Filtrado de ruido en imágenes a color

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA Filtrado de ruido en imágenes a color. Autor: Carlos Lester Dueñas Santos. Tutores: Dr. Héctor Cruz Enríquez. Dr. Juan V. Lorenzo Ginori.. Santa Clara 2008 "Año 50 de la Revolución".

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA Filtrado de ruido en imágenes a color. Autor: Carlos Lester Dueñas Santos carlos_lester@uclv.edu.cu. Tutores: Dr. Héctor Cruz Enríquez. hcruz@uclv.edu.cu. Dr. Juan V. Lorenzo Ginori. juanl@uclv.edu.cu. Santa Clara 2008 "Año 50 de la Revolución".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicado, sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. El futuro tiene muchos nombres… Para el débil, es lo desconocido… Para el miedoso, lo inalcanzable… Para el valiente, la oportunidad. Víctor Hugo.

(5) ii. DEDICATORIA. A mis padres y mi hermano, guías en mi vida..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. A mi familia, por su interés en que todo saliera bien. A mi novia, por su compañía y apoyo incondicional en todo momento. A mis tutores, sin ellos no sería posible la realización de este trabajo. A mis compañeros de año, en especial a mis compañeros de cuarto. A todas las personas que me han ayudado a lo largo de la carrera y en la realización de este trabajo. Gracias a todos por recordarme que nadie triunfa solo..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. 1. Búsqueda bibliográfica sobre las características, aplicaciones y métodos de reducción de ruido en las imágenes a color. 2. Realizar un estudio sobre filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet para imágenes de Resonancia Magnética. 3. Combinar filtros vectoriales de ordenamiento estadístico con técnicas de filtrado en el dominio Wavelet. 4. Análisis y desarrollo de técnicas de filtrado vectorial y filtros fuzzy de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet para imágenes a color. 5. Comprobación de las mejoras en la calidad de la imagen a color que introducen los algoritmos propuestos en términos del incremento de la relación señal a ruido y la disminución del error cuadrático medio normalizado.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. El proceso de filtrado de ruido en imágenes a color, en múltiples ocasiones se convierte en una tarea exigente, pues las imágenes deben preservar los niveles de intensidad, contraste y los detalles que las conforman. Los avances en el filtrado de imágenes a color aún son insuficientes para lograr la calidad que exigen las aplicaciones donde se emplean. Dada la creciente importancia del tema y el amplio rango de aplicaciones que posee, se ha decidido centrar esta investigación en la reducción de ruido en las imágenes a color. En el trabajo se introducen varios algoritmos de filtrado para la reducción de ruido en imágenes a color que combinan técnicas de filtrado en el dominio Wavelet con filtros vectoriales no lineales de ordenamiento estadístico y con filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet. Los algoritmos desarrollados proporcionan un incremento de la relación señal a ruido, reducen el error cuadrático medio normalizado y mejoran la percepción visual de la imagen a color..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA................................................................................................................iv RESUMEN .............................................................................................................................v INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1 Organización del informe ...................................................................................................3 CAPÍTULO 1.. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR...........................4. 1.1. Las imágenes a color...............................................................................................4. 1.2. El problema del ruido y su supresión......................................................................6. 1.2.1 1.3. El ruido asociado a la transmisión y los sensores...........................................7. Algoritmos para la reducción de ruido en las imágenes a color .............................8. 1.3.1. Filtrado no lineal en imágenes a color. ...........................................................8. 1.3.1.1. Filtros basados en ordenamiento estadístico.............................................10. 1.3.1.2. Filtros basados en ordenamiento vectorial................................................13. 1.3.1.3. Filtros basados en la dirección vectorial...................................................14. 1.3.2 1.3.2.1. Filtrado adaptativo en las imágenes a color..................................................15 Sistemas fuzzy adaptativos .......................................................................16.

(10) vii 1.3.3. 1.4. 1.3.3.1. La Transformada Wavelet ........................................................................18. 1.3.3.2. Técnicas de umbral aplicadas en el dominio Wavelet ..............................21. Métodos de evaluación de la calidad de la imagen...............................................22. CAPÍTULO 2. 2.1. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 23. Filtrado en el dominio Wavelet ............................................................................23. 2.1.1 2.2. Filtrado en el dominio Wavelet ....................................................................18. Estimado de ruido .........................................................................................24. Algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico combinados con. filtros Wavelet...................................................................................................................25 2.3. Algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio. Wavelet .............................................................................................................................27 2.4. Descripción del experimento y determinación de la calidad del filtrado .............34. 2.5. Modelos y variantes de ruido utilizados ...............................................................34. 2.6. Medición de los parámetros de calidad.................................................................35. 2.6.1 CAPÍTULO 3. 3.1. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ..............................................................37. Comparación de métodos......................................................................................37. 3.1.1 3.2. Error cuadrático medio normalizado y relación señal a ruido ......................35. Desempeño ante condiciones críticas de ruido .............................................40. Calidad visual percibida en las imágenes a color filtradas ...................................40. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................45 Conclusiones.....................................................................................................................45 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................47 GLOSARIO ..........................................................................................................................51 ANEXOS….………………………………………………………………………………..53.

(11) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. Las tecnologías para la obtención de imágenes digitales han alcanzado un gran desarrollo en la actualidad y el procesamiento digital de imágenes constituye un importante campo de investigación científica, con un amplio rango de aplicaciones. La medicina, las telecomunicaciones, la electrónica, la computación y la geografía, son entre otras, áreas donde el procesamiento digital de imágenes experimenta un notable y acelerado avance. Las técnicas de procesamiento digital de imágenes pueden clasificarse de acuerdo al fin que persiguen; en este sentido se pueden mencionar las técnicas que modifican la información pictórica para influir sobre la percepción humana y la interpretación, como son: el mejorado del contraste, restauración, detección de bordes, transformación geométrica, el filtrado y como caso particular del filtrado la reducción de ruido. También existen otras técnicas dirigidas a la extracción de la información contenida en las imágenes para ayudar a la toma de decisiones, entre estas se encuentran la segmentación, umbralización y el reconocimiento. Otros grupos de técnicas de gran auge y utilización son las de comprensión y codificación. Con el avance de la tecnología digital y toda la revolución tecnológica experimentada en los últimos años, estás técnicas se perfeccionan y llegan a resultados que hace años atrás parecían imposibles. En el caso del filtrado de imágenes para la reducción de ruido, tarea que ocupa la atención de este trabajo, es una de las técnicas básicas que debe estar presente en todo sistema de procesamiento digital, pues de esta actividad podría depender en gran medida el comportamiento posterior del sistema. El ruido está presente en todo sistema de comunicación y todos los circuitos electrónicos son propensos a introducir ruido, por lo que la reducción de ruido es desde el mismo inicio de las telecomunicaciones y la electrónica un punto de atención de los ingenieros. En la actualidad los sistemas de procesamiento.

(12) INTRODUCCIÓN. 2. digital no están exentos de ruido pues el mismo puede aparecer durante la transmisión de la información o bien cuando esta está siendo captada. Son varios los filtros que con este propósito se reportan en la literatura. Existen una serie de inconvenientes que complican significativamente el proceso de filtrado y se relacionan con el desconocimiento de las no linealidades del dispositivo que produce la imagen, la presencia de imágenes con una pobre resolución y una baja relación señal a ruido. Los algoritmos para la reducción de ruido en imágenes a color utilizan técnicas de filtrado lineales o no lineales, cada una con sus ventajas e inconvenientes. Actualmente se observa una tendencia hacia las técnicas no lineales debido a la limitación de las técnicas de procesamiento lineal, las cuales fallan ante la no linealidad del modelo de formación de las imágenes y la naturaleza no lineal del sistema visual humano. En la actualidad han cobrado cierto auge los filtros vectoriales que utilizan algún tipo de ordenamiento estadístico, estos filtros que son de naturaleza no lineal presentan el problema de comportarse de manera diferente ante distintos tipos de ruido. Estos filtros también han sido combinados con técnicas fuzzy con el objetivo de mejorar su comportamiento ante situaciones variadas. Además se conocen otros tipos de filtros que logran buenos resultados pero en ambientes de contaminación específicos como son las técnicas de umbral en el dominio Wavelet. Sin embargo su desempeño disminuye en otras situaciones, en las que los filtros vectoriales se comportan mejor. Diseñar algoritmos de filtrado que se adapten bien a las diversas situaciones presentes en el proceso de contaminación de la imagen constituye uno de los principales retos que enfrenta el filtrado de imágenes. Todo lo anterior hace que el problema del filtrado en imágenes a color sea un tema abierto a la investigación científica. En el presente trabajo se presenta un conjunto de algoritmos para la reducción del ruido en las imágenes a color con el empleo de filtros vectoriales de orden estadístico combinados con filtros en el dominio Wavelet. Algoritmos que emplean filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet, haciendo énfasis fundamentalmente en el diseño de filtros fuzzy y la selección de la función de membresía apropiada, han sido diseñados y utilizados en este trabajo..

