Universidad de Sevilla
Escuela Superior de Ingenieros
DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
APUNTES DEL PRIMER PARCIAL DE LA ASIGNATURA
“Tecnología y Componentes
Electrónicos y Fotónicos”
Francisco Colodro Ruiz
Juan García Ortega
Tabla de contenidos:
CAPÍTULO 1 ... 5
INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS... 5
1.1 SÓLIDOS CRISTALINOS.MATERIALES SEMICONDUCTORES... 5
1.2 EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO.NÚMEROS CUÁNTICOS. ... 8
1.3 ÁTOMOS COMPLEJOS... 11
1.4 BANDAS DE ENERGÍA... 13
1.5 PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR:ELECTRONES Y HUECOS... 16
CAPÍTULO 2 ... 19
CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO ... 20
2.1 DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN. ... 21
2.2 PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS... 22
2.3 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO... 24
2.4 SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO. ... 29
CAPÍTULO 3 ... 35
PROCESOS DE TRANSPORTE DE CARGA... 36
3.1 MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES. ... 38
3.2 CORRIENTE DE ARRASTRE... 40
3.3 EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD.EFECTO DE SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE... 44
3.4 DIFUSIÓN DE PORTADORES. ... 46
3.5 COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR... 48
3.6 EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA... 50
CAPÍTULO 4 ... 51
GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN DESEQUILIBRIO ... 52
4.1 CUASINIVELES DE FERMI. ... 53
4.2 TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO... 56
4.3 TIPOS DE RECOMBINACIÓN. ... 57
4.3.1 Recombinación entre Bandas. ... 58
4.3.2 Recombinación en Centros de Captura... 59
4.3.3 Recombinación superficial ... 59
CAPÍTULO 5 ... 60
ECUACIONES DE CONTINUIDAD ... 60
5.1 ECUACIONES DE CONTINUIDAD. ... 61
5.2 HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS. ... 65
5.3 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES... 66
CAPÍTULO 6 ... 69
EL DIODO DE UNIÓN PN ... 69
6.1 LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO... 69
6.2 LA UNIÓN P-N POLARIZADA... 73
6.3 CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN... 76
6.3.1 Procedimiento de cálculo ... 76
6.3.2 Característica estática I-V... 78
6.3.3 Corrientes de generación y recombinación en la RCE ... 81
6.3.4 Dependencia de la característica con la temperatura ... 82
6.3.5 Corrientes de portadores en las regiones neutras... 83
6.3.6 Breve ejemplo de polarización ... 84
6.4 POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N... 86
6.5 MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N... 89
6.6 EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N. ... 91
6.6.1 Dinámica de la unión... 91
6.6.2 Capacidad de Transición... 92
6.6.3 Capacidad de difusión ... 93
6.7 RESPUESTA EN CONMUTACIÓN Y TIEMPO DE ALMACENAMIENTO... 96
CAPÍTULO 7 ... 98
EL TRANSISTOR BIPOLAR... 98
7.1 ESTRUCTURA DEL TRANSISTOR BIPOLAR DE UNIÓN (BJT)... 98
7.2 DIAGRAMA DE CORRIENTES EN UN BJT ... 99
7.3 GANANCIAS DE CORRIENTE CONTINUA DEL TRANSISTOR... 102
7.4 MODELOS ESTÁTICOS Y GRAN SEÑAL DEL BJT ... 105
7.4.1 Modelo de Ebers-Moll ... 105
7.4.2 Modelo simplificado ... 108
7.5 CARACTERÍSTICA ESTÁTICA EN EMISOR COMÚN... 110
CAPÍTULO 8 ... 115
DISPOSITIVOS FOTÓNICOS... 115
8.1 EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED) ... 116
8.1.1 Mecanismos de recombinación de portadores ... 117
8.1.2 Semiconductores de Transición Directa e Indirecta. ... 118
8.1.3 Materiales semiconductores emisores de luz. ... 120
8.1.4 Característica de los dispositivos semiconductores emisores de luz ... 121
8.2 DISPOSITIVOS FOTODETECTORES... 121
8.2.1 Fotoconductores ... 123
8.2.2 El Fotodiodo PIN... 125
8.2.3 El fotodiodo de Avalancha (APD) ... 128
8.2.4 El fototransistor ... 128
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS
CRISTALINOS
1.1 SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES
Las sustancias sólidas que se encuentran en la naturaleza pueden clasificarse según el modo como se organizan los átomos que las constituyen. En los sólidos cristalinos, los átomos se organizan siguiendo un patrón de regularidad que se repite en todo el espacio ocupado por el cuerpo (Figura 1). En los sólidos policristalinos existen también determinados patrones de regularidad que se repiten en regiones locales del cuerpo y que pueden variar de una de estas regiones a otra. Y por último existen sólidos llamados amorfos donde los átomos constituyentes están localizados de una manera arbitraria, no pudiéndose encontrar ningún patrón de regularidad. En la actualidad todos los dispositivos electrónicos están construidos sobre sustratos de material semiconductor cristalizado. Por ello, desde el punto de vista de la ingeniería electrónica, sólo los sólidos cristalinos tienen interés. El resto de este apartado se dedica a resumir brevemente algunas características de éstos.
Los sólidos cristalinos tienen una estructura muy regular. Los átomos que los constituyen están ordenados en el espacio de una manera periódica casi perfecta, de forma que el sólido puede verse como un “mosaico”, en el que existe un bloque elemental que se repite regularmente. En la Figura 2 se muestran distintos ejemplos, donde se observa que la red puede describirse por medio de un paralelepípedo elemental (celdilla elemental) que se repite periódicamente en el espacio construido sobre los tres vectores de translación asociados a sus aristas. Esta estructura lleva a que los cristales sean sustancias anisótropas, es decir, sustancias cuyas propiedades dependen de la
dirección o el plano en que se midan. No es difícil convencerse de esto si se observa que existen direcciones y planos esencialmente distintos, donde la periodicidad en la repetición de átomos es distinta.
Figura 1. Ilustración de los diferentes tipos de sólidos para un cuerpo bidimensional: (a) cristalino, (b) policristalino y (c) amorfo
Los cristales poseen numerosas simetrías, es decir, existen distintas direcciones no paralelas y planos no paralelos estructuralmente idénticos unos a otros. Estas propiedades de simetría tienen una influencia importante en las propiedades de los sólidos, ya que el diagrama de bandas del sólido (se introducirá más tarde) refleja estas simetrías. Todas las propiedades físicas de los sólidos cristalinos y, entre ellas, las propiedades eléctricas, dependen del comportamiento colectivo de los átomos que los forman, átomos que, como se ha dicho anteriormente, están ordenados en una red tridimensionalmente periódica.
La mayoría de los materiales que poseen propiedades semiconductores o que se combinan con otros para la fabricación de semiconductores pueden encontrarse en los grupos II B, III A, IV A, V A y VI A de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos (ver Tabla 1). La columna IV tiene un especial interés por encontrarse los semiconductores elementales. En los primeros años del desarrollo de la electrónica de estado sólido, el material más usado fue el Ge. Sin embargo, en la actualidad la mayoría de dispositivos y componentes electrónicos que se comercializan están construidos sobre Si. Una de las características de estos dos materiales es que no son fotoemisivos.
