Procesamiento digital de imágenes a color en presencia de ruido usando un DPS

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Unidad Culhuacan

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES A COLOR EN PRESENCIA DE RUIDO

USANDO UN DSP

T E S I S

Para obtener el Grado en Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica

PRESENTA

ING. LILIANA CASTILLEJOS DOMÍNGUEZ

ASESOR: DR. VOLODYMYR PONOMARYOV

México D. F. Diciembre 2005

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RESUMEN 

En la actualidad, el procesamiento digital de imágenes a color ha recibido una gran importancia para diferentes aplicaciones como es el movimiento robótico, procesamiento de imágenes biomédicas, televisión de alta definición (HDTV), etc. Por lo tanto existen numerosos filtros no lineales que se utilizan para el análisis del procesamiento digital de imágenes a color, los cuales son aplicados a diferentes tipos de ruidos. En esta tesis se propone el análisis de varios filtros para poder mejorarlos y así obtener imágenes filtradas con preservación de bordes y detalles. La optimización de varios filtros se llevó a cabo para lograr la reducción de tiempos de procesamiento y preservar la calidad de las imágenes a color.

Las imágenes usadas para las pruebas con los filtros, son imágenes que están en el espacio RGB, ya que es el más conocido en la mayoría de los artículos investigados, y es fácil de trabajar ya que las imágenes ocupan 3 canales los cuáles se corrompen independientemente. Las técnicas que se ocupan en la tesis son las de procesamiento direccional, vectorial, adaptivas, difusas (“fuzzy”) y de estadística de orden. Se utilizan criterios de calidad para analizar las propiedades de las imágenes, como son: la preservación de detalles finos y bordes, disminución de ruido, error de cromaticidad y el error perceptual del color. Se empleó un procesador digital de señales (DSP) “TMS320C6711”

desarrollado por Texas Instruments para evaluar los tiempos de procesamiento.

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ABSTRACT 

At the present time, the digital color image processing have received great importance in the different applications, such as the robot motion, biomedical image processing and high-definition television (HDTV), etc. Therefore, several nonlinear filters exist and are used for the analysis of the digital image processing, which are applied to reduce different types of noise. Here, we propose the analysis and improvement of the several filters, to realize preservation of edges and details.

The optimization of the filters have done to reduce the processing time and increase the quality of the color image. The images used for the experiments of the filters, were ones in the RGB space, since these are used in different paper and it is easy to work with images ocupies three channels which are corrupted independently.

The techniques applied here are: directional, vectorial, adaptive processing, fuzzy and order statistics ones. Quality criteria are used to analyze the properties of images, such as the preservation of fine details and edges, noise supression, chromaticity and perceptual color error. We employed the digital signal processor (DSP) “TMS320C6711” developed by Texas Instruments to evaluate the processing times.

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INDICE 

 

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1 Introducción……… 9

1.2 Objetivos...………. 10

1.3 Metas……… 11

1.4 Justificación... 11

1.5 Contenido de la Tesis……… 12

CAPITULO 2. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Y ESTADO DEL ARTE 2.1 Fundamentos....……….. 14

2.2 Modelos de Color...……… 15

2.3 Procesamiento de Imágenes en Color Falso ………. 19

2.4 Procesamiento de Imágenes en color real………. 20

2.5 Espacios a Color………...…..……….. 21

2.6 Modelos de Ruido...………...……… 22

2.7 Tipos de Ruido...……….. 24

2.8 Medidas de Distancia....……… 25

2.9 Criterios Objetivos de Calidad para el Filtrado..……… 26

2.10 Ordenamientos en el Espacio Vectorial... 30

2.11 Conclusiones... 33

Referencias... 33

CAPITULO 3. FILTROS MULTICANALES PARA IMÁGENES A COLOR 3.1 Técnicas de Procesamiento No Lineal..……… 36

3.2 Filtros para Imágenes Multicanales...………….. 43

3.3 Conclusiones...……….……….. 58

Referencias... 58

CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTALES 4.1 Adquisición de datos ...……… 62

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4.2 Resultados Obtenidos de los Filtros No Lineales ……….. 63

4.3 Conclusiones... 81

CAPITULO 5. IMPLEMENTACIÓN DE PROCESAMIENTO DE IMÁGENES A COLOR EN UN DSP 5.1 Fundamentos del DSP...……… 83

5.2 Arquitectura del TMS320C6711... ……….. 86

5.3 Tiempos de Procesamiento del TMS320C6711... 89

5.4 Imágenes Procesadas en Tiempo Real... 95

5.5 Conclusiones... 97

Referencias... 97

CAPITULO 6. CONCLUSIONES GENERALES Y TRABAJO A FUTURO 5.1 Conclusiones Generales... 99

5.2 Trabajo a futuro... 100

GLOSARIO………...………. 6

ANEXOS A. Imágenes Visuales... 110

B. Tablas... 127

C. Artículos Publicados... 133

 

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GLOSARIO 

R color original rojo.

G color original verde.

B color original azul.

L* Brillantez.

σ² varianza.

x media.

d(i,j) Distancia.

RGB Espacio a color.

R’ Estimación del color rojo en la imagen original.

G’ Estimación del color verde en la imagen original.

B’ Estimación del color azul en la imagen original.

NMSE Error Medio Cuadrático Normalizado.

MSE Error Medio Cuadrático.

PSNR Relación Pico de la señal a ruido.

MAE Error Medio Absoluto.

NCD Diferencia a color Normalizado.

Δ Diferencia.

ΔELuv Error de color.

C[f(i,j), fˆ (i,j)] Error de la cromaticidad entre vectores.

MCRE Error Medio de Cromaticidad.

Γ Parámetro de Dispersión.

ℑ Transformada de Fourier.

−1

ℑ Transformada inversa de Fourier.

med Mediana.

VM Filtro de vector de mediana.

fuzzy difusa.

BD Filtro básico de vector direccional.

9/168 A Ángulo entre vectores.

FBD Filtro básico de vector direccional rápido.

Ωi Salida del filtro DDF.

MN Matriz MxN.

