CIEN PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA
CIEN PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA
Por:
Por: Hernán Vinicio Lara. Hernán Vinicio Lara.
CORRIENTE CONTÍNUA
CORRIENTE CONTÍNUA
Resistencias purasResistencias puras se montan se montan como lo como lo indica indica la figura la figura P1. P1. Calcular: a) Calcular: a) LaLa resistencia equivalente de la parte
resistencia equivalente de la parte BBC C del circuito. B) Las dos fuentes tienen una del circuito. B) Las dos fuentes tienen una resistencia interna
resistencia interna r r , calcular el valor de la resistencia, calcular el valor de la resistencia x x para que la potencia para que la potencia disipada entre los puntos
disipada entre los puntos AA yy B B sea máxima. C) ¿Cuál es la potencia máxima? sea máxima. C) ¿Cuál es la potencia máxima? Aplicación numérica
Aplicación numérica R R = 1 = 1 Ω,Ω,rr = 3 Ω,= 3 Ω, E E = 6 V. = 6 V.
+ + E E r r + + E E r r x x 3R 3R R R 2R2R R R A A C C D D B B
Solución:
Solución:
a)
a) Cálculo de la resistencia equivalente en
Cálculo de la resistencia equivalente en
BD BD::
R R R R R R R R R R R R 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1
Para la parte
Para la parte
CDBCDB::
R R R R R R R R R R R R 3 3 5 5 3 3 2 2 1 1 2 2
La resistencia equivalente total respecto a
La resistencia equivalente total respecto a
BC BCes:
es:
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R BC BC 14 14 15 15 3 3 3 3 5 5 3 3 3 3 5 5 3 3 3 3 2 2 2 2
b)
b) Para fuentes idénticas en paralelo se conserva el voltaje y la resistencia
Para fuentes idénticas en paralelo se conserva el voltaje y la resistencia
equivalente se calcula como
equivalente se calcula como
r r eqeq
r r //nn, donde
, donde
nnes el número de fuentes. El
es el número de fuentes. El
circuito equivalente para esta parte es:
B B A A
x
x
r/2
r/2
E
E
+ +3R
3R
ii
La corriente que circula por el circuito es:
La corriente que circula por el circuito es:
R R x x r r E E ii 14 14 15 15 2 2
La potencia disipada en la parte
La potencia disipada en la parte
AB ABes:
es:
2 2 14 14 15 15 ii R R x x P P
Remplazando el valor de la corriente
Remplazando el valor de la corriente
I I::
2 2 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15
R R r r x x R R x x E E P PPara determinar el máximo
Para determinar el máximo
P Phay que calcular la derivada
hay que calcular la derivada
dP/dxdP/dx, que es nula en
, que es nula en
los puntos extremos de
los puntos extremos de
P P::
0 0 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2
R R r r x x R R x x r r E E R R r r x x R R r r x x R R x x R R r r x x E E dx dx dP dPResolviendo la ecuación
Resolviendo la ecuación
x x r r R R 14 14 15 15 2 2
La resistencia equivalente en
La resistencia equivalente en
AB ABes
es
r/ r/2; entonces la potencia máxima es:
2; entonces la potencia máxima es:
r r E E r r r r E E r r ii P P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Otra forma de resolver este problema es aplicando el
Otra forma de resolver este problema es aplicando el
teorema de lateorema de la trtr ansferenciansferenci a de potencia a de potencia mámáxixi ma ma
, el cual dice:
, el cual dice:
Una fuente de tensiónUna fuente de tensión independiente en serie con una resistencia RB B A A
x
x
r/2
r/2
E
E
+ +3R
3R
ii
La corriente que circula por el circuito es:
La corriente que circula por el circuito es:
R R x x r r E E ii 14 14 15 15 2 2
La potencia disipada en la parte
La potencia disipada en la parte
AB ABes:
es:
2 2 14 14 15 15 ii R R x x P P
Remplazando el valor de la corriente
Remplazando el valor de la corriente
I I::
2 2 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15
R R r r x x R R x x E E P PPara determinar el máximo
Para determinar el máximo
P Phay que calcular la derivada
hay que calcular la derivada
dP/dxdP/dx, que es nula en
, que es nula en
los puntos extremos de
los puntos extremos de
P P::
0 0 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 14 14 15 15 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 2 2
R R r r x x R R x x r r E E R R r r x x R R r r x x R R x x R R r r x x E E dx dx dP dPResolviendo la ecuación
Resolviendo la ecuación
x x r r R R 14 14 15 15 2 2
La resistencia equivalente en
La resistencia equivalente en
AB ABes
es
r/ r/2; entonces la potencia máxima es:
2; entonces la potencia máxima es:
r r E E r r r r E E r r ii P P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Otra forma de resolver este problema es aplicando el
Otra forma de resolver este problema es aplicando el
teorema de lateorema de la trtr ansferenciansferenci a de potencia a de potencia mámáxixi ma ma
, el cual dice:
, el cual dice:
Una fuente de tensiónUna fuente de tensión independiente en serie con una resistencia Rindependiente en paralelo con una resistencia R
independiente en paralelo con una resistencia RS S suministra una potencia suministra una potencia
máxima a esa resistencia de carga R
máxima a esa resistencia de carga R L L para la cual R para la cual R L L =R =RS S ..