Tabla 1. Recuadrados los elementos utilizados en la fabricación de semiconductores
II B III A IV A V A VI A
B (Boro) C (Carbono) N (Nitrógeno) O (Oxígeno)
Al (Aluminio) Si (Silicio) P (Fósforo) S (Azufre)
Zn (Zinc) Ga (Galio) Ge (Germanio) As (Arsénico) Se (Selenio)
Cd (Cadmio) In (Indio) Sn (Estaño) Sb (Antimonio) Te (Teluro)
Hg (Mercurio) Tl (Talio) Pb (Plomo) Bi (Bismuto) Po (Polonio)
A diferencia de ellos, la mayoría de los compuestos binarios formados por elementos de los grupos III y V de la tabla tienen la propiedad de poder emitir radiación óptica en el intervalo espectral del infrarrojo cercano y luz visible. Algunos de estos son: GaAs, InP, InSb, ... El GaAs es un material semiconductor con especial relevancia en las comunicaciones por fibra óptica, pues fue el material más empleado en los comienzos de éstas para la realización de dispositivos emisores
de luz (λ=0.85 μm). También por algunas de sus características1 se emplea en la generación de microondas para la telecomunicación. En la actualidad se están usando también en el terreno de las comunicaciones ópticas compuestos ternarios y cuaternarios (Ej: AlGaAs, InGaAsP, ... ) El compuesto GaP permite la realización de dispositivos fotoemisores que irradian luz visible, y dependiendo de las impurezas2 con que se dope, se puede conseguir luz verde o roja. El compuesto ternario GaAsP también emite luz visible.
1.2 EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS.
Las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos están caracterizadas por la estructura de las bandas de energía de los mismos. La formación de estas bandas surge por la interacción de los electrones de los átomos constituyentes del sólidos y por la naturaleza cuántica de los mismos. Por ello, será necesario en este apartado introducir algunos de los resultados más importantes de la rama de la física conocida como Mecánica Cuántica. La Mecánica Cuántica estudia el mundo subatómico, y en particular la interacción de las partículas que forman a los átomos y las fuerzas de enlace de los sólidos. Para ilustrar la presentación de los resultados que tienen interés para nosotros, utilizaremos como ejemplo el sistema físico constituido por un protón y un electrón, es decir, un átomo de hidrógeno.
Según el modelo del átomo de hidrógeno clásico, el protón, que tiene una masa 1836 veces mayor que la del electrón, permanece en reposo, mientras el electrón gira a su alrededor. El sistema permanece en equilibrio dinámico3 cuando se iguala la fuerza eléctrica de atracción entre ambas partículas con la fuerza centrífuga del electrón. El estado del sistema está caracterizado por la posición y la velocidad del electrón en cualquier instante de tiempo. El sentido físico de ambas magnitudes es bien conocido por el alumno. Ahora bien, según el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, es imposible medir simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula,
1 Como se vera en capítulos posteriores presenta una resistencia de pequeña señal negativa para ciertos valores de
polarización
2 Por impurezas en este caso entendemos átomos diferentes al Ga y al P que se insertan en la red cristalina del
compuesto GaP de una manera controlada. El GaP es un semiconductor de transición indirecta, esto quiere decir que por si sólo no es un material fotoemisor, por ello la necesidad de utilizar impurezas
3 En realidad, según la mecánica clásica, el electrón es una particula acelerada que irradia energía electromagnética y
es decir, no es posible saber simultáneamente la posición y la velocidad de la partícula. Por tanto, para definir el estado del electrón, y así estudiar el átomo de hidrógeno como un ente cuántico, hay que renunciar a las ideas clásicas. En mecánica cuántica, el estado de una partícula4 es definido por la función de onda ψ(rr). El sentido físico de la función de onda es dado por la interpretación de la cantidad |ψ(rr)|2∂Vcomo la probabilidad de encontrar al electrón en el pequeño volumen de valor
V
∂ situado en el punto del espacio rr.
Figura 3. Funciones de densidad de probabilidad del átomo de hidrógeno.
Una de las conclusiones inmediatas que se pueden obtener es que el electrón ya no se puede considerar como una partícula localizada en un punto determinado, sino que se encuentra localizado en una región difusa en torno al núcleo. A esta región se conoce con el nombre de
orbital5 y la probabilidad de encontrar al electrón en la misma es alta. En la Figura 3 se representa la apariencia tridimensional del módulo al cuadrado de varias funciones de onda de un electrón perteneciente a un átomo de hidrógeno aislado. Las regiones sombreadas indican dónde existe una probabilidad mayor de encontrar al electrón.
Uno de los resultados de la Mecánica Cuántica es que no siempre las magnitudes físicas pueden tomar infinitos valores de un intervalo continuo. Por ejemplo, la energía del electrón en el átomo de hidrógeno, según las ideas clásicas, era una función continua de la distancia al núcleo, es decir, E=E(r). Como r toma valores en el intervalo (0,+∞ , E toma también valores en otro ) intervalo continuo. Sin embargo, la teoría cuántica nos dice que en la realidad la energía del
electrón sólo puede tomar valores de un conjunto discreto, es decir, E=En n=1,2,3,... En la Figura 4 se muestran los diferentes valores de energía que puede tomar el átomo de hidrógeno. Como se observa, en el estado fundamental (n=1), la energía es E1=−13.6eV . Por tanto, para ionizar al átomo es necesario suministrar externamente al átomo la energía de 13.6 eV. Cada vez que el electrón pasa de un nivel de energía superior a uno inferior, la diferencia de energía se emite como un fotón. Si ocurre el proceso contrario, es decir, un electrón pasa de un nivel energético inferior a uno superior, el átomo absorbe un fotón. La relación entre la energía del fotón y su frecuencia es dada por la ley de Planck, E =hf , donde h=6.625⋅10−34Js es la constante de Planck. El índice n utilizado para enumerar los diferentes valores de energía del átomo se conoce por número cuántico principal y toma valores desde 1 hasta ∞+ .
Cada nivel de energía se corresponde con un estado electrónico6, teniendo asociado una función de onda (o un orbital). Sin embargo, en el átomo existen otras magnitudes físicas que se conservan, que toman valores discretos y que pueden ser medidas simultáneamente junto con la energía. Por tanto, los valores que estas magnitudes toman están indexados por variables enteras l y m . El número cuántico orbital l nos indica el valor del módulo del momento angular alrededor
5 En la mecánica clásica el electrón recorría una trayectoria perfectamente definida y era posible predecir donde estaría
en instantes futuros de tiempo. Por ello se hablaba de órbita, concepto acuñado por la similitud del átomo con un sistema planetario. Como en realidad no es posible predecir la posición del electron, se ha acuñado el concepto de orbital.
6 En la realidad, el átomo de hidrógeno es degenerado, es decir, diferentes estados electrónicos pueden tener el mismo
del núcleo que puede tomar un electrón en un determinado estado y el número cuántico magnético m nos indica el valor que puede tomar la proyección del momento angular del electrón alrededor del núcleo sobre una dirección arbitraria del espacio. Para un valor determinado n del número cuántico principal, los valores que puede tomar el número cuántico orbital son l=0,1,...,n−1. Y para un valor determinado l , los posibles valores que puede tomar el número cuántico magnético son m=−l,...,0,...,l.
Figura 4. Los cinco niveles menores de energía del átomo de hidrógeno y el nivel de ionización.
Existe un cuarto número cuántico conocido como spin, que sólo puede tomar dos valores 2 / 1 , 2 / 1 + − =
s y que está relacionando con las dos únicas orientaciones de giro del electrón entorno a sí mismo. Por tanto, podemos concluir, que para definir el estado electrónico de un electrón en el átomo, es necesario indicar cuatro números cuánticos. O dicho de otra manera, la función de onda del electrón en un estado estacionario es función del vector de posición rr y de cuatro parámetros que son números enteros ψ =ψn,l,m,s(rr).
