Universidad de Guanajuato

Divisi´ on de Ciencias e Ingenier´ıas

Estudio sobre Transformaciones de Lorentz y Deformaciones Simpl´ ecticas

Tesis que presenta Ra´ul Antonio Cuesta Ramos

Para obtener el grado de Licenciado en F´ısica

Asesores:

Dr. Oscar Miguel Sabido Moreno, Dr. Walberto Guzm´an Ram´ırez

A mis padres Ra´ul y Mercedes.

A mis asesores Miguel y Walberto.

A mis sinodales Ram´on y Julio.

A mis todos amigos, novia y administrativos del DCI.

1. Introducci´on. 5

2. Mec´anica No-Conmutativa. 9

2.1. Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana. . . 11

2.1.1. Variedad Simpl´ectica. . . 11

2.1.2. Geometr´ıa y Mec´anica Hamiltoniana. . . 12

2.1.3. Teorema de Darboux. . . 16

2.2. Mec´anica Cl´asica No-Conmutativa. . . 18

2.3. Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante. . . 19

2.3.1. Part´ıcula Cl´asica. . . 19

2.3.2. Part´ıcula Cu´antica. . . 22

3. Electrodin´amica. 33 3.1. Electrodin´amica Cl´asica Can´onica. . . 33

3.1.1. Ecuaciones de Maxwell. . . 33

3.1.2. Ecuaciones de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo el´ectrico y magn´etico. . . 39

3.2. Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica. . . 40

3.2.1. Electroest´atica: Las propiedades diel´ectricas del vac´ıo determinan la geo- metr´ıa euclideana. . . 41

3.2.2. Magnetoest´atica: El campo magn´etico determina la estructura simpl´ecti- ca del espacio fase. . . 42

3.3. Electrodin´amica Relativista Can´onica. . . 45

3.3.1. Transformaciones de Lorentz y cuadrivectores. . . 46

3.3.2. Fuerza de Lorentz y ecuaciones de Maxwell . . . 48

3.3.3. Formalismo Hamiltoniano. . . 50

3.4. Electrodin´amica Relativista No-can´onica. . . 51

3.4.1. Ecuaciones de Maxwell: Las propiedades constitutivas del vac´ıo determi- nan la geometr´ıa conforme del espacio-tiempo. . . 51

3.4.2. Fuerza de Lorentz: El campo electromagn´etico determina la estructura simpl´ectica en el espacio fase del espacio-tiempo. . . 55

4. Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 59

4.1. Transformaciones Can´onicas. . . 59

4.1.1. Generadores infinitesimales de grupos de un par´ametro. . . 59

4.1.2. Teorema de Noether Hamiltoniano . . . 61

4.2. Transformaciones de Lorentz. . . 61

4.2.1. Transformaciones de Lorentz no deformadas. . . 61

4.2.2. Transformaciones de Lorentz deformadas. . . 64

5. Conclusiones. 73 A. Dualidad de Hodge. 75 A.1. Formas Diferenciales. . . 75

A.2. Elemento de Volumen. . . 77

A.3. Dual de Hodge. . . 78

Introducci´ on.

La idea de una no-conmutatividad en el espacio-tiempo no es nueva, el primer art´ıculo escrito en esta materia fue publicado por Snyder en 1947 [1], sin embargo la primer propuesta de una no-conmutatividad en las coordenadas se le atribuye a Heisenberg a finales de 1930. Heisenberg esperaba que la no-conmutatividad suavizar´ıa las singularidades t´ıpicas de corta distancia de las teor´ıas cu´anticas de campo, cuando se extend´ıan las relaciones de incertidumbre al sector de las coordenadas. Aparentemente Heisenberg le sugiri´o esta idea a Peierles qui´en trabajaba con la fenomenolog´ıa del estudio de sistemas electr´onicos en un campo externo [2].

Desde los inicios la no-conmutatividad se vi´o en problemas con la invariancia de Lorentz, Heisenberg y otros se encontraron con esta dificultad al tratar de cambiar al espacio-tiempo por una ret´ıcula fundamental, la cual arreglara las divergencias que se produc´ıan en la nueva Teor´ıa Cu´antica de Campos, Snyder ya desde sus primeros art´ıculos en 1947 sobre no-conmutatividad [1] comenta que para formular una teor´ıa invariante ante transformaciones de Lorentz, no es necesario asumir que el espacio-tiempo es un continuo sin embargo, para ese tiempo se hab´ıa terminado el programa de renormalizaci´on y por la tanto su idea fue m´as bien ignorada. Tiempo despu´es von Neumann introdujo el t´ermino ’geometr´ıa no-conmutativa’ para referirse en general a la geometr´ıa en la que el ´algebra de funciones es reemplazada por un ´algebra no-conmutativa.

Las motivaciones iniciales que condujeron a la reaparici´on del estudio de espacios no- conmutativos son los resultados de teor´ıa de cuerdas, a principios del 2000, donde aparece en teor´ıas de D-branas [3, 4]. A partir de aqu´ı la cuesti´on de la simetr´ıa de Lorentz, en lo que se llam´o teor´ıa cu´antica de campos no-conmutativa, ha sido debatida seriamente [5, 6, 7, 8, 9].

Adem´as ahora es ampliamente aceptado que el espacio-tiempo a escalas de longitud del orden de la escala de Planck (10⁻³³cm) ya no se puede describir a trav´es de f´ısica conocida (por ejem- plo en [10] se estudia la violaci´on de la invariancia de Lorentz en teor´ıa de campos y se propone una escala del par´ametro no-conmutativo de 10 T eV⁻²). En [11] se us´o la conjetura del aro, la

cual nos da el criterio para la formaci´on de un hoyo negro en relatividad general y tambi´en las relaciones de incertidumbre en mec´anica cu´antica del operador de posici´on a diferentes tiempos para encontrar que ning´un aparato sujeto a las leyes de la mec´anica cu´antica, la gravedad y causalidad puede excluir la cuantizaci´on de la posici´on en distancias menores a la l´ongitud de Planck. Entonces, relatividad general y mec´anica cu´antica nos brindan una longitud m´ınima en la naturaleza, la cual podr´ıa ser abordada mediante una mec´anica no-conmutativa. Otra motivaci´on para estudiar no-conmutatividad es la necesidad de ampliar el Modelo Est´andar de part´ıculas para acoplar gravedad y el hecho de que en la naturaleza aparecen efectos relacio- nados con no-conmutatividad como en problema de Landau (que tiene importancia en F´ısica de Estado S´olido).

En Teor´ıa Cu´antica de Campos No-conmutativa es usual el producto estrella (Weyl-Moyal):

(f ∗ g) = exp i

2Θ^ij∂_i∂_j



f (x)g(y)|_x=y,

en esta teor´ıa se han encontrado resultados interesantes, como por ejemplo, la relaci´on entre las divergencias infrarrojas y ultravioletas. En materia condensada uno de los sistemas no- conmutativos m´as estudiados es el efecto Hall cu´antico, donde la no-conmutatividad se presenta en el sector de los momentos.

