Estudio estadístico de variantes de empaquetamiento de avance frontal

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas. Facultad Matemática Física Computación. Estudio estadístico de variantes de empaquetamiento de avance frontal. Autor: Raimel Santos Rubio. Tutores: Lic. Roberto Luis Roselló Valera. Tutores: Lic. Irvin Pérez Morales.. 2009.

(2) Dictamen. Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Ciencias de la Computación, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.. Firma del autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del tutor. Firma del Jefe del Laboratorio..

(3) What's this script do? > unzip; touch; finger; mount; gasp; yes; umount; sleep. Hint for the answer: Not everything is computeroriented. Sometimes you're in a sleeping bag, camping out with your girlfriend. IRC Networks. I.

(4) A mis padres… A Sule, por ser parte de mi vida… A Liliaesther, porque lo pidió… II.

(5) Agradecimientos: A Ruper, uno de mis hermanos… A Yusnel, por su solidaria ayuda… A Recarey, por su apoyo constante… A Murry y Richiel, por disociarme… A Alian, por su digna conducta… A Aliet, por sus emails…. III.

(6) Índice Introducción ..................................................................................................................................................................... 1 Capítulo 1: Estado del arte ............................................................................................................................................ 5 1.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 5. 1.2. Generalidades de la simulación numérica en medios discontinuos ........................................................ 5. 1.3. Generalidades del Método de Elementos Discretos .................................................................................. 7. 1.4. Revisión bibliográfica sobre algoritmos pa ra el empaqueta miento de pa rtículas. .............................. 8. 1.5. Estudios de empaquetamientos ..................................................................................................................14. 1.6. Formulación del MED. ...................................................................................................................................19. 1.7. Técnicas auxiliares. ........................................................................................................................................19. 1.8 Detección de contactos.................................................................................................................................20 1.8.1 Búsqueda de vecinos (búsqueda global).........................................................................................20 1.8.2 Detección de intersecciones (búsqueda local). .............................................................................22 1.10. Aplicaciones del MED...............................................................................................................................23. 1.11. Conclusiones parciales .............................................................................................................................23. Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. ...............................................................24 2.1. Introducción ....................................................................................................................................................24. 2.2. Algoritmo general de empaqueta mien to. .................................................................................................24. 2.3. Algoritmos geo métricos y características de las pa rtículas. ..................................................................27. 2.4 Algoritmo de búsqueda de vecindad. .........................................................................................................28 2.4.1 Algoritmo No Binary Search (NBS). ..................................................................................................28 2.4.2 Definición de las celdas......................................................................................................................30 2.4.3 Ubicación de la geometría dentro del espacio de celdas. ...........................................................30 2.5. Criterios de búsqueda de la próxima partícula pivote. ............................................................................34. 2.6. Criterios de búsqueda de las partículas vecinas al pivote. .....................................................................36. 2.7 Técnicas estadísticas para evaluar la estru ctu ra del empaquetamiento de pa rtículas. ...................40 2.7.1 Relación entre la densidad del empaquetamiento y la densidad de área en un plano cortante. ...............................................................................................................................................................40 2.7.2 Evaluación de la aleatoriedad...........................................................................................................42 2.7.3 Examen de la homogeneidad............................................................................................................43 2.7.4 Análisis de la isotropía a nivel micro y macro. ...............................................................................43 2.8. Descripción del código. .................................................................................................................................46. 2.9. Conclusiones parciales. .................................................................................................................................50. Capítulo 3: Análisis de resultados. ............................................................................................................................51 3.1. Introducción. ...................................................................................................................................................51. 3.2 Desempeño de las variantes de los algoritmos implementados. ..........................................................51 3.2.1 Comparación en cuanto a la fracción de volumen del empaquetamiento. .............................53 3.2.2 Comparación en cuanto a la velocidad media de generación. ...................................................57. IV.

(7) 3.2.3. Curvas de tiempo de los empaquetamientos. ...............................................................................62. 3.3 Caracterización estadística de los empaqueta mientos ob tenidos. .......................................................66 3.3.1 Distribución espacial de los centros de las partículas. .................................................................67 3.3.2 Comprobación de la Aleatoriedad de los empaquetamientos. ..................................................69 3.3.2.1 Comportamiento de la fracción de volumen local. ............................................................70 3.3.3 Comprobación de la Homogeneidad de los empaquetamientos. ..............................................74 3.3.4 Comprobación de la Isotropía de los empaquetamientos. .........................................................74 3.4. Conclusiones parciales. .................................................................................................................................75. Conclusiones...................................................................................................................................................................76 Recomendaciones. ........................................................................................................................................................77 Referencias Bibliográficas ...........................................................................................................................................78 Anexo ...............................................................................................................................................................................81. V.

(8) Introducción. /1. Introducción En las últimas décadas se han venido desarrollando y empleando las técnicas de modelación para investigar los fenómenos físicos-naturales que ocurren a nuestro alrededor. Especial interés se tiene en el desarrollo de métodos numéricos y de generación del medio para resolver complejos problemas de la geometría. computacional,. la. mecánica. computacional. y. la. ingeniería.. Paralelamente, la modelación y la matemática numérica han adquirido un carácter de método científico general que en esencia, penetra todas las esferas de la actividad cognoscitiva y transformadora del hombre, con particular énfasis en la Ingeniería Aplicada. Los modelos discretos (modelos de partículas) se basan en el estudio de los problemas de ingeniería a una escala cada vez menor, alcanzando en la actualidad un nivel microscópico. El objetivo de acercarse cada vez más al micro-mundo y a la esencia micro-estructural de los fenómenos físicos, permite realizar estudios de seguridad estructural con un alto grado de precisión y fiabilidad, lo que posibilita prever fallos estructurales severos, ya que los modelos discretos permiten detectar fallos a nivel micro. El poder estudiar los estados tensionales y deformaciones a un nivel microscópico posibilita detectar las apariciones de micro-fisuras y discontinuidades que son el comienzo de las cadenas de fallos estructurales y la formación de micro-zonas de plastificación que culminan desafortunadamente, a nivel macroscópico, en el fallo estructural. El desarrollo de nuevas formulaciones que posibiliten la generación del medio a través técnicas de empaquetamiento de partículas, la evolución del Método de los Elementos Discretos (MED) o Método de Partículas y la implementación de nuevos modelos constitutivos (micro -estructurales), constituye un elemento importante dentro del desarrollo de la mecánica computacional. La solución de diversos problemas que propician los fallos estructurales producto de catástrofes naturales. (sismos,. huracanes, deslizamientos. de. taludes, impactos. de. explosivos, etc.) que afectan severamente a la naturaleza, la biosfera, el medio 1.

(9) Introducción. /2. ambiente, el ecosistema y a la vida social de la humanidad son temas de investigación de relevancia internacional. El estudio de estos fenómenos a través de técnicas de simulación, dirigiendo el interés de las investigaciones a la esencia micro-estructural de los fenómenos naturales, propiciará tener un conocimiento más detallado de fenómenos y su incidencia en las estructuras, posibilitando prevenir y mitigar con mayor certeza, seguridad y fiabilidad estos fenómenos, por solo citar aplicaciones en el campo de la ingeniería civil.. Planteamiento del problema. El MED consta de varias fases, entre ellas es de particular interés para el presente trabajo la fase de empaquetamiento, donde se procede al llenado de los cuerpos geométricos con partículas esféricas de diferentes tamaños, las cuales deben encontrarse lo más cercanas posible y sin solaparse entre sí. El proceso de llenado desarrollado en (PÉREZ BRITO, 2007) se rige por distintas variantes heurísticas y cada una de ellas brinda un empaquetamiento diferente en cuanto a propiedades tales como la densidad, homogeneidad, isotropía, velocidad de generación, entre otras. La hipótesis de la presente investigación se puede formular de la siguiente manera: 1. Las variantes algorítmicas usadas en la investigación (PÉREZ BRITO, 2007) son diferentes en cuanto a velocidad de generación y densidad de los conjuntos de partículas. 2. Los empaquetamientos obtenidos son completamente aleatorios e isotrópicos.. Objetivo General. Organizar las distintas variantes algorítmicas implementadas en (PÉREZ BRITO, 2007) en cuanto a los criterios de fracción de volumen y velocidad de. 2.