M Número de filas ó columnas.

Peak&Valley Filtro de Picos y valles.

min Mínimo.

max Máximo.

μ Función miembro difusa.

β Parámetro de función miembro difusa.

d- Mínimo de la distancia.

d+ Máximo de la distancia.

L2 Distancia Euclídeana.

VRF Función de vector racional.

RHF Filtro híbrido racional.

φ Salida de los filtros difusos.

vd Vecindad diagonal.

v4 Vecindad 4.

 

 

 

 

 

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  CAPITULO 1 

INTRODUCCIÓN 

Este capítulo tratará de un panorama general de lo que es el procesamiento digital de imágenes a color, así como la estructura de la tesis y sus propuestas de los diferentes filtros realizados.

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1.1 INTRODUCCIÓN

En los últimos años, el desarrollo de los filtros no lineales para el procesamiento digital de imágenes a color, ha adquirido una gran importancia para diferentes aplicaciones, clasificándolos en categorías, los cuáles dependen de sus aplicaciones.

Los filtros no lineales son diseñados para suprimir ruido de diferente naturaleza, como: ruido impulsivo, ruido aditivo gaussiano y ruido multiplicativo (“speckle”), y por lo tanto, garantizar la preservación de detalles de las imágenes. Muchas de las técnicas para el procesamiento de imágenes a color sirven para reducir el ruido y algunas provienen de los métodos usados en las imágenes en escala de grises, otras sirven para preservar los detalles pero tienen que ser adaptadas al procesamiento de imágenes a color.

Existen filtros multicanales que utilizan correlación a lo largo de vectores multivariados usando varias medidas de distancia. Se basan en ordenamientos de vectores en una ventana de tamaño finito n x n.

Los filtros de vector de mediana se utilizan como referencia para compararlos con otros mediante los criterios de error. Son derivados de la estimación de la máxima verosimilitud, por medio de una distribución exponencial, cuando la salida del filtro es restringida para ser uno.

Los filtros de vector direccional, operan con los ángulos entre los vectores que presentan la imagen a color como un criterio de ordenamiento, y por consecuencia, son efectivos en la preservación de la cromaticidad de la imagen.

Funcionan por separado el procesamiento direccional y el de magnitud. Sin embargo, los filtros resultantes son complejos, y las implementaciones son lentas, ya que ellos operan en dos etapas.

Los filtros usan funciones en relación de sus entradas y salidas, por lo tanto, existen varias ventajas para cada una de ellas. Una función racional, puede estar constituida por una función polinomial, que es un aproximador polinomial.

12/168 Ya que permite ejecutarse con un nivel deseado de precisión y con baja complejidad obteniendo una extrapolación aceptable.

Las técnicas difusas han sido aplicadas y probadas en el procesamiento de imágenes. Estas se emplean para la eliminación de ruido, el mejoramiento de imágenes, la codificación de video, entre otras.

Las reglas difusas son flexibles y poderosas para los modelos de sistemas de control complejo. La correlación local en los datos, es usada para la aplicación de las reglas difusas directamente sobre los píxeles.

Los filtros híbridos son una estructura de filtrado no lineal recientemente desarrollada, trabajan en dos etapas, las cuáles se componen de filtros vectoriales y funciones racionales.

Esta tesis está basada en el mejoramiento de las imágenes, de acuerdo a nuevos diseños de algoritmos, con base en un análisis profundo de los filtros ya existentes, dando como resultado tiempos de procesamiento óptimos y mejoramientos en las imágenes filtradas.

Todos los filtros fueron implementados con el objetivo de obtener un tiempo menor al establecido por varios autores para así poderlo ejecutar en un DSP.

1.2 OBJETIVOS

• Investigar diferentes tipos de filtros no-lineales para imágenes a color, los cuales sean capaces de disminuir varios tipos de ruido y puedan preservar los detalles de la imagen.

• Implementar en lenguajes de programación los filtros investigados.

• Demostrar mediante criterios de calidad (objetivos) el mejoramiento de imágenes procesadas mediante las pruebas experimentales.

• Ejecutar los filtros multicanales en un DSP optimizando los tiempos de procesamiento para aplicaciones en tiempo real.

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1.3 METAS

1. Analizar profundamente diferentes filtros multicanales para el procesamiento de imágenes a color con el propósito de disminuir la influencia de ruido y realizar la preservación de bordes y detalles finos.

2. Diseñar algoritmos que se adapten al procesamiento de imágenes a color obteniendo resultados óptimos con los criterios de calidad y tiempo.

3. Realizar los filtros investigados y propuestos en lenguajes de programación (Matlab, “C”) para después implementarlos en un procesador digital de señales (DSP)

1.4 JUSTIFICACIÓN

Mediante la implementación de los filtros no lineales se pretenderá preservar los detalles que constituyen la imagen y se deberá eliminar lo mas posible de ruido, ya que se tiene pensado lograr que la imagen quede lo más parecido a la original, es decir, que tenga lo menos posible de distorsión.

Se implementarán estos filtros con el modelo de espacio a color RGB de las imágenes para poder distinguir mejor las imágenes distorsionadas en diferentes posiciones y colores.

Para poder disminuir la influencia de ruido en las imágenes a color se deberá investigar los métodos que constituyen al ruido, para que cada modelo se aplique en forma independiente a los diferentes canales de las imágenes .

Estos filtros se deberán aplicar en un lenguaje de programación para poder así obtener resultados y ser presentados.

Teniendo los resultados obtenidos de las imágenes ya filtradas se pasarán por criterios de calidad para que evalúen las propiedades de las imágenes a color como son contornos, la percepción visual humana de colores, la preservación de detalles finos, entres otras.

14/168 La implementación en un DSP es para obtener tiempos reales de ejecución de las imágenes.

