Carga y descarga de un condensador
Claudia Pavez, Nicole Miller, Diego Cohen, and Pablo Pino Departamento de F´ısica*, Facultad de Ciencias
Universidad de Chile (Dated: 29 de agosto de 2007)
El objetivo central de este trabajo es analizar la carga y descarga de un condensador en funci´on del tiempo. Para eso se crearon dos circuitos, uno RC, donde se midi´o el proceso de carga, y otro RC donde se midi´o el proceso de descarga. Los resultados obtenidos se ajustan a la soluci´on te´orica del problema, con diferencias entre 4 % y 17 %. Adem´as se comprob´o que mientras mayor es la resistencia del circuito, mas lentos son los procesos de carga y descarga del condensador.
I. INTRODUCCI ´ON
Una de las tantas ramas de estudio del Electromagne- tismo es el comportamiento de los circuitos con todos sus componentes: instrumentos de medicion, resistencias, bobinas, condensadores, y como interactuan entre ellos al ponerlos en funcionamiento frente al paso de corriente.
En este laboratiorio, se utilizar´a un circuito RC con una fuente a voltaje constante y uno RC, para analizar la relaci´on carga y descarga del condensador en un tiempo dado frente a dos resistencias que difieren en su valor.
II. RESUMEN TE ´ORICO
Nuestro problema es determinar la carga del conden- sador en funci´on del tiempo, para el circuito de la figura 1. Debido a la ley Kirchoff, se debe cumplir que:
V0 = Q C + RI
= Q
C + RdQ
dt (1)
Para resolver esta ecuaci´on no homog´enea, necesitamos la soluci´on de la homog´enea, que es:
Q(t) = ke−t/RC,
y una soluci´on particular de la no homog´enea, a saber:
Q(t) = CV0, luego la soluci´on general ser´a:
Q(t) = ke−t/RC+ mCV0 (2) Para determinar las constantes k y m, imponemos las condiciones del sistema y evaluamos
Q(0) = 0 ⇒ k = −CV0 limt→∞Q(t) = CV0⇒ m = 1
*• Nelson Aliaga, Profesor
• Patricio L’Huissier & Sebasti´an Guillier , Ayudantes
Escribiendo V (t) =Q(t)
C , obtenemos la expresi´on:
V (t) = V0(1 − e−t/RC) finalmente aplicando ln queda
ln(V0− V ) = − 1
RCt + ln(V0) (3) Ahora para determinar la ecuaci´on que que rige la des- carga del condensador, usamos un razonamiento muy si- milar al anterior pero ahora en el circuito de la figura 2.
La ley de Kirchoff propone lo siguiente:
0 = Q
C + RdQ dt
⇒ Q
C = −RdQ dt
⇒ Q(t) = ke−t/RC (4)
Si imponemos que Q(0) = Q0 , se tiene que k = Q0, por lo tanto:
V (t) = Q0 C e−t/RC finalmente aplicando ln queda
ln(V ) = − 1
RCt + ln(V0) (5)
+ −
interruptor R
+ _
C
Figura 1: Circuito RC para cargar un condensador
R + −
C
Figura 2: Circuito RC para descargar un condensador
III. M ´ETODO EXPERIMENTAL A. Descripci´on del equipo
Para realizar el experimento se ocup´o el siguiente ins- trumental:
• Fuente de Voltaje
• Resistencias de 10 ± 5 %[kΩ] y 20 ± 5 %[kΩ]
• Condensador electrol´ıtico de 2200[µF ] (Se conside- ra sin error asociado pues no se indica de f´abrica)
• Mult´ımetro digital
• Cables conductores
B. Montaje y Procedimiento
Para medir la carga del condensador, se arma el circuito de la figura 1, debe tenerse mucho cuidado de conectar correctamente el condensador, es decir, la parte negativa de este a la parte negativa de la fuente.
Cuando ya est´a fija la tensi´on de la fuente y el circuito correctamente montado, se sincroniza la partida de este
´
ultimo con el encendido de la fuente, de modo tal que un integrante del grupo emita una se˜nal cada 5 segundos que otro capta para anotar lo que marca el volt´ımetro en ese instante. Este procedimiento se prolonga hasta que el voltaje marcado en el condensador sea muy cercano al de la fuente. Este procedimiento se realiza con las dos resistencias.
Para medir la descarga del condensador, se arma el circuito de la figura 2, se espera a que el condensador tenga una diferencia de potencial determinada para luego desconectar la fuente del circuito, de modo que el condensador var´ıa su voltaje ya que su carga se disipa en la resistencia. Para medir el voltaje en funci´on del tiempo se repite el proceso de la primera etapa.
Luego de obtenidos los resultados, se busca un modelo que permita hacer una regresi´on lineal para compar con la expresi´on te´orica.
