en I × I.

2. Son equivalentes:

G_P[˜a, 2 T ] < 0 en J× J.

G_N[a, T ] < 0 en I × I.

GN[˜a, 2 T ] < 0 en J× J.

3. SiGN[˜a, 2 T ] > 0 en (0, 2 T )×(0, 2 T ), entonces G^N[a, T ] > 0 en (0, T )×(0, T ).

4. Si GN[a, T ] tiene signo constante en I× I entonces GD[a, T ] < 0 en (0, T )× (0, T ).

GM1[a, T ] < 0 en [0, T )× [0, T ).

GM2[a, T ] < 0 en (0, T ]× (0, T ].

GD[˜a, 2 T ] < 0 en (0, 2 T )× (0, 2 T ).

5. GD[˜a, 2 T ] < 0 en (0, 2 T )×(0, 2 T ) si y solo si GM2[a, T ] < 0 en (0, T ]×(0, T ].

6. Si G_M2[a, T ] < 0 en (0, T ]× (0, T ], entonces GD[a, T ] < 0 en (0, T )× (0, T ).

Luc´ıa L´opez Somoza SII 19

Principios de comparaci´ on

Por otra parte, si en las ecuaciones del tipo de (2) y (3) suponemos que una de las funciones de Green tiene signo constante, podemos comparar las otras dos funciones de forma puntual. Un ejemplo de ello ser´ıa el siguiente resultado:

Corolario 2. Si GP[˜a, 2 T ] < 0 en J× J, entonces GN[a, T ](t, s) < GD[a, T ](t, s) para todo(t, s)∈ I × I.

Como consecuencia inmediata, podemos comparar las soluciones de dos proble- mas distintos, tal y como se observa en el siguiente teorema:

Teorema 3. Supongamos que GP[˜a, 2 T ] < 0 en J× J. Sea uD la ´unica soluci´on del problema (D, T ) para σ = σ1 y u_N la ´unica soluci´on del problema (N, T ) para σ = σ₂.

1. Si 0≤ σ2(t)≤ σ1(t), entonces u_N(t)≤ uD(t)≤ 0 para todo t ∈ I.

2. Si 0≥ σ2(t)≥ σ1(t), entonces uN(t)≥ uD(t)≥ 0 para todo t ∈ I.

Resultados an´alogos a estos pueden obtenerse para los diversos problemas con- siderados, utilizando para ello expresiones similares a (2) y (3) que involucren a las distintas funciones de Green. Todos ellos aparecen recogidos en [3].

Orden global de autovalores

Por ´ultimo, se puede demostrar la existencia de un cierto orden de aparici´on de los autovalores asociados a los problemas (N, T ), (D, T ), (M₁, T ) y (M₂, T ). Para ello se tendr´a en cuenta la siguiente observaci´on.

Observaci´on 4. Se verifica que todos los autovalores de los problemas de Neumann, Dirichlet y Mixtos son simples y que la autofunci´on asociada al k-´esimo autovalor (con k = 0, 1, ... ) se anula exactamente k veces en el intervalo abierto (0, T ). Este resultado general de teor´ıa espectral puede verse en [2].

Consideremos entonces los siguientes hechos:

(i) Sean λ^N,T_k , λ^N,T_k+1∈ ΛN[a, T ] dos autovalores consecutivos del problema (N, T ) y sean u^N,T_k y u^N,T_k+1 sus autofunciones asociadas, con k y k + 1 ceros en el intervalo [0, T ], respectivamente.

Si consideramos las extensiones pares de u^N,T_k y u^N,T_k+1 al intervalo [0, 2 T ] ob- servamos que tienen 2k y 2k + 2 ceros en [0, 2 T ], respectivamente, por lo que debe existir un autovalor λ ∈ ΛN[˜a, 2 T ], λ^N,T_k < λ < λ^N,T_k+1 tal que su autofunci´on asociada tenga exactamente 2k + 1 ceros en el intervalo [0, 2 T ].

Necesariamente, λ ∈ ΛM1[a, T ].

Como se tiene que λ^{N, 2 T}₀ = λ^N,T₀ concluimos que

··· < λ^N,T_k < λ^M_k^1,T < λ^N,T_k+1 < λ^M_k+1^1,T < ...

