Desarrollo Del Pensamiento Matematico y La Actividad Docente

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(2) El desarrollo del pensamiento matemático y la actividad docente.

(3) Créditos Coordinación general Dra. Rosa María Farfán Márquez. Autores: Rosa María Farfán Márquez Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza Luis Manuel Cabrera Chim José David Zaldívar Rojas Claudia Leticia Méndez Bello Erika García Torres Erika Marlene Canché Góngora Karla Margarita Gómez Osalde Dinazar Isabel Escudero Avila Eric Flores Medrano Daniela Geraldiny Soto Soto María Esther Magali Méndez Guevara Eduardo Carlos Briceño Solís Maribel Moreno Ochoa Rubén Alejandro Gutiérrez Adrian Adriana Moreno Valdez Mayra Anaharely Sarai Báez Melendres Daniela Reyes Gasperini Martha Maldonado Rosales.

(4) Índice. Presentación Capítulo 1 Introducción Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas De la aproximación socioepistemológica a la práctica educativa Capítulo 2. Situaciones de Aprendizaje para profesores Introducción Pedro quiere comprar unos patines Las mezcladoras El problema de Rubén Llenado de recipientes El gato ¿Apuestas? Capítulo 3. Situaciones de Aprendizaje para estudiantes Introducción Proporcionalidad y reparto proporcional Creciendo y disminuyendo Cuadrando los palillos Las gráficas y el movimiento Jugando con fichas especiales Ahorrando para nuestra nueva sala de medios Simetría con espejos. Referencias.

(5) Reconocimiento. Las situaciones de aprendizaje concretadas en el marco de la Especialización de Alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas son resultado de las aportaciones de profesoras y profesores durante la fase de reproducibilidad, o fase a distancia, junto con el apoyo de una tutora o tutor del Cinvestav. Es por ello que nos permitimos hacer un reconocimiento a todos los que se involucraron en el rediseño de una situación, por el trabajo de discusión y reflexión realizado para la obtención de estos productos. En particular, se otorga un reconcomiendo especial a los profesores y tutores que participaron en el rediseño de las situaciones presentadas en el capítulo 3 de este libro. Ellos son: Tutores M. en C. Erika Marlene Canché Góngora M. en C. María Ojilvie Terrones Arellano M. en C. José David Zaldívar Rojas M. en C. Eric Flores Medrano Lic. Adriana Moreno Valdez Lic. María Eugenia Vega Flores Lic. Melissa Valeska Andrade Molina.

(6) Mentores Adriana Citlálic Almeda Rivas Akhenaton Soto De Los Santos Albertico Guevara Araiza Alejandro Héctor Molina Canales Aurora Pérez Hernández Carlos Manuel Medina Quiroz Cruz Flores Delgado Cynthia Ramírez González Dagoberto Escobedo Guzmán Eduardo García Sereno Enrique Luna García Ernesto Pescador Salas Evaristo González Muñoz Federico Sólis Ronquillo Fernando Figueroa Casas Francisco Javier López Moncada Graciela Tejeda Sánchez Gustavo Peña Guevara Hector Hernández Castellanos Hilario Enríquez Hernández Hilda Margarita Castillo Güereca Homero Rocha Villanueva Ignacio Ramírez Ibarra Irma Preciado Tello Isela Lima Ortega Iván Sánchez Morales Ixtazú Mares Ventura Javier Saúl Varela Molinar Jesús Ignacio Amaya Joel Caro Corona Jonhy Alan García Torres Jose Maria Rosas Moroyoqui José Martín Hernández Torres Juan Gabriel Desilos Hernández Juan Manuel Sánchez Dávila Julio César Garza Piñón. Durango Puebla Chihuahua Morelos Oaxaca Baja California Hidalgo Puebla Nuevo León Jalisco Querétaro Durango Zacatecas Durango Oaxaca Nuevo León Jalisco Nayarit Distrito Federal Michoacán Durango Tamaulipas Durango Puebla Tlaxcala Estado de México Michoacán Chihuahua Baja California Nayarit Nayarit Sonora Tamaulipas Tamaulipas Nuevo León Tamaulipas.

(7) Leobardo Mendoza Ramírez Leonardo Piñón Guerrero Leyda Andrea Delgado Matilla Luis Cano Montiel Luz Aracely Carnero Muñiz Luz Yasmín Zacarías Pérez Ma. Alejandra Guadarrama Delgado Ma. Mitzú Yenisse Romo Marco Alonso Salazar Ramírez María Cristina Herrera Mendoza Maria De Los Angeles Corona Beristain María de Lourdes Gómez García Marifel Hernández Espinoza Mariza Ibarra Leyva Martha Ofelia Prieto Torres Martha Patricia De Atocha Amaya Almeida Mayra Elizabeth García Tovar Norma Zamora Morales Rafael Esparza Moran Rafael Viveros Acosta Ranulfo Moreno Meraz Raymundo José Llanes Rodríguez Ricardo Ledezma Sánchez Rosa María Razo Vargas Rubén Moreno Hernández Russell Francisco Reyes Reyes San Juana Clemente Lara Sergio Luciano López Socorro Flores Marín Victoria Reyes Trejo Yaneli Bianey García Flores Yesenia Castro Larios. Estado de México Distrito Federal Aguascalientes Veracruz Chihuahua Chiapas Estado de México Aguascalientes Durango Chihuahua Tlaxcala Coahuila Baja California Sur Sinaloa Chihuahua Yucatán Tamaulipas Tlaxcala Nuevo León Veracruz San Luis Potosí Durango Chihuahua Baja California Sur Guanajuato Yucatán San Luis Potosí Chihuahua Nayarit Baja California Estado de México Zacatecas.

(8) Presentación. Este libro sobre desarrollo del pensamiento matemático a través de las situaciones de aprendizaje como herramienta fundamental, presenta una visión de grupo. Cubre el trabajo de investigación y enseñanza de un conjunto de colegas ocupados por estudiar sistemáticamente fenómenos didácticos ligados a la matemática escolar. Incluye a aquellos fenómenos relativos a los aprendizajes, como otros más bien centrados en la estructura del currículo y los roles del docente de matemáticas y de ciencias. Las aproximaciones, como podrá confirmar el lector, son novedosas y diversas. En nuestra opinión, dicha diversidad es indispensable para articular proyectos de cambio e innovación educativos. Hemos incluido una serie de novedosas e interesantes situaciones encaminadas al tratamiento y desarrollo del pensamiento matemático, con actividades específicas para profesores y estudiantes de secundaria. Cada capítulo de este libro fue elaborado en el marco de la Especialización de Alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, proyecto conjunto entre la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS) de la Secretaría de Educación Pública (SEP) y el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav - IPN). Los libros, artículos de investigación o tesis de maestría o doctorado que fueron utilizados para la elaboración de los capítulos se enlistan en la bibliografía recomendada. De esta manera proporcionamos una forma de alcanzar mayor profundidad. Este libro es una contribución de escuela, de un grupo interinstitucional de carácter nacional que se ha conformado como red académica entre investigadores y profesores, con el fin de producir conocimiento científico sobre los fenómenos didácticos ligados a la matemática escolar. Esperamos que la lectura y el desarrollo de las actividades previstas resulten de utilidad para el lector y estaríamos enormemente agradecidos si, en el curso de la experimentación que las profesoras y los profesores de matemáticas de secundaria harán de este material, nos hacen llegar sus resultados a fin de retroalimentar nuestros diseños. Los autores.