vv
S S + +R
R
S SR
R
L Lvv
L L + +--ii
L LEl lector deberá probar esta alternativa la cual resulta muy simple, aunque
El lector deberá probar esta alternativa la cual resulta muy simple, aunque
perdiendo
perdiendo la
la rigurosidad
rigurosidad matemática
matemática que
que debe
debe poseer
poseer un
un estudiante
estudiante de
de
ingeniería.
ingeniería.
Finalmente en aplicación numérica:
Finalmente en aplicación numérica:
W W P P x x R R ,, 66 28 28 27 27 ,, 14 14 15 15
Las resistenciasLas resistencias AA yy BB están en paralelo y éstas a su vez en serie con la resistenciaestán en paralelo y éstas a su vez en serie con la resistencia de 300
de 300 Ω y con una fuente de 1.5 voltios de resistencia interna despreciable.Ω y con una fuente de 1.5 voltios de resistencia interna despreciable.
Cuando
Cuando B B está desconectada de está desconectada de AA, debe agregarse una resistencia de 100 Ω para, debe agregarse una resistencia de 100 Ω para
que la corriente que pasa por
que la corriente que pasa por AA no varíe. Calcular la resistencia no varíe. Calcular la resistencia B B ..
Solución:
Solución:
ii 300 300 + + 1.5 V 1.5 V A=100 A=100 R R B B ii A A ii B B ii A A R R B B A=100 A=100 1.5 V 1.5 V + + 300 300 ii 100 100Según la figura P2 (a) si las resistencias
Según la figura P2 (a) si las resistencias
A Ayy
B Bestán en paralelo, la resistencia
están en paralelo, la resistencia
equivalente está dada por:
equivalente está dada por:
B B B B R R R R R R
100 100 100 100 1 1La resistencia total del circuito es:
La resistencia total del circuito es:
100 000 30 400 100 100 300 300 1
B B B B R R R R R RLa corriente que atraviesa el circuito es:
000 30 400 100 5 . 1 100 000 30 400 5 . 1
B B B B R R R R iAplicando divisor de corriente:
B A B
R i
i
100y conociendo que
i
i A
i Bse tiene
que:
000 30 400 100 5 . 1 100 100 000 30 400 100 5 . 1
B B B B A B A B B B A R R R R i R i R R i i i(a)
Para el circuito de la figura P2 (b) como la resistencia
Bestá desconectada de
A,
la resistencia equivalente del circuito es:
R
100
300
100
500
y la
intensidad de corriente:
500 5 . 1
iA i(b)
Empleando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene:
300 000 30 400 100 5 . 1 500 5 . 1 B B B R R RLa resistencia de un alambre se mide por medio de un voltímetro y de un amperímetro. Si el voltímetro se conecta a través de del alambre, las lecturas que se obtienen son de 40 voltios y 1 amperio. Cuando el voltímetro se conecta a través del amperímetro, las lecturas son 50 voltios y 0.9 amperios. La resistencia del
voltímetro es de 1 500 Ω. Hallar la resistencia del alambre y del amperímetro.
Solución:
Sea
Rla resistencia del alambre y
rla del amperímetro. La primera conexión se
ilustra en la figura P3 (a), entonces:
A i i1
2
1 V i R i v AB
1
2
1500
40
41 75 73 40 75 73 75 2 1 & 75 2 500 1 40 1 2 A i A R iPara la segunda parte la conexión es la que se muestra en la figura P3 (b). En
este caso:
R
r
0.9 50
41 14.5 9 . 0 50 9 . 0 50 R rTres baterías idénticas se conectan como lo indica la figura P4. ¿Qué lectura registra el voltímetro si se conecta en paralelo con una de las baterías, en A y B .
¿Cuánto marca el amperímetro ideal?