1.3 ÁTOMOS COMPLEJOS
El átomo de hidrógeno es el más sencillo de analizar por tener un sólo un electrón. Sin embargo, muchas de las conclusiones a las que se han llegado en el apartado anterior siguen siendo válidas para átomos con un número mayor de electrones. Concretamente, los valores energéticos
que pueden tomar los electrones son discretos y cada estado electrónico es definido por los cuatros números cuánticos. Se dice que todos los electrones que ocupan estados con el mismo número cuántico principal constituyen una capa. Dentro de una capa, todos los electrones con el mismo número cuántico orbital forman una subcapa. A cada valor de l se le asigna una letra, tal y como se muestra en la Tabla 2. Así pues, una subcapa se puede identificar indicando los números cuánticos n y l . Por ejemplo, la notación 3 p indica que en la subcapa 3 l=1 de la capa n=3, sólo hay tres estados electrónicos ocupados de los 6 estados totales. El número máximo de electrones que puede haber en una subcapa figura también en la Tabla 2 y se deja como ejercicio que el alumno compruebe de donde se obtienen los mismos.
Tabla 2 Letras asignadas al número cuántico orbital y número máximo de electrones en cada subcapa
Número cuántico orbital 0 1 2 3
Letra s p d f
Número máximo de electrones 2 6 10 14
La ocupación de los estados electrónicos de un átomo con un número determinado de electrones se rige por dos principios físicos fundamentales7. Estos son:
1. Principio de la mínima energía. Todos los electrones tienen la tendencia natural de ocupar
los estados de menor energía.
2. Principio de Exclusión de Pauli. No puede haber dos o más electrones con los cuatro
números cuánticos iguales. Si esto fuera posible, todos los electrones de un átomo ocuparían el estado fundamental o de menor energía.
Por tanto, los electrones ocupan los estados electrónicos de menor a mayor energía sin poder haber más de un electrón en el mismo estado. La configuración electrónica de un átomo
7 En realidad sería necesario una tercera regla de ocupación, el principio de máxima multiplicidad o regla de Hund.
nos indica como los electrones se distribuyen por las diferentes subcapas del mismo. Como ejemplo pondremos algunos elementos semiconductores del grupo IV A de la tabla periódica.
• El número de electrones del Si es 14 y su configuración electrónica es:
2 2 6 2 2 3 3 2 2 1s s p s p .
• El Ge tiene 32 electrones y por tanto:
[ ]
10 2 24 4 3d s p
Ar . El símbolo
[ ]
Ar refiere la configuración electrónica del gas noble argón.Las propiedades eléctricas de los sólidos están íntimamente relacionadas con los electrones de la última capa de los átomos constituyentes. Para el caso de los semiconductores del grupo IV A, en su última capa (n=3 para el Si y n=4 para el Ge) hay cuatro electrones.
1.4 BANDAS DE ENERGÍA
En este apartado y el siguiente se pretende describir, de una forma aproximada, el comportamiento de aquellos electrones de un sólido que son responsables de sus propiedades eléctricas, es decir, su mayor o menor capacidad para conducir la electricidad. Si se consideran los átomos aislados, antes de formar el sólido cristalino, resulta que son los electrones de la última capa los que, al formarse el sólido, determinan las propiedades eléctricas de éste. Se tendrá, pues, que para conocer las propiedades eléctricas de un sólido es preciso describir el comportamiento de
m
N× objetos cuánticos (electrones), donde N es el número de átomos del sólido y m el número de electrones de la última capa del átomo aislado.
La extensión espacial de la función de onda asociada a los electrones de un átomo es tanto mayor cuanto mayor sea el nivel energético del electrón. Por ello, son precisamente las funciones de onda de los electrones de valencia las que en mayor medida interaccionan entre sí cuando se forma el sólido cristalino. Esto justifica el considerar separadamente el conjunto formado por el núcleo del átomo y los electrones internos, por un lado, y los electrones de valencia por otro.
Cuando dos átomos están lo suficientemente separados, los electrones de uno y otro no interaccionan entre sí. Las regiones sombreadas de la Figura 3 correspondientes a electrones equivalentes de estos dos átomos no se solapan. Aquellos electrones que ocupan niveles similares
en ambos átomos tienen la misma energía y están descritos por funciones de onda iguales (mientras no haya interacción entre ambos). Sin embargo, a medida que se aproximan dos átomos, las funciones de onda que describen el comportamiento de dos electrones comienzan a solaparse con lo que se ven perturbadas, es decir, se modifican ambas funciones. Cualitativamente se observa un desplazamiento en los niveles energéticos de ambos electrones de forma que éstos no coincidan. Esto es debido a que los electrones son un tipo particular de entes cuánticos, los fermiones, que poseen una característica muy especial: dos o más fermiones no pueden ocupar un mismo estado cuántico8. Por este motivo se separan los niveles energéticos de los electrones al aproximarse para formar la red cristalina.
Figura 5. Formación de las bandas de valencia y conducción de un cristal de carbono.
En la Figura 5 se observa lo que ocurre a medida que se acercan los N átomos de una red cristalina de carbono. Los 2N niveles energéticos 2s de los átomos, así como los 6N niveles 2p, empiezan a separarse, formando, inicialmente, dos “bandas” de niveles energéticos, una correspondiente a los niveles 2s de los átomos y otra correspondiente a los niveles 2p. Si el acercamiento entre átomos continúa, las dos bandas se funden en una sola. Si la aproximación
continúa, esta banda se divide en dos, cada una de las cuales contiene 4N niveles energéticos. La banda inferior recibe el nombre de banda de valencia y la superior banda de conducción. En la figura se ha representado también la distancia de separación entre átomos en la red del diamante, es decir, la distancia para la cual la energía total del sistema se hace mínima. El intervalo de separación entre ambas bandas recibe el nombre de banda prohibida y la diferencia de energía entre ellas anchura de la banda prohibida.
A una temperatura igual a 0K, los electrones ocupan los niveles de energía más bajos. El diamante cuenta con cuatro electrones en su última capa, por lo que la banda de valencia estará totalmente ocupada, mientras que la banda de conducción estará totalmente vacía. Para que un electrón pueda desplazarse como una partícula a lo largo de la red cristalina (condición indispensable para que sea conductor de la electricidad) debe tener estados de energía superiores accesibles (vacíos) dentro de la banda a la que pertenece. Por ello se puede deducir que a 0K el diamante es un aislante perfecto. A temperaturas superiores a 0K los electrones no tienen por qué ocupar necesariamente los niveles energéticos más bajos posibles y existe una probabilidad no nula de que un electrón ocupe un estado energético de la banda de conducción. La probabilidad de que un electrón que a 0K ocupa la banda de valencia pueda ocupar la banda de conducción, depende tanto de la temperatura como de la anchura de la banda prohibida. En el diamante la anchura de la banda prohibida es lo suficientemente grande como para que a temperatura ambiente la probabilidad de que esto ocurra sea ínfima. Por ello el diamante es una excelente aislante incluso a temperaturas altas.
Los metales son buenos conductores de la electricidad debido a que la banda de conducción no está vacía sino que se encuentra parcialmente llena, o bien puede ocurrir que la banda de valencia y la banda de conducción se solapen entre sí (este es el caso de los metales de transición), tal como se muestra en la Figura 6.
Hay determinados sólidos cristalinos que presentan características de conducción eléctrica intermedias entre las de los aislantes y los metales. Son los semiconductores, entre los que cabe destacar el Silicio, el Germanio y el Arseniuro de Galio. En estos materiales la anchura de la banda prohibida es lo suficientemente pequeña para que a temperatura ambiente haya una concentración no despreciable de electrones en la banda de conducción. Este tipo de materiales es aislante a temperaturas bajas y su conductividad eléctrica crece a medida que aumenta la temperatura. En el siguiente apartado se discutirá con mayor detalle el proceso de conducción de corriente en un semiconductor.