(13) INTRODUCCIÓN. 3. El objetivo general de este trabajo es: •. Desarrollar un conjunto de algoritmos para la reducción de ruido en imágenes a color, que incrementen la relación señal a ruido y mejoren la apariencia visual de las imágenes afectadas por el ruido.. Para lograr el objetivo general se plantean los siguientes objetivos específicos: •. Analizar los algoritmos existentes para la reducción de ruido en imágenes a color, detectando deficiencias y posibles soluciones.. •. Combinar filtros vectoriales de ordenamiento estadístico con filtros en el dominio Wavelet.. •. Desarrollar algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet.. Organización del informe El informe consta de tres capítulos que conforman el cuerpo de la tesis y porta 5 tablas, 26 figuras y 40 ecuaciones contenidas en el texto. Se han incorporado dos anexos. En el capítulo uno se presentan los principales conceptos que se tratan en este trabajo. Se aborda el tema de la reducción del ruido en imágenes a color y el efecto provocado por el ruido sobre las imágenes. Se analizan los principales algoritmos y las técnicas empleadas en la literatura. Asimismo, se plantea la panorámica general existente en torno al problema que se aborda y que motiva este trabajo. En el capítulo dos se describen los algoritmos propuestos para la reducción de ruido en imágenes a color. También se describen los parámetros de calidad utilizados para la validación de los métodos, así como los experimentos realizados. En el capítulo 3 se muestran los resultados obtenidos en los experimentos y se efectúa su análisis planteando las implicaciones de los mismos en cada caso. Por último se presentan las conclusiones finales de la tesis y las recomendaciones para el trabajo futuro..

(14) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 4. CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. En este capítulo se presentan los principales conceptos relacionados con el tema de la reducción de ruido en imágenes a color, brindando una panorámica de las principales consideraciones teóricas abordadas en la literatura. Se plantean los principales problemas para la reducción de ruido en imágenes a color y se indica en qué dirección de la solución se orienta este trabajo. 1.1. Las imágenes a color. Las imágenes a color pueden ser obtenidas mediante muchos métodos y formas variando de un equipo a otro. Hay varios modelos para representar el color en las imágenes, lo que es denominado espacio de color [1]. Los modelos más usados son el modelo RGB (del inglés red-gren-blue), el NTSC (del inglés National Television System Committee), YCbCr y el HSV (del inglés hue, saturation, value). El modelo de representación que se utiliza en este trabajo es el RGB. En este modelo cada píxel que conforma la imagen es representado por un arreglo de tres valores, cada uno de los valores representa el aporte de rojo, verde y azul del píxel en cuestión. Cada valor es representado por una cantidad de bits determinados, comúnmente ocho, aunque imágenes de muy alta definición pueden requerir más. Puede verse este modelo como una combinación de tres imágenes en escala de grises o monocromáticas. En la figura1.1 se puede apreciar esta idea. Si los píxeles en los planos están representados por ocho bits, pueden tomar hasta 256 valores distintos para mostrar el color en un plano, y los píxeles de la imagen RGB serían de 24 bits, lo que permite representar hasta 16 777 216 (224) colores distintos en cada píxel..

(15) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 5. Figura 1.1 Imagen de Lenna representada por planos de colores separados en el modelo RGB.. Una forma muy utilizada de representar los colores en este modelo es mediante un arreglo tridimensional en el espacio, lo que se conoce como cubo de colores RGB. La siguiente figura ilustra esta idea:. Figura 1.2 Cubo de colores RGB.. Esta representación permite considerar a cada píxel de la imagen RGB como un vector tridimensional, conformado por sus componentes en cada plano. Esta idea resulta básica y.

(16) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 6. fundamental para una adecuada comprensión de los filtros vectoriales que se exponen en este trabajo. 1.2. El problema del ruido y su supresión. La obtención de imágenes implica la medida y procesamiento de señales obtenidas de un objeto o una escena. Cualquier medida realizada en la práctica puede contener componentes no deseadas, las cuales no se correlacionan con la señal original. Estas componentes son conocidas como ruido o señales aleatorias. El ruido puede ser un resultado del mal funcionamiento de los sensores, imperfecciones ópticas, interferencia electrónica, actividad térmica en los conductores y componentes electrónicas del circuito receptor, o defectos en el procedimiento de transmisión de los datos [2]. La degradación de la calidad de la imagen también puede ser un resultado de técnicas de procesamiento. El ruido afecta la calidad perceptual de la imagen, al disminuir no solo la apreciación de la misma, sino también el desempeño de tareas para las cuales la imagen fue concebida [2]. Por lo tanto, el filtrado es una parte esencial de cualquier sistema de procesamiento de imágenes, sobre todo, si el producto final es utilizado para la inspección humana o para un análisis automático. El ruido presente en aplicaciones de procesamiento digital de imágenes podría no siempre ser descrito únicamente en términos del modelo Gaussiano comúnmente asumido. Este último podría estar acompañado por secuencias impulsivas, caracterizadas por picos cortos de altas energías, grandes amplitudes y apreciable probabilidad de ocurrencia [3][4]. Si tenemos en cuenta estos argumentos resultará deseable que los filtros aplicados a las imágenes a color presenten un comportamiento robusto ante la presencia de ruido Gaussiano y ruido impulsivo. En el procesamiento de imágenes a color para la supresión de ruido, se debe tener cuidado con la información cromática. Los diferentes filtros aplicados a imágenes a color deben preservar la cromaticidad, los bordes y los detalles finos. La preservación y posible mejora de estas características constituye un parámetro importante dentro del proceso [2]..

(17) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 7. 1.2.1 El ruido asociado a la transmisión y los sensores En el proceso de filtrado de imágenes a color, dos fuentes de ruido pueden ser consideradas; el ruido producido durante la formación de las imágenes y el ruido producido durante la transmisión [5]. El ruido asociado a los sensores, para propósitos de análisis, se ha asumido blanco Gaussiano (ocasionado fundamentalmente por el ruido térmico), y tiene la siguiente función de distribución de probabilidad: p ( xn ) = N (0,σ ) =. ⎛ − x2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , exp 1 ⎝ 2σ ⎠ 2 (2πσ ) 1. (1.1). Es razonable asumir que los tres sensores de color tienen la misma densidad probabilística con una media de cero y una varianza de ruido constante e igual a σ 2 sobre todo el plano de la imagen. Este análisis resulta más simplificado al asumir que en la señal contaminada por el ruido, los tres canales de color, no se encuentran correlacionados. El vector que representa la perturbación ruidosa en el espacio de colores RGB puede ser representado como: p = (r 2 + g 2 + b 2 ). 1/ 2. donde r, g, b es la perturbación escalar en los planos de los. canales cromáticos rojo, verde y azul respectivamente. El ruido asociado a los procesos de transmisión también está presente y debe ser tomado en consideración. El ruido de transmisión es conocido como ruido de “sal y pimienta” y puede ser modelado como ruido impulsivo. Existen varias fuentes que pueden generar este tipo de ruido. Entre ellas se encuentran los fenómenos provocados por el hombre, tales como los sistemas de ignición de los autos, las máquinas industriales en las cercanías de los receptores y los conmutadores en líneas de potencia, entre otros. A estos se les pueden sumar las malas condiciones atmosféricas para el caso de las comunicaciones inalámbricas. En varias situaciones prácticas la imagen a color puede estar contaminada por ambos tipos de ruido, ruido blanco Gaussiano aditivo, asociado a las perturbaciones en los sensores, y ruido impulsivo, inducido en los procesos de transmisión de las señales que conforman la imagen. En este caso, la imagen puede ser modelada como una imagen contaminada por una mezcla de ruido que responde al siguiente modelo:.

