DISRUPCIONES INTERNAS EN TOKAMAKS

Dep. Física Fundamental

DISRUPCIONES INTERNAS EN TOKAMAKS

MEMORIA que presenta

ANTONIO J. SARCIA- OLIVARES R.

para optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas Madrid, 1986

DISRUPCIONES INTERNAS EN TOKAñAKS

Director Dr. M. SOLER

Dep. Física Atómica, Molecular y Nuclear.

Facultad de Ciencias Físicas UNIVERSIDAD COMPLUTENSE, MADRID

MEMORIA que presenta

Antonio J. GARCIA-OLIVARES R.

para optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas.

Madrid, 1.986

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento al Dr. Mario Soler por su dirección, colaboración y estímulo, sin

los cuales no hubiera sido posible este trabajo.

Agradezco también al Instituto de Estudios Nu­

cleares las facilidades dadas para la encuadernación del texto.

INDICE

Página

I INTRODUCCION

CAPITULO I - EQUILIBRIO E INESTABILIDADES EN PLASMAS

TOKAMAK ... 10 1.1. Modelo magnetohidrodinámico del plasma ... 10

1.2. Equilibrio Tokamak ... ...

1.3. Inestabilidades ...

1.4. Principales comportamientos inestables inter­

nos ...

1.5. Inestabilidades helicoidales internas e islas magnéticas ... ...

1.6. Razón de crecimiento, de un modo helicoidal ..

1.7. Las oscilaciones de Mirnov... ..

11 12 15 17 20 23

LA EVOLUCION NO-LINEAL DEL MODO m=n=l Y EL MODELO DE KADOMTSEV ...

CAPITULO II

26 2.1. La evolución ideal del modo m=n=l ... 26

2.2. La evolución resistiva del modo m=n=l ...

2.3. Modelo de Kadomtsev para la evolución resistiva.

2.4. Resolución "exacta" de la evolución resistiva ..

2.5. Disrupciones internas "blandas" y evolución no-lineal ...

2.6. Disrupciones internas "duras". Problemas plan­

teados ... ...

27 31 34 38 40

CAPITULO III METODOS PERTURBATIVOS DE ANALISIS EN SISTEMAS ESTACIONARIOS. EL METODO DE

M. SOLER ... 43 3.1. Idea general ... ... 43

3.2. El método de M. Soler ... ..

3.3. Soluciones aproximadas del modelo 3.4. Limitaciones del modelo ...

44 46 49

CAPITULO IV - NUEVO MODELO DE ANALISIS PERTURBATIVO

DEL FENOMENO SAWTOOTH ... 51 4.1. Ecuaciones perturbativas ... .. 51

4.2. Determinación de los perfiles estacionarios ...

4.3. Condiciones iniciales ... ...

4.4. Fase disruptiva del ciclo ... ...

4.5. Aportaciones principales del modelo ...

4.6. Posibles generalizaciones del modelo ...

52 55 57 59 60 CAPITULO V - AVANCE NUMERICO DE LAS ECUACIONES DIFU­

SIVAS ... 69 5.1. Ecuaciones perturbativas ... ... . 69

5.2. Normalizaciones ...

5.3. Ecuaciones normalizadas ...

5.4. Método de avance temporal en diferencias finitas . 5.5. Predictor para la ecuación electrónica ...

5.6. Predictor para la ecuación iónica ...

5.7. Predictor para la ecuación del campo magnético ...

5.8. Corrector para la ecuación electrónica ...

5.9. Corrector para la ecuación iónica...

5.10. Corrector para la ecuación magnética...

5.11. Condiciones de contorno...

70 72 75 77 78 79 80 81 82 83 CAPITULO VI - EL PROBLEMA DEL "TRIGGER" Y LA CAUSA DE

LOS DIENTES DE SIERRA ... 87 6.1. Primeras hipótesis acerca del "TRIGGER"...

6.2. Hipótesis fenomenológica q(r=0)=l, q(r=0)=0 ...

6.3. Cálculo de las razones de crecimiento ...

6.4. La hipótesis teórica de la inestabilidad local ...

87 89 92 95 102 CAPITULO VII - RESULTADOS DEL METODO

7.1. Disparador y forma del factor de seguridad 7.2. Difusión magnética... ...

7.3. Difusión térmica ...

102 105 110

7.4. Algunas leyes generales ... 113 7.5. Ajuste de dientes de sierra en distintos Tokamaks . 7.6. El fenómeno de recanalización por reconexión ... ..

7.7. Forma de los dientes centrales y temperatura

iónica ... ... ...

7.8. Estudio general del transporte a todos los radios . 7.9. Las disrupciones internas en grandes aparatos ...

115 118 119 121 123 CAPITULO VIII - ANALISIS DE OTRAS SOLUCIONES AL PROBLE­

MA SAWTOOTH ... ... 129 8. 1. Introducción ... 129

8.2. El modelo de Dnestrovskii ...

8.3. El modelo de Mac Guire y Robinson 8.4. El modelo de Jahns ...

8.5. El modelo de Parail ...

8.6. El modelo de Yamazaki ...

8.7. El modelo de Dubois-Samain ...

8.8. Otros modelos ... ....

129 131 134 138 141 144 149 158 CAPITULO IX - CONCLUSIONES

APENDICE I - ECUACIONES DE DOS FLUIDOS Y ECUACIONES

M.H.D. ... 164 1.1. Formulación cinética ... 164

1.2. Ecuaciones de dos fluidos 1.3. Ecuaciones de un fluido ..

1.4. Ecuaciones de la MHD ideal

166 169 174 UN MODELO DE RECONEXION BLANDA PARA DOS

SUPERFICIES RESONANTES ...

APENDICE II

179 11.1. Introducción ... 179

11.2. Modelo de reconexión m=n=l en presencia de perfi­

les con dos superficies resonantes ... ...

11.3. Resolución numérica del modelo ...

11.4. Soluciones generales de los modelos de Kadomtsev y Parail ... ....

180 183 187

METODOS "SHOOTING" PARA LA SOLUCION

NUMERICA DE LAS RAZONES DE CRECIMIENTO . APENDICE III

193 III.1. Ecuaciones para la razón de crecimiento ideal ..

III. 2. Normalizaciones y constantes ... ...

111.3. Comportamiento en el origen ...

111.4. Algoritmo numérico ... ...

111.5. Ecuaciones para la razón de crecimiento resis­

tiva ... ...

III. 6. Algoritmo numérico y condiciones iniciales ...

193 194 196 197 199 202 APENDICE IV - PROGRAMAS NUMERICOS 206

IV. 1. Generalidades ... .. 206 IV.2. El programa principal: SWOSC ó SWOSC2 IV. 3. La subrutina SETDAT ...

IV.4. La subrutina EQLBRM ...

IV.5. La subrutina DISRPT ...

IV.6. La subrutina PERTUR ...

IV.7. La subrutina AVANTE ...

IV.8. La subrutina TRIDIA... ...

IV.9. La subrutina FINT ...

IV.10. La entrada de datos ...

206 208 210 213 213 216 216 219 219 LISTADOS DE LOS PROGRAMAS NUMERICOS __ 225

APENDICE V BIBLIOGRAFIA 245

INTRODUCCION

Las disrupciones internas son rupturas cíclicas del equilibrio en geometría Tokamak del plasma, en toda una región,

generalmente la más interior, en donde temperaturas y corriente tienden a alcanzar sus valores máximos. Esta ruptura, general­

mente violenta, del equilibrio, conduce a una situación de me­

nor energía del sistema, situación que es reconducida por los procesos de transporte, hasta que se alcanza de nuevo una si­

tuación pre-disruptiva análoga a la inicial, repitiéndose enton ces el fenómeno.