(9) Capítulo 1 El aprendizaje de las matemáticas desde la investigación en matemática educativa Rosa María Farfán y Ricardo Cantoral Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. Introducción La enseñanza en general y la de las matemáticas en particular son asuntos de la mayor importancia para la sociedad contemporánea. Con el paso del tiempo, las sociedades han conformado instituciones a fin de articular el saber científico y matemático con la cultura de la sociedad, buscando favorecer entre un sector más amplio de la población una visión científica del mundo. Este libro se conforma de dos partes principales; la primera se centra en el análisis de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, además de ofrecer una perspectiva teórica bajo la cual se trabajará la siguiente sección. En la segunda se presentan diseños de situaciones de aprendizaje en las cuales se ejemplifica el uso de una matemática funcional, basada en perspectivas actuales de investigación. Esta segunda sección, se divide a su vez, en dos: la primera son situaciones diseñadas para profesores de secundaria y la otra para estudiantes de secundaria. Ambas contienen situaciones adaptadas y desarrolladas en el marco de la Especialización de alto Nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, proyecto de la Secretaría de Educación Pública (SEP) en colaboración con el Centro de Investigación y de estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN). En este capítulo ofrecemos una interpretación de aspectos relativos a la enseñanza de las matemáticas del nivel básico. Debemos aclarar de entrada que no pretendemos ser exhaustivos en cuanto a brindar un panorama del estado que guarda la enseñanza de las matemáticas, aunque si aspiramos a dar una perspectiva sugerente y contemporánea de algunos aspectos tanto para los docentes de matemáticas como para los interesados en el campo de la investigación educativa. La escritura de este apartado ha tomado como fuente principal algunas publicaciones previas (Farfán, R. y Cantoral, R. (2003); Alanís, J. et al (2003); y diversos informes de la Secretaría de Educación Pública.. 1.

(10) Capítulo 1. También abordaremos las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en tanto actividades de naturaleza social. Nos centramos en el estudio de los procesos del pensamiento matemático que se producen en el curso de una relación didáctica, es decir una relación que trata de aquello que el profesor se propone enseñar en matemáticas y aquello que efectivamente los estudiantes son susceptibles de aprender. Nuestro objetivo es explorar el sentido que tiene el desarrollo del pensamiento matemático entre los estudiantes en el transcurso de la gestión de su aprendizaje. Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la abstracción o más ampliamente de los procesos mentales en un sentido genérico, solemos dirigir nuestra mirada hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para los psicólogos las preguntas: ¿cómo piensa la gente?, ¿cómo se desarrollan los procesos del pensamiento?, o ¿en qué medida la acción humana adquiere habilidad en la resolución de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia cotidiana de su quehacer. De manera que el pensamiento como una de las funciones mentales superiores, se estudia sistemática y cotidianamente en escenarios profesionales. De qué podría tratar entonces el pensamiento matemático. Sabemos por ejemplo que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente y de cómo se realizan diversas tareas o se desempeñan ciertas actividades. De este modo, en el libro usaremos el término pensamiento matemático para referirnos a las formas en que se piensa ante situaciones matemáticas, o dicho de otro modo, nos referimos al cómo desarrollan las personas una forma matemática de pensar en su acción cotidiana. Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo piensa la gente un contenido específico, en nuestro caso las matemáticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de apropiación de los conceptos y procesos propiamente matemáticos. Este interés por estudiar la psicología del pensamiento matemático es relativamente nuevo, aunque podríamos decir que es, sobre todo, esperanzador. Pues se abriga con ello la esperanza de que el desarrollo de este programa de investigación mejore significativamente los procesos educativos en matemáticas en los distintos niveles de los sistemas escolares contemporáneos. Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento, emotividad y factores de experiencia cuando se desempeñan cualquier clase de funciones, nos interesa que al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente en el sentido de la actividad matemática como una forma particular de actividad humana. De modo que debemos interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, los argumentos, las escrituras o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una cierta tarea matemática, del mismo modo que nos ocupamos por descifrar los mecanismos 2.

(11) Capítulo 1. mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formación de los pensamientos matemáticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta a una pregunta no se corresponda con el conocimiento aceptado institucionalmente, las razones por las que su pensamiento matemático opera como lo hace. De este modo, habremos de explicar con base en modelos mentales, didácticos y socioculturales, cuáles son las razones por las que persistentemente los alumnos consideran que 20 es 0 aunque su profesor insistentemente les diga que 20 es 1; o bien que suelan considerar que el binomio (a  b)2 es igual a2  b2 y no, como sabemos, que (a  b)2  a2  2ab  b2. En este sentido es que nos interesa analizar las producciones de los alumnos ante tareas matemáticas, tanto simples como complejas, asumidas como formas de entender el proceso de construcción de los conceptos y procesos matemáticos al mismo tiempo que sabremos que en esa labor, su propio pensamiento matemático está, también, en pleno curso de constitución. Durante las últimas décadas ha tenido lugar el nacimiento de una perspectiva teórica para los asuntos educativos que, en nuestra opinión, permite desentrañar la naturaleza del conocimiento matemático en toda actividad humana. Hace ya algún tiempo, destacados matemáticos profesionales, como Hadamard, Poincaré, Polya o Freudenthal, se interesaron por explorar la psicología del razonamiento matemático y lo hicieron mediante estudios del tipo introspectivo al analizar su propia actividad personal o a través de estudiar sistemáticamente las producciones de jóvenes escolares. Del mismo modo, la obra de Piaget jugó una considerable influencia sobre el esclarecimiento del pensamiento humano, más específicamente sus estudios sobre la construcción de la noción de número, de las representaciones geométricas, del razonamiento proporcional o del pensamiento probabilístico han tenido una fuerte influencia en el entendimiento de las nociones matemáticas. Aunque esos hallazgos han jugado un papel fundamental en el terreno de la investigación contemporánea, las currícula matemáticas y los métodos de enseñanza han sido inspirados durante mucho tiempo sólo por ideas que provienen de la estructura de las matemáticas formales y por métodos didácticos fuertemente apoyados en la memoria y en el empleo de algoritmos, donde con frecuencia el estudiante se encuentra imposibilitado de percibir las relaciones que existen entre sí los diversos procedimientos con las aplicaciones más cercanas de su vida cotidiana y se priva entonces de experimentar en carne propia sus propios aprendizajes en escenarios distintos a los que le provee su salón de clase. Si quisiéramos entonces describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de distintas formas, por un lado se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de 3.

(12) Capítulo 1. su conocimiento o sobre la naturaleza del proceso de su descubrimiento e invención. Por otra, se entiende al pensamiento matemático como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas; finalmente una tercera visión considera que el pensamiento matemático se desarrolla entre todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas, esta última visión eminentemente social y cotidiana es la que guía nuestras formulaciones teóricas. Desde esta última perspectiva, el pensamiento matemático no está enraizado exclusivamente en los fundamentos de la matemática, ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir y tratar con ideas matemáticas incluidas aquellas que provienen de la vida cotidiana: Observar, clasificar, medir, contar, pesar, ordenar, secuenciar, comparar... Por tanto, se asume que la construcción del conocimiento matemático posee niveles y profundidades, por citar un ejemplo, en la medición del área, las unidades convencionales (metro cuadrado, centímetro cuadrado, etc.) a diferencia de otras unidades no existen como instrumentos de medición en las tiendas de autoservicio, en las papelerías o tlapalerías, del mismo modo que podemos comprar reglas, cintas métricas graduadas, escuadras con diferentes unidades de longitud; pesas y balanzas para la masa, entre otras, se determina indirectamente, a partir de medidas de longitud y con instrumentos correspondientes a esta magnitud. Al respecto del área, Piaget afirmó que la noción de conservación del área es un aspecto preliminar y fundamental para el entendimiento del concepto de área y de su medición. Es decir, la conservación antecede a la medición. Un ejemplo adicional trata del concepto de volumen, concepto formado por diferentes propiedades y relaciones con otros conceptos; los niños de entre 6 y 7 años suelen ocuparse de comparar recipientes, quitar y agregar líquido de dichos recipientes y de medir de algún modo el efecto de sus acciones sobre el volumen, aunque la idea de volumen no esté plenamente construida en su pensamiento. En tanto que algunas propiedades tridimensionales del volumen de los paralelepípedos rectos o los prismas, como por ejemplo las relaciones que se pueden encontrar entre longitudes, áreas y volúmenes son tratadas en la escuela cuando los jóvenes tienen entre 15 y 16 años, sólidos de revolución e integrales múltiples son estudiadas entre los 18 y 21 años, de manera que el pensamiento matemático sobre la noción de volumen se desarrolla a lo largo de la vida de los individuos, por tanto la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela debería de tomar en cuenta dicha evolución. De este modo habremos de entender, en un sentido moderno, que el pensamiento matemático incluye por un lado, el pensamiento sobre tópicos matemáticos y por otro, procesos del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis. El pensamiento matemático entonces debe operar sobre una red compleja de conceptos, unos avanzados y otros más elementales. 4.