(10) Introducción. /3. generación, evaluando en cada caso la calidad estructural del empaquetamiento haciendo uso de las técnicas estadísticas formuladas en (HE, 2001) Esto se puede dividir en objetivos específicos: I.. Realizar un ordenamiento de las variantes heurísticas en cuanto a velocidad de generación y fracción de volumen del empaquetamiento.. II.. Verificar. la. aleatoriedad,. homogeneidad. e. isotropía. de. los. empaquetamientos obtenidos con dichas variantes.. Motivaciones de carácter práctico. Es necesario saber cuáles son las variantes heurísticas más rápidas y cuáles son las que generan empaquetamientos más densos, para escoger la que mejor se ajuste al empaquetamiento deseado, del mismo modo es necesario poder garantizar que los empaquetamientos que se obtengan sean geométricamente isótropos, especialmente si se emplean para generar medios también isótropos.. Limitaciones y alcance. La investigación está limitada por el hecho de que solo se realizan experimentos con un número finito de distribuciones estadísticas para el radio de las esferas, y esto no permite hacer una generalización de los resultados a todas las distribuciones estadísticas existentes. Otra limitante es que solo se realizan los experimentos con partículas esféricas.. Beneficios de la investigación. Se podrá justificar matemática y estadísticamente el uso de cada variante algorítmica en función del tipo de empaquetamiento que se desee obtener (en cuanto a densidad y velocidad de obtención), y se sabrá si los medios generados son isótropos o no. Si coinciden dos variantes heurísticas que. 3.

(11) Introducción. /4. generan con densidad similar, se decide por la de menos costo computacional (mayor velocidad de generación).. Estructura de la tesis. Este trabajo está dividido en tres capítulos, el primero dedicado al estudio bibliográfico y análisis del estado del arte de la temática, lo que justifica el desarrollo de la investigación. En él se exponen los antecedentes y el estado actual del tema, destacándose los fundamentos teóricos principales. El segundo dedicado a la descripción de la formulación del algoritmo de generación objeto de estudio, así como a la descripción detallada de las técnicas estadísticas expuestas en (HE, 2001) para su posterior implementación. El tercer capítulo está orientado al análisis de los resultados obtenidos en el estudio realizado.. 4.

(12) Capítulo 1: Estado del arte. /5. Capítulo 1: Estado del arte 1.1 Introducción El Método de Elementos Discretos (MED) es un método numérico que se aplica al análisis de medios discontinuos. Este método simula el comportamiento mecánico de un sistema conformado por una colección o sistema de partículas dispuestas arbitrariamente. Este modelo considera las partículas como elementos discretos que en su conjunto conforman el sistema complejo de partículas. Estos elementos distintos, como también se le conoce, se desplazan independientemente unos de otros e interaccionan entre sí en las zonas de contacto. Esta colección o sistema de partículas puede ser obtenida mediante la aplicación del propio MED, lo cual requiere de una gran cantidad de tiempo. Como solución a este problema, se crean los llamados algoritmos de generación o empaquetamiento del medio como fase previa del MED, con los cuales se obtiene un conjunto inicial de partículas necesario para la simulación.. 1.2 Generalidades de la simulación numérica en medios discontinuos Dada la complejidad del estudio de los medios discontinuos, se hace necesario recurrir a métodos aproximados para la resolución de los mismos. Los métodos de cálculo más empleados son el Método de los Elementos Finitos (MEF), el Método de los Elementos de Contorno (MEC), el Método de los Elementos Discretos (MED) o métodos que incluyen combinaciones de estos. Los métodos ideados originalmente para el análisis de medios continuos se han extendido para tener en cuenta las discontinuidades. En el caso del MEF, se ha trabajado en vertientes como: la representación de juntas o interfaces considerando elementos espaciales, desarrollo de elementos finitos especiales 5.

(13) Capítulo 1: Estado del arte. /6. que se insertan dentro del campo de las discontinuidades fuertes y que emplean funciones de interpolación especiales y el desarrollo de la mecánica de la fractura. El MEC modela discontinuidades embebidas en un medio continuo . Las técnicas del MED son las formulaciones que por lo general describen mejor el comportamiento de los medios discontinuos. Estas técnicas están orientadas principalmente al estudio del micro-mundo empleando modelos de partículas. Esto último permite realizar estudios de seguridad estructural con un alto grado de precisión y fiabilidad. Este aspecto posibilita prever fallos estructurales severos, al poderse detectar fallos a nivel micro-estructural (aparición de microfisuras y grietas, su evolución y concatenación). La modelación y simulación numérica de medios discontinuos o continuos empleando el MED o una combinación de este con el MEF u otro método numérico, es uno de los temas que está de boga en el campo de la ingeniería. Originalmente, este enfoque de modelación ha estado dirigido a resolver problemas de ingeniería a una escala macro-estructural. En la actualidad, ha surgido una tendencia de estudiar las leyes del micro-mundo, por lo cual, la modelación y la simulación numérica se han extendido a una escala microestructural. Estas dos tendencias de trabajo posibilitan clasificar los métodos empleados para la modelación y simulación numérica en dos grandes grupos que toman en cuenta la escala o nivel de estudio (Fig. 1):. Modelación Numérica. Medios continuos. Medios discontinuos. (MEF, MEC, MDF). (MED) Enfoque Macro estructural. Enfoque Micro estructural. Fig. 1 Tendencias de la modelación nu mérica.. 6.

(14) Capítulo 1: Estado del arte. /7. 1.3 Generalidades del Método de Elementos Discretos El MED fue introducido por Cundall (CUNDALL, 1971) y estaba enfocado a la resolución de problemas de geo-mecánica y discontinuidades en medios rocosos abordados con los conceptos de bloques y juntas y con posterioridad a los sólidos por Cundall y Strack en (S TRACK, 1979). La tendencia actual de estas técnicas (MED) está enfocada a posibilitar el estudio del micro-mundo y la esencia micro-estructural de los problemas de la mecánica computacional empleando modelos de partículas y micro -estructurales. En los procesos de modelación de los diversos problemas de la física matemática siempre están presente diferentes etapas como: pre-proceso, cálculo y post-proceso. En la etapa de pre-proceso se realiza toda la concepción del modelo geométrico, modelos de vínculos o apoyos, modelo del material (en este caso modelo de contacto) y los modelos de acciones exteriores o cargas. Unido a estos modelos que en su conjunto definen el modelo físico, en el caso específico del Método de Elementos Discretos, es necesario disponer de un conjunto inicial de elementos distintos que definen la geometría como tal, para el cual se toma como base el modelo geométrico (superficies y volúmenes que lo delimitan). Los modelos restantes que constituyen el modelo físico, se definen sobre el conjunto inicial de elementos discretos. Antes de comenzar la simulación, es necesario tener un conjunto inicial de partículas (empaquetamiento), las cuales en la mayoría de los casos deben ocupar el menor volumen posible. Otra alternativa es lograr empaquetamientos que describan la realidad física los diferentes medios o materiales que existen en la naturaleza. En este segundo caso es necesario lograr obtener conjuntos iniciales de partículas donde exista control de: fracción de volumen, tipo, forma, posición y distribución estadística que deben seguir las diferentes partículas que conforman el medio o material que se modele. Para lograr esto se han desarrollado los denominados algoritmos de empaquetamiento, los cuales tienen. 7.

