CAPÍTULO Introducción matemática

CAPÍTULO 1

DESARROLLO TEÓRICO

1.1 Introducción matemática

Antes de adentrarnos en los algoritmos de generación de mosaicos se expone en este capítulo una breve explicación de términos matemáticos y conceptos que formarán una base fundamental y necesaria para una mejor comprensión de la generación de mosaicos.

1.1.1 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Las transformaciones geométricas han estado presentes a lo largo de la historia en todas las culturas. Las podemos encontrar en muchas facetas del mundo físico: en la naturaleza (hojas de los árboles, telas de araña, paneles de abeja etc...,), en la arquitectura (fachadas de edificios que presentan simetría axial respecto a un eje, frisos donde se repiten el mismo adorno ornamental...etc.), en la cultura y en muchas creaciones artísticas, (esculturas, pinturas), son muchos los artistas que realizan sus creaciones a base de repeticiones de un mismo elemento o motivo geométrico.

En términos matemáticos simples, las transformaciones geométricas las podemos definir como la operación o el conjunto de operaciones geométricas que permiten generar una nueva figura a partir de otra dada u original. Es decir, hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano y como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras. A la figura resultante se le denomina homologa.

Las transformaciones pueden realizarse de forma encadenada, aplicando una de ellas al resultado de otra. Este encadenamiento de transformaciones se denomina composición o producto. En general el producto de transformaciones no posee la propiedad conmutativa.

Podemos observar dos clasificaciones diferentes de las transformaciones geométricas dependiendo de si se tiene en cuenta el sentido o la forma de la

Clasificación teniendo en cuenta el sentido:

• Directa: cuando la figura resultante conserva el sentido de la figura original en el plano cartesiano.

• Inversa: el sentido de la figura homóloga y la del original son contrarios.

Clasificación según la forma del homólogo con respecto del original.

• Isométricas: La figura resultante conserva los ángulos y dimensiones.

También se llaman "movimientos”. Se detallaran en el punto siguiente.

• Isomórficas: La figura resultante u homóloga conserva la forma de la figura original y los ángulos, pero no las dimensiones, aunque mantienen una relación de proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. Son de este tipo: la homotecia, la semejanza y las isométricas.

• Anamórficas: cambia la forma de la figura original. Transformaciones de este tipo son la homología, la afinidad y la inversión.

1.1.1.1 MOVIMIENTOS DEL PLANO

Las isometrías o movimientos del plano son transformaciones geométricas donde se conservan las distancias. No deforman la figura.

Su mismo nombre la define: “isometría” es una palabra de origen griego donde ‘iso’ significa igual o lo mismo y ‘metria’ quiere decir medir, con lo que se podría traducir por igual medida.

Realmente podemos tomar la isometría como un cambio de posición de la figura original. Es decir, después de la transformación a la figura lo único que le ha pasado es que esta en otro lugar manteniendo la forma y las dimensiones.

En el plano hay cuatro tipos de movimientos, (cinco si contamos con la identidad): traslación, rotación, reflexión y reflexión con deslizamiento.

Figura 1.1: Esquema de isometrías.

Estos cuatros movimientos se pueden clasificar según la siguiente tabla:

Movimientos Directos Rotación Traslación

Movimientos Inversos Reflexión Reflexión deslizada

Figura 1.2: Tabla clasificación de isometrías.

1.1.1.1.1 MOVIMIENTOS DIRECTOS

En los movimientos directos no se altera la orientación de la figura, por lo que la figura original y la figura transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salirse del plano.

Figura 1.3: Figura movimiento directo.

1.1.1.1.1.1 ROTACIÓN

Para realizar una rotación o giro necesitamos conocer:

• Un punto denominado centro de rotación.

• Un ángulo de giro

• Un sentido de rotación.

Matemáticamente podemos definir la rotación de centro O y ángulo α como la transformación que hace corresponder P en P’ cumpliendo que:

• La distancia del centro de giro O a P es igual a la distancia del centro O a P’

• Siendo α el ángulo orientado de POP’

Figura 1.4: Figura movimiento de rotación.

1.1.1.1.1.2 TRASLACIÓN

Para realizar una traslación necesitamos conocer:

• Una distancia, longitud.

• Una orientación

Lo que en matemáticas se puede representar con un vector fijo vr

. Es decir, un segmento orientado que va desde un punto A (origen) al punto B (extremo).

Así para realizar la traslación de una figura aplicaremos a cada punto el vector trasladándolo hasta el extremo, moviendo cada punto de la figura en la misma dirección y la misma distancia sin rotar ni voltear, “deslizando”. De estar forma el sentido de los vértices de la figura original y la de la transformada es el mismo.

Figura 1.5: Figura movimiento de traslación.

1.1.1.1.2 MOVIMIENTOS INVERSOS

En los movimientos de tipo inverso no se conserva el sentido, por lo que la figura original y la transformada por el movimiento no puede hacerse coincidir sobre si misma sin salirse del plano

Figura 1.6: Figura de movimiento inverso.

En una simetría respecto a una recta, la figura original se ve como si estuviera reflejada en un espejo. Conserva las distancias y los ángulos, pero no el sentido.

1.1.1.1.2.1 REFLEXIÓN

También denominada simetría axial o especular. La figura transformada es la figura vista en un espejo.

Elementos característicos de una reflexión:

• Línea de reflexión o eje de simetría.

• Dirección de reflexión.

En una reflexión cada punto de la figura original X se transforma en un punto X’ mediante un eje (eje de simetría o espejo), de tal manera que si unimos los puntos X y X’ el segmento resultante es siempre perpendicular al eje de simetría y ambos puntos X y X’ son equidistantes del eje.