2 44 V 20 V 3 6 A 4
Solución:
En un instrumento de medida ideal su resistencia interna igual a cero, es decir que se
puede eliminar la resistencia de 4 Ω porque la corriente eléctrica preferiría irse por elramal que menos resistencia le ofrece, en este caso por el amperímetro.
Un circuito equivalente sería:
6 24 V 2 3 i A iT 24 V R iT
Donde:
2 4 6 3 6 3 RLa corriente total es:
iT 6 A 424
Aplicando divisor de corriente en la figura P5 (a) se tiene que:
A i i i A A T 2 9 3 6 3 6 3
El valor que marca el amperímetro es de 2 A.
¿Qué potencia consume o entrega la fuente de voltaje del circuito ilustrado en la figura P6?
3
3 V
+
2 A
2
4
i
fPlanteando ecuaciones de malla:
4
2
3 V
+
3
i
1i
2i
32 A
3 2 4i1
i2
(1)
3 4 7i3
i2
(2)
La corriente de malla
i2es igual al valor que suministra la fuente de corriente. Como la
dirección elegida para
i2es contraria a la fuente, entonces:
i2
2 ARemplazando el valor de
i2en (1) y (2):
A i 4 7 4 2 2 3 1
A i 7 5 7 2 4 3 3
8 29 7 5 4 7 3 1
i i i fi
f+
3 V
Por lo tanto la dirección de la corriente
i fcoincide con en el signo positivo de la
fuente, entonces la fuente suministra una potencia
P 18.875W8 29
3
Para el circuito que se indica en la figura P7(a) hallar el valor de v para que f A i
0.5 . 3 5 A v f + 1 4 2 2 iSolución:
Para resolver este problema se empleará el método de la
supermallaque simplifica de
manera significativa la solución de problemas donde es imposible realizar la
transformación de fuente de corriente a fuente de voltaje. Adviértase que la fuente de 5
Ano puede ser convertida a una fuente de voltaje debido a que no se halla en paralelo
i
2
2
4
1
+
f5 A
3
i
1i
2i
3La técnica consiste en formar la
supermallaa partir de dos mallas que tienen una fuente
de corriente como elemento común; es decir la fuente de corriente debe quedar en el
interior de la supermalla.
Asignando como
i1 , i2 , i3a las corrientes de malla como indica la figura P7 (b),
adviértase que la supermalla (línea punteada) se forma con
i1y con
i3debido a que la
fuente de corriente queda al interior de estas mallas. Aplicando la ley de Kirchhoff de
voltajes a la supermalla:
f v i i i i1
53
4 2
32
4Simplificando:
f v i i i1
7 2
53
4(1)
Alrededor de la malla 2:
0 3 9 41
2
3
i i i(2)
La tercera y última ecuación resulta de relacionar las ecuaciones de malla
i1e
i3con la
fuente de corriente:
5
3 1
i
i
(3)
Nótese que
i = i2= 0.5
A. Remplazando este valor en (1) y (2) y resolviendo
simultáneamente con (3) se obtiene que
v f
15V. Entonces la fuente debe tener la
configuración que se indica en la figura P7(c).
15 V
+
Encontrar el equivalente de Thevenin referido a las terminales a-b .
2
1
8 V
3
+
a
b
Solución:
Redibujando el circuito en una forma más simple:
b
a
+
3
5
8 V
2
1
A B CAplicando transformación
Δ-Y referido a los puntos ABC:
5 3 1 R1 R2 R3 A B C
3 1 ; 3 5 ; 9 5 3 2 1 R R R2
8 V
+
a
b
1 31
3
53 5 9b
a
+
8 V
i
7 3El voltaje de Thevenin es el correspondiente a la resistencia de 7/3 Ω: A i 2.77 13 36 3 7 9 5 8
V V ab 6.46 13 84 3 7 13 36
Para hallar la resistencia de Thevenin bastará con cortocircuitar la fuente de tensión.
7 3 a b 5 9 53
2.12 26 55 3 5 3 7 9 5 3 7 9 5 ab RPor lo tanto el circuito equivalente de Thevenin es:
2.12 + 6.46 V b a Si vab
10V encontrar i y v .b 10 6 30 72 9 a 36 v + -i
Solución:
Obsérvese que las resistencias de 30 y 6 Ω se hallan en paralelo con el ramal de la
corriente
i, el cual por cierto no ofrece resistencia alguna, por tanto es el único que se
conserva, pues la corriente va a circular por donde no encuentre oposición.