1.5 CONTENIDO DE LA TESIS

Para comenzar, dentro del Capítulo 1 se realiza un introducción muy breve sobre el procesamiento de imágenes a color, y se menciona el desarrollo y objetivo de está tesis, en el Capítulo 2 se menciona una descripción de las consideraciones teóricas a los diferentes temas, como es el procesamiento de imágenes a color , las medidas de distancia, los ordenamientos que deben seguir los vectores, los tipos de ruidos, los criterios de calidad que se aplican a las imágenes para evaluar las características de las imágenes a color. En el Capítulo 3 se detalla los algoritmos de los filtros no lineales, sus características, comportamientos de los filtros y propuestas de ellos con sus tiempos óptimos.

Luego, en el Capítulo 4, se describe los resultados de las pruebas experimentales hacia el procesamiento de imágenes a color, así como las comparaciones de los filtros existentes y las propuestas de los nuevos filtros.

También, en este capítulo se presentarán las imágenes de error para comprobar que los filtros funcionan bien.

Finalmente, en el Capítulo 5, se discutirán los resultados presentados y se hará el resumen de los logros obtenidos mediante está tesis y se mencionará los trabajos a futuro, así como las conclusiones finales.

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  CAPITULO 2 

   

CONSIDERACIONES TEORICAS   Y ESTADO DEL ARTE 

En este capítulo trataremos los fundamentos necesarios que se necesitan para realizar un procesamiento digital a color.

Además enfocaremos la teoría hacia las necesidades de los filtros no lineales, ya sea para la implementación, para los errores de las imágenes evaluados por los criterios, las medidas que se necesitan para saber las distancias de los filtros vectoriales, etc.

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2.1. FUNDAMENTOS

Una imagen es una función bidimensional de la luz y la intensidad denotada por f(x,y). Se puede considerar como una matriz cuyos índices de fila y columna identifican un punto de la imagen y su valor indica el nivel de gris. A esto se le denomina píxel [1].

Las etapas del procesamiento digital de una imagen son (Figura 2.1) :

• Adquisición de la Imagen

Se necesita un sensor para producir una imagen, que puede ser un scanner, una cámara de video, fotográfica o de TV.

• Preprocesamiento

Su función es mejorar la imagen, y en esta etapa se ocupan técnicas como la de mejorar contraste, eliminar ruido y aislar regiones cuya textura sea información alfanumérica.

Figura.2.1. Etapas del procesamiento digital de una imagen.

Adquisición de Imágenes Preprocesamiento

Base de Conocimiento

Segmentación Representación y Descripción

Reconocimiento e Interpretación

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• Segmentación

Consiste en partir una imagen de entrada en partes u objetos que la constituyan. A la salida de un proceso de segmentación se tiene información de los datos del píxel que a la vez forman un contorno de una región o los puntos de una región determinada. Después se convierten los datos a una forma adecuada para ser procesados por la computadora.

• Representación y Descripción

La representación es transformar los datos a una forma adecuada para ser procesados por la computadora y la descripción o selección de rasgos consiste en extraer rasgos con algún tipo de información de interés.

• Reconocimiento e Interpretación

El reconocimiento es ponerle un nombre al objeto basándose en la información proporcionada y la interpretación es ponerle un significado a esos objetos ya una vez reconocidos.

• Base de Conocimiento

Es la que controla la interacción de los módulos de las etapas y puede ser simple, si el conocimiento es saber detallar las regiones de una imagen mediante la información que tenemos o complejo, que es cuando haya posibles defectos de material o una base de datos con mucha información.

2.2. MODELOS DE COLOR

El objetivo de los modelos a color [1] es facilitar la especificación de los colores de una forma normalizada y general. Los modelos a color son la especificación de un sistema de coordenadas tridimensional y de un subespacio de este sistema en el que cada color quede representado por un único punto.

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• RGB (“Red,Green, Blue”)

Se usa este modelo para monitores en color y cámaras de video a color. Cada color aparece en sus componentes espectrales primarias: rojo, verde y azul, por lo que se basa en un sistema de coordenadas cartesianas, que forman tres planos de imagen independientes. Los vectores han sido normalizados de modo que el tetraedro es unitario y por lo tanto los colores R, G y B están en el intervalo [0,1].

La gama de colores RGB (Figura 2.2) puede ser mezclada, como lo vemos en las coordenadas del diagrama de cromaticidad, formando un triángulo cuyos vértices son los colores primarios , a esto se le denomina triangulo de Maxwell.

• CMY (“Cyan, Magenta, Yellow”)

Los colores cyan, magenta y amarillo [2] son los colores secundarios de la luz o los primarios de los pigmentos y se ocupan para impresoras a color. Muchos dispositivos que depositan pigmentos coloreados requieren una entrada CMY o realizan una conversión de RGB a CMY (2.1) internamente como se muestra a continuación:

Escala de grises Blanco

(R,G,B) Azul (0,0,B)

Negro(0,0,0) Verde (0,G,0) Rojo (R,0,0)

Cian (0,G,B)

Magenta (R,0,B)

Amarillo (R,G,0) B

R

G

Figura 2.2. Modelo del espacio a color RGB.

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Se observa la normalización en el intervalo [0,1]. La ecuación demuestra que la luz reflejada por una superficie recubierta del pigmento amarillo puro no contiene azul y muestra el color amarillo, del mismo modo un pigmento magenta puro no refleja luz verde y un cian no refleja luz roja.

• YIQ (“Y-luminance, I-phase, Q-quadrature”)

Se usa en la televisión a color comercial. El YIQ es una recodificación del RGB, utilizada por su eficacia en la transmisión y para mantener la compatibilidad con los estándares de televisión en blanco y negro. La conversión de RGB a YIQ es:

Para obtener los valores RGB a partir de los YIQ (2.2) simplemente se realiza la operación de la matriz inversa. Este modelo fue diseñado para obtener la ventaja del sistema visual humano, que es más sensible a cambios de luminancia que a cambios en el matiz o saturación, así decimos que la luminancia es proporcional a la cantidad de luz percibida por el ojo. Su ventaja en el procesamiento de imágenes es que la luminancia (Y) y las componentes cromáticas (I y Q) se tratan por separado.

• HSI (“hue, saturation, intensity”)

Este modelo y el siguiente se utilizan para la manipulación de las imágenes [3].

