El concepto de derivada : su enseñanza y aprendizaje con el apoyo de un sistema algebraico computarizado

Texto completo

(1)-. ,.-,, ... C :,_,.1U ,~ ·,. 'JO u,,.. G 2 ··r1 \-····--·f ... 1~ \)04 ºA~~. 2002. 1 ,. '. e·"'. -'V.

(2) EL CONCEPTO DE DERIVADA: SU ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE CON EL APOYO DE UN SISTEMA ALGEBRAICO COMPUTARIZADO. Tesis presentada. Por. MARIO ALBERTO ALARCÓN CORTÉS. Ante la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey como requisito parcial para optar al título de. MAESTRO EN EDUCACION, ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS. Diciembre de 2002.

(3) AGRADECIMIENTOS. El autor desea agradecer a:. El Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y a la Universidad Virtual por las facilidades que le otorgó para cursar la Maestría en Educación.. El Director de Generación, Mtro. José Luis Cadena Garibay por el apoyo brindado a lo largo de los tres últimos años.. A la Mtra. Blanca Silvia López por su asesoramiento a lo largo de los dos cursos de Tesis.. A la Mtra. Elizabeth Ann Wolzak, por la orientación inicial de este trabajo.. A Miguel, Laura, Trini, Reyna y Miguel por su interés y entusiasmo, y el trabajo que llevaron a cabo el cual permitió obtener los resultados iniciales que fueron básicos para este trabajo.. A los diez alumnos participantes en el segundo ciclo por su colaboración y apoyo incondicional.. A todos los maestros de los diferentes cursos de la maestría quienes proporcionaron al autor las herramientas necesarias para llevar a cabo esta investigación.. ¡¡.

(4) RESUMEN. EL CONCEPTO DE DERIVADA: SU ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE CON EL APOYO DE UN SISTEMA ALGEBRAICO COMPUTARIZADO. DICIEMBRE 2002. MARIO ALBERTO ALARCÓN CORTÉS. MAESTRO EN CIENCIAS COLEGIO DE POSTGRADUADO$. Dirigida por la MTRA. BLANCA SILVIA LÓPEZ. El aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares es un problema de carácter mundial que se presenta en todos los niveles escolares. El dominio matemático que logran los estudiantes es escaso, a juzgar por las numerosas publicaciones que reportan altos índices de reprobación y la dificultad que enfrentan los estudiantes en el nivel superior cuando tienen que aplicar las matemáticas aprendidas en otras áreas del conocimiento.. En este estudio se analiza la utilidad de un sistema algebraico computacional (CAS por sus siglas en inglés) como herramienta didáctica para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Derivada, concepto fundamental en el cálculo diferencial, que forma parte del currículo del Colegio de Bachilleres del Estado de México, plantel 05 Valle de Bravo, institución de educación media superior. ¡¡¡.

(5) La metodología empleada fue la investigación-acción en su modalidad de estudio de casos. Se trabajó en dos ciclos de acción en el que participaron 5 y 1O alumnos, respectivamente. Los participantes del primer ciclo trabajaron durante 3 semanas dos horas de lunes a viernes con un diseño instruccional en donde Derive fue una herramienta central. El segundo ciclo de acción se llevó a cabo en un periodo comparativamente menor respecto al primer ciclo y con algunas limitantes. Sin embargo, los resultados obtenidos muestran que la comprensión del concepto de Derivada que se logró con esta forma de orientar el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene ventajas sobre la forma tradicional, como lo demuestra la resolución (en algunos casos de manera parcial) por los alumnos, de ejercicios que no son comunes en los cursos de cálculo, y que antes de la aplicación del diseño instruccional no pudieron resolver.. Las observaciones que se hicieron durante el desarrollo de las actividades, pusieron de manifiesto las ventajas adicionales de Derive, ya que permitió que los alumnos pudieran entablar discusiones acerca del trabajo que tenían que efectuar, algo que en la forma tradicional de enseñanza casi nunca ocurre, y lo que es más importante, comprobar de manera inmediata quien de ellos tenía razón, aprovechando las facilidades que les brindó el CAS utilizado. Estos resultados abren una perspectiva favorable hacia una nueva forma de enseñanza que puede contribuir en la reducción del alto índice de reprobados en los cursos de matemáticas.. iv.

(6) ÍNDICE DE CONTENIDO. Página AGRADECIMIENTOS ................................................................................ .. ii. RESUMEN ................................................................................................... iii. INTRODUCCIÓN ....................................................................................... .. vii. Capítulo 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ............. .. 1. 1.1 Justificación del Estudio ................................................................... .. 1. 1.2 Planteamiento del Problema ...................................................... .. 4. 1.3 Objetivos del Estudio ....................................................................... .. 7. 1.3.1 Objetivo General ..................................................................... .. 8. 1.3.2 Objetivos Específicos ............................................................. .. 8. 2 MARCO TEÓRICO .................................................................................. .. 9. 2. 1 Antecedentes ................................................................................... .. 9. 2.1.1 Antecedentes Históricos en la Enseñanza del Cálculo .......... .. 9. 2.1.2 Dificultades en el Aprendizaje del Cálculo ............................. .. 11. 2.2 Necesidades Educativas en la Sociedad Actual .............................. .. 14. 2.3 Matemáticas y Educación ................................................................ .. 16. 2.4 La Educación Matemática Actual ..................................................... .. 17. 2.5 La Investigación en Educación Matemática ..................................... .. 20. 2.6 Los Sistemas Algebraicos Computarizados (CAS) .......................... .. 22. 2. 7 Evaluación y CAS ............................................................................ .. 30. 2.8 Necesidades dela Investigación en Educación Matemática ............ .. 31. 3 METODOLOGÍA ...................................................................................... .. 36. 3.1 Metodología de Investigación .......................................................... .. 36. V.

(7) 3.2 Etapas de la Investigación-Acción ..................................................... 38. 3.3 Método del Estudio de Casos .......................................................... ·. 39. 3.3.1 Etapas de realización............................................................... 41. 3.3.1.1 Identificación y aclaración de la idea general ............. 41. 3.3.1.2 Reconocimiento y revisión .......................................... 42. 3.3.1.3 Estructuración del plan general .................................. 43. 3.3.1.4 El desarrollo de las siguientes etapas de acción ........ 44. 3.3.1.5 Implementación de los siguientes pasos.................... 45. 3.4 Técnicas y Métodos de Recolección de Información........................ 46. 3.4.1 Pruebas pre-test y post-test............................................. 47. 3.4.2 Cuestionarios ...................................................... ·. ·.. · .. · .. ·.. ·.. ··... 50. 3.4.3 Inventarios................................................................................ 52. 3.4.4 Entrevistas .......................................................... ·.. · .. ·.. · .. ··.. ·····. 53. 4 Resultados .............................................................. ·.. · .. ········.. ·.. · .. · .. · .. ·.. ··. 55. 4.1 Prueba Pre-Test................................................................................ 55. 4.2. Prueba Post-Test .................................................. · .. · ........ ·. 56. 4.2.1 Prueba Post-Test del Primer Ciclo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 56. 4.2.2 Prueba Post-Test del Segundo Ciclo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 57. 4.3 Cuestionario ................................................ ·······················. 58. 4.4 Inventario ............................................. ······························. 60. 4.5 Entrevista ............................................... · .. · .. · .. · .. · .. · .. · .. ·....... 62. 5 Interpretación de Resultados y Discusión ................................ · · ·· ·· · ·. 69. 5.1 Prueba Pre-Test................................................................... 69. 5.2 Prueba Post-Test ...................................... · .. · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · ·· · ·. 71. 5.2.1. Primer Ciclo ............................................ · .. · .. · .. · .. · .. · .. ·. 71. 5.2.2 Segundo Ciclo ...................................... · .. · .. · .. · .. · .. · .. ·..... 73. 5.3 Cuestionario .......................................... ·····························. 74. vi.