Otra faceta interesante que se ha estudiado es la mec´anica cl´asica no-conmutativa a trav´es de una estructura simpl´ectica deformada. Por ejemplo, en [12] se estudia el oscilador arm´onico y el problema de Kepler, obteniendo ecuaciones de movimiento que corresponden a un oscilador en presencia de un campo magn´etico constante y para el problema de Kepler un termino extra que tiene la forma de una fuerza de Coriolis. Siguiendo un poco este esp´ıritu cl´asico no-conmutativo en [13, 14] se introduce la deformaci´on simpl´ectica, proporcionando una teor´ıa efectiva como alternativa para obtener la gravedad cu´antica. En este punto es donde nos preguntamos si [13, 14] corresponden al menos a una teor´ıa covariante de Lorentz ´o si al menos es posible construir una relatividad no-conmutativa. Para tal motivo, se organiz´o el presente trabajo como sigue. En el Cap´ıtulo 2 se estudiar´an las herramientas b´asicas para trabajar en deformaciones simpl´ecticas y se resolver´a el problema cl´asico y cu´antico (problema de Landau) de una part´ıcula cargada en un campo magn´etico constante, de forma tanto can´onica como no-can´onica. En el Cap´ıtulo 3 se construir´a la Electrodin´amica en la notaci´on cl´asica y relativista en la forma can´onica usual, para finalmente comparar la formulaci´on de la misma teor´ıa pero en el formalismo de variedades simpl´ecticas y geometr´ıa diferencial modificando la estructura simpl´ectica en el sector de los momentos; esta ´ultima formulaci´on se puede encontrar en [15]. En el Cap´ıtulo 4 repasaremos los grupos de un par´ametro de difeomorfismos en el formalismo simpl´ectico [16, 17],

las transformaciones can´onicas y estudiaremos las transformaciones de Lorentz en espacios no- conmutativos. Finalmente dejaremos el Cap´ıtulo 5 para algunas conclusiones, perspectivas y discusiones.

Mec´ anica No-Conmutativa.

Los cambios te´oricos que se han presentado en la mec´anica cl´asica de Newton del siglo XVII han abarcado un gran espectro en la f´ısica actual. Contamos con un modelo est´andar de part´ıculas basado en una teor´ıa cu´antica de campos, un modelo est´andar de la cosmolog´ıa basado en la relatividad general de Einstein, una mec´anica estad´ıstica para sistemas de muchas part´ıculas, etc. Cada teor´ıa requiere de distintos formalismos, sin embargo, el principio de m´ınima acci´on es algo com´un entre ellas. En base a este principio, a trav´es de la mec´anica Hamiltoniana, es como entendemos la conexi´on m´as directa entre la mec´anica cl´asica y la mec´anica cu´antica.

Aunado a este principio debemos asegurarnos de la existencia de una funci´on llamada de Lagrange ´o Lagrangiano L, que normalmente se define como la diferencia entre la energ´ıa cin´etica y potencial de un sistema de part´ıculas. Normalmente el Lagrangiano es una funci´on que depende de las posiciones y las velocidades de cada part´ıcula y algunas veces del tiempo.

Considerar la evoluci´on de un sistema de n grados de libertad como una secuencia de esta- dos de equilibro (d’Alembert) bajo la acci´on de todas las fuerzas (efectivas, provenientes de constricciones e inerciales), es considerar el principio de m´ınima acci´on sobre la acci´on

S = Z

L(q, ˙q, t)dt, el cu´al puede ser visto axiom´aticamente:

El estado de un sistema est´a completamente determinado al especificar sus coordenadas y velocidades.

La evoluci´on est´a completamente determinada al dar la funci´on L(q, ˙q, t) definida en el conjunto de estados.

A lo largo de todas las curvas cerradas q_i= q_i(t) que unen a los puntos A y B, el camino para el cual la integral de acci´on S [q] =R L(q, ˙q, t)dt toma el m´ınimo valor, representar´a a la evoluci´on del sistema.

Estos axiomas nos llevar´an a las ecuaciones de Euler-Lagrange d

dt

∂L

∂ ˙q_i −∂L

∂q_i = 0,

las cuales al ser resueltas, obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema.

La ventaja de esta formulaci´on de la mec´anica cl´asica sobre la Newtoniana, es que con esta nueva formulaci´on podemos encontrar de manera muy sencilla cantidades conservadas y simetr´ıas del sistema, adem´as de que podemos incorporar electromagnetismo por medio del acoplamiento m´ınimo.

Si el Lagrangiano es regular; esto es, el determinante Hessiano de la matriz l ≡

 ∂²L

∂ ˙q_i∂ ˙q_j



no es cero, entonces las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir en su forma normal

¨ qi=

n

X

j=1

(l⁻¹)ijFj,

en donde F_j = ∂L/∂q_i−Pn

k=1 ∂²L/∂ ˙q_i∂ ˙q_k
˙q_k− ∂²L/∂ ˙q_i∂t

Otra formulaci´on es la Hamiltoniana, a la cual se llega con la transformaci´on de Legendre introduciendo n nuevas variables

pi = ∂L

∂v_i,

estas son variables conjugadas de las q’s, o su interpretaci´on din´amica para algunos casos t´ıpicos es de momentos conjugados de las q’s. Por medio de esta transformaci´on construimos una nueva funci´on llamada Hamiltoniana como sigue:

H(q, p, t) =X

i

v_i∂L

∂vi

− L.

Con esta nueva funci´on podemos calcular las ecuaciones de Hamilton, que son las equivalentes a las ecuaciones de Lagrange. Estas ecuaciones se encuentran por medio de la variaci´on de la acci´on

S = Z

(piq˙i− H(q, p)) dt,

en donde sumamos sobre indices repetidos, y est´an dadas por

˙

qⁱ = ∂H

∂p_i, p˙i= −∂H

∂qⁱ. Podemos definir tambi´en los par´entesis de Poisson como

{f, g} = ∂f

∂qⁱ

∂g

∂pi

− ∂f

∂pi

∂g

∂qⁱ,

donde sumamos sobre indices repetidos. Con estos corchetes podemos escribir las ecuaciones de Hamilton como

˙

qⁱ=qⁱ, H , p˙_i= {p_i, H}

Es esta formulaci´on Hamiltoniana la que es un caso part´ıcular de la mec´anica cl´asica no- conmutativa que deseamos construir.

2.1. Variedades Simpl´ ecticas y Mec´ anica Hamiltoniana.

En esta secci´on estudiaremos las herramientas necesarias para formular una mec´anica cl´asica no-conmutativa en base a las deformaciones simpl´ecticas.

2.1.1. Variedad Simpl´ectica.

Definici´on 1 Una variedad simpl´ectica es un par (M, ω), donde M es una variedad 2n- dimensional dotada de una 2-forma ω simpl´ectica. Una 2-forma simpl´ectica se define como:

1. Cerrada: dω = 0.

2. No degenerada: Si ω (X, Y ) = 0 ∀Y ∈ T_pM ⇒ X = 0 ∀p ∈ M.

En coordenadas tenemos que X = Xⁱ∂_i, Y = Yⁱ∂_iy ω_ij(p) = ω_p(∂_i, ∂_j); la primer condici´on mencionada arriba ser´a:

dω = 1 2

∂ω_ij

∂x^kdx^k∧ dxⁱ∧ dx^j = 0, (2.1)

mientras que la segunda ser´a:

ω (X, Y ) = XⁱY^jωij ⇒ Xⁱ = 0, (2.2)

⇒ Xⁱω_ij = 0 ⇒ Xⁱ = 0. (2.3)

En otras palabras, ω define un isomorfismo i : TpM → Ω¹(M) dado por iXω = α y de ´algebra lineal tenemos que si la dimensi´on del espacio vectorial de dominio es igual a la

dimensi´on del espacio vectorial imagen y si Ker (i) = {0} entonces Im (i) = Ω¹(M) y esto implica que i es invertible y por lo tanto:

det (ωij(p)) 6= 0 (2.4)

y la matriz ωij es no singular.