El tono es un atributo del color que describe su pureza mientras que la saturación proporciona una medida del grado en el que el color puro es diluido con luz blanca. La componente de intensidad I , se puede separar de la información del color de la imagen. Las componentes del tono y la saturación

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

B G R

Y M C

1 1 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

B G R

Q I Y

311 . 0

321 . 0 114 . 0

523 . 0

275 . 0 587 . 0

212 . 0

596 . 0

299 . 0

. (2.1)

. (2.2)

20/168 están relacionadas con el modo en que los humanos perciben el color. Esto hace que los algoritmos se basen en la percepción del ojo humano. Este modelo usa coordenadas cilíndricas. La saturación es proporcional a la distancia radial, el tono (H) (Figura 2.3) es una función del ángulo en el sistema de coordenadas polares y la intensidad es la distancia a lo largo del eje perpendicular de las coordenadas polares.

I=1

Blanco Escala de grises

Puramente saturado

P H

S

Cian Blue Intensidad

Amarillo Red

Green

Magenta

Negro I=0

Figura 2.3. Modelo HSI.

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• HSV (“hue, saturation,value”)

Este modelo es similar al HSI [2] salvo que la intensidad varia de negro a blanco en un único prisma (Figura 2.4).

H P

Rojo Verde

Intensidad

Negro (V=0)

2.3. PROCESAMIENTO DE IMÁGENES EN COLOR FALSO

Se asigna un color a imágenes monocromas basándose en varias propiedades del contenido de nivel de gris [1].

• División de la Intensidad y Codificación del color

Consiste en que la imagen se presenta como una función bidimensional de la intensidad y el método se puede interpretar como la colocación de planos paralelos al de coordenadas de la imagen; así cada plano “divide” (Figura 2.5) a la función en el área de intersección. Si se asigna un color diferente a cada lado del plano, cualquier píxel cuyo nivel de gris esté por encima del plano se codificará con un color, y cualquier píxel inferior al plano se codificará con otro.

A los niveles que están sobre el propio plano se les puede asignar arbitrariamente uno de los dos colores.

Azul Blanco (V=255)

Figura 2.4. Modelo HSV.

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2.4. PROCESAMIENTO DE IMÁGENES EN COLOR REAL

Para referirse a una imagen de color real [1] se proporciona el numero de bits utilizados en la representación del color. Una imagen de color de 24 bits indica que se utilizan 24 bits para almacenarla. A menudo los bits están distribuidos por igual entre las tres componentes del color de la imagen. Por ejemplo, cuando se ocupan 8 bits por color quiere decir que cada píxel de la imagen tiene valores en el intervalo [0,255]. Se ha hecho la suposición de que los píxeles RGB (Figura 2.2) tienen valores en el intervalo [0,1]. Estos dos intervalos se dan por la representación de 8 bits que considera valores entre 0 y 255 con incrementos de 1 ó de forma equivalente, tomavalores entre 0 y 1 con incrementos de 1/255.

Figura 2.5. División de la intensidad y codificación del color.

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2.5. ESPACIOS A COLOR

• L*u*v*

Este espacio es una derivación del espacio CIE XYZ y un punto de referencia. El punto de referencia es el blanco [xn, yn, zn] cuyo valor en el vector RGB es igual a [1, 1, 1] transformado a los valores del vector XYZ como se indica a continuación:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

B G R

Z Y X

990 . 0 010 . 0 000 . 0

011 . 0 812 . 0 117 . 0

200 . 0 310 . 0 490 . 0

Se ilustra el espacio L*u*v* en la siguiente Figura 2.6:

La componente brillante L* está definida como una raíz cúbica de la luminancia (Y) [4]:

La definición de L* es que se aplica a un segmento cerca del negro para (Y/Yn)≤

0.008856 pero no es importante para fines prácticos. L* tiene un intervalo [0,100]. Para calcular u* y v* en la computadora son envueltas por cantidades intermedias como u’, v’, u’n y v’n se muestra:

⎩⎨

⎧ − >

= Y Y otrocaso

Y Y si Y

L Y

n

n n

3 / 1 3 / 1

*

) / ( 3 . 903

008856 .

0 /

16 )

/ ( 116

Figura 2.6. Espacio L*u*v*.

, (2.4) L^*

u^*

v^*

, (2.3)

24/168

Finalmente se obtienen las formulas de u* y v* así:

• L*a*b*

Este modelo se parece al anterior solo que cambian las formulas para los parámetros a* y b*, son las siguientes:

ya que debe satisfacer la siguiente ecuación x/xn, y/yn, z/zn > 0.01

2.6. MODELOS DE RUIDO

El ruido es una información no deseada que contamina la imagen. Aparece el ruido cuando se obtiene de diversas fuentes. El proceso de adquisición de la imagen digital, que convierte una imagen óptica en una señal eléctrica continua que luego es muestreada, es el primer proceso por el cual el ruido aparece en imágenes digitales. En este proceso hay fluctuaciones originadas por fenómenos naturales que añaden un valor aleatorio al valor exacto de la intensidad para un determinado píxel [2].

Algunas veces las imágenes digitales deben ser corrompidas artificialmente en orden que determinen el funcionamiento de varias técnicas de filtrado. La generación de ruido artificial es necesario para aplicaciones artísticas (la simulación de un ruido en una película granular). La mayoría de los generadores de ruido serán basados en generadores de números aleatorios uniformes.

n n n

n n

n n n

n

n X Y Z

v Y Z Y X

u X

Z Y X v Y Z Y X u X

3 15

9 3

15 4

3 15

9 3

15 4

+

= + + ′

= +

′

+

= + + ′

= +

′

] ) / ( ) / [(

200

] ) / ( ) / [(

500

16 ) / ( 116

3 / 1 3

/ 1

*

3 / 1 3

/ 1

*

3 / 1

*

n n

n n

n

z z y

y b

y y x

x a

Y Y L

−

=

−

=

−

=

) (

* 13

*

) (

* 13

*

n n

v v L v

u u L u

− ′

= ′

− ′

= ′

. (2.5)

. (2.6)

, (2.7)

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• Ruido Impulsivo

El ruido que afecta la transmisión de la imagen en un canal se presenta por diferentes fuentes que pueden generarlo [5]. Por ejemplo fenómenos realizados por el hombre, tales como sistemas de ignición de carros, máquinas industriales en la cercanía del receptor, trasciendes de conmutación en líneas de potencia y los conmutadores no protegidos. Las causas naturales como la luz en la atmósfera, también pueden afectar el proceso de transmisión. El ruido de transmisión es conocido en el caso de imágenes blanco y negro como “sal y pimienta”, y este modelado usa una distribución para los impulsos aleatorios.