(15) Capítulo 1: Estado del arte. /8. para el MED tanta importancia como los métodos de mallado lo tienen para el MEF. El MED simula el comportamiento mecánico de un medio formado por un conjunto de partículas, las cuales interactúan entre sí a través de sus puntos de contacto. La disposición de las partículas dentro del conjunto global del sistema es aleatoria, por lo que se puede formar medios con diferentes tamaños de partículas distribuidos a lo largo del conjunto, idealizando de este modo la naturaleza granular de los medios que usualmente se analizan y se simulan mediante esta técnica numérica. En este método a nivel de cada partícula se hace uso de la mecánica del cuerpo rígido y los elementos discretos se consideran elementos rígidos en sí. El modelo constitutivo o de comportamiento del material es establecido en las zonas de contactos entre partículas y queda caracterizado por varios elementos mecánicos como: muelles, pistones y elementos de fricción, etc. El MED puede ser combinado con otros métodos numéricos como el MEF (HAN, 2000a, HAN, 2000b, B ANGASH, 2002, OÑATE, 2004) como una forma de mejorar el resultado de las simulaciones obtenidas solo con la aplicación del MEF. En la combinación de estos métodos, el MED es utilizado para la modelación de las discontinuidades presentes en partes del sistema a simular. A pesar de que el MED es el método que mejor describe el comportamiento de los medios discontinuos, también es utilizado en la simulación de medios continuos (HENTZ, 2004).. 1.4 Revisión bibliográfica sobre algoritmos para el empaquetamiento de partículas. Un empaquetamiento inicial puede lograrse a través de las propias técnicas de simulación del MED, aunque de esta manera se pierde mucho tiempo. Por ejemplo, se puede tardar varios días para obtener un millón de partículas por 8.

(16) Capítulo 1: Estado del arte. /9. esta vía (OWEN, 2003). De ahí surge la necesidad de crear los llamados algoritmos de empaquetamiento o de generación del medio, los cuales no hacen más que colocar un conjunto de partículas aleatorias en el interior de un dominio de manera que no se solapen y estén lo más cercanamente posible entre sí. La generación del medio para resolver problemas de la física matemática con el método de partículas es un tema que se comienza a trabajar muy intensamente en el campo de la investigación científica. En la literatura consultada se han encontrado diferentes protocolos de generación para distintos tipos de partícula. En (FENG, 2003) un algoritmo de avance frontal es propuesto para generar dinámicamente un empaquetamiento aleatorio inicial de discos de diferentes radios en un dominio de 2D. Dependiendo en cómo los límites del dominio están incluidos en el frente inicial y en cómo el frente está formado, dos diferentes versiones del algoritmo, llamadas la forma abierta y la cerrada respectivamente son presentadas. El mantenimiento de dicho frente reduce significativamente la cantidad de discos a considerar cuando se agrega uno nuevo, logrando que la cantidad sea muy pequeña. La forma abierta tiene una inherente complejidad linear. La forma cerrada puede alcanzar la misma complejidad bajo la condición relativamente débil de que el máximo número de discos en el frente es chequeado para encontrar posibles solapamientos. Se muestra cómo con la compresión de la frontera y la compactación gravitacional se logra un posterior aumento de la fracción de área. Este algoritmo pertenece a los métodos de avance frontal que de una forma o de otra necesitan mantener una representación de la superficie frontera entre las dos fases. En 2D no suele ser muy complejo, basta con actualizar una poligonal para lograr esto último. En 3D, en cambio, el asunto es mucho más difícil. Una superficie compuesta por caras triangulares, por ejemplo, es de por sí bastante compleja. y. las. operaciones. de. modificación sobre. ellas. no. pueden. implementarse trivialmente, por si fuera poco, este tipo de representación para la 9.

(17) Capítulo 1: Estado del arte. / 10. superficie no suele ser suficiente para reflejar el carácter de la superficie de avance, dada la irregularidad de las formas que se obtienen en dicha frontera. El empaquetamiento generado no es una ordenación óptima general pero alcanza localmente la más alta densidad eficientemente a gran velocidad, optimizando el tiempo de CPU requerido, por ejemplo se obtuvo una generación de un millón de discos en un procesador a 1 GHz en tan solo 3.77 s. La principal desventaja son las dificultades para hacer la extensión a 3D. La extensión 2D a otras partículas está expuesta en (FENG, 2002), para lo cual sólo es necesario formular cómo detectar la intersección de dos partículas y cómo hallar el centro de la nueva que se agrega al empaquetamiento de manera que esté en contacto exterior con otras dos determinadas de antemano. Estas formulaciones están hechas en (FENG, 2002) para polígonos y elipses. El propósito principal del artículo (FENG, 2002) es extender el algoritmo que se estudia en (FENG, 2003) a otros objetos discretos incluyendo partículas elípticas y poligonales convexas, así como a esferas con diferentes tamaños. En el desarrollo de la investigación se expone el algoritmo para los diferentes tipos de partículas 2D; formulan el procedimiento de construcción de una nueva partícula en contacto exterior con otras dos y la forma de detectar la intersección entre dos de ellas. El algoritmo para el empaquetamiento de esferas es mucho más complejo que en el caso de discos 2D, lo que es fundamentado con varias razones expuestas en este trabajo, dificultades que aparecen en el ámbito 3D no presentes en los problemas 2D. Una buena implementación del algoritmo descrito depende fundamentalmente de un buen diseño de una estructura de datos, de la cual la información tanto topológica como geométrica sea fácil de obtener cuando es requerida. También es necesaria la presencia de un algoritmo de búsqueda eficiente para aumentar significativamente el desempeño del algoritmo en general. 10.

(18) Capítulo 1: Estado del arte. / 11. Los autores declaran poder obtener la fracción de volumen en el intervalo [0.58, 0.6], aunque no especifican con qué distribución estadística de los radios se obtuvieron dichas fracciones de volumen. Los propios autores han desarrollado otro algoritmo en 3D para el empaquetamiento de esferas en (HAN, 2005) que no presenta las dificultades mencionadas y es fácilmente adaptable a otros tipos de partícula. (ALBERT-FERREZ, 2001) es una investigación que hace aportes al MED, incluyendo la problemática del empaquetamiento de partículas. Se formula un interesante problema de empaquetamiento ligado a la optimización y surgido de un problema industrial, consistente en determinar la proporción óptima entre tres tamaños diferentes de partículas esféricas que permita obtener un conjunto de esferas de densidad máxima. Este problema se intenta resolver a través de un conjunto de simulaciones con el MED, en cada una de las cuales las esferas se dejan caer en un contenedor y luego se les aplica una vibración para aumentar la densidad. Se presenta además el modelo matemático del problema de empaquetar esferas dentro de un cilindro dado logrando la densidad máxima posible, en forma de un problema de optimización no convexa con restricciones cuadráticas y función objetivo lineal. Sin embargo, como bien aclara el autor, dicho modelo solo tiene un valor teórico, debido a que su complejidad no permite aplicarlo a conjuntos de una gran cantidad de esferas. El problema matemático de identificar los pares de partículas que interactúan y localizar precisamente dónde ocurre el contacto es altamente dependiente de la forma de las partículas. Esta investigación se concentra en partículas esféricas y usa triangulaciones dinámicas de Delaunay para rastrear las colisiones. La triangulación está construida en los centros de las partículas y evoluciona para seguir su movimiento. La validez y eficiencia del método de las triangulaciones para búsqueda de contactos solamente se establece para partículas esféricas, y no se realiza 11.