Notemos que la dimensi´on de la variedad simpl´ectica est´a determinada por esta ´ultima propiedad como sigue: ya que ωij es una matriz antisim´etrica

det (ω) = det ω^T
= det (−ω) = (−1)ⁿdet (ω) , (2.5) por lo que, si n es impar, entonces el determinante es cero y por lo tanto la variedad dejar´ıa de ser simpl´ectica.

2.1.2. Geometr´ıa y Mec´anica Hamiltoniana.

Definici´on 2 Un campo vectorial X en una variedad simpl´ectica (M, ω) es llamado localmente Hamiltoniano si

L_Xω = 0, (2.6)

d´onde LX es la derivada de Lie a lo largo del flujo generado por X.

Lo que nos sugiere esta definici´on es que la 2-forma simpl´ectica es invariante ante el flujo generado por X. La identidad de Cartan nos dice que L_Xω = d (i_Xω) + i_X(dω) y por lo tanto, usando la propiedad 1 de la definici´on 1, vemos que

d (iXω) = 0. (2.7)

Y as´ı, un campo vectorial localmente Hamiltoniano en M es el que satisface que la 1-forma α = iXω sea cerrada.

Si adem´as α es exacta, i.e., existe una funci´on H en M tal que

α = i_Xω = −dH, (2.8)

entonces el campo vectorial es llamado globalmente Hamiltoniano y la funci´on H es llamada funci´on Hamiltoniana correspondiente a X. Esta ´ultima condici´on nos la prove´e el lema de Poincar´e el cual establece que si dα = 0 ⇒ α es localmente exacta, i.e., hay una vecindad U alrededor de cada punto en el cual α = dβ, por lo que, de aqu´ı en adelante vamos a considerar que el lema se cumple. Este lema nos permite ver cada una de las definiciones de forma inversa;

cualquier funci´on en una variedad simpl´ectica M, f : M → R define un campo vectorial

Hamiltoniano X_f definido por i_Xfω = df . El signo en la ecuaci´on (2.8) es tomado solo por conveniencia.

En coordenadas locales, para un campo vectorial X = Xⁱ∂_i, una 2-forma simpl´ectica dω =

1

2ωijdxⁱ∧ dx^j y una funci´on H tal que dH = ^∂H_∂xidxⁱ, tenemos

i_Xω = ω_ijXⁱdx^j, (2.9)

el campo vectorial ser´a Hamiltoniano si se cumple (2.8), que en coordenadas ser´a ω_ijXⁱdx^j = −∂H

∂xⁱdxⁱ, (2.10)

y ya que det (ω_ij(p)) 6= 0, la relaci´on anterior se puede escribir para determinar las componentes del campo vectorial, i.e,

Xⁱ = ω^ij∂H

∂x^j, (2.11)

en donde ω^ij est´a determinada por

ω^ijω_jk = ω_ijω^jk = δ_kⁱ. (2.12) Adem´as, de la definici´on de un campo vectorial vemos que sus componentes coinciden con las derivadas respecto un par´ametro t de las coordenadas locales, y as´ı las ecuaciones (2.11) se transforman en

dxⁱ

dt = ω^ij∂H

∂x^j, (2.13)

que como podemos observar son muy similares a aquellas obtenidas para la mec´anica Hamil- toniana.

Otra definici´on importante es la de los corchetes de Poisson.

Definici´on 3 Dada la estructura simpl´ectica (M, ω) y dos funciones diferenciales en M f y g, se define el par´entesis de Poisson {f, g} como

{f, g} (p) = d dt  

t=0f φ^t_g(p)
. (2.14)

Donde φ^t_g denota el flujo Hamiltoniano correspondiente al campo vectorial Hamiltoniano X_g, definido por i_Xgω = dg.

Trabajando un poco esta definici´on, encontramos que {f, g} (p) = d

dt  

t=0f φ^t_g(p)

(2.15)

= Xg(f ) (2.16)

= L_Xgf (2.17)

= iXgdf (2.18)

= iXgiX_fω (2.19)

= ω (X_g, X_f) . (2.20)

En coordenadas, la ecuaci´on (2.20) no es m´as que {f, g} (p) = X_fⁱX_g^jω_ij = ω^ij ∂f

∂xⁱ

∂g

∂x^j. (2.21)

Algunas propiedades de esta definici´on son las siguientes:

Bilineal

{αf + βg, h} = α {f, h} + β {g, h}

{f, αg + βh} = α {f, g} + β {f, h} , ∀f, g, h ∈ C^∞(M) , ∀α, β ∈ R, (2.22) antisim´etrica

{f, g} = − {g, f } ∀f, g ∈ C^∞(M) , (2.23) satisface la idenditad de Jacobi

{{f, g} , h} + {{g, h} , f } + {{h, f } , g} = 0 ∀f, g, h ∈ C^∞(M) . (2.24) Con estas tres propiedades el par´entesis de Poisson dota a C^∞(M) con una estructura de

´

algebra de Lie.

Adem´as, el par´entesis de Poisson satisface la identidad de Leibniz

{f, gh} = {f, g} h + g {f, h} . (2.25)

Usando la ecuaci´on (2.21) para dos coordenadas locales tenemos

xⁱ, x^j = ω^ij. (2.26)

Si ahora aplicamos la definici´on del par´entesis a una coordenada y una funci´on diferenciable en M encontramos

xⁱ, f (p) = d dt  

t=0xⁱ φ^t_f(p)
, (2.27)

que es muy similar a las ecuaciones de movimiento de la mec´anica Hamiltoniana cl´asica.

Para construir una variedad simpl´ectica, primero ocupamos de una variedad 2n-dimansional y despu´es verificar si podemos construir una 2-forma simpl´ectica en ella. Por esto, un ejemplo natural de variedad simpl´ectica es el haz cotangente. Un punto en T^∗M es una 1-forma sobre el espacio tangente a M en alg´un punto de M; si qⁱes una elecci´on de n coordenadas locales para puntos en M, entonces, tal forma est´a dada por sus n componentes pi y as´ı qⁱ y pi forman una colecci´on de coordenadas locales en T^∗M. Esta discuci´on nos motiva a enunciar el siguiente teorema.

Teorema 1 El haz cotangente T^∗M tiene una estructura natural simpl´ectica. En coordenadas locales, esta estructura est´a dada por la formula

ωc = dpi∧ dqⁱ. (2.28)

Demostraci´on:

Sea ξ ∈ T (T^∗M) un vector tangente al haz cotangente en el punto p ∈ T_q^∗M. El push-foreward f∗ : T (T^∗M) → T M de la proyecci´on natural f : T^∗M → M, toma a ξ y lo lleva a un vector f∗ξ tangente a M en a. Definimos una 1-forma α en T^∗M como α (ξ) = p (f∗ξ). En las coordenadas locales descritas antes, esta forma es α = p_idqⁱ, si tomamos una carta alrededor de α, ´esta nos dice que localmente la 2-forma ω_c ≡ dα es no degenarada, ya que tiene la forma can´onica

ω_c =0 −I

I 0



. (2.29)

 A las formas diferenciales α = p_idqⁱ y ω_c = dα se les conoce como 1-forma diferencial can´onica y estructura simpl´ectica can´onica respectivamente. Adem´as la base d´onde estas formas diferenciales tienen esa forma es llamada base can´onica y con ella podemos escribir

ωc = 1

2ωµνdx^µ∧ dx^ν, µ, ν = 1 · · · 2n, (2.30) donde qⁱ = xⁱ y pi = xⁱ⁺ⁿ.