IV. RESULTADOS Y AN ´ALISIS DE RESULTADOS
A. Resultados obtenidos
Los datos obtenidos en cada carga y descarga se muestran en los gr´aficos de las figuras 3 y 4. Las tablas de datos son presentadas en el apendice.
Para la carga del condensador se utilizaros los datos, resistencias: R1= 10 ± 5 %[kΩ] , R2= 20 ± 5 %[kΩ]
capacitancia: C = 2200[µF ]
voltaje de la fuente: V0= 19,1 ± 0,005[V ]
Ω Ω 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Datos R=10 K
Datos R=20 K
Tiempo [s]
Voltaje [V]
Carga de un condensador con una resistencia
Figura 3: Datos obtenidos en la carga del condensador Para la descarga del condensador se utilizaros los datos,
resistencias : R1= 10 ± 5 %[kΩ] , R2= 20 ± 5 %[kΩ]
capacitancia : C = 2200[µF ]
voltaje de la fuente : Para R1, V0= 18,9±0,005[V ] Para R2, V0= 19,6±0,005[V ]
Ω Ω
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250
Datos R=20 K Datos R=10 K
Tiempo [s]
Voltaje[V]
Descarga de un condensador con una resistencia
Figura 4: Datos obtenidos en la descarga del condensador
B. An´alisis
Observando los gr´aficos de carga del condensador, notamos que podr´ıan concordar con la teor´ıa pues tie- nen el perfil de un comportamiento exponencial. Para comprobar esto realizamos el gr´afico ln(V0− V ) v/s t presentado en la figura 5 y una regresi´on lineal para ca- da caso, asi veremos si existe una relaci´on lineal entre el voltaje y el tiempo.
Ω Ω Carga de un condensador
−3
−2
−1 0 1 2 3
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Regresion 2
Regresion 1 Datos R=2 K Datos R=1 K
Tiempo [s]
Ln(Vi−V)
Figura 5: Logaritmo de los datos v/s tiempo en la carga del condensador. Se presenta adem´as la regresi´on lineal asociada a cada curva de datos
Las regresiones lineales obtenidas para la carga del con- densador fueron:
R1: f (x) = (−0,0383 ± 0,0003) x + (2,87 ± 0,02) R2: f (x) = (−0,02027 ± 9 × 10−5) x + (2,92 ± 0,01) ambas con un coeficiente de correlaci´on R2= 0,99
Esto nos dice que es posible tener una relaci´on lineal entre el voltaje y el tiempo. Del gr´afico tenemos ln(V0− V ) = A1t + B1, identificando esta relaci´on con la ecuaci´on (3) se quiere ver si A1 y B1 coresponden a
−1/RC y ln(V0) respectivamente.
Se tiene Para R1:
? −1
RC = −0, 0454[ΩF1 ] y A1= −0,0383 luego ∆ % = 15,64 %
? ln(V0) = 2,95 y B1= 2,87 luego∆ % = 2,7 % Para R2:
? −1
RC = −0, 0227 1
ΩF y A1= −0,02027 luego ∆ % = 10,7 %
? ln(V0) = 2,95 y B1= 2,92 luego∆ % = 1,02 %
Ω Ω
−3
−2
−1 0 1 2 3
0 50 100 150 200 250
Ln(V)
Descarga de un condensador
Regresion 1 Regresion 2 Datos R=10 K Datos R=20 K
Tiempo [s]
Figura 6: Logaritmo de los datos v/s tiempo en la descarga del condensador. Se presenta ademas la regresi´on lineal asociada a cada curva de datos.
Las regresiones lineales obtenidas para la descarga del condensador:
R1: f (x) = (−0,0366 ± 0,0006) x + (2,71 ± 0,05) R2: f (x) = (−0,0188 ± 0,0002) x + (2,85 ± 0,02) ambas con un coeficiente de correlaci´on R2= 0,99
Esto nos dice que es posible tener una relaci´on lineal entre el voltaje y el tiempo. Del gr´afico tenemos ln(V ) = A1t + B1, identificando esta relaci´on con la ecuaci´on (5) se quiere ver si A1 y B1 coresponden a
−1/RC y ln(V0) respectivamente.
Se tiene Para R1:
? −1
RC = −0, 0454 1
ΩF y A2= −0,0366 luego∆ % = 19,38 %
? ln(V0) = 2,92 y B2= 2,71 luego∆ % = 7,19 % Para R2:
? −1
RC = −0, 0227 1
ΩF y A2= −0,0188 luego∆ % = 17,18 %
? ln(V0) = 2,98 y B2= 2,85 luego∆ % = 4,36 %
En las comparaci´ones ln(V0) y 1/RC anteriores, se han hallado las diferencias porcentuales entre los datos expe- rimentales y lo predicho por la teor´ıa, tanto para la carga como para la descarga de un condensador. Esta diferencia est´a representada por ∆ %.