(19) Capítulo 1: Estado del arte. / 12. ninguna comparación de la eficiencia respecto a otros métodos de búsqueda de contactos. En (HAN, 2005) se introduce un algoritmo de empaquetamiento de discos y esferas basado en una idea geométrica de compresión, usando una muy eficiente técnica de búsqueda de contactos para partículas de muy disímiles tamaños. El procedimiento de compresión propuesto es la combinación de tres diferentes estrategias: compresión global, compresión aleatoria y sacudimiento. Como la detección de contactos comprende una mayor proporción del tiempo computacional requerido para un empaquetamiento completo, un algoritmo dinámico de búsqueda basado en células ha sido empleado para alcanzar un buen rendimiento en el proceso de empaquetado. La idea general del algoritmo formulado consiste en generar capas de esferas que se comprimen hasta llenar la geometría deseada. Se presenta un ejemplo numérico en el cual se generaron 26787 esferas en 181s con una fracción de volumen del 52.89%. Aunque el algoritmo formulado es sencillo y eficiente, se puede plantear la hipótesis de que colocar directamente a las partículas en su posición definitiva es un método mucho más eficiente si se logra formular a través de un algoritmo adecuado. Se desarrolla una técnica general de avance frontal en (LÖHNER, 2004) para llenar volúmenes con objetos arbitrarios cercanos entre s í. Para objetos de formas variadas la complejidad computacional y el tiempo de CPU requerido son dos puntos que llevan especial atención. Lo que se hace en este estudio cuando la búsqueda de intersecciones entre dos objetos es muy complicada es aproximar la forma del objeto mismo mediante esferas, lo que reduce el problema a la búsqueda de contactos entre esferas lo cual es mucho más simple. La entrada necesaria consiste en la especificación de la distancia media puntual en el espacio y una triangulación inicial de la superficie. En esta formulación cada objeto es quitado del frente activo uno a uno y, si es posible, 12.

(20) Capítulo 1: Estado del arte. / 13. rodeado por nuevos objetos admisibles. Esta operación es repetida hasta que no queden objetos activos. Dos procedimientos para obtener la óptima densidad en el empaquetamiento son discutidos: colocación de objeto más cercano (durante la generación) y mover o agrandar (después de la generación). El primero de estos casi triplica el tiempo de CPU requerido pero todavía se considera competitivo en comparación con el cómputo de contactos directos y deposición usando gravedad. Diferentes patrones de deposición pueden ser logrados mediante la selección del orden en el que los objetos son eliminados del frente activo. Los tiempos muestran. que. para. objetos. simples. como. esferas. el. esquema. es. considerablemente más rápido que con generadores de volumen de malla basados en la técnica del avance frontal, haciendo posible generar grandes (>106) y aun óptimas nubes de puntos en cuestión de minutos en una PC. Para objetos más generales, el desempeño puede decaer dependiendo en la complejidad de los chequeos de penetración. En esta publicación (LÖHNER, 2004) algunos ejemplos están incluidos, aspectos que demuestran las capacidades de la técnica desarrollada. Se muestran ejemplos además de la formulación con partículas tales como elipses, colisiones de esferas o partículas aproximadas por estas últimas. La formulación tiene una desventaja principal: al agrandar los objetos para lograr una mayor densidad, se pierde el control sobre la distribución estadística que siguen las dimensiones de estos. Por lo demás, en los ejemplos presentados en (LÖHNER, 2004) se aprecia una alta eficiencia desde el punto de vista computacional, además de la posibilidad de aplicación a una gran variedad de problemas. En (ROSELLÓ VALERA, 2007) se implementó una biblioteca de clases destinada a ser usada en el código presentado en (PÉREZ BRITO, 2007). Están implementados algoritmos para empaquetar en 2D colisiones de círculos, elipses 13.

(21) Capítulo 1: Estado del arte. / 14. aproximadas con círculos, polígonos, y en 3D colisiones de esferas. El algoritmo de generación es independiente del tipo de partícula y el diseño de clases permite fácilmente agregar otros nuevos tipos de estas. En (SAKAGUCHI, 2002) se describen procedimientos de empaquetamiento de partículas a través de simulaciones con el MED. Se afirma que las características macroscópicas de un conjunto de partículas están determinadas no solo por los parámetros microscópicos, sino también por la posición de estas en el empaquetamiento inicial, por lo cual se debe establecer la relación entre métodos de empaquetamiento y las propiedades de los empaquetamientos obtenidos para varios casos con respecto a la calibración de los parámetros del modelo,. y. “más. aún,. se. necesita. investigar. los. mecanismos. de. empaquetamiento detrás de cada sistema de partículas con cierta forma y tamaño”.. 1.5 Estudios de empaquetamientos Los conjuntos de partículas resultado de previos empaquetamientos dan lugar a complejos patrones geométricos que requieren generalmente de modelos matemáticos adecuados y apropiados análisis estadísticos. “El área de investigación matemática que busca proveer dichos modelos y métodos es llamada Geometría Estocástica” (STOYAN, 1995). El libro (STOYAN, 1995) está dedicado principalmente a los procesos de puntos. Estos procesos surgen espontáneamente relacionados con partículas, fibras u otros objetos geométricos. Por ejemplo, un sistema de partículas da lugar a un patrón de puntos generado por sus centroides. En este trabajo se definen varios estadísticos con el objeto de describir la forma geométrica y la variabilidad espacial de sistemas de partículas (por ejemplo la homogeneidad y la isotropía). Su último capítulo está dedicado a la Estereología, la cual es el campo donde están las principales aplicaciones de la Geometría Estocástica. El objetivo de la Estereología es hacer inferencias acerca de las propiedades geométricas de 14.

(22) Capítulo 1: Estado del arte. / 15. estructuras en 3D cuando la información solo está disponible en una forma de menor dimensión vía pruebas lineales, secciones planas o proyecciones de capas finas. Para algunos empaquetamientos en específico, se han realizado estudios muy completos de sus características geométricas. En (BEZRUKOV, 2000) es presentado un análisis estadístico espacial para los empaquetamientos aleatorios simulados de esferas, empleando dos algoritmos diferentes de generación. Los diámetros de las esferas son tomados como constantes o siguiendo una distribución bimodal o lognormal. Características estándares de la estadística espacial son usadas para describir estos empaquetamientos estadísticamente tales como fracción de volumen, la función de correlación de pares del sistema de centros de esferas y la función de distribución de contactos del conjunto unión de todas las esferas. Además de esto los números de coordinación son analizados. En el caso de la distribución lognormal, dos parámetros juegan. un rol. fundamental: µ y σ2, donde la media es dada por m = exp (µ + σ 2); puede ser observado que la fracción de volumen depende muy poco del parámetro de valor medio µ pero en gran medida de la varianza σ, aumentando con esta. La hipótesis de Edward plantea que todas las configuraciones mecánicamente estables son igualmente probables, cuestión relacionada con el estudio de conjuntos de partículas. En (GAO, 2007) se centran en pequeños sistemas de empaquetamientos de discos y obtienen las probabilidades con la cual estas generaciones ocurren. Durante los estudios se emplearon dos protocolos de generación. experimentalmente. relevantes,. un. esquema. de. compresión/descompresión y un flujo cortante casi-estático a presión cero, para evaluar cómo depende la probabilidad del empaquetamiento del protocolo utilizado. El número de discos utilizados en los experimentos fue pequeño (dentro de un rango de 6 a 20) para poder generar prácticamente todas las configuraciones 15.