(ii) An´alogamente, puede verse f´acilmente que ΛM2[a, T ] se corresponde con los autovalores de ΛD[˜a, 2 T ] cuyas autofunciones tienen un n´umero par de ceros en (0, 2 T ) y Λ_D[a, T ] se corresponde con los autovalores de Λ_D[˜a, 2 T ] cuyas autofunciones tienen un n´umero impar de ceros en (0, 2 T ). Puesto que se sabe que λ^{D, 2 T}₀ = λ^M₀ ^2,T concluimos que

··· < λ^M_k^2,T < λ^D,T_k < λ^M_k+1^2,T < λ^D,T_k+1 < ...

(iii) El Teorema de Oscilaci´on ([1, Cap´ıtulo 2]) garantiza que los autovalores de los problemas peri´odico y antiperi´odico relativos al mismo intervalo (que de- notaremos por λn y λ⁰_n, respectivamente) siempre aparecen en el siguiente orden

λ₀< λ⁰₁ ≤ λ⁰2< λ₁ ≤ λ2< λ⁰₃ ≤ λ⁰4< λ₃ ≤ λ4...

Consecuentemente, si consideramos el item (iii) para los problemas (P, 2T ) y (A, 2T ) y tenemos en cuenta las desigualdades obtenidas en (i) e (ii) podemos afirmar que

En cada par{λ2k−1, λ2k} de dos autovalores consecutivos del problema (P, 2T ), uno pertenece a ΛN(a, T ) y el otro a ΛD(a, T ).

En cada par{λ⁰_2k−1, λ⁰_2k} de dos autovalores consecutivos del problema (A, 2T ), uno pertenece a ΛM1(a, T ) y el otro a ΛM2(a, T ).

El razonamiento previo permite concluir que siempre se tiene el siguiente orden para los autovalores de los problemas considerados:

λ^N,T₀ <n

λ^M₀ ^1,T, λ^M₀ ^2,To

<n

λ^D,T₀ , λ^N,T₁ o

<n

λ^M₁ ^1,T, λ^M₁ ^2,To

<n

λ^D,T₁ , λ^N,T₂ o

< ...

Bibliograf´ıa

[1] Magnus, W. y Winkler, S. (1979). Hill’s equation, Dover Publications.

[2] Weinberger, H. F. (1995). A first course in partial differential equations with complex variables and transform methods, Dover Publications.

[3] Cabada, A., Cid, J. A. y L´opez Somoza, L. (2016). Green’s Functions and Spec- tral Theory for the Hill’s Equation, Applied Mathematics and Computation, 286, pp. 88–105.

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Superficies non compactas Carlos Franco Sanmart´ın

Departamento de Xeometr´ıa e Topolox´ıa 28 de outubro de 2015

Introduci´ on

Ent´endese a clasificaci´on de superficies como o exercicio de atopar resultados que permitan determinar cando d´uas superficies son ou non topoloxicamente equi- valentes, ´e dicir, homeomorfas.

O punto de partida para o estudo dos invariantes topol´oxicos das superficies sit´uase no s´eculo XVIII coa famosa f´ormula de Euler para poliedros. As primeiras aproximaci´ons ´a clasificaci´on das superficies pechadas (compactas e sen bordo) fo- ron obra de M¨obius e Jordan no caso orientable (d´ecada de 1860), e de von Dyck no caso non orientable (1888). Sen embargo, as noci´ons de variedade topol´oxica e homeomorfismo que estes autores manexaban eran moi imprecisas. Non foi ata 1907 cando apareceu a primeira proba rigorosa do teorema de clasificaci´on de superficies compactas, elaborada por Dehn e Heegaard. A co˜necida demostraci´on alx´ebrica de tal teorema foi publicada en 1921 por Brahana, quen tam´en ideou o teorema de clasificaci´on para superficies compactas con bordo.

En 1923 o matem´atico h´ungaro B´ela Ker´ekj´art´o estableceu un teorema para a clasificaci´on das superficies non compactas sen bordo. Posteriormente, no ano 1963, Ian Richards, en [5], recolle detalladamente o traballo de Ker´ekj´art´o e aporta un m´etodo expl´ıcito para a construci´on dun representante de calquera clase de homeomorf´ıa a partir dunha esfera.

Referencias nas que se tratan con detalle a maior´ıa dos conceptos cos que aqu´ı se aume certa familiaridade son [1, 2, 3, 4].

Preliminares

Sexa n≥ 1 un enteiro positivo. Unha variedade sen bordo de dimensi´on n ´e un espazo topol´oxico localmente homeomorfo ao espazo euclidiano Rⁿ. Unha variedade con bordo M de dimensi´on n ´e un espazo topol´oxico tal que todo punto ten unha veci˜nanza aberta homeomorfa a un aberto de Rⁿ⁻¹× [0, ∞). O bordo ∂M def´ınese coma o subespazo correspondente a Rⁿ⁻¹×{0} e tr´atase dunha variedade sen bordo de dimensi´on n− 1.

