Los conocimientos que construimos en matemáticas pueden ser relacionados, en muchas ocasiones, con episodios de nuestra vida cotidiana. Los más evidentes son aquellos donde nos valemos de operaciones aritméticas para saber el costo de una compra. Existe también otro tipo de conocimientos en el que se requiere la toma de una determinación, la cual depende de muchas variables y que generalmente no permite identificar en primera instancia un conocimiento matemático específico que las resuelva. Así, el siguiente diseño de situación no está pensado a priori para favorecer el aprendizaje de un concepto o procedimiento matemático específico. No obstante, durante la resolución de la situación, y si se da la orientación adecuada, pueden surgir temas relacionados con el uso de las literales, ecuaciones y relaciones funcionales.
Pedro quiere comprar patines
Pedro quiere comprarse unos patines que cuestan 400 pesos para no aburrirse en sus vacaciones de verano. Así, él va con su papá y le pide el dinero. Pero éste le propone que se gané el dinero ayudando en la tienda que tienen en su casa, y le propone tres alternativas: que se encargue de la venta de periódicos, de la venta de helados o atienda a las personas que asistan a comprar. Y le comenta lo siguiente:
“Si te encargas de la venta de periódicos, te daré 30 pesos diarios y, además, 40 centavos por cada periódico que vendas. Por lo general se venden entre 55 y 63 periódicos al día. Nunca se han vendido menos, pero sí más”
“Si te encargas de la venta de helados, te pagaré 90 centavos por cada helado que vendas. Por lo general se venden entre 57 y 65 helados. Nunca se han vendido más, pero tampoco menos”
“Si te encargas de atender a las personas que venga a comprar a la tienda, te daré 45 pesos diarios”
Si Pedro quiere reunir el dinero lo antes posible ¿en qué actividad le conviene ayudar? Reflexión sobre la situación
1 1 Investigación en el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav
Cabrera, L. (2009). El pensamiento y lenguaje variacional y el desarrollo de competencias. Un estudio en el
marco de la Reforma Integral de Bachillerato. Tesis de maestría no publicada. Centro de Investigaciones y de
Estudios Avanzados del IPN. México, D.F., México.
Típicamente, los ejercicios o problemas matemáticos que se proponen en la escuela se elaboran favoreciendo el desarrollo de una respuesta exacta y única, es decir, debe ser posible que los estudiantes den una respuesta correcta y que esto pueda validarse a la luz del problema. No es común que se admita, por ejemplo, respuestas en un intervalo, o condicionar la misma a la ocurrencia de determinadas circunstancias no presentes en el problema planteado.
La importancia de un buen argumento
La situación que aquí se presenta busca utilizar a la matemática como una herramienta que puede ayudarnos a enfrentar situaciones de nuestra vida diaria que requieran la toma de una decisión. De modo que, a través del manejo de la información, se tenga una mayor certeza de obtener lo buscado y tener una mayor certeza en la argumentación de por qué se elije un camino en lugar de otro. Por ejemplo, usar modelos matemáticos del fenómeno o situación que se enfrenta. En este caso, los modelos y herramientas matemáticas que pueden utilizarse para tomar una decisión van desde el uso de cálculos aritméticos, hasta el planteamiento de ecuaciones algebraicas que modelen la situación.
Debido a la naturaleza de la situación, así como a los datos numéricos que se proporcionan, el tipo de intervalos que se plantean y el hecho de que la pregunta por contestar no hace referencia a un resultado numérico sino a la toma de una decisión, la forma de resolverla está abierta al desarrollo de una multitud de acciones. No existe un procedimiento de antemano que dé una respuesta directa. Se busca que las personas que la resuelvan construyan sus procedimientos de solución y que generen sus propios argumentos para dar validez a lo realizado.
Representando la información
Una de las primeras acciones que surgen es el cálculo de las ganancias que puede tener Pedro en cada actividad. Estos cálculos pueden realizarse usando procesos aritméticos, o hallando las funciones que permiten determinar tales ganancias. Para la venta de helados la función sería f(x)=0.9x, donde x representa el número de halados vendidos, para la venta de periódicos sería g(x)=30+0.4x, donde x representa el número de periódicos vendidos y para atención de las personas sería h(x)=45. De esto hay que destacar dos aspectos. En primer lugar, en ocasiones h(x) no es concebida como una función, debido a que no tiene presente a la variable. En segundo lugar, las tres funciones, por la forma de definir a x, son discretas, es decir, van tomando valores de x sólo para números naturales.
Para el cálculo de las ganancias, por lo general se utilizan tres tipos de datos: los límites superiores de los intervalos de venta de los helados y los periódicos, los límites inferiores de
dichos intervalos y los puntos medios de cada uno de ellos. De este modo, se genera una serie de debates en los cuales se proponen argumentos sobre cuál resultado tiene mayor validez.