(23) Capítulo 1: Estado del arte. / 16. estables y medir fiablemente las probabilidades con que ocurren. Los resultados obtenidos muestran diferencias en las probabilidades obtenidas, por lo que la hipótesis de Edward debe ser investigada más detalladamente. Son propuestas nuevas técnicas estadísticas en (HE, 2001) para evaluar estructuralmente empaquetamientos de partículas esféricas de igual radio o de radios distribuidos. La geometría es cortada por una serie de planos cortantes equidistantes paralelos entre sí, la fracción de área en cada plano es usada para analizar la estructura del empaquetamiento y se muestra como con el aumento del número de planos la media de la fracción de área por planos se aproxima al valor de la fracción de área global. La homogeneidad del empaquetamiento se estudia mediante la hipótesis de que las partículas están uniformemente distribuidas dentro de la geometría a llenar; la isotropía es evaluada localmente a través de las proyecciones de los segmentos centro-centro de las partículas que están en contacto y globalmente, con la varianza de las densidades de área en los planos cortantes perpendiculares a diferentes direcciones. La investigación presenta una metodología completa y coherente para evaluar la aleatoriedad e isotropía de un sistema de partículas. Es fácilmente extensible a otros tipos de partículas además de las esféricas y se le pudiera señalar que para el análisis de la homogeneidad, no se propone ningún criterio para fijar un tamaño conveniente de los sub-volúmenes. En el próximo capítulo se hará un estudio más detallado de la anterior investigación así como se mostrará la implementación para un uso práctico de las técnicas estadísticas expuestas. En oposición a las generaciones secuenciales investigadas previamente, en el estudio realizado en (L UBACHEVSKY , 1990) son generados un número (menor o igual a 2000) de discos rígidos en un plano rectangular sujeto a periódicas condiciones de frontera mediante un algoritmo concurrente de generación el cual trata a todos los discos con la misma base. Las partículas desde un comienzo tienen una posición y velocidad aleatoria, mientras se van moviendo crecen uniformemente en tamaño, desde puntos hasta un conjunto de discos 16.

(24) Capítulo 1: Estado del arte congestionados.. La. colección. de. empaquetamientos. muestra. / 17. notables. características geométricas. Estas incluyen (para cantidades elevadas de discos) típicamente texturas poli-cristalinas con fronteras granulares irregulares y fracturas lineales cortantes. La conclusión principal que se puede bosquejar sobre este estudio es que este procedimiento de generación concurrente produce empaquetamientos aleatorios de discos con varias características que muy improbablemente surgirían en una generación secuencial (la presencia de vacantes y fracturas lineales cortantes). Es muy poco probable que una distribución isotrópica pueda surgir en un empaquetamiento extendido creado de esta forma. Se sugiere la extensión de este estudio al empaquetamiento de esferas rígidas. Se hace una investigación en (RYCROFT, 2006) del comportamiento de un flujo de esferas empaquetadas aleatoriamente, empleándose el método de los spots, el cual arrojó los mismos parámetros del flujo de partículas que una simulación con el MED tradicional, con la ventaja de lograr una disminución significativa del tiempo de cálculo. La investigación solamente está realizada con esferas de radios iguales. El problema del empaquetamiento de esferas diferentes radios en un polítopo 3D es analizado en (SUTOU , 2002). En algunas aplicaciones prácticas, se necesita obtener una densidad máxima, lo cual se puede lograr formulando matemáticamente el problema del empaquetamiento como uno de optimización. Dado un conjunto de esferas desiguales y una geometría el objetivo es agrupar las esferas de tal manera de no se solapen entre ellas y que la suma de los volúmenes de las esferas agrupadas sea maximizada. Este problema de optimización puede ser formulado como un problema de optimización cuadrática no convexa con restricciones cuadráticas y función objetivo lineal, siendo algunas variables reales y otras binarias. Se demuestra computacionalmente que el algoritmo propuesto puede obtener la optimización satisfactoriamente hasta un tamaño límite. Aunque se incorporan 17.

(25) Capítulo 1: Estado del arte. / 18. algoritmo heurísticos para fortalecer la eficiencia del algoritmo se tiene la desventaja del alto costo computacional (la cantidad de esferas en cada instancia no sobrepasa las 10), lo cual hace que este modelo matemático no sea apropiado para grandes cantidades de partículas. Una formulación que también permite obtener empaquetamientos de densidad máxima con mucho menos costo computacional se expone en (ALBERT-FERREZ, 2001). Su ventaja respecto a (SUTOU, 2002) consiste en que todas las variables son reales, de ahí que se reporte haber resuelto instancias de hasta 30 discos en 2D (en este caso la dimensión del problema de optimización no aumenta su complejidad). Para. realizar. estudios. de. aleatoriedad. de. conjuntos. de. partículas,. frecuentemente se toman como referencia patrones geométricos ya conocidos, tales como el empaquetamiento aleatorio cercano (RCP, por sus siglas en inglés). A pesar de que este es un término frecuentemente mencionado en la literatura, en (TORQUATO, 2000) se plantea que no está bien definido, y en base a esto se propone el concepto de estado aleatorio de máxima compresión, el cual es definido por el autor de una forma unívoca. También en esta investigación se estudian las características de conjuntos de esferas en posiciones aleatorias. Los principales parámetros estudiados son el orden y la fracción de volumen. Se hace un análisis de las características geométricas de los conjuntos de esferas a través de parámetros numéricos que miden la aleatoriedad de la posición de estas y se llega a relacionar dichos parámetros con la fracción de volumen. Se expresa además que como los conjuntos de esferas que se estudian dependen del protocolo de generación empleado, se hace necesario desarrollar nuevos y eficientes algoritmos que permitan obtener empaquetamientos de este tipo de partícula.. 18.

(26) Capítulo 1: Estado del arte. / 19. 1.6 Formulación del MED. En la literatura existen diversas formulaciones del MED. Las principales diferencias entre estas radican en el tipo de partícula empleado, la formulación del modelo de contacto y el método de búsqueda de contactos. El MED no es más que un conjunto de herramientas que se combinan para posibilitar una simulación computacional de cuerpos que interactúan entre sí bajo las leyes de Newton y un modelo constitutivo de contacto. El estado del arte de estas herramientas se describe a continuación. El MED también puede encontrarse combinado con otros métodos tales como el MEF. En (MUNJIZA, 2004) se plantea que existe una gran cantidad de problemas de medios discontinuos que involucran cuerpos individuales (elementos discretos) que se pueden deformar, fallar, fracturarse e incluso fragmentarse. Tales elementos discretos se denominan “elementos discretos deformables”, siendo la mencionada deformación, falla, fractura y fragmentación modelada a través del MEF.. 1.7 Técnicas auxiliares. Usualmente las partículas que conforman los empaquetamientos usados en el MED están definidas por parámetros aleatorios. El estudio (SAUCIER, 2000) es una librería que permite generar valores de variables aleatorias para una amplia clase de distribuciones estadísticas. Su documentación es un manual que incluye detallada información sobre las distribuciones mencionadas, en las cuales hay tanto distribuciones discretas como continuas. Adicionalmente se formulan varios test estadísticos que fueron utilizados para medir la calidad de la generación de variables aleatorias. Otra librería numérica con una gran cantidad de funciones es la GNU Scientific Library (GALASSI, 2006), programada en C. Esta permite generar no solo valores de variables aleatorias de una amplia clase de distribuciones continuas o discretas, sino que también tiene implementados una gran variedad de métodos 19.