(18) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. ⎧ s ( x ) + n( x ) zn = ⎨ ⎩ n I ( x). 8. p = 1 − pI , p = pI. (1.2) donde s (x ) es la señal a color con ruido aditivo n(x) modelado como ruido blanco Gaussiano con media cero, y nI (x) es el ruido de transmisión modelado como ruido impulsivo tri-variable con una probabilidad p I de ocurrencia de un impulso. En este trabajo se utilizará un modelo impulsivo tri-variable aplicado a imágenes a color en [2] y que se explica más adelante. De acuerdo con este modelo, se supone que las variaciones en los canales de la imagen son graduales. Así, los píxeles que posean una diferencia significativa con respecto a sus vecinos, podrán ser atribuidos al ruido. Por lo tanto, la mayoría de las técnicas de filtrado de imágenes intentan remplazar esas lecturas atípicas, usualmente llamadas “outliers”, con valores derivados de los píxeles más cercanos. Basado en este principio, varias técnicas de filtrado podrán ser propuestas para el caso de las imágenes a color. 1.3. Algoritmos para la reducción de ruido en las imágenes a color. 1.3.1 Filtrado no lineal en imágenes a color Existen diferentes técnicas de filtrado para el procesamiento de imágenes. Entre ellas se encuentran las técnicas de procesamiento lineal, cuya relativa simplicidad matemática y la existencia de una teoría unificada, facilitan su diseño e implementación, además de brindar un desempeño satisfactorio en una variedad de aplicaciones prácticas. Sin embargo, existe una serie de problemas para el procesamiento de señales que no pueden ser resueltos de forma eficiente mediante el uso de estas técnicas. Las técnicas de procesamiento lineal fallan en el procesamiento de imágenes, pues no pueden hacer frente a las no linealidades del proceso de formación de la imagen, ni pueden tomar en cuenta la naturaleza no lineal del sistema visual humano [2]. Las imágenes poseen regiones planas y áreas de cambios abruptos, tales como bordes, las cuales son portadoras de importantes informaciones para la percepción visual. La mayoría de las técnicas de procesamiento lineal de señales tienden a difuminar los bordes y a degradar líneas y otros detalles finos de la imagen [6]..

(19) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 9. Nuevos algoritmos y técnicas se han desarrollando con el avance y la potencia de cálculo de las computadoras actuales, asumiendo un modelo más realista. Con este fin las técnicas de procesamiento no lineales se han ido introduciendo en el análisis de señales [2]. Las técnicas no lineales, tienen la posibilidad de tomar en cuenta la naturaleza no lineal del sistema visual humano [6]. El filtrado no lineal, al menos teóricamente, tiene la habilidad de suprimir la presencia de ruido no Gaussiano, preservar elementos importantes de la imagen, como son los bordes y detalles finos, y eliminar la degradación ocurrida durante el proceso de formación de la imagen. A pesar de los resultados teóricos obtenidos, las técnicas de filtrado no lineal aún carecen de una teoría unificada. Algunas de estas técnicas de procesamiento no lineal se mencionan a continuación: • Técnicas basadas en polinomios [7]. • Técnicas homomórficas [8]. • Técnicas basadas en morfologías matemáticas [9][10]. • Técnicas basadas en ordenamiento estadístico [11][12]. Los filtros polinómicos han sido utilizados para el filtrado de imágenes a color, el modelado de canales no lineales en telecomunicaciones y en el procesamiento de señales geofísicas multicanales. Los filtros homomórficos y sus extensiones son una de las primeras clases de filtros no lineales y han sido empleados extensivamente en el procesamiento de señales e imágenes digitales para la eliminación de ruido multiplicativo y dependiente de la señal, el procesamiento de imágenes a color, el procesamiento de imágenes satelitales multicanales y la identificación de huellas digitales. Su característica básica consiste en el empleo de estructuras no lineales (principalmente logarítmicas) para transformar las no linealidades presentes en la imagen [2]. Los filtros morfológicos utilizan las características geométricas de la señal. La morfología matemática puede ser descrita geométricamente en términos de la acción de los operadores sobre imágenes binarias, monocromáticas o a color [2]. Una familia de filtros no lineales muy utilizada son los denominados filtros de ordenamiento estadístico. Las bases teóricas de estos filtros se fundamentan en una teoría de estadística robusta. Dentro de los miembros de esta clase de filtros, son los filtros de mediana vectorial (VMF) los más conocidos [11][13]..

(20) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 10. Los filtros de ordenamiento estadístico han tenido un amplio uso en el análisis de señales multivariables. A continuación se muestran algunos esquemas de ordenamiento que pueden ser utilizados para el diseño de filtros no lineales y filtros digitales multicanales: • Ordenamiento marginal [14]-[16]. • Ordenamiento condicional [15]. • Ordenamiento parcial [15]. • Ordenamiento reducido [14][15]. Estos esquemas de ordenamiento pueden ser utilizados en cualquier tipo de datos multivariables. Este ordenamiento se realiza sobre los píxeles ubicados dentro de una ventana local que se desplaza a lo largo de la imagen a color. 1.3.1.1. Filtros basados en ordenamiento estadístico. Ordenamiento marginal En esta técnica de ordenamiento los canales de la imagen a color son ordenados de forma independiente. Varios filtros no lineales multicanales basados en el ordenamiento marginal pueden ser propuestos. Uno de los más utilizados ha sido el filtro de mediana marginal (MAMF, del inglés Marginal Median Filter). Análisis teóricos y resultados experimentales han permitido llegar a la conclusión de que el filtro de mediana marginal es robusto en la supresión del ruido impulsivo mientras preserva importantes características de la imagen, como son los bordes. Sin embargo, su desempeño en la supresión del ruido blanco Gaussiano aditivo, el cual aparece con frecuencia en el procesamiento de imágenes, es inferior al de media u otros filtros lineales. Por lo tanto, se hace necesario encontrar una solución de compromiso entre la mediana vectorial y el filtro de media. El filtro de media – reducida, clasificado como un miembro de la familia de los filtros estadísticos de ordenamiento marginal llamado filtros L (L-filter), podría operar de forma adecuada ante ambas clases de ruido. Este filtro rechaza un por ciento determinado de las.

(21) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 11. muestras multivariables, las más distantes según el ordenamiento de los datos, y utiliza el resto de los píxeles para determinar el promedio. Ordenamiento Reducido El ordenamiento reducido ha sido otra técnica utilizada extensivamente en el desarrollo de filtros para imágenes multivariables. Esta técnica ordena las muestras multivariables comprendidas en una ventana local, en función de la distancia de cada vector con respecto a un vector de referencia. De esta forma, el ordenamiento multivariable se reduce a un ordenamiento escalar, haciendo más fácil su implementación. En dependencia del vector de referencia, pueden ser utilizados diferentes esquemas para el ordenamiento. Los vectores de referencia más utilizados son la mediana, la media, la mediana marginal y el valor central en la ventana de procesamiento. El comportamiento de estos filtros para el caso de imágenes a color con áreas ricas en detalles no ha sido muy adecuado. Los filtros de media y de mediana marginal tienden a allanar las líneas y pequeñas estructuras. Sin embargo, la idea de un filtro que se adapte a los cambios locales de la imagen ruidosa, y sea capaz de intercambiar. el vector de. referencia entre la media, la mediana marginal o la muestra central, puede ser muy atractiva. Mediciones de distancia Los esquemas de ordenamiento descritos anteriormente, se basan en la interrelación entre las muestras multivariables, calculando una medida de la similitud o de la distancia entre todos los pares del conjunto de muestras de los datos. La salida del procedimiento de ordenamiento va a depender fundamentalmente de las características de los datos utilizados y la función seleccionada para evaluar la similitud o la distancia entre los pares de muestras multivariables. Una de las mediciones más utilizadas para cuantificar la distancia entre dos señales, es la métrica de Minkowski generalizada (norma LM ). Esta métrica se define por dos vectores xi y xj como se muestra a continuación: ⎛ d M (i, j ) = ⎜ ∑ xik − x kj ⎜ k =1 ⎝ p. (. ). M. 1 M. ⎞ ⎟ , ⎟ ⎠. (1.3).