La importancia práctica de este fenómeno es evidente hoy en día en grandes tokamaks, en los cuales la región disrup- tiva alcanza radios Tq de hasta la mitad del radio a ocupado por el plasma .(frente a rQ/a~l/3 ó menos para los tokamaks más pequeños) . Dicha inqportancia deriva de que la mayor parte del transporte de calor en esa zona es provocado por las disrupcio nes internas, y es precisamente en esa región central donde se espera poder conseguir temperaturas suficientes para alcanzar

la ignición.

Las disrupciones internas tienen además importancia práctica por un motivo más indirecto que el anterior: proporcio­

nan las perturbaciones térmicas del plasma necesarias para poder medir los coeficientes de transporte térmicos (electrónico e iónico), observando la propagación de los pulsos de calor que aquéllas introducen (Callen, 1.977; Soler, 1.978). Estos pulsos térmicos son habitualmente observados en las oscilaciones de los rayos-X blandos emitidos por Brémsstrauhlung, y son conocidos por el nombre de dientes de sierra o "sawteeth", debido a la for ma que presentan en los radios más centrales.

Finalmente, estos fenómenos tienen una importancia teórica propia, debido fundamentalmente a que se desconoce aún,

cuál es la causa de la repentina pérdida del equilibrio to "dis- rupción" en el sentido estricto), usualmente observada.

Los dientes de sierra se caracterizan por una oscila ción aproximadamente cíclica de las señales de rayos-X blandos

(Von Goeler, 1.974; TRF-Group, 1.975),radiofrecuencia electrón- ciclotrón (Taylor, 1.984), e incluso algunas líneas espectrales de impurezas como Oxígeno, Nitrógeno, Hierro y Cromo (Brooks, 1.977). Estas señales presentan distintas formas cuando son ob­

servadas en distintos radios del plasma. La figura 1-a muestra este hecho experimental.

En toda la zona entre el centro del plasma (r=0) y un cierto radio llamado de inversión (r^) las oscilaciones presen­

tan la característica1 forma en diente de sierra que da nombre al fenómeno. La amplitud de estos dientes decrece cuando nos acerca mos a r

I*

Entre rj y un cierto tadio r^-Zl r^, las oscilaciones aparecen invertidas respecto a las anteriores. La amplitud de las oscilaciones en esta zona crece a medida que nos alejamos de rI*

Para radios mayores que rq, las oscilaciones en "dien te de sierra invertido" son sustituidas por "olas", cuyo tamaño decrece a medida que nos acercamos al borde del plasma (r=a).

Es sabido que los rayos-X blandos proceden básicamen­

te del "bremsstraulung" electrónico y sus oscilaciones resultan ser básicamente proporcionales a las oscilaciones relativas de la temperatura electrónica (Von Goeler, 1.974; Von Goeler, 1.975;

Jahns, 1.978; TFR-Group, 1.978).

Asimismo, la radiación ciclotrónica electrónica pro­

porciona una información aún más directa de la temperatura de . los electrones (TFR-Group, J.,978 _; Bornatici, 1.983).

e

Y. <

(Observación en r=0.)

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< r < ^

(Observación en r-r

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'A (b) (c)

*V

Tt*

FIGURA 1 - (a) Evolución temporal de la temperatura electrónica para los distintos radios del plasma en un regimen de disrupciones inter­

nas cíclicas, (b) Perturbaciones térmicas en los perfiles cuasiesta- cionarios y evolución subsiguiente, según el modelo de M. Soler.

(c) Ejemplos de aplanamientos térmicos en un perfil potencial como el indicado, según el citado modelo.

La evidencia experimental introducida por estos dos métodos de diagnóstico así como por el de "dispersión Thompson"

(Scheffield, 1.975) confirma la siguiente interpretación de las señales en diente de sierra (M. Soler, 1.978):

En toda la zona central del plasma, entre r=0 y r=rQ, se produce periódicamente y coincidiendo con el período de los dientes, un aplanamiento de la temperatura, resultado de una

equirrepartición de la energía térmica en toda la zona. La figura 1-fa ilustra este fenómeno.

La subsiguiente difusión térmica hacia el estado ini­

cial, produciría la característica evolución temporal observada en la señal.

Podemos pues descomponer las oscilaciones sawtooth en dos fases diferenciadas: en una de ellas (fase difusiva) la tempe ratura tiende hacia un estado estacionario en todo el sistema. En la segunda (fase disruptiva) la ruptura de ciertas ligaduras im­

puestas al sistema, interrumpe la evolución anterior, producien­

do un rápido equilibramiento térmico de la zona 0<r<rg.

La primera fase del fenómeno será analizada mediante las ecuaciones de transporte para un sistema de "dos fluidos" a distintas temperaturas. Para el análisis de la fase disruptiva se utilizarán las ecuaciones de la Magneto-Hidrodinámica (MHD).

Pero antes de entrar en nuestro modelo, comentaré bre vemente los antecedentes históricos de la investigación sobre el tema, que se remonta a los trabajos de: Kadomtsev (1.975); Callen y Jahns (1.976); Jahns, Soler, etc. (1.978); Parail (1.980); y Dubois (1.983), principalmente. Es obligado citar asimismo a Von Goeler (1.974) como pionero en la definición experimental del fe­

nómeno.

El trabajo de Kadomtsev es el primero en el intento de dar una explicación teórica a la disrupción: demuestra que la

isla magnética m=l, n=l no es estable ante resistividades fini­

tas del plasma, pero es incapaz de explicar por qué la disrup­

ción (desestabilización) se produce abruptamente en cierto ins­

tante y no en otro cualquiera.

El trabajo de Jahns, Soler, etc., fue el primer ajus­

te cuantitativo que se consiguió de los dientes de sierra de un tokamak (ORMAK), en gran parte gracias al modelo térmico de M.

Soler para el comportamiento m=0 (difusión radialmente simétri­

ca) del fenómeno. Pero las aproximaciones e hipótesis utiliza­

das en el resto del análisis, a fin de hacer coincidir los da­

tos con el modelo de Kadomtsev, son en numerosas ocasiones in- justificables.

El trabajo de Parail es el primero en introducir una hipótesis consistente sobre el instante en que ocurre la recone­

xión de Kadomtsev. Además, es el primero en obtener en un toka­

mak (T-10), perfiles con dos islas magnéticas, detalle fundamen tal en nuestra opinión, para poder-obtener regímenes cíclicos.

Sin embargo, es un modelo no-autoconsistente, en el sentido de que no resuelve la fase disruptiva sino cualitativamente.

El trabajo de Dubois hace hincapié sobre todo en la simulación de la oscilación m=l y olvida todo el comportamiento m=0 y fenómenos asociados. Es un estudio muy meticuloso pero muy parcial. Su hipótesis teórica acerca de la disrupción por turbulencia viscosa es demasiado difusa para poder explicar el instante exacto en que ocurre la disrupción.

Casi simultáneamente al nuestro, ha sido publicado un modelo teórico para el disparador de la disrupción, debido a Wesson (1.985). En él se explica ésta mediante una posible pér­

dida del equilibrio en el instante en que una superficie con q = B,p.r/B.R = 1 aparece en el plasma. Los perfiles g=q(r) de Wesson son los mismos que hemos obtenido nosotros. Sin embargo,

con su modelo habría que rechazar la existencia de islas magné­

ticas m=l, lo cual parece difícil de aceptar sobre todo después

de los trabajos de Dubois et al.