El modelo de ruido impulsivo [4] considerado comúnmente es como sigue:

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧ −

=

Σp p ad probabilid con

d d d

p p ad probabilid con

d s s

p p ad probabilid con

s d s

p p ad probabilid con

s s d

p ad

probabilid con

s

x n

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) 1 (

) (

3 2

1

2 3

1

1 3

2

donde:

n(x) es la señal ruidosa, s=(s1, s2, s3) es el vector de color libre de ruido, d es el valor impulso y

3 2

1

p

1

p p

p

_Σ = − − −

donde:

∑

= 3 ≤

1

1

i

pi es el grado de ruido impulsivo de contaminación. El impulso d puede tener entre valores positivos y negativos. Se asume además que d>> s1>> s2>>

s3 y que las funciones delta están situadas en (-255,+255). De este modo, cuando un impulso se añade o resta forzando al valor del píxel fuera del rango [0,255], el recorte se aplica para forzar al valor de ruido de corrupción a estar dentro de un rango entero especificado por la aritmética de 8 bits.

, (2.8)

, (2.9)

26/168 La ecuación 2.9 que se aplica al procesamiento de imágenes a color, esto debido a que su distribución es uniforme en toda la imagen y su rango va de [0,1], es la siguiente [6]:

⎩⎨

⎧

= −

p ad

probabilid con

j i s

p ad probabilid con

j i j f

i

g (, ) 1

) , ) (

, ( donde:

f(i,j) son los impulsos de ruido y aparecen con la probabilidad p; s(i,j) es la imagen original y g(i,j) es la imagen distorsionada.

• Ruido Gaussiano

Este se enfoca al ruido [7] de tipo térmico en el cual se asume que el ruido escalar del sensor, en la naturaleza es blanco gaussiano, teniendo la siguiente función de distribución de probabilidad:

Los tres sensores de colores deben de tener la misma media de magnitud de ruido igual a cero con un ruido constante de varianza σ² sobre la entrada del plano de la imagen. Tenemos que el vector de perturbación de ruido en el espacio a color RGB está denotado como p=(r²+g²+b²)^1/2 , donde r,g,b son las cantidades de perturbación escalares (magnitudes) en los canales cromáticos rojo, verde y azul respectivamente. Se asume que las señales corrompidas con ruido en los tres canales a color no son correlacionadas. Entonces la función de distribución de probabilidad para el ruido blanco gaussiano en imágenes a color es:

2.7. TIPOS DE RUIDO

Los tipos de ruido son:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ − ₂²

2

exp 2 2

) 1 ( ),

, 0

( σ PDF p x πσ σ^x

N _n , (2.11)

2 / 1 2 2 2 2

2

) 2 (

2 exp

1 x y p p r g

p

prr rg ⎟⎟ = − −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

= _α

σ σ

π ^{, (2.12)}

, (2.10)

27/168

• Ruido Aditivo

donde:

f(i,j) es la imagen original, n(i,j) es el ruido y g(i,j) es la imagen corrompida por ruido [6].

• Ruido Multiplicativo

donde:

f(i,j) es la imagen original, n(i,j) es el ruido y g(i,j) es la imagen corrompida por ruido [6].

• Ruido Mezclado

donde [11]:

g(i,j): es la imagen distorsionada.

f(i,j): imagen original a color con las tres señales que varían con el ruido aditivo.

n(i,j): modelado como un ruido gaussiano blanco con media cero.

nI(i,j): modelado como un ruido impulsivo.

pI : es la probabilidad de contaminación por ruido impulsivo.

2.8. MEDIDAS DE DISTANCIA

Estas medidas de distancias [4] cuantifican entre dos p-dimensiones de señales que son generalizadas por la métrica Minkowski (Norma Lq).

• Norma Lq

Esta definida por dos vectores xi y xj :

) , ( ) , ( ) ,

(i j f i j n i j

g = +

) , ( ) , ( ) ,

(i j f i j n i j

g =

⎩⎨

⎧ + −

= n otro caso

p ad

probabilid con

j i n j i j f

i g

j i I

I

) , (

1 )

, ( ) , ) (

, (

( )

^q

p

k

k q j k i

M i j x x

d

/ 1

1

) ,

( ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑

=

, (2.13)

, (2.14)

, (2.15)

, (2.16)

28/168 donde:

P es la dimensión del vector, xj y xi son los vectores de la imagen, k es el k- ésimo elemento; y q es el valor con que se evaluará la distancia.

• Distancia City-Block (norma L1)

La distancia entre dos P dimensiones de vectores es considerada para ser la sumatoria de valores absolutos entre sus componentes:

• Distancia Euclideana (norma L2)

La distancia entre dos P dimensiones de señales es el conjunto para ser la raíz cuadrada de la sumatoria de las distancias cuadradas a lo largo de sus componentes:

• Distancia Tablero de Ajedrez (norma L∝)

La distancia entre los dos P dimensiones de vectores, es considerada igual a la distancia máxima a lo largo de sus componentes:

2.9. CRITERIOS OBJETIVOS DE CALIDAD PARA EL FILTRADO

• NMSE (“Normalized Mean Squared Error”)

∑

=

−

= ^P

k

k i k

j x

x j

i d

1

) , (

( )

²

1

) ,

(

∑

=

−

= ^P

k

k i k

j x

x j

i d

k j k

k xi x

j i

d_∞(, )=max −

( ) ( )

( )

∑∑

∑∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

= ₁

0 1

0

2 1

0 1

0

2

) , ( ), , ( ), , (

) , ( ' ), , ( ' ), , ( ' ) , ( ), , ( ), , (

M

i N

j M

i N

j

j i B j i G j i R

j i B j i G j i R j i B j i G j i R NMSE

. (2.17)

. (2.18)

. (2.19)

, (2.20)

29/168 donde:

M y N son las dimensiones de la imagen,

(

R(i, j),G(i, j),B(i, j)

)

y

(

R'(i, j),G'(i, j),B'(i, j)

)

denotan el vector de la imagen original y la estimación en el píxel (i,j) respectivamente [5].