(13) Capítulo 1. Ahora bien, dado que para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que producirán la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes; y que para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status de herramienta y de objeto; tradicionalmente se ha considerado a la enseñanza de las matemáticas como una suerte de arte que queda libremente bajo el virtuosismo del profesor. El efecto de esa enseñanza sobre el aprendizaje del alumno, suele ser evaluada con relación al buen comportamiento escolar del estudiante, a la aprobación o reprobación de los exámenes escritos del curso y no se discute mucho qué ocurre específicamente en la esfera del aprendizaje, se confunde con frecuencia la acreditación con el aprendizaje. Supone esta visión, que el aprendizaje de los alumnos depende exclusivamente de la atención que presten a la exposición del profesor, del dominio que éste tenga tanto al nivel del arte en su enseñanza como al de su maestría en el tema. Esta visión, aunque existe en nuestras aulas contemporáneas, está siendo cambiada de forma paulatina y, en nuestra opinión, sus más profundas transformaciones están llegando. Ante estas prácticas escolares tradicionales, hoy surgen alternativas que consideran la actividad matemática en un sentido más amplio e integral, según las cuales, dicha actividad no debe restringirse a las limitaciones puramente formales pues, como toda actividad humana, depende de una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histórica e institucional. Factores como la motivación, la afectividad, la imaginación, la comunicación, los aspectos lingüísticos o de representación juegan un papel fundamental en la conformación de las ideas matemáticas entre los estudiantes. Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemáticas no puede ser reducida a la mera copia del exterior, o digámoslo así: a formar un duplicado de la realidad, sino que más bien será el resultado de sucesivas construcciones cuyo objetivo es garantizar el éxito de nuestra actuación ante una cierta situación. Esta visión, que asumiremos en este texto, rompe con el esquema clásico de enseñanza según el cual, el maestro enseña y el alumno aprende. Estas nuevas maneras de encarar la cuestión educativa permiten explorar y emplear para su enseñanza, las formas naturales o espontáneas en que los estudiantes piensan matemáticas, fuera y dentro de la escuela. El papel del profesor en esta perspectiva es mucho más activo y propositivo, pues a diferencia de lo que podría creerse, sobre él recae mucho más la responsabilidad del diseño y coordinación del desarrollo de las situaciones de aprendizaje, de ahí que él deba ser parte del diseño, la implementación y la evaluación del diseño. Otra visión del aprendizaje que está en funcionamiento más recientemente es conocida como las aproximaciones de orden social. Según las cuales, se considera que “la mente está más allá de la piel” y en esa medida, los procesos mentales poseen una relación esencial con los escenarios culturales, históricos e instituciones. De modo que se presenta un marco según el cual es posible hablar de distintas formas de pensar matemáticas al considerar que el entorno 5.

(14) Capítulo 1. modifica dichos pensamientos. Así encontramos en la literatura de este programa que se habla de la forma de pensar durante el siglo diecinueve o bien sobre el tipo de razonamiento de los estudiantes o el del profesor en el salón de clase. Según Régine Douady, una destacada fundadora de la didáctica de la matemática en Francia, saber matemáticas precisa de dos aspectos. Por un lado, se refiere a la disponibilidad funcional de nociones y teoremas matemáticos para enfrentar problemas e interpretar nuevas situaciones. En este proceso dichas nociones y teoremas tienen un status de herramienta en tanto que sirven para que alguien actúe sobre un problema en determinado contexto. Por otra parte, también significa identificar a las nociones y a los teoremas como parte de un cuerpo de conocimientos reconocidos socialmente. Es ahí que se formulan definiciones, se establecen relaciones entre nociones mediante teoremas y se prueban las conjeturas adquiriendo entonces el status de objeto. Al adquirir ese status, las nociones se encuentran descontextualizadas y despersonalizadas a fin de permitir su aprendizaje. De este modo, los procesos de descontextualización y despersonalización participan activamente en la apropiación del conocimiento. Para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que favorecen la apropiación del conocimiento por parte de sus estudiantes. Para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status, de herramienta y de objeto. Enseguida mostramos un ejemplo de tratamiento del contenido que consideramos interesante pues ha sido construido atendiendo a las formas en que los estudiantes se tratan ciertas tareas, como aquellas relativas al tratamiento didáctico del cálculo mental. Como sabemos, el cálculo mental es una actividad matemática que no precisa de la escritura y que puede desarrollarse en periodos breves de una clase. Secuencias de cinco a diez minutos en cada clase, permiten desarrollar habilidades del pensamiento que serán usadas en su formación posterior. Imaginemos el escenario: De manera oral un profesor propone algunas operaciones por realizar, mientras que los estudiantes escuchan y memorizan la pregunta. Posteriormente efectúan la operación y comunican al grupo y al maestro sus intentos y resultados. A continuación el profesor les demanda una explicación de sus procedimientos. En ese momento el profesor favorece la discusión entres los diferentes métodos propuestos y busca que los estudiantes defiendan o refuten los diversos acercamientos. Ello tiene, naturalmente una intención didáctica. Este proceso permitirá a los alumnos distinguir entre los métodos disponibles y seleccionar aquellos más veloces o efectivos o simplemente que más les gusten.. 6.