Podemos citar también uno de los trabajos más recien tes sobre dientes de sierra, realizado por Fredrickson, Callen, Mac Guire, y otros diez autores (1.985) , en el que intentan uti_

lizar el fenómeno sawtooth para calcular el coeficiente de con­

ductividad térmica electrónica en el tokamak TFTR. En nuestra opinión este análisis es excesivamente simplista pues no consi­

dera el importante efecto que puede tener la conductividad tér­

mica iónica sobre los dientes de sierra.

Acabaré comentando las principales aportaciones y mejoras que esta Tesis introduce respecto a los trabajos ante­

riores:

En primer lugar, supone una mejora sustancial del antiguo método de M. Soler (1.978 y 1.979) para calcular los coeficientes de transporte de calor: el método es más general y complejo y tiene en cuenta efectos magnéticos, forma de la ' Z-efectiva, conductividad no clásica, etc.

En segundo lugar, y utilizando la herramienta de análisis que supone el citado método, se han estudiado metódi­

camente los parámetros físicos que son comunes a todos los re­

gímenes de disrupciones internas, lo cual ha permitido definir las circunstancias en que es posible la obtención de la cicli- cidad dél fenómeno Sawtooth.

Este estudio, a su vez, ha permitido mejorar el mé­

todo de análisis, hasta la obtención de un código numérico (véase Olivares y Soler, 1.986), capaz de ajustar ciclos com­

pletos de dientes de sierra en cualquier Tokamak. La mayor par te de los modelos anteriores se limitaban, por contra, a ajus­

tar un solo diente de un Tokamak particular, sin prestar aten­

ción al hecho de la no evidencia de que un sistema físico entre en un régimen cíclico "estacionario".

Se ha obtenido la forma general del factor de seguri- Bt.r

R.B(r)

vares y Soler, 1.985), y su relación con el transporte.

, distinta en aparatos pequeños y grandes (Oli- dad q(r) =

Un estudio M.H.D. de estos perfiles q(r) ha permitido encontrar una inestabilidad local de tipo Suydam y Mercier, aso­

ciada al régimen cíclico, lo cual permite lanzar una hipótesis sobre la causa de las disrupciones internas en Tokamaks (Véase Soler y Olivares, 1.986).

El modela autoconsistente así logrado, ha permitido el ajuste experimental de los parámetros físicos de las descar- gas-sawtooth de tokamaks muy distintos, como TOSCA, CLEO, ALCA- TOR, DITE y TFTR.

Finalmente, nuestra hipótesis acerca de la causa de la disrupción permite iniciar el intento de explicación de los dientes de sierra "dobles o compuestos", de reciente aparición, en grandes aparatos. (McGuire, 1.985; Cairpbell, 1.985; Pfeiffer, 1.985).

En lo que resta de la introducción comentaremos bre­

vemente la estructura de las diferentes partes de esta Tesis.

En el Capítulo I introducimos algunos conceptos gene­

rales útiles para la descripción de un plasma en la geometría Tokamak. Se definen los conceptos de equilibrio estable e ines­

table dentro del modelo MagnetoHidroDinámico (MHD) y se citan las más importantes inestabilidades que aparecen en tal geome­

tría. Se explica cómo la existencia de una isla magnética heli­

coidal de modos m=l, n=l está asociada a la aparición de una inestabilidad interna de la misma helicidad.

En nuestro modelo, la existencia de una isla m=n=l es condición necesaria para la existencia de oscilaciones Sawtooth.

En el Capítulo II se describe la evolución no lineal de una isla m=n=l y la evidencia experimental que en nuestra- opinión existe a favor de esta evolución resistiva como expli­

cación de los "dientes de sierra blandos" observados en algunos Tokamaks, tales como el ISX-B.

Del Capítulo II se puede pasar directamente al IV si se desea una información rápida de nuestro actual método de si­

mulación del fenómeno Sawtooth.

En el Capítulo III se explica el Método de M. Soler para el análisis del transporte en presencia de dientes de sie­

rra. Este método es el antecesor directo, históricamente hablan­

do, de nuestro método actual.

En este capítulo se dan algunas soluciones analíticas aproximadas para el transporte Tokamak, que pueden servir como punto de partida a los ulteriores análisis.

En el Capítulo IV se explica nuestro método de análi­

sis del fenómeno sawtooth, así como algunas posibles generaliza­

ciones del mismo.

En el Capítulo V se detalla el método de resolución numérica de las ecuaciones del modelo. Quién no esté interesado en los detalles numéricos del código puede pasar por alto este capítulo.

En el Capítulo VI hacemos una hipótesis teórica sobre la causa de la disrupción Sawtooth, basada en los resultados ob­

tenidos por el código.

En el Capítulo VII se exponen detalladamente los re­

sultados más importantes obtenidos por el nuevo método.

En el Capítulo VIII analizo críticamente los princi­

pales trabajos sobre Sawteeth anteriores a éste, desde la pers-

pectiva de nuestros propios resultados.

Finalmente, en las Conclusiones, resumo las principa­

les aportaciones personales a este trabajo.

CAPITULO I : EQUILIBRIO E INESTABILIDADES EN PLASMAS

• ' ' TOKAMAK. '•

1.1. MODELO MAGNETOHIDRODINAMICO DEL PLASMA.

La manera más sencilla y no trivial de representar a. un plasma físico en presencia de un campo electromagnético es utili­

zar el modelo Magnetohidrodinámico (M.H.D.), que lo describe como un fluido de alta conductividad (idealmente infinita), cercano al equilibrio termodinámico local (de manera que sea definible y medi- ble una temperatura T(r,t) en cada punto) y sometido a campos eléc­

tricos y magnéticos.

Un estudio de las aproximaciones que conducen al modelo MHD es dado en el apéndice I. Esencialmente, para procesos de baja

frecuencia en un plasma ideal (en M.K.S.A.):

av -± , =»■

pdt*= -Vp + JAB

? = ^ VAf

(1.1) MOVIMIENTO AMPÉRE (1.2)

y

3B -VAE (1.3) FARADAY

— =31

E = -vAB (1.4) OHM

p = -vVp - TpVv (1.5) ENERGIA

9 -v^p - pVv (1.6) CONTINUIDAD

¥t P =

Un somero estudio de estas ecuaciones conduce a la conclu­

sión de que los plasmas constituyen medios muy móviles y en condi­

ciones reales raramente deben encontrarse en reposo. Se podría ima­

ginar, ciertamente, un plasma homogéneo en equilibrio térmico ocu­

pando todo el espacio. Este caso límite es a menudo utilizado en el estudio de las oscilaciones plásticas. Pero se debe convenir que en

laboratorio los plasmas obtenidos son siempre inhomogéneos. Para qué tal plasma se encuentre aproximadamente confinados, deben sumi­

nistrársele fuerzas que impidan su expansión hacia el equilibrio termodinámico global. Estas fuerzas son magnéticas como sabemos, en los sistemas de confinamiento Tokamak.

1.2. EQUILIBRIO TOKAMAK.

Según (1.1) un plasma ideal no puede estar en equilibrio más que en el caso de que un gradiente de presión sea equilibrado por una fuerza de Ampére. De esta misma ecuación se deduce que:

B. Vp == 0 y j.Vp = 0 (1.7)

que indica que líneas de fuerza y líneas de corriente deben estar sobre la superficie de p = cte.