1.5 PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y HUECOS
Antes de introducir el concepto de huecos es conveniente recordar la naturaleza del enlace covalente. Como se sabe de química, la tendencia natural de todo átomo que se combina consigo mismo o con otros elementos de la tabla periódica para formar una molécula o un sólido es alcanzar la configuración electrónica de un gas noble. Los gases nobles son elementos no reactivos, es decir, no se combinan con ningún otro elemento, debido a que su última capa está cerrada. Por capa cerrada entendemos la existencia de ocho electrones, y su configuración electrónica es ns2p6, donde n es el número cuántico principal. Un ejemplo muy ilustrativo es el enlace iónico de la sal común o cloruro sódico NaCl. El Na tiene en su última capa sólo un electrón y el Cl le falta uno para completar la capa 3sp. Por tanto, el Na ([Ne]3s1) entrega su electrón de valencia al Cl ([Ne]3s23p5) y ambos átomos se quedan con la configuración electrónica del Ar y Ne, respectivamente. Como consecuencia de ello, el átomo de Na queda ionizado positivamente y él de Cl negativamente, formándose el sólido por atracción electrostática.
Sin embargo, las sustancias semiconductoras se unen mediante el enlace covalente. Recordamos que el silicio (
[ ]
Ne3s2p2) tiene en su capa de valencia cuatro electrones. Cuando esteelemento se combina para formar el sólido, el átomo comparte sus cuatro electrones de valencia con los cuatro electrones situados a su alrededor. A su vez estos comparten con el átomo uno de sus electrones. Como se observa en la Figura 7, el átomo A1 comparte sus electrones con los átomos vecinos, de tal modo que los dos electrones de un enlace covalente pertenecen por igual a los dos átomos unidos por ese enlace. De esta manera, cada átomo tiene ocho electrones en su última capa formando un sistema estable.
A la temperatura del cero absoluto (0K), sin presencia de ninguna excitación externa, todos los electrones de la red están “localizados” en sus respectivos enlaces covalentes. Por tanto, el semiconductor se comporta como un aislante. Por ejemplo, ninguno de los dos electrones del enlace A6-A7 (enlace entre el átomo A6 y el A7) puede ubicarse en los estados del enlace A6-A1 porque, al estar estos últimos ocupados, lo impide el principio de exclusión de Pauli. Esta situación se correspondería con la banda de valencia completa y la banda de conducción vacía. Sin embargo, como se observa en el átomo A2 de la figura, cuando la temperatura del material es superior al cero absoluto, algunos electrones adquieren suficiente energía térmica para liberarse del enlace. Este caso se correspondería con la generación térmica de un par electrón-hueco, que
visto en la estructura de bandas de energía, supondría una transición de un electrón desde la banda de valencia a la banda de conducción (Figura 8). Al enlace “roto” en A2 se le llama hueco. Si ahora se aplica un campo eléctrico externo, el electrón de la banda de conducción se movería en el sentido contrario al campo, generándose corriente eléctrica. En la banda de valencia también se generaría corriente, puesto que ahora sí hay estados electrónicos desocupados. Este proceso se ilustra en la Figura 7 donde por acción térmica se generó un par e-h en el átomo A5. El electrón es desplazado hacia la izquierda (proceso en la banda de conducción) mientras que un electrón de un enlace vecino pasa a ocupar el hueco generado. El proceso de transferencia de un electrón de un enlace completo a un enlace roto continúa hasta que finalmente el hueco acaba en el átomo A3. Nótese que la ausencia de un electrón en un enlace supone que el átomo se queda ionizado positivamente y con el desplazamiento del hueco desde A5 hasta A3 se ha producido un desplazamiento neto de una carga positiva hacia la derecha. Por tanto, podemos concluir que a efectos prácticos un enlace roto se comporta como una partícula de carga positiva, libre (se
Tanto los electrones como los huecos en el interior de la red cristalina no son partículas libres ni clásicas. Sin embargo, se puede demostrar que en los extremos de las bandas9 ambas partículas obedecen las leyes de Newton ante la excitación de un campo eléctrico o magnético externo con tal que redefinamos el valor de sus masas inerciales. A los nuevos valores los llamaremos masas efectivas. A lo largo de esta asignatura utilizaremos la siguiente notación:
• me masa efectiva del electrón
• mh la masa efectiva del hueco
Una justificación rigurosa de este hecho no se dará en esta asignatura por la complejidad de la misma, pero si podemos justificarlo diciendo que el electrón (o el hueco) no sólo se ve sometido a la fuerza del campo aplicado externamente, sino también a las fuerzas internas del cristal (núcleos atómicos, impurezas ionizadas, otros electrones de la red, ...). Para no incluir las fuerzas internas en nuestros análisis y considerar sólo las fuerzas externas, debemos modificar el valor de la masa.
Figura 7. Representación bidimensional del enlace covalente en el silicio. Generación térmica de un par e-h en el átomo A2. Desplazamiento por un campo eléctrico del par e-h generados térmicamente en el átomo A5 (Flechas
de trazo continuo: Movimiento de portadores. Flechas de trazo discontinuo: Generación de pares de e-h
Por último aclaramos que cuando se genera un par e-h, el electrón tiende a ocupar los estados de menor energía, es decir, aquellos que están entorno al mínimo de la banda de conducción (BC). Sin embargo, con los huecos ocurre lo contrario. El hueco es un estado electrónico vacío, por lo que tiende a estar en los valores más altos de energía, como una burbuja de aire en una botella de agua tiende a estar siempre arriba.
Figura 8. Generación de un par e-h. Por acción térmica, un electrón de la banda de valencia es transferido a la banda de conducción.
CAPÍTULO 2
CONCENTRACIONES DE
PORTADORES EN EQUILIBRIO
TÉRMICO
A la temperatura de 0K el sólido cristalino posee una energía mínima. A medida que aumenta la temperatura la energía del sólido crece, de forma que los elementos que lo componen, núcleos de la red cristalina y electrones de la banda de conducción, adquieren energías cada vez mayores. Los núcleos de la red comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio. Por otro lado, los electrones, que a 0K ocupaban todos los estados energéticos de la banda de valencia y ninguno en la banda de conducción, empiezan a ocupar estados cuánticos de la banda de conducción (que son más energéticos).
Se observa, pues, que las propiedades eléctricas de los semiconductores dependen de la temperatura, ya que la concentración de portadores de carga, electrones y huecos, es función de la temperatura. La dependencia de los estados vibratorios de los núcleos de la red con la temperatura también hace que las propiedades eléctricas de los semiconductores cambien con ella ya que, según se verá en otro tema, uno de los mecanismos de dispersión de los portadores de carga es la interacción de éstos con los núcleos de la red cristalina; esta interacción es tanto más probable cuanto mayor sea la energía de vibración de los núcleos de la red.
En esta lección se pretende determinar la concentración de portadores de carga (electrones y huecos) que, a una temperatura dada, existe en un semiconductor. En primer lugar se centrará el estudio sobre los semiconductores intrínsecos, es decir, aquellos en los que electrones y huecos se crean exclusivamente mediante excitación térmica. Los portadores de carga creados de esta manera
reciben el nombre de portadores intrínsecos y la conductividad debida a estos portadores (la única que existe en los semiconductores intrínsecos), conductividad intrínseca. En un semiconductor intrínseco el número total de electrones en la banda de conducción es igual al número total de huecos en la banda de valencia ya que, al pasar un electrón de la banda de valencia a la de
conducción, éste deja un hueco en la banda de valencia. Para hallar la conductividad de un semiconductor hay que determinar previamente dos cosas: La densidad de estados energéticos en las bandas de conducción y valencia y la probabilidad de ocupación, a una temperatura dada, de los niveles energéticos.
A partir del análisis hecho para los semiconductores intrínsecos, se estudiarán los semiconductores extrínsecos, es decir, aquellos cuyas propiedades eléctricas dependen de unas impurezas que se añaden al semiconductor.