El error medio cuadrático normalizado [8] es una medida estándar usada en investigaciones para la evaluación de experimentos, este criterio suministra una relación de la cercanía entre dos imágenes digitales explotando las diferencias en la distribución estadística de los valores del píxel.

• MSE (“Mean Squared Error”)

∑∑

⁻

=

−

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − + − + −

= ¹

0 1

0

2 2

2

3

) , ( ' ) , ( ) , ( ' ) , ( ) , ( ' ) , 1 ^M (

i N

j

j i B j i B j i G j i G j i R j i R MSE MN

donde:

(

R(i, j),G(i,j),B(i, j)

)

y

(

R'(i, j),G'(i, j),B'(i, j)

)

denotan el vector de la imagen original y la estimación en el píxel (i,j) respectivamente [5].

El error medio cuadrático [9] es el criterio que nos representa una medida objetiva de la desviación del promedio cuadrado para encontrar la estimación del valor verdadero (es la medida más común para comparar la calidad del filtrado entre la imagen original y la filtrada).

• PSNR (“Peak Signal to Noise Ratio”)

La relación pico de señal a ruido es el criterio usado para comparar el rendimiento de supresión de ruido de diferentes filtros [5] , está dado en dB.

donde:

MSE es el error medio cuadrático.

El PSNR [11] no es más que una medida estandarizada a un valor pico, este valor es el máximo (255) que puede tener el píxel en uno de los planos de la

MSE dB

PSNR ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛(255)² log

10

, (2.21)

, (2.22)

30/168 imagen, ya sea el plano R, G ó B. Se tiene un criterio de comparación que sirve para analizar diferentes imágenes.

• MAE (“Mean Absolute Error”)

∑ ∑

⁻

=

−

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − + − + −

= ¹

0 1

0 3

) , ( ' ) , ( ) , ( ' ) , ( ) , ( ' ) , 1 ^M (

i N

j

j i B j i B j i G j i G j i R j i R MAE MN

donde:

(

R(i, j),G(i,j),B(i, j)

)

y

(

R'(i, j),G'(i, j),B'(i, j)

)

denotan el vector de la imagen original y la estimación en el píxel (i,j) respectivamente [5].

El error medio absoluto [9] es el criterio para evaluar la preservación de contornos y detalles finos debido a que está correlacionado con el sistema visual humano.

• NCD (“Normalized Color Difference”)

donde:

[

^{2 * 2}

( )

^{* 2}

]

^1/2

* (L*) (u ) v

E Luv = + + es la norma o magnitud del vector del píxel de la imagen original no corrompida en el espacio L* u* v* y M,N son las dimensiones de la imagen.

La diferencia de color normalizado [10] es el criterio que estima el error perceptual entre dos vectores de color, la percepción humana del color no puede describirse usando el modelo RGB, por lo tanto, el criterio NMSE definido en el espacio de color RGB no es apropiado para cuantificar el error perceptual entre imágenes, de todo esto, los espacios de color perceptualmente uniformes son los mas apropiados para definir medidas precisas de error perceptual, la conversión del espacio a color RGB no lineal al espacio L* u* v* . Los valores no lineales RGB de la imagen original y la imagen filtrada son convertidos a los

∑∑

∑∑

−

=

−

=

−

=

−

=

Δ

= 1 0

1

0

* 1

0 1

0 M

i N

j

Luv M

i N

j

Luv

E E NCD

, (2.23)

, (2.24)

31/168 correspondientes valores L* u* v*. En el espacio L* u* v* la componente L*

define la brillantez, y las componentes u* y v* juntas definen la cromaticidad. En un espacio a color uniforme, tal como el espacio L* u* v*, el error de color perceptual entre dos vectores de color está definido como la distancia euclídeana entre ellos dado por:

[

^{( L*)2 ( u*)2 ( v*)2}

]

^1/2

E_Luv = Δ + Δ + Δ

Δ

donde ΔE_Luv es el error de color y ΔL*,Δu*,Δv* son las diferencias en las componentes L*,u*,v* respectivamente, entre los dos vectores de color bajo consideración. Una vez que el error de color se encuentra para cada uno de los píxeles de las imágenes bajo consideración, se estima la diferencia de color normalizada (NCD).

• MCRE (“Mean Chromaticity Error”)

[ ]

MN

j i f j i f C MCRE

M

i N

j

∑∑

⁻

=

−

= = 1

0 1

0

) , ˆ( ), , (

donde:

M, N, f(i,j) y fˆ(i,j) denotan las dimensiones de la imagen, el vector de imagen original y el vector de imagen estimado en (i,j) respectivamente,

[

^{f (i, j), fˆ(i, j)}

]

C es el error de cromaticidad [5] entre los vectores f(i,j) y )

, ˆ(i j

f , el cual está definido como la distancia ppˆ entre los dos puntos p y pˆ, los cuales son los puntos de intersección de f(i,j) y fˆ(i,j) con el triángulo de Maxwell (Figura 2.7) respectivamente.