De manera mas sencilla se puede decir que una reflexión es un volteo con respecto a una línea donde independientemente de en que dirección vaya el reflejo la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño pero en otra dirección. Los vértices de la figura original y de la transformada están en sentido contrario.

La reflexión es una transformación involutiva. La aplicación sucesiva de dos simetrías axiales con el mismo centro deja a cualquier figura invariante.

Figura 1.7: Figura de movimiento de reflexión.

1.1.1.1.2.2 REFLEXIÓN CON DESPLAZAMIENTO

Es una combinación, composición, de isometrías. Primero se realiza una reflexión y a continuación una traslación en la dirección del eje de reflexión.

Figura 1.8: Figura de movimiento de reflexión con desplazamiento.

1.1.2 GRUPOS ORNAMENTALES DEL PLANO

Partiendo de un motivo, una figura, por repetición periódica del mismo mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se pueden realizar ornamentaciones, decoraciones,etc.

Desde tiempos antiguos han aparecido en las manifestaciones artísticas distintos tipos de ornamentaciones planas caracterizadas por la repetición regular de un motivo formando mosaicos geométricos. Cómo se observa en las decoraciones de la Alhambra, los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos.

Figura 1.9: Figura de mosaico Nazarí [Fuente 1]

La anterior figura, (Figura 1.9), posiblemente sea el mosaico Nazari más conocido. Se obtiene de aplicar traslaciones a la figura original o base (el hueso). En la siguiente figura se puede observar que los huecos que deja la figura original al trasladarse son la misma figura girada.

Figura 1.10: Figura de estructura de mosaico Nazarí

Estos grupos ornamentales del plano no son más que estructuras algebraicas denominadas grupos de simetrías y construidas con la combinación entre si de las cuatro isometrías explicadas en los puntos anteriores:

Fuente 1:[ http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa6.htm]

1.-Traslación. Figura desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.

2.-Rotación. Figura girada con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.

3.-Reflexión. La figura es la imagen especular, con un eje de simetría dado.

4.-Simetría con deslizamiento. Resultado de reflexión más traslación en la dirección del eje de reflexión.

“En términos matemáticos, se denomina grupo de simetría de la figura F al conjunto de movimientos del plano que dejan la figura F invariante. Por lo tanto, un movimiento f está en el grupo de simetría de F si y solo si f(F) = F”

Para que un conjunto de isometrías sea un grupo G debe cumplir:

1. Contenga la identidad: id∈G 2. Tenga inversos: f ∈G⇒ f ⁻¹∈G

3. Sea cerrado bajo composición: f,g∈G⇒go f ∈G

La identidad siempre va a pertenecer al grupo de simetría de cualquier figura.

Por lo tanto, un grupo de simetría es un conjunto de movimientos distinto del vacío. El número de movimientos que contiene un grupo de simetría puede ser finito o infinito.

Un grupo de simetría G se dice que conserva la orientación si no contiene simetrías ni simetrías con deslizamiento. Es decir, sólo puede contener traslaciones o giros.

1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales

Cuando el grupo de simetría no contiene traslaciones, es decir, esta formado únicamente por la identidad y giros se obtiene los denominados grupos puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci quien los utilizo en el diseño de las capillas dentro de las iglesias). Son figuras con centro en un punto fijo (rotaciones con centro en ese punto) y reflexiones respecto de ejes que pasan por ese punto. Se conocen con el nombre de rosetas.

Figura 1.11: Figura de grupo de Leonardo

Los grupos de Leonardo contienen un número finito de movimientos.

Se denomina Orden al número mínimo de giros o rotaciones necesarias para llegar a la figura original. La figura anterior, (figura 1.8) se dice que es de orden 5 partiendo de un triangulo como figura base. Se necesita 5 giros para llegar de nuevo a la figura origen.

Matemáticamente se pueden definir de la siguiente manera:

} {id T GI =

Siendo T un subgrupo de traslaciones e id la identidad.

Los grupos de Leonardo se pueden clasificar en:

• Grupo cíclico: es el grupo generado por un giro de centro P . C , _n grupo cíclico de orden n.

• Grupo diedral: es el grupo generado por un giro de centro P y una simetría respecto de una recta que pasa por P . D grupo diedral de _n orden n.

Figura 1.12: Figura de tipos de grupos de Leonardo

Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una franja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas). Contienen sólo una traslación (se pueden observar en numerosas fachadas de templos edificios etc.).

Figura 1.13: Figura de friso.

Los frisos no están limitados, es decir continúan indefinidamente tanto hacia la izquierda como a la derecha.

Expresado de forma matemática se tiene:

} ,

{T n Z T

T

GI =〈 v^r〉= nv^r ∀ ∈

G Es un grupo de un friso si las traslaciones que contiene G son un grupo cíclico infinito, es decir, están generadas por una traslación, donde v

r

es un vector fijo. Además G ha de dejar invariante una recta, que se denomina recta centro del friso.

Los frisos pueden contener únicamente la combinación de los siguientes movimientos:

• La identidad (siempre está presente en un grupo de simetría).

• Giros con centro un punto de la recta centro del friso y ángulo α

• La simetría respecto de la recta centro del friso.

• Simetrías respecto de rectas perpendiculares a la recta centro.

• Simetría con deslizamiento con eje la recta centro del friso y deslizamiento en la dirección de dicha recta.

De la combinación de los anteriores movimientos se construyen los siete grupos de frisos esencialmente distintos que se denotan por la letra F seguida de un subíndice que denota el orden de los giros que aparecen y se añade un superíndice si el grupo no conserva la orientación.

Figura 1.14: Figura siete grupos de friso.

