Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

Las variables aleatorias se pueden clasificar en discretas y continuas.

Una variable aleatoria es discreta si su recorrido es un conjunto finito o infinito numerable, como los números naturales o los enteros.

Una variable aleatoria es continua si su recorrido es un conjunto infinito no numerable, como los números reales.

Ejercicios.

1) Repasar los conceptos de función, dominio, codominio, recorrido, función inyectiva, sobreyectiva.

2) Releer la definición de variable aleatoria. Indicar, para la función que habla la definición, el dominio y codominio. Poner un ejemplo, e investigar, para ese ejemplo, si la función es inyectiva y/o sobreyectiva.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Una función de probabilidad, función de cuantía o también llamada distribución de probabilidades es una función de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible x se cumple que:

1)

f x ( ) 0 ≥

2) ( ) 1 x

f x =

∑

3) P X( =x)= f x( )

Ejemplo: Tiramos 3 monedas. Los resultados posibles son: (C=cara, N=número) La variable aleatoria es el número de caras que salen = X.

Resultados posibles CCC CCN CNC CNN NCC NCN NNC NNN

Número de caras = X 3 2 2 1 2 1 1 0

P(X=x) = f(x)

P(X=0) = f(0) 1/8 P(X=1) = f(1) 3/8 P(X=2) = f(2) 3/8 P(X=3) = f(3) 1/8 Suma de todos 8/8 = 1

(Se agradece a Patricia Barragán la corrección de un error en este repartido, en la clase de

C.F.E. ‐ I.N.E Con el hist Las áreas

La función cuantía f(x

Para el eje

(3)

F = P

(2)

F = P

(1) ( F = P

(0)

F = P

Veamos a

(1, 37)

F =

salgan me

E.T. ‐ Prof. Sa tograma po

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n de distrib x) se define

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( 0) P X ≤ =

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t

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∑ =

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1

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f

≤

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um

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(0) (

f f

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(0) (1 f + f

(0) 1 f 8

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( ) (0 f t = f

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x) de una v

( )

P X ≤ x =

(1) + f (2) +

(1) + f (2) =

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0) + f (1) =

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ariable alea

( ) t x

f t

≤

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(3) 1 f 8

+ =

1 3 3 8 8 8

= + +

4

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1 3 4 8 8 + = 8

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)

3 3 1 8 8 8 + + +

3 7 8 = 8

Porque l caras ó 1 ca

aleatoria.

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1 1 8 =

a probabilid ara.

2 unción de

dad que de

(0, 9999 F

La función

Observaci Vamos a c Análogam

(2) F − F

(2) F − F

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n de distribu

ón:

calcular

F (

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función dis

)

2) + f (3) −

scontinua.

( ^{f (0) f}

− + (1) f + f (2) ⁾ ) ^{= f (3)}

C.F.E. ‐ I.N.E

DIST

Veamos p Hacemos

Entonces,

Análogam Si ahora ti si tiene qu sucesos su Vamos a c

( ) P hh =

( ) 3 P hj =

( ) 2 P jj = 3

Sin embar Acá hay al Jaimito pie Si querem salir prime multiplicar En realida

( ) P hh =

( ) 3 P hj =

( ) 2 P jj = 3

E.T. ‐ Prof. Sa

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1 1 1 3 3 . = 9

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4 9

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j, jh, jj

E

IAL

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.

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1

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1

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s, puede tó

or.

La suma de las 3 es ahora :

1 4 4 9 9 9 9 ^{+ + = =} 9 1

Bien, podemos seguir adelante.

Vamos a tirar el dado 3 veces. ¿Lo hacemos bien de primera o lo hace Jaimito?

Vamos a intentar hacerlo bien de primera.

El espacio muestral, esto es, todos los posibles resultados, es el siguiente:

1 1 1 1 ( ) . .

3 3 3 27

P hhh = =

1 1 2 6

( ) . . .

3 3 3 3 27

P hhj = =

Los sucesos son

hhj, hjh, jhh 1 2 2 12

( ) . . .

3 3 3 3 27

P hjj = =

Los sucesos son

hjj, jhj, jjh 2 2 2 8

( ) . .

3 3 3 27

P jj = =

La suma de todas las probabilidades:

1 6 12 8 27

27 27 27 27 + + + = 27 = 1

Muy bien !!!!

Ahora vamos a tirar el dado 4 veces. Pero como ya aprendimos (ojalá) no vamos a hacer todos los casos. Sólo vamos a concentrarnos en calcular la probabilidad de que salgan 2 haches y 2 jotas.

1 1 2 2 ( ) . . . .

3 3 3 3 81

? ?