Palabras Clave: Superficie; compacidade; espazo de finais; Ker´ekj´art´o; conxunto de Cantor.

21

As variedades de dimensi´on 2 reciben o nome de superficies. Neste texto pres´en- tanse as noci´ons b´asicas relativas ´a clasificaci´on das superficies non compactas sen bordo. Consideraranse unicamente as superficies Hausdorff e segundo numerables, porque nunha maior xeneralidade aparecen casos patol´oxicos que semellan impo- sibles de clasificar. Cabe destacar que, segundo demostrou Tibor Rad´o en 1925, a propiedade de segundo numerabilidade en superficies equivale ´a condici´on de trian- gularizabilidade. Ademais asumirase que as superficies son conexas, xa que en caso contrario basta con aplicar os resultados aqu´ı inclu´ıdos a cada unha das compo˜nen- tes conexas da superficie.

Dise que unha superficie ´e orientable se non cont´en ningunha faixa de M¨obius, ´e dicir, se non conta con ning´un “bonete cruzado” (plano proxectivo sen un disco). Tal e como estableceu F´elix Klein na d´ecada dos setenta do s´eculo XIX, a orientalidade

´e unha propiedade global das superficies. Deste xeito, d´uas superficies homeomorfas ter´an necesariamente o mesmo tipo de orientalidade. Exemplos de superficies com- pactas orientables son a esfera S²e o toro T²(esfera cunha asa), mentres que o plano proxectivo P² (esfera cun bonete cruzado) e a garrafa de Klein K son non orienta- bles. Nunha superficie non orientable dous bonetes cruzados equivalen a unha asa, sempre e cando se conserve polo menos un bonete cruzado que mante˜na o car´acter non orientable. As´ı, por exemplo, sucede que

T²#P² ≈ P²#P²#P² = K#P² .

En´unciase a continuaci´on o teorema de clasificaci´on de superficies compactas.

Teorema 1. Toda superficie compacta(sen bordo) ´e homeomorfa a unha esfera, ou a unha suma conexa den toros ou a unha suma conexa de n planos proxectivos, para alg´unn∈ N. Ademais, estas superficies corresponden todas a tipos de homeomorf´ıa diferentes.

A caracter´ıstica de Euler dunha superficie compacta ´e un invariante topol´oxico que se define como

χ(M ) = (# caras) + (# v´ertices)− (# aristas) para calquera triangulaci´on de M , e non depende da mesma.

Proposici´on 2. A caracter´ıstica de Euler dunha superficie compacta v´en dada por:







2 se ´e unha esfera

2− 2n se ´e suma conexa de n toros

2− n se ´e suma conexa de n planos proxectivos O x´enero dunha superficie compacta sen bordo def´ınese como

g(M ) = (₁

2(2− χ(M)) se M ´e orientable 2− χ(M) se M ´e non orientable .

Carlos Franco Sanmart´ın SII 23

No caso orientable o x´enero indica o n´umero de asas que presenta a superficie, mentres que no caso non orientable indica o n´umero m´aximo de bonetes cruzados que pos´ue (i.e. contando cada asa como un par de bonetes).

A continuaci´on incl´uese a versi´on do Teorema 1 para superficies con bordo.

Teorema 3. D´uas superficies compactas con bordo e triangularizables son homeo- morfas se e s´o se ambas te˜nen o mesmo n´umero de curvas fronteira, a mesma caracter´ıstica de Euler, e ambas son ou ben orientables ou ben non orientables.

Finais dunha superficie non compacta

O concepto fundamental empregado na clasificaci´on topol´oxica das superficies non compactas ´e o de compactificaci´on, que consiste no mergullo denso dunha su- perficie non compacta noutra que sexa compacta. Deste xeito, os teoremas de clasi- ficaci´on de superficies compactas (Teoremas 1 e 3) ser´an a base para o tratamento das non compactas.

Definici´on 4. Unha compactificaci´on dunha superficie non compactaM ´e un mer- gullof : M → f(M) ⊂ M^∗ que verifica as propiedades seguintes:

(i) M^∗ ´e compacto.

(ii) M ´e denso en M^∗; ´e dicir, M = M^∗.

Ademais def´ınese a coroa deM como β = M^∗\ M.