Y si se recubre una parte del plano sin dejar “huecos” ni superponerse (bien acoplados), se obtienen mosaicos o teselaciones. Contienen dos traslaciones (no paralelas). En este caso el motivo generador se repite en dos direcciones distintas del plano.

Figura 1.15: Figura de Mosaico.

Estos son los llamados grupos cristalográficos Planos. En 1891, el cristalógrafo E. S. Feodorov demostró que sólo existen básicamente 17 grupos.

En los puntos siguientes de esta memoria se estudia en detalle las características de este grupo ornamental. Unicamente se adelanta la definición matemática:

} ,

, {

,T T T n m Z

T T

GI =〈 v^r w^r〉= nv^r+ mw^r ∀ ∈

El grupo de simetría G de una figura plana se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores linealmente independientes, donde los vectores v

r y wr

son linealmente independientes y siendo T el grupo formado por todas las traslaciones del plano.

1.2 Definición de Mosaico

1.2.1 ¿QUÉ ES UN MOSAICO?

La palabra mosaico es sinónimo de teselación y ambas se definen como la configuración que se obtiene al acoplar una pieza, (a la que se denomina tesela), entre sí con otras idénticas a ellas sin superponerse y sin dejar huecos ni fisuras hasta recubrir totalmente el plano.

Una definición más formal de teselación (mosaico) del plano sería una colección de regiones (compactos con interior no vacío) llamadas “teselas”

tales que:

• Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.

• La unión de las teselas cubre totalmente el plano.

Las teselaciones o embaldosados del plano han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc.

La diversidad de las formas de las teselas es infinita.

El campo de las matemáticas se ha interesado especialmente por las teselaciones poligonales.

1.2.2 MOSAICOS NO PERIÓDICOS VS PERIÓDICOS

Los mosaicos se pueden clasificar en:

• Periódicos: un mosaico se denomina “periódico” si existe una sección finita de la teselación, (esta sección finita se denomina baldosa y puede estar formada por varias teselas), que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas, sin recurrir a giros o reflexiones, crear el mosaico completo.

• No Periódicos: son mosaicos cubiertos por teselas que no se repiten.

Son mosaicos que no coinciden con ninguno de sus trasladados.

Figura 1.16: Figura mosaico periódico[Fuente1] vs no periódico [Fuente2].

Existen teselas que producen tanto mosaicos periódicos como no periódicos.

También hay teselas que sólo producen mosaicos no periódicos. En tal caso se habla de mosaicos aperiódicos.

1.2.2.1 MOSAICOS PERIÓDICOS

Los mosaicos periódicos se pueden dividir a su vez en:

• Poligonales: si se utiliza como tesela un polígono.

• No poligonales: si las teselas que cubren el plano no son polígonos 1.2.2.1.1 TESELACIONES POLIGONALES

Se trata de teselaciones que se construyen mediante losetas poligonales. Este tipo de mosaicos poligonales planos ha sido muy estudiado y son comúnmente conocidos. Aparecen en motivos ornamentales de suelos y paredes de

múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe..).

Una teselación regular es aquella donde se utiliza un único tipo de polígono (un solo tipo de baldosa) y en cada vértice el número de baldosas que lo rodean es el mismo. Se obliga a que polígonos adyacentes tengan vértices comunes.

Tales polígonos pueden ser regulares. En este caso se habla de teselación regular mediante polígonos regulares; o puede tratarse de polígonos no regulares; por ejemplo los rombos de un retículo plano.

Fuente1:[www.mclibre.org/.../mosaicos/Escher_Fishes.jpg ].

Fuente2:[http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa7.htm]

Las teselaciones regulares de polígonos regulares son muy fáciles de clasificar sólo hay tres polígonos regulares capaces de embaldosar: cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos.

En una teselación regular se utiliza la notación {m, n} donde m representa el número de lados del polígono y n el número de polígonos que concurren en cada vértice. Kepler demostró que las únicas teselaciones polígonos regulares eran: {3,6}, {4,4} y {6,3}.

Asociada a cada teselación regular se tiene otra obtenida uniendo los centros de polígonos contiguos. Esta nueva teselación es también regular y, por tanto, de uno de los tres tipos anteriores (de hecho la que se obtiene permutando los valores de m, n).

Figura 1.17: Figura teselaciones regulares de polígonos regulares.

El pentágono regular no embaldosa. Sus ángulos interiores son de 72º y 360º y no es múltiplo entero de 72º. Con tres pentágonos en un vértice no recubrimos un entorno de ese punto y no tenemos espacio para meter otro más. Los polígonos regulares de más de 6 lados tampoco embaldosan.

Se puede encontrar teselaciones regulares de polígonos convexos no regulares: todos los triángulos, todos los cuadriláteros, ocho casos de pentágonos y solo tres casos de hexágonos.

Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselan el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.

Se conoce por teselación semi-regular a aquella donde recombinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos.

Es decir en cada vértice hay que tener el mismo tipo. La colección de polígonos que concurre en un vértice no sólo es la misma sino que tienen que aparecer en el mismo orden cíclico. Por ejemplo, si un vértice es compartido por dos hexágonos y dos triángulos, eso sucederá en todos los demás vértices y además, si en uno aparecen intercalados, es decir, hexágono, triángulo,

hexágono, triángulo, esa misma relación tiene que darse en los demás vértices.

Se forman utilizando triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos y dodecágonos.

Kepler demostró que hay exactamente ocho tipos de teselaciones más que se añaden a las tres regulares citadas anteriormente.

1.2.2.1.2 TESELACIONES NO POLIGONALES

La generación de teselaciones regulares del plano pero no poligonales, es un proceso que lleva desde construcciones sumamente simples, a otras mucho más complicadas y laboriosas.