(8) 5.4 Inventario .......................................................................... .. 75. 5.5 Entrevista ......................................................................... ... 76. 6 Conclusiones ............................................................................ .. 79. 7 Propuesta ................................................................................ .. 82. 8 Referencias Bibliográficas ........................................................... .. 85. 9 Anexos .................................................................................... .. 89. 9.1 Prueba Pre-Test y Post-Test ............................................... ... 89. 9.1.1 Prueba Pre-Test .......................................................... .. 89. 9.1.2 Prueba Post-Test (Primer Ciclo) ..................................... .. 91. 9.1.3. Prueba Post-Test (Segundo Ciclo) ................................ ... 92. 9.2 Guión de Preguntas Para la Entrevista .................................. ... 94. 9.3 Cuestionario ...................................................................... .. 95. 9.4 Inventario .......................................................................... .. 97. 9.5 Diseño lnstruccional: Algunos ejemplos de actividades realizadas.. 99. vii.

(9) INTRODUCCIÓN. Las matemáticas son una de las asignaturas más importantes en todos los niveles escolares, a juzgar por el tiempo que se dedica a su aprendizaje desde preescolar hasta el nivel medio superior. Sin embargo, el aprendizaje que logran los alumnos no es el esperado de acuerdo con los índices de reprobación; el común de la gente que ha tenido acceso a la escuela no ha desarrollado una cultura matemática que le permita disfrutar de los beneficios que se derivan de su conocimiento. De esta situación tampoco están libres quienes en el nivel superior necesitan de las matemáticas para apoyar otras asignaturas que deben cursar durante su preparación profesional. El porcentaje de alumnos reprobados en todos los niveles escolares y en, prácticamente, todos los países del mundo ha determinado que la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas escolares sea un tema de investigación que se ha abordado desde diferentes perspectivas y enfoques metodológicos.. Uno de estos enfoques considera que la utilización de la tecnología, representada en este caso por una computadora y un software conocido genéricamente como CAS (computer analyzing system), puede reportar enormes beneficios en la enseñanza de las matemáticas escolares, como se ha demostrado en varios proyectos que se están llevando a cabo en las universidades y centros educativos de varios países como Austria, Alemania, Australia, Estados Unidos, España y Francia, entre otros.. La Derivada, fundamental en el estudio del Cálculo Diferencial, es uno de los conceptos de difícil comprensión para los estudiantes de cálculo, entre otras cosas porque en la forma tradicional de enseñanza, su estudio viene precedido.

(10) por la teoría de los límites (lmpedovo 2001 ). Visualizar y transformar las gráficas de las funciones y estudiar su comportamiento local, es una de las ventajas que ofrecen los CAS y que según Llorens (1999) se pueden aprovechar para lograr que los aprendices adquieran este concepto.. Esta investigación tuvo como objetivo abordar la enseñanza del concepto Derivada desde un enfoque diferente al tradicional, utilizando los recursos que ofrecen los CAS. Al mismo tiempo se buscó evaluar las ventajas de este recurso didáctico en el aprendizaje que pueden lograr los alumnos, con relación a este concepto. El CAS utilizado en este estudio fue ™DERIVE (Texas lnstruments) que se consideró el más adecuado atendiendo a su facilidad de manejo y a que ofrece los recursos suficientes para el estudio del concepto bajo estudio. El contexto en donde se desarrolló este estudio se caracteriza por la escasa utilización de recursos tecnológicos en la enseñanza y por alumnos con poca motivación hacia el estudio de la matemática.. En esta investigación se empleó la metodología de la investigación-acción utilizando las técnicas de los estudios de caso. El presente reporte incluye dos ciclos de investigación; en el primero participaron cinco estudiantes que trabajaron durante tres semanas del periodo intersemestral (febrero 2002) con un diseño instruccional elaborado por el autor, que consideró a la computadora y el CAS "DERIVE" como herramienta fundamental. En el segundo ciclo (septiembre 2002), se aplicó el diseño instruccional del primer ciclo con algunas modificaciones producto de la experiencia con el primer grupo de participantes. Los participantes en este segundo ciclo fueron diez alumnos, inscritos en el curso de Cálculo Diferencial en el Colegio de Bachilleres del Estado de México, plantel 05 Valle de Bravo (CoBaEm). viii.

(11) 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. 1.1 Justificación del Estudio. Uno de los problemas que preocupan a la comunidad internacional que trabaja en la enseñanza, son los bajos índices en el aprovechamiento escolar que logran en general los alumnos en las diferentes asignaturas que integran el currículo que los estudiantes tienen que acreditar en los distintos niveles educativos. El aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, no son ajenos a esta situación, antes bien, posiblemente debido a la naturaleza abstracta de algunos de sus conceptos fundamentales, la problemática se acentúa más. Husch (2001) menciona varias iniciativas que se han propuesto en los Estados Unidos con el fin de elevar el nivel de aprendizaje en las matemáticas y en las ciencias en general, en todos los niveles escolares, debido a. 11 •••. la escasez de científicos, ingenieros y. técnicos, testimonio vívido y convincente de la falla del sistema público de enseñanza, para preparar a la gente joven para el futuro, y que esta falla es particularmente seria, tanto en grado como en consecuencia, en matemáticas y en 11. ciencias ... (p. 1).. Alanís (1996) señala que existen dos tipos de enseñanza del cálculo en cuanto al discurso, selección y organización de contenidos a enseñar; el primero pretende que el alumno se apropie de las ideas fundamentales del cálculo presentándolo de manera formal y rigurosa, con base en la hipótesis de que el conocimiento matemático surge de la estructura lógica en la que se pueda colocar. 1.

(12) El otro tipo dominante de enseñanza, se centra en la práctica algebraica y algorítmica del cálculo. Ambas formas dan cuenta del alto índice de reprobación que se observa en la enseñanza de esta rama de las matemáticas. Husch (2000) hace notar que el número de alumnos con bajas calificaciones en los cursos de cálculo, en diversas universidades de los Estados Unidos, ha llegado a ser hasta del 75%. La misma autora comenta que una de las causas posibles que originan esta situación es la falta de concordancia entre el tipo de estudiante universitario (que han cambiado mucho en los últimos 80 años) de esta época y los métodos de enseñanza que han permanecido sin cambios notables.. Wilensky (1993) considera que, con notables excepciones, la enseñanza de las matemáticas en la actualidad no difiere sustancialmente de la forma en que se hacía cien años atrás. La secuencia definición-teorema-prueba que día con día se observa en la enseñanza universitaria es familiar para la mayoría de quienes han pasado por este nivel educativo. En general, la imagen de las matemáticas que se presenta en los salones de clase, es la de un objeto muerto; así que no es necesario preguntarse nada acerca de él puesto que los conceptos necesarios para su estudio ya se han definido en la forma correcta y los teoremas se repiten en la manera en que fueron descubiertos, y por consiguiente se "demuestran" de manera lineal y formal. Esta manera de enseñanza no promueve las ideas matemáticas y la relación que existe con otras ideas no matemáticas; asimismo, rara vez alienta a los alumnos a pensar cualitativamente acerca de esta ciencia y a desarrollar su intuición matemática.. Kehle (1999) señala que motivados por el énfasis que el National Council of Teachers of Mathematics, ha puesto sobre la matemática como razonamiento y comunicación, o la propuesta de Davis (1992) para investigar sobre lo que él 2.