2.1 DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN.
Figura 9. Discretización de estados energéticos dentro de las bandas de valencia y conducción
Los niveles de energía permitidos en un sólido cristalino son discretos, aunque están separados entre sí por saltos de energía extremadamente pequeños (Figura 9). Por esta razón, en general, se supone que los niveles energéticos forman una banda continua. Para definir el concepto de densidad de estados se considerarán niveles discretos, ya que la definición resulta más intuitiva.
Considérese un nivel de energía situado en la banda prohibida. Según se dijo en apartados anteriores, un electrón de un semiconductor ideal no puede tener ese valor de energía y, por tanto, si consideramos un intervalo de energías alrededor de ese valor, resulta que el número de estados energéticos accesibles para un electrón en dicho intervalo es 0 y, por consiguiente, la densidad de estados, es decir el número de estados accesibles dividido por la anchura del intervalo considerado, es 0 en la banda prohibida. Si se considera una energía superior al mínimo de la banda de conducción, resulta que ese estado sí es accesible para un electrón y, por consiguiente, la densidad es mayor que 0.
La separación entre estos niveles no es constante, sino que es menor para niveles más
separados de la banda prohibida. Es decir, la densidad de niveles energéticos aumenta cuanto mayor es la energía en la banda de conducción o menor en la banda de valencia. Las expresiones de las densidades de estados de los electrones en la banda de conducción y de los huecos en la banda de valencia son: Ecuación 1 v v h h c c e e E E E E m h E N E E E E m h E N < − = > − = 2 / 3 3 2 / 3 3 2 8 ) ( 2 8 ) ( π π
donde Ec es la energía del mínimo de la banda de conducción y Ev es la energía del máximo de la banda de valencia. Por tanto, a medida que nos adentramos en la banda de conducción, el número de estados accesibles para los electrones crece con la raíz cuadrada de la energía. La afirmación análoga es cierta para los huecos en la banda de valencia. El coeficiente de proporcionalidad no es en ambos casos el mismo ya que, en general, las masas efectivas de electrones y huecos no son iguales.
2.2 PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS
Para determinar el número de portadores de carga en la banda de conducción y en la banda de valencia se necesita conocer, además de la densidad de estados energéticos N(E), la probabilidad de que el estado de energía E esté ocupado. Esta característica viene definida por una función f(E,T)
de distribución donde E varía de -∞ a +∞. El sentido de esta función es claro. Supóngase un estado de energía E*; supuesto que este valor de energía pertenece a la banda de conducción (estado accesible de energía) la probabilidad de que esté ocupado por un electrón es f(E*,T).
La expresión de f(E,T) es la siguiente:
Ecuación 2 kT E E f e T E f / ) ( 1 1 ) , ( − + =
donde la constante k=1.38x10-23 J/K es la constante de Boltzmann. Esta función recibe el nombre de función de distribución de Fermi-Dirac y describe el comportamiento estadístico de cualquier población de fermiones y, en particular, de los electrones y huecos en un sólido cristalino. Ef es una “constante” en el sentido de que no es función de E, pero depende, aunque sea débilmente, de la temperatura. Ef recibe los nombres de potencial químico, nivel de Fermi o energía de Fermi.
Figura 10. Función de distribución de Fermi-Dirac a 0K y a T > 0k
En la Figura 10 se ha representado la función de distribución de Fermi-Dirac para distintas temperaturas. En ella se observa que a 0K los estados de energía E > Ef tienen una probabilidad nula de estar ocupados, mientras que si la energía es inferior a Ef la probabilidad es 1. A temperaturas superiores a 0K un estado de energía igual al nivel de Fermi tiene una probabilidad
0.5 de estar ocupado. A temperatura ambiente de funcionamiento en los materiales semiconductores, la función de Fermi tiene una apariencia no excesivamente distinta de la que tiene a 0K, ya que tiene un comportamiento exponencialmente decreciente para energías superiores al nivel de Fermi. En una sección posterior se verá cómo se determina Ef y cómo depende de la temperatura.
2.3 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO
La concentración de electrones en la banda de conducción, es decir, el número de electrones que hay por unidad de volumen en un intervalo infinitesimal de energía (E,E+dE), se obtiene multiplicando la función de densidad de estados en la banda de conducción por la probabilidad de que dichos estados estén ocupados, es decir, por la función de distribución de Fermi-Dirac f(E,T). Integrando este producto para energías superiores al mínimo de la banda de conducción se obtiene la concentración total de electrones libres en la banda de conducción (no). El subíndice o refiere la condición de equilibrio térmico. La concentración de huecos en la banda de valencia se obtiene multiplicando la función de densidad de estados en la banda de valencia por la probabilidad de que dichos estados no estén ocupados (ésta es la probabilidad de que exista un hueco), es decir 1-f(E,T). Integrando este producto para energías inferiores al máximo de la banda de valencia se obtiene la concentración total de huecos libres en la banda de valencia (po). Esto es:
Ecuación 3.
[
]
∫
∫
∫
∫
∞ − − ∞ − +∞ − +∞ ⋅ + − ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ = v f v c f c E kT E E v h E h o E kT E E c e E e o dE e E E m h dE T E f E N p dE e E E m h dE T E f E N n ) 1 1 1 ( 2 8 ) , ( 1 ) ( 1 1 2 8 ) , ( ) ( / ) ( 2 / 3 3 / ) ( 2 / 3 3 π πFigura 11. Concentración de electrones y huecos en las bandas de un semiconductor intrínseco.
La interpretación gráfica de las integrales de la Ecuación 3 se ilustra en la Figura 11 donde se representan las funciones de densidad de estados en ambas bandas y la función de Fermi-Dirac. La concentración de electrones no en la banda de conducción se corresponde con el área de la región rayada de la figura en el intervalo energético E > Ec. Esta región está delimitada por el eje vertical de la energía y el producto de funciones Ne(E)⋅ f(E,T). De igual manera la concentración de huecos se corresponde con el área de la región delimitada por el eje y el producto de funciones
[
1 ( , )]
)
(E f ET
Nh ⋅ − . Las integrales de la Ecuación 3 no tienen solución analítica y su solución requiere de técnicas numéricas. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida y alejado de Ec y Ev varias veces la cantidad kT (a temperatura ambiente, T=298K, kT=0.026eV )10. En tal caso se puede hacer la aproximación de Maxwell-Boltzmann:
10 Por definición 1 eV es la energía que libera o se comunica a un electrón en un desplazamiento entre dos puntos con
Ecuación 4. Aproximación Maxwell-Boltzmann kT E E si e e T E f kT E E si e e T E f f kT E E kT E E f kT E E kT E E f f f f >> − ≈ + = − >> − ≈ + = − + − − − − − / ) ( / ) ( / ) ( / ) ( 1 1 ) , ( 1 1 1 ) , (
Si sustituimos la Ecuación 4 en la Ecuación 3 las integrales se resuelven analíticamente y las concentraciones de portadores toman el valor
Ecuación 5. Concentraciones de un SC en equilibrio térmico
2 / 3 2 / ) ( 2 / 3 2 / ) ( ) 2 ( 2 ; ) 2 ( 2 ; h kT m U e U p h kT m U e U n h v kT E E v o e c kT E E c o v f f c π π = ⋅ = = ⋅ = − − − −
donde los coeficientes Uc y Uv reciben el nombre de densidades efectivas de estados en la banda de conducción y de valencia, respectivamente. La aproximación de Boltzmann tiene una interpretación: la estadística de electrones y huecos pasa de ser una estadística cuántica a ser una estadística clásica11.