Modificando una pieza inicial que tesele el plano, como se observa en la figura siguiente, con “salientes” y “entrantes” no poligonales que encajen con la pieza adyacente, se consigue este tipo de teselados.

Figura 1.18: Figura teselaciones regulares de polígonos no regulares.

El artista holandés M.C.Escher estudió en profundidad las teselaciones: sus trabajos son bien conocidos, y como muestra de teselaciones del plano obtenidas por este autor, se muestran las siguientes imágenes (Figura 1.19).

Inspirado en los mosaicos nazaríes, Escher da un paso más utiliza motivos frecuentemente de un animal y logra mediante los movimientos descritos rellenar el plano.

Figura 1.19: Figura de mosaicos de Escher.[Fuente1]

1.2.2.2 MOSAICOS APERIÓDICOS, MOSAICOS DE PENROSE

Los mosaicos aperiódicos se forman por teselas que pavimentan el plano de forma no periódica, y tal que ninguna subcolección permite pavimentar el plano de forma periódica.

Es decir ninguna pieza individual de las que componen el juego, ni ninguno de sus subconjuntos, ni el juego completo, engendran pavimentos periódicos, mientras que utilizándolas todas sí es posible un mosaico no periódico.

Los expertos estuvieron convencidos durante decenios de que tales conjuntos no podrían existir, pero sus conjeturas resultaron erróneas.

En 1966 Robert Berger demostró su axioma de indecibilidad en el que se establecía que “No hay algoritmo fijo que permita decidir si un conjunto de teselas dado será capaz de cubrir el plano o no” y llegó a presentar primero un conjunto de 20.426 teselas (en 1964) y posteriormente (1966) uno de 108 teselas que producían mosaicos aperiódicos.

De modo que el problema pasó a ser el de conseguir el mínimo número de teselas que generan un mosaico aperiódico.

En 1971, Raphael Robinson consiguió un mosaico aperiódico a partir de un conjunto de 6 teselas que eran esencialmente cuadrados con ciertos salientes y entrantes en sus lados de manera que el ensamblaje entre ellos se produjera siguiendo unas reglas concretas que determinan la aperiodicidad.

Un poco más tarde Roger Penrose, en 1974, construyó mosaicos aperiódicos usando conjuntos de 2 teselas, como el famoso del dardo y la cometa, términos acuñados por J. Conway, o el de los rombos.

Fuente 1: [http://www.mcescher.com/Biography/e45.jpg]

1.2.2.2.1 MOSAICOS DE PENROSE

En 1973, Penrose presentó un mosaico formado a partir de cinco teselas pero pronto quedo eclipsado por la aparición de su famoso mosaico aperiódico de dos teselas denominadas “el dardo” y “la cometa”

Por si solos, el dardo y la cometa no valen como teselas aperiódicas, pues realmente pavimentan el plano.

Figura 1.20: Figura de de cometa y dardo de Penrose.

La disposición de cometa y dardo que forma los rombos de los que se pueden extraer, conforma una baldosa que tesela el plano de manera periódica, de modo que la aperiodicidad se fuerza por diversos procedimientos que pueden pasar desde practicar entrantes y salientes en los lados, hasta simplemente, para no complicar el proceso de teselación, establecer unas reglas para ensamblar las teselas en la construcción del mosaico.

Estas reglas para construir una teselación aperiódica con las teselas de Penrose (un mosaico de Penrose) tienen que ver con las siguientes condiciones:

• Sólo son teselas adyacentes en el mosaico, obviamente, si lo son por lados con la misma longitud.

• Se impone además una condición sobre como unir los lados en función de los vértices, que puede reflejarse con colores de manera que sólo se unan por vértices que tengan el mismo color, curvas dibujadas alrededor de los vértices que deben tener continuidad u otras técnicas.

Con estas condiciones las configuraciones admisibles alrededor de un vértice quedan reducidas a unos pocos casos a los que Conway puso nombres también:

estrella, sol , rey , as , deuce, reina y arlequín.

Bajo una apariencia de regularidad y simetría, en la estructura de los mosaicos de Penrose hay un gran desorden: no son periódicos.

Además, hay un número infinito de mosaicos de Penrose diferentes. Pero quizás la propiedad más significativa de las teselaciones de Penrose es la que tiene dada por el denominado “Teorema del isomorfismo local” y que dice que : “cada región finita de cualquier mosaico está siempre contenida en cualquier otro (infinitas veces)”.

De modo que no hay manera de determinar mediante el examen de una porción finita de un mosaico de Penrose, de qué mosaico se trata.

Figura 1.21: Figura Mosaicos de Penrose.

J. Conway demostró que “si se toma una región de diámetro d de un mosaico de Penrose y se elige un punto P en otro mosaico de Penrose, hay una copia de la primera región en el segundo mosaico a una distancia de P no mayor a 2d”. Es más, hay infinitas copias de la región tanto en el mosaico original como en el “nuevo”, de modo que dos mosaicos de Penrose sólo se podrán diferenciar de manera “global”.

1.3 Grupos Cristalográficos 1.3.1 Introducción

1.3.1.1 Teorema de Fedorov

A las teselaciones periódicas del plano les corresponden grupos de simetría mediante traslaciones en dos direcciones distintas de un motivo, denominados

grupos cristalográficos planos (Ver punto 1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales). De esta manera se obtiene la teselación completa del plano.

Dependiendo de las diferentes isometrías que constituyen cada grupo de simetría, Fedorov demostró en el año 1891 que sólo existen básicamente 17 posibles grupos cristalográficos planos.

Fedorov llega a este resultado estudiando las formas de cristalizar los cristales naturales. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

• Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

Para conocer y poder generar un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo.

Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo, que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslación colocados sobre sus lados (no confundir con la baldosa mínima que puede ser aún más pequeña al poder utilizar isometrías distintas de la traslación). Con rectas paralelas a los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos posibles, se toma aquel que tenga los vértices sobre centros de rotación de orden máximo. Si no hay centros de rotación (orden 1), hacemos coincidir los ejes de simetría con los lados o con las diagonales

1.3.1.2 Mosaicos de la Alhambra

En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos.

Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana

Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.

La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.

Figura 1.22: Figura Mosaicos de la Alhambra. [Fuente 1]

Fuente 1:[ “Un mosaico para dubai: Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería. Universidad San Pablo CEU.]

En efecto, en un deseo de manifestar con el lenguaje de la Geometría su creencia en la existencia de la Unidad (Allah) dentro de la multiplicidad, agotaron las estructuras geométricas planas posibles. Esta es la razón primera de la decoración geométrica de la Alhambra. Al existir la prohibición coránica de hacer figuraciones de Allah, se recurre a un lenguaje abstracto de formas geométricas para la decoración tanto en la arquitectura religiosa como en “la del poder”, clase a la que pertenece la Alhambra.

1.3.2 Nomenclatura de los grupos cristalográficos

La notación establecida por la Unión Internacional de Cristalografía (Comité Español), también conocida como notación de Hermann-Mauguin, consta de cuatro símbolos ordenados:

Símbolo 1. Una letra “p” ó “c”.

Símbolo 2. Un número 1,2,3,4 ó 6.

Símbolo 3. Una letra o número: “m”, “g” ó “1”.

Símbolo 4. Una letra o número: “m”, “g” ó “1”.

Para saber qué significan cada letra o número hay que construir un paralelogramo fundamental adecuado.

1. Símbolo 1: denota si el paralelogramo fundamental (primitivo) es centrado o no.

• Es c (“centrado”) cuando el paralelogramo fundamental es un rombo que se puede enmarcar centrándolo en un rectángulo

• Es p (“primitivo”) en cualquier otro caso.

De los 17 grupos, sólo dos son centrados: cm y cmm. En el caso de un paralelogramo centrado llamaremos célula fundamental al rectángulo que lo enmarca y si el paralelogramo es primitivo entonces la célula coincide con el paralelogramo.

2. Símbolo 2. Representa el mayor orden de rotación que podamos encontrar (número máximos de giros) puede ser:

• 1 (ángulo de 360º)

• 2 (ángulo de 180º)

• 3 (ángulo de 120º)

• 4 (ángulo de 90º)

• 6 (ángulo de 60º)

Cuando un mosaico tiene un centro de rotación de un orden determinado, también tendrá otros centros de órdenes divisores.

3. Símbolo 3. Corresponde al tipo de simetría y puede tener tres símbolos:

• m (“mirror” = espejo) simetría especular o axial

• g (“glide” = deslizamiento) cuando tiene simetría con deslizamiento.

• 1 indica que no existe ninguno de los dos tipos de simetría

4. Símbolo 4. La misma clasificación anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetría (m , g ó 1).

Aplicando esta notación podemos expresar en notación cristalográfica extendida los 17 grupos_:

p111 c1m1, p1m1, p1g1 p211 c2mm, p2mm, p2mg, p2gg

p311 p3m1, p31m

p411 p4mm, p4gm

p611 p6mm

La notación extendida de cuatros letras se suele simplificar siempre que no de lugar a confusiones entre símbolos quedando de la siguiente manera:

p1 cm, pm, pg

p2 cmm, pmm, pmg, pgg

p3 p3m1, p31m

p4 p4m, p4g

p6 p6m

Existe otra notación para los grupos cristalográficos, que utiliza la letra W seguida de un subíndice, a la que se añade un superíndice si el grupo no conserva la orientación. El subíndice indica siempre el orden máximo de los giros que aparecen en cada grupo. La correspondencia con la notación cristalográfica internacional es la siguiente:

p111= W₁

c1m1= W , p1m1= ₁¹ W , p1g1= ₁² W ₁³ p211= W₂

c2mm= W , p2mm= ₂¹ W , p2mg= ₂² W , p2gg= ₂³ W ₂⁴ p311= W ₃

p3m1= W , p31m= ₃¹ W ₃² p411= W₄

p4mm= W , p4gm= ₄¹ W ₄² p611= W ₆

p6mm= W ₆¹

Las notaciones descritas hasta ahora son las más conocidas y utilizadas con frecuencia. Se muestra a continuación una tabla con diferentes notaciones para grupos cristalográficos y sus correspondencias entre ellas:

Figura 1.23: Figura tabla notaciones de grupos cristalográficos.

1.3.3 Clasificación de los grupos cristalográficos

Antes de describir el algoritmo de clasificación de los grupos cristalográficos planos vamos a ver algunas definiciones, como la vista en el punto “1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales”, para una mejor comprensión.

El grupo de simetría G de una figura plana, se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores, donde los vectores v

r

y w r

son linealmente independientes y siendo T el grupo formado por todas las traslaciones del plano

} ,

, {

,T T T n m Z

T T

GI =〈 v^r w^r〉= nv^r+ mw^r ∀ ∈ Los dos vectores v

r y w

r

al ser linealmente independientes determinan un paralelogramo, que llamaremos paralelogramo fundamental. Como se puede observar en la figura siguiente este paralelogramo fundamental no es único.

Figura 124: Figura Paralelogramo fundamental.[Fuente 1]

“Para calcular un paralelogramo fundamental podemos buscar dos vectores v r y w

r

no nulos y linealmente independientes, de norma mínima tales que las traslaciones T^vr,T^wrpertenecen al grupo cristalográfico.