D´uas compactificaci´ons de M dinse equivalentes se existe un homeomorfismo entre elas tal que a s´ua restrici´on a M sexa a identidade. A relaci´on as´ı definida no conxunto das compactificaci´ons de M ´e de equivalencia, polo que cando se fale de unicidade de compactificaci´on d´ebese entender que ´e salvo equivalencias neste sentido. Considerarase aqu´ı unha rexi´on dun espazo topol´oxico X coma un aberto conexo de X. As´ı mesmo, dirase que un conxunto A ⊂ X non separa as rexi´ons de X cando U\ A ´e conexo para calquera rexi´on U ⊂ X. A partir destas premisas tense o seguinte resultado.

Teorema 5. Dada unha superficie non compactaM , existe unha ´unica compactifi- caci´on M^∗ de M con coroa β verificando as condici´ons seguintes:

(1) M^∗ ´e un espazo Hausdorff e localmente conexo.

(2) β ´e totalmente desconexo.

(3) β ´e un conxunto que non separa as rexi´ons deM^∗.

A proba deste teorema involucra ao axioma da elecci´on e bas´ease nunha cons- truci´on expl´ıcita de β e dunha topolox´ıa en M^∗ = M∪ β. Tal compactificaci´on M^∗ ch´amase compactificaci´on por finais de M , e β recibe o nome de espazo de finais de M . Denotarase por Q calquera rexi´on de M que non sexa compacta en M pero que te˜na fronteira compacta.

Definici´on 6. Un final de M (un elemento de β) ´e unha colecci´on non baleiraq de subconxuntos Q de M do tipo anterior tales que:

(a) se Q₀ ∈ q e Q0⊂ Q, ent´on Q ∈ q;

(b) Q1, Q2∈ q ⇒ ∃Q³ ∈ q | Q³⊂ Q¹∩ Q²; e (c) T

Q∈qQ = ∅.

Unha veci˜nanza b´asica dun final q de M consiste nun subconxunto de M^∗ da forma Q∪ β(Q), onde Q ∈ q e β(Q) = { q⁰ ∈ β | Q ∈ q⁰} . As´ı, a topolox´ıa de M^∗ constr´uese como a uni´on da topolox´ıa de M e dos sistemas de veci˜nanzas b´asicas dos finais. Logo M ´e un aberto da compactificaci´on, polo que o espazo de finais β ´e compacto por ser pechado no compacto M^∗.

Existe outra caracterizaci´on equivalente dos finais dunha superficie non compac- ta, que ´e a empregada en [5] por presentar certas vantaxes t´ecnicas.

Definici´on 7. Consid´erense as sucesi´ons encaixadas,P₁ ⊃ P2 ⊃ ··· , de rexi´ons non relativamente compactas en M verificando as propiedades seguintes:

(i) A fronteira de P_n enM ´e compacta para todo n.

(ii) Para calquera conxunto relativamente compacto A de M , tense que Pn∩A = ∅ para alg´un n suficientemente grande.

Dise que d´uas sucesi´ons deste tipo,P1 ⊃ P2⊃ ··· e P1⁰ ⊃ P2⁰ ⊃ ··· , son equivalentes se para todo n existen outros enteiros positivos N1 e N2 tales que PN1 ⊂ Pn⁰ e P_N⁰

2 ⊂ Pn. A clase de equivalencia dunha familia p = (P₁ ⊃ P2 ⊃ ··· ) deste tipo denotarase por p^∗.

Proposici´on 8. Para cada clase de equivalencia p^∗ do tipo anterior, a familia q ={ P ∈ p0 | p0 ∈ p^∗} ´e un final da superficie M.

Clasificaci´ on

Tipos de superficies non compactas

Unha superficie ´e planar se toda subsuperficie compacta dela ´e de x´enero ce- ro. Un final p^∗ ∈ β, con representante p = (P¹ ⊃ P² ⊃ ··· ), dise que ´e planar (respectivamente, orientable) se os P_nson subsuperficies planares (respectivamente, orientables) de M , para alg´un n suficientemente grande.

Polo tanto, o espazo de finais considerarase coma unha terna (β, β⁰, β⁰⁰) con β ⊃ β⁰ ⊃ β⁰⁰, onde β⁰ ´e o conxunto dos finais non planares e β⁰⁰ o conxunto dos finais non orientables.

Proposici´on 9. β⁰ e β⁰⁰ son pechados en β.

Corolario 10. β⁰ e β⁰⁰ son compactos.