Semiconductores intrínsecos
Se dice que un semiconductor es intrínseco si en su red cristalina no hay impurezas ni irregularidades. Como se verá en el apartado posterior, hay veces que interesa sustituir átomos nativos del semiconductor por otro tipo de átomos, que se introducen en la red cristalina de una manera controlada. En tal caso, se dice que el semiconductor es extrínseco. También pudiera ocurrir que en la red cristalina haya irregularidades (microfracturas, vacantes –posiciones en la red donde no hay átomo-, ...) o átomos de impurezas que se introducen en al red, de una manera no controlada, durante el proceso de fabricación o por el entorno en el que se encuentra el semiconductor. En un semiconductor intrínseco todos los electrones de la banda de conducción
11
Las concentraciones de portadores en los extremos de las bandas son mucho menores las concentraciones de estados. Por ello, un electrón (hueco) encuentra a su alrededor muchos estados libres en los que alojarse y el principio de exclusión de Pauli no tiene efecto.
provienen de la banda de valencia por generación térmica (id. Los electrones que se mueven libres por la red cristalina provienen de la ruptura de enlaces covalentes). Por ello el número de electrones es igual al de huecos (id. no = po= ni). Por definición la concentración intrínseca ni es el valor de la concentración de portadores (electrones o huecos) en un semiconductor intrínseco. Por el contrario, en un semiconductor extrínseco las concentraciones de portadores no tienen porque ser iguales.
Si mh y me son exactamente iguales, las curvas de densidad de estados en las dos bandas son totalmente simétricas, por lo que la energía de Fermi queda exactamente en el centro de la
banda prohibida en un semiconductor intrínseco (ver Figura 11). Si no fuera así, la población de electrones en la banda de conducción y la de huecos en la banda de valencia no coincidirían. Si mh y me no son iguales (y esto suele ocurrir en la realidad), el nivel de Fermi debe desplazarse ligeramente hacia arriba o hacia abajo de forma que al efectuar las integrales se obtengan valores iguales de las concentraciones. En este caso, el nivel de Fermi se desplaza ligeramente desde el centro de la banda prohibida a la banda de portadores con menor masa efectiva. Este hecho se muestra en la Figura 11 para el caso mh>mn, donde Ef se desplaza hacia el mínimo de la banda de conducción Ec.
Si en la Ecuación 5 se igualan las expresiones de las concentraciones puede obtenerse la dependencia del nivel de Fermi, para un semiconductor intrínseco, con la temperatura. Se aconseja al alumno que demuestre la siguiente expresión:
Ecuación 6. Nivel intrínseco de un semiconductor
n h v c SC f i m m T k E E E E ln 4 3 2 int , + ⋅ ⋅ ⋅ + = =
Ei recibe el nombre de nivel intrínseco y por definición es el nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco.
A continuación se demuestra que el producto no ·po es una función de la anchura de la banda prohibida, las masas efectivas y la temperatura, siendo independiente del nivel de Fermi. Los semiconductores extrínsecos pueden describirse (ver el próximo apartado) considerando que su nivel de Fermi está desplazado con respecto del nivel intrínseco Ei. Por no depender no·po del nivel
de Fermi, la expresión que sigue, calculada tomando no= ni y po= ni, es válida también para los semiconductores extrínsecos.
Ecuación 7. Ley de acción de masas
kT E h e i o o g e m m h kT n p n − = = ⋅ 3 3/2 2 2 ) ( ) 2 ( 4 π
El hecho de que el producto de la concentración total de electrones y huecos sea independiente de la cantidad de impurezas en un semiconductor extrínseco, va a ser utilizado con profusión por lo que debe tenerse siempre en mente. La relación dada por la Ecuación 7 recibe el nombre de Ley de Acción de Masas y se cumple en semiconductores que verifican la
aproximación Maxwell-Boltzmann en ambas bandas bajo las condiciones de equilibrio térmico. También de la Ecuación 7 se obtiene la dependencia de la concentración intrínseca con la
temperatura ( kT E i g e T n ∝ 3/2 −2 ).
En la Figura 12 se representa la concentración intrínseca en función de la temperatura para distintos materiales semiconductores. Se observa que si aumenta la temperatura aumenta la concentración (hay mayor energía térmica para la generación de pares e-h). También destacamos que los semiconductores con menor anchura de banda prohibida (Eg) tienen mayor concentración de portadores (la energía mínima para romperse un enlace covalente es menor).
2.4 SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO.
Se puede introducir cantidades muy pequeñas de sustancias como arsénico, antimonio u otros elementos pertenecientes al grupo V de la tabla periódica, en cristales puros de silicio o germanio, como impurezas de sustitución, es decir, como átomos de impurezas que ocupan posiciones de la red cristalina que normalmente estarían ocupados por átomos del semiconductor. Los átomos del grupo V tienen cinco electrones de valencia. Cuatro de ellos se usan para formar enlaces covalentes con átomos vecinos del semiconductor y el quinto se enlaza al átomo de impureza con fuerzas electrostáticas muy débiles. El enlace es tan débil que, incluso a temperaturas muy bajas (entorno a 20K), la energía de agitación térmica de la red es suficiente para ionizar el átomo de impureza, liberándose el quinto electrón del núcleo de la impureza. Este electrón ya puede circular libremente por la red cristalina y por tanto se encuentra en la banda de conducción. Nótese que en este proceso no se ha generado un hueco en la banda de valencia. Esto puede interpretarse como la existencia de estados energéticos accesibles para los electrones por debajo, pero muy próximos al mínimo de la banda de conducción (Figura 13).
Si en lugar de los átomos del grupo V se introducen en la red átomos del grupo III (Al,Ga,In,etc.), se observará un fenómeno muy distinto. Estos átomos tienen sólo tres electrones de valencia que se usan para formar enlaces covalentes con tres átomos vecinos, pero el cuarto posible enlace carece de electrón. Esto puede interpretarse como que existen estados energéticos accesibles para los electrones por encima, pero muy próximos al máximo de la banda de valencia (Figura 14). La proximidad es tan grande que el aporte de una cantidad mínima de energía hace que los electrones de la banda de valencia pasen a estos estados energéticos, produciéndose un hueco en la banda de valencia. En este caso no se generan electrones en la banda de conducción.
Figura 13. Estados energéticos donadores
Figura 14. Estados energéticos aceptores
En el primer caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión positivo y fijo.
Esta situación se ilustra en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo n, designados así porque la mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de funcionamiento, electrones libres. La componente de conductividad eléctrica que se produce por
los átomos de impureza se llama conductividad de impureza. Los átomos de sustitución del grupo V se llaman átomos donadores, ya que cada uno de ellos dona un electrón libre adicional al cristal.
Figura 15. Electrones y huecos libres procedentes de átomos de impurezas
En el segundo caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión negativo y fijo.
Esta situación se ilustra también en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo p, designados así porque la mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de funcionamiento, huecos libres. Los átomos de sustitución del grupo III se llaman átomos aceptores, ya que cada uno de ellos acepta un electrón de la banda de valencia produciéndose un
hueco adicional en el cristal.
En un semiconductor en equilibrio térmico por cada electrón libre (en la banda de conducción) hay un hueco si se ha generado térmicamente (transición del electrón desde la BV a la BC) o una impureza donadora ionizada positivamente si el electrón proviene de la impureza. Recíprocamente, por cada hueco libre hay un electrón (generación térmica) o una impureza aceptora ionizada negativamente. Por tanto, todo el cristal debe ser eléctricamente neutro. Esta condición de neutralidad de cargas puede expresarse igualando la suma algebraica de cargas positivas y negativas:
Ecuación 8. Ley de neutralidad de cargas
a o d o T T a o d o N n N p N n N p + + = + − ⎯⎯ →>⎯ui + = +
donde po, no, Nd+ y Na- son las concentraciones de huecos, electrones, impurezas donadoras ionizadas e impurezas aceptoras ionizadas, respectivamente. Como se dijo en un párrafo anterior,
para temperaturas superiores a un umbral Tui relativamente bajo (T > Tui , valiendo el umbral en torno a 60-100K) casi todas la impurezas están ionizadas pudiéndose aproximar Nd+ = NdyNa- = Na. Donde Nd y Na son las concentraciones totales de impurezas donadoras y aceptoras, respectivamente.