(13) considera como el corazón de las matemáticas, esto es, las ideas matemáticas, más y más investigadores están tomando seriamente la sutil noción de que la matemáticas no son simplemente una colección de hechos y habilidades sino más bien una forma de pensar. Gillman (1997) comenta la forma en que un prominente hombre de negocios recuerda sus cursos de matemáticas, cuando dice que para él, la capacidad de formular y resolver rápidamente y en forma clara cualquier problema ha sido extremadamente útil, y aunque no necesariamente se tenga que emplear una fórmula algebraica, encuentra que las matemáticas superiores fueron el mejor ejercicio que pudo haber tenido para desarrollar los "músculos mentales" necesarios para ese proceso.. lmpedovo (2000) dice que las matemáticas parecen ser la única disciplina en la cual antes de decir cualquier cosa es necesario interrogarse sobre sus fundamentos, sus conceptos primitivos, sus axiomas, sus definiciones; en la enseñanza no siempre se han tomado en cuenta estas consideraciones. Así, el bagaje de los instrumentos de tortura responsables del poco éxito de los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas incluye fórmulas, reglas, ejercicios de consolidación, prescripciones pedantes e insensatas, autoritarismo sintáctico y vacío semántico.. De acuerdo con Wilensky (1993), el advenimiento de las computadoras ha influido sobre la matemática en varias dimensiones, y ha llevado a nuevas formas de pensar en ella. La asociación entre el aprendiz/descubridor matemático y la computadora está transformando la práctica de las matemáticas y posiblemente, en el corto plazo, alterará radicalmente la cultura del aprendizaje matemático.. 3.

(14) Esta situación requiere de la elaboración de una nueva pedagogía en la cual las computadoras y otras herramientas tecnológicas, como la calculadora, tengan una importancia creciente como herramientas didácticas para el aprendizaje de las matemáticas. Alrededor del mundo se está impulsando esta nueva corriente en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas; sin embargo la utilización de estas nuevas herramientas plantea muchas preguntas que tienen que ser resueltas, antes de que tomen el lugar preponderante que, al parecer, están destinadas a ocupar.. 1.2 Planteamiento del problema. La problemática que se observa en el Colegio de Bachilleres del Estado de México, plantel 05 Valle de Bravo, en los diferentes cursos de matemáticas, es muy semejante a la que se reporta en la literatura y que se resume en el escaso aprendizaje de esta asignatura, con el consecuente alto nivel de reprobados que se presenta semestre con semestre, y generación tras generación.. En cada curso subsiguiente, se observa repetidamente que los conocimientos previos que tienen los alumnos no son suficientes para manejar y aprender los nuevos contenidos de cada uno de los cursos que forman parte del currículo que el alumno debe cumplir para acreditar la secundaria o la preparatoria. La misma observación se puede hacer entre niveles educativos, es decir, los alumnos que ingresan a la preparatoria, en general, tienen escasos antecedentes matemáticos adquiridos en la secundaria y si los tienen, en ocasiones no los manejan bien. Esta situación ha sido documentada por Husch (2001) quien señala que los estudiantes terminan la educación media (High School) con severas deficiencias en matemáticas y ciencias, y muchos de los 4.

(15) estudiantes que ingresan a la universidad no tienen la habilidad necesaria en álgebra básica que les permita asegurar su éxito en los cursos de cálculo.. Seguramente hay muchos factores que originan el escaso aprendizaje que logran los alumnos del CoBaEm (situación que puede ser más general de lo que se cree). En el caso específico del curso de Cálculo Diferencial, que exige conocimientos previos de los cuatro cursos por los que el alumno debe transitar antes de llegar a él, la situación frecuentemente es más crítica. El tiempo semanal que se dedica al aprendizaje del cálculo diferencial es de solo tres horas porque, posiblemente, se da por hecho que los alumnos han adquirido en los cuatro cursos que anteceden a éste, los conocimientos suficientes para abordar con éxito el estudio del cálculo diferencial, y por lo tanto, sin obstáculos de por medio, no debería haber ninguna distracción para el repaso o enseñanza de los temas que deberían estar incluidos en esos conocimientos previos. La realidad es que este supuesto nunca se cumple; los alumnos no dominan las técnicas algebraicas básicas, tampoco tienen los conocimientos necesarios de la trigonometría, ni de la geometría analítica. Los conceptos asociados como el de función tampoco los manejan adecuadamente.. No hay prácticamente nada que indique que las autoridades escolares estén al tanto del problema que representa este bajo nivel de las matemáticas escolares que el alumno adquiere, ni de cuáles son sus causas. Sin embargo, exigen de los docentes resultados aprobatorios en la materia. Es de dominio público en nuestro medio escolar en Valle de Bravo que, en la secundaria, los maestros no deben rebasar un porcentaje mínimo de alumnos con calificación reprobatoria bajo pena de ser investigados y cuestionados en la calidad de la práctica docente que desarrollan. En el CoBaEm no se presenta esta situación de 5.

(16) manera explícita, sin embargo, también las autoridades educativas exigen cifras altas de alumnos aprobados, sin importar el aprovechamiento real que puedan tener. Aparentemente las autoridades educativas del sistema público, y sobre todo, las de más alto nivel, requieren cifras favorables que puedan comunicar a los medios y a la sociedad, aunque éstas no estén apoyadas por una evaluación integrada con instrumentos que permitan medir el aprovechamiento real de los alumnos. Como las autoridades exigen cifras favorables, los directores de los planteles del CoBaEm (seguramente en todo el sistema educativo público se presentan situaciones semejantes) buscan esas cifras para presentarlas a sus jefes inmediatos; de ello depende el presupuesto para el siguiente año escolar y la permanencia en su puesto. De esta forma, la tasa de deserción debe ser lo más baja posible, no importa mucho como se logre este objetivo.. Así los docentes del CoBaEm se encuentran ante este panorama: por una parte tienen que cumplir con lo que las autoridades escolares y educativas les exigen a toda costa, esto es que los alumnos no deserten y obtengan calificaciones aprobatorias en todas las materias, y por otra parte, tendrían que lograr que los alumnos adquieran el conocimiento que cada uno de los programas del currículo escolar señala. Para lograr este objetivo es necesario: 1) Que el docente adquiera una conciencia profunda de la importancia del trabajo que desempeña; y 2) Que busque por todos los medios a su alcance tener una práctica docente que coadyuve a que la escuela cumpla con la función que la sociedad le ha asignado; es decir, que los alumnos adquieran aquellos saberes que la misma sociedad ha decidido que son los que éstos deben tener para conducir su vida en sociedad.. 6.

(17) Cumplidas estas dos condiciones, que pueden ser muy difíciles de alcanzar, el problema que representa la alta tasa de reprobados en matemáticas, puede tener posibilidades de resolverse. En caso contrario, la simulación y el aprobar alumnos que no han adquirido el conocimiento que se establece en cada curso, reproducirá la situación de alumnos reprobados cuando se someten a evaluaciones internacionales.. En resumen, la situación que los docentes tienen ante sí, es sumamente complicada. Sin embargo deben buscarse los medios para resolverla . El presente trabajo busca contribuir a dicha resolución, mediante una visión particular de cómo se debe abordar la enseñanza del cálculo diferencial, en el Colegio de Bachilleres del Estado de México, Plantel 05 Valle de Bravo, específicamente de uno de los conceptos fundamentales de esta rama de las matemáticas; la Derivada. De manera paralela y por considerar que la actitud de los alumnos hacia la matemática (que se genera por su experiencia previa con esta ciencia) influye en gran medida en la disposición que tienen hacia el aprendizaje de esta ciencia, se pretende sondear cómo y por qué los alumnos conciben a las matemáticas de la manera en que lo hacen y cómo se podría relacionar esta concepción particular con el bajo desempeño de los alumnos al aprender esta asignatura.. 1.3 Objetivos del Estudio. Alanís (1996) afirma que existe una crisis en la enseñanza del Cálculo que ha dado lugar a una serie de propuestas que pretenden superar está problemática en el nivel universitario. El nivel educativo medio (que corresponde a preparatoria, vocacional o sistemas similares en nuestro país) no es ajeno a esa problemática y también se han hecho esfuerzos por buscar los medios para lograr un mejor 7.