P hhjj = =

¿De cuántas formas pueden salir 2 haches y 2 jotas? Trataremos de hacer todos los casos posibles, “sin entreverarnos”:

hhjj, hjhj, hjjh, jjhh, jhjh, jhhj En total son 6 casos. Fué más o menos difícil, pero al final salió.

1 1 2 2 ( ) . . . .

3 3 3 3 81

6 24

P hhjj = =

El problema es si tenemos que calcular la probabilidad, al tirar el dado 20 veces, de que salgan 7 haches y 13 jotas. Ahí sí que va a estar entreverado !!! Hay que buscar otra forma.

Un pasito para atrás. Volvemos al caso en que tiramos el dado 4 veces y queremos saber de cuántas formas podemos distribuir o ubicar 2 haches y 2 jotas.

Si tenemos 4 espacios para ubicar las letras, y logramos ubicar las 2 haches, luego sólo quedará lugar para las jotas. Esto es, al ubicar las haches, las jotas quedarán automáticamente ubicadas.

6 C.F.E. ‐ I.N.E.T. ‐ Prof. Saúl Tenenbaum

¿De cuantas formas diferentes se pueden ubicar 2 haches si tenemos lugar para 4 letras ? Va una ayudita. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar 2 letras en 4 espacios ? Si tenemos 4 espacios, y sólo 2 haches, la cantidad de formas diferentes en que se pueden combinar las letras y los espacios es calculando las combinaciones de 4 tomadas de a 2.

2 4 4x3 2x1 6

C ^{= =}

Veamos si este método, esta fórmula sirve para los casos que ya vimos.

Cuando tiramos el dado 2 veces, para 1 hache,

2

1 2x1

1 2

C ^{= =}

Cuando tiramos el dado 3 veces, para 1 hache,

3

1 3

1 3 C ^{= =}

Cuando tiramos el dado 3 veces, para 2 haches,

3

2 3x2 2x1 3 C ^{= =}

Entonces, si tiramos el dado 20 veces, y queremos calcular la probabilidad de que salga 7 veces la hache:

20

7 20x19x18x17x16x15x14

7x6x5x4x3x2x1 77520

C ^{= =}

Verifíquelo en su calculadora. Investigue si tiene la tecla

nCr

para calcular combinaciones.

7 13

1 2

(7 ,13 ) . . 0,182

3 3 20

P h j ^{=    } _{   } C 7 ⁼

   

Otro ejemplo: Tiramos un dado 10 veces. Queremos calcular la probabilidad de salga un número en particular, por ejemplo el 4, exactamente 7 veces.

La probabilidad de que salga el “4” es 1/6 y la probabilidad de que no salga el “4” es 5/6.

7 3

1 1 5

(7 exitos,10 experimentos, probabilidad de exito ) . .

6 6 6 10

P _{=    } ^{   } C 7

   

En forma general, tendremos una distribución binomial si tenemos un experimento que sólo puede tener 2 resultados, llamados éxito y fracaso, siendo p la probabilidad de éxito.

Si repetimos el experimento

n

veces y queremos calcular la probabilidad de que ocurran

x

éxitos, usaremos la fórmula:

( ) ( )

( exitos, experimentos, probabilidad de exito p) P x n p ^x . 1 p ^{n x} . n

C x

= − −

Veamos otro ejemplo.

Calcular la probabilidad, al tirar un dado 8 veces, de que salga el “3” exactamente 2 veces.

( ) ( )

( exitos, experimentos, probabilidad de exito p) P x n p ^x . 1 p ^{n x} . n

C x

= − −

2 8 2

1 1 1

(2 exitos, 8 experimentos, probabilidad de exito ) . 1 .

6 6 6 8

P ^{=   } _{  } ^{− } _ ⁻ C 2

   

En la mayoría de los libros esto se simboliza con la letra B de binomial

( ) ( )

B( ; ; ) x n p p ^x . 1 p ^{n x} . n

C x

= − −

B( , ) n p

En otros textos, se usan sólo 2 cifras, porque se está refiriendo a la cantidad de pruebas y a la probabilidad de éxito. En otra parte del texto hay que buscar la cantidad de éxitos

x

. Esta nomenclatura se utiliza en el práctico.

Ejemplo 1: Sea X con distribución binomial B(7; 0,4). Calcula P[X = 2] (un ejercicio del práctico).

( ) ( ² ) ^{7 2} ( ) ( ) ^{2 5}

B(2; 7; 0, 4) 0, 4 . 1 0, 4 . 7 0, 4 . 0, 6 . 7

2 = 2 =0,261

C C

= − −

Ejemplo 2: Sea X con distribución binomial B(7; 0,4). Calcula P[X ≤ 2] (ejercicio del práctico).

Resolución: P [X ≤ 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 0] (aplicar la fórmula 3 veces !!!)

Y ahora, ya se puede hacer

todo

el práctico de Distribuciones Discretas.