i
30 6
Dibujando nuevamente el circuito y simplificando:
b
10
a
36
72
9
i
0 V
+
v
-10 V
36
8
a
10
b
i
v
+
- A i 0.56 9 5 18 10
V v 4.44 9 40 8 9 5
Encontrar el valor de v o si i = 5/2 A. 20 2 A +8 V 7 16 3 A 12 vo + 6 3 10 i
Solución:
Utilizando transformaciones de fuente para simplificar el circuito:
i + vo 12 3 A 16 7 8 V + 20 + 32 V 12 12 24 V + 20 7 16 12 vo + i + 36 V 19 24 V + 36 12 vo + i + 36 V 2 3 A 19 36 12 vo + i + 36 V
+ i + vo 9 19 2 3 A 36 V 36 V 19 vo + i + 6 V + 9 42V 28 vo + i +
Aplicando la ley de Kirchhof de voltajes:
2 5 28 42
o vDe donde:
vo
28VHallar el equivalente de Thevenin en los puntos a y b .
10 V
+
R
c12
8
5 A
R=0
a
b
Solución:
Redibujando el circuito puede notarse que
Rcsimplemente es referencial para obtener el
equivalente de Thevenin. El circuito que debe resolverse es el que se halla dentro del
rectángulo punteado:
b a R=0 5 A 8 12 Rc + 10 V
Cortocircuitando la fuente de tensión y eliminando la fuente de corriente para encontrar
la resistencia de Thevenin:
Rc 12 8 a b
4.8 5 24 8 12 8 12 ab RPara encontrar el voltaje de Thevenin se opta por cambiar la fuente de corriente a fuente
de voltaje:
+ Rc 12 8 a 10 V 60 V + i b + + A i 3.5 8 12 60 10
V V ab
60
12
3.5
18Nótese que la dirección de la corriente es la que polariza a las resistencias y por tanto
proporciona los signos respectivos para las caídas de voltaje. Finalmente el circulito
b
+
18 V 4.8 Rc
Para la red de la figura, demostrar que la resistencia entre los puntos a y b es 27/17
Ω. 1 5 3 1 1 b a
Solución:
El lector puede intentar resolver este problema mediante transformaciones o
reducciones de resistencias pero se dará cuenta que resulta imposible hallar una
resistencia equivalente para
a-b.
Para dar solución a este problema se utilizará el artificio de conectar una fuente de
voltaje
ventre
ay
bpara luego determinar la relación
v/idonde
ies la corriente que sale
de la fuente.
a b 1 1 3 1 5 + v iEl valor de voltaje para la fuente es arbitrario Por facilidad se usa
v
27V. Planteando
ecuaciones de malla como muestra la figura:
i1 27 V + 1 5 3 1 1 b a i2 i3 27 2i1
i2
i3
0 7 2 3 1
i i i 0 53 2 1
i i iResolviendo el sistema se obtiene:
i1
17 A,
i2
4 Ae
i3
3 A.
17 27 i v RabEn el circuito de la figura; a) ¿Qué fuentes generan y cuáles consumen potencia?, b) Verifíquese que potencia generada es igual a potencia consumida
15 V + 5 A + 20 V
Solución:
a) De acuerdo a la dirección de la corriente impuesta por la fuente de 5 A:
15 V
+
5 A
+
20 V
i
v
x+
Fuente de 15 V:
P
15
5
75WFuente de 20 V:
P
20
5
100WAplicando sumatoria de voltajes para hallar
v x:
V v x
20
15
5W P
5
5
25b) Las fuentes que entregan potencia son la fuente de 15 V y la fuente de 5 A; en
cambio la fuente de 20 V actúa como carga, es decir consume potencia.
Claramente se puede apreciar que la sumatoria total de potencias es igual a cero.
En el circuito de la figura, los valores eficaces de las intensidades de corriente I1, I2
e IT son 18, 15 y 30 Amperios, respectivamente. Determinar los valores de R y X L.
jX L R 4 I1 I2 IT
Solución:
Una forma sencilla de resolver este tipo de problemas es utilizando diagramas
fasoriales, tal como se indica a continuación:
jX L R 4 I1 I2 T IR IL V V I V
4
2
4
15
60V
I
2
I
R
I
L
I
1
I
T
15
30
18
Aplicando ley de cosenos para calcular
ay posteriormente el ángulo
Y:
º 54 . 130 18 15 2 18 15 30 cos 2 2 2 1
º 46 . 49 º 54 . 130 º 180
Calculando el valor de I
Re I
L:
A II R
1cos
18cos49.46º
11.7 A II L
1sin
18sin49.46º
13.7Finalmente:
5.13 7 . 11 60 R I V R
4.34 7 . 13 60 L L I V X PROBLEMAS ADICIONALESUn medidor tiene una resistencia interna de 10 Ω y da lectura de escala completa
cuando pasan por el 0.1 mA. Este medidor tiene que servir como el sensor de un voltímetro de escala múltiple, como se indica en la figura, con escalas de 1 V, 20 V y 100 V. ¿Cuáles deberían ser los valores de las resistencias desconocidas que aparecen en la figura?