(22) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 12. donde p es la dimensión del vector xi y xik es el k-ésimo elemento de xi. Tres casos especiales de esta métrica son de particular interés: 1. La distancia City-Block (norma L1) correspondiendo a M=1. En este caso la distancia entre los dos vectores es considerada como la suma de los valores absolutos entre sus componentes: p. d1 (i, j ) = ∑ xik − x kj .. (1.4). k =1. 2. La distancia Euclidiana (norma L2) correspondiendo a M=2. En este modelo, la distancia entre los dos vectores es la raíz cuadrada de la suma de las distancias cuadráticas entre sus componentes: ⎛ p d 2 (i, j ) = ⎜⎜ ∑ xik − x kj ⎝ k =1. (. ). 2. 1. ⎞2 ⎟⎟ . ⎠. (1.5). 3. La distancia tablero de ajedrez (norma L∞ ) correspondiendo a M = ∞ . En este caso la distancia entre los dos vectores es considerada como la distancia máxima entre sus componentes: d ∞ (i, j ) = max xik − x kj . k. (1.6). La distancia Euclidiana tiene un costo computacional relativamente alto, ya que evalúa las distancias de los componentes y requiere el cálculo de la raíz cuadrada. Para acomodar tales operaciones se requiere aritmética de punto flotante. Por otro lado, las normas L1 y Loo pueden ser evaluadas utilizando aritmética entera, para de esta manera lograr un algoritmo de evaluación de distancia más eficiente desde el punto de vista computacional. Otra métrica utilizada, es basada en la distancia angular. Esta puede ser empleada para comparar cuán orientadas pueden estar dos señales multicanales xi y xj. Una función muy utilizada para este propósito es el producto interno normalizado definido como: s1 ( xi , x j ) =. xi x tj xi x j. ,. (1.7).

(23) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 13. la cual se corresponde con el coseno del ángulo entre los dos vectores xi y xj. Por lo tanto la magnitud (amplitud) angular o el coseno del ángulo entre dos vectores pueden ser considerados como una medición de distancia angular [17]. 1.3.1.2 Filtros basados en ordenamiento vectorial Los filtros multivariables pueden estar definidos por el empleo de esquemas de ordenamiento vectorial. Si la distancia agregada de la muestra yi, para el conjunto de vectores W(n)=[y1,y2,…,yn], es utilizada como una función de ordenamiento, entonces: n. d i = ∑ d ( yi , y j ) ,. (1.8). j =1. donde d ( y i , y j ) representa la medición de distancia apropiada. Las mediciones de distancia di se disponen en orden ascendente, asociando el mismo orden para las muestras multivariables. Así, un ordenamiento: d (1) ≤ d ( 2 ) ≤ ... ≤ d ( n ) ,. (1.9). implica el mismo ordenamiento para los vectores yi: y (1) ; y ( 2 ) ;...; y ( n ) .. (1.10). El filtro de mediana vectorial (VMF, del inglés Vector Median Filter) puede ser definido como el vector de mediana yVM contenido en un conjunto dado, cuya distancia, con relación a todos los otros vectores, sea mínima [18]: n. n. j =1. j =1. ∑ d ( yVM , y j ) ≤ ∑ d ( yi , y j ). ∀i ∈ [1,2,..., n] .. (1.11). En la secuencia ordenada de (1.10), la salida del filtro sería yVM = y(1). La distancia entre los vectores en (1.8) puede ser calculada por diferentes vías, como se vio anteriormente en la sección relacionada con las mediciones de distancia. Algunas propiedades derivadas de la mediana vectorial se describen en [11][19]. El filtro de mediana vectorial puede ser utilizado como un filtro para el procesamiento de imágenes a color, utilizando una ventana W(n) que se desplaza sobre el plano de la imagen. Para cada posición de la ventana, el vector yk, ubicado en el centro de misma, será.

(24) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 14. sustituido por la mediana vectorial de las muestras en W(n). En particular es interesante destacar que la salida del VMF es siempre uno de los vectores de entrada. La operación de mediana vectorial puede ser combinada con técnicas de filtrado lineal, para casos donde la mediana no sea adecuada para filtrar el ruido, como ocurre con la presencia del ruido Gaussiano aditivo [20]. 1.3.1.3. Filtros basados en la dirección vectorial. Los esquemas de ordenamiento multivariable y los filtros asociados discutidos hasta ahora, están basados en una representación cartesiana de la imagen a color. Sin embargo, en varios casos, la representación polar de los datos multivariables es de especial interés. Los filtros vectoriales direccionales (VDF, del inglés Vector Directional Filter) son una clase de filtros multivariables que se basan en principios de ordenamiento vectorial y coordenadas polares [21][22]. La novedad de esta clase de filtros con respecto a los anteriores, es que el criterio de ordenamiento está basado en el ángulo entre los vectores de la imagen multivariable. Como su nombre lo indica, el VDF opera sobre la dirección de los vectores de la imagen, eliminando los vectores con direcciones atípicas en el espacio vectorial [5]. De forma análoga al VMF, pero para el caso de la medición de distancia angular, se obtiene el filtro vectorial direccional básico (BVDF, del inglés Basic Vector Directional Filter). El BVDF opera adecuadamente cuando la magnitud del vector no es importante y la dirección de los vectores es el factor dominante. Para mejorar el desempeño del BVDF se propuso una estructura de filtro generalizado [23]. La nueva estructura dio lugar al filtro vectorial direccional generalizado (GVDF, del inglés Generalized Vector Directional Filter). En lugar de una única salida, el GVDF obtiene a la salida un conjunto de vectores con pequeños ángulos en relación a sus vecinos. El número de vectores de salida será un parámetro de diseño. El GVDF necesita ser combinado con un filtro escalar (procesamiento de magnitudes) con el objetivo de producir un único vector de salida en cada píxel. Si se contara previamente con las características del ruido contaminante, el diseñador podría seleccionar el algoritmo de procesamiento de magnitud más apropiado para maximizar el desempeño del GVDF..

(25) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 15. Sin embargo, en aplicaciones prácticas esto no suele ocurrir. En estos casos la robustez del GVDF resulta cuestionable. Para solventar las deficiencias del GVDF, se propuso un filtro direccional conocido como filtro de dirección-distancia (DDF, del inglés Distance-Direction Filter) [24][25]. El DDF retiene la estructura del BVDF, pero utiliza un criterio de distancia diferente para ordenar los vectores dentro de la ventana de procesamiento. El objetivo de este nuevo esquema es obtener un filtro que combine ambas propiedades. Para el DDF la medición de distancia dentro de la ventana de procesamiento W, se define como: n. n. j =1. j =1. β i = ∑ A( yi , y j )∑ yi , y j ,. (1.12). donde A( yi , y j ) es la distancia direccional (angular) y el segundo término toma en consideración las diferencias en magnitud en términos de métricas de Minkowski. Aunque la concepción de este filtro es atractiva ante diferentes clases de ruidos, y la estructura de procesamiento del vector resultante es simple, rápida y sin módulos adicionales al GVDF, presenta varios inconvenientes. La medición de distancia definida en (1.12) es heurística, dependiente de la ventana, y no vincula las características de los vectores de color individuales. Además, no tiene en cuenta la relativa importancia de los dos componentes en la medición de distancia sugerida. De esta forma, aunque el DDF puede proporcionar, en algunos casos, mejores resultados que los obtenidos por el BVDF o el GVDF, no debe ser considerado como un filtro no lineal efectivo de propósito general [2]. 1.3.2 Filtrado adaptativo en las imágenes a color Los filtros no lineales descritos anteriormente suelen ser optimizados para un tipo de ruido específico. Sin embargo, las estadísticas de ruido varían de aplicación a aplicación, o en la misma aplicación de imagen a imagen. El filtrado adaptativo intenta solventar las dificultades asociadas a la incertidumbre de los datos de la imagen, utilizando procedimientos de estimación, basados en la estadística local [6][26][27]. Los parámetros del filtro adaptativo se determinan en forma dependiente de los datos. El principal problema del diseño adaptativo radica en la dificultad para realizar un análisis estadístico exacto y en.