Si ahora utilizamos (2.29) en las ecuaciones (2.13) obtenemos las ecuaciones de Hamilton dqⁱ

dt = ∂H

∂pi

, (2.31a)

dp_i

dt = −∂H

∂qⁱ, (2.31b)

y de igual forma al usar (2.29) en (2.26), encontramos las relaciones usuales de conmutaci´on de las coordenadas para la mec´anica cl´asica

qⁱ, q^j = {p_i, p_j} = 0, qⁱ, p_j = δⁱ_j. (2.32) Debido a las ecuaciones (2.31) y (2.32) es que consideramos al haz cotangente T^∗M como el espacio fase f´ısico. Entonces, el Hamiltoniano es una funci´on definida en C^∞(T^∗M).

2.1.3. Teorema de Darboux.

Ante cualquier cambio de coordenadas, en general, la 2-forma ω_c puede llegar a depender de las coordenadas y dejar de ser constante. Aqu´ı es donde entra la importancia del teorema de Daroux, el cual establece que para cualquier variedad simpl´ectica, siempre podemos escoger coordenadas locales tales que la 2-forma ωc siempre sea can´onica.

Teorema 2 Si ω es una estructura simpl´ectica en la variedad simpl´ectica M, entonces alrede- dor de cada punto, existen coordenadas x¹, . . . , xⁿ, . . . , x²ⁿ
= q¹, . . . , qⁿ, p1, . . . , pn
, llamdas can´onicas, en las cuales ω tiene la forma

ω = dpi∧ dqⁱ.

La demostraci´on del teorema viene elaborada en dos partes y es escencialmente la que se encuentra en [19]

Demostraci´on:

Las dos partes de la demostraci´on son:

a) Mostrar que en un espacio vectorial simpl´ectico V , ω solo puede tener rango 2n y adem´as ω se puede escribir en una base conveniente tal que tenga la forma (2.29):

El rango de ω no es mas que la dimensi´on de la imagen de ω : V → V^∗, que env´ıa a v ∈ V a la 1-forma diferencial α(w) = ω (v, ·) (w) = ω (v, w) y ya que ω es no degenerada, entonces el rango de ω es igual a 2n.

Ahora supongamos que ω est´a dada por ω = 1

2ωµνdy^µ∧ dy^ν

en la base dy^µ. Podemos asumir (arreglando la base si es necesario) que ω_1n+16= 0, entonces ω =



dy¹−^ω_ω^n+1,2

1,n+1dy²− · · · −^ω_ω^n+1,n

1,n+1dyⁿ− · · · −^ω_ω^n+1,2n

1,n+1 dy²ⁿ



∧ (ω_1µdy^µ) + A1, (2.33)

d´onde A₁ no contiene expresiones que envuelvan a dx¹ ´o dxⁿ⁺¹. Ahora podemos definir dx¹ = −

dy¹−^ω_ω^n+1,2

1,n+1dy²− · · · −^ω_ω^n+1,n

1,n+1dyⁿ− · · · −^ω_ω^n+1,2n

1,n+1dy²ⁿ ,

dxⁿ⁺¹ = ω_1µdy^µ, (2.34)

con lo que ω se escribe como

ω = dxⁿ⁺¹∧ dx¹+ A1.

Si A1= 0, entonces la demostraci´on est´a completa. De otra manera continuamos el proceso hasta obtener el resultado deseado

b) Probar que para cada p ∈ M hay un sistema de coordenadas local alrededor de p en el cual ω es constante:

Para esta demostraci´on usaremos la siguiente identidad

 d dt

 f_t^∗α

t=s= f_s^∗(L_vα) . (2.35) Donde α es cualquier forma y f_t el flujo local del campo vectorial v.

Consideremos un sistema de coordenadas alrededor de p ∈ M; denotaremos con α la expre- si´on para una forma en dichas coordenandas. Denotaremos tambi´en como ω₁ la 2-forma que en estas coordenadas es constante y tal que ω₁ = ω (p). Sea ω_t = ω + t (ω₁− ω), ω_t es no degenerada en alguna vecindad del origen ∀ t ∈ [0, 1]. Usando el lema de Pincar´e, podemos definir ω1− ω = dα para alguna 1-forma α en la vecindad. Asumamos que ω (p) = 0.

Sea vt el campo vectorial definido por ivtωt = −α, y sea ft su flujo en el punto p. Por su definici´on, el campo vectorial es dependiente del tiempo, etnonces

d

dt(f_t^∗ω_t) = f_t^∗(L_vtω_t) + f_t^∗dω_t dt

= f_t^∗divtωt+ f_t^∗(ω1− ω)

= f_t^∗(−dα) + f_t^∗(dα) = 0,

entonces f₁^∗ω1 = f₀^∗ω = ω, y de esta manera el mapeo f1 es el cambio de coordenadas que transforma ω en la forma constante ω1.

 Retomando las ecuaciones (2.13), las ecuaciones de Hamilton en la forma no can´onica vienen dadas a trav´es de una estructura simpl´ectica no can´onica Ω como

dy^µ

dt = Ω^µν∂ ˆH

∂y^ν, (2.36)

en una base y^µ. El teorema de Darboux nos asegura que existe una transformaci´on S tal que, si la base can´onica de las 1-formas es dx^µ, entonces

dx^µ= S^µνdy^ν, (2.37)

con lo que la estructura simpl´ectica (2.30) se puede escribir como ωc = 1

2ωµνdx^µ∧ dx^ν = 1

2ωµνS^µαdy^α∧ S^µ_βdy^β = 1

2Ωαβdy^α∧ dy^β, (2.38) de d´onde deducimos que

S^Tω_cS = Ω (2.39)

Adem´as, de la ecuaci´on (2.36) tenemos que S˜^µ_αdx^α

dt = Ω^µνS^αν

∂ ˆH

∂x^α, (2.40)

y usando (2.39) obtenemos

dx^µ

dt = ω_c^µν∂H

∂x^ν (2.41)

solo si ˆH (y^µ(x)) = H (x^µ).

En la pr´actica construimos la transformaci´on S de acuerdo a la demostraci´on del teorema de Darboux, esto es, de forma similar a como se hace en el proceso de diagonalizaci´on de Gramm-Schmidt.

Esto ser´a ejemplificado al final del cap´ıtulo 2, donde se escribir´an las ecuaciones de Maxwell con el formalismo de geometr´ıa diferencial y obtendremos las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula cargada en un campo electromagn´etico, haciendo uso de una deformaci´on en la estructura simpl´ectica, obteniendo adem´as una mec´anica cl´asica no conmutativa.

2.2. Mec´ anica Cl´ asica No-Conmutativa.

Con la motivaci´on de la mec´anica cu´antica donde aparecen operadores que no conmutan entre s´ı y en particular problemas donde las coordenadas y/o los momentos no conmutan, utilizamos la regla de Dirac para pasar de la mec´anica cu´antica a la mec´anica cl´asica, i.e., cambiando las relaciones de conmutaci´on fundamentales por

1

i}[ , ] → { , } .

La justificaci´on para estudiar estos espacios fase no-conmutativos cl´asicos proviene de la misma mec´anica cu´antica, ya que se ha mostrado ([18]) que la cuantizaci´on a la Dirac es equivalente a una deformaci´on }-estrella del ´algebra del espacio fase conmutativo.

Entonces entendemos por mec´anica cl´asica no-conmutativa, a una mec´anica descrita por el flujo del campo vectorial Hamiltoniano X, i.e., L_X = 0 a trav´es de una estructura simpl´ectica ω que no es can´onica y que nos proporciona, en su forma m´as general, los corchetes de Poisson:

qⁱ, q^j = Θ^ij, qⁱ, p_j = δⁱ_j, {p_i, p_j} = B_ij.