(15) Capítulo 1. En esas actividades, los alumnos usan resultados matemáticos como herramientas, pues no son conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de cuánto es 11 por 11 un joven da una respuesta errónea, propone un número menor que 110. Otro de sus compañeros de clase dice, esa respuesta no es correcta, ya que 11 por 10 es 110 y él ha obtenido algo menor que 110. Este argumento exhibe el uso de un resultado teórico, un teorema que dice que si c  0 y a  b, entonces ac  bc. En este momento el saber opera entre los alumnos al nivel de herramienta, pues aun no se constituye como un resultado general aceptado por los estudiantes de su clase. En otro momento, ellos lograrán escribir y organizar estos hallazgos y en esa medida reconocerán sus resultados a un nivel más general. Es así que en este ejemplo, la evolución de lo oral a lo escrito, fue usado como un medio para la construcción de significados y para el aprendizaje matemático en una actividad. Cuando un profesor se encuentra ante sus alumnos en un salón de clase, se espera que él enseñe un conocimiento específico y que los estudiantes lo aprendan. Sin embargo, si no sabemos la forma en que el pensamiento matemático de los alumnos opera, no sabremos cómo lograr que su aprendizaje se nutra de la enseñanza. Las relaciones entre pensamiento y enseñanza son actualmente estudiadas por diversos investigadores en el mundo entero.. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas Pretendemos ahora describir, a un nivel básico, ciertas relaciones entre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas tratando con mecanismos del pensamiento matemático. Una cuestión fundamental de importancia contemporánea consiste en adecuar una instrucción, en el sentido más vasto del término, a las exigencias del pensamiento, del aprendizaje y de los contextos históricos, institucionales y culturales que requiere la actividad matemática. La tarea como puede verse no resulta simple. En una atmósfera donde la enseñanza se reduce a la comunicación de verdades eternas, resultados exactos, formulaciones precisas,... Este intento nos plantea una cuestión básica, ¿de qué manera el conocimiento sobre los procesos de aprendizaje en matemáticas puede afectar benéficamente a la enseñanza? Una razón que nos sirve para explicar la complejidad del conocimiento matemático consiste en observar que la mayoría de las nociones matemáticas toman un papel dual, como se ha explicado anteriormente: como herramienta y como objeto, en función de la situación y del nivel de desarrollo de los procedimientos de los alumnos. Típicamente, el aprendizaje de un concepto incluye muchas etapas que pueden desarrollarse durante periodos prolongados y eventualmente quedan por completo fuera de los tiempos de una asignatura. Se inicia con el desarrollo de un proceso en términos concretos, al nivel de 7.

(16) Capítulo 1. herramienta y en la medida en que el alumno se familiarice con dichos procesos, estos tomarán la forma de una serie de operaciones que pueden ser desarrolladas y coordinadas en su pensamiento, el alumno habrá adquirido entonces un pensamiento de tipo operacional con respecto a ese concepto. En una etapa posterior, la imagen mental de este proceso cristaliza en una nueva y única entidad, digamos que en un nuevo objeto. Una vez que este ha sido adquirido, el estudiante ha desarrollado habilidad para pensar dicha noción ya sea al nivel dinámico como herramienta o al nivel estático como objeto. Este manejo dual posibilita al estudiante el que piense en términos de posibilidades: ¿Qué ocurriría si hago o no hago cierta operación? En esos términos, una de las acciones más importantes para el aprendizaje de las matemáticas es el de construir entidades matemáticas: es decir, constituir un objeto de un proceso, o hacer de una práctica una síntesis. De modo que uno de los principales objetivos del currículum sería, desde esta perspectiva, el desarrollar el pensamiento operacional, el pensamiento sobre un proceso en términos de operaciones sobre objetos. Dado que la matemática trata con números, variables o funciones, por citar algunos, todos ellos pueden ser considerados como objetos. Esos objetos son articulados entre sí mediante relaciones, cada objeto es a su vez parte de una estructura más amplia de objetos. Los procesos se componen de operaciones sobre esos objetos y transforman a los objetos mismos. Por ejemplo, toda función específica puede ser considerada como un proceso que opera sobre números: los transforma en otros números y después será considerada como un objeto en sí misma. Un objeto susceptible de transformaciones mediante otro proceso realizado sobre ella, como por ejemplo derivarla, integrarla o graficarla. Esta dualidad proceso - objeto parece estar en la base de la construcción de los conceptos matemáticos. De modo que la enseñanza de las matemáticas obtendría provecho de las investigaciones sobre el pensamiento matemático y sobre las formas en que se concibe al conocimiento matemático y a su construcción, si estas fuentes epistemológicas – fuentes sobre la construcción del conocimiento – fuesen analizadas en detalle. En la enseñanza usual, estos hechos suelen ser desconocidos tanto por los profesores como por los diseñadores de currículo o los autores de libros de texto, de manera que con frecuencia se corre el riesgo de perder un amplio espectro de posibilidades para enriquecer la acción didáctica. Un profesor que conozca estos asuntos, será sensible al reconocimiento de la existencia de varias epistemologías: la epistemología del profesor, la epistemología del alumno o la epistemología del saber. En este momento, quizá sea la visión más extendida entre los profesores es aquella que consiste en asumir que los conceptos matemáticos son entidades ya elaboradas y que sólo deben ser comunicadas a sus alumnos, en una enseñanza pulcra y libre de dificultades, olvidando que esos conceptos deben ser verdaderamente construidos por sus estudiantes como herramientas capaces de tratar con varias clases de situaciones. 8.

(17) Capítulo 1. Una de las fuentes más ricas para detectar dificultades y errores en el aprendizaje de los estudiantes, la constituye la experiencia de aula, pues nos permite percibir dificultades en la apropiación de conceptos y procedimientos, de la socialización de las prácticas y muchos otros factores presentes. Uno de los objetivos de la enseñanza escolarizada es tratar con conocimientos especializados. Se considera en general, que el profesor es el protagonista principal del proceso educativo y que el alumno se limita a aceptar pasivamente aquello que se le propone, sin tener una participación activa en la construcción de lo que aprende. Hoy sabemos que los conocimientos así adquiridos se olvidan fácilmente y no quedan integrados en las estructuras lógicas de los alumnos ni parecen desarrollar su razonamiento matemático. Como consecuencia, estos conocimientos, sólo pueden ser utilizados en condiciones muy similares a las que fueron recibidos. Actualmente, se propone, como una forma de aprender significativamente, que el alumno reconstruya conceptos y procedimientos. Que el aprendizaje se base en la actividad creadora y en el descubrimiento de las nociones por parte del alumno, que sea él quien descubra y proponga formas de resolver los problemas. De esta manera, la función del profesor será la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole una mayor responsabilidad en el mismo. Por otro lado, algunos profesores enseñan matemáticas igual a como está en el texto, es decir, limitándose a reproducir el contenido del mismo. En general, los libros que se utilizan en las clases, provienen de otros países, responden a otros sistemas educativos y por tanto, la presentación del contenido matemático y el orden en que se lo propone distan de la cultura de nuestras clases. Esto provoca que la enseñanza se convierta en una exposición de contenidos sin atractivo para los alumnos, donde los ejemplos y ejercicios propuestos no son significativos ni cercanos a su realidad, lo cual trae aparejado, entre otras cosas, el rechazo a la clase de matemáticas. Quizás, fomentar el uso de textos escritos para nuestro sistema educativo, de aquellos que rescatan nuestro acervo cultural, nuestras problemáticas, aquellos cuyo contenido y presentación incentiven la creatividad del docente y de los alumnos, donde se favorezca la enseñanza y el aprendizaje, sea un primer paso para la superación de este problema. Es por tanto relevante que las problemáticas en el salón de clases sean abordadas a través de investigaciones, contribuyendo así, al mejoramiento de su enseñanza, respondiendo a la necesidad de una búsqueda permanente de democratizar los saberes que ella involucra. 9.