(26) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 16. el tiempo que ocupa este procedimiento. Un grupo de técnicas adaptativas basadas en principios de lógica fuzzy han sido diseñadas para la reducción de ruido, entre otras aplicaciones [28]. Generalmente, para el diseño se pueden tener en cuenta un gran número de reglas, la estrategia del diseñador consiste en establecer un compromiso entre la calidad del filtro bajo estudio y el número de reglas a utilizar. Para resolver esta limitante se pueden combinar conceptos fuzzy, tales como funciones de membresía, reglas fuzzy, y agregados fuzzy con filtros no lineales, con el objetivo de eliminar el ruido Gaussiano y no Gaussiano mientras se preservan detalles de la imagen. De forma similar a lo que ocurre con las técnicas no lineales en general, las técnicas fuzzy actuales para el procesamiento de señales también carecen de una teoría única. 1.3.2.1 Sistemas fuzzy adaptativos Un procedimiento comúnmente empleado para disminuir el nivel de ruido aleatorio presente en una señal, consiste en utilizar alguna operación de promediado fuzzy con el objetivo de sustituir el vector ruidoso ubicado en el centro de la ventana por un vector adecuado. Una forma general para representar el sistema fuzzy adaptativo se puede expresar a través de un promedio fuzzy en función de los pesos de los vectores de entrada en el interior de la ventana de operación W [29]. n. n. j =1. j =1. yˆ = ∑ w j y j =∑. µ λj. ∑. n. µλ j =1 j. yj,. (1.13). donde ŷ es las salida del filtro fuzzy adaptativo, y j son los vectores de entrada que se encuentran dentro de la ventana de operación W, w j ≥ 0 es la j-ésima función de membresía normalizada tal que. ∑. n j =1. w j = 1 , µ j es una función de membresía definida por. criterios de distancia, y λ es un parámetro tal que λ ∈ [0, ∞) . En este diseño adaptativo, los pesos denotan el grado de contribución de cada vector de entrada sobre la salida del filtro. Los pesos del filtro se obtienen mediante un proceso adaptativo utilizando transformaciones de un criterio de distancia entre los vectores de.

(27) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 17. entrada. Estas transformaciones pueden ser consideradas una función de membresía relacionada con componentes específicos de la ventana. El algoritmo adaptativo evalúa la función de membresía y entonces utiliza los valores obtenidos para calcular la salida final filtrada. La operación que minimiza la diferencia entre la señal prototipo (señal que sustituirá a la muestra ruidosa central) y todos sus vecinos dentro de la ventana se conoce como procedimiento de defuzzyficación. En dependencia de la medición de distancia específica que se aplique a los datos de entrada, se podrá diseñar una función de membresía fuzzy diferente. A continuación se muestra una forma genérica para la función de membresía:. µi =. 1 , 1 + f (d i ). (1.14). donde f ( d i ) es una función de la distancia entre el vector multivariable yi y el vector prototipo ideal yτ. Se debe mencionar que el valor de la función de membresía y el desempeño del filtro fuzzy adaptativo van a depender de la medición de distancia seleccionada y la selección del vector de referencia apropiado (prototipo ideal). La selección de un vector de referencia adecuado va a depender de las características de la señal. Generalmente la mediana es la selección preferida ya que esta reduce el ruido impulsivo y preserva los bordes y detalles de la imagen. Los filtros VMF, BVDF y MAMF pueden ser utilizados con el objetivo de proporcionar un punto de referencia confiable. De esta forma, el filtro va a depender directamente del punto de referencia seleccionado [2]. Para alcanzar un procedimiento realmente robusto, se debe prescindir de la necesidad de obtener un punto de referencia [2]. Para esto se evalúa la función de membresía, utilizada para obtener los pesos de cada vector de entrada yi, sobre la distancia acumulativa entre el vector yi bajo análisis y el resto de los vectores dentro de la ventana de procesamiento. De esta forma, al vector que posea la menor distancia acumulativa, le será asignado el valor de membresía máximo (tendrá el mayor peso sobre la salida del filtro). Si bien este diseño no depende de un punto de referencia, y así es más robusto ante los posibles “outliers”, aumenta de forma significativa la carga computacional..

(28) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 18. 1.3.3 Filtrado en el dominio Wavelet La Transformada Wavelet. (WT, del inglés Wavelet Transform). en sus diferentes. extensiones constituye una herramienta muy potente para varias aplicaciones del procesamiento de señales [30], entre las que se encuentra el filtrado de imágenes para la reducción de ruido. El análisis mediante la Transformada Wavelet permite analizar con más precisión los cambios que ocurren en las señales en breves intervalos, revelando aspectos que otras técnicas de análisis omiten [31]. Las propiedades inherentes a esta transformada, relacionadas con la descomposición no redundante de señales e imágenes, la hacen una herramienta atractiva para el diseño de algoritmos para la reducción de ruido en el dominio Wavelet. 1.3.3.1 La Transformada Wavelet La Transformada Wavelet es una herramienta matemática que posibilita el análisis de series temporales no estacionarias, brindando simultáneamente la información temporal (espacial) y de escala de las mismas. La WT descompone una señal sobre un conjunto de funciones bases wavelet, obtenidas mediante dilataciones/contracciones y traslaciones de la wavelet generadora, produciendo una representación de la señal en tiempo (espacio)-escala. Para un prototipo de función wavelet generadora ψ (t ) ∈ L2 (ℜ) , la familia de funciones obtenidas mediante desplazamientos y dilataciones/contracciones de ψ (t) queda definida como:. ψ a ,b (t ) =. 1 ⎛t −b⎞ ψ⎜ ⎟, a ⎝ a ⎠. (1.15). donde a, b ∈ ℜ y a > 0.El parámetro a es el factor de dilatación o escala y b el de traslación. La Transformada Wavelet Continua (CWT, del inglés Continuous Wavelet Transform) de una función f (t ) ∈ ℜ es entonces definida como: ∞. CWT f (a, b) = ∫ψ a*,b (t ) f (t )dt = ψ a ,b (t ), f (t ) , −∞. (1.16).

(29) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 19. La operación de análisis de la CWT, permite obtener un conjunto de coeficientes wavelet. {CWT. f. ( a, b)} . Esos coeficientes indican cuán parecida es una señal con respecto a una. función base particular. La función f (t ) puede ser recuperada de su transformada mediante la expresión de reconstrucción que se muestra a continuación:. 1 f (t ) = Cψ. ∞ ∞. ∫ ∫ CWT. f. (a, b)ψ a ,b (t ). − ∞− ∞. dadb , a2. (1.17). Transformada Wavelet Discreta (TWD) La CWT tiene el inconveniente de ser redundante e impráctica con el empleo de las computadoras digitales. Como los parámetros (a, b) toman valores continuos, la CWT resultante será una representación muy redundante. Por lo tanto, los parámetros de dilatación y traslación serán evaluados de forma discreta en el plano tiempo (espacio)escala para obtener un conjunto discreto de funciones básicas continuas [32]. Los siguientes parámetros establecen el carácter discreto de la transformada: a = a0j y b = k ⋅ a0j ⋅ b0 para j , k ∈ Z .. (1.18). Donde, a0 > 1 es la dilatación y b0 ≠ 0 la traslación. La familia de wavelets queda definida de la siguiente manera:. Ψ j ,k (t ) = a0− j / 2ψ (a0− j t − kb0 ) ,. (1.19). y la función de descomposición Wavelet para una función f(t) será: f (t ) = ∑∑ D f ( j , k )ψ j ,k (t ) , j. (1.20). k. donde el conjunto bidimensional de coeficientes. D f ( j, k ). es nombrado como. Transformada Wavelet Discreta (DWT, del inglés Discrete Wavelet Transform) de la función f (t ) . La Transformada Wavelet Discreta Bidimensional (DWT-2D) aplicada a imágenes, proporciona una matriz que contiene cuatro tipos de coeficientes wavelets: aproximaciones, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales. Los coeficientes de aproximación contienen la mayor parte de la energía de la imagen, mientras que los de.

(30) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 20. detalle presentan valores próximos a cero. En la descomposición de imágenes con el empleo de la DWT-2D cada nivel de análisis multirresolución implementa un banco de filtros como el que se muestra en la figura 1.3. Esta. estructura. produce. tres. subimágenes. de. detalles. ( WψH ( j , m, n) , WψV ( j, m, n) , WψD ( j, m, n) ) correspondientes a tres diferentes orientaciones (horizontal, vertical y diagonal, respectivamente) para los coeficientes de detalle y una subimagen de baja resolución ( Wϕ ( j , m, n) ) correspondiente a los coeficientes de aproximación.. Figura 1.3 Banco de filtros para un nivel de análisis de la DWT-2D.. La estructura del banco de filtros puede ser iterada de manera similar sobre el canal Wϕ ( j , m, n) para proporcionar la descomposición multinivel. El proceso de descomposición. se puede realizar de manera sucesiva sobre las aproximaciones, generándose múltiples niveles de descomposición como se muestra en la figura 1.4. Esto se conoce como el árbol de descomposición Wavelet. El proceso se puede continuar en teoría indefinidamente. En la práctica se debe seleccionar el número de niveles basado en la naturaleza de la señal [31]..