2.3. Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´ etico Constante.

El problema cl´asico no-conmutativo por excelencia, es el efecto Hall y en su parte cu´antica el problema de Landau. Por medio del efecto Hall (se da en una placa delgada con cargas libres en presencia de un campo magn´etico perpendicular a uno el´ectico) se puede encontrar una estimaci´on del n´umero de part´ıculas libres cargadas en alg´un material; mientras que Landau encontr´o que los electrones en presencia de un campo magn´etico constante se agrupan en niveles de energ´ıa discretos en una direcci´on y continuos en la direcci´on perpendicular al campo magn´etico.

En este cap´ıtulo estudiamos dichos problemas sin concentrarnos en el efecto Hall y mostra- mos que el formalismo de Dirac tambi´en nos brinda una no-conmutatividad en los momentos.

2.3.1. Part´ıcula Cl´asica.

En esta secci´on trabajaremos el caso de una part´ıcula cargada sujeta a una fuerza magn´etica.

Para esto suponemos un campo magn´etico dirigido hacia el eje z positivo y una carga q lo suficientemente peque˜na de tal forma que no influya en el campo magn´etico.

Caso Can´onico

En principio, debemos comenzar con el Hamiltoniano de una part´ıcula libre con acopla- miento m´ınimo del campo magn´etico, a trav´es de su potencial vectorial ~A:

H = 1 2m



~

p − q ~A2

, (2.42)

Debido a que en el Hamiltoniano aparece el potencial ~A, tendremos que usar alguna norma.

Para describir un campo magn´etico B constante en la direcci´on z, dos normas son: la sim´etrica, donde tomamos Ax = − (1/2) By, Ay = (1/2) Bx y Az = 0; y la norma de Landau, donde tomamos Ax = −By, Ay = Az = 0.

Una buena elecci´on del campo ~A (norma de Landau ´o norma sim´etrica) nos proporcio- nar´a un campo magn´etico constante en direcci´on del eje z. El resultado de trabajar con dicho

Hamiltoniano y las relaciones de conmutaci´on usuales

xⁱ, x^j = 0, xⁱ, pj = δⁱ_j, {p_i, pj} = 0 (2.43) ser´a la fuerza de Lorentz

F = q~



~ v × ~B



. (2.44)

Entonces, las ecuaciones de movimiento deben ser d~p

dt = q

~ v × ~B

= q m



~ p × ~B

. (2.45)

La fuerza magn´etica no hace trabajo sobre la part´ıcula, entonces, la energ´ıa debe ser constante y por lo tanto tambi´en el momento. Adem´as, de la ecuaci´on (2.44), vemos que no hay una componente de la fuerza paralela al campo magn´etico, y la componente del momento a lo largo de esa direcci´on debe permanecer constante. Entonces sin perder generalidad podemos considerar el movimiento solamente en el plano perpendicular a ~B. Ahora, la ecuaci´on (2.45) nos dice que el vector ~p de magnitud constante est´a haciendo un movimiento de precesi´on alrededor de la direcci´on del campo magn´etico con una frecuencia

ωB = qB

m , (2.46)

que es llamada frecuencia del ciclotr´on. El vector de velocidad tambi´en deber´a ser constante y deber´a rotar con la misma frecuencia. Entonces la part´ıcula deber´a moverse uniformemente en una ´orbita circular en el plano con velocidad angular ωB. Ya que la fuerza centrifuga es igual a mv²/r, se sigue que la magnitud del momento lineal en el plano debe ser igual a

p = mrω_B. (2.47)

Combinando (2.47) y (2.46) llegamos a la relaci´on entre el radio del c´ırculo y el momento:

r = p

qB. (2.48)

Notemos que la frecuencia asociada al movimiento circular no depende de la velocidad de la part´ıcula. Por consiguiente, las part´ıculas con velocidades menores tardar´an el mismo tiempo en completar el c´ırculo m´as peque˜no que las part´ıculas m´as veloces en completar c´ırculos m´as grandes.

Caso No-can´onico.

La diferencia con el caso can´onico es que si utilizamos el formalismo Hamiltoniano, no tene- mos que escoger una forma espec´ıfica del campo ~A. Proponemos ahora que el campo magn´etico deforma a la estructura simpl´ectica, en este caso estaremos trabajando con un campo magn´etico dirigido hacia el eje z positivo. Entonces, la estructura simpl´ectica deformada ser´a

(ωe,B)_µν =

















0 eB 0 −1 0 0

−eB 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 −1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

















. (2.49)

la cual nos brinda los corchetes de Poisson

xⁱ, x^j = 0 xⁱ, p_j = δⁱ_j

{p_x, p_y} = eB {p_x, p_z} = 0 {p_y, p_z} = 0. (2.50) Tomaremos el Hamiltoniano de la part´ıcula libre

H = 1

2m p²_x+ p²_y+ p²_z

(2.51) y como vimos antes, las ecuaciones de movimiento ser´an

dxⁱ

dt = pi

m, (2.52a)

dpx

dt = ωBpy, (2.52b)

dp_y

dt = −ω_Bp_x, (2.52c)

dpz

dt = 0, (2.52d)

en donde ω_B = eB/m, es la frecuencia del ciclotr´on.

Trabajando un poco estas ecuaciones obtenemos

px = A cos (ωBt) + B sen (ωBt) (2.53a) p_y = −A sen (ω_Bt) + B cos (ω_Bt) (2.53b)

p_z = k, (2.53c)

donde A, B y k son constantes de integraci´on. Con condiciones iniciales px(0) = px0, py(0) = py0 y pz(0) = pz0, encontramos A = px0, B = py0 y k = pz0 Adem´as utilizando (2.52a),

obtenemos

x = 1

eB [px0sen (ωBt) − py0sen (ωBt)] + x0, (2.54a) y = − 1

eB [p_x0cos (ω_Bt) + p_y0sen (ω_Bt)] + y₀, (2.54b) z = pz0

m t + z0. (2.54c)

Podemos observar que el movimiento descrito son ´orbitas circulares en el plano perpendicular y que la frecuencia es (2.46). Calculando la magnitud del momento proyectado en el plano, observamos que es la constante

p²_x+ p²_y = p²_x0+ p²_y0 = p. (2.55) mientras que el radio del c´ırculo en el plano es

r =p

x²+ y²= p

eB. (2.56)

Para concluir, vimos que con una mec´anica cl´asica no conmutativa a nivel de los momen- tos, v´ıa deformaci´on de la estructura simpl´ectica, obtenemos las ecuaciones correctas para el problema del movimiento de una carga en un campo magn´etico constante.

2.3.2. Part´ıcula Cu´antica.

En esta secci´on resolveremos el problema de Landau, que consiste en la cuantizaci´on de una part´ıcula en un campo magn´etico constante, el cual nos llevar´a a los llamados niveles de Landau, obteniendo de manera muy natural (a trav´es de una teor´ıa de constricciones de segunda clase) una mec´anica cu´antica no-conmutativa. Usaremos unidades donde c = 1.

Caso Can´onico.

En este punto podemos agregar esp´ın a la part´ıcula, este se agrega acopl´adandolo al campo magn´etico usando el operador ˆµ = (µ/s) ˆs de momento magn´etico intr´ınseco, donde ˆs es el operador de esp´ın.

En este caso trabajaremos con la norma de Landau y no incluiremos esp´ın. El Hamiltoniano que usaremos es el de part´ıcula libre con acoplamiento m´ınimo (reemplazamos el momento por

~

p − e ~A):

H = 1 2m



~ p − e ~A

2

, (2.57)

entonces cambiando las variables por operadores tenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger indepen- diente del tiempo es

 1

2m(ˆpx+ eB ˆy)²+ 1

2m pˆ²_y+ ˆp²_z



ψ = Eψ, (2.58)

donde usamos el acoplamiento m´ınimo y ˆpi= mˆvi+ e ˆAi.