(18) Capítulo 1. En general, se enfrenta a los alumnos a situaciones problemáticas ficticias y sin relación con otras ciencias, lo que trae aparejado una falta de interés, por parte de los mismos, al no poder percibir una justificación para adquirir los conocimientos que se les están enseñando. Es pertinente entonces, reflexionar sobre el tipo de problemas que se les plantea a los estudiantes, ¿cuántos de ellos están basados en situaciones reales donde aparezcan las estructuras matemáticas que se desean enseñar?, ¿se recurre a otras ciencias, que usan las matemáticas, para que el aprendizaje tenga sentido para el alumno y que exista una motivación para adquirirlo? ¿Qué actividades se proponen para que los conceptos adquieran significado entre nuestros alumnos? En ciertas ocasiones, el profesor presenta un problema, pero no destina suficiente tiempo a sus estudiantes para que ellos propongan soluciones y exploren posibilidades y, en consecuencia, no promueven el desarrollo del pensamiento matemático entre sus alumnos. Quizás al estar presionados por los tiempos institucionales, los profesores ocupados en desarrollar por completo una programación temática muy extensa prefieren, pese a que se plantean actividades de resolución de tareas a los alumnos, reducir los tiempos de exploración y debate en clase de matemáticas. Cuántas veces, por ejemplo, se permite que los estudiantes lleguen a la solución de un problema a través de preguntas genéricas como podrían ser: ¿qué hacemos?, ¿ustedes qué piensan?, ¿alguien tiene una idea distinta?, ¿qué ocurrirá si en vez de esto, hacemos esto otro? ... En este sentido, es frecuente observar que el diseño de la clase no contempla como actividad habitual el que los alumnos argumenten sobre los conceptos que tratan o que directamente expongan sus propias ideas, menos aun que refuten las consideraciones de sus compañeros o de su profesor. Es así como se pierde el potencial que todo alumno posee para debatir en matemáticas y en ciencia, se pierden los hilos de la argumentación y sus ideas cotidianas no evolucionan hacia ideas científicas. Esto también, como podrá comprenderse, induce un comportamiento contemplativo en sus acciones de la vida diaria cuando tenga que defender sus creencias y, por tanto, se inhibe el desarrollo de una amplia gama de habilidades intelectuales. De manera que al abrir un espacio en la clase de matemáticas para que los alumnos expresen lo que piensan de algún concepto matemático y que puedan refutar la opinión de sus compañeros se torna importante, digamos que fundamental en el desarrollo de su pensamiento en general y de su pensamiento matemático en particular. Además, este tipo de interacción en el aula favorece el desarrollo del pensamiento crítico (López, 1998) ya que se incentiva el que se ofrezcan alternativas de solución de algún problema y que argumentando con base en ello se favorece el desarrollo intelectual de los alumnos.. 10.

(19) Capítulo 1. La mayoría de los alumnos en sus clases de matemáticas, memorizan y optimizan los conocimientos antes de que verdaderamente puedan integrar conceptos o procedimientos matemáticos. En nuestra opinión, ello se debe a que no pueden de una vez y para siempre asimilar la compleja estructura de las matemáticas mediante prácticas de memorización, perdiendo en consecuencia una visión de lo que "está detrás" de las definiciones y los procedimientos asociados a los conceptos y a las técnicas de base de los alumnos, lo que implica un escaso aprendizaje pues no pueden aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ciertas tareas matemáticas o extramatemáticas. Es por ello que, al pretender enseñar un concepto se debe favorecer las diversas miradas que puedan hacerse de los conocimientos y sus relaciones con los conocimientos previos a fin de que los conocimientos adquiridos anteriormente puedan ir formando una cierta estructura conceptual cada vez más robusta y funcional. En términos generales, la enseñanza no recurre a las estrategias de visualización como una actividad con estatus matemático y los conceptos se manejan de manera más bien formal para después ser fundamentados al seno de una estructura. El conocimiento matemático es, entonces, presentado en forma abstracta sin conexión empírica, lo que hace en los alumnos una serie de dificultades profundas que inhiben los aprendizajes. En muchos casos, se introducen conceptos dando una prioridad excesiva al marco algebraico o al numérico, dejando de lado el manejo de significados en los dominios gráfico e icónico. Todo ello suele apoyarse en una creencia ampliamente difundida que coloca a las estrategias algebraicas en el terreno de lo fácilmente enseñable, y en consecuencia, se concibe, como una buena forma de facilitar la apropiación de conceptos. Pensamos que resulta conveniente utilizar más la visualización en las clases de matemáticas con la intención de favorecer diversas formas de representación tanto de ideas como de conceptos y lograr con ello explorar otros tipos de argumentaciones. Con frecuencia el trabajo en clase es realizado de manera individual, y en general, se pide a los estudiantes que no compartan sus experiencias o sus resultados. Creemos que esto favorece una visión limitada de la diversidad de tratamientos en la resolución de problemas, perdiéndose así, una gran oportunidad de desarrollar conocimientos y estrategias para enfrentarse a situaciones cada vez más complejas. Por esa razón cada vez es más necesario, desarrollar estrategias de enseñanza basadas en la cooperación, una propuesta que se torna interesante es la del trabajo en equipo para que los estudiantes estén en mejores condiciones de reforzar sus conocimientos y compartir visiones sobre las actividades matemáticas. Uno de los errores más frecuentes que se observa cuando se introducen las expresiones algebraicas al seno del aula, es que los alumnos extienden las operaciones numéricas que ya. 11.

(20) Capítulo 1. dominan, aplicándolas a estos nuevos entes que se les presentan. Por ejemplo, no es extraño encontrar expresiones matemáticamente erróneas como: 25x - 3 = 22x, o bien que 5xy – 3x = 2y En donde es posible percibir que los alumnos tratan a las expresiones buscando dar un cierto sentido, coherencia, pues consideran a las literales como etiquetas de objetos concretos y ello les hace operarlas como si fueran números. Otra dificultad que suelen presentar los alumnos al manipular expresiones algebraicas, trata de la eliminación de paréntesis. Consideremos el ejemplo siguiente que un alumno ha dado ante la tarea de desarrollar la expresión algebraica 8x - 3x (4 + x). Él propone que 8x – 3x(4 + x) = 5x(4 + x). ¿Por qué lo ha hecho de este modo? Se podría pensar que está leyendo de izquierda a derecha del mismo modo en que se ha acostumbrado al leer sus textos escolares: "ocho equis menos tres equis por cuatro más equis". Opera en consecuencia como el interpreta la lectura. Quizás por esta razón, algunos alumnos no puedan percibir que 3 (x + 7) sea igual que (x + 7) 3 a pesar de que ese sea un tema de enseñanza al tratar con las propiedades como la propiedad distributiva. Sin embargo, debemos reconocer que entre las respuestas de los estudiantes siempre hay muestras de razonamientos plausibles, independientemente de que sus respuestas sean correctas o falsas. De otra índole son las dificultades que se presentan ante problemas con palabras, enunciados verbales que precisan de tratamiento y codificación de registros de representación. En estos temas, los docentes suelen encontrar muchas dificultades al pretender comunicar eficazmente a sus alumnos las estrategias y las técnicas de base a sus alumnos. De parte de los estudiantes se dificulta la interpretación y el tratamiento de la palabra escrita que el problema plantea. En términos generales, los estudiantes hacen una especie de traducción frase por frase y suelen exhibir dificultades para reconocer las estructuras del problema. El tratamiento de las relaciones entre las variables involucradas, no puede en nuestra opinión, reducirse al mero ejercicio de traducción, sino que por el contrario, requiere de un verdadero tratamiento y conversión de objetos con múltiples significados.. 12.