La concentración de portadores en las bandas de conducción y valencia se puede encontrar a partir de las ecuaciones de neutralidad de cargas y acción de masas. Por ejemplo, si despejamos po o no de la Ecuación 7 y sustituimos en la Ecuación 8 se obtiene:
Ecuación 9. Concentraciones de un SC extrínseco
a d i d a d a o a d i a d a d o N N n N N N N p N N n N N N N n ≤ + − + − = ≥ + − + − = ; 4 ) ( 2 ; 4 ) ( 2 2 2 2 2
Si no hay impurezas (Nd =Na =0) el semiconductor es intrínseco y las concentraciones de portadores son iguales a la concentración intrínseca (no = po =ni). En caso de que el SC esté dopado
y las concentraciones de impurezas sean iguales (Nd =Na >0), las concentraciones de portadores continúan siendo iguales a la concentración intrínseca (no = po =ni), pero la movilidad
12
de los portadores será menor que la de un semiconductor intrínseco. Si Nd >Na hay más electrones que huecos (SC extrínseco tipo n) y si Nd <Na, hay más huecos que electrones (SC extrínseco tipo p).
Para semiconductores fuertemente extrínsecos (|Nd −Na|>>ni), estas fórmulas se simplifican considerablemente.
Ecuación 10. Concentraciones de un SC. Fuertemente extrínseco
i d a d a d a i o d a o i a d a d a d i o a d o n N N y N N si N N n n N N p n N N y N N si N N n p N N n >> − > − ≈ − ≈ >> − > − ≈ − ≈ ; ; ; ; 2 2
Las expresiones anteriores parecen indicar que, mientras la concentración de portadores
minoritarios depende fuertemente de la temperatura ( kT E i g e T n ∝ 3/2 −2 ), la de los portadores
mayoritarios no depende de ésta. Esta afirmación es relativamente cierta en un amplio intervalo de temperaturas. En la Ecuación 10 se ha despreciado la contribución de los portadores intrínsecos frente a los extrínsecos a la hora de determinar la concentración de portadores mayoritarios. Sin embargo, tal como se muestra en la Figura 12, esta contribución crece rápidamente con la temperatura, por lo que cuando ésta es muy elevada, la contribución de portadores intrínsecos se hace comparable a la de los extrínsecos. Se sugiere al alumno que estime a qué temperatura un semiconductor, que en principio era extrínseco, pasa a comportarse como uno intrínseco. A temperaturas muy bajas no todas las impurezas están ionizadas y habría que sustituir Nd por Nd+ y Na por Na-. Las expresiones de la Ecuación 10 van a utilizarse sistemáticamente a lo largo de los temas siguientes, por lo que es muy importante ser consciente de las simplificaciones que se han hecho para llegar a ellas y conocer las condiciones en las que son aproximadamente ciertas.
Las concentraciones de portadores se pueden expresar también en función de la concentración intrínseca y del valor del nivel intrínseco. Se deja como ejercicio que el alumno demuestre las siguientes expresiones
Ecuación 11. Concentraciones de portadores
kT E E i o kT E E i o f i i f e n p e n n − − ⋅ = ⋅ =
Las expresiones de la Ecuación 11 ponen de manifiesto que en un semiconductor tipo n el nivel de Fermi es mayor que el nivel intrínseco, y que cuanto más fuertemente extrínseco sea, más se aproximará al mínimo de la BC. Recíprocamente, en un semiconductor tipo p, el nivel de Fermi será menor que el nivel intrínseco y a mayor dopado más se aproximará a la BV.
Figura 16. Concentración de electrones en silicio con una concentración de impurezas donadores Nd=1016 cm-3.
En línea discontinua la concentración intrínseca.
En la Figura 16 se representa la variación de la concentración de electrones en un semiconductor de silicio fuertemente dopado con una concentración de impurezas donadoras Nd=1016cm-3. En la gráfica se pueden distinguir tres regiones de comportamiento diferente. A temperatura de 0K no hay ninguna energía térmica para excitar los electrones de las impurezas ni para romper enlaces covalentes, por tanto el valor de la concentración es cero. Conforme la temperatura aumenta se van ionizando las impurezas y va aumentando la concentración. A la región de temperaturas desde 0K a 100K se denomina de ionización. Sin embargo, cuando se alcanzan una temperatura entorno a 100K casi todas las impurezas ya están ionizadas y la concentración de mayoritarios permanece constante e igual a no = Nd aún si sigue subiendo la temperatura. Al intervalo de temperaturas donde la concentración permanece constante se denomina región extrínseca. En la región extrínseca la concentración de minoritarios crece proporcionalmente al cuadrado de la intrínseca (ver Ecuación 10).
En la misma figura se ha representado también la concentración intrínseca como referencia del peso que en el proceso tiene la generación térmica (electrones provenientes de la BV). Cuando la temperatura es suficientemente alta la contribución de electrones procedentes de la BV no es
despreciable, la aproximación no =Nd +po ≈Nd no se puede hacer, y ya no permanece constante no. A muy altas temperaturas, la concentración intrínseca es mucho mayor que la cantidad de electrones procedentes de las impurezas y el semiconductor adopta el carácter de intrínseco. Nos encontramos en la región intrínseca y se verifica no =Nd +po ≈ po ≈ni.
CAPÍTULO 3
PROCESOS DE TRANSPORTE DE
CARGA
En un semiconductor en equilibrio térmico los portadores de carga, electrones y huecos, se encuentran en constante movimiento, es decir, aún en ausencia de gradientes de temperatura y en ausencia de campos externos, se mueven13. En capítulos anteriores se dijo que electrones y huecos pueden considerarse como partículas libres con una cierta energía cinética. Esta energía es, en ausencia de perturbaciones exteriores, de origen térmico y hace que se desplacen en el seno del cristal. La dirección en la que se mueven estos portadores no está, en principio, determinada. Además, los portadores de carga están intercambiando continuamente cantidad de movimiento (chocando) con la red cristalina14. Tras pocas colisiones la trayectoria que sigue el portador no guarda correlación alguna con la trayectoria que seguía en un principio.
A una temperatura dada, el movimiento térmico de los portadores de carga puede verse como un proceso aleatorio de dispersión de éstos en los nodos de la red cristalina, en los átomos de impureza y en las imperfecciones del cristal. Dado que la dispersión es un proceso aleatorio, no existe un movimiento neto de un grupo grande de portadores en ninguna dirección en particular.
Esto no es, evidentemente, cierto para portadores individuales, tal como se observa en la Figura 17.
13 A temperatura ambiente, la velocidad media de los portadores es de unos 100Km/s.
14 El tiempo medio entre choques, a temperatura ambiente, toma valores comprendidos entre 10-10s y 10-12s,
Figura 17. Trayectoria aleatoria de un electrón de la banda de conducción en una red cristalina.
La probabilidad de que un portador vuelva a su punto de partida al cabo de un tiempo t es infinitesimal. Sin embargo, si se considera un grupo grande de portadores, no existirá ninguna dirección de desplazamiento preferente para el conjunto y, por tanto, no existirá flujo de corriente.
Si se aplica un campo eléctrico en el semiconductor, cada portador de carga experimenta una fuerza que tiende a desplazarlo según la dirección y el sentido del campo (huecos) o según la dirección y sentido contrario al del campo (electrón). La perturbación que sufre en su trayectoria un portador es pequeña debido a que las velocidades de agitación térmica son muy grandes. Sin embargo el comportamiento conjunto de los portadores de carga es radicalmente distinto ya que ahora se produce un desplazamiento medio del colectivo que no es nulo.