Este Hamiltoniano no contiene ˆx ni ˆz expl´ıcitamente, y por lo tanto los operadores ˆpx y ˆpz

conmutan con ˆH, i.e. podemos diagonalizarlos simult´aneamente y ˆ

piψ (x, y, z) = piψ (x, y, z) con i = x, z, (2.59) usando separaci´on de variables obtenemos

ψ = e^{(i/})(pxx+pzz)}χ (y) . (2.60) Los valores propios p_x y p_z toman todos los valores reales desde −∞ hasta +∞. Del acopla- miento m´ınimo vemos que dado A_z = 0, entonces la componente z del momento generalizado es igual al momento ordinario (cin´etico) mv_z. Por lo tanto la velocidad de la part´ıcula en la direcci´on z (del campo) puede tomar cualquier valor; as´ı podemos decir que el movimiento a lo largo del campo ”no est´a cuantizado”.

Introduciendo (2.60) en (2.59) y definiendo y₀ ≡ −p_x

eB (2.61)

ωB ≡ |e|B

m (2.62)

encontramos la ecuaci´on

−}²

2mχ⁰⁰+mω²_B

2 y − y₀²
χ =



E − p²_z 2m



χ. (2.63)

Esta no es m´as que la ecuaci´on del oscilador arm´onico cu´antico, por lo que el lado derecho ser´a la energ´ıa de este oscilador en particular, por lo que

E =

 n + 1

2



}ωB+ p²_z

2m, (2.64)

El primer t´ermino de valores de energ´ıa discretos corresponde al movimiento en el plano per- pendicular al campo y se llaman niveles de Landau. Las funciones propias estar´an dadas por

χ_n(y) = 1

π^1/4√

2ⁿn!x^n+1/2o



y − y₀− x²₀ d dy

n

exp −1 2

 y − y₀ x0

2!

, (2.65) donde x0 =p

}/mωB. Observemos que la funci´on de onda est´a localizado en la direcci´on y en funciones Gaussianas, pero no en la direcci´on x. Y ya que la energ´ıa no contiene a la cantidad px, los niveles de energ´ıa son degenerados continuamente.

Movimiento de ciclotr´on. Como ya vimos, cl´asicamente encontramos el centro del movi- miento de ciclotr´on x_oy y₀. En el caso cu´antico existe su an´alogo. Consideremos el Hamiltoniano en el plano perpendicular al campo

H = 1 2m

h

(−i}∂x+ eAx)²+ (−i}∂y+ eAy)² i

, (2.66)

el momento covariante (can´onico)

pj = −i}∂j+ eAj j = x, y, (2.67)

y definimos las coordenadas gu´ıas del centro (el vector que apunta desde el observador hasta el centro del movimiento de ciclotr´on;)

X ≡ x + 1

eBp_y, Y ≡ y − 1

eBp_x. (2.68)

Este conjunto de variables cumplen las siguientes reglas de conmutaci´on:

[X, Y ] = −il² y [px, py] = i}²

l² (2.69)

donde l es una longitud natural de esta teor´ıa, llamada longitud magn´etica y definida como l =

r }

eB (2.70)

Construyendo los operadores a ≡ l

√2}(p_x+ ip_y) , a^†≡ l

√2}(p_x− ip_y) , (2.71) con su relaci´on de conmutaci´on

h a, a^†

i

= 1, (2.72)

el Hamiltoniano (2.66) es

H =



a^†a + 1 2



}ωB. (2.73)

Las coordenadas de la part´ıcula cargada ~x = (x, y) est´an descompuestas en las coordenadas gu´ıa del centro ~X = (X, Y ) y las coordenadas relativas ~R = ~x − ~X = (Rx, Ry)

R =~ 1

eB(−p_y, p_x) . (2.74)

Con las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para ~X i}dX

dt = [X, H] = 0, i}dY

dt = [Y, H] = 0, (2.75)

vemos que el electr´on no se mueve en toda la muestra. Las coordenadas ~R describen el mo- vimiento alrededor de las coordenadas gu´ıa del centro; y el Hamiltoniano en terminos de ~R es

H = 1

2mp²= }ωB

2l² R² (2.76)

entonces

hR²i = (1 + 2n) l² (2.77)

en el n-´esimo nivel de Landau. Las ecuaciones de movimiento para ~p ser´an i}dpx

dt = i}ωBpy, i}dpy

dt = i}ωBpx. (2.78)

As´ı que ~R hace movimiento de ciclotr´on hR_xi = −p

(1 + 2n)l sen (ω_Bt) , hR_yi =p

(1 + 2n)l cos (ω_Bt) , (2.79) para el nivel m´as bajo de Landau (n = 0), l es el radio del ciclotr´on. Para un campo alrededor de 10 Teslas, este radio es del orden de 10 nm.

Si tomamos la norma de Landau y nos restringimos al nivel m´as bajo de Landau, la variable din´amica esta dada solo por la gu´ıa del centro ~X con [X, Y ] = −il². Adem´as la funci´on de onda (como vimos antes) en funci´on de ~k = ~p/} es

S_kx(~x) = 1

√

π^1/2le^−ikxxexp



− 1

2l² (y − y_0k)²



(2.80) con y_0k = kxl².

La probabilidad de encontrar el electr´on en y tiene un pico en y_0k = kxl². estos estados son bandas etiquetadas por el n´umero de onda kx, que se ubica en y = kxl² y tiene ancho

∆y = l²∆kx. Aqu´ı, ∆kx= 2π/Lx, porque con condiciones peri´odicas de frontera Skx(x + Lx) = Skx(x) en una placa cuadrada de lados Lx y Ly, tenemos que kx = 2πnx/Lx. El ´area de cada banda es ∆S = Lx× ∆x = L_x^2πl_L²

x = 2πl².

Entonces, la posici´on de un electr´on no puede ser localizada en un ´area menor a ∆S. Esto es porque est´a confinado al nivel m´as bajo de Landau, donde X y Y no conmutan.

En este caso, encontramos operadores no-conmutativos de posici´on para el centro del mo- vimiento de ciclotr´on de cada part´ıcula, cuya consecuencia en el nivel m´as bajo de Landau, fu´e la no localidad de una part´ıcula en un ´area determinada por la longitud magn´etica l.

L´ımite de campo fuerte. En este l´ımite encontraremos que las coordenadas de la part´ıcula no conmutan a trav´es de la teor´ıa de constricciones de Dirac.