(27) Capítulo 1: Estado del arte. / 20. numéricos. Entre las rutinas disponibles se encuentran la de números aleatorios, de optimización y de ecuaciones diferenciales, entre otras.. 1.8 Detección de contactos. La detección de contactos o interacciones de cada partícula con sus vecinas consta de dos fases. La primera es una búsqueda global, y consiste en identificar todos los posibles elementos localizados en una vecindad con los cuales es posible que haya interacción, mientras que la segunda es una búsqueda local, en la cual se selecciona entre todos los casos posibles, los que en realidad cumplen la condición.. 1.8.1 Búsqueda de vecinos (búsqueda global). La búsqueda global se realiza para identificar los posibles pares de partículas que pueden estar en contacto. Existen herramientas para tal propósito tales como la detección de colisiones jerárquica expuesta en (MÖLLER, 1999), que es un esquema general que incluye como caso particular algoritmos como el OBBTree y el k-DOPTTree, basados en una jerarquía de volúmenes acotadores. En (ALBERT-FERREZ, 2001) se emplea la formulación de las triangulaciones dinámicas de Delaunay con el caso de esferas para el mismo propósito. Tiene la ventaja de que sirve para saber la distancia a la que se encuentran las vecinas de una partícula, y en dicha investigación, se prueba su validez y eficiencia. La investigación (MUNJIZA, 1998) presenta una formulación de un algoritmo de búsqueda global no binaria (NBS, por sus siglas en inglés) en la cual se divide el espacio en celdas de lado igual al diámetro máximo de las partículas y luego se mapea el centro de estas en las celdas correspondientes. Para evitar un alto costo en cuanto a memoria de rápido acceso (RAM), se utilizan listas enlazadas, lo cual es mucho más útil cuando el conjunto de objetos es poco denso o cuando dichos objetos están en movimiento. Se demuestra teóricamente y vía experimentos numéricos que el tiempo total de detección de contactos es 20.

(28) Capítulo 1: Estado del arte. / 21. proporcional al número total de partículas y no depende de la densidad del conjunto formado por estas. La principal desventaja del NBS es que está diseñado para objetos de tamaño similar. Se hace una introducción en (PÉREZ BRITO, 2007) al problema del contacto mencionando que hasta ese momento el algoritmo de mejor desempeño era el de búsqueda no binaria de Munjiza (MUNJIZA, 1998), con la desventaja de que este último solo es eficiente para objetos de tamaño semejantes (el mismo año los autores publicaron (PÉREZ BRITO, 2007), el cual es un algoritmo NBS que supera esta dificultad). Para esta ocasión se propone el DESS, basado en un ordenamiento de las partículas en el espacio, con un rango primario y un rango esclavo, necesitándose hacer, para cada objeto que se le quieran buscar los vecinos, una búsqueda binaria que reduce significativamente la lista de posibles vecinos. Mediante simulaciones computacionales se llega a la conclusión de que el DESS es superior al NBS para objetos de tamaño diferente, aunque para una gran cantidad de objetos suficientemente grande, el NBS es superior. Según (MUNJIZA, 2004), “el algoritmo C-grid de Williams (PERKINS, 2001) es en esencia el mismo que el algoritmo de detección de contactos NBS de Munjiza (MUNJIZA, 1998), excepto que cuando se ensamblan las listas conectadas, los elementos discretos son puestos dentro de las listas de acuerdo a las coordenadas mínimas y máximas de sus cajas acotadoras”. En (SAMET, 1994) se formulan métodos de búsqueda jerárquicos, tales como el oct-tree, basado en una descomposición en forma de árbol de octantes del espacio. Una exposición teórica mucho más general y exhaustiva de la búsqueda de rangos aparece en (GOODMAN, 1997), donde se encuentran descritas en detalle las principales instancias del problema de búsqueda de rangos.. 21.

(29) Capítulo 1: Estado del arte. / 22. 1.8.2 Detección de intersecciones (búsqueda local). Una vez determinados los posibles pares de partículas que pueden estar en contacto es necesario verificar, para cada par, si los elementos se interceptan o no. Con círculos y esferas la verificación es inmediata (hay intersección si y solo si la distancia entre los centros es menor o igual que la suma de los radios), y para partículas formadas por unión de círc ulos o unión de esferas también (dos de estas se interceptan si y solo si algún elemento que compone a una se intercepta con algún elemento que compone a la otra (LÖHNER, 2004). Representar las partículas mediante elementos más simples (conjunto de esferas) permite reportar el contacto con una fiabilidad aceptable y con mucho menos costo computacional, en (LÖHNER, 2004) se plantea que los elementos discretos pueden ser representados mediante uniones de esferas, y se pone un ejemplo de un tubo, una elipse, un tetraedro y un cubo aproximados de esta manera.. 1.9Códigos del MED. Existen varios códigos del MED. Uno de ellos es YADE, una plataforma para métodos numéricos que incluye el MED, el MEF y el Método Geométrico Lattice (MGL), implementados en C++. Las principales ventajas son que se pueden agregar nuevos modelos numéricos sin tener que modificar ni siquiera una línea en C++; se pueden acoplar numerosos métodos de simulación dentro de la misma plataforma de simulación, como por ejemplo, el MED y el MEF y que además con la filosofía de código open-source (el código puede descargarse gratis desde una página web), la comunidad de usuarios colabora y mejora el software. Quizás el único inconveniente de YADE es que en (KOZICKI, 2008a, KOZICKI, 2008b), no se menciona que el código esté paralelizado. También existe el UTdem, que es un código de elementos finitos y discretos combinados, del cual en (MOHAMMADI, 2003) se explican las principales características.. 22.

(30) Capítulo 1: Estado del arte. / 23. Otro código de elementos discretos es el PFC (ITASCA, 1999, ITASCA, 2009). Este es un código comercial del MED para partículas de forma arbitraria compuestas por esferas conglomeradas, con una gran flexibilidad y generalidad para definir condiciones de frontera (paredes) y propiedades de las partículas. Incluye varios tipos de modelos de contacto y de amortiguamiento, cálculo automático del paso de tiempo que asegura soluciones estables, un esquema de solución explícita que simula un comportamiento no lineal sin excesivos requerimientos de memoria ni la necesidad de un procedimiento iterativo, además de la posibilidad de paralelizar la simulación. Por defecto, los modelos de contacto que incluye son la ley de Hertz-Mindlin, deslizamiento de Coulomb y enlace de contacto o paralelo. Los modelos de contacto adicionales incluyen: modelo visco-elástico simple, modelo de fractura de Burger y el modelo de contacto de articulación suave. Los modelos de amortiguamiento disponibles son el local no viscoso y el viscoso.. 1.10 Aplicaciones del MED. Existen cientos de aplicaciones del MED a problemas de ingeniería de todo tipo. En (MOHAMMADI, 2003) se menciona una gran cantidad de campos de aplicación de esta poderosa y versátil herramienta numérica. De acuerdo con dicho autor, algunas de las principales categorías son: aplicaciones geomecánicas, medios porosos, materiales granulares, análisis de impacto, planificación del movimiento en robótica y computación gráfica.. 1.11 Conclusiones parciales Como se pudo ver en este capítulo, los algoritmos de avance frontal no han sido abordados en cuanto a la diversidad de patrones geométricos que se pueden obtener con ellos. Esto hace necesario el estudio de los distintos patrones mencionados anteriormente (tanto a nivel micro como macro), así como al desempeño computacional de los algoritmos que permiten obtenerlos. 23.