Estas superficies son también (véase figura 2)' de flujo magnético constante. Proyectando la ecuación (1.1) sobre estas su­

perficies se obtiene la ecuación de Grad-Shafranov para el equili­

brio en sistemas toroidales:

„2 ,

d íp

_

!_ i ü

3R R 3R + R2yp' (4¡) + 1(^)1* W (1.8) 3z2

ecuación que permite calcular la forma ^ = ^(R,z) de las superfi­

cies magnéticas, de simetría toroidal, dando los perfiles de co-

<p>

Bp/2lJ0 alcance valores mayores del 1 % (caso usual), estas soluciones ip = ifj(R,z) son aproximadamente círculos concéntricos o con centros de curvatura ligeramente desplazados unos respecto a otros. Para

ó 4 las superficies empiezan a "aplastarse" contra las paredes externas de la cámara, adoptando formas parecidas a la le­

tra D.

rriente poloidal y presión. Para plasmas en que <3p> = no

<6>P = 1003

Nuestro interés se centra, en la presente Tesis, en los casos de equilibrios con baja <6 > que son la mayoría en los To-

ir

kamale actualmente existentes.

Nada nos permite asegurar que una configuración cual­

quiera de equilibrio vaya a ser sin embargo de equilibrio estable.

1.3. INESTABILIDADES.

La historia de una inestabilidad del equilibrio comienza con la presencia en el seno del plasma de infinitas oscilaciones en torno a la condición (1.1). Estas perturbaciones del equili­

brio provienen fundamentalmente de las inevitables inhomogeneida­

des en la presión y de la inercia del plasma ante la introducción brusca de una fuerza externa. Este efecto de inercia ha sido pre­

cisamente incluido en la ecuación (1.1). Estas infinitas per-

• turbaciones implican infinitos modos de Fourier presentes, de la forma: exp(im0 - in<}>) para un toro, ó exp(im0 - ikz) para su apro ximación cilindrica.

m

^L.

"mm'

Is VxB-do'

f - ~— / B •da’

P

g / VxB’dOp

P

t 3t

La geometría Tokamak.

FIGURA 2

De todas las. posibles perturbaciones del equilibrio só­

lo serán inestables aquéllas que disminuyan la energía magnética del sistema, aumentando su propia energía cinética.

Las inestabilidades más graves para el confinamiento son las llamadas "externas". En ellas, toda, la columna de plasma se va deformando hasta tocar las paredes del aparato confinante, acabando con la descarga y dañando a la propia pared. La figura 3 muestra las más importantes de estas perturbaciones inestables externas, ordenadas según su número de modo-s poloidales y toroi- dales.

Las n=Q son estabilizadas mediante las bobinas de campo vertical (q-ue no aparecen en la fi'g.2). una expansión del toro en el

radio mayor es contrarrestada por el incremento de la presión magnética del campo vertical que rodea externamente al toro, y por el incremento de JABv posterior.

El mismo mecanismo estabiliza los -otros modos "toroida- les puros". n=l, n=2, n=3, etc.

La inestabilidad m=0 tiene en general la forma mostrada en la figura, pero puede consistir también en una expansión cons­

tante del radio menor del plasma en toda la columna. Ocurre que basta que haya una perturbación que constriña a la columna en cierto lugar para que la corriente toroidal total produzca en ese lugar un mayor campo poloidal alrededor de la columna. Esto impli ca a su vez un incremento en la fuerza "jAB que constriñiría aún más la columna, etc. Esta inestabilidad es estabilizada aumentan­

do a un valor crítico suficientemente grande el campo toroidal.

Entonces, la compresión de la columna sería contrarrestada por una fuerza restauradora de la curvatura inicial del campo toroi­

dal.

Lo anterior se entiende mejor escribiendo:

ViJAB = (VAB)AB = BVB - ¿ VB2

donde Í3=B/B y notando B.VBEx es la curvatura de la línea de cam­

po. Introduciendo V =^-§BV llegamos a:

k (BB.VB2 - VB2)

= B BVB + 2

i

->

¿

B2x

- i

7 B2

JAB = (1.9)

que nos indica que JAB no sólo produce una "presión magnética"

hacia las regiones de menor campo, sino también una "tensión"

que tiende a disminuir la curvatura de la línea magnética.

/ \

/ n»0 »

I

\ I

M\

A*

IJ

/ m=l n^O

¿y'

m=2 n^O

Lc$íí¡

Deformaciones correspondientes a distintos nümeros de modos toroidales y poloidales ( deDolan, 1.982 y Bateman, 1.978).

FIGURA 3

La inestabilidad m=l, n=j comienza con una perturbación helicoidal de la columna de plasma. Esta perturbación alarga po-

loidalmente la línea de campo, y este incremento de la componen­

te poloidal acelera la deformación. Este proceso no se daría si _ BT/R

pues entonces la deformación helicoidal no incrementaría sino que disminuiría el campo poloidal (Johnson et al

q(r=a) > 1 (1.10)

1.958) .

• /

La anterior es llamada condición de Kruskal-Shafranov para la estabilidad. Esta condición estabiliza el modo externo

m=l. Análogamente, q(r=a)>2 estabilizaría el modo m=2.

Lo esencial para la estabilización de m=l y m=2 (que son las inestabilidades externas de mayor razón de crecimiento) es que la superficie magnética que tiene q(r^)=l y q(r2)=2, no estén excesivamente cerca del borde r=a del plasma.

1.4. PRINCIPALES COMPORTAMIENTOS INESTABLES INTERNOS.

Pues bien, aún con los modos externos m==l y m=2 estabi­

lizados, tres formas más de comportamiento inestable se observan en un Tokamak: Las oscilaciones Mirnov, las oscilaciones "sawtooth"

o dientes de sierra, y la inestabilidad disruptiva.

Obsérvese la forma del perfil de q(r) típico para un Tokamak (fig. 4).

VE

La constante de Kruskal-Shafranov: q(r) _{Bn/r dip} pol (1.11) B.ds

Stor

B.ds , Spol

donde 4>tor 4»pol

la fracción de superficie <p = cte que va de r=0 al siendo S

tor

1.5. INESTABILIDADES HELICOIDALES INTERNAS E ISLAS MAGNETICAS.

La inestabilidad interna comienza con una perturbación

/v

5r = C cos(m0-kz) (1.12)

en radios de plasma conteniendo a o radio resonante.

La figura 5 muestra -una perturbación con siete modos poloidales, alrededor de una superficie resonante. Si esta superficie es la de g =

siete,

■p entonces el número de modos toroidales n será también y tendríamos 5 = £cos(76-7^) = Seos(70 - — z)

3- R

FIGURA 5 - Perturbaciones en torno a la superficie cpl.

í (x,t) = dt'v^->1 (x,t).

donde (1.13)

0

El super-índice 1. indica que se trata de una perturba­

ción de la magnitud correspondiente de equilibrio.

Se ve fácilmente que v cos(mQ-kz) z

1 1

cos(mQ-kz) y J « cosCmg-kz)

o z

, B^cc sen (mg-kz) , (1.14)

En el caso m=n=l, tendríamos una como la mostrada en la figura 5-b.

perturbación interna

• Una perturbación como éstas, que tiene la misma estruc tura (dependencia funcional) helicoidal que una línea magnética de una superficie racional (o resonante), forma una isla magné­

tica si su crecimiento es finito. Esto se entiende mejor, pasan do a un sistema de referencia que se mueva con una línea magné­

tica que se cierra sobre sí misma (esto es, una línea magnética de una superficie racional). La figura 6 muestra la serie de transformaciones que entraña tal cambio.