(21) Capítulo 1. Normalmente, los estudiantes muestran una de las mayores dificultades cuando tratan de resolver problemas matemáticos planteados verbalmente, esto es, problemas que usan a la lengua natural o el lenguaje cotidiano para comunicar tanto su consigna como sus datos, ese tipo de situaciones requiere de una lectura comprensiva y de una reflexión sobre la totalidad del problema, en vez de tratar con datos aislados. Al leer el problema, pueden no diferenciar los datos relevantes de los accesorios o bien, pueden tropezar al convertir la frase en una formulación simbólica propia de las matemáticas. En términos generales, los estudiantes y en repetidas ocasiones los textos escolares, reducen el tratamiento de los problemas con palabras al asunto de la traducción directa de las frases a la simbología matemática, lo que conduce a encontrar ocasionalmente más variables que las verdaderamente necesarias para resolver el problema. Lo que ocasiona que no logren establecer relaciones entre las variables y se extraigan entonces ecuaciones equivocadas. En los libros de texto se proponen, como ejercicios para introducir este tema, enunciados que representen cantidades o relaciones entre cantidades para que sean expresadas en el lenguaje matemático. Por ejemplo, “La suma de 2 números impares consecutivos”, “Un número es 4 unidades mayor que otro”, “El largo es el triple del ancho”, “La suma del cuadrado de 2 números”, “La diferencia de 2 números es 20”. En general, puede observarse que este proceso da comienzo al tratamiento de las representaciones para con ellas, favoreciendo el abandono del contexto de partida en el que fue planteado el problema. Se espera que después de realizar operaciones pertinentes, se esté en condiciones de volver al escenario original e interpretar ahí la respuesta construida. Sin embargo, la potencia del álgebra respecto de su vinculación con otros marcos como el numérico, gráfico e icónico, normalmente no se explota a plenitud. Así mismo, cuando se aborda el tratamiento de las fracciones, se observa que a pesar de que éstas se introducen en la enseñanza de la aritmética al nivel de la educación básica, los estudiantes tienen dificultades con su manejo, las cuales se heredan al tratamiento algebraico, trigonométrico o variacional. Es usual encontrar respuestas incorrectas como las que exhibimos a continuación:. 3 1 4   5 2 7 1. 7 8  3 3. Es fundamental entonces, reflexionar sobre la necesidad de la investigación como método para modificar los contenidos de enseñanza a los procesos de aprendizaje.. 13.

(22) Capítulo 1. De la aproximación socioepistemológica a la práctica educativa Enseñar a un alumno es una tarea simple, pero enseñar a treinta millones de alumnos es una labor sumamente compleja. El reto que nos proponemos con este libro, es brindar una forma de encarar los problemas del aprendizaje al nivel del sistema escolar y no exclusivamente en el ámbito del aprendizaje individual o de la investigación clínica. En este sentido estamos pasando de la investigación a la realidad del aula y es por ello que no podremos limitar nuestras propuestas al diseño bien estructurado de ideas novedosas, sino a un verdadero rediseño del proceso educativo sobre bases nuevas. Según datos de la Secretaría de Educación Pública de México, en el ciclo escolar que inició en septiembre del 2008, se matricularon al sistema nacional de educación, casi 24,000,000 de alumnos distribuidos de manera que 25,600,000 se encuentran en educación básica; casi 3,924,000 en la educación media y cerca de 2,705,200 en la educación superior. Del total de los estudiantes que se encuentran en la educación superior, el 93% corresponde con el grado superior y el 7%, se encuentra estudiando posgrado.. A pesar de la diversidad de instituciones y de la amplitud temática, la matemática es enseñada a la totalidad de los estudiantes de secundaria. En términos generales se estudia a la matemática divida en 3 grandes ejes, sentido numérico y pensamiento algebraico, manejo 14.

(23) Capítulo 1. de la información y forma espacio y medida. El método de enseñanza suele ser el expositivo y este se hereda desde el siglo diecinueve, cuando se consolidó el sistema de enseñanza simultánea, que presupone que los estudiantes de una clase estudian los mismos contenidos en los mismos periodos, en oposición de la enseñanza personalizada. Este cambio en la metodología de enseñanza trajo aparejado nuevos sistemas de selección del alumnado y en consecuencia una nueva función para las matemáticas en la escuela: la selección de los alumnos. Datos del sistema educativo muestran, en general, que de cada cien estudiantes que ingresan a la primaria sólo nueve alcanzan una habilidad terminal. Una radiografía del sistema educativo mexicano. 100 Primaria. 40 53 Secundaria. 13 6. 25. 3. Técnico medio. Bachillerato. Normal. 4. 10. 1. 2. 9. 2. técnicos. Licenciatura. maestros. 4. 5 licenciados. Esto significa que de cada cien que ingresan a la educación primaria, cuarenta son excluidos a causa de razones de tipo socioeconómico y también por razones de selección académica. De esos cien sólo cincuenta y tres ingresan a secundaria, trece son excluidos en el proceso y sólo veinticinco pasan al bachillerato, seis ingresan a escuelas para la formación de técnicos medios y tres van a la educación normal. De estos, sólo dos devienen técnicos y otros dos más serán maestros, de los 25 que ingresaron al bachillerato sólo nueve ingresan a una licenciatura y de ellos cinco la concluyen; en este sentido, los dos egresados de una formación técnica, los dos egresados de una formación magisterial y los cinco egresados de una licenciatura son los nueve que alcanzan una habilidad terminal. Normalmente, desde una óptica tradicional, suele creerse que los sistemas educativos y particularmente en lo que concierne a la enseñanza de las matemáticas son, por decirlo de algún modo, neutros, pues dispensan la misma información en los mismos tiempos a todos los estudiantes del país. Sin embargo eso parece estar cada vez más en entredicho, pues en la medida en que se conoce la existencia de los profundos desequilibrios entre regiones y entre 15.

(24) Capítulo 1. estratos socioeconómicos o atendiendo a la diversidad étnica, se acepta como consecuencia que la exclusión afecta más a los más desfavorecidos. Como una de tantas inercias que acompañan a las prácticas escolares, hemos asumido como símbolo de bienestar académico el que los porcentajes de deserción y reprobación escolar sean moderadamente pequeños y en esa medida identificamos al progreso con su abatimiento. Sin embargo, quienes miren de cerca las acciones de enseñanza e investigación saben que es posible permanecer en la escuela y acreditar las asignaturas con notas relativamente altas, sin haberlas legítimamente aprehendido. Ahora bien, aunque el objetivo de una tasa pequeña tanto en la deserción como en la reprobación sea deseable en todo sistema de enseñanza, claramente no es suficiente; pues una vez que ésta se ha alcanzado el nuevo y urgente reto debe centrarse en la mejoría de la densidad y calidad del aprendizaje de nuestros estudiantes de una manera uniforme. Partimos de la consideración de que la labor del profesor de matemáticas debe ser considerada desde la perspectiva de una actividad profesional. En este sentido, el debe participar en los procesos de perfeccionamiento profesional de manera permanente, en ellos proponemos contemplar tres ejes principales que pueden concebirse como una posible respuesta a las cuestiones siguientes: ¿Cuáles son los conocimientos base para la enseñanza del profesor de matemáticas? Un complejo integrado de conocimientos teóricos, creencias y actitudes. ¿De qué manera un profesor puede aceptar como un conocimiento útil, el aprender a enseñar, el aprender a observar procesos de aprendizaje y el aprender a aprender? Tradicionalmente, la atención de los investigadores se trasladaba hacia el papel desempeñado por el pensamiento del profesor como posible fundamento de la conducta. En los últimos años las investigaciones intentan proporcionar una nueva perspectiva desde la que se contempla el papel del profesor en el proceso de enseñanza aprendizaje. Las investigaciones se centraron en analizar las características de lo que pudiera fundamentar las decisiones y acciones del profesor. El conocimiento, las creencias y las actitudes y los valores, así como la relación entre el conocimiento y la acción. Por otro lado, el proceso de preparar matemáticas para los estudiantes puede describirse desde diferentes puntos de vista y con marcos teóricos diferentes. También, involucra la cuestión de resolver los problemas de justificación, posibilidad e implementación (preparación de lo requerido para hacer posible la enseñanza de un tema matemático dado, sujeto a las restricciones impuestas por la sociedad, sistema escolar, calificación de maestros, etc.) del contenido matemático como una acción necesaria en el proceso. Resolver estos problemas requiere del dominio teórico y práctico así como de un ataque simultáneo, no lineal. Encontramos diversas explicaciones al proceso desde lo que la tradición alemana llama con el concepto de elementarización; esto es, “la transformación activa del contenido matemático a 16.