Si se conecta un voltímetro de 50 000 Ω de resistencia en paralelo con la resistencia de 100 00 Ω de la figura, ¿Cuál será la lectura de dicho voltímetro? Si se usa otro
Se conecta un voltímetro y un amperímetro, como indica la figura, para medir la resistencia del resistor R . Si V m e I m son las lecturas del voltímetro y del
amperímetro respectivamente, ¿la resistencia R es mayor, menor o igual que la relación V m /I m ?
Tres resistores idénticos están conectados en paralelo. La resistencia equivalente
aumenta en 700 Ω cuando se retira un resistor y se conecta en serie con los dos
restantes, que siguen en paralelo. ¿Cuál es la resistencia de cada resistor?
Un resistor se conecta primero en paralelo y luego en serie con un resistor de 2 Ω.
Una batería suministra cinco veces más corriente a la combinación en serie. Determinar los valores posibles para el resistor.
En el circuito de la figura no hay corriente en el resistor de 4 Ω. Encontrar la
razón R 1 /R 2 de las resistencias desconocidas.
Cada resistor de la figura es de 5 W (es decir que cada uno es capaz de disipar a lo sumo 5 W de potencia sin quemarse). ¿Cuál es el máximo valor posible para la corriente i ?
Encontrar el equivalente de Thevenin a los terminales a-b .
220
+
j3
4
b
a
6 20º
40 60º
Solución:
El circuito equivalente de Thevenin es referido a los terminales
a-bpor eso es
importante conocer la dirección correcta, en este caso de
ahacia
b(línea punteada).
220
+
j3
4
b
a
6 20º
40 60º
I
V
ab
j
V V ab
6
20º 4
3
40
60º
10.17
69.26ºPara conocer la impedancia equivalente de Thevenin:
a
b
4
j3
220
4 j3 5 36.86º Z abResolver el problema anterior de forma fasorial.
Solución:
Llamando
V R , V Ly
V f a las caídas de voltaje de la resistencia (4 Ω), la bobina (j3 Ω) yI
40 60º
6 20º
a
b
4
j3
+
220
V
RV
LV
f
V V R
6
20º 4
0º
24
20º
V V R
6
20º 3
90º
18
110º º 86 . 56 30 º 110 18 º 20 24
R L Z V V V V V V V ab
f
Z
40
60º
30
56.86º
10.17
69.26ºEl diagrama fasorial se muestra a continuación:
V
RV
LV
ZV
fV
abI
6 9 ° 4 0 ° 2 0 °Un sistema trifásico equilibrado se halla conectado en Y, con secuencia CBA, VAB
= 100| 0º V y una impedancia de 3 + j 10. Dos vatímetros se conectan entre las líneas B-C y A-C. ¿Cuánto marca cada vatímetro?, ¿Cuál es la potencia total?
W 1 3+j10 3+j10 3+j10 W 2 B A C AB A B C VCA VA VC VB VBC N
3 j10 10.44 73.3º Z V V V AB A 30º 57.7 30º 3 100 º 0 100
V V V BC B 150º 57.7 150º 3 100 º 120 100
V V V CA CA 270º 57.7 270º 3 100 º 240 100
A Z V I A A 5.52 43.3º º 3 . 73 44 . 10 º 30 7 . 57
A Z V I B B 5.52 76.7º º 3 . 73 44 . 10 º 150 7 . 57
A Z V I A A 5.52 196.7º º 3 . 73 44 . 10 º 30 7 . 57
BC B V I B BC I V W 1
cos
W W 1
100
5.52
cos43.3º
401.73 VBC IB 4 3. 3 ° VAC 1 0 3 . 3 ° IA AC A V I A AC I V W 2
cos
W W 2
100
5.52
cos103.3º
127W W
W
W T
1
2
275La potencia indicada por los dos vatímetros es la total por tratarse de un sistema
equilibrado.
Un alternador trifásico con conexión Y y 440 V tiene un límite de 35 A por fase, a) ¿Cuál es la potencia aparente de la máquina?, b) Si el alternador suministra una corriente de línea de 20 A con un factor de potencia 0.65, ¿cuál es la potencia aparente por fase de la máquina?