FIGURA 6 - Serie de transfor­

maciones que entraña el paso a un sistema de referencia tipo "Hamada".

d c

8*

r

r

Al recorrer esta línea racional, las líneas de campo radialmente por encima se ven moverse a la derecha, en tanto que las de los radios inferiores se desplazan hacia la izquier­

da (fig. 6-d) . Si ahora introducimos la perturbación (1.12), las líneas superiores son conectadas con las inferiores, en tor no a nuestra línea racional particular (fig. 6-e). El resultado es un sistema de islas magnéticas centradas en m líneas helico¿

dales magnéticas.

1 Si el modo {m,n} es inestable, la perturbación ere ce hasta hacerse visible, provocando la formación de verdaderas islas en el plasma, como la que muestra la figura 7 para m=n=l en torno a la superficie resonante q=l ^ „

FIGURA 7

Isla magnética tif=1.

Los números sobre cada superficie magnética indican el valor del flujo del campo BA terior a la formación de la isla.

(Dibujo tomado de Boozer, 1.983).

an-

La anchura de la isla puede ser relacionada con el tama­

ño de la perturbación; por ejemplo (ver fig. 6-e), si B =-B sen kx -B sen kx

dy dx

dy/dx = pues B = Bx' -yJ ' -Y

x 2

B B B x

y x

2 ^/\

e integrando desde (- 0) a (x,y) : B^. - j| (eos kx + 1)

- <(sH1/2

(en x=0) y w = 2y (1.15)

y. sz ---

max kBx^{i ♦ »} max

1.6. RAZON DE CRECIMIENTO DE UN MODO HELICOIDAL.

La medida de la inestabilidad de un modo {m,n) viene dada'“por su razón de crecimiento y:

4<r,t)

= E,(r) e (1.16)

y real -* inestabilidad Y imaginaria -* estabilidad.

Para calcular y lo primero que se hace es linealizar las ecuaciones (1.1)-(1.6) mediante las perturbaciones arbitra-

->=111

B , p , p tales que:

riamente pequeñas +1v ,

r -1 >

0 v

v

-0 B1

-y

B ₌₌ B _{+ £} (1.17)

p0 1

p p

l pOj

-*o ^0

= vu= v —

I 0.

donde suponemos v = v = 0 en el equilibrio 0 Resulta entonces:

pO-JLL = -Vp1 + J°AB^ + J1AB° (1.18)

- VAB con J =

u

9B1 = VA(v1AB°) (1.19)

3t

= vhvp» -

9P1 =

r pOv.v1 , r =5/3 (1.20)

-v^Vp0 - p°V.v1 (1.21)

3t

Utilizando sólo perturbaciones radiales, de la forma (1.16) y utilizando la definición (1.13), todas menos dos de las variables de perturbación pueden ser eliminadas de las an­

teriores ecuaciones. El resultado es (Bateman, 1978):

(py2 + F2/y) r|^r(rCr)

(pY2 + F2/U)r|^ P* = C21r^ - CllP*)

(1.22a) + c12p*)

= Cur?r

(1.22b)

donde

= 2(mFBg/r - B2A)/y

= r2A

= -(pY2+F2/u)2+2(pY2+F2/u)Be|?(^)/U+4(^)2(^ - B2A)/y

-p2Y4 [(pY2+F2/y) TpO+pY2 (B2+B2)/y] ; p*Ep1:fB0.iVy

2 2 2

k r

C12 - m

C21 A

lim r+0 Ecuaciones que verifican: m-1

«r = r ;

lim . i fe r

2

r e imponemos que verifiquen:

“PY

U J

Cr(r=a) = 0.

Las ecuaciones (1.22) son las ecuaciones de autovalo- res para perturbaciones radiales. Su resolución numérica para perfiles q(r) del tipo del mostrado en F16.4 ha permitido demo£

trar que el modo m=n=l es el más inestable de todos los modos asociados a superficies racionales.

Si lo que nos interesa es deducir qué perfiles 5(r) són inestables y cuáles no, y no la razón de crecimiento y, en­

tonces es mejor trabajar con el principio de energía. Se demue£

tra fácilmente que una perturbación implica una perturbación en la energía del plasma, que viene dada por:

i ^p ° ^í 2 - i U3x U<?)

,3 1 d x ~

i ^

pu =

= E +Sw

c SE , con

2 j

(1.23) 3t2

d3xf.F{n)

d3xiT.F{lf} = se demuestra (Kadomtsev , si ante una perturbación £^.(r) Si

1966) (3)que |^- SE

Sw<0 inestabilidad. Si 6w>0 estabilidad.

- 0. Por tanto,

La energía potencial de la perturbación es:

Sw„ + SwT7 + 5wc (fluido, vacío y super-

F V S ficie)

Siendo (para perturbaciones radiales £ ):

(1.24) 6w =

i3 dr í"f (|') 2

J 0 L ⁺

fiwF = \ (1.25)

f = rB2(m-nq)2/y(m2+k2r2) 2 r

2 m2-l+k2r2 m2+k2r2 2 2

- 2k r g ~ 2 2 2

irT+k^r

+ 2k2r2((nq2)-m2) . (m2+k2r2)2

B0

p + — (m-nq) yr

Si lo que queremos es el perfil £ (r) que minimice a SwF (el más inestable):

6 (<5wp) = j

ECUACION DE EULER

(f S 5r

d (1.26)

= 0

- g?r

dr

1.7. LAS OSCILACIONES DE MIENOV.

Finalmente, comentaremos la existencia de ciertas osci­

laciones observables en los rayos X blandos que se asocian fre­

cuentemente a la existencia de islas magnéticas en el plasma.

Son las llamadas Oscilaciones de Mimov. Se suelen interpretar como un giro de toda la estructura de islas asociada a un modo {m,n} en tomo al eje r=0 (Mirnov, 1971) .

En efecto, si observamos la figura 8 vemos que en las islas magnéticas se han conectado líneas magnéticas exteriores a r=r con líneas exteriores a r . Dado que estas últimas esta-

s s

ban en una zona más caliente que aquéllas, se tiende a producir un flujo de calor electrónico e iónico desde las líneas interio­

res hacia las exteriores una vez producida la isla. Pero como el coeficiente de difusión paralelo al campo magnético es mayor para los electrones que para los iones (Braginskii, 1965) se

producirá una separación de carga a lo largo de las nuevas líneas recién encontradas que acaba frenando la difusión. El resultado final es un campo eléctrico ("Ambipolar") cruzando la isla, en dirección radial. Este campo eléctrico interacciona con el campo magnético toroidal, produciendo en "drift" o deriva de la isla alrededor del eje r=0, cuya frecuencia vendría dada, en 'este mo­

delo simplificado pors

. E AB

1 AMB

.1 ms WDRIFT ^ cr

S B

z

Como veremos en al Capítulo II, el tiempo caracterís­

tico de crecimiento de una isla no estabilizada es mucho menor que 0.1 ms, por tanto, para que las oscilaciones Mimov sean observables, la isla debe o haberse saturado (estabilizado) en su crecimiento, o estar creciendo lentamente debido a efectos estabilizadores.

1)• Las disrupclones internas' parecen ser inestabilidades aso­

ciadas al modo m=1, n=l (y m=0, n=0). Pero no son las úni­

cas disrupciones que se dan en el interior de un plasma de geometría Tokamak. Se han observado asimismo disrupciones caracterizadas por un aplanamiento súbito de la emisividad del plasma para rayos-X blandos en torno a ciertas superfi.

cies racionales de q^1. Estas disrupciones se denominan

"blandas" y se suelen interpretar como reconexiones de mo­

dos inestables más generales tales como el m=2, n=l, y el m=3, n=l. Las disrupciones blandas son mucho más "suaves"

que las disrupciones internas, y no producen la caracterís_

tica señal en diente-de-sierra de estas. Para mayores deta_

lies acerca de las disrupciones blandas. Véase: Sauthoff, 1978.

2) Para mayor información acerca de la formación de islas magnéticas, véase por ejemplo: Boozer, 1983 y Morozov,

1966,

3) La referencia es: B.B. Kadomtsev, Review of Plasma Physics, 3, pág.

153. Consultants Bureau, 1966. Las páginas en que aparece la integraci6n por partes son las 158 a 162.

CAPITULO II : LA EVOLUCION NO-LINEAL DEL MODO m=n=l Y EL MODELO DE KADOMTSEV.

2.1. LA EVOLUCION IDEAL DEL MODO m-n=l.

Veíamos en el capítulo anterior cómo de todos los modos helicoidales ím,n} asociados a superficies racionales

cte, el más inestable de todos es el m=n=l. Este hecho, rq=m/n

así como la forma en que evoluciona tras la fase inicial (lineal) de la perturbación, lo convierten en el mayor candidato para ex­

plicar el fenómeno sawtooth.

Ahora bien, si seguimos utilizando las ecuaciones (1.1) a (1.6) en fases posteriores de evolución de este modo, nos encontramos con que tal como demostraron Rosenbluth et al.

(Rosenbluth, 1973) el modo m=n=l llega finalmente a una situa­

ción de equilibrio helicoidal estable tal como el mostrado en la figura 8b.

FIGURA 8

Campo auxiliar en la co­

lumna de plasma.

a) En el estado inicial.

b) Cuando las superficies de flujo negativo y positivo se tocan.

c) Durante la reconexion debi­

da a la conductividad fini­

ta.

d) Después de la reconexion.

Tal saturación del crecimiento del modo se produce porque al aproximarse la columna r<r a las regiones inertes

s

de r>rs. arrastrando consigo a las líneas magnéticas, congela­

das en el fluido, se produce un incremento de la presión magné

2 —

tica Bq/4tt, en la zona ab de la figura 8b.

Este incremento de presión, suponiendo que la estabi^

lidad externa esté asegurada,,sólo puede conducir al frenado completo del crecimiento del modo interno, debido a la ligadu­

ra que impone la infinita conductividad sobre la topología de las líneas magnéticas.

Este mismo fenómeno de saturación se produce en los otros modos de apreciable razón de crecimiento: el m=2, n=l y el m=3, n=2. (Hicks, 1.977).

2.2. LA EVOLUCION RESISTIVA DEL MODO m=n=l.

El efecto de estabilización del modo irF=n=l, tal como Kadomtsev hizo notar, (Kadomtsev, 1975) se debe únicamente a haber despreciado en las ecuaciones (1.3) y (1.4) el pequeño pero importante efecto de la resistividad. Si mantenemos (ver Apéndice I) en la ecuación (1.32) el término de Jn/an llega­

ríamos a esta nueva ley de Qhm:

->

(2.1) E + vAB = rij

en lugar de la usual (1.37). Sustituyendo en la Ley de Faraday (1.3) llegaríamos a:

||- = VAvAB + nV2B (n=cte) (2.2)

El primer término del segundo miembro es el término de "arrastre" o "congelamiento" de las líneas de campo por el fluido. El segundo es un cambio difusivo para el campo magnéti-

co. Este es el término que "relaja" la ligadura impuesta por el primer término a las líneas de campo, permitiendo que las

líneas se reconecten alrededor de ab (figura 8b) unas con otras, cambiando por completo la evolución no-lineal de la inestabilidad m=n=l. Los otros modos inestables como {2,1}, {3,2} y {3,1} suelen mantenerse saturados, pese a la introduc­

ción de la resistividad, debido a sus menores razones de cre­

cimiento. (Hicks, 1.977; Carreras, 1.979).

*/i

FIGURA 9 - Simulación numérica de la saturación de los modos 2/1, 3/2 y 3/1, usando resistividades 100 veces mayores que las reales (Hicks, 1.977).

La evolución no-lineal del modo m=n=l, teniendo en cuen ta resistividad, fue analizada por Kadomtsev del siguiente modo

(véanse Kadomtsev + Pogutse, 1974 y Kadomtsev, 1975):

no es sensible al Vp del plasma pues- es producida por la corriente longitudinal. Ello permite

escribir (1.1) como (en Gaussianas):

La inestabilidad kink

2 2

dv = ér <

)A

- -v ^ (BV)á

p dt

donde se han utilizado las transformaciones que conducen a (1.9). Utilizando ahora la escala Tokamak: B^/Bq<<1 siendo Bq

la intensidad magnética toroidal y B. el módulo de la componén- 2 2

te perpendicular a BQ, y las suposiciones B^, <<BQ donde

Bfc = Bq+B^/ y despreciando las cantidades de orden Bx/Bq,(2.3) queda así:

2BnB'+B?

0 z 1 B

p 3E = -7ií

i 4-ít 1 l

+ 1L

4ir 3z B (2.4)

8tt j

de donde se deduce que el flujo v puede ser considerado como plano (en el plano z=cte del toro desarrollado como un cilindro) dado que todas las fuerzas del segundo miembro de (2.4) están en dicho plano.

Si tomamos ahora la ecuación de "congelamiento de las líneas" obtenida de (1.3) y (1.4):

3B = rot(vAB) (2.5)

31

esta ecuación será válida para cualquier punto fuera de una delgada capa en torno al segmento a-b de fig. 8b. En tal segmen­

to habría que utilizar (2.2).

v^ en (2.5) se obtiene:

0 If + rot(vABi)

Poniendo B = Bq6z + B ± y v =

3B = -B„e div v + B (2.6)

3t 0 z

De cuya componente z se obtiene:

. 3B' 1 __ z B 3t

1 Bí

Pero el segundo miembro es v — — por tanto, B0 B0

div v = -

se puede despreciar:

->

div v = 0 (2.7)

y el plasma es incompresible para nuestro problema.

-»*

Además, despreciando B' en div B - div B,+3B’/3z, obte-

> Z .. X Z

nemos:

(2.8) div B^ = 0

Considerando ahora que todo el proceso no-lineal tiene simetría helicoidal: 3/3z = -ad’/dd para cualquier componente vectorial, de donde (2.4) y (2.6) se convierten en:

a ,

0 z 1 B

dv ¹

4? <V)Bl (2-9)

- ir

°

->■ -y

+ rot(vAB j

p at = ’vi +

8tt 3.0

3Bx 31v

(2.10) a=l/Rq(rg)

-aB0 30 3t

(Las a unitario) .

indican derivación de las componentes, no del vector Ahora, Kadomtsev y Pogutse introducen el campo auxi­

liar:

->

(2.11) B* = B1

arBoeo

que como sabemos es equivalente a abordar el problema desde el sistema de referencia (recuérdese fig. 6) en que el eje heli­

coidal de la isla m=n=l es la recta { (2.10) se deduce:

x=0 Entonces, de (2.7) y y=0*

3B*

= rot(vAB*) (2.12)

3t

por lo cual, el campo B* está congelado en el fluido. Además, de (2.8) resulta:

div B* = 0 (2.13)

de donde se deduce que:

B* = ViPAVjj = e AVip

z (2.14)

11

cará:

; 3r

(2.15)

= 0

que se ha obtenido sustituyendo (2.14) en (2.12). La ecuación (2.15) indica que \¡> es transportado junto con el plasma.