Otra forma más intuitiva de buscar un paralelogramo fundamental es buscar un paralelogramo, digamos ABCD, de tal manera que si aplicamos a dicho paralelogramo las traslaciones generadas por las traslaciones de vectores y obtenemos la figura completa.

Además el paralelogramos ABCD tiene sus lados lo más pequeños posible”

[Fuente 1]

Así aplicando a este paralelogramo fundamental diferentes combinaciones de movimientos tenemos los 17 grupos cristalográficos que se pueden clasificar de la siguiente manera:

[Fuente 1: [http://www.math.arq.uva.es/GYCGA/Apuntes/apuntes.pdf]

• Grupos de simetría sin giros, orden de giro n= 1: 4 grupos de simetrías:

p1: Dos traslaciones

cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular

pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas

pm: Dos simetrías axiales y una traslación

• Grupos de simetría con giros de 180º, orden de giro n= 2: 5 grupos de simetrías:

P2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)

cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central

pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)

pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales

pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

• Grupos de simetría con giros de 120°, orden de giro n= 3: 3 grupos de simetrías.

P3: Dos giros de 120º

P31m: Una simetría axial y un giro de 120º

P3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)

• Grupos de simetría con giros 90°, orden de giro n= 4 y 2: 3 grupos de simetrías:

P4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º

P4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90

P4g: Una simetría axial y un giro de 90º

• Grupos de simetría con giros de 60°, orden de giro n= 6,3 y 2: 2 grupos de simetrías:

P6: Una simetría central y un giro de 120º

P6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90

Figura 1.25: Figura tabla clasificación grupos cristalográficos. [Fuente 1]

En el siguiente diagrama se expone un algoritmo para averiguar a cuál de los 17 grupos corresponde un mosaico.

Figura1.26: Figura algoritmo clasificación grupos cristalográficos [Fuente 1]

Fuente1: [http://www.ugr.es/~anillos/verano2009/090709_cla.pdf]

1.3.3.1 Grupo cristalográfico p1

El denominado grupo p1 es el grupo más sencillo. Sólo contiene giros de orden uno, (no hay movimientos de rotación), no contiene simetrías (reflexiones) ni simetrías con deslizamiento (reflexión con deslizamiento).

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento

p1 〈Tv^r,Tw^r〉 No tiene No tiene No tiene

Este grupo de simetrías contiene las traslaciones generados por dos vectores que definen un paralelogramo fundamental.

Figura 1.27: Figura paralelogramo fundamental p1

Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo entre ellos.

〉

= 〈 T

T

P

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de generación de grupo p1, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales.

Figura 0128: Figura mosaico grupo p1

1.3.3.2 Grupo cristalográfico pm

El grupo cristalográfico pm contiene simetrías. Los ejes de simetría son paralelos a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación. No hay movimientos de rotación, giros de orden uno, ni simetrías con deslizamiento.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pm 〈Tvr,Twr,S〉 No tiene Paralelos No tiene

El paralelogramo fundamental es un rectángulo. Los ejes de simetría son necesariamente paralelos a uno de los lados del rectángulo.

Figura 1.29: Figura paralelogramo fundamental pm

Matemáticamente queda definido por la fórmula:

u w w u w

u

t I t t t t

t

pm =

, ρ / ρ

= ,

=

,

=

Se muestra a continuación un ejemplo de mosaico de grupo pm, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales:

Figura 0.30: Figura mosaico pm

1.3.3.3 Grupo cristalográfico pg

Este es el último grupo cristalográfico en el que no hay giros de orden mayor que uno. Tampoco contiene ejes de simetría. Este grupo contiene ejes de simetría con deslizamiento. Las direcciones de los deslizamientos son paralelas a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pg 〈Tvr,Twr,D〉 No tiene No tiene Paralelos

El paralelogramo fundamental del grupo pg es un rectángulo y los ejes de simetría con deslizamiento son paralelos a uno de los lados del rectángulo.

Figura 1.31: Figura paralelogramo fundamental pg

Está generado por dos traslaciones y un deslizamiento. Matemáticamente queda definido por la fórmula:

w w

u u u w

u

t t t t t t

t

pg =

^, ρ ^/ ρ =

=

^,

=

2 ,

En la siguiente figura se muestra una generación del grupo pg apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales:

Figura 1.32: Figura mosaico pg

1.3.3.4 Grupo cristalográfico cm

Este grupo cristalográfico contiene giros de orden uno (no hay movimientos de rotación), pero en él aparecen simetrías y simetría con deslizamiento con ejes paralelos (de ahí la “C” de su nombre).

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento cm 〈Tvr,Twr,S〉 No tiene Paralelos Paralelos

El paralelogramo fundamental es un rombo y una de las diagonales es un eje de simetría.

Figura 1.33: Figura paralelogramo fundamental cm

Componiendo la traslación T^vry la simetría respecto de la diagonal del rombo paralelogramo fundamental obtenemos una simetría con deslizamiento. En la figura anterior (figura 1.33) se puede observar todos los ejes de simetría y simetría con deslizamiento sobre el paralelogramo fundamental de este grupo.

Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo. Matemáticamente este grupo queda definido por la fórmula:

w w

u u

w

u

t I t t t t

t

cm =

^, ρ ^/ ρ

= ^,

=

^,

=

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de generación de grupo cm, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales:

Figura 1.34: Figura mosaico cm

1.3.3.5 Grupo cristalográfico p2

El denominado grupo p2 es primer grupo que encontramos que contiene giros de orden dos (movimientos de rotación de 180º). No contiene simetrías (reflexiones) ni simetrías con deslizamiento (reflexión con deslizamiento).