Un sistema trifásico, a 100 V alimenta una carga equilibrada en triángulo con impedancias de 10| -36.4ºΩ y una carga en estrella equilibrada con impedancias de
5| -36.4º Ω. Hallar la potencia en cada carga y el módulo de la intensidad de
corriente de línea y la potencia en cada carga.
Solución:
Z D Z D Z D Z Y Z Y Z Y 100 V 100 V T ID IY
5 36.4º Y Z
Z 10 36.4º Z D Potencia ∆:La corriente por cada impedancia:
A Z V I 10 10 100
La corriente de línea para el circuito en delta:
A I
I L
3
10 3Por tanto, la potencia en delta es:
kW VIP
3 L cos
3
100
10 3
cos
36.4º
2.4Potencia Y:
La corriente por cada impedancia, también resulta ser la corriente de línea para el
circuito en Y:
A Z V I I Y LY Y 3 20 3 5 100 3
Por tanto, la potencia en estrella es:
kW VI P LY cos 36.4º 1.6 3 20 100 3 cos 3
Obsérvese que el ángulo para las impedancias en Y y en ∆ es el mismo, por lo
tanto
para encontrar la corriente de línea I
Tbasta con sumar aritméticamente las corrientes de
línea obtenidas para los circuitos en estrella y en delta.
A I I I T L LY 28.86 3 20 3 10
Sin embargo, esto no siempre sucede, así que a continuación se plantea un método
general para este tipo de problemas:
Transformando el circuito Y en
∆ se obtienen tres pares de resistencias en paralelo,como se muestra:
Z D Z' D Z' D 100 V 100 V IT Z D Z D Z' D ID
' 3 3 5 36.4º 15 36.4º ' Y D Z Z ZReduciendo el paralelo de Z
∆ y Z’∆:
º 4 . 36 6 º 4 . 36 15 º 4 . 36 10 º 4 . 36 15 º 4 . 36 10 ' ' Z Z Z Z ZFinalmente:
A Z V I 16.67 6 100
A I I T
3
3
16.67
28.86Un sistema trifásico ABC de tres hilos con 240 V (voltaje de línea) tiene una carga conectada en Y con ZA= 60| 0º Ω, ZA= 60| -30º Ω, ZA= 50| 45º Ω. Obténgase las
corrientes de línea y el voltaje de desplazamiento del neutro VON.
Solución:
240 V 240 V 60 0º 50 45º 60 30º I1 I2 A B C VAB A B C VCA VA VC VB VBC N º 120 240
AB V º 0 240
BC V º 240 240
CA VConsiderando un sistema con corrientes de malla:
1 2º 120
240
Z A
Z B I
Z BI
21
º 0
240
Z B I
Z B
Z C IRemplazando valores y colocando en forma matricial:
º 0 240 º 120 240 º 8 . 36 109 º 30 60 º 30 60 º 15 116 2 1 I IResolviendo:
º 6 . 3 24 . 2 & º 75 31 . 2 2 1
I
I
60 0º
2.31 75º
138.4 75º 1
Z I Z I
2
1
60
30º
2.24
3.6º
2.31
75º
172.7
25.4º
Z I Z I I V BO B B B
2
50
45º
2.24
3.6º
112
138.6º
Z I Z I V CO C C C N O VAN VCO VAO VBO VON N O 138.5 138.6 ON 15 °En el triángulo AON:
17 . 36 º 15 cos 5 . 138 6 . 138 2 5 . 138 6 . 138 2
2
ON V º 64 . 82 17 . 36 º 15 6 . 138
ONA sen ONA sen V V ON
36.17
172.6º
Empléese otro método para resolver el problema anterior.
Solución:
El método que se sugiere a continuación es simple, éste consiste en sugerir una ecuación
de voltaje de un solo nodo por lo regular con V
OBcomo incógnita.
Redibujando el circuito:
240 V 240 V 60 0º 50 45º 60 30º A B C IA IB IC O VAB VBCA B C O 60 0º 60 30º 50 45º VAB VBC + + IA IB IC VAB A B C VCA VOA VOC VOB VBC O
Según la 1ª ley de Kirchoff:
I A
I B
I C
0Planteando la ecuación respecto al nodo
O, tomando a
Bcomo referencia:
0
C OC B OB A OA Z V Z V Z VSegún el diagrama 3:
0
C BC OB B OB A AB OB Z V V Z V Z V VDespejando en función de V
OB:
0
C BC C OB B OB A AB A OB Z V Z V Z V Z V Z V C BC A AB C B A OB Z V Z V Z Z Z V
1 1 1La ecuación en resalte puede emplearse directamente para la resolución de otros
ejercicios, una vez que se conoce su origen. De idéntica forma pueden desarrollarse
ecuaciones en función del nodo que se tome como referencia. De aquí en adelante la
referencia que se adoptará será respecto al nodo B.