(18) aprendizaje de los conceptos fundamentales del Cálculo. Este trabajo se inscribe en esa línea y tiene como objetivos:. 1.3.1 Objetivo General. Explorar el potencial que puede tener la tecnología computacional, específicamente software tipo GAS (de sus siglas en inglés, computer algebraic systems), como una herramienta didáctica en el proceso de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas escolares.. 1.3.2 Objetivos Específicos. Explorar el manejo del concepto de derivada, así como de otros conceptos matemáticos como el de función que son fundamentales en el estudio del cálculo diferencial, mediante el uso de problemas no rutinarios de cálculo, que implican elementos gráficos.. Determinar cuáles son las ventajas que tiene el empleo de un software del tipo GAS en el aprendizaje del concepto de derivada.. Establecer cuál es la actitud de los alumnos del Colegio de Bachilleres del Estado de México, Plantel 05 Valle de Bravo, hacia las matemáticas y la posible relación que pudiera tener en el aprendizaje de esta asignatura.. 8.

(19) 2 MARCO TEÓRICO. 2.1 Antecedentes. 2.1.1 Antecedentes Históricos en la Enseñanza del Cálculo. La enseñanza del cálculo se inició poco después de que Leibniz y Newton dieran a conocer las nuevas ideas de las que surgieron los principios de esta nueva rama de las matemáticas. Jakob y Johann Bernoulli conocieron el artículo de 1684 y el posterior de 1686 en el que, con pequeños cambios, Leibniz daba a conocer los teoremas estándar del cálculo, incluido el teorema fundamental del Cálculo, en donde se muestra que la diferenciación y la integración son procesos inversos. Leibniz puso énfasis en que el nuevo Cálculo proporcionaba un algoritmo universal para resolver los problemas de la tangente y la cuadratura para todas las funciones, incluyendo las trascendentales (Mankiewicz, 2000).. Jakob Bernoulli, contratado como profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea utilizó y enseñó el Cálculo para la resolución de complicados problemas en varias ramas de la ciencia como la ingeniería, la química y la economía (Guillen, 1999). Los primeros antecedentes de la enseñanza del Cálculo en Holanda, se remontan a 1695, cuando Johann Bernoulli presidía el departamento de matemáticas de la Universidad de Groningen (Guillen, 1999). Sin embargo, la enseñanza formal del Cálculo, inicia en Holanda alrededor de 1815, cuando se estableció la Facultad de Matemáticas y Física en las 9.

(20) universidades holandesas, junto a las facultades superiores de leyes, medicina y teología, siguiendo el ejemplo de Francia. En 1826, por ley se estipuló de manera precisa los temas a enseñar y el tipo de profesores aptos para la enseñanza, quienes deberían tener un grado universitario. De esta forma, los graduados en el departamento de matemáticas tenían acceso únicamente a la carrera docente, a diferencia de quienes estudiaban en las otras Facultades "superiores". Jacob de Gelder fue uno de estos profesionales que se dedicaron a la enseñanza y a la escritura de libros de matemáticas para estudiantes desde el nivel secundario. La educación era tomada muy en serio en ese tiempo como se puede apreciar al considerar que "Fonctions Analytiques" de Lagrange y "Ca/cu/ Infinitesimal" de Cauchy, libros clásicos de cálculo, fueron escritos con propósitos educativos (Beckers, 1999).. En Francia, las matemáticas fueron la disciplina más importante en la educación de los ingenieros desde mediados del siglo XVIII, mientras que en Holanda estos cambios se dieron hasta el siglo XIX. Los matemáticos holandeses dieron la bienvenida a la búsqueda del rigor, pero solo para propósitos educativos, y ciertamente no como parte de una búsqueda filosófica. Ellos pretendían que sus matemáticas fueran visuales o abstraídas de la realidad en una forma muy directa y sensible (Beckers, 1999).. La introducción de la enseñanza de los principios del Cálculo en Francia a principios del siglo XX, dio inicio a la enseñanza generalizada del Cálculo en la educación media. La reforma de 1902 buscaba abolir la supremacía de las humanidades clásicas frente a las humanidades científicas, de manera que los programas se adaptaran a la evolución de las matemáticas y las necesidades del desarrollo científico y tecnológico. Esta reforma se inscribe en una corriente 10.

(21) internacional cuyo objetivo era proporcionar al estudiante herramientas potentes para el trabajo científico, influida por la psicología positivista que introdujo una concepción experimental de las matemáticas, con la pretensión de vincularlas con el mundo real y hacerlas útiles para otras ciencias (Albert, 1995).. Albert (1995) señala dos etapas que presentan un enfoque diferente en la enseñanza de los principios del Cálculo. Alrededor de 1960 se buscó darle un enfoque más formal al contenido matemático de los programas. Es en estos años que el término Cálculo aparece por primera vez en los programas, al igual que temas como conjuntos, funciones y límites. En los años de 1980 se dio una contrarreforma, en donde el Cálculo se percibe como un campo de aproximación que permite a los estudiantes introducirse en esta disciplina de manera progresiva; la exploración y la intuición del estudiante se refuerza al centrar su actividad en la solución de problemas.. 2.1.2 Dificultades en el aprendizaje del Cálculo. Alanís (1996) señala que la enseñanza de las matemáticas en las carreras universitarias tiene un carácter puramente instrumental, es decir no es un fin en si mismo, sino un medio para el estudio de otras ciencias, como se puede juzgar por los objetivos que se plantean frecuentemente en cursos como los de Cálculo. Sin embargo, este propósito no se está cumpliendo; la razón, dice este autor, es el tipo de enseñanza que se utiliza. En algunos casos las ideas fundamentales de esta disciplina se presentan de un modo formal y riguroso ya que se considera que el significado del conocimiento matemático surge de la estructura lógica en la que se puede colocar. En otro tipo de enseñanza se le da primacía a la práctica algorítmica y algebraica. Ambos tipos de enseñanza dan cuenta de un alto número 11.

(22) de reprobados, y al mismo tiempo el mejoramiento en la calidad del razonamiento de los alumnos, otro objetivo frecuentemente invocado en los cursos de Cálculo (y de las matemáticas en general) tampoco se está cumpliendo, como se observa en la dificultad que tienen los alumnos para resolver problemas no rutinarios de esta disciplina (Baker, Cooley y Trigueros, 2000).. Las dificultades en el aprendizaje de las ideas del Cálculo fueron el centro de atención del Movimiento para la Reforma del Cálculo que se estableció en los Estados Unidos a principios de 1980. En 1985 Ronald G. Douglas y Steve Maurer organizaron un panel de discusión llamado "La Instrucción del Cálculo, Crucial pero Molesto" en el encuentro de la American Mathematical Society y la Mathematical American Association que tuvo lugar en Anaheim. Más adelante, y como consecuencia de este panel se organizó "La Conferencia para el Desarrollo del Currículo y los Métodos de Enseñanza del Cálculo en el Nivel Universitario", en 1986 en la Universidad de Tulane. La tarea central de la conferencia fue el rediseño de los cursos universitarios de Cálculo, tanto en contenido como en pedagogía (Murphy, 2002).. Dubinsky (2000) clasifica en cuatro formas, la percepción general acerca de como se aprende matemáticas y cuál es su naturaleza: en la primera, que llama el ideal platónico, las matemáticas que deben ser aprendidas son un cuerpo de conocimientos descubierto por nuestra sociedad a lo largo de varios cientos de años, que debe pasar a las generaciones futuras transfiriendo el conocimiento a la mente de los alumnos. Así el papel del maestro es presentar los contenidos matemáticos tan claramente como sea posible a sus alumnos. La hipótesis teórica que subyace en esta creencia es que los estudiantes aprenden de manera espontánea, de modo que basta con presentar a los estudiantes el material de 12.