, (2.25)

, (2.26)

32/168

2.10. ORDENAMIENTOS EN EL ESPACIO VECTORIAL

• Ordenamiento Marginal

Se ordenan a lo largo de cada P dimensiones independientes [4].

x1(1)≤x1(2) ≤ . . . ≤x1(n)

x2(1)≤x2(2) ≤ . . . ≤x2(n)

. . .

xp(1)≤xp(2) ≤ . . . ≤xp(n)

El vector x1=[x1(1) , x2(1) , ... , xp(1)]^τ consiste de los elementos mínimos en cada dimensión, y el vector xn=[x1(n) , x2(n) , ... , xp(n)]^τ consiste de los elementos máximos en cada dimensión. El marginal mediano es definido como xν+1=[x1(ν) , x2(ν) , ... , xp(ν)]^τ para n=ν+1, el cuál, tal vez no corresponda a alguna muestra multivariable de la original.

En contraste, en el caso escalar hay una correspondencia uno a uno entre la muestra original xi y el orden estadístico x(i).

Figura 2.7. Triángulo de Maxwell usado para estimar el error de cromaticidad

entre vectores

. (2.27)

(i,j)

fˆ

f p

pˆ

Azul

Rojo Verde

(i,j)

p p ˆ

33/168

• Ordenamiento Condicional

Aquí las muestras, están ordenadas condicionalmente sobre el conjunto marginal de observaciones. Por tanto, una de las componentes marginal, es el rango y las otras componentes de cada vector, son listadas de acuerdo a la posición de su rango.

Las muestras deberían ser representadas como:

x1(1)≤x1(2) ≤ . . . ≤x1(n)

x2(1)≤x2(2) ≤ . . . ≤x2(n)

. . .

xp(1)≤xp(2) ≤ . . . ≤xp(n)

donde:

x1(i) , i=1,2, ... , n que son la estadística de orden marginal de la primera dimensión, xj(i) , j=2,3, ... , p, i=1,2, ... ,n que son las muestras casi ordenadas en dimensiones j=2,3, ... ,p condicionándolas sobre el ordenamiento marginal de la primera dimensión.

Esas componentes no son ordenadas, sino que simplemente son listadas de acuerdo al rango. Su ventaja de este ordenamiento, es que el ordenamiento de un escalar es requerido para definir la estadística de orden de la muestra del vector.

• Ordenamiento Parcial

Los subconjuntos de datos, son agrupados formando el convexo mínimo de la corteza. La primer corteza convexa es formada cada que el perímetro contiene un número mínimo de puntos, y el resultado de la corteza contiene todos los otros puntos del conjunto dado. Los puntos a lo largo de este perímetro son denotados grupo uno; esos puntos forman el extremo del grupo, los puntos del perímetro están entonces descartados, y el proceso se repite.

Los nuevos puntos del perímetro son denotados grupo dos, y entonces removidos en orden para el proceso para continuar.

, (2.28)

34/168

• Ordenamiento Reducido

Cada observación de xi es reducida más simple, es decir, el valor escalar significa alguna combinación de las muestras de los valores. El conjunto x1, x2, ... , xn puede ser ordenada en periodos de los valores Ri=R(xi), i=1,2, ... , n. El vector xi el cuál, produce el valor máximo R(n) puede ser considerado como un límite.

Este tipo de ordenamiento no puede ser interpretado en la misma manera como el ordenamiento escalar convencional como no hay un vector de muestras absoluto de mínimos ó máximos.

Dado que el ordenamiento está basado en la función de reducción, los puntos cuales divergen desde el centro en direcciones opuestas que debieran ser el mismo orden de rango.

La función de reducción que se emplea más en el ordenamiento reducido, es generalizada por la distancia:

donde:

x es un parámetro de locación para el conjunto de datos, Γ es un parámetro de dispersión con Γ^-1 que se aplicaba en la diferencia de pesos de las componentes de la observación e inversamente relacionada a la variabilidad de la populación.

Los parámetros de la función de reducción, pueden ser dados por valores arbitrarios como x =0 y Γ=1 ó ellos pueden ser asignados a la media verdadera μ y la dispersión Σ.

• Ordenamiento Vectorial

Los principios del sub-ordenamiento pueden ser usados para el rango ó algún tipo de datos multivariados. Cada ordenamiento debería satisfacer los siguientes criterios:

) (

) (

) , ,

( x x x x

¹

x x

R Γ = −

^τ

Γ −

^{, (2.29)}

35/168 1. El ordenamiento propuesto debería se útil desde una perspectiva de

estimación robusta, permitiendo la extensión de operaciones escalares de los filtros de estadística de orden a color, y el dominio.

2. El ordenamiento propuesto debería preservar la noción de niveles, variando los extremos que fueron presentes en el caso de ordenamiento escalar.

3. El ordenamiento propuesto, debería tomar en consideración los tipos de datos multivariados que son usados. El sistema de coordenadas de RGB será usado a través del trabajo de filtrado de imágenes a color, el ordenamiento se le debería dar igual importancia a los canales de color primarios y también considerar toda la información contenida en cada uno de los tres canales.

La medida agregada de un punto xi desde los otros puntos:

∑

=

= ⁿ

j

j i

i R x x

x Ra

1

) , ( )

( es usada para el rango. Las cantidades escalares Rai=Ra(xi) son entonces el orden de rango de la magnitud y los vectores asociados serán correspondientemente ordenados.

Ra1≤Ra2≤ ... ≤Ran

x(1)≤x(1)≤ ... ≤x(n)

La salida del procedimiento de rango, depende críticamente sobre un tipo de dato desde el cuál, se calcula en la computadora, y la función R(xi, xj) seleccionada para evaluar la similitud s(i,j) ó distancia d(i,j) entre los dos vectores xi y xj

2.11. CONCLUSIONES

• Se presentó los diferentes modelos de color que existen en el procesamiento de imágenes a color. El modelo en que basaremos nuestra tesis será el RGB (“red, green, blue”) por su fácil implementación a la programación.

, (2.30)

36/168

• Analizamos los modelos de ruido (ruido impulsivo y ruido aditivo gaussiano) para reducirlos y obtener lo mejor posible en la calidad de la imagen ya que se pretende que se parezca a la imagen original.

• Se presentan los diferentes criterios objetivos (MAE, NMSE, MSE, PSNR, NCD y MCRE) para evaluar los filtros que veremos en el siguiente capítulo, con las imágenes contaminadas por ruido y por lo tanto, analizaremos la calidad de la imagen .