Remplazando valores:
º 6 . 154 7 . 172 º 45 50 1 º 30 60 1 º 0 60 1 º 45 50 º 0 240 º 0 60 º 120 240
OB V º 105 6 . 138 º 120 240 º 6 . 154 7 . 172
OB AB OA V V V º 4 . 41 112 º 0 240 º 6 . 154 7 . 172
BC OB OC V V V N O B C VAN VOC VOA VOB VON V V V V ON AN OA 90º 138.6 105º 36.17 172.6º 3 240
Las corrientes de línea son:
A Z V I A OA A 2.31 75º º 0 60 º 105 6 . 138
A Z V I B OB B 2.88 55.4º º 30 60 º 6 . 154 7 . 172
A Z V I C OC C 2.24 176.4º º 45 50 º 4 . 41 112
En el sistema monofásico balanceado de tres hilos de la figura, sea VAN = 220 V a
60 Hz, a) ¿Cuál es el valor de C para proporcionar una carga de factor de potencia unitario?, b) ¿Cuántos kVA maneja C ?
:
Solución:
5+j2 C A N B 5+j2 220 V 220 V I1 I2 IDebido a que ambas impedancias son iguales, la corriente que circule por el neutro va a
ser igual a cero, por lo tanto:
j
A I I I 40.89 21.8º 2 5 2 º 0 440 2 1
La potencia aparente del circuito es:
kVAR VAR
sen VIsen
Q
440
40.89
21.8º
6681.5
6.68Debido a que el factor de potencia total debe ser igual a uno resulta obvio que los 6.68
kVAR de potencia reactiva serán los consumidos por el capacitor (
Q
QC). El valor de
la capacitancia es:
C c Q V fC X 2 2 1
F F fV Q C C 2 60 440 9.15 10 91.5 5 . 6681 2 5 2 2
Respuestas:
a) 91.5 µF
b) 6.68 kVAR
El circuito de la figura presenta una impedancia infinita (circuito abierto) en la fase B de la carga en estrella. Hallar el fasor de tensión VOB si el sistema es de 208
V y secuencia ABC. - j100 B C O B 100
Solución:
- j100 A B C IA IC O VAC B 100 I º 60 208 º 60 208
AC CA V V º 105 47 . 1 º 45 4 . 141 º 60 208 100 100
j V I II A C AC
100
90º
1.47
105º
147
15º
AO V
100
0º
1.47
285º
147
285º
CO V A B C O VAO VoB VCODel diagrama fasorial:
V V
V
V OB
AB
AO
208
120º
147
15º
284
150ºUn motor de inducción de 37.3 kW, con un rendimiento a plena carga del 85% y un factor de potencia 0.8, se conecta a un sistema trifásico de 480 V. Hallar la impedancia en estrella equivalente que puede sustituir a dicho motor.
Solución:
Por definición de potencias:
P salid a
P entrada
Eficiencia, donde la potencia de salida es
la potencia mecánica (
P m) o potencia en el eje, mientras que la potencia de entrada es la
potencia eléctrica (
P e).
W P P e m 43882.4 85 . 0 37300
º 9 . 36 82 . 0 cos
fpZ
Y480
3
Trabajando por fase:
3 e Y P P
3cos cos e Y Y P P S
4.2 8 . 0 4 . 882 43 480 cos 3 3 2 2 2 e Y Y Y Y Y Y P V S V Z Z V S
4.2 36.9º Y ZEl voltaje que suministra la fuente del circuito que se aprecia en la figura es t
v f
200cos500 . Encontrar los posibles valores de L para que v este en serie con ff i .
400
2 000
L
2.5 uF
+
v
fi
fSolución:
De la expresión matemática para una función armónica
v
vmáx cos
t
, se tiene
que:
vmáx
200V,
500s1,
0º. Las reactancias son:
800 10 5 . 2 500 1 1 6 j C X C
L j L L X C
500
500La impedancia total es:
jL jL j L j L j j Z
4 000 2 800 400 500 000 2 500 000 2 800 400
4 16 º 90 000 2 800 400 2 L arctg L L j Z
4 º 90 4 º 90 cos 16 000 2 800 400 2 L arctg jsen L arctg L L j ZDebido a que la impedancia debe poseer sólo componente real, implica que la parte
compleja debe ser igual a cero:
0 4 º 90 16 000 2 800 2
sen arctg L L L 800 4 cos 16 000 2 2
L arctg L LSi
4 L arctg , de la figura:
2 16 4 cos L
4
L
1 6
+ L
²
0
800 16 4 16 000 2 2 2
L L L 0 16 10 2
L LResolviendo la ecuación:
L
2 H & L
8 HEn el circuito de la figura encontrar la frecuencia para la cual la impedancia equivalente en ab sea puramente resistiva. Encontrar la impedancia correspondiente a esta condición.