(23) forma clara, ya sea verbal, escrita o gráfica, y esperar que ellos lo aprendan por sí mismos (Dubinsky, 2000).. En una segunda forma, las matemáticas se conciben como un conjunto de estructuras canónicas, técnicas y algoritmos para resolver problemas estándar. Así, se debe presentar a los estudiantes definiciones de trabajo de estas estructuras y procesos, y luego pedirles que los apliquen en una variedad amplia de situaciones problemáticas estándar, lo cual está de acuerdo con la hipótesis teórica que los estudiantes aprenden matemáticas inductivamente (Dubinsky, 2000).. Una tercera forma, concibe a la esencia de las matemáticas como una herramienta cuyo poder permite describir, explicar y predecir fenómenos, de tal manera que las matemáticas solo pueden entenderse en ese contexto. Los estudiantes, desde esta concepción, aprenden matemáticas de forma pragmática en el contexto de problemas en otros campos. Así que el aprendizaje se logra cuando el maestro presenta diversas situaciones de las ciencias físicas y sociales que requieren de la aplicación del contenido matemático de interés (Dubinsky, 2000).. La cuarta forma, considera que las matemáticas que deben aprenderse son un conjunto de ideas que han creado los individuos que viven en un sociedad. Así que la técnica de enseñanza debería tratar de ayudar a los estudiantes a construir esas ideas por sí mismos, lo cual es consistente con la posición de que los estudiantes aprenden matemáticas constructivamente. Es decir, las personas aprenden matemáticas haciendo construcciones mentales que tienen que ver con situaciones matemáticas (Dubinsky, 2000). 13.

(24) El constructivismo, que se desarrolla bajo la influencia de Piaget, ha producido variantes que tienen en común la idea de que el conocimiento se consigue mediante la construcción de estructuras a partir de piezas existentes, que se han preparado de manera especial para la tarea. El Constructivismo Social, variante con amplia aceptación como paradigma de investigación en educación matemática, se caracteriza porque la ontología que adopta es relativista modificada, su epistemología es falibilista y considera "conocimiento convencional" el que se vive y acepta socialmente, su teoría del aprendizaje es constructivista y enfatiza en la naturaleza constitutiva del lenguaje y la interacción social. Su metodología es ecléctica y reconoce que todo el conocimiento es problemático, no hay ningún punto privilegiado con ventaja. Su pedagogía es ecléctica también; los contextos micro y macro social son inseparables e interactivos, del mismo modo que la construcción interna del yo, las creencias y la cognición (Ernest, 1994).. 2.2 Necesidades Educativas en la Sociedad Actual. La educación es una necesidad social que se ha transformado de acuerdo a la propia evolución de la sociedad humana. La educación permite el desarrollo de las potencialidades específicamente humanas, por ello ocupa un lugar preponderante en las necesidades de la estructura social. En la sociedad actual la educación tiene dos vertientes; como institución y como organización. La reproducción del propio grupo cuyas pautas, roles y relaciones de los elementos que intervienen tienden a reforzarse y mantenerse mutuamente, es una necesidad social que satisface la educación como institución. Por otra parte, la educación como organización formal, tiene como tarea capacitar de forma individual o grupal a los sujetos que forman el conglomerado social (Jiménez y Moreno, 1997). Según Delors ( 1997) "la educación constituye un instrumento indispensable para que la 14.

(25) humanidad pueda progresar hacia los ideales de paz, libertad y justicia social" (p. 9).. Tal vez como en ninguna otra época, estamos inmersos en una serie de cambios vertiginosos que exigen adecuaciones en todos los órdenes de la vida social. Los notables descubrimientos científicos y tecnológicos de las últimas décadas han propiciado una globalización creciente de las sociedades. Globalización que trae consigo una serie de obstáculos que surgen del desarrollo asimétrico entre naciones, sobre todo en el plano económico.. Ante está situación, "la educación tiene la misión de permitir a todos sin excepción hacer fructificar todos sus talentos y todas sus capacidades de creación, lo que implica que cada uno pueda responsabilizarse de sí mismo y realizar su proyecto personal" (Delors , 1997; p. 13). Los aspectos éticos y culturales de la educación deben ser revisados y concatenarse con el desarrollo económico y social necesario para las naciones.. Aunque los medios masivos de comunicación, debido a su influencia creciente en las sociedades modernas, tienden a tomar un papel importante en el proceso educativo, el sistema formal de educación no puede ser reemplazado. Además, éste debe crear en los educandos la necesidad hacia la educación durante toda la vida, particularmente por las necesidades de adaptación a una sociedad cambiante, en donde las personas deben tener una reestructuración continua, tanto en sus conocimientos y aptitudes como en su facultad de juicio y acción (Delors, 1997).. 15.

(26) 2.3 Matemáticas y Educación. Dentro de este marco global, la sociedad requiere de sus integrantes una preparación radicalmente diferente, impuesta por los progresos actuales y esperados de la ciencia y la técnica, así como la creciente importancia de lo cognoscitivo e inmaterial en la producción de bienes y servicios (Delors, 1997). Dubinsky (2000) considera que la abstracción, entendida como cualquier cosa que intenta "tratar con" fenómenos a los cuales no tenemos acceso a través de nuestros sentidos sino que existen únicamente en nuestra mente y en interacción con otros, debe ser un aspecto que la educación formal necesita tomar en cuenta.. La sociedad actual es muy compleja y en ella está presente la abstracción, por ello el sistema educativo debe transformarse y dejar de enfatizar sobre el conocimiento que existe para ayudar a los estudiantes a adquirir la capacidad de aprender, rápida y cabalmente cosas nuevas y aun nuevas concepciones de lo que existirá mañana. El aprendizaje del pensamiento matemático abstracto podría ayudar a los individuos a comprender las ideas complejas que surgen en la sociedad moderna (Dubinsky, 2000).. El trabajo ha cambiado. Las herramientas actuales exigen menos fuerza y habilidad, y más atención, vigilancia y responsabilidad. Parece claro que las aptitudes simbólicas, cognitivas e imaginativas serán más solicitadas. Para estar capacitados y poder enfrentar estos retos, sea en el trabajo o en la ciudad, la gente de hoy tiene necesidad de una formación más amplia y más variada. Las matemáticas se caracterizan por la no especificidad de su campo de aplicación; por ejemplo, lo que los matemáticos llaman un grupo, una variedad o una probabilidad, es extremadamente general y se aplica a una multitud de otras 16.

(27) ciencias. La eficacia sorprendente de los conceptos matemáticos está asociada ciertamente a su abstracción, pero mucho más a su generalidad. Y al lado de la generalidad se encuentra la permanencia de los conceptos matemáticos que una vez que han alcanzado un cierto grado de pureza, lo cual puede tardar un tiempo considerable (años o siglos), se vuelven fijos e inmutables, de tal modo que parecen pertenecer a un mundo matemático que ha existido eternamente: esto se conoce como la ilusión platoniana (Kahane, 1994).. Los cambios en el mundo requieren transformar la manera en que se prepara a los estudiantes para tener éxito. Resolver problemas y razonar adecuadamente son las habilidades con más alto rango en los requerimientos de los empleadores. Los ciudadanos necesitan tener una cultura matemática más amplia para participar totalmente en la sociedad en que viven y tomar decisiones informadas. Cuando los niños de hoy entren al mercado laboral, encontrarán que la mayoría de los trabajos requieren mucho más habilidades matemáticas que en el pasado (Price, 1997).. 2.4 La Educación Matemática Actual. El enfoque tradicional en la enseñanza de las matemáticas ha enfatizado el carácter procedimental de éstas. La mayoría de las lecciones de matemáticas están centradas alrededor de la ejecución de algoritmos. La meta principal de facto en la matemática escolar fue (y es) el aprendizaje y práctica de la capacidad para ejecutar una gran variedad de operaciones matemáticas (Kojol-Volc, 2002).. La concepción corriente de las matemáticas se asocia con cálculos y complejas técnicas algorítmicas. Puesto que los cálculos significan el cambio de 17.