(31) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 24. Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. 2.1 Introducción Se abordará, en el presente capítulo, los principales aspectos en cuanto a formulación e implementación del algoritmo de empaquetamiento objeto de estudio en esta investigación. Las variantes heurísticas usadas en dicho algoritmo serán descritas en detalle, así como las técnicas estadísticas empleadas para evaluar la calidad estructural del empaquetamiento generado; haciendo especial énfasis en los principales aspectos teóricos tratados en (HE, 2001).. 2.2 Algoritmo general de empaquetamiento. El algoritmo general es el implementado en (PÉREZ BRITO, 2007) y comienza con una etapa de inicialización en la cual se resuelven los parámetros de las partículas iniciales, a partir de las cuales se adicionarán nuevas partículas al empaquetamiento. En un espacio bidimensional son necesarias dos partículas y en el tridimensional tres partículas. Estas se construyen de forma tal que se encuentren ubicadas en el punto más interior de la geometría y que mantengan una relación de tangencia entre ellas. Cada partícula interior a la geometría se considera candidata a ser seleccionada como pivote. El método general puede ser dividido en varios bloques, los cuales cuentan con funcionalidades bien definidas. (Fig. 2). Un primer bloque trata sobre los mecanismos de selección de las partículas pivote, donde cada candidata a pivote se selecciona iterativamente hasta agotar las candidatas, condición suficiente para finalizar la ejecución. Un segundo bloque trata sobre las consultas espaciales, utilizadas para obtener todas las partículas que se encuentren en una determinada región del espacio dentro de 24.

(32) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 25. la geometría. Un tercer bloque trata sobre los mecanismos de refinamiento de vecinos. Este, dado una partícula pivote, resuelve todas sus partículas vecinas haciendo uso de las consultas espaciales y descarta una parte de los vecinos siguiendo un determinado criterio. Un cuarto bloque trata sobre métodos numéricos (SOLVER). Este consiste en calcular los parámetros necesarios para la próxima partícula a partir del pivote seleccionado y las vecinas ya conocidas (en 2D una vecina y 3D dos vecinas). Esto se hace de manera tal que la próxima partícula se enc uentre en contacto con la pivote y las partículas vecinas, validando que la nueva partícula generada no se intercepte con ninguna de las ya generadas. Si la partícula generada es interior a la geometría entonces se considera como una candidata a pivote, y nuevamente se repite el procedimiento descrito hasta agotar todas las partículas del frente activo. Se encuentran otros dos bloques presentes, los cuales son usados desde todo el sistema. Estos tratan los predicados de interioridad, la generación de números aleatorios siguiendo distintos tipos de distribución y estructuras de datos relacionadas con la geometría en general.. 25.

(33) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 26. Fig. 2 Diagrama general del método de empaquetamiento.. De forma general son seguidos los siguientes pasos:. 1. Generar la partícula a ser empaquetada. 2. Seleccionar un frente activo y determinar la posición en la cual la partícula está en contacto justamente con tres en el frente. 3. Verificar si la nueva partícula en esta posición se intercepta con alguna de sus vecinas. Si no ocurre intersección, aceptar esta partícula y regresar al paso 1 para la próxima; en caso contrario rechazar la posición y repetir el paso 2 para otro frente activo. Más formalmente, al algoritmo de empaquetamiento puede ser descrito mediante el siguiente pseudocódigo: Algoritmo para generar un empaquetamiento de partículas. Paso 1) (Inicialización) - Construir cuatro partículas iniciales, e1, e2, e3 y e4, tan cercanas entre sí como sea posible: 26.

(34) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas - E. Cext. / 27. e1 , e2 , e3 , e4. Paso 2) Mientras Cext Paso 2.1) Generar los parámetros aleatorios de la nueva partícula a ser empaquetada Paso 2.2) (Selección de la partícula pivote) ei piv e , para algún e Cext Paso 2.3) Si no es posible construir una partícula con los parámetros generados en 2.1) tangente a ei piv y dos de sus vecinas - Cext. Cext. ei piv. - Ir al paso 2). Paso 2.4) - Construir partícula e E - Cext. Cext  e E. 1. , E. 1. tangente a ei piv y a dos vecinas de esta última. E  eE. 1. La salida del algoritmo es el conjunto E, donde se almacena el conjunto de todas las partículas obtenidas. En Cext se van almacenando las partículas que todavía tienen algún espacio vacío adyacente, donde aún es posible colocar otra partícula más.. 2.3 Algoritmos geométricos y características de las partículas. Los algoritmos de partículas trabajan sobre una geometría, de la cual se debe conocer información relacionada con la interioridad de algunos puntos de interés necesarios para el correcto funcionamiento de los algoritmos de partículas. También se necesita algún tipo de estructura de datos que permita almacenar toda la información geométrica que caracterice la figura o cuerpo que debe ser llenado de partículas. Es de notar que la eficiencia de los algoritmos relacionados con la interioridad de un punto en una geometría puede afectar en gran medida la eficiencia del método de partículas, aunque debe quedar claro que no afecta la complejidad del algoritmo.. 27.

(35) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 28. Existen varias variantes para la representación de una geometría: Mediante puntos y elementos que definan un contorno. Mediante operaciones lógicas entre cuerpos conocidos, encontrado en la literatura como Constructive Solid Geometry (CSG). Mediante funciones implícitas que describan una superficie. En este caso se utiliza una representación de puntos y elementos que definen el contorno de la geometría, no por ser más eficiente sino dado que la presente investigación centra su atención en el método de partículas y no en las complejidades geométricas existentes. Respecto a las partículas, en la presente investigación se brinda una generalización para utilizar el método propuesto con cualquier variante de partícula geométrica que detalle sus características de contacto con la geometría y con otras partículas similares .. 2.4 Algoritmo de búsqueda de vecindad. Volviendo al procedimiento general del algoritmo se recordará que una vez seleccionada la partícula pivote se procede a buscar las vecinas con vista a generar las próximas a partir del pivote y sus vecinas. Una solución inadecuada para la selección de las partículas vecinas sería hacer una búsqueda global analizando todas las partículas existentes hasta ese momento, con lo que se tendría una complejidad de un O( n 2 ).. 2.4.1 Algoritmo No Binary Search (NBS). Este algoritmo es muy rápido aunque para un óptimo funcionamiento utiliza una gran cantidad de memoria (según (MUNJIZA, 1998) la división en celdas pura consume gran cantidad de memoria). La idea seguida es tratar de agrupar familias de partículas por su ubicación espacial, de manera que conociendo su ubicación, se puedan resolver todas las que pertenecen a su familia. Dado que el criterio seguido para definir una familia de partículas está basado en su 28.