Grupo Generadores de Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de

grupo deslizamiento

pm 〈Tvr,Twr,G₁₈₀〉 2 No tiene No tiene

El paralelogramo fundamental de este grupo puede ser en principio lo más general posible y los centros de giro están colocados como en la figura siguiente:

Figura 1.35: Figura paralelogramo del grupo p2

Está generado por dos traslaciones y el giro de orden 2. Los ejes de traslación puede formar cualquier ángulo entre ellos. La siguiente formula lo representa matemáticamente:

w w

u u

w

u

t I t t t t

t

p ² =

^, σ ^/ σ = ^,

=

^,

=

2 ,

En la siguiente figura se muestra una generación del grupo p2 apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales:

Figura 1.36: Figura mosaico del grupo p2

1.3.3.6 Grupo cristalográfico pgg

El grupo pgg queda determinado por contener giros de orden dos y no de orden mayor. No hay ejes de simetría, pero sí aparecen ejes de simetría con deslizamiento. Los centros de giro no están sobre dichos ejes.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pgg 〈Tvr,Twr,D₁,G₁₈₀〉 2 No tiene Perpendiculares

En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo, como el de la figura siguiente donde se reprensenta junto con los ejes de simetría con deslizamiento.

Figura 1.37: Figura del paralelogramo fundamental del grupo pgg

El grupo pgg se genera por dos traslaciones, un deslizamiento y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje). Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera:

w w u u u w w u w u

w

ut t I t t t t t t t t t

t

pgg = ^{r r,}

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

2 2

2 ,

En la siguiente figura se muestra una generación del grupo pgg apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales y los centros de rotación:

Figura 1.38: Figura del mosaico pgg

1.3.3.7 Grupo cristalográfico pmg

Este grupo cristalográfico contiene giros de orden dos y no hay giros de orden mayor. Hay ejes de simetría, pero son todos paralelos entre sí y ejes de simetría con deslizamiento, también paralelos entre sí y perpendiculares a los anteriores.

Los centros de giro no están en los ejes de simetría, pero sí sobre ejes de deslizamiento, perpendiculares a los de simetría.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pmg 〈Tvr,Twr,S,G₁₈₀〉 2 Paralelos Paralelos

En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo. En la figura siguiente se representa dicho rectángulo con los ejes de simetría y los ejes de simetría con deslizamiento, que vemos que son perpendiculares entre sí.

Figura 1.39: Figura del paralelogramo fundamental mosaico pmg

Se observa que todos los centros de orden dos están fuera de los ejes de simetría.

Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje), aunque además, como se ha dicho tiene ejes de deslizamiento.

Matemáticamente se representa por la siguiente fórmula:

u w w u u w w u w

u t I I I t t t t t t t t

t

pmg = ^r_, ^r,ρ,σ /ρ² = ,σ² = ,(ρoσ)² = , ^rσ = ^r_,, ^σr = ₋^r_, ^rρ = ^r_,, ^rρ = ^r

Una figura con este grupo de simetría es la siguiente:

Figura 1.40: Figura del mosaico pmg

1.3.3.8 Grupo cristalográfico pmm

Este grupo cristalográfico cuenta con giros de orden dos y no de orden mayor.

Contiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Todos los centros de orden dos pertenecen a algún eje de simetría. Estos centros de los giros de 180º están en las intersecciones de los ejes de simetría. No se encuentran en este grupo ejes de simetría con deslizamiento

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento Pmm 〈Tvr,Twr,S,G₁₈₀〉 2 Perpendiculares No tiene

El paralelogramo fundamental en este caso es un rectángulo. En la figura siguiente está representado dicho rectángulo junto con los centros de orden dos y los ejes de simetría

Figura 1.41: Figura del paralelogramo fundamental pmm

Se puede generar por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (perteneciente a este eje):

w w u u u w w u w w

ut I I t t t t t t t t t

t

pmm = ^{r r,}

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

2 2

2 ,

En la figura siguiente se muestra una representación de un mosaico generado a partir de este grupo cristalográfico:

Figura 1.42: Figura del mosaico pmm

1.3.3.9 Grupo cristalográfico cmm

Este grupo contiene ejes de simetría que son perpendiculares entre sí y también giros de orden dos. Los centros de giro que lo generan no están sobre los ejes de simetría, sino sobre ejes de deslizamiento, que también existen (paralelos a los de simetría de ahí la "c" de su nombre). Hay también centros de giro (de orden 2) sobre los ejes de simetría.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento Cmm 〈Tvr,Twr,S,G₁₈₀〉 2 Perpendiculares Perpendiculares

El paralelogramo fundamental en este caso es un rombo. En la siguiente figura está representado dicho rombo junto con los centros de orden dos y los ejes de simetría, que son las dos diagonales del rombo.

Aparecen también marcados los ejes de simetría con deslizamiento.

Se observan que por los centros de orden dos que están en los vértices del rombo y el que está en el centro del rombo pasan ejes de simetría. Pero por los centros de orden dos que están en los puntos medios de los lados del

rombo no pasan ningún eje de simetría. Por éstos últimos centros sí pasan ejes de simetría con deslizamiento.