(28) forma de los hechos matemáticos de acuerdo a reglas rígidamente formuladas dependientes del nivel matemático en cuestión, se presume que la representación del hecho matemático ocurre de tal forma que operar con reglas siempre es posible (Schneider, 2001 ), lo cual ha propiciado dificultades didácticas durante el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Se pretende que los estudiantes aprendan a usar las matemáticas pero se ocupa la mayor parte del tiempo y energía enseñando y practicando las herramientas (operaciones) que se necesitan para usarlas. En las lecciones tradicionales de las matemáticas se usa la mayor parte del tiempo para practicar procedimientos de cálculo, poco tiempo para explorar los significados de los conceptos y muy poco para usar las matemáticas (Kojol-Volc, 2002).. En la enseñanza tradicional, las preguntas de examen prueban de manera predominante la aptitud de los alumnos para ejecutar cálculos. Sin embargo, la aplicación de conceptos matemáticos se hace mediante la resolución de problemas matemáticos, que tienen un papel muy importante como una herramienta de generalización dentro del proceso de desarrollo de los conceptos matemáticos en la forma de ejercicios y tareas. Son clave también para el maestro y alumno en la consecución de la retroalimentación acerca de la eficiencia durante el proceso de aprendizaje (Kokol-Voljc, 2002). De ahí el fracaso escolar que se observa, prácticamente a escala global.. La búsqueda de respuestas al resolver un problema otorgan un papel menor a los cálculos, puesto que el enfoque se hace sobre la comprensión de los fundamentos teóricos que subyacen a los conceptos matemáticos. Si el problema requiere abundantes cálculos mecánicos o complicadas estrategias de resolución en varias etapas, la meta del problema se vuelve nebuloso y frecuentemente se 18.

(29) olvida la pregunta original después de completar con éxito los cálculos necesarios (Kokol-Voljc, 2002). Se tiene una evidencia creciente que la mayoría de los estudiantes aprenden mejor cuando las ideas son introducidas en contexto, es decir en situaciones conocidas del mundo real, problemas o estructuras en las cuales las matemáticas afectan. Así, una persona letrada en sentido matemático debe conocer mucho más que una serie de técnicas adquiridas por medio de entrenamiento repetitivo (Price, 1997).. Esta situación ha ocasionado que en diferentes países se estén proponiendo reformas al currículo de las matemáticas, que permitan superar los problemas que dificultan el éxito de los alumnos en su aprendizaje, en los diferentes niveles escolares.. El Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM-National Council of Teachers of Mathematícs) de los Estados Unidos reconoció la necesidad de lograr que las matemáticas se pusieran en un contexto familiar para los estudiantes, de manera que pudieran tener éxito en el estudio de esta ciencia. Este cambio tendría que ser un proceso bien pensado y sostenido. Entre 1989 y 1995 la NCTM propuso varios estándares que fueran usados para estructurar un currículum de las matemáticas que fuera aplicable en todo el país; la filosofía que sustenta este cambio es la creencia de que todos los estudiantes pueden y deben estudiar matemáticas (Price, 1997).. Los estándares se articularon sobre dos filosofías complementarias: una filosofía educacional sobre la necesidad del cambio y una filosofía conceptual para articular los estándares individuales. Los estándares del NCTM se construyeron bajo cinco metas curriculares para los estudiantes: convertirse en un individuo 19.

(30) capaz de resolver problemas, aprender a comunicarse matemáticamente, aprender a razonar matemáticamente, aprender a valorar las matemáticas, y llegar a tener confianza en su propia aptitud (Price, 1997).. 2.5 La Investigación en Educación Matemática. Artigue (1999) señala que la investigación en educación había sido dominada por la preeminencia de la propuesta constructivista que se basa en el trabajo de Piaget. No obstante, actualmente esta propuesta se considera insuficiente, debido a que los procesos de aprendizaje en las matemáticas (y en otras áreas, seguramente) tienen una dimensión social y cultural. La investigación educativa ha evolucionado hasta un punto, considera Schoenfeld (1999), en el cual es posible muchas veces llevar a cabo una investigación en contextos que son de importancia práctica, contribuyendo a la solución de una problemática específica, pero al mismo tiempo es posible contribuir en la comprensión teórica de ciertos aspectos de dicha problemática.. Schoenfeld (1999) considera que la investigación en educación matemática tiene dos propósitos principales: Entender la naturaleza del pensamiento matemático, la enseñanza y el aprendizaje (desde una perspectiva teórica), y usar ese entendimiento para mejorar la instrucción matemática (que es una perspectiva práctica). Señala este autor también, que es necesario cuestionarse acerca de qué es lo que se quiere lograr, qué conocimientos, para qué alumnos, bajo qué condiciones, con qué restricciones.. El uso de la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, es un campo de investigación muy fecundo. Entre la abundante literatura que 20.

(31) existe sobre el tema ( p. ej. Ainley, Nardi, y Pratt, 1999; Asiala, Cottrill, Dubisnky y Schwingendorf, 2001; Hollar y Norwood, 1999; Hoyos, Cappini, Geneves, 1999; o·callaghan, 1998; entre otros) se pueden distinguir líneas de investigación que se han enfocado a la aplicación de diferentes herramientas tecnológicas.. Calculadoras electrónicas de bolsillo (p. ej. en la construcción del concepto de número) o calculadoras graficadoras (p. ej. construcción del concepto de función).. Programas de cálculo simbólico, como Mathematica, Maple, Derive, etc. para el estudio de diferentes conceptos del cálculo, el álgebra lineal o las ecuaciones diferenciales. Programas para el aprendizaje de la geometría (como Cabri), a partir de la construcción de figuras geométricas que pueden llevar hasta la deducción de los fundamentos teóricos de esta rama de las matemáticas.. Aprendizaje de conceptos fundamentales mediante la escritura de programas computaciones escritos en lenguajes apropiados.. Un denominador común en los resultados de estos estudios es que permiten un mejor aprendizaje y manejo de los conceptos matemáticos estudiados y su posterior aplicación, comparado con los resultados obtenidos cuando el aprendizaje se hace de manera tradicional. Las ventajas del uso de estas herramientas radica, de acuerdo con los estudios, en las posibilidades que brindan estas tecnologías (exploración, manipulación de objetos matemáticos, interfaz gráfica que hace más atractivo el estudio de conceptos, posibilidad de reducir los tediosos procesos algorítmicos, entre otros). 21. 000953.

(32) A pesar del éxito relativo que se puede observar en diferentes estudios, hay algunos otros que advierten sobre las dificultades que surgen al usar estas herramientas tecnológicas, puesto que los programas de cálculo simbólico, por ejemplo, no ha sido diseñados para el aprendizaje, sino para los ingenieros e investigadores. Por ello es necesario hacer ciertas mejoras que les permitan ser plenamente útiles como instrumentos para resolver problemas y para el aprendizaje (Gélis y Lenne, 1997). No obstante el uso de estas herramientas aumenta día con día y sus posibilidades de aplicación en la enseñanza de las matemáticas se aprecian cada vez más.. 2.6 Los Sistemas Algebraicos Computarizados (CAS). El número y tipo de problemas que requieren aplicaciones matemáticas ha crecido en los últimos 25 años y se han desarrollado nuevas ramas de las matemáticas, en parte debido al desarrollo de las computadoras y sus aplicaciones. También es posible ejecutar casi todas las técnicas algorítmicas en una calculadora portátil, de modo que el impacto de la tecnología exige la revisión de las matemáticas escolares en todos sus aspectos (Price, 1997).. El desarrollo de la tecnología, debido en gran medida al conocimiento matemático, ha producido nuevas herramientas tecnológicas que han encontrado sus aplicaciones en diversos campos del quehacer humano. Las calculadoras portátiles y las computadoras se usan con más frecuencia en la educación, particularmente a partir del desarrollo de los sistemas de computación algebraica que en inglés se conocen como CAS (computer algebraic systems), y están impulsando una transformación radical, única en la historia de la enseñanza y aprendizaje de la matemática (Drjivers, 2000).. 22.