En este l´ımite consideramos B → ∞, i.e., el r´egimen de energ´ıa B  m ´o m → 0. Nuestro hamiltoniano puede contener un potencial V debido a las impuresas del material, por lo que lo escribimos como

H = 1

2mπ²+ V, (2.81)

donde ~π es el momento cin´etico ~π = ~p − e ~A. En este l´ımite tenemos que ~π = 0, por lo que tendremos que imponer esta igualdad como una constricci´on. Adem´as el Hamiltoniano se reduce a H0 = V . Como πx y πy no conmutan, entonces tendremos que tomar a ~π como una constricci´on de segunda clase. As´ı que el nuevo Hamiltoniano ser´a

H⁰ = V + u1πx+ u2πy, (2.82)

con u₁ y u₂ por determinar. Aplicando la condici´on de consistencia con los corchetes de Poisson {φ_j, H⁰} ≈ 0, con φ_j = πj, tenemos

{φ₁, H0} + u₁{φ₁, φ1} + u₂{φ₁, φ2} = −∂V

∂x + u2eB ≈ 0 (2.83)

{φ₂, H0} + u₁{φ₂, φ1} + u₂{φ₂, φ2} = −∂V

∂y − u₁eB ≈ 0. (2.84) Despejando ~u

u₁= − 1 eB

∂V

∂y, u₂= 1 eB

∂V

∂x. (2.85)

Estas no son constricciones secundarias, sino que son condiciones que fijan a u_i. Esto indica que no hay grados de libertad no-f´ısicos. La matriz de constricciones es

M = eB 0 1

−1 0



(2.86) cuya inversa es

M⁻¹ = 1

eB 0 −11 0
. (2.87)

As´ı que los corchetes de Dirac se definen como:

{f, g}_DB = {f, g} + M_ab⁻¹{f, φ_a} {φ_b, g} . (2.88) Usando esta definici´on encontramos

{x, y}_DB = − 1

eB (2.89)

{x, p_x}_DB = {y, py}_DB = 1

2. (2.90)

Para proseguir con un an´alisis ya sea cl´asico o cu´antico, tendr´ıamos que utilizar estas nuevas relaciones de conmutaci´on y encontrar las nuevas ecuaciones de movimiento, as´ı como el com- portamiento de la funci´on de onda en el espacio fase reductivo, m → 0, limite que se proyecta en el nivel de Landau m´as bajo.

Peierls en [2] observ´o que cuando una impureza en el sistema de electrones es descrita por V , uno puede obtener a trav´es de perturbaciones a primer orden en m en la energ´ıa, el nivel de Landau m´as bajo, considerando a V como funci´on de las coordenas (x, y) que no conmutan.

Caso No-Can´onico.

Para desarrollar la cuantizaci´on en una visi´on no-conmutativa, promovemos el Hamiltoniano (2.51) a el operador Herm´ıtico en alg´un espacio de Hilbert

H =ˆ 1

2m pˆ²_x+ ˆp²_y+ ˆp²_z
. (2.91) Adem´as, usando la regla de Dirac para obtener relaciones cu´anticas a partir de relaciones cl´asicas, en (2.50), obtenemos el ´algebra de Heisenberg no-conmutativa

 ˆxⁱ, ˆx^j = 0  ˆxⁱ, ˆp_j = i}δⁱj

[ˆpx, ˆpy] = i}eB [ˆpx, ˆpz] = 0 [ˆpy, ˆpz] = 0. (2.92) al igual que en el caso can´onico, ˆp_z conmuta con el Hamiltoniano y por lo tanto lo podemos reemplazar por su valor propio p_z. Escribiremos ahora el Hamiltoniano en una forma m´as familiar a trav´es de operadores de creaci´on y aniquilaci´on. Entonces definimos

a^†= A ( ˆp_x− i ˆp_y) , a = A ( ˆp_x+ i ˆp_y) , (2.93) donde A ser´a una constante de normalizaci´on. Para encontrar A, operamos el conmutador de a^†y a

h a, a^†

i

= 2iA²[px, py] = 2A²}eB. (2.94) Para que este conmutador sea 1, necesitamos que

A = 1

√

2}eB. (2.95)

Adem´as observamos que a^†a = 1

2}eB pˆ²_x+ ˆp²_y+ i [ˆp_x, ˆp_y]
= 1 2}eB



2m ˆH − p²_z− }eB

, (2.96)

entonces, definiendo ω_B= eB/m tenemos H = }ωˆ B



a^†a +1 2

 + p²_z

2m. (2.97)

Definimos tambi´en el operador n´umero

N = a^†a, (2.98)

cuyas relaciones de conmutaci´on con a y a^† son las usuales [N, a] = −a, h

N, a^†i

= a^†. (2.99)

Con esto, la ecuaci´on de Schr¨odinger ser´a }ωB



a^†a +1 2



| n, p_zi =



E + p²_z 2m



| n, p_zi, (2.100)

que no es m´as que la ecuaci´on del oscilador arm´onico cu´antico, con energ´ıa E − p²_z

2m = }ωB

 n + 1

2



(2.101) y entonces, la energ´ıa del sistema ser´a

En= }ωB

 n +1

2

 + p²_z

2m, (2.102)

con n = 0, . . . , ∞.

Los estadeos |ni est´an dados por

|ni =

"

a^†
n

√ n!

#

|0i (2.103)

y

a|ni = √

n|n − 1i (2.104a)

a † |ni = √

n + 1|n + 1i (2.104b)

con a|0i = 0.

Adem´as podemos escribir a los operadores a y a† en t´erminos de los operadores ˆp_x y ˆp_y como sigue

ˆ p_x =

rm}ωB

2



a^†+ a

, pˆ_y = i

rm}ωB

2



a^†− a

(2.105)

En este punto debemos observar que el conjunto {|p_x, p_y, p_zi} no forma una base ortonormal como en el caso can´onico ya que no podemos diagonalizar simult´aneamente los operadores p_x y p_y. Sin embargo, una pregunta interesante es: ¿existe un casimir en el ´algebra central de los operadores ˆpi tal que determine por completo la base que buscamos?

Adem´as, en el espacio de posiciones, la representaci´on del momento en la direcci´on x y y tendr´a que cambiar y no es ´unica. Para encontrar una buena representaci´on proponemos el anzats

ˆ

py = −i} ∂

∂y + ˆA (x, y, z) , px = −i} ∂

∂x (2.106)

donde ˆA es una funci´on, que depende de los operadores posici´on, por determinar. Usaremos ahora las reglas de conmutaci´on (2.92),

[ˆy, ˆpy] ψ = yˆ



−i} ∂

∂y + ˆA

 ψ −



−i} ∂

∂y + ˆA

 ˆ

yψ (2.107a)

= −i}y∂ψ

∂y + yAψ + i}∂yψ

∂y − Ayψ (2.107b)

= i}ψ. (2.107c)

Este conmutador no nos da informaci´on acerca de A, pero observamos que con A arbitraria se mantiene. Probemos el conmutador de p_x con p_y

[ˆp_x, ˆp_y] ψ = −i}∂A

∂x, (2.108)

por otro lado [ˆpx, ˆpy] ψ = i}eBψ, entonces

∂A

∂x = −eB (2.109)

y por lo tanto

A = −eBx + f (y, z) . (2.110)

Si continuamos conmutando ˆpy con ˆpz y con ´el mismo, encontraremos que f (y, z) = 0. Y por lo tanto la representaci´on de los momentos que cierra el ´algebra (2.92) es

ˆ

p_x = −i} ∂

∂x, pˆ_y = −i} ∂

∂y − eB ˆx, pˆ_z = −i} ∂

∂z. (2.111)

Notemos que esta representaci´on podr´ıa estar relacionada con la transformaci´on de Darboux (3.71).

Retomando el c´alculo del oscilador arm´onico para determinar sus estados en el espacio de coordenadas, empezaremos con el estado cero:

h~x|a|0i = 0, (2.112)

y usando la relaci´on (2.105) obtenemos

h~x| (ˆp_x+ iˆp_y) |0i = 0 (2.113)

entonces 

−i} ∂

∂x+ } ∂

∂y − ieBx



ψ0(x, y, z) = 0 (2.114)

donde ψ₀= h~x|0i. Usando separaci´on de variables

ψ₀(x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) , (2.115) donde Z (z) = e^(i/})(pzz), debemos distinguir tres casos:

i. La constante mayor que cero: k². La ecuaci´on diferencial para Y ser´a:

∂Y

∂y = k²

}Y. (2.116)

Mientras que para X tenemos:

∂X

∂x = −i

}k²X −eB

} xX. (2.117)

Sus soluciones son

X = K1e^−k4/(2eB})e⁻(^√eBx/(^√2})^+ik2/√2eB})², (2.118a)

Y = K₂e^k2y/}, (2.118b)

Z = K3e^(i/})(pzz). (2.118c)

con una sola constante para normalizar.

ii. La constante menor que cero: −k².