Figura 1.43: Figura del paralelogramo fundamental cmm

Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje), aunque además, como se ha dicho, tiene deslizamientos. Su formula matemática es la siguiente:

w w u u u w w u w

ut I I I t t t t t t t t

t

cmm = ^r_, ^r,

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

Una figura de un mosaico generado con este grupo de simetría es la siguiente:

1.3.3.10 Grupo cristalográfico p3

Este es el grupo cristalográfico más simple con orden máximo de giro de orden tres. Esto implica movimientos de rotación de 120º, no aparecen ejes de simetrías ni ejes de simetrías con deslizamiento.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento

P3 〈Tvr,Twr,G₁₂₀〉 3 No tiene No tiene

El paralelogramo fundamental es un rombo formado por dos triángulos equiláteros y los centros de giro están situados como se muestra en la figura siguiente:

Figura 1.45: Figura del paralelogramo fundamental p3

Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 2:

u w u w u w

u

t I t t t t

t

p 3 =

, σ / σ

= ,

=

,

=

Se muestra a continuación una imagen del mosaico de este grupo:

Figura 1.46: Figura del mosaico p3

1.3.3.11 Grupo cristalográfico p3m1

Este grupo de simetría está determinado por las siguientes condiciones:

• El orden máximo de los giros es 3 (giros de 120º).

• Contiene simetrías, de tal forma que todos los centros de orden 3 están en algún eje de simetría (en la intersección de los 3 ejes de simetría).

• También existen 3 ejes de deslizamiento, paralelos a los de simetría e intercalados por el punto medio a ellos.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P3m1 〈Tvr,Twr,S,G₁₂₀〉 3 Forman 60º Forman 60º

La siguiente figura representa un paralelogramo fundamental con los centros y los ejes de simetría que aparecen. También están marcados los ejes de simetría con deslizamiento.

Figura 1.47: Figura del paralelogramo fundamental p3m1

Se puede observar que por cada centro de orden tres pasan al menos un eje de simetría. De hecho por cada centro de orden tres pasan tres ejes de simetría. Se observa también que la diagonal mayor del rombo es un eje de simetría.

Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 3. Su formula matemática es la siguiente:

w u w u u u w u w u w

ut I I I t t t t t t t t

t m

p^{3 1}= ^r_, ^r,σ^,ρ^/ρ² = ^,σ³ = ^,(ρoσ⁾² = ^{, rσ} = ^r₋^r_,^{, σr} = ₋^r_, ^rρ = ^r_,^{, rρ} = ^r₋^r

La figura siguiente tiene como grupo de simetría a p3m1:

Figura 1.48: Figura del mosaico p3m1

1.3.3.12 Grupo cristalográfico p31m

Este grupo de simetría está determinado por las siguientes condiciones:

• El orden máximo de los giros es 3 (giros de 120º).

• Contiene ejes de simetría (cuyos ejes forman entre sí un ángulo de 60º)

• Algunos de los centros de giro están sobre ejes de simetría, y otros no.

• Contiene ejes de simetría con deslizamiento. Los ejes de deslizamiento pasan por los puntos medios entre dos ejes de simetría paralelos y tampoco pasan por los centros de giro. Estos ejes de deslizamiento van en tres direcciones como lo hacen los ejes de simetría.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P31m 〈Tvr,Twr,S,G₁₂₀〉 3 Forman 60º Forman 60º

El paralelogramo fundamental de este grupo se representa junto con los centros y los ejes de simetría que aparecen en la siguiente figura.

Figura 1.49: Figura del paralelogramo fundamental p31m

También están marcados algunos ejes de simetría con deslizamiento. Los ejes de simetría son los lados del paralelogramo fundamental.

Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 3:

u w w u u w u w u w

u t I I I t t t t t t t t

t m

p³¹ = ^{r r,}σ^,ρ^/ρ = ^,σ = ^,(ρoσ⁾ = ^{, rσ} = ^r₋^r,^{, σr} = ₋^r, ^rρ = ^r,^{, ρr} = ^r

2 3

2 ,

En la siguiente figura se representa un mosaico con este grupo cristalográfico:

Figura 1.50: Figura del paralelogramo fundamental p31m

1.3.3.13 Grupo cristalográfico p4

Es el grupo cristalográfico con giros de orden cuatro (giros de 90º) más sencillo ya que no contiene ni simetrías ni simetrías con deslizamiento.

Grupo Generadores de grupo

Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento

P4 〈Tvr,Twr,G₉₀〉 4 No tiene No tiene

Su paralelogramo fundamental es un cuadrado y los centros de giro están situados como se observa en la siguiente figura:

Figura 1.51: Figura del paralelogramo fundamental p4

Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 4. Su fórmula matemática es la siguiente:

u w w u w

u

t I t t t t

t

p ⁴ =

^, σ ^/ σ = ^,

=

^,

=

4 ,

Una figura con este grupo de simetría es la siguiente:

Figura 152: Figura del mosaico del p4

1.3.3.14 Grupo cristalográfico p4m

Este grupo de simetría está determinado por las siguientes características:

• Este grupo contiene giros de orden cuatro (giros de 90º).

• Tiene simetrías de tal forma que los ejes de simetría forma un ángulo de 45º entre sí. Así cuatro ejes de simetría pasan por los centros de giro de orden cuatro.

• Todos los centros de giro están sobre ejes de simetría.

• No contiene ejes de simetría con deslizamiento.

Grupo Generadores de Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de

grupo deslizamiento P4m 〈Tvr,Twr,S,G₉₀〉 4 Forman 45º No tiene

El paralelogramo fundamental de este grupo es un cuadrado como se muestra en la figura siguiente junto con los centros y los ejes de simetría que aparecen. También están marcados algunos ejes de simetría con deslizamiento.

Figura 1.53: Figura del paralelogramo fundamental p4m

Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera:

w w u u u w w u w

u

t I I I t t t t t t t t

t m

p ⁴ =

^, ρ ^, σ ^/ ρ

= ^, σ

= ^{, (} ρ o σ ⁾

= ^,

=

^,

=

=

^,

=

A continuación se muestra el mosaico generado a partir de este grupo cristalográfico: