Capítulo 1: Integral indefinida. Módulos 1 al 4

Elementos básicos de cálculo integral y series 43

Módulos 1 al 4

En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que F x( ) es la primitiva más general de f x( ). ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso?

1.

2

( ) = 3; 1 f x x

x

1 3

( ) = ln (1 ) . F x 3 x C

2. f x( ) ln ;x F x( ) xlnx x C.

3. f x( ) x³ln ;x 1 ⁴ 1 ⁴

( ) ln .

4 16

F x x x x C

4. f x( ) arctan ;x F x( ) ˜x arctanxln 1x² C.

5. ₂1

( ) ;

x 4 f x e 

1 1 2

( ) ln ( 4) .

4 8

F x x e x C

6. f x( ) x e^{2 x}; F x( ) e^x(x²2x 2) C.

7. f x( ) sen 2 ;² x 1 1

( ) sen 4 .

2 8

F x x x C

8. ( )f x (x3)e^3x; 1 ³

( ) (3 10) .

9

F x  x e^xC

En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada.

9. f x( ) 3x²4x5.

10. 1₂ 3₃

( ) .

f t t t

11. g x( )  1 x ³x²  x.

12. 2 2

( ) 2 .

( 1) h x x

x  13. f x( ) (x 1) .^{1 2}

Capítulo 1: Integral indefinida

14. Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a.

³

³

c. 2

1 4

2 dx.

x x x

§   ·

¨ ¸

© ¹

³

( 1) x .

x dx

³

e.

³

2

3 .

1 t dt

t 

³

g.

³

1 3 4

3 2

( 2)

r .

dr r

³

i.

³

³

k.

2

3 2

( 2)

.

6 12 4

x dx

x x x



  

³

³

m.

³

³

o.

³

³

q. ^{4 tan} 2 .

cos

x dx

e ˜ x

³

³

s.

2 2

sen 4

. 4

x x

dx x



³

³

u.

³

³

w.

cos (ln 4 2) x . x dx

³

³

15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

a. dy 3 ³ 2 5.

x x

dx   b. dy (2 3) .²

dx x

c. dy .

dx x y d. dy 3 ².

dx xy

En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condiciones iniciales.

16. dy ² 1, si 3 cuando 0.

x x y x

dx  

Ejercicios de los módulos 1 al 4

17. 4

, si 2 cuando 4.

dy dx

y x

y x 

18.

2

2

2 4(1 ) , si 2 y 1 cuando 1.

d y x y y x

dx  c  

19.

2

2

2 1 , si 1 y 1 cuando 1.

d y x y y x

dx  c 

20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando x 0, entonces 0 y dy 1

y dx y

2

2 0

d y

dx para todo x?

21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 3x²2.

22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial

2

2

2 3 .

d y x x dx 

23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice como gravedad g 10 m / s ).²

24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s.

¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por el zapato antes de caer?

25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos?

En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde a v s, , y tson la aceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente.

26. a 2 3 , t s 1 y v 1 cuando t 0.

27. a 100,s 1 y v 1 cuando t 0.

28. a 2s1 y v 2 cuando s 1.

29. a 3t²t v, 1 y s 2 cuando t 1.

Capítulo 1: Integral indefinida

Elementos básicos de cálculo integral y series109

Módulos 5 al 11

I. Integración por sustitución

1. En los ejercicios a-i escriba la integral a la que se transforma la integral dada después del cambio de variable sugerido (f es una función continua dada).

a.

³

b.

³

c.

³

³

e.

³

f.

³

g.

³

h.

³

³

2. En los ejercicios a-d calcule la integral dada realizando la sustitución indicada.

a.

³

b.

³

c. 1

, 1 2 dx x 

³

d. 4

2 ,

( 3) x dx x

³

II. Integración de potencias de funciones trigonométricas

1. En los ejercicios a-j calcule la integral indicada.

a.

³

³

c.

³

³

Capítulo 2: Métodos de integración

e.

³

³

g. cos⁴ sen² .

2 2

w w

§ · § · dw

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹

³

³

i.

³

³

III. Sustituciones trigonométricas

1. En los ejercicios a-p use la sustitución trigonométrica apropiada para calcular las integrales indicadas.

a. ₂ .

1 x dx

x

³

³

³

d.

2

2 2 .

(4 )

x dx

x

³

1

x dx

x

³

1 x dx

x

³

g.

2 2

4 x .

x dx

³

³

³

j. ₂

1 .

7 dx

x

³

x

³

³

m. ₂.

4 dx xx

³

16 6 dx

x x

 

³

du u  u

³

p. _{2 2}

2 cos sen cos sen d

 

³

2. Encuentre el valor de la integral

3

9 2

x dx

x

³

u x , u² 9 x², 2 u du 2 x dx.

