CLAVE Laboratorio 6 - Distribución Normal

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AGRO 5005 LAB 6

CLAVE – Laboratorio 6 - Distribución Normal

La tabla 1 del texto presenta la probabilidad de que un valor aleatorio de Z = (Y-µ)/ sea menor que el valor tabulado z (área bajo la curva entre menos infinito y z). Use la tabla de z para determinar las siguientes probabilidades. Incluya un gráfico en cada caso, sombreando el área que representa cada probabilidad.

a. P(Z<-2)= 0.0228

b. P(Z>2.56) = 1-P(Z<2.56) = 1 – 0.9948 = 0.0052

c. P(Z<-1.23)= 0.1093

d. P(Z<2.25)= 0.9878

(2)

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e. P(-1.63<Z<2.57)= P(Z<2.57)-P(Z<-1.63) = 0.9949-0.0516 = 0.9434

f. P(-1.70<Z<-0.25)= P(Z<-0.25)-P(Z<-1.70) = 0.4013-0.0446 = 0.3567

g. P(1.42<Z<1.89) = P(Z<1.89)-P(Z<1.42)= 0.9706 – 0.9222 =0.0484

2.

En InfoStat, se puede usar el menú Estadísticas>Probabilidades y Cuantiles para calcular probabilidades en la

distribución normal. Use InfoStat para determinar las siguientes probabilidades y compare sus resultados con la parte a, b, e, f y g de ejercicio 1.

a. P(Z<-2)= 0.0228

(3)

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b. P(Z>2.56) = 1 – 0.9948 = 0.0052= 1-P(Z<2.56)

c. P(-1.63<Z<2.57)= P(Z<2.57)-P(Z<-1.63) = 0.9949-0.0516 = 0.9434

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

Función de densidad Normal(0,1): p(evento)=0.0228

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00 Variable

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

(4)

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d. P(-1.70<Z<-0.25)=P(Z<-0.25)-P(Z<-1.70)=0.4013-0.0446 = 0.3567

e. P(1.42<Z<1.89)= P(Z<1.89)-P(Z<1.42)= 0.9706 – 0.9222 =0.0484

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

(5)

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3. Use la tabla de z para encontrar el valor de a cuya probabilidad sea la especificada. Incluya un diagrama en cada caso.

(ayuda: la dirección de la flecha indica el lado de la distribución que debe ser sombreada. Esta área sombreada corresponde a la probabilidad indicada). (Para estos ejercicios, hay que buscar el valor de z que corresponde a la probabilidad indicada)

a.

P(Z<a)=.84

a = 0.9945

b.

P(Z>a)=.19 (ayuda: es la misma a de P(Z<a) = 0.81) a=0.8779

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

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c.

P(Z<a) =.23 a = -.7388

d. P(Z>a) = 0.65 (ayuda: es la misma a de P(Z<a)=0.35) a= -0.3853

e.

P(-a<Z<a)=.90

a = -1.645 a = +1.645

(7)

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4. Use InfoStat para encontrar el valor a cuya la probabilidad sea la especificada. Compare sus resultados con el ejercicio 3 .

a. P(Z<a)=.84

a = 0.9945

.

f.

P(Z>a)=.19 a=0.8779

(8)

AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 8 c.

P(-a<Z<a)=.90

a= -1.645 a= +1.645

5. Otra alternativa para buscar probabilidades en Infostat es usar el menú Aplicaciones > Didácticas > Gráficos de funciones de densidad continuas. Aquí no sólo obtenemos las probabilidades sino también las gráficas. Para superponer varias gráficas, es posible usar la opción clonar (herramientas gráficas). Se obtendrá una copia (clon) de la serie gráfica original. Si seleccionamos esta nueva serie podemos cambiar sus parámetros y comparar ambas distribuciones. Grafique en un mismo gráfico las funciones correspondientes a las tres distribuciones normales:

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad



^ ^^10,^² ^^{1 ,}

 

^ ^^10,^² ^^{3 ,}

 

^ ^^9,^² ^³



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6. Usando la definición de cuartiles (valores de la variable que dejan un 25% o un 75% de la distribución a la izquierda), calcule los valores de Q1 y Q3 en la distribución normal estandarizada. ¿Cuál es el valor del RIC (Recorrido

Intercuartílico)? Use la tabla e Infostat.

Para encontrar probabilidades asociadas con una distribución normal general se debe primero transformar el valor de Y en Z usando la siguiente fórmula, y luego usar la tabla de z para encontrar el valor.

z y 



 

Ejemplo:

P(Y<115) = P(Z < [115-100)/6] )= P(Z<2.50) = 0.9938.

El problema inverso (encontrar un valor de Y que acumule cierta probabilidad) se resuelve calculando primero el valor de Z y después resolviendo la ecuación y

z 



  de la siguiente manera:

y = z  + 

Ejemplo: Dado Y N(100, 36), Encontrar a tal que P(Y<a)=0.6591:

A partir de las tablas de Z, vemos que P(Z<.41)=.6591. Entonces a = (.41)(6) + 100 = 102.46.

P(-a<Z<a)=0.75 – 0.25 = 0.5 a= - 0.6745 a= +0.6745

(10)

AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 10 RIC=Q

3

-Q

1

= 0.67-(-0.67)=1.34

7.

Para Y ~N(100,² 36), calcule las siguientes probabilidades. Incluya un diagrama en cada caso. Use tablas e InfoStat.

a.

P(93<Y<102)= P(-1.17<Z<0.33)=P(Z<0.33)-P(Z<-1.17)= 0.6293-0.1210=0.5083

33 . 6 0

100 102

17 . 6 1

100 93

2 1

 





 

 z z

-5.00 -2.50 0.00 2.50 5.00

Variable 0.00

0.10 0.20 0.30 0.40

Densidad

25% 25%

50%

(11)

AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 11 b.

P(90<Y<95)= P(-1.67<Z<-0.83)=P(Z<-0.83)-P(Z<-1.67)=0.2033-0.0475=0.1558

83 . 6 0

100 95

67 . 6 1

100 90

2 1



 





 

 z z

Números redondeados a dos decimales

70 85 100 115 130

Variable 0.00

0.02 0.03 0.05 0.07

Densidad

93 102

(12)

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c. P(Y>103)= 0.3085 (de Infostat)

0 . 5 6

100 103

1  

z

Usando la tabla, transformar a Z=0.5, y buscar P(Y>103)=P(Z>0.5)=1-P(Z<0.5)

70 85 100 115 130

Variable 0.00

0.02 0.03 0.05 0.07

Densidad

90 95

(13)

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d. P(Y<98)= P(Z<-0.33)=0.3707

Z = (98-100)/6 = -0.3333

8. Para la misma situación Y ~N(100,² 36), calcular los valores de a. Incluya un diagrama en cada caso. Use tablas e InfoStat.

a.

P(Y>a)= .25 a = 104.02

Se busca dentro de la tabla 1-0.25=0.75. El valor de a=0.67. De acuerdo a





Y 

z , se debe hallar el valor de





z

y  .

y  100  0 . 67 * 6  104 . 0

70 85 100 115 130

Variable 0.00

0.02 0.03 0.05 0.07

Densidad

70 85 100 115 130

Variable 0.00

0.02 0.03 0.05 0.07

Densidad

103

98

(14)

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b. P(Y<a)= .08

P(Z<a)=0.08 a= -1.41





z

y  = 100 + (-1.41)6 = 91.54 P(Y<91.54)=0.08

a = 91.54

104

(15)

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c. P(Y>a)= .72

1-0.72=0.28

P(z<a)=0.28 a=-0.58 Y=-0.58*6+100=96.52

P(Y>96.52)=0.72

a = 96.52

d. P(Y<a)= .995 a=2.57

91.54

96.52

(16)

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P(Z<2.57)=0.995

Y=2.57*6+100=115.42 P(Y<115.42)=0.995

a = 115.42

9. Un programa de selección en maíz trata de obtener plantas no demasiado altas. Suponga que la altura de las plantas sigue una distribución normal con media 160 cm y desviación estándar 21 cm.

a. ¿Qué proporción de las plantas van a ser eliminadas si se decide descartar todas las plantas cuya altura exceda 180 cm?

(Ayuda: P(Y>180)?)

μ= 160cm σ=21cm σ

²

=441

= (180 – 160)/21 = 0.952380 P(Z>0.95)=1-P(Z<0.95)=1-0.8289=0.1711

115.42

(17)

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b ¿A partir de qué altura se deberían descartar las plantas si se desea eliminar un 20% del lote?

P(Y>a)=0.20 P(Z>a

z

)=0.20 1-0.20=0.80

P(Z< a

_z

)=0.80, a

_z

=0.84 **Y=0.84*21+160=177.64cm**

En conclusión; P(Y>177.64)=0.2; o sea que debemos descartar todas las plantas con altura superior a 177.64 cm.

10. La cantidad de oxígeno disuelto en el agua de los ríos depende de la temperatura, la cantidad de materia orgánica en descomposición, de la presencia de contaminantes, etc. El Council of Environmental Quality (CEQ) considera que un

55 108 160 213 265

Variable 0.000

0.005 0.009 0.014 0.019

Densidad

55 108 160 213 265

Variable 0.000

0.005 0.009 0.014 0.019

Densidad

180

177.64

(18)

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contenido de oxígeno disuelto menor de 5 mg/l es indeseable porque no sería capaz de sostener la vida acuática. Suponga que una planta industrial descarga sus residuos en el río y las mediciones de oxígeno disuelto aguas abajo de la descarga tienen una distribución normal con media de 6.5 mg/l y desviación estándar de 0.6 mg/l.

μ= 6.5mg/ml σ= 0.6mg/ml σ

²

=0.36

a.

¿Qué proporción de los días será el contenido de oxígeno disuelto considerado indeseable por el CEQ?

P(Y<5)= P(Z<-2.5)=0.0062 = 0.62 % de los días

= (5 – 6.5)/0.6 = -2.5

b.

¿Hasta qué valor podría caer el contenido de oxígeno disuelto? (ayuda: ¿entre qué valores de la variable Ud. espera encontrar virtualmente todas las observaciones?)

3 6.5 3* 0.6 (4.7;8.3)

    

4 5 7 8 10

Variable 0.0

0.2 0.3 0.5 0.7

Densidad

Función de densidad Normal(6.5,0.36): p(evento)=0.0062

(19)

AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 19 Casi nunca el valor podría caer por debajo de 4.7

11. La longitud del caparazón del langostino Thenus orientalis, encontrado comúnmente en los mercados de

Singapur, tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 59.5 mm y una desviación estándar de 4.6 mm.

μ=59.5mm σ=4.6mm σ

²

=21.16mm

²

a.

Si va a seleccionar aleatoriamente un langostino de esta población, ¿qué probabilidad tiene de que éste tenga una longitud menor de 55mm?

= (55 – 59.5)/4.6 = -0.9783 P(Y<55)=P(Z<-0.98)=0.1635

4 5 7 8 10

Variable 0.0

0.2 0.3 0.5 0.7

Densidad

37 48 60 71 83

Variable 0.00

0.02 0.04 0.07 0.09

Densidad

4.7 8.3

55

(20)

AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 20 b.

Si el gobierno decretara que todos los langostinos que se vendan en el mercado deben tener una longitud mínima de 50mm, ¿qué proporción de los langostinos serán de un tamaño ilegal para la venta?

= (50 – 59.5)/4.6 = -2.065 (redondeado = -2.06) P(Y<50)=P(Z<-2.06)=0.0192

Respuesta: el 1.95% de los langostinos en esta población tienen menos de 50 mm

c.

Un comerciante tiene una anuncio que dice “Nosotros garantizamos que los todos los langostinos que vendemos en este negocio son los más grandes disponibles”. ¿Qué longitud mínima deberían tener para asegurarnos que estos langostinos están en el 10% superior de la población?

P(Y>a)=0.10 Se busca en la tabla 1-0.10=0.90 P(Y<a)=0.90 a=1.28

**Y=1.28*4.6+59.5=65.39mm P(Y>65.39)=0.10**

37 48 60 71 83

Variable 0.00

0.02 0.04 0.07 0.09

Densidad

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AGRO 5005 CLAVE Lab 6 Page 21 Para que los langostinos estén en el 10% superior, deben tener una longitud mínima de 65.39 mm.

37 48 60 71 83

Variable 0.00

0.02 0.04 0.07 0.09

Densidad

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