• Para realizar los filtros se analizaron los diferentes ordenamientos que existen en la literatura y los cuales ocupamos para la realización especifica de los algoritmos de cada uno de ellos.

REFERENCIAS

[1] Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods, Tratamiento Digital de Imágenes, 1996, ed. Addison Wesley.

[2] Gonzalo Pajares & Jesús de la Cruz, Visión por Computador, 2002, ed.

Alfa –omega.

[3] Jorge Lira Chavez, Introducción al Tratamiento Digital de Imágenes, 2002, ed. Fondo de Cultura Económica.

[4] Venetsanopulus & Plataniotis, Color Image Processing and Applications, ed. Springer.

[5] Rosales Silva, “Diseño e Investigación de los Filtros Robustos No Lineales para el Procesamiento de Imágenes a Color”, Tesis de Maestría en Ciencias de Ingeniería en Telecomunicaciones, IPN de México, E.S.I.M.E- Zacatenco, Enero 2004.

[6] Pitas, Digital Image Processing Algorithms and Applications, ed. Wiley, 2000.

37/168 [7] Seymour Lipschutz, Probabilidad (Teoría y Problemas), Serie de

Compendios Schaum, ed. Mc. Graw Hill, 1971.

[8] Vardavoulia, Andreadis & Tsalides, “A New Vector Median Filter for Colour Image Processing”, Pattern Recognition Letters, vol. 22, 2001, 675-689.

[9] W.K. Pratt, Digital Image Processing, Willey, New York, N.Y, 1991

[10] Lazhar Khriji, Moncef Gabbouj, “ Adaptive Fuzzy Order Statics- Rational Hybrid Filters for Color Image Processing”, Fuzzy Sets and Systems, vol.128, 2002, 35-46.

[11] Xu, Zhu, Peng & Wang, “Adaptive Fuzzy Switching Filter for Images Corrupte by Impulse Noise”, aceptada para aparecer en Pattern Recognition Letters, Abril 2004, 1-7.

 

 

 

 

 

 

 

 

38/168

  CAPITULO 3    FILTROS   MULTICANALES   PARA IMÁGENES   A COLOR 

Este capítulo lo enfocamos al estudio de los filtros investigados y a sus ecuaciones matemáticas, las cuales nos dan un comportamiento estimado del filtro.

Estos filtros muilticanales sirven para disminuir el ruido de diferente naturaleza y para preservar los detalles finos y bordes de las imágenes a color.

39/168

3.1. TÉCNICAS DE PROCESAMIENTO NO LINEAL

Existen diversas técnicas para el procesamiento digital de imágenes a continuación mencionaremos algunas de ellas:

• Técnicas basadas en Polinomios

Los filtros polinomiales [4] más usados son los filtros de segundo orden de Volterra que han sido aplicados al filtrado de imágenes a color , al modelado no- lineal de canales en telecomunicaciones y al procesamiento de señales multicanales geofísicas.

• Filtros Volterra

Son una causa no lineal de sistemas continuos invariantes en el tiempo con memoria finita y pueden ser modelados por series de Volterra [12] continuas de orden finito y memoria finita que a continuación se describe:

k k

k T

k T

T T T

dt dt t t x t t x t t h

dt dt t t x t t x t t h dt t t x t h h t y

...

) ( )...

( ) ,..., ( ...

...

) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

(

1 1

1 0 0

0

2 1 2 1

2 1 0

2 1 1 1 0

1 0

−

− +

+

−

− +

− +

=

∫

∫

∫∫

∫

donde:

las funciones multidimensionales hk(t1,...,tk) son los kernels de las funciones Volterra que son asumidos para ser simétricos con respecto a sus variables.

Similarmente, una causa no lineal de sistemas discretos invariantes en el tiempo con memoria finita y pueden ser modelados por series de Volterra discretas de orden finito y memoria finita que se describe como:

Una de las propiedades importantes de las series de Volterra basadas en los filtros es que la salida de los filtros continuos y discretos de Volterra son

, (3.1)

. (3.2)

∑

∑

∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

− +

+

−

− +

− +

=

1

0

1 1

1

0

1

0 1

0

2 1

2 1 2 1

0

1 1

1 0

) ( )...

( ) ,..., ( ...

...

) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

(

1

1 2

1

N

m

k k

k N

m

N

m N

m N

m

k

m n x m n x m m h

m n x m n x m m h m

n x m h h n y

40/168 funciones lineales con respecto a los coeficientes. La no linealidad de los filtros es introducida para formar la correlación de las señales de entrada. La propiedad de linealidad permite aplicar mucha teoría de sistemas lineales, incluyendo filtrado adaptivo lineal, series de Volterra basados en filtros no lineales. Una desventaja de los filtros Volterra es que no pueden ser usados como modelos robustos de no linealidad debido a su saturación y discontinuidad.

La salida del filtro Volterra de segundo orden con coeficientes asimétricos está dado por:

donde:

N es la longitud de memoria del filtro. La relación lineal mencionada permite escribir la ecuación de la notación del vector como sigue:

) ( ) ( )

(n w n x n

y = ^T

donde:

w(n) es el vector de los coeficientes del filtro incluyendo el kernel lineal w1 y el kernel no lineal w2.

• Técnicas Homomórficas

Los filtros homomórficos [1] se usan en las imágenes digitales y el procesamiento de señales. Estos filtros sirven para eliminar el ruido multiplicativo y el ruido de señales dependientes que existen en el procesamiento de imágenes a color, procesamiento de imágenes satelitales multicanales e identificación de huellas digitales. La característica básica de estos filtros es que usan las transformadas no-lineales relacionadas con señales aditivas y entonces su proceso se hace por filtros lineales que estos a su salida se hacen por medio de la no-linealidad inversa.

, (3.3)

, (3.4)

∑∑

∑

⁻

=

−

=

−

=

−

− +

−

= ¹

0 1

0

2 1

2 1 2 1

0

1 1

1

1 2

1

) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

(

N

m N

m N

m

m n x m n x m m w m

n x m w n

y