3. Encuentre 4 x2

x dx

³

a. La sustitución u 4x². b. Una sustitución trigonométrica.

Compare después las respuestas.

Ejercicios de los módulos 5 al 11

IV. Integración por partes

1. Use integración por partes para calcular las integrales indicadas en los ejercicios a-t.

a.

³

³

c.

³

³

e.

³

³

g.

³

³

i.

³

³

k.

³

³

m.

³

³

o.

³

³

q.

³

³

s.

³

³

2. Deduzca la fórmula de reducción:

1

cos sen 1 2

cos cos .

n

n x x n n

x dx x dx

n n

 ˜  

³

³

3. Una función g x( ) satisface las siguientes condiciones:

i. g x( ) está definida en todo x.

ii. g xcc( )es continua.

iii. g(0) (2)g . iv. gc(2) 3.

Demuestre que ²

0x g x dx˜ cc( ) 6.

³

4. Deduzca las fórmulas de reducción de las preguntas básicas.

Capítulo 2: Métodos de integración

112

V. Integración de funciones racionales

1. En los ejercicios a-o use descomposición en fracciones simples antes de efectuar la integral indicada.

a. ₂4 10

6 8 .

x dx

x x



 

³

³

c. ₃ 1₂

3 2 dx. x  x  x

³

³

e.

2

2 2

5 6 5

( 1) .

x x

x dx

 

³

³

g. ₄ 1₂

+ 3 + 2dx.

x x

³

³

i.

5 4

3

8 . 4

x x

x x dx

 

³

^³

k.

2

2 2 2

(8 4)

( 1) ( 1) .

x dx

x x



 

³

3 .

1 x dx x 

³

m. ₂ sen

cos cos 2 d .

 

³

³

o. 1

1 e .

x x

e dx



³

En las integrales a-l efectúe una sustitución apropiada para convertir el integrando en una función racional y de esta manera poder calcular más fácilmente la integral:

a.

6

6 7 4 5

1

x dx

x x



³

1 1

x dx x x

 ˜

³

³

d.

3

6 3

2 1

x dx

x x x



  

³

x x

dx x

³

³

g. 2 3

3 x dx x



³

dx

 x

³

³

j. .

1 sen dx

 x

³

³

³

Ejercicios de los módulos 5 al 11

Elementos básicos de cálculo integral y series113

VII. Integración de los binomios diferenciales

En los ejercicios a-j calcule la integral de los binomios diferenciales dados:

a.

3

3 2

1 x .

dx x

³

_³

c. 2 2 3 2.

(1 ) dx x x

³

³

e.

3 3

2 x .

dx x

³

3

2 .

1

x dx

x

³

g ₃ .

1

x dx

 x

³

³

i. _{4 3}

1 dx. x x

³

4

x dx

x

³

Capítulo 2: Métodos de integración

1 de 13 Taller 1 cálculo integral: Integral Indefinida. Profesor Jaime Andrés Jaramillo.

[email protected]. UdeA. 2018-2

Manipulación del integrando para obtener integrales que coincidan con las fórmulas básicas 1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las

fórmulas básicas

a)

∫

x x x x

3 4 5

2

3 6 3 4

b)

∫









 + dx

x

x 4 5

3 2 4 c)

∫

∫

senx x sen2

e)

∫ (

)(

)

∫

x sen

x 1 2

cos _g)

∫ (

)

∫

i)

∫ (

)(

)

∫

∫

x x

1

3 1

l)

∫

x 5x

4 3

m)

∫

x x x⁵ 3^{3 4}

n)

∫

−

−

+ dx

x x

x x

36 5

36 3

2 3

2 2

o)

∫

x x x

3 5 4

4 ² _p)

∫ (

)

q)

∫

(

)

∫







 + +

senx dx

x sen x

x cos ²

tan

s)

∫

x 5

4

2 t)

∫

x x e x ^x

3 2 3

6

4 u)

∫

x

x x x x

3 2 4 5

4

5 4 2 6

8 v)

∫

x x x

3

2 2 5

2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas

a.

dx x

∫









 −

4 5

3 4

3

6 b.

∫

x x

x x

2 3

3

3

9 c.

∫

x

x x

x

2 / 3

2 / 3 2

9 5 3

2

2 de 13 d.

x dx

∫

1 cot

csc

2 3

e. dx

x x

∫









 +

3 3

2 7

4 _f.