Este caso es igual al anterior pero cambiando cada k² por −k² iii. La constante igual a cero: k²= 0.

En este caso las soluciones son:

X = K1e^−(eB/2})x2, (2.119a)

Y = K₂, (2.119b)

Z = K3e^(i/})(pzz). (2.119c)

Para encontrar estados m´as altos se usar´a la ecuaci´on (2.103), y se resolver´a la ecuaci´on

ψn(x, y, z) = h~x|

"

a^†
n

√ n!

#

|0i = 1

√ n!



−i} ∂

∂x− } ∂

∂y + ieBx

n

ψ0. (2.120)

Observemos que en las coordenadas x la part´ıcula se encontrar´a localizada por bandas Gaussianas, mientras seguiremos teniendo una degeneraci´on continua debido a que px no se encuentra en la energ´ıa. En este caso, podemos seguir interpretando a los momentos como generadores de traslaciones, solo que modificamos el postulado de la conmutaci´on de traslacio- nes por uno no conmutativo. Obviamente, la funci´on de onda depender´a de la representaci´on de los operadores ˆp_i en el espacio de coordenadas, entonces, hemos pasado de el problema de escoger una norma al problema de representar a los momentos en el espacio de coordenadas.

Esta representaci´on es b´asicamente una transformaci´on de Darboux.

Para concluir resumiremos los principales resultados de este cap´ıtulo. Primero abordamos las herramientas necesarias para lo que denominamos deformaci´on simpl´ectica y definimos lo que ser´a una mec´anica cl´asica no-conmutativa. En el siguiente cap´ıtulo utilizaremos estas deformaciones para formular una teor´ıa electromagn´etica correcta a trav´es de un formalismo Hamiltoniano. En el cap´ıtulo 4 veremos que la mec´anica cl´asica no-conmutativa formulada como lo hicimos, solo es una simetr´ıa particular generada por el Hamiltoniano. Adem´as resolvimos exitosamente el problema de Landau utlizando las deformaciones simpl´ecticas. Cambiamos el problema de escoger una norma para el potencial vectorial magn´etico por el problema de escoger una transformaci´on de Darboux adecuada que nos de una representaci´on correcta de las relaciones de conmutaci´on fundamentales pero no-conmutativas (2.92).

Electrodin´ amica.

Con el motivo de comparar y ejercitar el formalismo simpl´ectico, en este cap´ıtulo se presenta la formulaci´on cl´asica (can´onica) de la teor´ıa electromagn´etica y la formulaci´on no can´onica a trav´es del lenguaje de geometr´ıa diferencial y las deformaciones simpl´ecticas. Comparar dichos formalismos nos permitir´a entender m´as a fondo en qu´e sentido se estar´a introduciendo posible nueva f´ısica.

Mostraremos tambi´en que la importancia de introducir el operador ∗ (dual de Hodge) y una estructura simpl´ectica deformada, radica en que a trav´es del operador ∗ fijamos la geometr´ıa del espacio (Euclidiano o Conforme) con las ecuaciones constitutivas (respuesta del vac´ıo a la presencia del campo electromagn´etico), mientras que la estructura simpl´ectica es deformada por la presencia del campo electromagn´etico para darnos las ecuaciones de movimiento correctas (fuerza de Lorentz).

3.1. Electrodin´ amica Cl´ asica Can´ onica.

3.1.1. Ecuaciones de Maxwell.

Conservaci´on de la carga.

La corriente en un alambre es la carga por unidad de tiempo pasando por un punto dado.

Dada esta definici´on, cargas negativas movi´endose a la izquierda equivalen como positivas movi´endose a la derecha.

Una linea cargada λ viajando a una velocidad v, constituye una corriente

I = λv, (3.1)

dado que un segmento de longitud v∆t con carga λv∆t pasa por un punto en un tiempo ∆t.

La corriente como vector es

~I = λ~v. (3.2)

La fuerza magn´etica en un segmento de alambre es:

F~_mag = Z 

~v × ~B dq =

Z 

~v × ~B λdl =

Z ~I × ~B

dl (3.3)

Cuando el flujo de una carga est´a distribuido a lo largo de una regi´on tridimensional, la describimos con la densidad de corriente volum´etrica ~J . Si consideremos un ”tubo”de secci´on transversal infinitesimal da⊥ paralelo al flujo, entonces

J =~ d~I da⊥

, (3.4)

adem´as, si la densidad de carga volum´etrica (m´ovil) es ρ y la velocidad ~v, entonces

J = ρ~~ v (3.5)

La fuerza en este caso es

F~mag = Z 

~ v × ~B

 ρdτ =

Z  ~J × ~B



dτ. (3.6)

De acuerdo a (3.4), la corriente atravesando una superficie S es I =

Z

S

J da⊥= Z

S

J · d~a,~ (3.7)

y en particular, la carga total por unidad de tiempo que deja el volumen V es I

S

J · d~a =~ Z

V



∇ · ~J



dτ. (3.8)

Ya que la carga se conserva, lo que fluya a trav´es de la superficie hacia afuera debe de haber venido de dentro y por lo tanto

Z

V

∇ · ~J

dτ = −d

dt Z

V

ρdτ = − Z ∂ρ

∂tdτ (3.9)

⇒ ∇ · ~J +∂ρ

∂t = 0 ., (3.10)

que no es m´as que la ley de conservaci´on de la carga.

Ley de Gauss.

En la notaci´on vectorial, el vector de desplazamiento el´ectrico est´a definido en terminos del momento dipolar por unidad de volumen como

D = ~ ₀E + ~~ P , (3.11)

debemos notar que ~D no proviene de un potencial, ni tiene su propia ley de Gauss, sino que proviene de una densidad de carga volum´etrica producido en materiales diel´ectricos sumado al campo el´ectrico externo. Adem´as de esto, muchos materiales presentan una proporcionalidad entre ~P y ~E, as´ı que con campos el´ectricos no muy fuertes tendremos

P = ~ 0χeE,~ (3.12)

donde χe es la suceptibilidad el´ectrica del medio y donde se usa 0 para conservar a χe como una cantidad adimensional. Adem´as χe depende de la estructura microsc´opica del medio.

Concluimos que para este tipo de medios obtenemos la relaci´on

D = ~ ₀E + ~~ P = ₀(1 + χ_e) ~E, (3.13)

D =  ~~ E, (3.14)

en donde  es la permitividad del material. La ley de Gauss ser´a entonces

∇ · ~D = ρ_f, (3.15)

donde ρ_f es la densidad de carga libre en el material, que bien pueden ser electrones en un conductor o iones embebidos en un material diel´ectrico.

Ley de Faraday.

La fuerza magn´etica en una carga Q moviendose con velocidad ~v dentro de un campo magn´etico ~B es

F~m = Q



~v × ~B



, (3.16)

notemos que esta fuerza no hace trabajo: si Q se mueve d~l = ~vdt, el trabajo hecho ser´a dWm ≡ ~Fm· d~l = Q

~ v × ~B



· ~vdt = 0. (3.17)

Las fuerzas magn´eticas pueden alterar la direcci´on de una part´ıcula, pero no pueden acelerala o frenarla.