V. CONCLUSIONES
Es interesante notar que los resultados obtenidos corresponden a los esperados, la carga y descarga del condensador se ajusta a una relaci´on exponencial.
Mientras mayor es la resistencia, mas lento es cualquiera de los procesos, sea carga o descarga del condensador.
Esto nos demuestra que el experimento estuvo acepta- blemente montado.
Los par´ametros de las rectas obtenidas en las regre- siones lineales tienen errores porcentuales entre el 2 % y el 20 %. Esto se atribuye a la imprecisi´on humana, por ejemplo en el momento de emitir y captar la se˜nal de aviso cada cinco segundos, claramente hay una distorsi´on en los tiempos y en la lectura de los voltajes. A pesar de eso se cumpli´o con los objetivos.
Para una futura mejor edici´on del experimento, ser´ıa bueno establecer una coordinacion mejor entre la medici´on del tiempo y del voltaje, tambien ser´ıa positivo repetir l experiencia con mas resistencias, para quiza despu´es establecer una relaci´on entre el valor de ´estas y el tiempo de carga o descarga.
Los condensadores estan en la mayor´ıa de los circui- tos electr´onicos de la actualidad, es importante a la hora de dise˜narse uno, se debe saber muy bien como oscila- ra su carga dependiendo de los demas componentes del circuito, este hecho justifica y exige la existencia de este experimento.
VI. BIBLIOGRAF´IA
“Electromagnetismo”, Berkeley Physics Course, Tomo II, Edward Purcell
Apendice - Tablas de datos
A coninuaci´on se presentan las tablas de datos obteni- das en cada caso.
Tiempo [s] Voltaje [V]
0 0
5 3.7
10 7.5
15 9.3
20 11
25 12.6
30 13.7
35 14.7
40 15.5
45 16.1
50 16.6
55 17
60 17.4
65 17.6
70 17.9
75 18.1
80 18.2
85 18.4
90 18.5
95 18.6
100 18.7
105 18.78
110 18.84
115 18.89
120 18.93
125 18.97
Error asociado a V : ±0,005 Error asociado a T: ±
Cuadro I: Datos obtenidos para la carga del condensador con R1 = 10[kΩ]
Tiempo [s] Voltaje[A]
0 0
5 2
10 3.8
15 5.3
20 6.6
25 7.9
30 9.1
35 10.2
40 11
45 11.8
50 12.5
55 13.2
60 13.8
65 14.3
70 14.7
75 15.1
80 15.5
85 15.9
90 16.2
95 16.4
100 16.7
105 16.9
110 17.1
115 17.3
120 17.5
125 17.6
130 17.7
135 17.88
140 17.99
145 18.08
150 18.19
155 18.27
160 18.36
165 18.42
170 18.5
175 18.57
180 18.65
185 18.71
Error asociado a V : ±0,005 Error asociado a T: ±
Cuadro II: Datos obtenidos para la carga del condensador con R1= 20[kΩ]
Tiempo [s] Voltaje[A]
0 18.9
5 15.09
10 12.45
15 9.88
20 7.99
25 6.35
30 5.14
35 4.17
40 3.39
45 2.82
50 2.21
55 1.78
60 1.52
65 1.23
70 1
75 0.81
80 0.69
85 0.57
90 0.48
95 0.4
100 0.33
105 0.28
110 0.24
115 0.2
120 0.18
125 0.15
130 0.14
135 0.12
140 0.1
145 0.09
150 0.08
155 0.07
Error asociado a V : ±0,005 Error asociado a T: ±
Cuadro III: Datos obtenidos para la descarga del condensador con R1= 10[kΩ]
Tiempo [s] Voltaje[A]
0 19.6
5 17.66
10 15.78
15 14.24
20 12.86
25 11.6
30 10.47
35 9.45
40 8.45
45 7.62
50 6.88
55 6.16
60 5.6
65 5.02
70 4.5
75 4.07
80 3.68
85 3.33
90 3.02
95 2.71
100 2.45
105 2.22
110 2.01
115 1.81
120 1.66
125 1.5
130 1.38
135 1.25
140 1.14
145 1.05
150 0.95
155 0.87
160 0.8
165 0.73
170 0.67
175 0.61
180 0.57
185 0.52
190 0.48
195 0.45
200 0.41
205 0.38
210 0.35
215 0.33
220 0.3
225 0.28
230 0.26
235 0.25
240 0.23
Error asociado a V : ±0,005 Error asociado a T: ±
Cuadro IV: Datos obtenidos para la descarga del condensador con R1= 20[kΩ]