(

)

∫

2

sec tan

g. dx

x x

∫

49 642 134

3

2 2 4

h. dx

x

x x

x

∫

25

5 475 50

19 2

2 2 3 4

3. Encuentre f

a) ^{f'(x)= x, f}

( )

( )

3 ) 1 ( '

, 5 1 , 7 4 5 ) (

'' ²

−

=

= +

−

= f

f x x x f

c) ^{'( ) 3 2}2 ^,

( )

3+ =

= f

x x x f

d)

2 ) 4 (

; cos 5 6 ) (

' x = e − x f =

f ^x

e) ^{f'(x)=sec2x+ x, f}

( )

( )

( )

= +

= π f

f t e

t

f ^t

( )

f '' =5 ^x−4cos + ; f^'

( )

( )

f =9

Aplicaciones de la integral indefinida

4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, =1,5t+5

dt

dh , donde t es el tiempo en años y h es la altura en

centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t=0)

a) Determinar la altura después de t años.

b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?

5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10) esto es, k t

dt

dP = . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días.

3 de 13 6. Al salir un pan del horno, su temperatura es de 140 °C, si la temperatura del ambiente es

24°C, la temperatura T del pastel satisface la ecuación:

) 24 ( −

=k T dt dT

Donde t representa el tiempo en minutos. Encuentre una expresión para la temperatura T del pan como función de t, si se sabe que la temperatura del pan a los 5 minutos de haberse sacado del horno es de 60°C.

Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) 7. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h.

Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente.

8. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora (exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante de 40 pies/segundo². ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre

9. La velocidad, en m /s, de un objeto que se ha dejado caer desde la parte más alta de un edificio puede expresarse por: v=−9,8t. Donde ^tson los segundos transcurridos a partir del momento en que se deja caer. Determinar:

a) La función que representa la posición steniendo en cuenta que ^s

( )

altura del edificio.

b) Velocidad y posición del objeto a los 1,5s de haberse dejado caer.

c) Tiempo que tarda en llegar al suelo.

d) Velocidad que tenía al llegar al suelo.

10. Cuando se arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con una cauchera, la piedra alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra?

(Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo)

11. Se arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto.

La velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de 153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?

4 de 13 Sustitución o cambio de variable

12. Calcule la integral usando sustitución

a)

∫

y

)5

ln 1 1(

b)

∫

t e ^t

2 /

1 c)

∫

∫

e)

∫

∫

g)

∫

−

−

dx x

x sen

2 1

1 ^h)

∫



 



 x dx sen x

2

π

i)

∫

e e

t t

4 ^j)

∫ (

)

x x

5 4

3

k)

∫

x x

dx ) 1

( ^l)

∫

x x

1 3

3

2 2

m) 6 ₂

4

dx x−x

∫

42 9 dx

x x

−

− −

∫

x x

x x

∫

17 8

8 68 32 4

2

4 5 6

p)

∫

e ^2x 1

1 q)

_∫ ( )

x e sen

e ^{x x}

Integración por partes

13. Calcule la integral usando integración por partes

a)

∫

∫

∫

d)

∫

∫

∫

g)

∫

h)

^∫ (

)

x 2 2

3

1

2

i)

∫

j)

∫

∫ ⁽

⁾

l)

∫

+ dx x

x

2 25

3

m)

∫ (

)

^∫

∫

x x

2

2 ln

p)

∫ (

)

∫

^{( )}

∫

5 de 13 14. Calcule la integral usando integración de potencias de funciones trigonométricas

a)

∫

∫

cos

3 c)

∫

∫

x x

2 3

csc cot

e)

∫

sec

tan³ _f)

∫

∫

∫

cos 3 3

4 4

15. Calcule la integral usando sustitución trigonométrica

a)

∫

x x 25 16 ²

b)

∫

− ²

2 16 t

t dt

c)

∫

− dx x x

2 3

1 ^d)

∫

) 1 ( t

tdt

e)

∫

x x² 81

9 _f)

∫

− dx x

x

2 36

2

g)

∫

x

x² 4 _h)

∫

+ dx x

x 4 1

1

2

i) j) k) l)

m)

^∫ (

)

^∫ ₍

₎

5

4

9 x

dx

x o)

( )

∫

3

4

9 x

dx

x _p)

∫

+ +4 40

2 x

x dx

q)

^∫ (

)

−

dx x

e ^x

2 / 2 3 tan

1

1

16. Calcule la integral usando fracciones parciales

a.

∫

) 1 (tan tan

sec² x x

xdx b.

∫

x x

x 1 2

4 5

2 c.

∫

x x

x x

4 5

7 4

2 4

3

d.

∫

x x x

x 1 4

2 3

2

e.

∫

e^x 1

1 _f.

∫

g.

^∫ (

)

(

)

2

1 1

4

8 h.

∫