(33) Los CAS son sistemas que automatizan la ejecución de cálculos algebraicos. Los CAS pueden simplificar expresiones, calcular derivadas e integrales simbólicas, trazar gráficas, resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y matrices. En suma: ellos automatizan la mayoría de las habilidades de cálculo que se enseñan en las matemáticas escolares (Herget, et. al., 2000) . Los CAS, con sus poderosas capacidades numéricas, gráficas y simbólicas, están cada vez más disponibles para los estudiantes de matemáticas (Kendal, Stacey y Pierce, 2002). Los sistemas computacionales algebraicos, influyen la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, abren nuevas dimensiones de enseñanza y provocarán que los docentes cambien los tópicos o el enfoque dentro de los tópicos existentes. La enseñanza y el aprendizaje no deben estar más centrados en la algoritmia, como ha sido hasta ahora en la enseñanza tradicional.. Ya que los CAS ejecutan la mayoría de las operaciones matemáticas mucho mejor (con más rapidez y confiabilidad) que cualquier persona, las metas educativas deben cambiar de ejecutar operaciones matemáticas a usar. operaciones matemáticas. Esta meta está relacionada muy de cerca con comprender el significado de los conceptos matemáticos dentro y fuera de la matemáticas. En las lecciones tradicionales de matemáticas se usa la mayor parte del tiempo para practicar procedimientos de cálculo, poco tiempo para explorar los significados de los conceptos y muy poco para usar las matemáticas (Drjivers, 2000).. Sin embargo, la integración de estas tecnologías plantea ciertas interrogantes: ¿Cómo puede mejorar la comprensión conceptual de las matemáticas el uso de los CAS? ¿Como pueden afectar estos CAS el curriculum? ¿Cuál será el rol de las habilidades con papel y lápiz en los ambientes algebraicos 23.

(34) computarizado? ¿Qué conocimientos previos y habilidades son requeridas en los estudiantes para beneficiarse de la disponibilidad de los CAS? (Djivers, 2000), ¿Qué habilidades de cálculo manual son aun necesarias en los estudiantes que usan calculadoras gráficas o simbólicas o computadoras con sistemas algebraicos computarizados ? ¿Qué deben ser capaces de hacer los estudiantes de forma manual, es decir con papel y lápiz? (Herget, Heugl, Kutzler y Lehmann, 2000). Estás preguntas están teniendo respuesta a través de innumerables investigaciones que se están realizando en todo el mundo.. Herget, et. al (2000) consideran que es importante distinguir entre "realizar operaciones" (que en gran medida puede ser delegado a una calculadora) y "elegir una estrategia" (que una calculadora no puede hacer). El bajo nivel de ejecución de los alumnos de sus habilidades de cálculo (ejecución de algoritmos), que es un problema sin una alternativa viable, puede ser corregido con el uso de los CAS.. Desde 1998 la Universidad de Melbourne ha conformado un equipo de investigación que ha puesto en marcha un proyecto para investigar el uso de los CAS para la enseñanza de cursos de introducción al Cálculo. El propósito principal es desarrollar las bases conceptuales de los alumnos para la diferenciación, especialmente por el uso de representaciones múltiples mediante gráficas, símbolos y tablas con datos de funciones (Kendal, Stacey y Pierce, 2002).. Diseñar un curso donde la compresión sea anterior a los procedimientos fue la característica central del proyecto. Los sistemas algebraicos de cálculo son una herramienta ideal para liberar a los estudiantes del tedio de los cálculos a mano y de los procedimientos algebraicos, y sustituir el enfoque de los cursos. 24.

(35) tradicionales que han enfatizado sobre los procedimientos a expensas de la comprensión de los conceptos relacionados (Kendal, Stacey y Pierce, 2002).. El interés en algunas de estas investigaciones recientes, se ha centrado sobre la comprensión del concepto de diferenciación dando un fuerte énfasis sobre la relación entre las funciones y sus gráficas y entre la diferenciación y la pendiente de tangentes a las curvas. Las pruebas aplicadas ha mostrado que la mayoría de los estudiantes fueron capaces de interpretar una Derivada en términos de la pendiente de una tangente o como una tasa de cambio (Kendal, Stacey y Pierce, 2002).. Leinbach (2002) señala que comprender el significado de una ecuación matemática, modelo o resultado tiene que ver con la aptitud para estimar, con la intuición gráfica o la comprensión de los fenómenos implícitos en el resultado. Sin embargo, el discernimiento más valioso se obtiene cuando se comprenden los parámetros que se usan para definir los objetos matemáticos bajo consideración. Por ejemplo el grado de un polinomio determina la forma general, pero los parámetros definen la calidad del comportamiento del polinomio. En otras palabras, la definición general de una función determina la forma general de un proceso, pero el análisis de los parámetros asociados con la función determina la calidad de los procesos.. La posibilidad gráfica de los CAS permite por ejemplo la justificación de la línea tangente a una curva como la posición límite para líneas secantes a través de un punto fijo y una secuencia de puntos que se vuelven más cercanos cada vez al punto dado, que es una forma inicial de trabajar el concepto de Derivada. La exploración que puede hacer el alumno con el uso de estas herramientas puede 25.

(36) ser más excitante para él que la simple mención por el maestro de este hecho. Cada estudiante puede proponer diferentes puntos sobre la gráfica y una secuencia de puntos diferentes cada uno de los cuales termina en un punto cercano al punto fijo. Aunque la evidencia gráfica es convincente no es una prueba, pero el CAS permite un argumento más sólido luego de que el caso gráfico se ha considerado. Esto mediante el empleo del tratamiento simbólico de la expresión matemática que representa la situación bajo estudio, expresión que el estudiante puede trabajar para diferentes cocientes. La pregunta obvia es qué sucede conforme h se vuelve más y más pequeña en magnitud, lo cual conduce a la idea de límite. Se puede observar también que hay puntos donde la línea tangente es horizontal. Así el estudiante resuelve para aquellos puntos donde la tangente es cero. En el proceso ellos ven que la localización de la cresta y el valle está relacionada con la localización de las raíces de la función cúbica, por ejemplo (Leinbach, 2002).. El uso inteligente de los CAS implica que se debe cambiar no solo la forma de enseñar sino también lo que se enseña y enfatiza en los cursos de matemáticas. Se debe repensar acerca de la necesidad que los estudiantes tienen por las matemáticas. La mayoría de ellos serán consumidores de matemáticas en el mundo mercantil más general, no serán solo usuarios de ecuaciones y manipuladores eficiente de símbolos. Necesitan ser capaces de mirar los procesos como funciones e interpretar el comportamiento y la calidad de los procesos a partir de los parámetros asociados con la función (Leinbach, 2002).. Es esta aptitud la que tendrá más significado a largo plazo que la habilidad algorítmica que se enfatiza frecuentemente. Originalmente las habilidades algorítmicas se desarrollaron a fin de encontrar respuestas y facilitar la 26.