Finalmente, teniendo en cuenta que 3’B^/3@ =

= - |o2^/3S2)er + O2^/3r30)e

+ VP = -L(

*V)B*

(2B0Bz + Bí + 4°2r2»S> + *•

3'B*/30 = , la ecuación (2.9) queda:

0

(2.16) donde P = 81tt

2.3. MODELO DE KADOMTSEV PARA LA EVOLUCION RESISTIVA.

Llegados a este punto hay dos maneras de proceder: Una * es tomar (2.16), (2.15), (2.12) ((2.2) en el "layer" a-b) , y

las definiciones (2.14) y (2.11) y avanzarlas en el tiempo me­

diante un código numérico bidimensional a partir de las condi­

ciones iniciales "lineales" de la figura 8-b. Esta seria la resolución "exacta" del problema.

La alternativa es utilizar el modelo simplificado pro­

puesto por Kadomtsev (Kadomtsev, 1975):

Es claro de la fig. 8-b que la reconexión de las líneas sólo se va a producir en el "layer" a-b en la primera fase

("quasi-lineal") del proceso. Simultáneamente, el movimiento convectivo del fluido que sale del layer en dirección poloi- dal (líneas punteadas en fig. 8-c) tiende a arrastrar a las lí­

neas de campo hacia la zona A de la fig. 8-c. Esto incrementa la fuerza hacia la derecha sobre la columna central B, que in­

crementa su velocidad de reconexión en a-b, y el proceso no

puede concluir hasta que la última línea interior a r (r s se ha reconectado con una exterior a rs .

Una estimación cualitativa del tiempo en que se produ­

ce todo el proceso da t ^30 a 100 ys, tiempo mucho menor que el

X\

característico de ' los procesos de transporte (t^l a 10 ms) . q=l)

Kadomtsev propone utilizar (2.15) y suponer que alre­

dedor del layer a-b se produce una reconexión siempre entre co­

ronas circulares (figs. 8-b-c-d) desde el principio hasta el final del proceso. Esto conduce a las sencillas ecuaciones

(Kadomtsev, 1975):

y a Ifi °2

B9 CONSERVACION DEL FLUJO

DIFERENCIAL:

1

d^ dr. ,

1 dr dr2 =

dr rl r2

= - ^dr dr (2.17)

_rQ r

©

9

dip

CONSERVACION DE LA

MASA DIFERENCIAL:

II

K-tf

rlldril + r2¡dr2I =

II

dr{ rs drdr^To r

(2.18)

FIGURA 10 - Modelo de Kadomtsev para la reconexion magnética.

a) Campo magnético poloidal antes (1) y después (2) de la reconexion.

b) Funciones flujo antes (1) y después (2) de la reconexion.

Estas ecuaciones relacionan el campo magnético antes y. después del proceso de reconexión de una manera muy simple.

. / 2 2, + ar(rs-r ) , 5 B

Por ejemplo, para un campo BQ =

tiene la forma mostrada en fig. 10-a, tendremos:

R T que

2 ,2 2 -(r -r /2) 2 2

= ar(r-r ) s

B* * ^0 = ar

(2.19)

-7*1* v<F^>

a 4.a

+ * 7 r +

4 2 s

2,^ 2, , r^t) y r2 (-) .

2 2 2

r r — x|j = 0 -> r ^rr

-a/2

y como:

d(r?)

1 df y d'F'

dr dr2

1 = 2r 1 = 2r

d¥ 2 d^

• obtenemos:

dr1 dip i r^d^ = dif>

rldip

,a 2*2 . (2rs) 2

r1|dr1i+r2|dr2|->

rdr = dif>

r2dr2 “ ~

(— r^) ^ [2 rs;

2 - aip

2 ,V

dip - £_ dip

-»■ rdr = ^=r

2

V<!^

\/<T rs,2‘ _{- atj/}

/rmajt

rf _{2 2}

ars* 2 ar -adi|>

-2 , 4 16

-aiji -> r =

2 , s. 2 ,

~2 ~2 "a^oo - ( 2 J

a a

J2 l/'l

Y_m¿x

4 4 3 B

ij> = —vS ar

Y00 4

oo T*

->BQ(r) = r— - ar /4

X\

ar ⁰⁰ ar _(2.20)

16 *B* = " 0

post (r) mostrado en la figura 10-a.

que es el tipo de B

2.4. RESOLUCION "EXACTA" DE LA EVOLUCION RESISTIVA.

Una manera más "exacta" de proceder es como dijimos, (2.14), (2.15) y avanzar numéricamente las ecuaciones (2.11),

(2.16) junto a (2.2) en los tiempos de crecimiento de la isla, y junto a (2.12) para tiempos posteriores.

Hay sin embargo aproximaciones mucho más exactas que ésta (véase B.V. Waddell, 1977 y Hicks, 1977): podemos utilizar

la ecuación con resistividad (2.2) para todo el proceso y no só lo para la primera fase.

Hacemos entonces las mismas aproximaciones que hacían Kadomtsev y Pogutse así como la aproximación de que la

n?e _{* (|)2-}

6 = B2

' Se llega entonces a que la ecuación de evolución del flujo helicoidal ip no viene dado por (2.15) sino por:

...2 /_

-^z/s

donde S= ^t_/t„ siendo x_ el tiempo característico de

R H R

=u0a

/n

i! - ü ♦ ■

"efecto

^ 1/2 skin": xR

y

(

0

) /Bz*

Además, como se verifica (2.7) puede escribirse:

v = VAAe„

z

donde A es un potencial asociado al campo de velocidades.

(2.22)

Por otra parte, la componente -z de la ley de Ampére (J = VAB) nos dice que:

y0

= —V2xp - 2 (2.23)

íz

Y finalmente, de la componente -z de la ecuación de balance de momento (ecuación (1.31) de Apéndice I):

d VA2 =

22.[wwjz]

dt

donde se ha supuesto que la densidad de masa es aproximadamen­

te constante.

Las ecuaciones (2.21) a (2.24) son las ecuaciones re­

ducidas que describen el fenómeno MHD-resistivo dentro de las aproximaciones hechas

Pueden escribirse como:

2 /1 3 n2 , ,3 n2 ,. ,1 (2.25)

’ -<? 7d 7 W3f + <3? V 80>

3V A

- v.Vip 3t

<

1 9-2 i o

-Ti—y ~*~T 'P ~ 2n r 30

- v _ ni 3 r M + v r 3r r 3r 3r

1 3j¿

0 r 30

11 =

3t

(2.25*)

que es un sistema no-lineal de ecuaciones acopladas, en dos di­

mensiones espaciales y tiempo.

El avance numérico se puede hacer mediante un método implícito de direcciones variables (véase por ejemplo, Tijonov, 1972, pág. 646).

Puede parecer sorprendente, pero una resolución exac­

ta del problema, a partir de ecuaciones como la (2.25) y (2.25'), proporciona una solución igual en lo esencial (Waddell et al,

1976 y White et al., 1976) a la propuesta por Kadomtsev. La fi­

gura 11 muestra la evolución temporal de la inestabilidad. La fase cuasi-lineal (11-a) es idéntica a la predicha por Kadomtsev.