Los datos que se obtienen aparecen en la Tabla 1.
Dato tomado\ Nombre Venta de periódicos Venta de helados Atención de las personas
Límite inferior $52 $51.3 $45
Punto medio $53.6 $54.9 $45
Límite superior $55.2, pero a veces
vende más. $58.5 $45
Tabla 1. Ganancia que podría tener Pedro por cada día de trabajo.
¿Con cuál de los tres razonamientos concuerda? ¿Qué actividad debe elegir Pedro para realizar? ¿Existirá algún otro razonamiento que permita determinar qué actividad elegir? En primera instancia, parece que la pregunta de qué actividad debe elegir no se puede responder. Sin embargo, aparentemente es posible contestar que actividad no debe elegir. En ninguno de los argumentos la atención de las personas encabeza la lista de las mayores ganancias diarias. La disputa comienza a centrarse entre la venta de periódicos y de helados. Tomemos en cuenta el tiempo
Una pregunta que no debemos omitir es cuánto tiempo tardaría en reunir el dinero para comprar los patines de acuerdo a cada una de las actividades (ver tabla 2).
Elección del valor Actividad Días
Venta máxima
Atención a las personas 8.9 días Venta de periódicos 7.2 días Venta de helados 6.8 días
Venta mínima
Atención a las personas 8.9 días Venta de periódicos 7.7 días
Venta de helados 7.8 días
Venta promedio
Atención a las personas 8.9 días Venta de periódicos 7.4 días Venta de helados 7.5 días
Tabla 2: Tiempo que se requiere en cada actividad para reunir 400 pesos.
Los cálculos se realizan de acuerdo con tres valores: los límites superiores de los intervalos de venta (venta máxima), los límites inferiores de dichos intervalos (venta mínima) y el máximo entero de los puntos medios de cada uno de ellos (venta promedio).
La tabla anterior muestra que únicamente habría una diferencia significativa al momento de considerar la venta máxima de productos, pues únicamente en ese caso los días de trabajo para reunir el dinero serían distintos en la venta de helados o de periódicos. No obstante, debido a que la venta de periódicos no tiene un límite superior estricto de ventas, sino que quizá se vendan más de los 63 periódicos que establece, se puede poner a discusión la validez de dicho resultado.
Pongamos en juego el contexto
Ante la dificultad para llegar a un consenso vía los datos numéricos que se obtienen, comienzan a aparecer durante las discusiones argumentos relacionados con variables contextuales. Por ejemplo: “donde vivo hace frío, así que yo vendería periódicos, pues los helados no se venden”, “si es época de lluvias, yo elegiría atender a las personas, así no me mojaría”, “como donde vivo casi no se lee periódico, mejor vendo helados. Además, como hace mucho calor, los helados se venden más rápido”, etcétera.
Es importante enfatizar que este tipo de consideraciones son del todo válidas y, más aún, tienen un peso importante al momento de tomar decisiones en la vida cotidiana. Sin embargo, no podemos perder de vista que dichas argumentaciones surgen ante la dificultad de proporcionar una respuesta única y aceptada por todos, a partir de los cálculos matemáticos realizados. De este modo, es importante favorecer que se sigan generando nuevos procedimientos los cuales permitan reunir más información para sustentar la toma de una decisión.
¿Qué otro tipo de procedimientos matemáticos propondría para continuar con la discusión y consensar un respuesta?
Utilizando las gráficas
En algunas ocasiones el uso de argumentos gráficos surge dentro las propuestas de análisis. Esto se utiliza para mostrar las tendencias de las ganancias de cada una de las actividades. Dichas tendencias permiten mirar más concienzudamente las diferencias en la forma como las ganancias de cada uno de ellos se van incrementando cerca de los límites de ventas que ellos manifiestan. Por ejemplo, al vender 60 productos, ya sea periódicos o helados, se obtiene la misma ganancia. A partir de ello, la venta de helados comienza a tener mayores ganancias que la venta de periódicos. Cada helado vendido produce una ganancia de 90 centavos, mientras que cada periódico solo produce una ganancia de 40 centavos, por lo cual se deben vender al menos dos periódicos para ganar casi lo mismo que por la venta de un helado.
Gráfica 1: Gráficas de las ganancias producto de cada actividad.
Estas gráficas se presentan de forma continua para dejar ver las tendencias que cada una de ellas sigue.