(31) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 21. Figura 1.4 Árbol de descomposición Wavelet.. 1.3.3.2 Técnicas de umbral aplicadas en el dominio Wavelet Con el objetivo de identificar y reducir los coeficientes ruidosos obtenidos mediante la descomposición wavelet, se estima el valor del umbral que caracteriza el nivel de ruido en el dominio transformado. La determinación de este umbral tiene como objetivo reducir al máximo los coeficientes ruidosos preservando las componentes de detalles asociadas a la imagen. La operación matemática que involucra el valor de este umbral con los coeficientes wavelet de detalle, se conoce como la “aplicación de una técnica de umbral”. Existen dos técnicas de umbral clásicas (umbral blando y umbral duro) para la reducción de coeficientes ruidosos en el dominio Wavelet. Al aplicar la técnica de umbral blando sobre los coeficientes c j ,o = f ,ψ ⎧c j ,o − thr ⎪ ) 0 c j ,o = ⎨ ⎪c + thr ⎩ j ,o. j ,o. se obtiene el siguiente resultado:. c j ,o ≥ thr c j ,o ≤ thr , c. c j ,o. (1.21). ≤ −thr. ) donde thr es un umbral que depende del nivel de ruido en la j-ésima escala y c j ,o son los coeficientes reducidos que se utilizan para reconstruir la imagen por medio de la Trasformada Wavelet Inversa. En el caso de aplicar un umbral duro (método más simple), ) los coeficientes de salida conservarán el mismo valor que los de entrada, c j ,o = c j ,o si c j ,o > thr , y cero si c j ,o ≤ thr ..

(32) CAPÍTULO 1. REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES A COLOR. 1.4. 22. Métodos de evaluación de la calidad de la imagen. El procesamiento digital aplicado a una imagen puede provocar pérdidas de información que pueden afectar la calidad perceptual de la misma, lo que traerá consigo consecuencias más o menos graves en dependencia de la aplicación en cuestión. La evaluación y caracterización de la calidad de la imagen constituye un requerimiento insoslayable y tradicionalmente han sido abordadas mediante el empleo de valoraciones objetivas y/o subjetivas. Las valoraciones subjetivas se realizan normalmente empleando observadores humanos que ofrecen un puntaje sobre la calidad de las imágenes. Estos puntajes se analizan estadísticamente para ofrecer una valoración final y medir la confiabilidad de las pruebas. Se han realizado diversos estudios en la cuantificación de medidas subjetivas entre los que se destacan el desarrollo de curvas de Contraste-Detalle (C-D, del inglés Contrast-Detail), el análisis de la variancia (ANOVA, del inglés ANalisys Of VAriance) y las curvas de rendimiento-diagnóstico (ROC, del inglés Receiver Operating Characteristic). Las limitaciones fundamentales de estos estudios radican en la susceptibilidad a la influencia en los umbrales de detección de los observadores en diferentes experimentos. A pesar de que las valoraciones subjetivas constituyen una importante medida, las dificultades para su cuantificación objetiva y su dependencia de la existencia de valoraciones totalmente acertadas, provoca que tradicionalmente se empleen valoraciones objetivas para medir la calidad de la imagen. Entre las medidas cuantitativas más utilizadas tradicionalmente se encuentran: el error cuadrático medio, la resolución espacial y la relación señal a ruido. Trabajos dedicados a analizar el efecto de las medidas objetivas sobre la calidad de la imagen, reportan un alto grado de sensibilidad a cambios en la calidad para las medidas de SNR y el NMSE [33]. Teniendo en cuenta la dependencia de la experiencia de observadores en el análisis subjetivo y lo relativo al tiempo de ejecución de su estudio, en este trabajo se utilizan un conjunto de mediciones objetivas para evaluar la calidad de la imagen a color (SNR, NMSE). En el epígrafe 2.3 se analizan con mayor detalle estas medidas de calidad..

(33) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 23. CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS.. En este capítulo se describen los algoritmos propuestos para la reducción de ruido en imágenes a color, así como las métricas de calidad objetiva utilizadas (NMSE, SNR). Estos algoritmos constituyen el núcleo de las contribuciones que se defienden en este trabajo. Se describe además la imagen empleada y los experimentos concebidos para la validación de dichos algoritmos. 2.1. Filtrado en el dominio Wavelet. Existen varias alternativas para filtrar en el dominio Wavelet. Los filtros Wavelet se diferencian en la técnica de umbral que utilizan, en el método de determinación de los umbrales, en los coeficientes sobre los que se aplica el recorte, la base Wavelet que se emplea y los niveles de descomposición aplicados. El diseño de un filtro debe tomar en consideración todos los elementos mencionados anteriormente. El filtro Wavelet diseñado en este trabajo comienza con la aplicación de la Transformada. Wavelet Discreta Bidimensional (DWT-2D) a cada plano independiente de la imagen ruidosa a color “zn”. De esta transformación se obtienen los coeficientes wavelet ruidosos. c chj ,o , donde el término "ch" indica si el coeficiente pertenece al canal rojo "r", verde "g" o azul “b”, y los términos "j” y “o” se refieren al nivel de descomposición y a la orientación (horizontal, vertical y diagonal), respectivamente. La expresión que caracteriza la descomposición wavelet de cada plano de la imagen ruidosa "zn" será representada de la siguiente manera:. c chj ,o = T [z n ]DWT −2 D .. (2.1).

(34) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 24. La expresión de análisis (2.1) tiene asociada su correspondiente expresión de síntesis para la obtención de la imagen filtrada correspondiente a cada plano, una vez que los ) coeficientes wavelet hayan sido filtrados ( c jch,o ):. [ ]. ) ) z = T −1 c jch,o. DWT − 2 D. .. (2.2). El filtro (nombrado aquí wave-s-1), se basa esencialmente en la aplicación clásica de la técnica de umbral blando a los coeficientes de detalles de cada canal de forma independiente:. ) c jch,o. SOFT. [ ]. = Γ c chj ,o. THR _ SOFT. ⎧c chj ,o − thr ⎪ = ⎨ 0 ⎪c ch + thr ⎩ j ,o. c chj ,o ≥ thr c chj ,o ≤ thr , c chj ,o ≤ −thr. (2.3). donde thr es el valor del umbral de recorte o reducción aplicado, el cual es abordado con detalle en el epígrafe 2.1.1. Este filtro utilizó como base para la descomposición y posterior reconstrucción la Wavelet “bior2.6”, y se aplicaron dos niveles de descomposición. Otras alternativas de filtrado fueron analizadas y probadas, incluyendo la técnica de umbral aplicada, el método de determinación de los umbrales y los niveles de descomposición. Solo se ha mostrado el caso con el que se obtuvo los mejores resultados al combinarlo con filtros vectoriales de ordenamiento estadístico. 2.1.1. Estimado de ruido. Existe todo un conjunto de métodos para obtener de los datos ruidosos el valor estimado de la desviación estándar de ruido y con esto determinar el valor del umbral que debe ser empleado en el proceso de recorte o reducción de los coeficientes wavelet [34][35]. Para la mayoría de las aplicaciones, el ruido presente se puede considerar no correlacionado e independiente de cada nivel de descomposición, así como de la orientación en cada nivel. Para un espectro de ruido uniforme, la energía de ruido obtenida con el empleo de una base. wavelet, será una función de su ancho de banda [36]. Considerando estos argumentos, estimar el nivel de ruido en la escala más fina de la descomposición wavelet (primer nivel de descomposición) puede resultar una alternativa apreciable. El estimado de ruido se puede calcular como el valor absoluto de la mediana o estimado MAD (del inglés Median.