(25) Capítulo 1. formas más elementales con una doble significación: ser fundamental y accesible para los grupos de estudiantes que lo reciban” (Biehler R. et al. (Eds). 1994 pp.11). O bien desde la tradición francesa con la teoría de la transposición didáctica la que describe el proceso ineludible y las variables que intervienen en el paso del conocimiento científico a conocimiento susceptible de ser enseñable y al enseñado realmente, por ejemplo: la definición de función, presente en los textos, conocida como “la definición formal” se constituye como uno de los conocimientos escolares a ser enseñado y aprendido. Su justificación o validación (como “conocimiento enseñable”) se da a partir del consenso de la comunidad matemática (investigadores y profesores) que la ha adoptado para referenciar al concepto. Este conocimiento científico socializado al que Chevalard se refiere como “conocimiento erudito (académico)” que al ser validado como “conocimiento enseñable” genera tradiciones educativas dándose el fenómeno de transposición (Chevallard Y., 1991) en donde los factores que determinan las sucesivas modificaciones que sufren los resultados científicos hasta llegar a ser “conocimientos enseñables” atienden a los reclamos e ideologías de la sociedad y administración del tiempo institucional, lo que da lugar a la presentación del contenido matemático en forma lineal y organizado en compartimentos con una marcada carencia en significaciones. Ese “conocimiento enseñable” no considera dificultades epistemológicas ni cognitivas intrínsecas; menos aún las del estudiante para acceder a él. A la luz del fenómeno de la transposición didáctica de los saberes, se desprende el carácter ilusorio de los desarrolladores de curriculum quienes tienden a pensar que sus decisiones son objetivas en tanto que son elecciones deliberadas, olvidando ellos mismos que son parte del fenómeno. Hay también algunas revisiones puntuales de los resultados de las reformas curriculares en los EUA (Fey J., 1994), dónde se hace un llamado al uso de acercamientos eclécticos para enfrentar esta problemática, toda vez que la diferencia entre las declaraciones de los estándares de la NCTM y los resultados educativos reales es considerable. Mientras que unos dicen lo que desean los otros exhiben lo que obtienen. Otro caso interesante, es el concerniente a los esfuerzos renovadores en la Alemania del Este y Austria (Tietze U., 1994) que concluye, después de un análisis cuidadoso de diferentes reformas, en el caso particular del cálculo, en las cuales la intención de establecer ideas fundamentales que subyacen o soportan al desarrollo curricular es en extremo limitado para incidir en los sistemas escolares reales. Sus trabajos se perfilan hacia currículos más sencillos (como la preparación de una clase), pero con un conocimiento más completo de las interrelaciones que se dan en el hecho educativo, como creencias, salón de clase, cognición y metacognición, tanto de profesores como de estudiantes. El escenario descrito anteriormente, se extiende hacia el terreno nacional con las especificidades que impone nuestra propia tradición educativa. En este sentido, nuestra propuesta se plantea iniciar de la proclama de una “investigación para la acción”. Hemos 17.

(26) Capítulo 1. planteado hace unos años la cuestión de ¿qué matemáticas deberíamos enseñar en la escuela?, así como establecer los elementos que habrían de ponerse en juego para determinarla, y en su momento – y esta sigue siendo una pregunta vigente - sobre el cómo podríamos llevar pertinentemente nuestros resultados al sistema de enseñanza. Para ello hemos acuñado la expresión de discurso matemático escolar, a fin de describir a los saberes en el escenario educativo y abrir la posibilidad de hacer matemáticas para la escuela. Esta noción, para ser coherentes con la proclama, precisa de una acción de rediseño que atienda fundamentalmente a los reclamos de un sistema de enseñanza masificado específico, lo que debe ocuparnos, es el rediseñar el discurso matemático escolar de manera que enfrente al problema de la masificación y no que lo soslaye. Usamos para el diseño de las actividades a la ingeniería didáctica, que constituye una metodología de investigación de intervención que se aplica tanto a los productos de enseñanza basados o derivados de la investigación como a una metodología de investigación para las experimentaciones en clase. Su sustento teórico proviene de la teoría de la transposición didáctica y de la teoría de las situaciones didácticas1 de ambas se desprende la necesidad de dotar al estudio del fenómeno didáctico de un acercamiento sistémico, con la primera se alcanza una dimensión global, en tanto que la segunda es de carácter local. En ese sentido la preparación de matemáticas para estudiantes no es un proceso de elementarizar el conocimiento en cualquier sitio, ni adaptarlo a un conocimiento previo y habilidades cognitivas del estudiante. Se le percibe como una tarea didáctica que requiere un mayor análisis global de carácter sistémico (Artigue, 1990). El término de ingeniería didáctica surge a inicios de la década de los 80's en analogía al quehacer en ingeniería, en tanto que éste no sólo se realiza apoyándose en resultados científicos, involucra también una toma de decisiones sobre las diversas componentes involucradas en el proceso. Los fines de una ingeniería didáctica pueden ser tanto de investigación como de producción. Un aspecto relevante es el concerniente a la validación de resultados, que en el caso de la investigación descansa en un asunto interno basada en la confrontación entre el análisis a priori de la situación construida y el análisis aposteriori de la misma situación, bajo el principio de que la conducta del estudiante sólo puede ser entendida si ésta es relativa a la situación observada, esta situación y su potencial cognitivo deben ser caracterizados de antemano comparando el análisis apriori con lo observado. Esta posición de validación sólo puede tener lugar si las situaciones que involucran la ingeniería son La teoría de situaciones didácticas introducida por Guy Brousseau (Brousseau, 1986). Basada en una aproximación constructivista, opera bajo el principio de que el conocimiento se construye a través de la adaptación a un ambiente que, al menos en parte, aparece problemático al sujeto. Provee de una teoría para el control de situaciones de enseñanza en su relación con la producción matemática del conocimiento. Los sistemas didácticos considerados distinguen tres componentes mutuamente interrelacionados, a saber, el maestro, el estudiante y el conocimiento. 1. 18.

(27) Capítulo 1. estrictamente controladas en lo relativo a los contenidos tratados, su puesta en escena, el papel del profesor, la administración del tiempo, etc. En tanto que la validación de una ingeniería de producción satisface las condiciones clásicas del trabajo de ingeniería, a saber, efectividad, potencia, adaptabilidad a diferentes contextos, etc. Esta metodología contempla tres grandes fases: un análisis preliminar de la situación a abordar involucrando las componentes didáctica, es decir, acerca del estado de la enseñanza; la componente epistemológica en tanto da explicación del devenir del contenido matemático en juego, así como su funcionamiento y diversas formulaciones; y la componente cognitiva de la población que va a ser sometida a la ingeniería. Una segunda fase la constituye el diseño de la ingeniería así como la elección de las variables macro y micro didácticas que van a ponerse en juego (por ejemplo, determinación del tratamiento del contenido, incorporación de estrategias de resolución de problemas, uso de tecnología y cómo, manera de conducir la clase, textos a usar, etc.). Finalmente la puesta en escena y análisis de resultados. Esta metodología, falible por cierto, nos ha parecido coherente en tanto que toma en cuenta la naturaleza eminentemente social del fenómeno educativo y por ende su acercamiento integral, sistémico. De paso se reconoce que la investigación en el aula no puede desligarse de la situación específica ni de los personajes que intervienen en ella, revalorizando el papel protagónico del profesor. Lo que no nos conduce a su adopción global, hemos de considerarla como parte de nuestra reflexión al proponer nuestros propios acercamientos. En lo que sigue presentaremos una serie de ejemplos que den cuenta de la evolución de las problemáticas abordadas en matemática educativa en diferentes momentos (no cronológicos, sino conceptuales) que hemos llamado, una didáctica sin alumnos, una didáctica sin escuela, una didáctica sin escenarios y una didáctica en escenarios socioculturales a partir de los cuales es posible percibir la introducción de la perspectiva socioepistemológica.. Una didáctica sin alumnos La problemática clásica en matemática educativa se ocupó de diseñar presentaciones del contenido matemático escolar que se consideraban más accesibles para los alumnos y para los profesores que aquéllas otras presentaciones llamadas tradicionales. Se asumía que una presentación mejor adaptada a la escuela y a sus agentes podría ser construida sólo con la reflexión del profesional de la matemática. Siguiendo esta línea, se produjeron libros de texto y materiales educativos sin tomar en consideración sistemáticamente otros factores como aquellos de naturaleza cognitiva o afectiva o bien los relativos a las cuestiones socio culturales del conocimiento. Se buscaba producir aquello que la escuela habría de consumir, sin estudiar a profundidad la cultura escolar. 19.