De este modo, el análisis anterior remite a las pendientes de las gráficas pues lleva a observar las tendencias de las mismas. Un vistazo rápido, nos permite establecer que la ganancia por la venta de helados crece más rápidamente que aquella por la venta de periódicos. En un
análisis más fino, se puede observar que para obtener la misma ganancia por la venta de periódicos que la obtenida cuando se vende el máximo número de helados que se reporta (65 helados), se tendrían que vender 9 periódicos más sobre el límite promedio de venta de periódicos reportado (63); es decir, se deberán vender 72 periódicos. Esto genera nuevas discusiones con respecto a cuál debe ser el trabajo que elija Pedro. Para algunos, esta venta es posible, dado que se establece que sí se han vendido más de 63 periódicos. Para otros, esto es improbable, pues el promedio máximo de ventas se estableció en 63.
En caso de que el análisis gráfico no surgiera, es importante que se motive su uso, pues constituye una poderosa herramienta de argumentación.
Dadas las condiciones del problema, al no existir valores exactos sobre las ventas de helados y de periódicos, es obligada la realización de consideraciones sobre las cuales basar los cálculos que realizamos; por ello, la decisión que tomemos también se basará sobre dichas consideraciones. Esto no permite establecer una respuesta única y exacta al problema, sino más bien dar una respuesta seguida de una argumentación que sustente la respuesta. Así, la matemática no es el camino que da solución a la situación, sino una herramienta que permite sustentar la respuesta que proponemos. Tal visión va acorde con la idea del enfoque en competencias que se maneja actualmente en las Reformas Educativas de Secundaria y Bachillerato en México. (De hecho, éste es el tipo de problemas que debe abrir cada unidad en los libros de texto autorizados por la SEP.)
Preguntas opcionales para generar discusión Responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos helados se tienen que vender para ganar lo mismo que si se eligiera la actividad de atender a las personas? ¿Cuántos periódicos se tienen que vender ganar lo mismo que si se eligiera la actividad de atender a las personas? ¿Puede tenerse la misma ganancia con la venta de periódicos que con la de helados? ¿Sí o no?
o Si no es posible, justifica por qué no lo es.
o En caso de que sea posible, ¿cuántos periódicos y cuántos helados se tienen que vender? Inferencias del diseño
El diseño de la situación que aquí se presenta, si bien no buscaba como fin último el desarrollo de aprendizajes específicos, si tiene la intención de introducir la discusión de ideas básicas sobre algunos temas matemáticos como la resolución de ecuaciones, el análisis de funciones, entre otras. Se busca conocer cómo las personas abordan problemas que desde
un punto de vista matemático, implican la resolución de una ecuación. Por ejemplo, en la pregunta “¿Puede tenerse la misma ganancia con la venta de periódicos que con la de helados?”, se establece la idea de la necesidad de plantear una igualdad entre dos situaciones o procesos, y la búsqueda de un resultado que permita a ambas partes alcanzar dicha igualdad; es decir, se pone en juego la noción de solución de una ecuación. Del mismo modo, establecer la relación entre la venta de productos y las ganancias obtenidas nos permite tocar nociones de funciones. De este modo, la ejemplificación de estas nociones a la luz del trabajo realizado durante la resolución de la situación, puede permitir una mayor comprensión de tales nociones y procedimientos.
Así, se presenta una visión funcional de la matemática, es decir, a partir de una perspectiva de uso de la matemática, se busca dar sentido y significado a los conceptos que se encuentran involucrados en el enfrentamiento de la situación.
Otra característica del problema es la libertad que otorga a los que la resuelven de plantear sus propios caminos de resolución de acuerdo con las consideraciones que estos establezcan; esto se logra al formularse una única pregunta en lugar de una serie de cuestionamientos que guíen el trabajo a realizar. Tal característica favorece el establecimiento de espacios de discusión y retroalimentación de las acciones realizadas para obtener una respuesta, al compartir y defender las respuestas obtenidas. Es decir, el trabajo colectivo que se genera, entendido esto como un proceso de socialización de ideas y dudas que permite avanzar y superar las dificultades, es un factor clave para enfrentar la situación. Siendo esto último otra característica del diseño.
Un aspecto importante del diseño es sumergir a las personas que enfrentan la situación ante un desafío, así como favorecer que ellas mismas se cuestionen el porqué de las acciones que realizan. Para ello, se debe promover que cada una de las respuestas que se proponen, sean analizadas y criticadas. Ya que, debido a la inexistencia de un procedimiento predeterminado de resolución y la necesidad de uno mismo lo construya, las personas se ven implicadas ante un primer reto. Ello permite que se comiencen a cuestionar los procedimientos que realizan y traten de optimizarlos, asignándoles nuevos sentidos y significados. No obstante, ante la imposibilidad de establecer una respuesta única que no dependa de la realización de consideraciones de partida, se genera un conflicto, pues las personas deben romper con la idea que se posee respecto a “la respuesta” a un problema, como ya se menciona al inicio de este apartado.
Redacción y adaptación:
Mezcladora tipo Tolva Mezcladora tipo Trompo