La componente de la velocidad de un portador de carga debida a la presencia del campo eléctrico se denomina velocidad de arrastre y, a menos que el campo eléctrico sea muy intenso, su módulo es pequeño en comparación con el módulo de la velocidad (media) de agitación térmica. Sin embargo, esta velocidad tiene la misma dirección y valor medio para todos los portadores de carga. De ahí que aparezca una corriente dentro del semiconductor.
El movimiento neto de los portadores de carga no es un movimiento acelerado (una partícula sometida a una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado) sino constante. Esto es debido a la dispersión por interacciones con la red cristalina, que tiende a aleatorizar la velocidad del portador tras el choque con la red. Por tanto, tras el choque de un portador se ha perdido, en promedio, la componente de arrastre de la velocidad total. Puesto
que la velocidad de agitación térmica suele ser mucho mayor que la velocidad de arrastre, los mecanismos de dispersión no dependen de esta última.
La velocidad media de arrastre (velocidad que, en promedio, alcanza la componente de arrastre entre dos colisiones sucesivas con la red cristalina) es, en principio, proporcional a la intensidad del campo eléctrico aplicado. El coeficiente de proporcionalidad recibe el nombre de movilidad y toma, en general, valores distintos para los electrones y los huecos. Esta relación de proporcionalidad es válida siempre que la velocidad de arrastre sea pequeña frente a la velocidad de agitación térmica. Si el campo eléctrico aplicado es suficientemente intenso, el arrastre puede hacerse comparable a la agitación térmica y la movilidad comienza a decrecer con el campo eléctrico aplicado.
3.1 MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES.
La energía potencial de un electrón en una red cristalina es una función periódica en el espacio. La justificación de esta afirmación se entiende bien atendiendo a la Figura 18.
Figura 18. Potencial periódico de un electrón en una red cristalina unidimensional. Con línea discontinua el potencial de un átomo aislado. Con línea continua el potencial total
En esta figura se representa la ubicación espacial de los núcleos atómicos en una red cristalina unidimensional. Con línea de trazo discontinuo se representa la energía potencial de un electrón para cada uno de los núcleos, supuestos éstos aislados. Ahora bien, por el principio de superposición, la energía potencial del electrón en la red cristalina es la suma de la contribución de todos los núcleos atómicos. Como resultado de la suma (línea de trazo grueso y continuo) observamos que el potencial resultante es periódico. En la discusión anterior no se ha considerado la contribución que el resto de electrones de la red tiene sobre el potencial total. No obstante, considerando que éstos van a estar distribuidos uniformemente en la red cristalina, su efecto no afectará sobre la periodicidad del potencial.
Cualquier irregularidad del cristal que distorsione la periodicidad del potencial de la red, es un centro de dispersión. Los factores que más alteran esta periodicidad son las vibraciones de los núcleos de la red alrededor de sus posiciones de equilibrio y la presencia de átomos de impureza. La amplitud de las vibraciones crece con la temperatura. Una temperatura de 0K significa que todas las partículas que forman el sólido cristalino ocupan los estados de mínima energía. A medida que aumenta la temperatura, estas partículas empiezan a ocupar estados energéticos superiores. Los núcleos de la red cristalina dejan de estar parados y comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio y los electrones de valencia empiezan a ocupar estados energéticos en la banda de conducción. En cristales relativamente puros y poco dopados la dispersión en iones de impureza es sólo dominante a temperaturas muy bajas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los portadores se dispersan como consecuencia de las vibraciones de los núcleos de la red. En
semiconductores muy dopados, la dispersión térmica (producida por vibraciones de los núcleos) de la red sólo es dominante a temperaturas altas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los portadores se dispersan en los iones formados por los átomos de las sustancias dopantes.
La descripción de los procesos de dispersión se simplifica mucho si se emplea el concepto de tiempo de relajación que es igual al tiempo que tiene que transcurrir para que un portador de carga tenga una velocidad totalmente incorrelada con la velocidad que inicialmente tenía15. Para poder emplear este concepto hay que admitir que la energía cinética de los portadores cambia poco (el módulo de la velocidad permanece constante) durante la interacción con el centro de dispersión. Además, los procesos de dispersión deben producir una distribución aleatoria de velocidades tras la interacción del portador de carga con el centro de dispersión.
El tiempo medio entre choques depende, en ambos mecanismos dispersivos, de la energía cinética del portador de carga. Para describir el comportamiento dispersivo del conjunto de portadores de carga se promedian estos valores, ponderando los tiempos de cada intervalo de energía por la cantidad de electrones cuya energía está dentro del intervalo considerado. Ambos mecanismos dependen fuertemente de la temperatura, de ahí que la movilidad dependa también de ésta.
Figura 19. Mecanismo de dispersión de portadores por impurezas
En un semiconductor extrínseco cada ión de impureza origina a su alrededor un campo eléctrico. Bajo la acción de este campo el portador se desvía de su dirección inicial, tal como se muestra en la Figura 19. El portador se desvía más cuanto menor es su velocidad y más cerca pase del ión de impureza. Por esta razón el tiempo de relajación asociado a la presencia de impurezas decrece a medida que disminuye la temperatura, puesto que la velocidad media de agitación térmica crece con la temperatura. La dispersión de los portadores será también más probable cuanto mayor sea la concentración de impurezas, por lo que el tiempo de relajación debido a impurezas será menor cuanto mayor sea el dopado del semiconductor.
Los átomos de la red cristalina experimentan oscilaciones caóticas con respecto a su posición de equilibrio debido al movimiento térmico. Esto perturba la periodicidad del campo de la red, lo que da lugar a la dispersión de los portadores de carga. La teoría de las oscilaciones térmicas de los átomos de un cristal tridimensional es lo suficientemente compleja como para que no se aborde aquí. Sin embargo resulta evidente que el tiempo medio de relajación debido a este efecto decrece a medida que aumenta la temperatura, ya que la amplitud de las oscilaciones crece.
3.2 CORRIENTE DE ARRASTRE
En apartados anteriores dijimos que la velocidad media de arrastre va de un portador de carga era proporcional al campo eléctrico ξ y que al factor de proporcionalidad lo llamábamos
movilidad eléctrica μ. En general, la movilidad de los electrones de un semiconductor no tiene que ser igual a la movilidad de los huecos, por ello, tendremos que distinguir ambos parámetros
añadiendo un subíndice. Así pues, μn y μp serán los valores de movilidad de los electrones y los huecos, respectivamente. Matemáticamente, esta discusión se puede escribir como
Ecuación 12. Velocidades de arrastre del electrón y del hueco
ξ μ ξ μ ⋅ = ⋅ − = p ap n an v v
Puede demostrarse que el valor de la movilidad viene dado por16
Ecuación 13. Expresiones de la movilidad del electrón y del hueco
; ; h rp p e rn n m t q m t q⋅ = ⋅ = μ μ
donde trn, trp, me y mh son los tiempos de relajación y las masas efectivas de los portadores. Las expresiones de la Ecuación 13 ponen de manifiesto que al disminuir el tiempo de relajación, es decir, al ser más frecuentes los procesos de dispersión, disminuye la movilidad y que las partículas más pesadas (mayor masa) tienen menor valor de movilidad.
El flujo de portares Φ se define como el número de éstos que atraviesa la unidad de
superficie perpendicular al movimiento por unidad de tiempo. Para calcular el flujo de huecos
cuyo movimiento es producido por la presencia de un campo eléctrico externo consideramos un volumen infinitesimal como el de la Figura 20.
Figura 20. Volumen de control para el cálculo de la densidad de corriente
16 La movilidad se define como un parámetro positivo, de hay que en la Ecuación 12 para el electrón aparezca el signo