Luego, la columna central se desplaza a la izquierda y reconecta por completo (11-b). En (11-c) sólo quedan remolinos en la velo-

cidad que se van amortiguando por viscosidad, llegándose a la situación estática (li-d) final, en que el perfil de den­

sidad de corriente (figura 12) es prácticamente plano, como predecía el modelo simplificado de Kadomtsev.

t*I93<I0’3 f*3.80x0

I*1.36xÍ0"Z t«4.88«IO'5

FIGURA 11 - Evolución no lineal del modo m=n=l según Waddell (1.976) y White (1.976). Los tiempos están normalizados al tiem­

po de Skin.

Una estricta interpretación del resultado final lleva a la conclusión' de que el plasma no llega a un estado donde los contornos del flujo ip sean circulares, como sugería Kadomtsev, sin embargo, ^ es bastante uniforme para toda la zona r<rs reconocen Waddell et al. (Waddell, 1976), de manera que cual­

quier distinción entre estos contornos y otros circulares, no es importante para el análisis del transporte de calor perpen­

dicular al campo magnético.

como

1.00 50

FIGURA 12 0

Densidad de corriente 2.00

como función de* la posición radial para los tiempos indicados

(normalizádos al tiejn po de Skin) según Waddell y White.

I50 1.00 .50 0 2.00 1.50 1.00 50 0 2.00 1.50 1.00 .50

-1.20 -0.80 -Q40 Q00 0.40 0.80

RADIUS/rw

Asi pues, utilizaremos el modelo simplificado de

Kadomtsev en nuestro análisis de la fase disruptiva del fenóme­

no sawtooth, en lugar del método exacto, incomparablemente más complicado.

2.5. DISRUPCIONES INTERNAS "BLANDAS" Y EVOLUCION NO-LINEAL.

¿Hay alguna evidencia experimental en favor del creci­

miento y evolución no-lineal de la isla m=n=l como causa de la fase disruptiva del fenómeno sawtooth?

En nuestra opinión sí la hay. Y esta evidencia es el tipo de "diente de sierra" observado en las trazas de los ra­

yos X blandos en el Tokamak ISX-B y otros.

El tipo de señal observada en tales casos es mostra­

da en la figura 13, para radios interiores.

Puede apreciarse un comportamiento muy distinto del que ilustramos en la introducción como definiendo el fenómeno Sawtooth. Sin embargo, podemos seguir hablando de "dientes de sierra" aún en este caso. En efecto, si tomamos el valor medio de la señal para cadá período e interpolamos, para obtener la parte no oscilante de la señal, habremos obtenido una clara es­

tructura de dientes de sierra.

La lenta subida de este "valor medio" (línea puntea­

da en fig. 13) se puede interpretar como la relajación difusi­

va hacia la situación imperturbada, tras un aplanamiento térmi­

co provocado por el crecimiento y reconexión total de la isla m=n=l.

¿De dónde proviene este aplanamiento térmico? Natural mente, del contacto ("cortocircuito térmico") de líneas interio res (calientes) con líneas exteriores (frías) en el "layer" ab

(figura 8-b). Dada la fuerte conductividad del calor paralela a las líneas de campo B, el contacto entre líneas a distinta temperatura provoca una casi instantánea equi-repartición de calor a lo largo de toda la línea, de manera que una isla magné tica presenta siempre en su interior una temperatura uniforme

(véase por ejemplo Von Goeler, 1975). De la misma manera, una reconexión total de la isla con el flujo magnético de su entor-

no provoca igualmente un aplanamiento térmico total en toda la zona afectada, de ahí la caida brusca (vertical) de la línea punteada en figura 13.

AMB T'

— ^.1 ms

FIGURA 13

Diente de sierra blando típico y perfil térmico

"giratorio" mostrando el aplanamiento introducido en la isla.

En cuanto a las oscilaciones alrededor de la media son en nuestra opinión oscilaciones "de Mimov'para la isla m=n=l.

La lentitud del crecimiento de la amplitud de la isla (proporcional a la amplitud de la oscilación) se debe en nues­

tra opinión a efectos toroidales estabilizantes sobre el modo m=n=l. (Véase, para mayor detalle, Glasser et al., 1977).

Así pues, la señal térmica 13-a es interpretada por nosotros como uri crecimiento continuo (acompañado de giro) de

la isla m=n=l hasta su total reconexión, acompañado por un ca­

lentamiento difusivo de la zona interior (r<r ) del plasma,

s previamente enfriada por la reconexión.

En lo sucesivo llamaremos "disrupciones blandas" a este tipo de disrupción Sawtooth.

2.6. DISRUPCIONES INTERNAS "DURAS". PROBLEMAS PLANTEADOS.

Los problemas se presentan sin embargo a la hora de explicar las señales térmicas (de rayos-X blandos) usuales, que tienen la estructura mostrada en la figura 14.

FIGURA 14 - Dientes de Sierra "usuales" o "duros", para r<r-j. , mos­

trando oscilaciones diamagnéticas de muy pequeña amplitud antes de la disrupción. La disrupción se produce con an­

churas de isla aparentemente pequeñas (de Jahns, 1.978).

En efecto,. todos.los intentos que se hicieron de uti­

lizar la evolución no lineal (en la simplificación de Kadomtsev generalmente) de la isla m=n=l, para explicar los dientes "nor­

males" de fig. 14 se encontraron con diversos problemas :

A. ¿Por qué se destruye la isla cuando su anchura es aún muy pequeña, A<<a?

B. Dentro de todos los parámetros libres que tienen las ecuacio nes de transporte (Apéndice I), ¿cuáles deben ser fijados y cuáles no para reproducir la fase difusiva del fenómeno? Y asociado a ésto: ¿cuál es el perfil q(r,t) más verosímil?

Este problema se resolvió suponiendo que la forma de q(r,t) debía ser una parábola descendiendo en el tiempo:

2 (2.26)

q(r,t) ^% + ar vt q0

hacia valores menores que 1, y que deberían fijarse los coe- para conseguir este tipo de ficientes de transporte, etc

evolución. Así, cuando la q(r) empezase a hacerse menor que

* f

1 en el centro del plasma, se empezaría a formar una isla isla que permenecería metaestable hasta que r

en r q=l

alcanzaraq=i' cierto valor finito introducido "ad-hoc". En ese instante, la isla dejaría de ser metaestable y disrumpiría.

Este tipo de recetas tiene la ventaja de permitir utilizar perfiles q(r) y (Bg(r)) resolubles analíticamente por el mo­

delo de Kadomtsev (véase (2.19)-(2.20) pero conduce a un nue vo problema:

% ^•r-T-

¿r

±r

T

¿ti

±tt

í i

itirt ^{T i}

2 _xn

•rr' lrá

rrtd T*

+{. _-Hr-rrt itr

rt¿

ft •T- ^-r^tr

1 ±t _.í=rr

:rá

IS^ ^it:

gíSfe

Xüjíp: Ixti

^-rltettr; "-—h‘-rrrri mrb

Híf^í5p 3S

Sí ^-fx

m

o

rs a

Evolución temporal del factor de seguridad q utilizado en OiOs modelos de Dientes de Sierra anteriores al de Parail.

FIGURA 15

¿cuál es el disparador de la dis Problema del "Trigger

rupción? ¿Por qué la isla debe permanecer metaestable en una situación inestable (q(r=0)<l)?

H.

C

¿Cómo conseguir tiempos de repetición del diente de sierra constantes?

D

La evidencia experimental (Dubois et al., 1983) muestra que la isla m=n=l permanece durante toda la fase difusiva del diente, en el mismo radio r

tro (r=0) y se mueve hacia la periferia (r=rex^) s figura 15 indica.

E

exp, y no aparece en el cen

como la rs

En nuestra opinión todos estos problemas pueden ser soslayados, y ese es el objeto de la presente Tesis.