(28) Capítulo 1. Un ejemplo clásico de este enfoque lo constituye la propuesta de aproximación del área de una figura plana mediante particiones cada vez más finas. Se proponían a los estudiantes diversas actividades de enseñanza para estimar el valor de un área dada, como por ejemplo el área que contiene la figura siguiente. A. Se proponía introducir una cubierta formada por elementos cuya área es conocida. Por ejemplo, un rectángulo de lados 3 y 6 cm.. A. 3 cm.. 6 cm. De este modo, el área buscada sería menor que 63 cm2. Luego si el área buscada se denota como A cm2, se cumple entonces con la relación 0  A  18. A continuación refinaban la aproximación y dividían, por ejemplo, en cuadrados unitarios. Seis a lo largo y tres a lo alto, contando el número de cuadrados en los que quedaba la figura contenida y el número de los que quedaban completamente dentro de la figura. Se proponía por ejemplo 4  A  18. Se continuaba refinando la aproximación por iniciativa del docente, y se obtenía nuevas y mejores aproximaciones de manera que la sucesión a1, a2, a 3, ... y la b1, b 2, b 3,... de aproximaciones sucesivas satisfacían las siguientes relaciones:. a1  A  b 1 a1 a2 A  b2 b1 a1 a2 a3 A  b3 b2 b1 a 1  a 2  a 3  a 4  A  b4  b 3  b 2  b 1 20.

(29) Capítulo 1. En este proceso, el estudiante no quedaba al cargo del proceso, si acaso sólo de su ejecución. Debido a la naturaleza de la construcción que hemos descrito se sabe que, matemáticamente, el límite de las sucesiones an y bn es, en ambos casos, A, de modo que el proceso de aproximación, conduciría, por una especie de sensualismo didáctico, al convencimiento entre los estudiantes de que tal límite existe y de que las concepciones que ellos y ellas tengan sobre lo qué es el área y sobre lo que significa representarla mediante aproximaciones, ya sea por exceso o ya por defecto, no producirían dificultades mayores para los profesores al momento de pretender desarrollar esto en sus clases. Recientemente, a partir de estudios de naturaleza cognitiva, se reporta que los estudiantes tienen mayores dificultades para aproximar las figuras por exceso, que cuando lo hacen por defecto. Era necesario entonces, modificar y ampliar la problemática de estudio en la matemática educativa al incluir explícitamente al aprendizaje del alumno como factor central del diseño curricular y para el desarrollo de la instrucción en una clase habitual de matemáticas. Del mismo modo, estas aproximaciones didácticas sin alumnos, hicieron evidente la necesidad de atender aspectos, hasta entonces transparentes para los matemáticos educativos, como el papel que desempeñan las acciones del profesor en los actos de aprendizaje de sus alumnos, o la forma en que los diálogos intervienen en los procesos de desarrollo del pensamiento. De ahí que paulatinamente se hayan incorporado estudios sobre el pensamiento del profesor para dar cuenta de las formas en que el docente conducía un cierto proceso de negociación del significado con sus alumnos. La problemática aunque había sido modificada, no había sido completamente estudiada.. Una didáctica sin escuela Hacia la década de los 80’s se presentó en la International Conference of Mathematics Education (ICME – 4) un programa de acción en torno del cual se desarrolló paulatinamente nuestra disciplina. Ello se expresó a partir de planteamientos como aquel del profesor Freudenthal al someter a consideración preguntas como la siguiente: ¿Cómo aprenden las personas? y ¿cómo podemos aprender a observar procesos de aprendizaje? En nuestra opinión, ello dio pie a un nuevo paradigma de investigación que modificaba su objeto y su método de estudio. Ello ha derivado en una aproximación cognitiva a la investigación que realiza observación y descripción sistemática de los logros de los estudiantes y de las diversas experiencias de aprendizaje.. 21.

(30) Capítulo 1. Por supuesto una de las pretensiones de esta aproximación fue el que estos estudios cognitivos, en tanto dieran explicación de cómo se aprende matemáticas, pudiesen dar pautas (o al menos aproximaciones) para la articulación de los principios que subyacen a los futuros diseños curriculares. En esta perspectiva y para el caso de las matemáticas escolares del nivel universitario, uno de los primeros y muy representativos estudios fue el contenido en (Tall y Vinner, 1981). En él se introducen y desarrollan términos como “imagen del concepto” y “definición del concepto”. Se dice entonces que el estudiante para definir si un objeto matemático dado es un ejemplo ó un contra ejemplo de un concepto no decide necesariamente sobre la base de definiciones aprendidas, sino con relación a la imagen conceptual que ha sido forjada al filo de su experiencia y que representa “la total estructura cognitiva asociada con el concepto que incluye todas las imágenes mentales, propiedades asociadas y procesos”. Así los estudiantes pueden dar una definición conjuntista de la noción de función (definición del concepto) y negarse a reconocer como una función a una relación funcional definida por dos expresiones algebraicas diferentes sobre dos intervalos: “una función dada por dos fórmulas”. De la misma forma, pueden negarse a considerar como iguales a funciones matemáticamente equivalentes pero definidas por procesos diferentes. Ello a causa, según se decía, de que su imagen conceptual de una función estaba ligada a su representación algebraica única. Para dar una explicación del porque los alumnos dan respuestas diferentes y contradictorias de un mismo problema, D. Tall y S. Vinner introdujeron la noción de conflicto cognitivo potencial. El término “potencial” significa que dos concepciones contradictorias no son necesariamente activadas de manera simultánea, los conflictos cognitivos resultado de la incoherencia de la red pueden incluso no aparecer. Uno de los ejemplos clásicos en la literatura consistió en dos ejercicios propuestos en una misma hoja a estudiantes que terminan el bachillerato ó que inician la universidad, darán lugar a respuestas matemáticas contradictorias sin que esta contradicción sea percibida por los alumnos: - compare los números 0.999 y 1 - calcule la suma de la serie (9/10  9/100  9/1000  ) En el primero de los casos, la respuesta mayoritaria es: 0.999... 1 y se acompaña de diversos tipos de justificación producto de una visión de la escritura decimal ilimitada: “al escribir 0.999999 no se detiene jamás con la escritura, entonces debe ser inferior a uno”, asimismo al tener una visión infinitesimalista se dice: “es infinitamente próximo a 1, pero no es igual al 1”, “justo antes, debe ser el último número antes de 1”. En el segundo caso la respuesta mayoritaria: 1, se obtiene por activación del procedimiento de cálculo de la suma de una particular serie geométrica. 22.