(35) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 25. Absolute Value) propuesto en [37], obteniendo un valor de umbral que responde a la siguiente expresión: thr _ MAD =. 2 ⋅ ln(n) ⋅ median ( c1ch,o ). 0,6745. ,. (2.4). donde “n” es el número total de píxeles de la imagen y “ median ( c1ch, k ,o ) ” es el valor de la mediana estadística del arreglo formado por el valor absoluto de los coeficientes de detalle obtenidos del primer nivel de descomposición. Para obtener el valor del umbral final que se utiliza en el proceso de recorte o reducción de los coeficientes wavelet, se le aplica un factor de ajuste “p” al resultado obtenido en la expresión (2.4). El valor de “p” se ajusta de acuerdo al grado de pérdida admitido para los coeficientes significativos apreciables en la imagen reconstruida. La definición del valor umbral resultante es: thr = p ⋅ thr _ MAD .. 2.2. (2.5). Algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico combinados con filtros Wavelet. Las estrategias que se presentan a continuación combinan el empleo de los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico y el filtrado Wavelet. La estrategia número uno comienza aplicando un filtro vectorial sobre la imagen a color y seguidamente de forma independiente sobre cada plano de la imagen el filtro Wavelet (wave-s-1). Los filtros vectoriales que se utilizan son: el VMF, el BVDF y dos filtros fuzzy, uno basado en una medida de distancia Euclidiana y el otro en una medida de distancia angular. El primer filtro fuzzy utiliza como referencia el VMF y el segundo caso al BVDF. Estos filtros se denominan: FVMF (del inglés Fuzzy Vector Median Filter) y FVDF (del inglés. Fuzzy Vector Direccional Filter). Los filtros combinados que se definen en la primera estrategia son: VMF-w, BVDF-w, FVMF-w, FVDF-w..

(36) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 26. IMAGEN A COLOR RUIDOSA. dM α. VMF. wave-s-1. VMF-w. Seleccionar r vectores. BVDF Seleccionar r vectores. FUZZY. FUZZY. FVMF. FVDF. wave-s-1. wave-s-1. BVDF-w. wave-s-1. FVMF-w. FVDF-w. Figura 2.1 Estrategia de filtrado vectorial más filtro Wavelet.. La segunda estrategia de filtrado invierte el orden de los filtros de la estrategia número uno para obtener nuevos filtros combinados. Primeramente se aplica el filtro wave-s-1 sobre cada uno de los planos de la imagen a color. El proceso continua con la aplicación de los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico utilizados en la estrategia anterior. Quedando definidos los filtros w-VMF, w-BVDF, w-FVMF, w-FVDF..

(37) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 27. IMAGEN A COLOR RUIDOSA. Plano R. Plano G. wave-s-1. wave-s-1. Plano B. wave-s-1. IMAGEN A COLOR PREFILTRADA. dM α. VMF. w-VMF. Seleccionar r vectores. BVDF Seleccionar. w-BVDF. r vectores. FUZZY. FUZZY. w-FVMF. w-FVDF. Figura 2.2 Estrategia de filtrado Wavelet más filtro vectorial.. 2.3. Algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet. A continuación se proponen un conjunto de algoritmos para la reducción del ruido en imágenes a color con el empleo de filtros no lineales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet. Se enfatiza en el diseño de filtros vectoriales y filtros fuzzy, así como en la selección de la función de membresía apropiada. Lo atractivo de los filtros propuestos en esta sección, es que utilizan el excelente desempeño de los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico, descritos en el capítulo introductorio, pero aplicados en este caso a los coeficientes wavelet de aproximación y detalles de la imagen a color ruidosa, en.

(38) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 28. combinación con el métodos de umbral aplicado en el dominio Wavelet y presentados en el epígrafe 2.1. La primera estrategia de diseño de estos filtros consiste en descomponer la imagen a color en cada uno de sus planos. A cada plano se le aplica la Transformada Wavelet de donde se obtienen las matrices asociadas a los coeficientes wavelet de aproximación y detalles del primer nivel de descomposición para cada plano. Posteriormente se forma un arreglo tridimensional con los coeficientes de aproximaciones de cada plano y otros tres arreglos con los coeficientes de detalle. A continuación se representan dichos arreglos:. c1, Aprox = (c1R, Aprox , c1G, Aprox , c1B, Aprox ) ,. (2.6). c 1 , H = ( c 1R, H , c 1G, H , c 1B, H ) ,. (2.7). c 1 ,V = ( c 1R,V , c 1G,V , c 1B,V ) ,. (2.8). c 1 , D = ( c 1R, D , c 1G, D , c 1B, D ) .. (2.9). El proceso continúa con la aplicación de los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico sobre los cuatro arreglos. Se tiene que W es la ventana de procesamiento de tamaño n y el conjunto { c1, Aprox i } para. i=1, 2,…, n, son los coeficientes de aproximación del primer nivel de descomposición que se encuentran dentro de la ventana de procesamiento W. Se define a D (i ) como la distancia acumulativa correspondiente al conjunto de vectores de entrada { c1, Aprox i } en la siguiente expresión: 1. 2 2 ⎛ p =3 ⎞ k k D(i ) = ⎜⎜ ∑ ⎛⎜ c1, Aprox i − c1, Aprox j ⎞⎟ ⎟⎟ , i=1,2,...,n , ⎠ ⎠ ⎝ k =1 ⎝. (2.10). El vector c1, Aprox i para el cual se cumpla que: D(i ) ≤ D( j ) ∀ j = 1, 2, ..., n ,. (2.11). será la salida correspondiente al filtro de mediana vectorial de dichos coeficientes. El mismo procedimiento se sigue con los arreglos de los coeficientes de detalle, definiendo el.

(39) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 29. primer método de filtrado en el dominio wavelet conocido como WVMF. El criterio de distancia utilizado en este tipo de filtros es la norma L2 (Euclidiana). Este concepto de vector de distancia se utiliza con el objetivo de establecer una forma de ordenamiento para los fasores { c1, Aprox i }. Si las distancias obtenidas se ordenan como:. D (1) ≤ D ( 2) ≤ . . . ≤ D ( n ) ,. (2.12). queda definido el orden de los vectores { c1, Aprox i }: ) ) ) ) } = c1(,1Aprox , c1(,2Aprox , . . . , c1(,nAprox . { c1(,iAprox. (2.13). ) Como ya se había definido anteriormente, c1(,1Aprox representa la salida del VMF aplicado a ) los coeficientes de aproximaciones. Los primeros r vectores en el grupo { c1(,iAprox } pueden. ser seleccionados utilizando una función de membresía apropiada para obtener la salida del filtro por medio de alguna operación matemática. Para las matrices conformadas por los coeficientes de detalles se hacen exactamente las mismas operaciones. De esta forma se obtiene la segunda alternativa de filtrado, definida como WFVMF, la cual implementa un filtro fuzzy de mediana vectorial sobre los coeficientes wavelet tratados. Las características asociadas a la función de membresía serán discutidas posteriormente. Una vez filtradas las cuatro matrices de coeficientes, cada plano de la imagen es reconstruido para formar la imagen a color. De forma similar, un filtro direccional vectorial puede ser definido si se utilizan medidas de distancia angular. La distancia angular acumulativa para los coeficientes wavelet se define en términos de sus vectores como: n. α (i ) = ∑ A(c1, Aprox i , c1, Aprox j ). i = 1, 2, . . . , n .. (2.14). j =1. La forma de ordenamiento para los vectores tiene en cuenta las distancias acumulativas ordenadas de acuerdo a:. α (1) ≤ α ( 2) . . . ≤ α ( n ) .. (2.15).

(40) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 30. ) . Aplicando El filtro direccional vectorial básico es el que tiene como salida el vector c1(,1Aprox. el mismo procedimiento sobre las matrices de coeficientes de detalles, finaliza el resultado obtenido por el esquema de filtrado nombrado aquí WBVDF. El valor de r puede determinarse atendiendo a ciertas reglas de membresía para definir el filtro fuzzy de dirección vectorial. En este filtro, la salida será calculada utilizando el valor de esos r vectores con el empleo de alguna operación matemática. Para el caso bajo análisis, se puede definir un filtro fuzzy adaptativo de la siguiente manera: r. c = ∑ w( k ) c1, Aprox k ,. (2.16). k =1. donde w( k ) es la k-ésima función de membresía normalizada, dada por: w( k ) =. f (µ k ) r. ∑ f (µ k =1. k. .. (2.17). ). La función f ( µ k ) = µ kλ es determinada de forma adaptativa en el contexto local [17], siendo µ k la función de membresía de los fasores asociados a los coeficientes wavelet de entrada c1, Aprox i y λ un parámetro tal que λ ∈ [0, ∞) . Para el caso de todos los filtros fuzzy diseñados y aplicados para los vectores de los coeficientes abordados en el dominio Wavelet, se utilizó la función de membresía lineal: µk =. d max − d k , d max − d min. (2.18). donde “d” se corresponde con cualquiera de los criterios de distancia definidos previamente, d max y d min denotan los valores máximos y mínimos de distancia, y λ = 1 define una estrategia de centro de gravedad. Una vez calculados los pesos de cada fasor de entrada y determinada la función de membresía, se realiza el cálculo final de la salida del filtro fuzzy utilizando los primeros r ) vectores del conjunto ordenado { c1(,iAprox }. Esta operación sobre cada uno de los elementos. de los cuatro arreglos de coeficientes, culmina el proceso de filtrado nombrado WFVDF. Al.

