Clase Programación 8

(1)

Programación

Clase 8. Aplicaciones Numéricas

Prof. Gonzalo Müller [email protected]

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

Programación

(2)

Clase Anterior

Funciones Matemáticas en JavaScript. Tradicionales: seno, coseno,…

Números Aleatorios.

(3)

Primeras aplicaciones Numéricas

Algunas áreas de aplicaciones Numéricas: Geometría.

Álgebra.

Optimización. Cálculo.

(4)

Primeras aplicaciones Numéricas

Resolución Numérica: Métodos Secuenciales. Métodos Iterativos.

(5)

Primeras aplicaciones Numéricas

Métodos Secuenciales: Se realiza una secuencia de pasos que obtienen la solución del problema.

… …

…

Solución

(6)

Primeras aplicaciones Numéricas

Métodos Iterativos: Se realiza un proceso de búsqueda cíclica por un número fijo de iteraciones.

… k = 0 Solución₀ Búsqueda de … … k < N V N: número de iteraciones k = k + 1 Soluciónk Búsqueda de nueva solución

(7)

Primeras aplicaciones Numéricas

Métodos Evolutivos: Se realiza un proceso de búsqueda cíclica que parte de una solución inicial que evoluciona hasta una solución aceptable.

k = 0 Solución₀ … Solución_k … k < N && Solución no aceptable V k = k + 1 Soluciónk Búsqueda de nueva solución F Aunque existe un número fijo de iteraciones el proceso puede detenerse antes al encontrar una

(8)

Métodos Secuenciales

…

_…

…

(9)

Álgebra Clásica

Sucesión:

Sumatoria:

{ }

_X_k = _X₁_, _X₂_,_L = _g(k) = _g(1), _g(2)_,_L

Productoria: g(N) g(2) g(1) g(k) N 1 k + + + =

∑

= L g(N) g(2) g(1) g(k) N 1 k ∗ ∗ ∗ =

∏

= L

(10)

Álgebra Clásica

Sucesión:

Sumatoria:

{ }

_X_k = _X₁_, _X₂_,_L = _g(k) = _g(1), _g(2)_,_L … g(1) … g(N) N

Productoria: g(N) g(2) g(1) g(k) N 1 k + + + =

∑

= L g(N) g(2) g(1) g(k) N 1 k ∗ ∗ ∗ =

∏

= L … ∑g(k) N … ∏g(k) N

(11)

Estadística Descriptiva

Media: Establece cual es el comportamiento promedio de un conjunto de datos: Datos de Entrada: El número N de puntos. El número N de puntos. Puntos X. Procedimiento:

∑

= = N 1 k k X N 1 µ

(12)

Estadística Descriptiva

Media: Establece cual es el comportamiento promedio de un conjunto de datos: Datos de Entrada: El número N de puntos. El número N de puntos. Puntos X. Procedimiento:

∑

= N k X N 1 µ N … µ X … X

(13)

Estadística Descriptiva

Varianza: Establece que tan disperso están un conjunto de datos: Datos de Entrada: El número N de puntos. El número N de puntos. Puntos X. Procedimiento: 2 N 1 k k N 1 k 2 k 2 X N 1 X N 1 σ       −       =

∑

= =

(14)

Estadística Descriptiva

Varianza: Establece que tan disperso están un conjunto de datos: Datos de Entrada: El número N de puntos. El número N de puntos. Puntos X. Procedimiento: 2 N k N 2 k 2 X N 1 X N 1 σ       −       =

∑

N … σ2 X … X

(15)

Estadística Descriptiva

Regresión:

Mínimos Cuadrados: Permite obtener la recta y=m x + b que mejor se aproxima a N puntos en R2.

Datos de Entrada:

El número N de puntos. Puntos (X, Y)

(16)

Estadística Descriptiva

Procedimiento:     −           −             =

∑

= = = N 2 k 2 N k k N 1 k k N 1 k k N 1 k k X N X Y X N Y X m     −    

∑

=

∑

_k=₁ k 1 k k N X X       −                   −             =

∑

= = = = = = N 1 k 2 k 2 N 1 k k N 1 k k N 1 k 2 k k N 1 k k N 1 k k X N X Y X Y X X b

(17)

Estadística Descriptiva

Procedimiento:     −           −             =

∑

= = = N 2 k 2 N k k N 1 k k N 1 k k N 1 k k X N X Y X N Y X m     −    

∑

=

∑

_k=₁ k 1 k k N X X       −                   −             =

∑

= = = = = = N 1 k 2 k 2 N 1 k k N 1 k k N 1 k 2 k k N 1 k k N 1 k k X N X Y X Y X X b … m b N X₁,Y₁… X_N ,Y_N

(18)

Cálculo

Integración:

Suma de Riemann: Se calcula la integral de una función f(x) como la suma de rectángulos.

Datos de Entrada:

El intervalo de integración [A, B].

(19)

Cálculo

Procedimiento: Suma Derecha: {X_k}= A + k * ∆ ∆ = (B – A)/N

∫

∑

= ∆ = N 1 k k B A ) f(X f(x) Punto Medio: {C_k}= A + (k – ½) * ∆ ∆ = (B – A)/N

∫

∑

= ∆ = N 1 k k B A ) f(C f(x)

(20)

Cálculo

Procedimiento: Suma Derecha: {X_k}= A + k * ∆ ∆ = (B – A)/N

∫

∑

= ∆ = N 1 k k B A ) f(X f(x) Punto Medio: {C_k}= A + (k – ½) * ∆ ∆ = (B – A)/N … A, B

∑

∫

= ∆ = N 1 k k B A ) f(C f(x)

(21)

Métodos Secuenciales

Ejemplo: Construir una pagina web con JavaScript para calcular la integral entre A y B utilizando la Suma de Riemann por la Derecha, para función f(x)=x2

Fase 1: Análisis y Diseño: DES,DRE ó DF, LV y CF.

Fase 2: Codificación: página web con Javascript.

Etapa 1: Sucesión Etapa 2: Integral

(22)

Métodos Iterativos

x_k+1 = f(x_k)

x

k+1

x

_k _x

k+1 = f(xk)

x

k+1

(23)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Método de Newton: Converge más rápidamente a la solución que el método de bisección, ya que toma en cuenta información de f(x).

Partiendo de un punto relativamente cercano al 0. La intersección de la tangente de la curva en el

punto dado es una buena aproximación al 0. punto dado es una buena aproximación al 0.

(24)

Solución de una ecuación f(x) = 0

(25)

Solución de una ecuación f(x) = 0

x₁

(26)

Solución de una ecuación f(x) = 0

x₁

(27)

Solución de una ecuación f(x) = 0

x₁ x₀

(28)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

x₀: Un valor inicial para comenzar la búsqueda de la solución, tal que:

x₀ ∈ (A, B)

M: El número máximo de iteraciones para la M: El número máximo de iteraciones para la

búsqueda.

Solución:

x = x_M

(29)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {x_k} a partir del valor inicial, tal que:

x₀ x₁ = x₀ – f(x₀)/f´(x₀) x = x – f(x )/f´(x ) Iteración 1 Iteración 2 x₂ = x₁ – f(x₁)/f´(x₁) … x_k+1 = x_k – f(x_k)/f´(x_k) … x_M = x_M-1 – f(x_M-1)/f´(x_M-1) Iteración 2 Iteración M

(30)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {x_k} a partir del valor inicial, tal que:

x_k+1 = x_k – f(x_k)/f´(x_k)

x

k+1

x

_k _x k+1 = xk – f(xk)/f´(xk)

x

k+1

x

_k … x_M x₀ M

(31)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

1 + 1: Se realiza proceso de búsqueda evolutiva hasta obtener una solución aceptable.

x₀

Datos de Entrada:

x₀ ∈ (A, B)

x₁ x₁

(32)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

x₀

Datos de Entrada:

x₀ ∈ (A, B)

x₁

(33)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

x₀

Datos de Entrada:

x₀ ∈ (A, B)

x₁ Minimización

(34)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

∆: Un delta de búsqueda alrededor de la solución actual.

δ(∆) = ∆ * Aleatorio(0, 1)

Aleatorio(0, 1): Número aleatorio uniformemente Aleatorio(0, 1): Número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1

M: El número máximo de iteraciones para la búsqueda.

(35)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Solución:

x = x_M o

x = x_h

h: iteración donde no se logro obtener mejor solución a la actual.

Condición de uso:

(36)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {x_k}, {c_k} y {d_k}, tal que: c₀= x₀ – δ(∆), d₀= x₀ + δ(∆) Si (f(c₀) > f(x₀)) x₁= c₀ sino Si (f(d₀₀) > f(x₀₀)) x₁₁= d₀₀ sino DETENER … c_k = x_k – δ(∆), d_k = x_k + δ(∆) Si (f(c_k) > f(x_k)) x_k+1= c_k sino Si (f(d_k) > f(x_k)) x_k+1= d_k

(37)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {x_k}, {c_k} y {d_k}, tal que: c₀= x₀ – δ(∆), d₀= x₀ + δ(∆) Si (f(c₀) > f(x₀)) x₁= c₀ sino Si (f(d₀₀) > f(x₀₀)) x₁₁= d₀₀ sino DETENER … c_k = x_k – δ(∆), d_k = x_k + δ(∆) Si (f(c_k) > f(x_k)) x_k+1= c_k sino Si (f(d_k) > f(x_k)) x_k+1= d_k sino DETENER Maximización

(38)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {x_k}, {c_k} y {d_k}, tal que: c_k = x_k – δ(∆), d_k = x_k + δ(∆) Si (f(c_k) > f(x_k)) x_k+1= c_k

x

_k+1

x

_k sino Si (f(d_k) > f(x_k)) x_k+1= d_k sino DETENER

x

_k+1

x

_k … x_k x₀ ∆

(39)

Métodos Iterativos

Ejemplo: Construir una pagina web con JavaScript para estimar una raíz dado un valor inicial x por Newton para función f(x)=x2

(40)

Métodos Iterativos

…

a

_k+1

,

b

_k+1

,

a

_k

,

b

_k

,

…

b

_k+1

,

…

b

_k

,

…

Reducción de intervalos

(41)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Método de bisección: Forma parte de los métodos iterativos.

Toma en cuenta los cambios de signo de la función.

Datos de Entrada:

[A, B]: El intervalo de búsqueda.

(42)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

M: El número máximo de iteraciones para la

(43)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

b₀ a₀

(44)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

b₀ a₀

(45)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

a₁ b₁

m₁

a₀

(46)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Datos de Entrada:

a₁ b₁

a₀

(47)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Solución:

x ∈ [a_M, b_M]

Condición de uso:

f(A) > 0 y f(B) < 0 o viceversa

Garantiza un cruce de f(x) por el eje x

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k} y {m_k}, tal que:

(48)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Si (Signo(f(b₀)) == Signo(f(m₀))) a₁ = a₀ , b₁ = m₀ sino a₁ = m₀ , b₁ = b₀ m₁ = (a₁ + b₁)/2 a₁ b₁ m₁ … Si (Signo(f(b_k)) == Signo(f(m_k))) a_k+1=a_k, b_k+1=m_k sino a_k+1=m_k, b_k+1=b_k m_k+1 = (a_k+1 + b_k+1)/2 … a_k b_k m_k

(49)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k} y {m_k}, tal que: Si (Signo(f(b_k)) == Signo(f(m_k))) a_k+1=a_k, b_k+1=m_k

a

_k+1

b

a

_k

b

ak+1=ak, bk+1=mk sino a_k+1=m_k, b_k+1=b_k m_k+1 = (a_k+1 + b_k+1)/2

b

_k+1

m

_k+1

b

_k

m

_k … a_M,b_M A, B M

(50)

Solución de una ecuación f(x) = 0

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k} y {m_k}, tal que: Si (Signo(f(b_k)) == Signo(f(m_k))) a_k+1=a_k, b_k+1=m_k

a

_k+1

b

a

_k

b

ak+1=ak, bk+1=mk sino a_k+1=m_k, b_k+1=b_k m_k+1 = (a_k+1 + b_k+1)/2

b

_k+1

m

_k+1

b

_k

m

_k … m_M A, B M

(51)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Búsqueda de Sección Dorada: Se realiza proceso de búsqueda iterativa.

A B

Datos de Entrada:

(52)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

a₀ b₀ d₀

c₀

Datos de Entrada:

(53)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

a₀ b₀ d₀

c₀

Datos de Entrada:

(54)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

a₀ b₀

Datos de Entrada:

a₁ b₁ d₁

(55)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Solución: x ∈ [a_M, b_M] Condición de uso: f convexa | x ∈ [A, B] 2 2 1 5 r _       − = Sección Dorada

(56)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k},{c_k} y {d_k}, tal que: a₀ = A, b₀ = B, c₀ = a₀ + r(b₀– a₀), d₀ = b₀ – r(b₀– a₀) … Si (f(c ) > f(d )) ← Maximización a Si (f(c_k) > f(d_k)) ← Maximización a_k+1= a_k, b_k+1= d_k, d_k+1= c_k, c_k+1= a_k + r(d_k– a_k) sino a_k+1= c_k, b_k+1= b_k, c_k+1 = d_k, d_k+1= b_k – r(b_k– c_k) … a_k b_k c_k d_k

(57)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k},{c_k} y {d_k}, tal que: Si (f(c_k) > f(d_k)) a = a , b = d , d = c , …

a

_k+1

b

_k+1

a

_k

b

_k Maximización a_k+1= a_k, b_k+1= d_k, d_k+1= c_k, … sino a_k+1= c_k, b_k+1= b_k, c_k+1 = d_k, …

b

_k+1

c

_k+1

d

_k+1

b

_k

c

_k

d

_k … a_k,b_k A, B M

(58)

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x)

Procedimiento: Se genera un sucesión de puntos {a_k},{b_k},{c_k} y {d_k}, tal que: Si (f(c_k) > f(d_k)) a = a , b = d , d = c , …

a

_k+1

b

_k+1

a

_k

b

_k Maximización a_k+1= a_k, b_k+1= d_k, d_k+1= c_k, … sino a_k+1= c_k, b_k+1= b_k, c_k+1 = d_k, …

b

_k+1

c

_k+1

d

_k+1

b

_k

c

_k

d

_k … m_k A, B M

(59)

Métodos Iterativos

Ejemplo: Construir una pagina web con JavaScript para estimar una raíz en un intervalo A y B por Bisección para función f(x)=x2

(60)

Ejercicios

8. Construir un programa en Javascript para:

a) Calcular la integral entre A y B utilizando el teorema fundamental del cálculo, para la siguiente función:

función:

Fase 1: Análisis y Diseño: DES, DRE ó DF, LV y CF. Señalar estructuras, acumuladores y contadores, inicialización, acumulación y conteo.

Fase 2: Codificación: pagina Web con JavaScript.

(x)

sen

(61)

Ejercicios

b) Calcular la integral entre A y B utilizando la Suma

de Riemann por Punto Medio y el teorema

fundamental del cálculo y compare, para la siguiente función:

función:

(x)

sen

(62)

Ejercicios

c) Estimar una raíz en un intervalo A y B por Newton para la siguiente función:

(x)

cos

x

2

−

4

(x)

cos

(63)

Ejercicios

d) Estimar una raíz por Bisección en un intervalo A y B para la siguiente función:

(x)

cos

x

2

−

4

(x)

cos

(64)

Ejercicios

e) Estimar un máximo en un intervalo A y B por 1+1 para la siguiente función:

(x)

cos

x

2

−

4

(x)

cos

(65)

Ejercicios

f) Estimar un máximo en un intervalo A y B por Sección Dorada para la siguiente función:

(x)

cos

x

2

−

4

(x)

cos

(66)

Ejercicios

8. Construir un programa en Javascript para: g) Dado el siguiente método

Iteración de punto Fijo: Método para resolver f(x)=x x_k+1 = f(x_k)

x

k+1

x

_k Condición de uso: |f´(x)| < 1 y f, f´ continuas | x ∈ [A, B] x_k+1 = f(x_k)

x

k+1

x

_k … x_M x₀ M

(67)

Ejercicios

Estimar una solución dado un valor inicial x para:

x

(x)

cos

x

2

−

4

=

(68)

Resumen

Algunas aplicaciones numéricas:

Métodos Secuenciales

Sucesión, Sumatoria y Productoria.

Estadística Descriptiva: Media, Varianza, Regresión. Integración: Suma de Riemann.

Métodos Iterativos

Solución de una ecuación f(x) = 0: Newton

Métodos Evolutivos

Búsqueda del Máximo o Mínimo de f(x): 1 + 1.

Métodos Iterativos – Reducción de Intervalos

Solución de una ecuación f(x) = 0: Bisección.