5 000
0.25 uF
a
b
Solución:
Cálculo de las reactancias:
L j4 X L
0.25 10 6 1 1
j C X CLa impedancia respecto a
abes:
j j j j j j Z ab
3 6 6 10 25 . 1 000 5 4 10 25 . 0 1 000 5 10 25 . 0 000 5 4
3 2 6 10 25 . 1 1 1 10 5625 . 1 º 90 000 5 4 arctg j Z ab
3 3 2 6 10 25 . 1 1 º 90 10 25 . 1 1 º 90 cos 1 10 5625 . 1 000 5 4 arctg jsen arctg j Z abDebido a que
Z abes solamente resistivo, la parte compleja se anula:
0 10 25 . 1 1 º 90 1 10 5625 . 1 000 5 4 3 2 6
sen arctg Z ab 0 10 25 . 1 1 cos 1 10 5625 . 1 000 5 4 3 2 6
arctg 1 1.25x10 w 1. 5 6 2 5 x 1 0 w ² + 1 -3 - 60
De la figura:
1 10 5625 . 1 10 25 . 1 10 25 . 1 1 cos 2 6 3 3
arctg 0 1 10 5625 . 1 10 25 . 1 1 10 5625 . 1 000 5 4 2 6 3 2 6
1.5625 10 1
4 25 . 6
6 2
1 2 6 0.5625 600 10 5625 . 1
s Hz f f 95.5 2 600 2 2
Remplazando el valor de
ωa fin de obtener la impedancia equivalente en
ab:
3200 3200 2400 75 . 0 000 5 2400 600 10 25 . 1 000 5 600 4 3 j j j j j j j j Z ab
3200 ab ZA un condensador de 60 μF se le aplica una tensión cuya forma de onda es la representada en la figura. Dibujar i(t) y p(t) .1
2 4 6 8
50 V v(t)
t[ms]
Solución:
El período de la función de voltaje es 4
ms, la misma es:
ms t ms t t v 4 , 2 100 25 2 , 0 25De la relación voltamperimétrica para un capacitor:
dt dv C t i( )
ms ms dt dv 4 , 2 25 2 . 0 25
ms ms s ms ms F dt dv C t i 4 , 2 25 2 . 0 25 1 1000 10 6 5
ms ms t i 4 , 2 5 . 1 2 , 0 5 . 1 2 4 6 8 1.5 A i(t) t[ms] -1.51 A menos que se indique otra cosa los valores de voltaje, corriente y potencia están dados en voltios,
Para obtener la función de potencia es necesario multiplicar los valores instantáneos de
voltaje y corriente, que resulta lo mismo superponer ambas curvas (funciones).
2 4 6 8
75 W p(t)
t[ms]
-75
Por un condensador puro de 25 μF de capacidad circula una corriente cuya forma
de onda es la representada en la figura. Obtener la forma de onda de la tensión.
1 2 3 4 5 A i(t) t[ms] -5
Solución:
El período de la onda de corriente es 2
ms, la función correspondiente es:
ms t ms t t i 2 , 1 10 5 1 , 0 5 ) (De la relación voltamperimétrica para un capacitor:
idt C t v 1
ms t t ms t idt 2 , 1 10 5 1 , 0 5 2 2
ms t t ms t t v 2 , 1 10 5 1 , 0 5 1000 10 5 . 2 1 2 2 5
ms t t ms t t v 2 , 1 5 . 12 125 . 0 1 , 0 125 . 0 2 2Un circuito eléctrico es alimentado por una batería de acumuladores. Por espacio de 10
min la tensión en los bornes decrece uniformemente desde
E 0= 60V hasta
E 0= 40V.
La resistencia del circuito R=20 Ω. Hallar la cantidad de electricidad que pasa por el
circuito en 10 min.
G.G.
¿Cuáles elementos consumen y cuales entregan potencia? Dibuje el circuito con los elementos respectivos.A
B
C
D
E
+ -+ + + + --3V
5V
3A
2A
5A
10V
a
b
0 3 5
V V V V ab A 0 3 5 10V
V
V A
V
V V A
12+
i
-
-i
+
Consumen energía
Entregan energía
E D C P P P