(41) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 31. culminar los procesos de filtrado WBVDF y WFVDF se procede de la misma forma que en los dos procesos anteriores (WVMF y WFVMF) reconstruyendo la imagen a color. Aplicando el filtro wave-s-1 con posterioridad a los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet, se obtienen nuevos esquemas de filtros combinados denominados: WVMF-w, WFVMF-w, WBVDF-w y WFVDF-w. En la figura 2.3 se observan las ideas expuestas acerca de los filtros analizados anteriormente. Invirtiendo el orden de aplicación de los filtros vectoriales en el dominio Wavelet con el filtro wave-s-1 se propone la última estrategia de diseño que se defiende en este trabajo. De esta forma surgen los filtros combinados: w-WVMF, w-WFVMF, w-WBVDF y wWFVDF. Esta estrategia se muestra en la figura 2.4..

(42) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 32. IMAGEN A COLOR RUIDOSA. Plano R. Plano G. TW. TW. C C C C. 1, H 1,V 1, D. =(. R. C = ( C ,C = ( C ,C = ( C ,C. 1, Aprox. Plano B. TW. G. 1, Aprox. R. G. 1, H. 1, H. R. G. 1,V. 1,V. B. , C 1, Aprox , C 1, Aprox B. , C 1, H B. , C 1,V. R. G. 1, D. 1, D. B. , C 1, D. ). ) ) ). dM α. VMF. WVMF. Seleccionar r vectores. BVDF Seleccionar r vectores. wave-s-1. WBVDF. wave-s-1 FUZZY. FUZZY WBVDF-w. WVMF-w WFVMF. wave-s-1 WFVMF-w. WFVDF. wave-s-1 WFVDF-w. Figura 2.3 Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet. Variante de diseño I..

(43) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 33. IMAGEN A COLOR RUIDOSA. Plano R. Plano G. wave-s-1. wave-s-1. wave-s-1. TW. TW. TW. C C C C. 1, H 1,V 1, D. =(. R. C = ( C ,C = ( C ,C = ( C ,C. 1, Aprox. Plano B. G. 1, Aprox. R. G. 1, H. 1, H. R. G. 1,V. 1,V. B. , C 1, Aprox , C 1, Aprox B. , C 1, H B. , C 1,V. R. G. 1, D. 1, D. B. , C 1, D. ). ) ) ). dM α. VMF. w-WVMF. Seleccionar r vectores. FUZZY. w-WFVMF. BVDF Seleccionar r vectores. w-WBVDF. FUZZY. w-WFVDF. Figura 2.4 Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet. Variante de diseño II..

(44) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE FILTRADO DE RUIDO: DISEÑO Y ANÁLISIS. 2.4. 34. Descripción del experimento y determinación de la calidad del filtrado. Para evaluar las propiedades de los filtros descritos en este trabajo para la reducción de ruido en imágenes a color, se realiza un experimento de Monte Carlo. Para el experimento se utiliza la imagen a color: “Lenna” de 512x512 píxeles. Esta imagen ha sido utilizada en otros experimentos de filtrado reportados en la literatura [3]. La imagen es contaminada con diferentes variantes de ruido que se describen en la sección 2.5 y en cada caso se aplican cada uno de los filtros propuestos en los epígrafes 2.2 y 2.3. Se realizan veinte iteraciones consecutivas para cada modelo de ruido y algoritmo de filtrado, lo cual garantiza la confiabilidad de los resultados estadísticamente. Los resultados obtenidos de las medidas de calidad fueron promediados tras realizar las veinte iteraciones (n = 20), y en cada caso se determino la desviación estándar. En todos los casos el valor de la desviación estándar fue inferior a 0.1 unidades ( σ < 0,1 ). Para una probabilidad de ocurrencia de las mediciones de un 99%, el semiancho del intervalo de confianza (u) en unidades de σ es de 2,6 unidades. Como resultado de este análisis se obtiene que el intervalo de confianza ( ± u ⋅ σ. n ) donde se encuentran las mediciones es de ± 0,0581. unidades, garantizándose así la exactitud de los resultados. 2.5. Modelos y variantes de ruido utilizados. La imagen a color fue contaminada con cuatro variantes de ruido, las cuales se describen en la tabla 2.1 y han sido utilizadas en trabajos previos que se reportan en la literatura. Estas variantes responden a un modelo de ruido Gaussiano, un modelo de ruido impulsivo y dos combinaciones de ruido Gaussiano con ruido impulsivo. Tabla 2.1 Variantes de ruido empleadas.. Variantes de ruido σ ∗. Pi , %. 1. 45. 0. 2. 0. 5. 3. 45. 5. 4. 70. 5. σ ∗ Desviación estándar, en unidades normalizadas..

Figure

Figura 1.1 Imagen de Lenna representada por planos de colores separados en el modelo RGB

Figura 1.1

Imagen de Lenna representada por planos de colores separados en el modelo RGB p.15
Figura 1.2 Cubo de colores RGB.

Figura 1.2

Cubo de colores RGB. p.15
Figura 1.3 Banco de filtros para un nivel de análisis de la DWT-2D .

Figura 1.3

Banco de filtros para un nivel de análisis de la DWT-2D . p.30
Figura 1.4 Árbol de descomposición Wavelet .

Figura 1.4

Árbol de descomposición Wavelet . p.31
Figura 2.1 Estrategia de filtrado vectorial más filtro Wavelet.

Figura 2.1

Estrategia de filtrado vectorial más filtro Wavelet. p.36
Figura 2.2 Estrategia de filtrado Wavelet más filtro vectorial.

Figura 2.2

Estrategia de filtrado Wavelet más filtro vectorial. p.37
Figura 2.3 Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet

Figura 2.3

Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet p.42
Figura 2.4 Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet

Figura 2.4

Estrategia de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet p.43
Tabla 2.1 Variantes de ruido empleadas.

Tabla 2.1

Variantes de ruido empleadas. p.44
Tabla 3.2 Parámetros de calidad con el empleo de filtros vectoriales de ordenamiento estadístico y  filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet combinados con el filtro Wavelet  (wave-s-1)

Tabla 3.2

Parámetros de calidad con el empleo de filtros vectoriales de ordenamiento estadístico y filtros vectoriales de ordenamiento estadístico en el dominio Wavelet combinados con el filtro Wavelet (wave-s-1) p.48
Tabla 3.4 Parámetros de calidad  ante condiciones críticas de ruido. NMSE( x10 -2  ) 4 Variante  Filtro  NMSE SNR(dB)  NINGUNO  15.60 8.0556 FVMF -  w  1.120 19.5186 FVDF - w  1.170 19.2997 WFVMF – w  1.100 19.5768 WFVDF - w  1.100 19.5867 w - WVMF  1.070

Tabla 3.4

Parámetros de calidad ante condiciones críticas de ruido. NMSE( x10 -2 ) 4 Variante Filtro NMSE SNR(dB) NINGUNO 15.60 8.0556 FVMF - w 1.120 19.5186 FVDF - w 1.170 19.2997 WFVMF – w 1.100 19.5768 WFVDF - w 1.100 19.5867 w - WVMF 1.070 p.50
Figura 3.1 Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa

Figura 3.1

Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa p.51
Figura 3.2 Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa

Figura 3.2

Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa p.52
Figura 3.3 Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa

Figura 3.3

Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa p.53
Figura 3.4 Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa

Figura 3.4

Resultado del filtrado a la imagen de color: “Lenna”. a) Imagen original b) Imagen ruidosa p.54

Referencias

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