(36) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 29. ubicación espacial se debe pensar en relacionar el espacio geométrico con grupos de partículas que se encuentren cercanas entre sí. Se decide una implementación abstracta básica que cuenta con las mínimas funcionalidades que debe tener una implementación para ajustarse al proyecto en caso que en futuras investigaciones se desee implementar otros criterios para resolver los problemas de vecindad. La clase encargada de implementar toda la funcionalidad de búsqueda de vecindad es SearchContact. Esta es independiente de la dimensión en la que se trabaje, ya sea un espacio bidimensional o tridimensional.. Fig. 3 Diagrama de la herencia de clases de SearchContact.. 29.

(37) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 30. 2.4.2 Definición de las celdas. El algoritmo NBS se basa en la descomposición del espacio, dividiéndolo en celdas cuadradas de tamaño 4r donde r representa el radio máximo que p uede tomar una partícula. A cada celda se le asigna un par de números (enteros) de identificación ix ,iy , donde ix. 0,1,2,3,...ncelx 1 y iy. 0,1,2,..., ncely 1. con ncelx. y ncely, con el número total de celdas en las direcciones x e y respectivamente para el espacio bidimensional. Se agrega la componente z de igual manera para el espacio tridimensional, por lo que siempre se podrá construir todo el espacio de celdas conociendo el radio máximo que pueden tomar las partículas y los límites máximos y mínimos de toda la geometría . Función de inicialización del espacio de celdas del NBS: Nombre de la función: inicialice Descripción: Esta función se encarga de formar todo el espacio de celdas definidos por los límites máximos y mínimos de la geometría. Esto no se realiza en el constructor de la clase, ya que la geometría no tiene que conocerse inmediatamente después de comenzar la ejecución del programa. Es decir, una vez que se ha cargado la geometría, debe llamarse a esta función. Sintaxis: virtual void inicialice() = 0;. 2.4.3 Ubicación de la geometría dentro del espacio de celdas. Toda la geometría debe de estar dentro del espacio de celdas ya que las partículas que se encuentren en la supe rficie de la geometría deben tener también una ubicación dentro del espacio de celdas. Partiendo de esta idea se analizarán las siguientes figuras en las cuales se ilustran algunos casos a tener en cuenta para la formulación de una estructura de datos para este problema. 30.

(38) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 31. Suponiendo que ABCD (Véase Fig. 4) sea un polígono el cual se dividirá en celdas, está claro que se debe crear un mecanismo que permita identificar cada celda. Para esto se sugiere que se utilice la división entera por el lado máximo que ocupará una celda, no obstante no pueden aparecer identificadores de celda negativos por lo que es necesario hacer una traslación de la geometría hacia los ejes positivos. De esa manera se podría almacenar dichas estructuras de celda en una lista indexada como las soportadas por la mayoría de los lenguajes de programación. Para esto es necesario trasladar la geometría diferenciando cada caso y guardar la configuración, ya que las partículas tendrán coordenadas reales de la posición exacta donde se encuentran, razón por la que también deben trasladarse hasta la celda que le corresponde y ubicarlas. En el primer caso (a) es necesario guardar las mínimas coordenadas X e Y, para luego restárselas a las coordenadas reales de la partícula que se desea colocar en su celda correspondiente. En el segundo caso (b) es necesario guardar la mínima coordenada Y y la máxima coordenada X registrada en la geometría, para luego restar la mínima coordenada Y y sumar la máxima coordenada X a las coordenadas reales de la partícula que se desea colocar en su celda correspondiente. En el tercer caso (c) es necesario guardar la mínima coordenada X y la máxima coordenada Y registrada en la geometría, para luego restar la mínima coordenada X y sumar la máxima coordenada Y a las coordenadas reales de la partícula que se desea colocar en su celda correspondiente. En el cuarto caso (d) es necesario guardar el módulo de las máximas coordenadas X e Y, para luego sumárselas a las coordenadas reales de la partícula que se desea colocar en su celda correspondiente. Y en el último caso (e) es necesario guardar las mínimas coordenadas X e Y, para luego restárselas a las coordenadas reales de la partícula que se desea colocar en su celda correspondiente igual al primer caso. 31.

(39) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 32. Fig. 4 Cuadrados Espaciales.. Una vez analizado cada caso hay que hallar la parte entera del resultado obtenido después de la transformación para obtener un índice entero de cada coordenada X e Y. Generalizando los casos anteriores se puede realizar el proceso descrito para cada coordenada X, Y e Z aplicando solo las dos reglas siguientes: Si la componente i toma valores solo negativos en toda la geometría entonces el índice entero buscado para esa componente se calcula sumando el módulo de la componente i de la coordenada de la partícula y el valor mínimo tomado por la componente i en la geometría. 32.

(40) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 33. En cualquier otro caso el índice entero buscado para esa componente se calcula restando la componente i de la coordenada de la partícula y el valor mínimo tomado por la componente i en la geometría. donde i representa la coordenada X, Y ó Z. Aún se deben tener en cuenta algunas consideraciones respecto a las partículas exteriores ya que alguna de ellas pudiera quedar fuera del espacio de celdas. Este problema pudiera solucionarse de varias maneras, lo más sencillo sería colocar celdas por defecto y por exceso. Otro problema surge al subdividir el espacio de celdas por un tamaño fijo, pues siempre sobra un intervalo en el cual no cabe una celda, por lo que las partículas que deberían estar ubicadas geométricamente en este lugar estarían en otro o quizás fuera del espacio de celdas, por lo que se recomienda adicionar siempre otra celda para evitar esto. Función para adicionar una nueva partícula al espacio de celdas. Nombre del método: setball. Descripción: Esta función ubica una referencia de la partícula pasada por parámetro en el espacio de celdas definido. Sintaxis: virtual void setball( iParticula * bl) = 0; Argumentos: bl:. Referencia a la partícula a adicionar en el espacio de celdas.. Función relacionada con la búsqueda de vecindades de una partícula. Nombre del método: getListContact. Descripción: Esta función obtiene la lista de partículas vecinas a la partícula pasada por parámetro.. 33.

(41) Capítulo 2: Algoritmo de empaquetamiento y técnicas estadísticas. / 34. Sintaxis: virtual VectPart* getListContact(const iParticula * bl)=0;. Argumentos: bl:. Referencia a la partícula a la cual se le obtendrán sus vecinas.. Valor de retorno: typedef std::vector< iParticula* > VectPart; VectPart: Vector de punteros a iParticula con las partículas vecinas a bl.. 2.5 Criterios de búsqueda de la próxima partícula pivote. Existen una serie de criterios relacionados con la búsqueda de una partícula pivote, los cuales son convenientes para lograr distintos patrones en determinados materiales. Por ejemplo, si se toma como criterio la máxima distancia de la partícula a la geometría de manera que se tomen primero como partículas pivotes aquellas que se encuentren más lejos de la geometría, esto daría lugar a una figura que se rellenaría de adentro hacia fuera. A continuación se exponen una serie de criterios muy básicos, los cuales están enfocados a lograr una generalización que en futuras investigaciones pueda ser extendida. Selección de pivotes considerando la distancia a la geometría. Selección de pivotes considerando el orden en que son conocidos los candidatos a pivotes. Selección de pivotes de forma aleatoria. Las clases que implementan los criterios relacionados con la selección de las partículas pivotes tendrán la responsabilidad de colocar nuevas partículas pivotes en la lista de pivotes. También tendrán la responsabilidad de conseguir la próxima partícula pivote desde la lista de referencias a pivotes. De esta forma. 34.