(37) comprensión del comportamiento general de los procesos. Desafortunadamente no todos los alumnos tienen el talento necesario para desarrollar sus habilidades algorítmicas. Debido a que esta aptitud para manejar expresiones matemáticas en forma simbólica requiere tanto esfuerzo, tanto los aprendices como los maestros ven en ella el conocimiento matemático. El resultado es que la matemática se vuelve un conjunto de ejercicios sin sentido en lugar de un medio de comprender la naturaleza de los procesos que afectan su vida diaria. Entender como los parámetros afectan los procesos generales pueden ayudarnos a ajustarlos y controlarlos, o al menos, entender el resultado del proceso y prepararse para los resultados. Sin esta aptitud las personas se convierte en meros seguidores de reglas a merced del resultado. Se pierde la aptitud de poder controlar lo que viene a partir de un entendimiento profundo de lo que ocurre (Leinbach, 2002).. Los sistemas computacionales algebraicos se usan de maneras diversas, entre otras para corroborar respuestas y para manejar cálculos de alta dificultad técnica. Leinbach (2001) encontró que durante la exploración de curvas cúbicas, los estudiantes fueron capaces de comprender un importante desarrollo matemático sin atascarse en los detalles de cálculos complejos. También se adentraron en el proceso de encontrar las raíces de una ecuación cúbica. De esta manera reemplazaron la memorización con comprensión. El trabajo realizado por los alumnos requirió una comprensión de la naturaleza de los polinomios y el papel que los coeficientes de los polinomios tienen sobre la forma de la gráfica. Esto requiere que el usuario de los CAS tenga ciertas habilidades ya que el sistema no hace esta parte de la investigación. En suma, este autor considera que los CAS permiten la oportunidad de disfrutar el desafío de resolver problemas y apreciar el poder del razonamiento matemático.. 27.

(38) Kutzler (2000) hace una analogía entre el movimiento y las matemáticas, que ilustra la utilidad de las calculadoras o computadoras, bajo cierta circunstancias del aprendiz relacionadas con algunas debilidades intelectuales que pudiera tener para enfrentar ciertos problemas que requieren antecedentes específicos para poder ser resueltos. Dice el autor que caminar es un movimiento que requiere poder muscular, así como el cálculo mental requiere poder cerebral, pero a medida que la distancia a recorrer es mayor o más complejos los procedimientos matemáticos, se requieren otros medios de locomoción o herramientas pedagógicas que exigen nuevas habilidades. Estas habilidades matemáticas, generalmente de tipo procedimental, pueden no tenerlas algunas personas y sin embargo, estas habilidades pueden ser compensadas con una calculadora o una computadora. Es necesario, no obstante, tener presente que éstas herramientas tecnológicas producen resultados, pero para que éstos puedan ser útiles, el usuario debe saber como operar con ellos.. La automatización y la compensación son dos usos elementales de las calculadoras o computadoras, que se convierten en herramientas de enseñanza muy valiosas para tópicos como la trivialización, la experimentación, la visualización y la concentración, de especial importancia en la educación matemática (Kutzler, 2000).. La trivialización de operaciones y procedimientos aritméticos o algebraicos y su representación gráfica, es posible debido a que una máquina puede efectuar operaciones muy complejas de manera casi inmediata; por ejemplo, multiplicar dos números de varios dígitos o graficar funciones como y = sen(x/2) + cos (x), que ejecutados de forma manual, además del conocimiento matemático procedimental exigiría, en el segundo caso, habilidades para el dibujo. Esta 28.

(39) trivialización permite enfrentar problemas más complejos y reales, ya que no es necesario "buscar'' problemas que produzcan resultados "agradables" y que eviten que el aprendiz invierta mucho tiempo en la ejecución de operaciones (Kutzler, 2000). Las teorías psicológicas modernas del aprendizaje consideran que éste es un proceso inductivo y que la experimentación tiene un rol muy importante. La enseñanza actual de las matemáticas, no obstante, utiliza un sistema ("definición.teorema-prueba-corolario") desarrollado por un grupo de matemáticos para comunicarse entre ellos. El conocimiento matemático se presenta deductivamente, se invita a los alumnos a aprenderlo y usarlo para resolver problemas en casa o para examen. Esto equivale a querer aprender a caminar, estudiando, comprendiendo y aplicando la descripción científica de los movimientos de los músculos implicados, en lugar de aprender por ensayo y error, como ocurre en la realidad. La fase de experimentación debería completar los métodos tradicionales de enseñanza. Sin embargo, la experimentación con papel y lápiz consumiría mucho tiempo y sería propensa a muchos errores, además que no produciría el número de ejemplos necesarios. Con un asistente electrónico no habría prácticamente límite al número de ejemplos que los estudiantes podrían realizar con la garantía de que los resultados obtenidos serían adecuados (Kutzler, 2000).. La visualización, como una técnica de enseñanza, ha llegado a ser muy importante en varios países en donde se usa para adquirir la competencia de intercambiar entre representaciones, por ejemplo, entre las representaciones algebraica y gráfica de una función matemática. La calculadora o computadora 29.

(40) como una herramienta de visualización hace posible una retroalimentación inmediata, que potencia el efecto de reforzamiento ya que éste sigue inmediatamente a la acción. De cualquier manera, producir gráficas con papel y lápiz es una actividad necesaria porque permite comprender la correspondencia entre la representación gráfica y algebraica (Kutzler, 2000).. La concentración, dice Kutzler (2000), generalmente es interrumpida en procesos que involucran tareas de alto y bajo nivel cognitivo, como la elección de una transformación equivalente y la simplificación de una expresión algebraica, respectivamente, al resolver una ecuación, por ejemplo. Una calculadora puede ejecutar la tarea de bajo nivel y permitir que el alumno se concentre sobre la tarea de alto nivel. Aquí también, experimentar con posibles transformaciones, hace posible ejercitar la fase de aprendizaje experimental, así como la fase de visualización debido a la inmediatez de los resultados al aplicar las transformaciones.. 2.7 Evaluación y CAS. Meagher (2001) considera que en la era CAS es necesario preguntarse como hacer para evaluar el aprendizaje matemático de los estudiantes que tienen acceso a la tecnología CAS. Es importante distinguir en las preguntas que evalúan el conocimiento, cuánto es conocimiento matemático del alumno y cuánto de lo que contienen los ejercicios o problemas están probando la aptitud para usar tecnología. 30.

(41) Kokol-Voljc, (2002) señala que usualmente las preguntas de examen se clasifican en dos grupos: preguntas teóricas y preguntas de aplicación. Algunas preguntas son insensibles al uso de CAS o son de ayuda limitada. Esto es debido a que los cálculos tienen un papel menor en la búsqueda de la respuesta; el enfoque está en la comprensión de los fundamentos teóricos que subyacen a los conceptos matemáticos.. En tareas en donde se usa papel y lápiz, como el cálculo de derivadas o integrales, se consume la mayor parte del tiempo usado para resolver estas preguntas. Por ello tanto alumnos como maestros se centran en probar la ejecución de las operaciones. El uso de CAS reduce el tiempo dedicado a tales cuestiones drásticamente. Así, el uso de GAS cambia el enfoque técnicomecánico-rutinario por otro tipo de trabajo matemático-conceptual-aplicado (Kokol-. Voljc, 2002).. Las preguntas de examen que se plantean con el uso de CAS deben ser analizadas y posiblemente cuestionadas como instrumento de retroalimentación para el docente. Algunas preguntas proporcionan solo una información limitada de lo que el estudiante sabe, ellas prueban las habilidades técnicas del estudiante antes que su aptitudes matemáticas.. 2.8 Necesidades de la Investigación en Educación Matemática. Heugl, (1998) considera que un posible modelo para describir la ruta de los estudiosos en la matemática es por medio de una espiral. Ésta inicia con 31.